ficha y ejercicios de funciones i mate 1

Universidad de Oriente Matemáticas I (008-1714) Ing. Adrianna B. Finol H.

Formulas

( x±b )2=x2±2bx+b2 x2−b2=( x−b ) ( x+b )

(ax ±b )2=(ax )2±2abx+b2=a2 x2±2abx+b2 x3−b3=( x−b ) (x2+bx+b2 )

n√ x−n√ y=( x− y )

n√xn−1+ n√ yxn−2+ n√ y2 xn−3+⋯+ n√xy n−2+ n√ yn−1

Infinito más un número

∞±k=∞

x3+b3= (x+b ) ( x2−bx+b2 )

Infinito más Infinito

∞+∞=∞

Infinito por Infinito

∞×∞=∞

Infinito menos Infinito

∞−∞=Ind

Infinito por cero

∞×0=Ind

Infinito por un número

∞× (±k )=±∞ si k≠0

Cero partido por un número

0k=0

Un número partido por Cero

k0=∞

Cero partido por Infinito

0∞

=0

Un número partido por Infinito

k∞

=0

Infinito partido por cero

∞0

=Ind

Infinito partido por Un número

∞k

=∞

Cero partido por Cero

00=Ind

Infinito partido por Infinito

∞∞

=Ind

Infinito elevado a cero

∞0=Ind .

Un número elevado a cero

k 0=1

Infinito elevado al infinito

∞∞=∞


Cero elevado a cero

00=Ind .

Cero elevado a un Número

ok={0 ;si k>0∞ ;si k<0

Un Número elevado a infinito

k∞={∞; si k>00 ;si k<0

Uno elevado al infinito

1∞=Ind

Cero elevado al infinito

∞∞=0Indeterminado = Ind

Para Recordar y nunca olvidar

ab×ac=ab+ c ab=a×

1b=1b×a

ab×a−c=ab−c ab±cd=a×d ±c×b

b×d

1

ac=a−c a

b± p=a

b±p1=a± p×b

b

ab

ac =ab×a−c=ab−c ab±cd±ef=a×d ±c×b

k

ab±cd±ef=a×

kb±c ×

kd±e×

kf

k

siendo k igual al productode los

comunes y nocomunes

con sumayor exponente

de los denominadores

Factor común

bap±c ap=(b±c )ap Desigualdades

n√a±b≠ n√a± n√b : (a±b )n≠ (a )n± (b )n

Radicales

n√a=a1n ; n√ap=( n√a ) p=(a p )

1n=a

p× 1n=a

pn

Radicales

n√a×b=(a×b )1n=(a

1n )(b

1n )


Ejercicios resueltos

1 Calcular el dominio de las funciones:

1. Función Polinómica Domf ( x )=∀ X∈R

2. Función Polinómica Domf ( x )=∀ X∈R


3.

Función Racional:

Se anula el denominador x+2=0→x=−2; Domf ( x )=∀ X∈R−{−2 }

4.

Función Racional:

Se anula el denominador x2−1=0→x2−1=( x−1 ) ( x+1 )=0

( x+1 )=0→x=−1

( x−1 )=0→x=1

Domf ( x )=∀ X∈R−{−1,1 }

5.

Función Racional: Se anula el denominador x2+1=0→x2=−1

∄ x∈R /x2=−1, es decir, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado de un

número negativo, por lo tanto no existe un número que haga cero el denominador,

por lo tanto, su dominio es todos los reales, Domf ( x )=∀ X∈R

6.

Función Racional:

Se anula el denominador x2+2x+1=0

a=1b=2c=1

→x=−b±√b2−4ac2a

; x=−2±√22−4×1×12×1

=−22

=−1


x2+2x+1= (x+1 )2=0 Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }

7. Función Racional:

Se anula el denominador x3+3x2+3 x+1=0

Factorizamos por ruffini

x3+3x2+3 x+1=0

1 3 3 1

-1 -1 -2 -1 x3+3x2+3 x+1=( x+1 ) (x+1 ) ( x+1 )=0

1 2 1 0 x3+3x2+3 x+1=( x+1 )3=0; despejamos

-1 -1 -1 ( x+1 )3=0→x+1=0→x=−1

1 1 0

Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }

8.Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )

Dominio: ∀ x∈R /h ( x )≥0

Resolvemos la inecuación x−2≥0; despejamos

x≥2→x∈ (2 ,+∞ )

Domf ( x )=∀ x∈ (2,+∞ )

9.Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )


Resolvemos la inecuación – x+2≥0; despejamos

−x≥−2→multiplicamos por−1enambos lados


x≤2→x∈ (−∞,2 )

Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 )

10.

Función Radical de potencia par: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k numero par )


Tenemos la inecuación x2−6 x+8≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación

x2−6 x+8=0


x2−6 x+8=0

1 -6 8 x2−6 x+8= ( x−2 ) (x−4 )=0

2 2 -8 ( x−2 )=0→x=2

1 -4 0 ( x−4 )=0→x=4

Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores ( x−2 ) ( x−4 )para determinar la

solución de la inecuación, mediante la rejilla.

Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada intervalo para determinar el signo de cada

factor.

Intervalos (−∞,2) (2 ,4) (4 ,+∞)

Valores de x x=0 x=3 x=5 Ahora el signo del

producto de los factores

nos da el dominio de f(x)

¿ ¿ ¿ ( x−2 )

¿ ¿ ¿ ( x−4 )

¿ ¿ ¿ ( x−2 ) ( x−4 )- 2 4 +

≥0 ¿0 ≥0

Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 ]∪¿


También podemos expresar el dominio en función de los que están afuera de esos intervalos

Domf ( x )=∀ x∈R−{∀ x∈ (2,4 ) }

11.



Tenemos la inecuación x2−6 x+8≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación


−x2+6 x−8=0

-1 +6 -8 −x2+6 x−8=( x−2 ) (−x+4 )=0

2 -2 8 ( x−2 )=0→x=2

-1 4 0 (−x+4 )=0→x=4

Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores ( x−2 ) (−x+4 )para determinar la

solución de la inecuación, mediante la rejilla.

Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada intervalo para determinar el signo de cada

factor.

Intervalos (−∞,2) (2 ,4) (4 ,+∞)

Valores de x x=0 x=3 x=5 Ahora el signo del

producto de los factores

nos da el dominio de f(x)

¿ ¿ ¿ ( x−2 )

¿ ¿ ¿ (−x+4 )

¿ ¿ ¿ ( x−2 ) (−x+4 )

- 2 4 +

¿0 ≥0 ¿0

Domf ( x )=∀ x∈ (−∞ ,2 ]∪¿


También podemos expresar el dominio en función de los que están afuera de esos intervalos

Domf ( x )=∀ x∈R−{∀ x∈ (2,4 ) }

12.



Tenemos la inecuación x2+4 x+4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación


x2+4 x+4=0

1 +4 +4 x2+4 x+4= (x+2 ) ( x+2 )=( x+2 )2=0

-2 -2 -4 Como es un factor cuadrático nunca será negativo

1 2 0 Por lo tanto el dominio son todos los reales

Domf ( x )=∀ x∈R

13.



Tenemos la inecuación x2+ x+4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación

x2+ x+4=0

a=1b=1c=4

→x=−b±√b2−4 ac2a

; x=−1±√12−4×1×42×1

=−1±√−152

∉ R

Noexisteunnúmero quehaga irreal la función por lo el dominio sontodos losreales

Domf ( x )=∀ X∈R


14.



Tenemos la inecuación −x2−x−4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación

−x2−4 x−4=0

-1 -4 -4 −x2−4 x−4=( x+2 ) (−x−2 )=− (x+2 )2=0

-2 2 4 Como es un factor cuadrático nunca será negativo

-1 -2 0 Por lo tanto el dominio no pertenece a los reales

Domf ( x )={∅ }

15.



Tenemos la inecuación −x2−x−4≥0; resolvemos la igualdad y luego la inecuación

x3−4 x2+3 x=0→x (x2−4 x+3 )=01 -4 3

1 1 -3 x3+3x2+3 x+1=x (x−1 ) ( x−3 )=0

1 -3 0 x=0

3 3 x−1=0→x=1

1 0 x−3=0→x=3


Ahora se busca el signo de la multiplicación de los factores x (x−1 ) ( x−3 )para determinar la

solución de la inecuación, mediante la rejilla. Se le da valores arbitrarios a x dentro de cada

intervalo para determinar el signo de cada factor.

Intervalos (−∞,0) (0,1) (1,3) (3 ,+∞)

Valores de x x= -1 x=0,5 x=2 x=4

¿ ¿ ¿ ¿ x

¿ ¿ ¿ ¿ ( x−1 )

¿ ¿ ¿ ¿ ( x−3 )

¿ ¿ ¿ ¿ x (x−1 ) ( x−3 )- 0 1 3 +

¿0 ≥0 ¿0 ≥0

Domf ( x )=∀ x∈ [0,1 ]∪¿

16.

Función Radical de potencia impar: f ( x )= n√h ( x ) ;(n=2k+1numeroimpar )

Dominio:∀ x /h (x )∈R, h(x) es una función racional

h ( x )=3 x+1x+1

Se anula el denominador x+1=0→x=−1; Domf ( x )=∀ X∈R−{−1 }

17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(−12 ,3) y B( 15 ,−16 )

Ecuación de la recta Punto Pendiente y− yo=m (x−x0 ); m=y2− y1x2−x1

Determinamos la pendiente de recta dados los puntos A(−12 ,3) y B( 15 ,−16 )


m=

−16

−3

15−(−12 )

=

−1−1862+510

=

−196710

→ m=−19042

=−9521

→ m=−9521

y− yo=m (x−x0 )→ y−3=−9521 (x−(−12 ))→ y−3=

−9521 ( x+ 12 )

y−3=−9521

x−9542

→y=−9521

x−9542

+3→y=−9521

x+−95+3×4242

y=−9521

x+ 3142

Ecuación de la Recta

18. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-4,2) y es paralelo al eje x

Al ser una recta paralela al eje x significa que su pendiente es igual a cero por lo tanto

utilizando la ecuación de la recta Punto Pendiente y− yo=m (x−x0 ) ;m=0y el punto

tendremos la ecuación.

y−2=0 (x−(−4 ) )→ y−2=0→ y=2

y=2 Ecuación de la Recta


19. Sea la recta Louna recta que pasa por los puntos Po y P1; siendo Po el punto de

intersección de las rectas L1 y L2, el P1tiene ordenada -5; se sabe que la recta Lo es

paralela a la recta L3; De acuerdo a los datos suministrados a continuación

determinar la abcisa de P1y la ecuación de la recta Lo.

Datos

Lo=?

P0∈Lo

P1∈ Lo ; P1 (? ,−5 )

Po=L1∩L2

L1:3 x−4 y=−21

L2:2 y−5x=0

L3: x−2 y=1 ; L0∥L3

Solución:

Debemos determinar el punto P0¿¿resolviendo el sistema de ecuaciones.

L1:3 x−4 y=−21(I)

L2:2 y−5x=0(II) multiplicamos por (2) y resolvemos el sistema de ecuaciones

(I) 3 x−4 y=−21

(II) 4 y−10 x=0

−7 x=−21→x=−21−7

→x=3

x=3 ; Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para conseguir y

Utilizamos la primera ecuación

3 x−4 y=−21→3×3−4 y=−21→−4 y=−21−9→−4 y=−30, →

y=−30−4

=152→P

o(3 , 152 )


Ahora nos faltará un punto para hallar la ecuación de Lo , que sería P1 (? ,−5 ) pero su abscisa

es desconocida, por lo tanto tomamos otro dato, que viene a ser la pendiente, que puede ser

calculada por la condición de paralelismo, como L0∥L3 entonces m0=m3

L3: x−2 y=1, buscamos dos puntos arbitrarios de L3para calcular la pendiente.

Para x = 0 → x−2 y=1 →0−2 y=1→ y= 1−2

→ y=−12

→A (0 ,−12 )

Para y = 0 → x−2 y=1 →x−2×0=1→x=1→B (1,0 )

m=0−(−12 )1−0

→

121→m3=

12

→ m0=m3=12→m0=

12

m0=12

; Po(3 , 152 ) → y− yo=m (x−x0 )→ y−152

=12

( x−3 )→ y−152

=12x−32

,

y=12x−32+152→ y=1

2x+ 122

L0 : y=12x+6 Ecuación de la recta L0

Ahora con la ecuación de la recta L0 podemos encontrar el valor de la abcisa del punto P1.

P1∈ Lo ; P1 (? ,−5 )L0 : y=12x+6→x1=? y y1=−5→ Sustituimos en L0

y=12x+6, sustituimos x → −5=

12x+6→ 1

2x=−5−6→x=−11

2

P1(−112 ,−5) Coordenadas del P1.

20. Sea la recta Louna recta que pasa por los puntos Po y P1; siendo Po el punto de

intersección de las rectas L1 y L2; se sabe que la recta Lo es perpendicular a la recta


L3; De acuerdo a los datos suministrados a continuación determinar las incógnita y

la ecuación de Lo.

Datos

Lo=?

P0∈Lo

P1∈ Lo ; P1 (2, ? )

Po=L1∩L2

L1:2 x−3 y=4

L2: x− y=3

L3: 3x−4 y=−2 ; L0⊥L3

Solución:

Debemos determinar el punto P0resolviendo el sistema de ecuaciones.

L1:2 x−3 y=4 (I)

L2: x− y=3 (II) multiplicamos por -2

(I) 2 x−3 y=4

(II) −2 x+2 y=−6

− y=−2

y=2 ; Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para conseguir x

Utilizamos la segunda ecuación original

x− y=3→x−2=3→x=3+2→x=5, → Po (5,2 )

Ahora nos faltará un punto para hallar la ecuación de Lo , que sería P1 (2, ? ) pero su abscisa es

desconocida, por lo tanto tomamos otro dato, que viene a ser la pendiente, que puede ser

calculada por la condición de perpendicularidad, como L0⊥L3 entonces m0×m3= -1

L3: 3x−4 y=−4 , buscamos dos puntos arbitrarios de L3para calcular la pendiente.

Para x = 0 → 3x−4 y=−4→0−4 y=−4→ y=−4−4

→ y=1→A (0,1 )

Para y = 0 → 3x−4 y=−4→3x−4×0=−4→x=−43

→B(−43 ,0)


m= 0−1−43

−0→

−1−43

→m3=34 → m0×m3=−1→m0×

34=−1→m0=

−43

m0=−43

; Po (5,2 ) → y− yo=m (x−x0 ) y−2=−43

( x−5 )→y−2=−43

x+ 203

,

y=−43

x+ 203

+2→ y=−4 x+20+63

L0 : y=−43

x+263

Ecuación de la recta L0


Ahora con la ecuación de la recta L0 podemos encontrar el valor de la ordenada del punto P1.

P1∈ Lo P1 (2, ? ) ; L0 : y=−43

x+263

→x1=2 y y1=?→ Sustituimos en L0

y=−43

x+ 263

, Sustituimos → y=−43

×2+263→ y=−8

3+ 263→ y=18

3=6

P1 (2,6 ) Coordenadas del P1.

ficha y ejercicios de funciones i mate 1

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