FACULTAD REGIONAL LA RIOJA
CURSO NIVELATORIO
INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA
AÑO 2012
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de este módulo, se persigue el propósito de aproximar a los estudiantes en el
conocimiento de los contenidos de la primera unidad de la asignatura Física correspondiente al
primer nivel de la especialidad.
Como los contenidos que integran esta etapa del curso, forman parte de la primera unidad del
programa de la asignatura homónima de la especialidad, los estudiantes que rindan y
aprueben este módulo, no deberán rendirlo durante el cursado de la carrera.
Dentro del objetivo formal de esta propuesta está el de fomentar la articulación entre el curso
de ingreso y la asignatura en si, a fin de motivar al estudiante a permanecer en nuestra
facultad.
“Yo creo que la verdad es perfecta para las matemáticas, la química, la filosofía, pero no
para la vida. En la vida, la ilusión, la imaginación, el deseo, la esperanza cuentan más.”
Ernesto Sábato (Físico y Escritor Argentino 1911-2011)
FISICA
Es una ciencia experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales y tratan de
encontrar los patrones y principios que los rigen. Dichos patrones se denominan “teorías
físicas”, y si están bien establecidos y se usan ampliamente, toman la denominación de “leyes
o principios físicos”, los que suelen expresarse en forma matemática, asi es posible explicar el
comportamiento de varios sistemas físicos y/o fenómenos mediante un número limitado de
leyes fundamentales. También, esta disciplina, se ocupa de los principios básicos del universo
y constituye el cimiento de otras ciencias, como la astronomía, la química y la geología;
además, en muchos campos de investigación, se manifiesta importante traslape
(superposición) entre la física, la química y la biología.
Ninguna teoría se considera como la verdad final o definitiva, siempre nuevas afirmaciones
podrán modificarlas o desecharlas. En efecto, los científicos continuamente trabajan para
mejorar la comprensión de las leyes fundamentales, y a diario se hacen nuevos
descubrimientos. Por otro lado, a su vez, hay numerosos avances tecnológicos recientes que
son el resultado de los esfuerzos cooperativos de muchos científicos, ingenieros y técnicos.
Algunos de los más notales son las misiones espaciales tripuladas y no tripuladas, los
microcircuitos, las computadoras de alta velocidad, sofisticadas técnicas de imágenes
empleadas en medicina, entre otros. Todos ellos hacen que se elaboren nuevas teorías y
afirmaciones que refutan, completan o modifican ya existentes. Lo importante de esto es el
importante impacto y beneficio que estos desarrollos han producido en la sociedad, y es
probable que descubrimientos del futuro sean emocionantes, de desafío y, también, de gran
beneficio para la humanidad.
CAMPO DE ESTUDIO
*MECÁNICA: Se ocupa de los efectos de las fuerzas sobre los objetos materiales.
*TERMODINÁMICA: Se ocupa del calor, la temperatura y el comportamiento de grandes
cantidades de partículas.
*ELECTROMAGNETISMO: Estudia los campos, las corrientes y los fenómenos eléctricos,
magnéticos y electromagnéticos.
*RELATIVIDAD: Teoría que describe el comportamiento de las partículas con cualquier rapidez
y que relaciona el espacio con el tiempo.
*MECÁNICA CUÁNTICA: TeorÍa que se ocupa del comportamiento de las partículas en el nivel
sub-microscópico y macroscópico.
El objetivo de la Física es proporcionar el entendimiento de la naturaleza y de los fenómenos
que ocurren en el medio que nos rodea, mediante el desarrollo de teorías basadas en
experimentos. Por ej.: el hecho de mantener un objeto cualquiera en mi mano y dejarlo de
sostener, éste invariablemente cae hacia el suelo,”es un fenómeno físico que se produce en
el medio que nos rodea”.
Ahora bien, cuáles son los pasos a seguir para estudiar los fenómenos?:
primero se observa el fenómeno,
luego se trata de encontrar las leyes, las razones que producen el mismo y que lo explican, y
por último se plantean las ecuaciones matemáticas que definen dicho fenómeno.
Entonces, según este último paso, la matemática se constituye desde esta perspectiva, en la
herramienta fundamental que va a permitir expresar el fenómeno en forma clara y precisa.
Esto indica que el estudio de la Física implica un conocimiento de la Matemática, de la cual se
sirve y la utiliza como instrumento para expresar, estudiar y resolver problemas que convocan
a contenidos involucrados en los fenómenos físicos.
Estos pasos, son los mismos que realizó Isaac Newton cuando estudió y formuló la ley de “la
fuerza de atracción existente entre dos cuerpos” (y se cumple siempre en el universo, por
ejemplo entre la Luna y nuestro planeta).
Lo que vamos a estudiar en este módulo, podría aparentar ser puramente matemático, y se ha
incorporado a las clases del curso de ingreso por ser esencial para el desarrollo y estudio de los
fenómenos físicos y desde ya consideramos que es muy importante para llegar a un
conocimiento de cualquier ingeniería.
MAGNITUDES FÌSICAS
Todo fenómeno físico tiene asociado lo que se denomina magnitud
Magnitud: es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente; en otras palabras, es
todo aquello, propiedades y/o atributos, susceptible a ser medible.
¿Para què sirven las magnitudes fìsicas?, sirven para traducir en números los resultados de las
observaciones, asì el lenguaje que se utiliza en la Fìsica será claro y preciso.
La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es
precisamente la medida.
Medir: es comparar una cantidad con otra, a la que se la toma como patrón o unidad. Por
ejemplo, si decimos que un auto tiene una longitud de 4,56 m, significa que es 4,56 veces más
largo que una varilla de un (1) metro, que por definición mide 1m de largo. Este valor es la
unidad de la cantidad.
El gran físico inglés Kelvin, consideraba que “solamente puede aceptarse como satisfactorio
nuestro conocimiento si somos capaces de expresarlo mediante número”. Aún cuando la
afirmación de Kelvin tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas
de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo.
La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, son ejemplos de magnitudes físicas. La
belleza, en cambio, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una
escala y mocho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona, o
cualquier otra cosa, es más bella que otra. La sinceridad, la amabilidad, el cariño, el amor, la
blancura, tampoco son magnitudes. Estas se tratan de aspectos cualitativos o sentimientos,
pues indican cualidad y no cantidad.
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Al analizar las magnitudes y cantidades que se encuentran en la Física se puede distinguir des
tipos de ellas: las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales.
Magnitudes escalares: son aquellas que están perfectamente definidas y determinadas con
sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad.
Magnitudes vectoriales: son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y
unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente
definida.
Otro ejemplo, para indicar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su
intensidad se debe indicar la dirección del movimiento y el sentido de ese movimiento en esa
dirección. Para representar las magnitudes vectoriales recurrimos a un elemento matemático,
el vector.
Vector: es todo segmento de recta orientado, determinado por dos puntos que reciben el
nombre de extremos. Se representa, generalmente, por una letra mayúscula o minúscula con
una flechita arriba. Los puntos en los que comienza y termina un vector se llaman origen y
extremo, respectivamente.
En otras palabras, se puede describir, representar y definir a un vector, diciendo que es un
ente matemático que posee módulo, sentido y dirección.
Desde un punto de vista matemático, se representa la magnitud vectorial con un segmento
orientado. Es decir, un segmento con el cual es posible asociarle un módulo mediante la
longitud del segmento, una dirección, ya que el segmento está incluido en una recta, por lo
cual tendrá uno de los dos posibles sentidos en esa recta, que se indica colocando una flecha
en su extremo final.
Como sucede con todo ente matemático (los números enteros, reales, etc.), la primera
preocupación, una vez aceptado este concepto como tal, es aprender a operar con él y
conocer las propiedades de dichas operaciones.
La importancia de la utilización de los vectores en la física radica, en que el planteo de vectorial
de cualquier ley física es más adecuado porque simplifica su expresión, facilita su operación y
da interpretación de resultados más clara y completa para su análisis. A tal punto esto es así,
que existen fenómenos que resultan de fácil interpretación gracias al auxilio de este concepto,
y que resultarían por demás complicado, sise tratase con otro tipo de magnitud...
MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS
La mayoría de las magnitudes físicas se pueden expresar y medir en términos de las llamadas
magnitudes fundamentales. La distancia o longitud, el tiempo, la masa, la temperatura, la
intensidad de corriente eléctrica son ejemplos de magnitudes físicas fundamentales. Las
demás, que se expresan en términos (o en función) de ellas, se llaman magnitudes derivadas.
Por ejemplo, la velocidad es la distancia que recorre un cuerpo, dividida en el tiempo que tarda
en recorrerla; el área de una superficie se expresa como el producto de las longitudes del
ancho y el largo, etc.
Magnitudes fundamentales: son aquellas que sirven para escribir las demás magnitudes. En
física, tres magnitudes fundamentales son suficientes: la longitud, la masa y el tiempo.
Magnitudes derivadas: son aquellas que están expresadas en función de las magnitudes
fundamentales.
SISTEMAS DEUNIDADES
Las mediciones exactas y confiables requieren unidades inmutables que puedan duplicarse en
distintos lugares. La necesidad de contar con una unidad homogénea para determinada
magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales. Cada nación emplea un sistema
de unidades.
En la Argentina, se adopto desde 1972, mediante ley Nº 19511 el Sistema Legal Argentino
(SIMELA)
Magnitudes fundamentales de SIMELA
Actividad con web: investigar acerca de unidades de longitud, masa y tiempo en una visita al
Internacional Bureau of Weights and Measures y al National Intitute of Standards and
Technology. Ver: http//www.bipm.fr y http://www.nist.gov/
Patrones de medidas
Según se mencionó anteriormente, cuando se mide se usa una cierta magnitud como unidad
de medida. A esta unidad se la denomina patrón de medida. Para que un patrón de medida
sea útil, es necesario que sea accesible. De esta manera, cualquier persona que quiera medir
una longitud puede usarlo y comparar el resultado obtenido con otros obtenidos, a su vez, por
otras personas. Otra característica que debe reunir un patrón de medida, es la de ser
invariante, de manera que siempre que se mida lo mismo, se obtenga el mismo resultado.
Cuando hay que compartir mundialmente resultados de mediciones, es importante establecer
acuerdos acerca de qué patrón de medida se va a utilizar. Esto es lo que ocurre en la
actualidad. La comunidad mundial adopto un sistema de medidas que se conoce como
Sistema Internacional (SI), que especifica cuáles son magnitudes fundamentales de las que
derivan todas las magnitudes de la física y define los patrones de medida de ellas.
Evolución de los sistemas de unidades
Hay evidencias de que, desde la Antigüedad, los pueblos se han preocupado por utilizar
patrones de medida y por diseñar instrumentos de medición. Por ejemplo, se sabe que desde
el año 3000 a.C., el cúbito o codo era la unidad de medición que utilizaban los egipcios y
correspondía a la medida de un brazo, del codo a la punta de los dedos extendidos. Esta
medida también la utilizaron durante muchos años otros pueblos del Mediterráneo y de Asia
Menor por la necesidad de llegar a acuerdos en las actividades comerciales.
En la Edad Media las unidades de medida provenientes del Imperio Romano rápidamente
fueron cambiando por otras que, además, eran diferentes según las regiones. Por lo general,
para los patrones de medida utilizados se tomaba como base la medida de alguna parte del
cuerpo o de algún artefacto común, como una vasija de cierta capacidad para medir el
volumen, o una piedra de tamaño y forma específicos para determinar el peso. Cuando el
comercio entre los pueblos de Europa se fue haciendo más frecuente, la necesidad de contar
con patrones comunes de medida se tornó más urgente.
Uno de los resultados más significativos de la Revolución Francesa fue el establecimiento de un
sistema decimal de pesos y medidas. En Francia se venía discutiendo este asunto desde 1670,
pero en 1790, después de la toma de la Bastilla, la Asamblea Nacional pidió a la Academia de
Ciencias, un informe al respecto. La Academia recomendó utilizar como patrón de longitud la
medida de una sección del meridiano terrestre que pasa por París, desde el Polo Norte hasta el
Ecuador, entre otros patrones. En 1795, Francia adoptó este sistema, que recibió el nombre de
Sistema Métrico Decimal. En 1799 se aprobó formalmente y se difundió como un sistema
«para toda la gente y para toda la vida».
Con el paso del tiempo, varios países lo fueron adoptando y su uso se difundió mundialmente.
Con el avance de la ciencia, se encontraron variaciones en las medidas de los patrones que se
pensaban válidos «para siempre». Esto, unido a la necesidad de incluir los desarrollos
tecnológicos y científicos del siglo XX, llevó a la comunidad internacional a reemplazar, en
1960, el sistema métrico, por el Sistema Internacional (SI), el cuál se usa actualmente en la
mayoría de los países del mundo.
Magnitudes fundamentales del SI
Magnitudes derivadas
Son magnitudes derivadas:
*Superficie: la unidad es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado de un metro (1m)
de lado.
*Volumen: el metro cúbico es la unidad que es el volumen de un cubo de un metro (1m) de
arista.
*Velocidad: su unidad es el metro por segundo (m/s), que es la velocidad de un cuerpo que,
con movimiento uniforme, recorre un metro en un segundo.
*Aceleración: tiene por unidad el metro por segundo al cuadrado (m/s), que es la aceleración
de un cuerpo en movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varia, 1m/s cada
segundo.
A continuación se indican otros ejemplos de magnitudes derivadas
MAGNITUD UNIDAD
NOMBRE SIMBOLO
Masa en volumen kilogramo por metro cúbico
Caudal en volumen metro cúbico por segundo
Caudal másico kilogramo por segundo
Velocidad angular radian por segundo rad/s
Aceleración angular radián por segundo al cuadrado
Fuerza newton, o dina o kilogramo fuerza N, o dyn, o K
Energía: trabajo joule, o newton por metro J, o N.m
Carga eléctrica coulomb, o ampere por segundo C, o A.s
VECTORES
ELEMENTOS DE UN VECTOR
Ccmo se explicó anteriormente un vector es un ente matemático definido como un segmento
de recta orientado, que queda perfectamente determinado cuando se le identifican sus
elementos: módulo, dirección y sentido. Ahora bien, para trabajar y poder referenciar desde
un punto de vista espacial, es necesario agregar un elemento más: el punto origen. Por lo
tanto la representación grafica correspondiente a un vector, sería:
Módulo: valor numérico de la magnitud representada, expresado en la longitud del vector,
según una escala establecida (por ejemplo, si se quiere graficar la magnitud vectorial fuerza de
12Kg, se puede indicar: Esc. 1cm : 3Kg, que significa que cada cm del dibujo, representa 3Kg de
fuerza. Igual, si se quiere graficar un desplazamiento se puede indicar: Esc. 1:100 que significa
que 1cm del dibujo representa 1m de la realidad)
Dirección: es la recta de acción donde está incluido el vector.
Sentido: es el indicado por la cabeza de la flecha.
Origen: es el punto de aplicación del vector.
Importante: se suele colocar sobre la letra que identifica al vector una flechita encima de ella;
o puede ser también representado con un carácter resaltado (en negrita), para diferenciarlo
de los escalares.
OPERACIONES CON VECTORES
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Igualdad de vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen el mismo módulo, la misma
dirección (es decir, que están incluidos en la misma recta o en rectas paralelas), y el mismo
sentido. Esta propiedad habilita poder trasladar al vector en posiciones paralelas a sí mismo,
sin afectarlo. Dos o más vectores que presenten esta característica se dice que son
equipolentes
Negativo u opuesto de un vector. El negativo (u opuesto), de un vector A se define como otro
vector, -A, de iguales módulo y dirección, pero de sentido opuesto al vector afectado al signo
menos. Por esta propiedad cundo se suman pares de vectores opuestos, le vector suma o
resultante es el vector nulo O.
Vector nulo. El vector nulo, y se lo designa O, es el que tiene módulo cero(0). Es decir, el
origen y extremo coinciden en un punto
Actividad con web: para conocer más sobre propiedades de vectores, ver
http://www.physics.uoguelph.ca./tutorials/vectors/vectors.html
SUMA VECTORIAL
Los métodos para realizar la suma de vectores se puede decir, según diagrama de arriba, son
dos: gráficos o geométricos y analíticos o algebraicos.
Métodos geométricos
Cuando se suman dos o más vectores, todos deben tener las mismas unidades. No tendría
sentido sumar un vector velocidad con un vector desplazamiento, porque son de distintas
magnitudes físicas. Lo mismo ocurre con la suma de magnitudes escalares. Por ejemplo, no
tiene sentido sumar temperaturas con volúmenes.
b
a
Para sumar geométricamente el vector b al vector a, se traza a partir de un punto O arbitrario,
el vector a haciéndolo coincidir con su punto origen y respetando su dirección. Luego se traza
un vector equipolente a b (esto es, un vector igual a b en una dirección paralela), a partir del
extremo del vector a, igual como indica la figura. El vector resultante o vector suma R= a+b, es
el vector trazado des de el origen del primer vector (el origen del vector a, en este caso), hasta
el extremo del último (o sea, para este caso, el extremo del vector b). Este método se lo
denomina método de la adición del triángulo, que cuando en la operación intervienen más de
dos vectores , por ejemplo cuatro vectores, los sumando se van ubicando uno a continuación
de de otro, respetando las consignas par la suma de dos vectores. El vector resultante R, en
estos casos, forma con los vectores sumando un polígono. Razón por la cual este método,
recibe e l nombre de método de la adición de la poligonal, que abarca e incluye al método
del triángulo (Recordar que un triángulo es un polígono de tres lados).
R = A + B + C + D C
D
B
A
En la figura se ilustró un procedimiento gráfico alternativo para sumar dos vectores, conocido
como el método de adición del paralelogramo. En esta construcción, los orígenes de los dos
vectores equipolentes a los vectores a y b, coinciden con el punto arbitrario O. El vector
resultante R es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores a y b.
Propiedades de la suma
Cuando se suman vectores no importa el orden, es decir la suma es independiente del orden
de la adición. Esto es, a+b= b+a, lo que se puede comprobar en las construcciones
geométricas. Se dice que la adición goza de la propiedad conmutativa.
Rt: resultante total del sistema de vectores
La adición de vectores también verifica la propiedad asociativa:
a+b= R1 Resultante parcial
R1+c=Rf Resultante final del sistema de vectores
Actividad con web: si se desea visualizar la suma de vectores, ver, preferentemente con
Internet Explorer: http://www.mcasco.cm/p1agva.html
RESTA DE VECTORES
Hay que tener presente que el signo menos (-) no tiene el mismo significado que en las
magnitudes escalares. En las vectoriales, significa: otro vector de igual módulo, igual dirección
pero sentido contrario al vector afectado al signo menos.
Sean los vectores a y b dos vectores como indica la figura:
El vector diferencia que se obtiene como resultante al restar el vector a menos el vector b, es
igual a la suma del vector a más el opuesto del vector b
R= a-b= a+(-b); si consideramos que (-b)= f, entonces, al remplazar tenemos:
R= a+f, con lo que la resta se ha transformado, operacionalmente, en una suma, cuyos
métodos de resolución ya vimos.
Gráficamente:
Así considerada la resta, es estudiada y solucionada como una suma.
SE REITERA, POR SER MUY IMPORTANTE!!!: una vez que se cambia el sentido del vector que
se resta, manteniendo su módulo y dirección, ese vector original desaparece, Y ¡NO SE LO
DEBE TENER EN CUENTA!.
La resta de vectores no es conmutativa, esto significa que no se cumple:
a-b= b-a
Demostración gráfica:
Acá se ve claramente que R1 y R2 tienen igual módulo y dirección, paro sentido contrario, lo
que físicamente se interpretaría como dos acciones distintas. Entonces R1 y R2 no son
vectores iguales.
Métodos analíticos
Componentes de un vector
Un método de sumar vectores consiste en sumar vectores empleando su proyecciones a lo
largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Estas proyecciones se llaman
componentes. Cualquier vector puede describirse mediante sus componentes.
Considérese un vector A en un sistema de coordenadas rectangulares, como se ve en la figura
Note que A se puede expresar como suma de de dos vectores, Ax, paralelo al eje x, y Ay
paralelo al eje y. Esto es: A = Ax +Ay
Donde Ax y Ay son vectores componentes de A. La proyección de A sobre el eje se xx´, Ax, se
llama componente x de A; la proyección de A sobre el eje yy’, Ay, se la denomina
componente y de A. Estas componentes pueden ser números positivos o negativos. Dichos
valores resultan de que las componentes x y y de un vector asocia el coseno del ángulo con la
componente x y el seno del ángulo con la componente y. Esto se debe al hecho de que se
escoge el ángulo que forma el vector con el eje xx´. Teniendo en cuenta las definiciones
trigonométricas de seno y coseno de un ángulo, resulta que las componentes del vector A son:
Estas componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa resulta ser
el módulo de A. O sea, la dirección y el módulo de A están relacionados con sus componentes
mediante el Teorema de Pitágoras y la definición de tangente de un ángulo:
Actividad con web: para un repaso de funciones trigonométricas y mediciones de ángulos,
ver: http://www.sosmath.com/trig/trig.htlml
Si se selecciona un sistema de coordenadas diferente al de la figura, las componentes del
vector deberán modificarse como corresponde. O sea, las componentes de un vector pueden
expresarse en cualquier sistema de coordenadas que sea cómodo para la situación.
Suma algebraica o analítica de vectores
Para sumar vectores algébrica mente y no en forma gráfica, se utiliza el siguiente
procedimiento. Primero, se calcula las componentes de todos los vectores sumandos en un
sistema de ejes perpendiculares. A continuación, se suman todas las componentes x para hallar
la componente X resultante. Luego calculamos las componentes y de todos los vectores
sumandos, para determinar el valor de la componente resultante Y. Como ambas
componentes resultantes son perpendiculares entre sí, se recurre al Teorema de Pitágoras
para determinar el módulo del vector suma, y la fórmula de la función trigonométrica
apropiada ( tangente de un ángulo), que relaciona las componentes del vector suma para
hallar el valor del ángulo que dicha resultante forma con el eje xx’ (parte positiva).
EJEMPLO
RESOLVER LA SIGUIENTE SITUACIÓN
Una excursionista inicia un viaje caminando primero 25Km al sureste de su campamento base.
El segundo día camina en dirección 60º al norte del este, en cuyo punto descubre la torre del
guardia forestal.
a) determinar gráficamente el desplazamiento tota l realizado por la excursionista en ambos
días. (Ayuda: graficar la situación en un sistema de ejes y elegir una escala cómoda).
b) determinar las componentes de los desplazamientos de la excursionista correspondiente al
primer y al segundo día
c) calcular el módulo y determinar la dirección del desplazamiento total: R= a+b
PRODUCTO DE VECTORES
Producto de un vector por un escalar
Dado un escalar “n” y un vector a. La resultante, de multiplicar el vector a por el número n, es
el vector que se obtiene al sumar al vector a, n veces. La dirección es la misma que la del
vector factor, el sentido puede variar dependiendo del signo del escalar y su módulo
dependerá del valor de n, si es mayor o menor que 1(uno)
(1) a.n= R ; módulo: /a/.n= /R/
(2) a.(-n)= -R; módulo: /a/. (n)= /R/
Producto escalar entre vectores
Dos vectores que se multipliquen en forma escalar, da como resultado un escalar. Se lo llama
también producto punto. Multiplicar en forma escalar dos vectores no es otra cosa que
proyectar uno de los vectores sobre la dirección del otro. Por definición, el producto escalar de
dos vectores “es el producto de sus módulos por el coseno del menor ángulo que ambos
vectores forman”.
a.b=/a/./b/.cos@
b.a= /b/./a/.cos@ Estas dos expresiones indican que es conmutativo
/a/ : módulo de vector a
/b/: módulo de vector b
@:menor ángulo que forman los dos vectores
Sea el escalar –n y el vector a (2)
Sea el escalar n y el vector a (1)
Producto vectorial de dos vectores
El producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores a y b, da como resultado otro vector c,
tal que, su módulo es igual al producto de los módulos de los vectores factores ( a y b en este
caso),por el seno del menor ángulo formados por ambos vectores.
En símbolo: c= axb tal que /c/= /a/./b/.sen@
Donde:
@: menor ángulo formado por los vectores a y b;
/c/: módulo de vector c
/a/: módulo de vector a
/b/: módulo de vector b
Como el resultado es un vectorial, se debe definir también, la dirección y sentido. Para
averiguar tales elementos, se considera que los vectores factores se encuentran en un mismo
plano, determinado por las rectas que constituyen sus direcciones (Recordar que en geometría
todo plano queda determinado por dos rectas que se cortan en un punto). La dirección del
vector resultante, es la perpendicular a dicho plano, que pasa por el punto de intersección de
las direcciones de los dos vectores.
Para determinar es sentido, es importante, primero, aclarar que el producto vectorial no es
conmutativo y se cumple que: c= axb y c’= bxa donde c= -c’
El sentido se define de dos maneras:
*Con la regla de la mano derecha; o
*Con la regla del tirabuzón o del destornillador
Si se considera el producto axb, en ese orden, se coloca la mano derecha de costado sobre el
plano que contiene a los vectores, y haciendo girar la punta de los dedos en el sentido horario
(de a hacia b barriendo el ángulo @ ) hacia la palma de la mano, el dedo pulgar extendido es
el que indica la dirección y el sentido (hacia adentro, en este caso según el dibujo)) de la
resultante. También se puede decir que es como si se estuviera enroscando un tornillo en el
plano que contiene a los vectores que se multiplican.
Análogamente para el caso del producto vectorial bxa, en ese orden, el sentido es inverso, es
decir, que al hacer girar la mano de manera tal que la punta de los dedos giren en sentido anti
horario (desde el vector b hacia el vector a, barriendo el ángulo en el sentido inverso al del
caso anterior), buscando la palma de la mano, el dedo pulgar extendido, indica la dirección del
vector resultante y el sentido (hacia arriba). En este caso se considera que se está
desenroscando un tornillo, o sea, que el tornillo sale, es decir, que el sentido es hacia arriba.