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Factorizacin de polinomios Profa. Anneliesse Snchez y Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemticas
Universidad de Puerto Rico

Introduccin Factorizar un polinomio es hallar factores de ste. Ejemplo: Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que 2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x.
Cuando un polinomio slo tiene como factores a 1 y
a l mismo, decimos que es un polinomio irreducible o primo.
Factorizar completamente un polinomio es hallar
todos los factores irreducibles o primos del polinomio.

Cuando multiplicamos, obtenemos un nico resultado.
Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar
un nmero.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 24
24 = (8)(3)
24 = (12)(2)
24 = (6)(4)
24 = (4)(2)(3)
24 = (6)(2)(2)
Esta ltima es la
factorizacin prima de
24, lo que significa que el
nmero ya no se puede
seguir factorizando.
24 = (2)(2)(2)(3)
Ejemplo numrico

Al igual que los nmeros, los polinomios se pueden
factorizar de varias formas.
Ejemplo: Escriba factorizaciones para 32 + 12x
32 + 12 = 3( + 4) 32 + 12 = 3 (2 + 4) 32 + 12 = x(3 + 12)
32 + 12 = 1
2(6 + 24)
La primera forma se conoce
como factorizacin por
factores irreducibles, por
que los factores 3x y x+4 no
se pueden factorizar ms.
Polinomio irreducible
Un polinomio est completamente factorizado si
se expresa como el producto de polinomios
con coeficientes enteros.
todos los polinomios que forman la
factorizacin son irreducibles
+ = ( + )

FACTORIZACION POR MXIMO COMN DIVISOR
Factorizacin de polinomios

Factorizacion por mximo comn divisor
La propiedad distributiva,
ab + ac = a(b + c),
nos permite remover, de cada trmino de
un polinomio, un factor repetido.
Ese factor repetido se conoce como el
mximo comn divisor del polinomio.

Mximo comn divisor
El mximo comn divisor de dos o ms polinomios, se compone del
mximo comn divisor de los coeficientes
multiplicado por la potencia ms grande de las variables que es comn a todas las expresiones dadas.

Ejemplo: Determinar el mximo comn divisor mcd(24x5, 40x3, 56x4) =
Solucin: Expandir cada expresin
24x5 = 8 3 x3 x2
40x3 = 8 5 x3
56x4 = 8 7 x3x
El mximo comn divisor es
8x3

Factorice mediante factor comn.
a) 22pq 33qr
b) 7xy 14xy2 + 21x2y
c) 20w3z4 25w4z7 15 w5z3
d) 12b3 88ab2 + 28ab4 36a2b2

Factores binomiales Ejemplo: Factorice el polinomio: + 2 + 3( + 2)
Remover el binomio comn y formar, en parntesis, un segundo factor binomial con los factores que quedan en cada trmino.
Esto es,
+ 2 + 3 + 2 = (y + 2) ( ) + 3

Factores binomiales Ejemplo: Factorice cada polinomio:
a) 3x(a b) 5(a b)
b) 2x(ab) + 5(ba)
c) 12xy x + 5 15x2y x + 5 + 3xy2 x + 5

Prctica 6.1 pg. 235

FACTORIZACION POR AGRUPACION
Factorizacin de polinomios

Factorizacin por agrupacin
Tcnica que consiste en agrupar dos o ms
trminos del polinomio usando algn
criterio; por ejemplo, un criterio puede ser:
agrupar dos o ms trminos que tengan
algn factor comn.
Ejemplo:
bcacba 362
Note que entre los
primeros dos trminos hay
un factor de 2 en comn,
mientras que en los
ltimos dos hay un factor
de c en comn.

Factorizacin por agrupacin bcacba :Factorice 362

Factorizacin por agrupacin Ejemplo 2: Factorice 3a2 + 12a 2ab 8b

Factorizacin por agrupacin
Ejemplo 3: 4x 3y 12ax + 9ay

3x2 + 6x 5xy 10y
Factorice completamente

Prctica Ejercicios: Factorice completamente cada
polinomio.
1) y2 4y + 3yz 12z
2) ab c ac + b
3) 9ab + 9ac b c

Prctica
Soluciones:
1) y2 4y + 3yz 12z
= (y2 4y) + (3yz 12z)
= y (y 4) + 3z (y 4)
= (y 4)(y + 3z)
2) ab c ac + b
= (ab ac) + (b c)
= a(b c) + 1(b c)
= (b c)(a + 1)
3) 9ab + 9ac b c
=(9ab + 9ac) (b + c)
=9a(b + c) 1(b + c)
=(b + c) (9a 1)

EJEMPLOS ADICIONALES

Todo nmero natural compuesto puede
expresarse de forma nica como el
producto de nmeros primos
(excepto por el orden de los
factores).
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4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
Aritmtica
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
Page 54
Aritmtica
Aritmtica
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
Page 55
Cierto o falso?
Cierto o falso?
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
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Cierto o falso?
Cierto o falso?
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
Page 57
Ejercicio
Ejercicio
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
Page 58
Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
Page 59
Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
Page 61
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
Page 62
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
Page 63
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
Page 64
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
Page 65
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)
28
b)
496
c)
8,128
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)

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