FACULTAD REGIONAL LA RIOJA

CURSO NIVELATORIO

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA

AÑO 2012

INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de este módulo, se persigue el propósito de aproximar a los estudiantes en el

conocimiento de los contenidos de la primera unidad de la asignatura Física correspondiente al

primer nivel de la especialidad.

Como los contenidos que integran esta etapa del curso, forman parte de la primera unidad del

programa de la asignatura homónima de la especialidad, los estudiantes que rindan y

aprueben este módulo, no deberán rendirlo durante el cursado de la carrera.

Dentro del objetivo formal de esta propuesta está el de fomentar la articulación entre el curso

de ingreso y la asignatura en si, a fin de motivar al estudiante a permanecer en nuestra

facultad.

“Yo creo que la verdad es perfecta para las matemáticas, la química, la filosofía, pero no

para la vida. En la vida, la ilusión, la imaginación, el deseo, la esperanza cuentan más.”

Ernesto Sábato (Físico y Escritor Argentino 1911-2011)

FISICA

Es una ciencia experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales y tratan de

encontrar los patrones y principios que los rigen. Dichos patrones se denominan “teorías

físicas”, y si están bien establecidos y se usan ampliamente, toman la denominación de “leyes

o principios físicos”, los que suelen expresarse en forma matemática, asi es posible explicar el

comportamiento de varios sistemas físicos y/o fenómenos mediante un número limitado de

leyes fundamentales. También, esta disciplina, se ocupa de los principios básicos del universo

y constituye el cimiento de otras ciencias, como la astronomía, la química y la geología;

además, en muchos campos de investigación, se manifiesta importante traslape

(superposición) entre la física, la química y la biología.

Ninguna teoría se considera como la verdad final o definitiva, siempre nuevas afirmaciones

podrán modificarlas o desecharlas. En efecto, los científicos continuamente trabajan para

mejorar la comprensión de las leyes fundamentales, y a diario se hacen nuevos

descubrimientos. Por otro lado, a su vez, hay numerosos avances tecnológicos recientes que

son el resultado de los esfuerzos cooperativos de muchos científicos, ingenieros y técnicos.

Algunos de los más notales son las misiones espaciales tripuladas y no tripuladas, los

microcircuitos, las computadoras de alta velocidad, sofisticadas técnicas de imágenes

empleadas en medicina, entre otros. Todos ellos hacen que se elaboren nuevas teorías y

afirmaciones que refutan, completan o modifican ya existentes. Lo importante de esto es el

importante impacto y beneficio que estos desarrollos han producido en la sociedad, y es

probable que descubrimientos del futuro sean emocionantes, de desafío y, también, de gran

beneficio para la humanidad.

CAMPO DE ESTUDIO

*MECÁNICA: Se ocupa de los efectos de las fuerzas sobre los objetos materiales.

*TERMODINÁMICA: Se ocupa del calor, la temperatura y el comportamiento de grandes

cantidades de partículas.

*ELECTROMAGNETISMO: Estudia los campos, las corrientes y los fenómenos eléctricos,

magnéticos y electromagnéticos.

*RELATIVIDAD: Teoría que describe el comportamiento de las partículas con cualquier rapidez

y que relaciona el espacio con el tiempo.

*MECÁNICA CUÁNTICA: TeorÍa que se ocupa del comportamiento de las partículas en el nivel

sub-microscópico y macroscópico.

El objetivo de la Física es proporcionar el entendimiento de la naturaleza y de los fenómenos

que ocurren en el medio que nos rodea, mediante el desarrollo de teorías basadas en

experimentos. Por ej.: el hecho de mantener un objeto cualquiera en mi mano y dejarlo de

sostener, éste invariablemente cae hacia el suelo,”es un fenómeno físico que se produce en

el medio que nos rodea”.

Ahora bien, cuáles son los pasos a seguir para estudiar los fenómenos?:

primero se observa el fenómeno,

luego se trata de encontrar las leyes, las razones que producen el mismo y que lo explican, y

por último se plantean las ecuaciones matemáticas que definen dicho fenómeno.

Entonces, según este último paso, la matemática se constituye desde esta perspectiva, en la

herramienta fundamental que va a permitir expresar el fenómeno en forma clara y precisa.

Esto indica que el estudio de la Física implica un conocimiento de la Matemática, de la cual se

sirve y la utiliza como instrumento para expresar, estudiar y resolver problemas que convocan

a contenidos involucrados en los fenómenos físicos.

Estos pasos, son los mismos que realizó Isaac Newton cuando estudió y formuló la ley de “la

fuerza de atracción existente entre dos cuerpos” (y se cumple siempre en el universo, por

ejemplo entre la Luna y nuestro planeta).

Lo que vamos a estudiar en este módulo, podría aparentar ser puramente matemático, y se ha

incorporado a las clases del curso de ingreso por ser esencial para el desarrollo y estudio de los

fenómenos físicos y desde ya consideramos que es muy importante para llegar a un

conocimiento de cualquier ingeniería.

MAGNITUDES FÌSICAS

Todo fenómeno físico tiene asociado lo que se denomina magnitud

Magnitud: es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente; en otras palabras, es

todo aquello, propiedades y/o atributos, susceptible a ser medible.

¿Para què sirven las magnitudes fìsicas?, sirven para traducir en números los resultados de las

observaciones, asì el lenguaje que se utiliza en la Fìsica será claro y preciso.

La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es

precisamente la medida.

Medir: es comparar una cantidad con otra, a la que se la toma como patrón o unidad. Por

ejemplo, si decimos que un auto tiene una longitud de 4,56 m, significa que es 4,56 veces más

largo que una varilla de un (1) metro, que por definición mide 1m de largo. Este valor es la

unidad de la cantidad.

El gran físico inglés Kelvin, consideraba que “solamente puede aceptarse como satisfactorio

nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante número”. Aún cuando la

afirmación de Kelvin tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas

de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo.

La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, son ejemplos de magnitudes físicas. La

belleza, en cambio, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una

escala y mocho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona, o

cualquier otra cosa, es más bella que otra. La sinceridad, la amabilidad, el cariño, el amor, la

blancura, tampoco son magnitudes. Estas se tratan de aspectos cualitativos o sentimientos,

pues indican cualidad y no cantidad.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Al analizar las magnitudes y cantidades que se encuentran en la Física se puede distinguir des

tipos de ellas: las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales.

Magnitudes escalares: son aquellas que están perfectamente definidas y determinadas con

sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad.

Magnitudes vectoriales: son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y

unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente

definida.

Otro ejemplo, para indicar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su

intensidad se debe indicar la dirección del movimiento y el sentido de ese movimiento en esa

dirección. Para representar las magnitudes vectoriales recurrimos a un elemento matemático,

el vector.

Vector: es todo segmento de recta orientado, determinado por dos puntos que reciben el

nombre de extremos. Se representa, generalmente, por una letra mayúscula o minúscula con

una flechita arriba. Los puntos en los que comienza y termina un vector se llaman origen y

extremo, respectivamente.

En otras palabras, se puede describir, representar y definir a un vector, diciendo que es un

ente matemático que posee módulo, sentido y dirección.

Desde un punto de vista matemático, se representa la magnitud vectorial con un segmento

orientado. Es decir, un segmento con el cual es posible asociarle un módulo mediante la

longitud del segmento, una dirección, ya que el segmento está incluido en una recta, por lo

cual tendrá uno de los dos posibles sentidos en esa recta, que se indica colocando una flecha

en su extremo final.

Como sucede con todo ente matemático (los números enteros, reales, etc.), la primera

preocupación, una vez aceptado este concepto como tal, es aprender a operar con él y

conocer las propiedades de dichas operaciones.

La importancia de la utilización de los vectores en la física radica, en que el planteo de vectorial

de cualquier ley física es más adecuado porque simplifica su expresión, facilita su operación y

da interpretación de resultados más clara y completa para su análisis. A tal punto esto es así,

que existen fenómenos que resultan de fácil interpretación gracias al auxilio de este concepto,

y que resultarían por demás complicado, sise tratase con otro tipo de magnitud...

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

La mayoría de las magnitudes físicas se pueden expresar y medir en términos de las llamadas

magnitudes fundamentales. La distancia o longitud, el tiempo, la masa, la temperatura, la

intensidad de corriente eléctrica son ejemplos de magnitudes físicas fundamentales. Las

demás, que se expresan en términos (o en función) de ellas, se llaman magnitudes derivadas.

Por ejemplo, la velocidad es la distancia que recorre un cuerpo, dividida en el tiempo que tarda

en recorrerla; el área de una superficie se expresa como el producto de las longitudes del

ancho y el largo, etc.

Magnitudes fundamentales: son aquellas que sirven para escribir las demás magnitudes. En

física, tres magnitudes fundamentales son suficientes: la longitud, la masa y el tiempo.

Magnitudes derivadas: son aquellas que están expresadas en función de las magnitudes

fundamentales.

SISTEMAS DEUNIDADES

Las mediciones exactas y confiables requieren unidades inmutables que puedan duplicarse en

distintos lugares. La necesidad de contar con una unidad homogénea para determinada

magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales. Cada nación emplea un sistema

de unidades.

En la Argentina, se adopto desde 1972, mediante ley Nº 19511 el Sistema Legal Argentino

(SIMELA)

Magnitudes fundamentales de SIMELA

Actividad con web: investigar acerca de unidades de longitud, masa y tiempo en una visita al

Internacional Bureau of Weights and Measures y al National Intitute of Standards and

Technology. Ver: http//www.bipm.fr y http://www.nist.gov/

Patrones de medidas

Según se mencionó anteriormente, cuando se mide se usa una cierta magnitud como unidad

de medida. A esta unidad se la denomina patrón de medida. Para que un patrón de medida

sea útil, es necesario que sea accesible. De esta manera, cualquier persona que quiera medir

una longitud puede usarlo y comparar el resultado obtenido con otros obtenidos, a su vez, por

otras personas. Otra característica que debe reunir un patrón de medida, es la de ser

invariante, de manera que siempre que se mida lo mismo, se obtenga el mismo resultado.

Cuando hay que compartir mundialmente resultados de mediciones, es importante establecer

acuerdos acerca de qué patrón de medida se va a utilizar. Esto es lo que ocurre en la

actualidad. La comunidad mundial adopto un sistema de medidas que se conoce como

Sistema Internacional (SI), que especifica cuáles son magnitudes fundamentales de las que

derivan todas las magnitudes de la física y define los patrones de medida de ellas.

Evolución de los sistemas de unidades

Hay evidencias de que, desde la Antigüedad, los pueblos se han preocupado por utilizar

patrones de medida y por diseñar instrumentos de medición. Por ejemplo, se sabe que desde

el año 3000 a.C., el cúbito o codo era la unidad de medición que utilizaban los egipcios y

correspondía a la medida de un brazo, del codo a la punta de los dedos extendidos. Esta

medida también la utilizaron durante muchos años otros pueblos del Mediterráneo y de Asia

Menor por la necesidad de llegar a acuerdos en las actividades comerciales.

En la Edad Media las unidades de medida provenientes del Imperio Romano rápidamente

fueron cambiando por otras que, además, eran diferentes según las regiones. Por lo general,

para los patrones de medida utilizados se tomaba como base la medida de alguna parte del

cuerpo o de algún artefacto común, como una vasija de cierta capacidad para medir el

volumen, o una piedra de tamaño y forma específicos para determinar el peso. Cuando el

comercio entre los pueblos de Europa se fue haciendo más frecuente, la necesidad de contar

con patrones comunes de medida se tornó más urgente.

Uno de los resultados más significativos de la Revolución Francesa fue el establecimiento de un

sistema decimal de pesos y medidas. En Francia se venía discutiendo este asunto desde 1670,

pero en 1790, después de la toma de la Bastilla, la Asamblea Nacional pidió a la Academia de

Ciencias, un informe al respecto. La Academia recomendó utilizar como patrón de longitud la

medida de una sección del meridiano terrestre que pasa por París, desde el Polo Norte hasta el

Ecuador, entre otros patrones. En 1795, Francia adoptó este sistema, que recibió el nombre de

Sistema Métrico Decimal. En 1799 se aprobó formalmente y se difundió como un sistema

«para toda la gente y para toda la vida».

Con el paso del tiempo, varios países lo fueron adoptando y su uso se difundió mundialmente.

Con el avance de la ciencia, se encontraron variaciones en las medidas de los patrones que se

pensaban válidos «para siempre». Esto, unido a la necesidad de incluir los desarrollos

tecnológicos y científicos del siglo XX, llevó a la comunidad internacional a reemplazar, en

1960, el sistema métrico, por el Sistema Internacional (SI), el cuál se usa actualmente en la

mayoría de los países del mundo.

Magnitudes fundamentales del SI

Magnitudes derivadas

Son magnitudes derivadas:

*Superficie: la unidad es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado de un metro (1m)

de lado.

*Volumen: el metro cúbico es la unidad que es el volumen de un cubo de un metro (1m) de

arista.

*Velocidad: su unidad es el metro por segundo (m/s), que es la velocidad de un cuerpo que,

con movimiento uniforme, recorre un metro en un segundo.

*Aceleración: tiene por unidad el metro por segundo al cuadrado (m/s), que es la aceleración

de un cuerpo en movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varia, 1m/s cada

segundo.

A continuación se indican otros ejemplos de magnitudes derivadas

MAGNITUD UNIDAD

NOMBRE SIMBOLO

Masa en volumen kilogramo por metro cúbico

Caudal en volumen metro cúbico por segundo

Caudal másico kilogramo por segundo

Velocidad angular radian por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo al cuadrado

Fuerza newton, o dina o kilogramo fuerza N, o dyn, o K

Energía: trabajo joule, o newton por metro J, o N.m

Carga eléctrica coulomb, o ampere por segundo C, o A.s

VECTORES

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Ccmo se explicó anteriormente un vector es un ente matemático definido como un segmento

de recta orientado, que queda perfectamente determinado cuando se le identifican sus

elementos: módulo, dirección y sentido. Ahora bien, para trabajar y poder referenciar desde

un punto de vista espacial, es necesario agregar un elemento más: el punto origen. Por lo

tanto la representación grafica correspondiente a un vector, sería:

Módulo: valor numérico de la magnitud representada, expresado en la longitud del vector,

según una escala establecida (por ejemplo, si se quiere graficar la magnitud vectorial fuerza de

12Kg, se puede indicar: Esc. 1cm : 3Kg, que significa que cada cm del dibujo, representa 3Kg de

fuerza. Igual, si se quiere graficar un desplazamiento se puede indicar: Esc. 1:100 que significa

que 1cm del dibujo representa 1m de la realidad)

Dirección: es la recta de acción donde está incluido el vector.

Sentido: es el indicado por la cabeza de la flecha.

Origen: es el punto de aplicación del vector.

Importante: se suele colocar sobre la letra que identifica al vector una flechita encima de ella;

o puede ser también representado con un carácter resaltado (en negrita), para diferenciarlo

de los escalares.

OPERACIONES CON VECTORES

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Igualdad de vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen el mismo módulo, la misma

dirección (es decir, que están incluidos en la misma recta o en rectas paralelas), y el mismo

sentido. Esta propiedad habilita poder trasladar al vector en posiciones paralelas a sí mismo,

sin afectarlo. Dos o más vectores que presenten esta característica se dice que son

equipolentes

Negativo u opuesto de un vector. El negativo (u opuesto), de un vector A se define como otro

vector, -A, de iguales módulo y dirección, pero de sentido opuesto al vector afectado al signo

menos. Por esta propiedad cundo se suman pares de vectores opuestos, le vector suma o

resultante es el vector nulo O.

Vector nulo. El vector nulo, y se lo designa O, es el que tiene módulo cero(0). Es decir, el

origen y extremo coinciden en un punto

Actividad con web: para conocer más sobre propiedades de vectores, ver

http://www.physics.uoguelph.ca./tutorials/vectors/vectors.html

SUMA VECTORIAL

Los métodos para realizar la suma de vectores se puede decir, según diagrama de arriba, son

dos: gráficos o geométricos y analíticos o algebraicos.

Métodos geométricos

Cuando se suman dos o más vectores, todos deben tener las mismas unidades. No tendría

sentido sumar un vector velocidad con un vector desplazamiento, porque son de distintas

magnitudes físicas. Lo mismo ocurre con la suma de magnitudes escalares. Por ejemplo, no

tiene sentido sumar temperaturas con volúmenes.

b

a

Para sumar geométricamente el vector b al vector a, se traza a partir de un punto O arbitrario,

el vector a haciéndolo coincidir con su punto origen y respetando su dirección. Luego se traza

un vector equipolente a b (esto es, un vector igual a b en una dirección paralela), a partir del

extremo del vector a, igual como indica la figura. El vector resultante o vector suma R= a+b, es

el vector trazado des de el origen del primer vector (el origen del vector a, en este caso), hasta

el extremo del último (o sea, para este caso, el extremo del vector b). Este método se lo

denomina método de la adición del triángulo, que cuando en la operación intervienen más de

dos vectores , por ejemplo cuatro vectores, los sumando se van ubicando uno a continuación

de de otro, respetando las consignas par la suma de dos vectores. El vector resultante R, en

estos casos, forma con los vectores sumando un polígono. Razón por la cual este método,

recibe e l nombre de método de la adición de la poligonal, que abarca e incluye al método

del triángulo (Recordar que un triángulo es un polígono de tres lados).

R = A + B + C + D C

D

B

A

En la figura se ilustró un procedimiento gráfico alternativo para sumar dos vectores, conocido

como el método de adición del paralelogramo. En esta construcción, los orígenes de los dos

vectores equipolentes a los vectores a y b, coinciden con el punto arbitrario O. El vector

resultante R es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores a y b.

Propiedades de la suma

Cuando se suman vectores no importa el orden, es decir la suma es independiente del orden

de la adición. Esto es, a+b= b+a, lo que se puede comprobar en las construcciones

geométricas. Se dice que la adición goza de la propiedad conmutativa.

Rt: resultante total del sistema de vectores

La adición de vectores también verifica la propiedad asociativa:

a+b= R1 Resultante parcial

R1+c=Rf Resultante final del sistema de vectores

Actividad con web: si se desea visualizar la suma de vectores, ver, preferentemente con

Internet Explorer: http://www.mcasco.cm/p1agva.html

RESTA DE VECTORES

Hay que tener presente que el signo menos (-) no tiene el mismo significado que en las

magnitudes escalares. En las vectoriales, significa: otro vector de igual módulo, igual dirección

pero sentido contrario al vector afectado al signo menos.

Sean los vectores a y b dos vectores como indica la figura:

El vector diferencia que se obtiene como resultante al restar el vector a menos el vector b, es

igual a la suma del vector a más el opuesto del vector b

R= a-b= a+(-b); si consideramos que (-b)= f, entonces, al remplazar tenemos:

R= a+f, con lo que la resta se ha transformado, operacionalmente, en una suma, cuyos

métodos de resolución ya vimos.

Gráficamente:

Así considerada la resta, es estudiada y solucionada como una suma.

SE REITERA, POR SER MUY IMPORTANTE!!!: una vez que se cambia el sentido del vector que

se resta, manteniendo su módulo y dirección, ese vector original desaparece, Y ¡NO SE LO

DEBE TENER EN CUENTA!.

La resta de vectores no es conmutativa, esto significa que no se cumple:

a-b= b-a

Demostración gráfica:

Acá se ve claramente que R1 y R2 tienen igual módulo y dirección, paro sentido contrario, lo

que físicamente se interpretaría como dos acciones distintas. Entonces R1 y R2 no son

vectores iguales.

Métodos analíticos

Componentes de un vector

Un método de sumar vectores consiste en sumar vectores empleando su proyecciones a lo

largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Estas proyecciones se llaman

componentes. Cualquier vector puede describirse mediante sus componentes.

Considérese un vector A en un sistema de coordenadas rectangulares, como se ve en la figura

Note que A se puede expresar como suma de de dos vectores, Ax, paralelo al eje x, y Ay

paralelo al eje y. Esto es: A = Ax +Ay

Donde Ax y Ay son vectores componentes de A. La proyección de A sobre el eje se xx´, Ax, se

llama componente x de A; la proyección de A sobre el eje yy’, Ay, se la denomina

componente y de A. Estas componentes pueden ser números positivos o negativos. Dichos

valores resultan de que las componentes x y y de un vector asocia el coseno del ángulo con la

componente x y el seno del ángulo con la componente y. Esto se debe al hecho de que se

escoge el ángulo que forma el vector con el eje xx´. Teniendo en cuenta las definiciones

trigonométricas de seno y coseno de un ángulo, resulta que las componentes del vector A son:

Estas componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa resulta ser

el módulo de A. O sea, la dirección y el módulo de A están relacionados con sus componentes

mediante el Teorema de Pitágoras y la definición de tangente de un ángulo:

Actividad con web: para un repaso de funciones trigonométricas y mediciones de ángulos,

ver: http://www.sosmath.com/trig/trig.htlml

Si se selecciona un sistema de coordenadas diferente al de la figura, las componentes del

vector deberán modificarse como corresponde. O sea, las componentes de un vector pueden

expresarse en cualquier sistema de coordenadas que sea cómodo para la situación.

Suma algebraica o analítica de vectores

Para sumar vectores algébrica mente y no en forma gráfica, se utiliza el siguiente

procedimiento. Primero, se calcula las componentes de todos los vectores sumandos en un

sistema de ejes perpendiculares. A continuación, se suman todas las componentes x para hallar

la componente X resultante. Luego calculamos las componentes y de todos los vectores

sumandos, para determinar el valor de la componente resultante Y. Como ambas

componentes resultantes son perpendiculares entre sí, se recurre al Teorema de Pitágoras

para determinar el módulo del vector suma, y la fórmula de la función trigonométrica

apropiada ( tangente de un ángulo), que relaciona las componentes del vector suma para

hallar el valor del ángulo que dicha resultante forma con el eje xx’ (parte positiva).

EJEMPLO

RESOLVER LA SIGUIENTE SITUACIÓN

Una excursionista inicia un viaje caminando primero 25Km al sureste de su campamento base.

El segundo día camina en dirección 60º al norte del este, en cuyo punto descubre la torre del

guardia forestal.

a) determinar gráficamente el desplazamiento tota l realizado por la excursionista en ambos

días. (Ayuda: graficar la situación en un sistema de ejes y elegir una escala cómoda).

b) determinar las componentes de los desplazamientos de la excursionista correspondiente al

primer y al segundo día

c) calcular el módulo y determinar la dirección del desplazamiento total: R= a+b

PRODUCTO DE VECTORES

Producto de un vector por un escalar

Dado un escalar “n” y un vector a. La resultante, de multiplicar el vector a por el número n, es

el vector que se obtiene al sumar al vector a, n veces. La dirección es la misma que la del

vector factor, el sentido puede variar dependiendo del signo del escalar y su módulo

dependerá del valor de n, si es mayor o menor que 1(uno)

(1) a.n= R ; módulo: /a/.n= /R/

(2) a.(-n)= -R; módulo: /a/. (n)= /R/

Producto escalar entre vectores

Dos vectores que se multipliquen en forma escalar, da como resultado un escalar. Se lo llama

también producto punto. Multiplicar en forma escalar dos vectores no es otra cosa que

proyectar uno de los vectores sobre la dirección del otro. Por definición, el producto escalar de

dos vectores “es el producto de sus módulos por el coseno del menor ángulo que ambos

vectores forman”.

a.b=/a/./b/.cos@

b.a= /b/./a/.cos@ Estas dos expresiones indican que es conmutativo

/a/ : módulo de vector a

/b/: módulo de vector b

@:menor ángulo que forman los dos vectores

Sea el escalar –n y el vector a (2)

Sea el escalar n y el vector a (1)

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores a y b, da como resultado otro vector c,

tal que, su módulo es igual al producto de los módulos de los vectores factores ( a y b en este

caso),por el seno del menor ángulo formados por ambos vectores.

En símbolo: c= axb tal que /c/= /a/./b/.sen@

Donde:

@: menor ángulo formado por los vectores a y b;

/c/: módulo de vector c

/a/: módulo de vector a

/b/: módulo de vector b

Como el resultado es un vectorial, se debe definir también, la dirección y sentido. Para

averiguar tales elementos, se considera que los vectores factores se encuentran en un mismo

plano, determinado por las rectas que constituyen sus direcciones (Recordar que en geometría

todo plano queda determinado por dos rectas que se cortan en un punto). La dirección del

vector resultante, es la perpendicular a dicho plano, que pasa por el punto de intersección de

las direcciones de los dos vectores.

Para determinar es sentido, es importante, primero, aclarar que el producto vectorial no es

conmutativo y se cumple que: c= axb y c’= bxa donde c= -c’

El sentido se define de dos maneras:

*Con la regla de la mano derecha; o

*Con la regla del tirabuzón o del destornillador

Si se considera el producto axb, en ese orden, se coloca la mano derecha de costado sobre el

plano que contiene a los vectores, y haciendo girar la punta de los dedos en el sentido horario

(de a hacia b barriendo el ángulo @ ) hacia la palma de la mano, el dedo pulgar extendido es

el que indica la dirección y el sentido (hacia adentro, en este caso según el dibujo)) de la

resultante. También se puede decir que es como si se estuviera enroscando un tornillo en el

plano que contiene a los vectores que se multiplican.

Análogamente para el caso del producto vectorial bxa, en ese orden, el sentido es inverso, es

decir, que al hacer girar la mano de manera tal que la punta de los dedos giren en sentido anti

horario (desde el vector b hacia el vector a, barriendo el ángulo en el sentido inverso al del

caso anterior), buscando la palma de la mano, el dedo pulgar extendido, indica la dirección del

vector resultante y el sentido (hacia arriba). En este caso se considera que se está

desenroscando un tornillo, o sea, que el tornillo sale, es decir, que el sentido es hacia arriba.