facultad de ciencias exactas, ingenierÍa y …

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

INSTITUTO DE MECÁNICA APLICADA Y ESTRUCTURAS (IMAE)

ANÁLISIS DINÁMICO

DE ESTRUCTURAS Dr. Ing. OSCAR MÖLLER

Año 2007

III

ÍNDICE CAPÍTULO 1 ACCIONES DINÁMICAS ………….............................................. 1 1.1 Introducción ……………………………………………................................. 1 1.2 Tipos de cargas dinámicas ……………………………………...................... 2 1.3 Características del problema dinámico ……………………………………... 3

CAPÍTULO 2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD …………………… 5 2.1 Ecuación de movimiento …………………………………………………….. 5 2.2 Respuesta a vibraciones libres ……………………………………………… 7 2.2.1 Solución de la ecuación de movimiento ………………………………… 7 2.2.2 Vibraciones libres no amortiguadas ……………………………………… 8 2.2.3 Vibraciones libres amortiguadas ………………………………………… 10 2.3 Respuesta a vibraciones forzadas ………….................................................. 15 2.3.1 Carga armónica ………………………………………………………….... 15 2.3.1.1 Solución de la ecuación de movimiento ……....................................... 15 2.3.1.2 Resonancia ……................................................................................... 18 2.3.1.3 Dispositivos para medir aceleraciones y desplazamientos ……............ 20 2.3.1.4 Aislamiento frente a vibraciones ……................................................... 21 2.3.2 Carga periódica ……………………………………………………............ 25 2.3.2.1 Expresión de la carga en serie de Fourier ……..................................... 25 2.3.2.2 Respuesta a la carga desarrollada en serie de Fourier ……................... 26 2.3.2.3 Forma exponencial de la solución en serie de Fourier ……................... 26 2.3.3 Carga dinámica genérica …………………................................................. 28 2.3.3.1 Primer procedimiento: respuesta en el dominio del tiempo ……........... 28 2.3.3.2 Segundo procedimiento: respuesta en el dominio de las frecuencias … 33

CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD ……... 37 3.1 Ecuación de movimiento …………………………………………………….. 37 3.2 Vibraciones libres no amortiguadas ………………………………………... 37 3.2.1 Análisis de frecuencias de vibración …………………………………… 37 3.2.2 Análisis de las formas de modos de vibración …………………………… 39 3.2.3 Condiciones de ortogonalidad de los modos naturales de vibración …….. 42 3.2.4 Normalización de los modos naturales de vibración ……........................... 43 3.2.5 Independencia lineal de los modos naturales de vibración ……................... 44 3.2.6 Métodos para calcular autovalores y autovectores ……............................. 45 3.2.7 Método de Rayleigh ……............................................................................ 48

IV

3.3 Vibraciones forzadas ………………………………………........................... 53 3.3.1 Método de superposición modal …………………………………….......... 53 3.3.1.1 Coordenadas normales ……................................................................. 53 3.3.1.2 Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas no amortiguados 55 3.3.1.3 Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas amortiguados .... 56 3.3.1.4 Condiciones de ortogonalidad en sistemas amortiguados .................... 57 3.3.1.5 Resumen del método de superposición modal ...................................... 61 3.3.2 Integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a paso ……….... 66 3.3.2.1 Generalidades ……................................................................................ 66 3.3.2.2 Método de la aceleración lineal ............................................................. 67 3.3.2.3 Método de Newmark ............................................................................ 69

REFERENCIAS .............................................................................................................. 75

ACCIONES DINÁMICAS 1

CAPÍTULO 1

ACCIONES DINÁMICAS

1.1. INTRODUCCIÓN

El objetivo fundamental de este curso es presentar métodos de análisis dirigidos al cálculo de los desplazamientos y esfuerzos que tienen lugar en las estructuras cuando están sometidas a cargas dinámicas.

Se entiende por carga dinámica a cualquier carga cuya magnitud, dirección o posición varíen con el tiempo. Entonces la respuesta de la estructura, es decir sus desplazamientos y esfuerzos, también serán variables con el tiempo.

Vale decir que en el análisis dinámico, a diferencia del estático, no se busca la respuesta de la estructura a la carga dada, sino la historia de la respuesta a la carga dinámica, a lo largo de un intervalo de tiempo dado. Se pone así de manifiesto la mayor complejidad que adquiere el problema, por la simple aparición de la variable tiempo.

Por otra parte en las ecuaciones de equilibrio, ahora “ecuaciones de equilibrio dinámico”, además de las cargas y las reacciones elásticas, asociadas con las características de rigidez de la estructura, que son las fuerzas con las que trata el cálculo estático, intervienen otras dos categorías de fuerzas: las fuerzas de inercia, proporcionales a las masas presentes en la estructura y las fuerzas que amortiguan el movimiento, ligadas a la capacidad de disipación de energía de la estructura.

Aparece entonces el caso estático como un caso particular, en el cual las cargas son aplicadas lenta y progresivamente sobre la estructura, de modo que las aceleraciones de las partículas, y en consecuencia las correspondientes fuerzas de inercia, resultan despreciables y dichas cargas pueden considerarse, en todo instante, resistidas por las fuerzas elásticas originadas por el cambio de forma.

2 CAPÍTULO 1 Oscar Möller

1.2. TIPOS DE CARGAS DINÁMICAS

Casi cualquier tipo de sistema estructural estará solicitado a alguna forma de carga dinámica durante su vida útil. Desde un punto de vista analítico, es conveniente clasificarlas en dos categorías básicas: periódicas y no periódicas.

Algunas situaciones típicas se muestran en la fig.1.1. Como se indica en la fig.1.1.a y b, cargas periódicas son cargas repetitivas las cuales tienen la misma variación en el tiempo sucesivamente para un gran número de ciclos.

La carga periódica más simple es la variación sinusoidal, fig.1.1.a, la cual se denomina armónica simple. Tales cargas son originadas por la existencia de masas excéntricas no balanceadas en mecanismos rotacionales. Otras formas de cargas periódicas son causadas, por ejemplo, por presiones hidrodinámicas generadas por el propulsor en la popa de un barco, ver fig.1.1.b, o por efectos inerciales en máquinas de movimiento alternativo, frecuentemente más complejas. Sin embargo, mediante análisis de Fourier cualquier carga periódica puede ser representada como la suma de una serie de componentes armónicas simples. Así, en principio, el análisis de la respuesta a cualquier carga periódica seguirá el mismo procedimiento general.

Figura 1.1: Características y fuentes de cargas dinámicas típicas (a) armónica simple; (b) complejas; (c) impulsiva; (d) larga duración

Periódicas

Máquina rotativa sobre estructura

Fuerzas de propulsión en la popa de un barco

( a )

( b )

No periódicas

Explosión de una bomba sobre edificio

Terremoto sobre tanque de agua

( c )

( d )

ACCIONES DINÁMICAS 3

Entre las cargas no periódicas se distinguen las cargas impulsivas o de corta duración y las de larga duración de forma genérica. Un ejemplo típico de las primeras lo constituyen las cargas originadas por un impacto o por una explosión. Por otra parte un movimiento sísmico puede dar lugar a una carga dinámica genérica de larga duración.

Desde otro punto de vista también se clasifica a las cargas dinámicas en: cargas prescriptas y cargas aleatorias.

Para las primeras la ley de variación con el tiempo es perfectamente conocida y el análisis de la respuesta de un sistema estructural frente a una carga de este tipo se conoce como análisis determinístico.

Para las segundas la ley de variación con el tiempo no está completamente determinada y sólo pueden ser definidas estadísticamente. El análisis estructural correspondiente a este tipo de carga es conocido como análisis no determinístico.

En este curso se tratarán sólo las cargas dinámicas prescriptas.

1.3. CARACTERÍSTICAS DEL PROBLEMA DINÁMICO

Un problema de dinámica estructural difiere de su equivalente estático en dos aspectos importantes

a) Está presente la variable tiempo. Como la carga y la respuesta estructural varían con el tiempo, no existe una única solución como en el problema estático, sino que existirá una sucesión de soluciones correspondientes a cada tiempo dentro del intervalo en que se quiere analizar el problema.

b) Si un elemento estructural está sometido a una carga estática P, los desplazamientos y esfuerzos internos se pueden establecer en base a principios de equilibrio de la fuerza P. Ahora, si el elemento está sujeto a la acción de una carga dinámica P(t), la variación de los desplazamientos con el tiempo está asociados con aceleraciones que a su vez originan fuerzas de inercia. Luego, los esfuerzos internos deben equilibrar no sólo la carga aplicada P(t) sino también a las fuerzas de inercia resultantes de las aceleraciones que experimenta el elemento, ver fig.1.2. Las fuerzas de inercia que se oponen a las aceleraciones configuran la característica más importante del problema dinámico.

Figura 1.2: Acciones estáticas y dinámicas

P P(t)

FI(t)


En general, si representan una fracción importante de las cargas totales a ser equilibradas por los esfuerzos internos, las características dinámicas del problema deben ser tenidas en cuenta.

Si los movimientos de la estructura son lentos, de forma tal que las fuerzas de inercia son despreciables por ser una fracción pequeña de las cargas totales, el problema se puede analizar con los procedimientos del análisis estático de estructuras, aún en el caso en que las cargas, y por consiguiente la respuesta, sean variables con el tiempo.

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 5

CAPÍTULO 2

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

2.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

Se comienza por el caso más simple que son los sistemas de un grado de libertad, es decir aquellos cuya posición queda determinada por un único parámetro o coordenada, dependiente del tiempo.

Para estos sistemas la ecuación del movimiento, o de equilibrio dinámico, resulta:

)()()()( **** tptZktZctZm =++ &&& (2.1)

donde Z(t) es el parámetro o coordenada generalizada que se ha elegido para definir la posición del sistema. El punto indica derivada con respecto al tiempo t.

)(,,, **** tpkcm son respectivamente, la masa, el amortiguamiento, la rigidez y la carga generalizada, del sistema en correspondencia con la coordenada generalizada Z(t).

Ejemplo 2.1 En la siguiente figura se observa un sistema de un grado de libertad compuesto por dos barras articuladas entre si. Las barras se consideran rígidas y con masa despreciable.

Figura 2.1: Sistema de un grado de libertad generalizado

K1 θ ( t )

M1 M2 K2 C2 C1 a a a a a a

∆ ( t )

P1( t )P2( t )


Se elige a θ (t) como coordenada generalizada. La correspondiente ecuación del equilibrio dinámico se puede plantear aplicando el principio de los Trabajos Virtuales y resulta:

03.2.22

22.33

0

212

12121

=++⋅−

⋅−⋅−−⋅−⋅−

=

δθδθδθθ

δθθδθθδθθδθθδθθ

aPaPaaM

aaMaaCaaCaaKK

Te

&&

&&&& (2.2)

Reordenando y eliminando la variación virtual δθ por ser arbitraria, se obtiene

( ) ( ) ( ) 2122

12

22

12

22

1 32449 aPaPMaMaCaCaKaK +=+++++ θθθ &&& (2.3)

Luego, en este caso resulta:

)(3)(2)(,9

4,4

21*

22

1*

22

12*

22

12*

taPtaPtpKaKk

CaCacMaMam

+=+=

+=+= (2.4)

Se puede entonces decir que la masa, el amortiguamiento, la rigidez y la carga generalizada son las magnitudes mediante las cuales respectivamente, las masas, las características de amortiguamiento, las características elásticas y las cargas del sistema, intervienen en la ecuación de equilibrio dinámico.

Estas magnitudes dependen o están en correspondencia con la coordenada generalizada elegida.

Así usando en el ejemplo ∆(t) como coordenada generalizada, se comprueba que:

)()(

32)(,

91

94

91,

94

91

21*

212*

21*

21*

tPtPtpKKa

k

CCcMMm

+=+=

+=+= (2.5)

Se considera ahora el sistema simple masa-resorte con amortiguamiento que se indica en la fig.2.2. También se representa el diagrama de cuerpo libre de la masa

Figura 2.2: Sistema de un grado de libertad

)(tv

)(tP)(tP

)(tvkf S =

)(tvcf D &=m

c

Diagrama de cuerpo libre

k

)(tvmf I &&=


La ecuación de equilibrio dinámico resulta

)()()()( tPtftftf SDI =++ (2.6)

donde )()( tvmtf I &&−= es la fuerza de inercia (principio de D´Alembert), con m masa del sistema; )()( tvctf D &= es la fuerza de amortiguamiento supuesta como viscosa, es decir proporcional a la velocidad, con parámetro c ; )()( tvktf S = es la fuerza en el “resorte” que representa la resistencia interna y asumiendo comportamiento elástico lineal con constante de rigidez k ; )(tP es la fuerza externa; )(),(),( tvtvtv &&& son el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Resulta:

)()()()( tPtvktvctvm =++ &&& (2.7)

De ahora en adelante resultará más conveniente utilizar la ecuación (2.7) y visualizar la respuesta del sistema simple de la fig.2.2, pero teniendo siempre presente que los resultados serán aplicables a la respuesta, en coordenadas generalizadas, de cualquier sistema complejo de un grado de libertad.

2.2. RESPUESTA A VIBRACIONES LIBRES 2.2.1. Solución de la ecuación de movimiento

Se entiende por vibración libre al movimiento del sistema que tiene lugar sin fuerza exterior aplicada. En el sistema de la fig.2.2 la vibración libre puede tener su origen en la supresión brusca de una fuerza que lo había apartado de su posición de equilibrio estático. Como se verá, estas vibraciones son sólo transitorias, vale decir que desaparecen en poco tiempo, a causa del amortiguamiento.

Para el caso de las vibraciones libres, la ec.(2.7) toma la forma homogénea:

0)()()( =++ tvktvctvm &&& (2.8)

La solución de la ecuación (2.8) es de la forma:

tseGtv =)( (2.9)

Reemplazando en la ecuación (2.8), resulta:

0)( 2 =++ tseGkscsm (2.10)

Dividiendo por tseGm e introduciendo la notación

mk

=2ω (2.11)

se obtiene

022 =++ ωsmcs (2.12)


El valor de s que puede despejarse de esta ecuación depende del valor de c, en consecuencia el movimiento del sistema representado por la ecuación (2.9) dependerá del amortiguamiento presente.

2.2.2. Vibraciones libres no amortiguadas

En este caso ideal, al ser c = 0, de la ecuación (2.12) se obtiene:

ωis ±= (2.13)

Luego, teniendo en cuenta (2.9), la solución resulta:

titi eGeGtv ωω −+= 21)( (2.14)

Introduciendo las ecuaciones de Euler:

)()cos( tsenite ti ωωω ±=± (2.15)

La solución puede escribirse :

)cos()()( tBtsenAtv ωω += (2.16)

Las constantes A y B pueden expresarse en función de las denominadas condiciones iniciales, el desplazamiento )0(v y la velocidad )0(v& para el instante 0=t .

Se obtiene: )0()0( vByvA ==ω&

.

Entonces la ecuación (2.16), resulta:

)cos()0()()0()( tvtsenvtv ωωω

+=&

(2.17)

En la fig.2.3 se representa la solución encontrada, donde ω es la denominada frecuencia circular o velocidad angular del movimiento, ya que la respuesta también queda representada por la suma de las proyecciones horizontales de dos vectores que rotan con velocidad angular ω, como se observa en la fig2.4.

Figura 2.3: Respuesta de vibración libre no amortiguada

ωπ2

=T

ρ

ωθ

)0(varctg &

)0(v


La frecuencia cíclica, o simplemente frecuencia es

πω2

=f (2.18)

y su recíproco de denomina periodo

ωπ21

==f

T (2.19)

Figura 2.4: Representación de la vibración libre por rotación de vectores

En consecuencia la respuesta también puede escribirse bajo la forma:

)cos()( θωρ −= ttv (2.20)

Donde la amplitud del movimiento está dada por la resultante:

[ ]2

2 )0()0( ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=ω

ρ vv&

(2.21)

y el ángulo de fase, que es el ángulo en el cual la amplitud del movimiento aparece en la respuesta atrasada con respecto al término cosenoidal, resulta:

)0(

)0(v

varctgω

θ&

= (2.22)

Ejemplo 2.2

Una viga simplemente apoyada de 4m de luz, constituida por un perfil normal I14, soporta en su punto medio un peso P = 10 KN. Calcular el período, despreciando la masa de la viga.

Solución:

Siendo δ la flecha de una viga simplemente apoyada que soporta una carga concentrada en su punto medio, luego la rigidez k resulta

ω

tω

tω

θ

ρ

)0(v

ω)0(v&


3

3 4848 L

EIkEI

PL=→=δ

Además, la masa es: gPm =

Reemplazando en (2.11) se obtiene: 33.8851000.4

81.910573101.248483

88

32 =

⋅⋅⋅⋅

==−

PLgEI

ω

Resulta: seg175.29=ω y reemplazando en (2.19): .21.0 segT =

Si la viga es empotrada en sus extremos la rigidez se cuadriplica y el período se reduce a la mitad.

2.2.3. Vibraciones libres amortiguadas

Cuando el amortiguamiento está presente en el sistema, la solución de la ecuación (2.12) que define la respuesta, es:

22

22ω−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±−=

mc

mcs (2.23)

Se pueden distinguir tres tipos de movimientos de acuerdo con el signo de la cantidad subradical. Se analiza primero el caso límite, en el cual dicha cantidad se anula, el cuál se conoce como “amortiguamiento crítico”.

a) Amortiguamiento crítico

Igualando a cero la cantidad subradical de (2.23), el valor del amortiguamiento crítico resulta:

ωmcc 2= (2.24)

y por otra parte:

ω−=−=m

cs c

2 (2.25)

Por tratarse de una raíz doble, la solución (2.9) toma la forma:

tetGGtv ω−+= )()( 21 (2.26)

Finalmente aplicando las condiciones iniciales se obtiene la respuesta correspondiente al caso de amortiguamiento crítico:

[ ] tetvtvtv ωω −++= )0()1()0()( & (2.27)

La representación gráfica se muestra en la fig.2.5.


Figura 2.5: Respuesta a vibración libre con amortiguamiento crítico

Se observa que la respuesta a vibración libre de un sistema con amortiguamiento crítico no incluye oscilaciones alrededor de la posición de desplazamiento nulo, sino que el desplazamiento retorna a cero de acuerdo con el factor exponencial negativo de (2.27).

Una definición útil de la condición de amortiguamiento crítico es que es el menor amortiguamiento para el cual no se presentan oscilaciones en la respuesta libre. Es decir que el sistema retorna a la posición de equilibrio sin vibrar y en el menor tiempo posible.

Con este tipo de amortiguamiento se construyen máquinas, cañones, etc., donde se quiere que el elemento no vibre y rápidamente vuelva a su posición de equilibrio.

b) Amortiguamiento subcrítico

Si el amortiguamiento es menor que el crítico, de acuerdo con (2.24) deberá ser c < 2 m ω y en consecuencia el subradical de la ecuación (2.23) debe ser negativo.

En este caso resulta conveniente definir la relación de amortiguamiento:

ω

ξmc

cc

c 2== (2.28)

Introduciendo esta relación en (2.23), resulta:

Dis ωωξωωξωξ ±−=−±−= 22)( (2.29)

donde ωD es la frecuencia circular del sistema amortiguado

21 ξωω −=D (2.30)

La fig.2.6 representa ωD / ω vs. ξ y como se deduce de (2.30) se trata de una circunferencia de radio unidad.

En general en los sistemas estructurales típicos es ξ < 20%, como se observa en la tabla 2.1. Es decir que la amortiguación subcrítica corresponde al caso más frecuente en el campo de las estructuras y además, según surge de (2.30), siendo ξ < 20%, resulta que ωD difiere poco de la frecuencia circular no amortiguada ω.

)0(v

)0(varctg &


Figura 2.6: Relación entre frecuencia amortiguada y relación de amortiguamiento

Tabla 2.1: Relaciones de amortiguamiento típicas

Tipo de estructura ξ

Tuberías sin conexiones 0.5 – 1 %

Puentes de hormigón armado 2 – 3 %

Edificios de hormigón armado 5 – 20 %

Reemplazando (2.29) en (2.9) se obtiene la respuesta de vibraciones libres de un sistema subamortiguado.

( )tDitDittDittDit eGeGeeGeGtv ωωωξωωξωωξ −−−−+− +=+= 2121)( (2.31)

Aplicando las ecuaciones de Euler: )sin()cos( tite ti ωωω ±=± , la solución anterior puede escribirse:

( ))cos()sin()( tBtAetv DDt ωωωξ += − (2.32)

Finalmente evaluando las constantes, a partir de las condiciones iniciales )0(,)0( vv & , resulta:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= − )cos()0()sin()0()0()( tvtvvetv DD

D

t ωωω

ωξωξ & (2.33)

De manera análoga a la vista para vibraciones libres no amortiguadas, esta respuesta puede ser escrita a partir de la proyección horizontal de un vector que rota con velocidad angular ωD , resulta:

)cos()( θωρ ωξ −= − tetv Dt (2.34)

donde:

ωωD

ξ

1

10


[ ]

)0()0()0(

)0()0()0( 21

22

vvvarctg

vvv

D

D

ωωξθ

ωωξρ

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

&

&

(2.35)

Ha quedado verificado que ωD es la frecuencia circular o velocidad angular del sistema amortiguado.

El vector giratorio correspondiente a la ecuación (2.34) es equivalente al de la fig.2.4 excepto que la longitud del vector disminuye exponencialmente con el tiempo.

En la fig.2.7 se representa la respuesta de un sistema subamortiguado con desplazamiento inicial v(0) y velocidad inicial nula, es decir liberando la masa a partir de una cierta posición desplazada, con respecto a la posición de reposo.

Figura 2.7: Respuesta a vibración libre de sistema subamortiguado

De acuerdo con (2.34) se observa que cada vez que )cos( θω −tD se hace igual a ±1, la curva representativa de la respuesta es tangente a una de las envolventes te ωξρ −± . Esta cantidad se denomina amplitud de oscilación.

Puede verse que los puntos de tangencia no coinciden exactamente con los puntos de la curva que representan posiciones extremas de la masa vibratoria. Además el cociente entre el ángulo de fase y la frecuencia circular θ / ωD, determina el intervalo de tiempo entre el instante inicial t = 0 y el del primer punto de tangencia con las envolventes te ωξρ −± .

Las verdaderas características de amortiguamiento de los sistemas estructurales típicos son muy complejas y difíciles de definir. Resulta común en la práctica expresar el amortiguamiento de tales sistemas reales en términos de relaciones de amortiguamiento viscoso ξ equivalentes, es decir para las cuales se produzca una respuesta amortiguada similar en vibraciones libres.

Se puede calcular ξ a partir de los resultados de un ensayo de vibración libre. De la fig.2.7 considerando dos puntos de tangencia consecutivos, se obtiene:

)0(v

DDT

ωπ2

=

Dωθ

te ωξρ −

te ωξρ −−


D

n

n

Dnt

nn

ntnn

evv

etvv

etvv

ωωξπ

ωπωξ

ωξ

ρ

ρ

2

1

2

11 )(

)(

=

==

==

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++

−

(2.36)

Se define como “decremento logarítmico” a:

Dn

n

vv

ωωξπδ 2ln

1==

+

(2.37)

y de acuerdo a (2.30) resulta

21

2

ξ

ξπδ

−= (2.38)

Para amortiguamiento reducido (2.38) puede expresarse aproximadamente por

πδξπξδ2

2 ≅→≅ (2.39)

para estos casos, como alternativa, puede considerarse el desarrollo en serie de la última ecuación de (2.36)

L+++=≅=+ !2

)2(212

2

1

ξπξπξπδ eevv

n

n (2.40)

y tratándose de valores bajos de ξ, se retienen sólo los dos primeros términos, de donde resulta:

1

1

2 +

+−≅

n

nn

vvv

πξ (2.41)

Para sistemas muy poco amortiguados se consigue una mejor precisión en la evaluación de ξ considerando puntos de tangencia separados varios ciclos entre sí. Llamando m al número de dichos ciclos, se tendrá:

Dmn

n mvv

ωωξπ2ln =

+

(2.42)

Expresión que puede reemplazarse por la siguiente expresión simplificada:

mn

mnn

vmvv

+

+−=

πξ

2 (2.43)

c) Amortiguamiento hipercrítico

En este caso es ξ >1 y la ecuación (2.12) puede ser escrita:


ωωξξωωξ ˆ12 ±−=−±−=s (2.44)

donde:

1ˆ 2 −= ξωω (2.45)

Reemplazando en (2.9), se puede expresar la respuesta bajo la forma:

( )tChBtShAetv t )ˆ()ˆ()( ωωωξ += − (2.46)

Las constantes A y B deben calcularse a partir de las condiciones iniciales.

De acuerdo con (2.46) se concluye que la respuesta de un sistema con amortiguamiento hipercrítico no es oscilatoria. Es similar a la de los sistemas con amortiguación crítica, representada en la fig.2.5, pero el retorno a la posición de equilibrio estático se hace más lento a medida que la relación de amortiguación crece.

En general no se encuentran sistemas estructurales con amortiguamiento hipercrítico. Se aplica en retardadores, donde se quiere que el impacto de parada sea mínimo (puertas, etc.).

2.3. RESPUESTA A VIBRACIONES FORZADAS 2.3.1. Carga armónica 2.3.1.1. Solución de la ecuación de movimiento

El sistema está sujeto ahora a la acción de una carga armónica de amplitud p0 y frecuencia circular ω . En este caso la ecuación del movimiento resulta:

)sin()()()( 0 tptvktvctvm ω=++ &&& (2.47)

Dividiendo por m y observando que c / m = 2 ξ ω, resulta:

)sin()()(2)( 02 tmp

tvtvtv ωωωξ =++ &&& (2.48)

La solución de la ecuación homogénea correspondiente es la respuesta de vibraciones libres amortiguadas dada por la ecuación (2.32), suponiendo que la estructura es subamortiguada, como ocurre en general en la práctica

( ))cos()sin()( tBtAetv DDt

c ωωωξ += − (2.49)

La solución particular, para carga armónica, es de la forma

)cos()sin()( 21 tGtGtvP ωω += (2.50)

Sustituyendo a ésta en (2.48) y separando los términos en )sin( tω de los términos en )cos( tω , resulta:


[ ][ ] 0)cos()2(

)()sin()2(

221

22

0212

21

=+−−

=+−−

tGGG

tsenmp

tGGG

ωωωξωω

ωωωωξωω (2.51)

A partir de éstas, dividiendo por ω2, reagrupando términos y eliminando las expresiones trigonométricas, se obtiene:

0)2()1(

)2()1(

12

2

02

21

=+−

=−−

βξβ

βξβ

GGkp

GG (2.52)

Donde β representa el cociente entre la frecuencia de la carga aplicada y la frecuencia natural de la vibración libre no amortiguada

ωωβ = (2.53)

Resolviendo las ecuaciones (2.52), se obtiene

2220

2

222

20

1

)2()1(2

)2()1(1

βξββξ

βξββ

+−−

=

+−−

=

kp

G

kp

G (2.54)

Introduciendo estas expresiones en la solución particular (2.50) y combinando con la solución complementaria (2.49), resulta finalmente la solución general

( )

[ ])cos(2)sin()1()2()1(

1)cos()sin()(

2222

0 ttkp

tBtAetv DDt

ωβξωββξβ

ωωωξ

−−+−

++= −

(2.55)

El primer término de (2.55) representa la respuesta transitoria a la carga aplicada. Las constantes A y B pueden calcularse a partir de las condiciones iniciales, pero éste término pierde valor rápidamente y es de poco interés, en consecuencia no se considerará su cálculo.

El segundo término en la ecuación (2.55) es la respuesta en estado de régimen, con la frecuencia de la carga aplicada pero desfasada con respecto a ésta. Se puede interpretar como la suma de las proyecciones horizontales de los vectores representados en la fig.2.8.

La resultante ρ de los dos vectores representa la amplitud de la respuesta en estado de régimen

[ ] 21

2220 )2()1(−

+−= βξβρkp

(2.56)

y el ángulo de fase θ según el cual la respuesta aparece atrasada con respecto a la carga aplicada, resulta

212ββξθ

−= arctg (2.57)


Figura 2.8: Respuesta de desplazamientos en estado de régimen

En consecuencia la respuesta en estado de régimen puede expresarse:

)sin()( θωρ −= ttv (2.58)

El cociente entre la amplitud de esta respuesta y el desplazamiento estático que provocaría la carga aplicada p0, es el denominado “factor de amplificación dinámica”:

[ ] 21

222

0)2()1(

−+−=≡ βξβρ

kp

D (2.59)

Se observa que el factor de amplificación dinámica varía con la relación de frecuencias β y la relación de amortiguamiento ξ, y cuya representación gráfica se muestra en la fig.2.9.

Figura 2.9: Variación del factor de amplificación dinámica con la frecuencia y el amortiguamiento

tω tω

θρ

2220

)2()1(2

βξββξ+−k

p

222

20

)2()1(1

βξββ+−

−kp

0=ξ

2.0=ξ

5.0=ξ

7.0=ξ

1=ξ


2.3.1.2. Resonancia

En la fig.2.9 se observa que, para sistemas débilmente amortiguados, el pico de la respuesta en estado de régimen tiene lugar para una relación de frecuencias cercana a la unidad.

La condición en la cual la relación de frecuencias vale uno, es decir cuando la frecuencia de la carga aplicada es igual a la frecuencia natural de la vibración libre no amortiguada, se denomina “resonancia”.

A partir de la ecuación (2.59) se deduce que para la resonancia, β = 1, el factor de amplificación es inversamente proporcional a la relación de amortiguamiento:

ξβ 2

11 ==D (2.60)

en la cual se observa que la respuesta en estado de régimen de un sistema no amortiguado tiende a infinito.

El valor del factor de amplificación dado en (2.60) no corresponde exactamente al máximo. Este puede calcularse derivando (2.59) con respecto a β e igualando a cero. Entonces para las estructuras que se presentan en la práctica, con relación de amortiguamiento 2/1<ξ , la relación de frecuencias correspondiente al factor de amplificación máximo resulta:

221 ξβ −=pico (2.61)

y el valor máximo:

212

1

ξξ −=máxD (2.62)

Para valores corrientes de la relación de amortiguamiento ξ, la diferencia entre los resultados de (2.62) y (2.60) es despreciable.

Para analizar en forma más completa la respuesta en condiciones de resonancia es necesario considerar la solución general (2.55) que incluye tanto los términos del estado de régimen como los transitorios. Bajo condiciones de resonancia, β = 1, dicha ecuación resulta

( )ξω

ωωωξ

2)cos()cos()sin()( 0 t

kp

tBtAetv DDt −+= − (2.63)

Suponiendo que el sistema parte del reposo, 0)0(,0)0( == vv & , las constantes son

ξξω

ω21

12

12

02

00

kp

Bkp

kp

AD

=−

== (2.64)

Entonces (2.63) resulta

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

−= − )cos()cos()sin(

121)(

20 ttte

kp

tv DDt ωωω

ξ

ξξ

ωξ (2.65)


Los valores de ξ corrientes en los sistemas estructurales hacen que en (2.65) pueda despreciarse el término )sin( tDω y considerar ωω ≅D . Luego

( ) )cos(121)( 0 te

kp

tv t ωξ

ωξ −= − (2.66)

Definiendo como “relación de respuesta” al cociente entre la respuesta dinámica y la estática

kptvtR0

)()( = (2.67)

Resulta finalmente

( ) )cos(121)( tetR t ωξ

ωξ −≅ − (2.68)

Para amortiguamiento nulo la ec.(2.65) queda indeterminada, pero aplicando la regla de L’Hospital es posible calcular v(t) y entonces

( ))cos()sin(21)( ttttR ωωω −≅ (2.69)

Los resultados de (2.68) y (2.69) se representan en la fig.2.10

Figura libro 4-6, apunte pág3.18

Figura 2.10: Respuesta en resonancia, β = 1, para condiciones iniciales de reposo

Sistema no amortiguado

Sistema amortiguado

ξ21

ξ21

−


Se observa como, en ambos casos de resonancia, la respuesta crece gradualmente. En el sistema no amortiguado crece indefinidamente alcanzando valores inadmisibles para el sistema. Por otra parte se observa como el amortiguamiento limita la amplitud de la respuesta en resonancia. En un número de ciclos pequeño, que depende de ξ pero es generalmente del orden de la decena, prácticamente se alcanza el estado de régimen con la amplitud de respuesta máxima 1 / 2ξ.

2.3.1.3. Dispositivos para medir aceleraciones y desplazamientos

Estos instrumentos consisten esencialmente en un oscilador amortiguado como se muestra en la fig.2.11.

Figura 2.11: Esquema de un dispositivo de medición

El sistema está montado en un marco rígido que se fija a la superficie donde el movimiento será medido, y la respuesta se obtiene a través del movimiento relativo de la masa con respecto al marco: v(t).

La ecuación del movimiento de este sistema es

)()()()()(luego

)()()(0)()()(

tptvmtvktvctvm

tvtvtvtvktvctvm

effg

gabsoluta

absoluta

=−=++

+==++

&&&&&

&&&&&&

&&&

(2.70)

donde )(tvm g&&− puede interpretarse como una fuerza excitatriz denominada “carga efectiva de la masa”: peff(t).

Si la base sobre la cual está montado el instrumento se mueve armónicamente con aceleración )sin()( 0 tvtv gg ω&&&& = , la carga efectiva de la masa es )sin()( 0 tvmtp geff ω&&−= .

Entonces, de acuerdo con (2.56) y (2.59), la amplitud de la respuesta en estado de régimen resulta

Dkvm g0&&=ρ (2.71)

k

m

c

)sin()( 0 tvtv gg ω&&&& =

Salida: movimiento relativo

Entrada: movimiento de la base


en donde D, dado por la ec.(2.59), está representado en la fig.2.9. Allí se observa que para una relación de amortiguamiento ξ = 0.7, resulta D prácticamente constante para el rango de frecuencias 0 < β < 0.6.

Entonces, a partir de la ec.(2.71), la respuesta indicada por este instrumento será directamente proporcional a la aceleración de la base para frecuencias aplicadas de hasta 0.6 veces la frecuencia natural del instrumento. Es decir que este instrumento, convenientemente amortiguado, constituye un acelerómetro para frecuencias relativamente bajas. Su rango de aplicabilidad se puede incrementar aumentando su frecuencia natural, es decir aumentando la rigidez del resorte.

Se considera ahora la respuesta del mismo instrumento a un desplazamiento armónico de la base )sin()( 0 tvtv gg ω= . La aceleración resulta )sin()( 0

2 tvtv gg ωω−=&& , y la carga efectiva

es )sin()( 02 tvmtp geff ωω= .

Entonces, de acuerdo con (2.56) y (2.59), la amplitud de la respuesta en estado de régimen resulta

DvDk

vmg

g 20

02

βω

ρ == (2.72)

En la fig.2.12 se representa la función β2D. Se observa que β2D es prácticamente constante para relaciones de frecuencias β > 1 y relación de amortiguamiento ξ = 0.5. Entonces, de acuerdo con (2.72), la respuesta de este instrumento, convenientemente amortiguado, resulta proporcional a los desplazamientos de la base para movimientos de alta frecuencia. Su rango de aplicabilidad se incrementa reduciendo la frecuencia natural, es decir reduciendo la rigidez del resorte o aumentando la masa.

Figura 2.12: Respuesta del instrumento a desplazamiento armónico de la base

2.3.1.4. Aislamiento frente a las vibraciones

El aislamiento frente a las vibraciones constituye un amplio tema del que sólo se tratarán aquí algunos aspectos básicos. Es posible distinguir dos tipos de problemas en los que el aislamiento frente a las vibraciones se hace necesario:

1=ξ

2/1=ξ4/1=ξ

6/1=ξ0=ξ


a) Una máquina genera fuerzas oscilatorias que pueden introducir vibraciones perjudiciales en la estructura que la soporta.

b) Instrumentos sensibles de precisión pueden estar soportados por una estructura que vibra apreciablemente.

Caso a) se ilustra en la fig.2.13. Un volante provoca una fuerza vertical oscilatoria )sin(0 tp ω debido a un desequilibrio de sus partes rotantes. Si esta máquina está montada

sobre un sistema resorte – amortiguador de un grado de libertad, como el que se observa en la fig.2.13, su respuesta en estado de régimen será, de acuerdo a (2.56), (2.58):

Figura 2.13: Sistema de aislación a las vibraciones para carga aplicada

)sin()( 0 θω −= tDkp

tv (2.73)

En consecuencia la fuerza ejercida por el sistema de resortes contra la base es

)sin()( 0 θω −== tDptvkf s (2.74)

Por otra parte la velocidad del movimiento relativo a la base es

)cos()( 0 θωω −= tDkp

tv& (2.75)

Entonces la fuerza transmitida por el amortiguador a la base es

)cos(2)cos()( 00 θωβξθωω −=−== tDptD

kpc

tvcfD & (2.76)

Esta fuerza aparece desfasada 90° con respecto a la de los resortes, luego el módulo de la fuerza resultante ejercida sobre la base es

[ ] 21

20

2max

2maxmax )2(1 βξ+=+= Dpfff Ds (2.77)

El cociente entre esta fuerza y el módulo de la fuerza aplicada se conoce como la “transmisibilidad” (TR) del sistema de suspensión

22max

2max

0

max )2(1 βξ+=+== Dffp

fTR Ds (2.78)

)sin()( 0 tptp ω=

2/k 2/kc

m

)(tf


En la fig.2.14 se representa TR en función de las relaciones de amortiguamiento y frecuencias. Puede observarse como el amortiguamiento resulta contraproducente para el aislamiento frente a las vibraciones a partir de la relación de frecuencias crítica 2=β

Figura 2.14: Relación de transmisibilidad de vibraciones

Caso b) se ilustra en la fig.2.15. La masa que debe ser aislada, está soportada por un sistema de resorte – amortiguador de un grado de libertad conectado a la infraestructura que experimenta un movimiento vertical armónico.

Figura 2.15: Sistema de aislación a las vibraciones para excitación del apoyo

El desplazamiento relativo de la masa con respecto a la base, de acuerdo con (2.72) resulta

)sin()( 20 θωβ −= tDvtv g (2.79)

Adicionando vectorialmente a esta movimiento el de la base, se comprueba que el movimiento total de la masa es

)sin()2(1)( 20 θωβξ −+= tDvtv g

t (2.80)

Definiendo para este caso a la transmisibilidad como el cociente entre la amplitud del movimiento de la masa y la amplitud del movimiento de la base, resulta

0=ξ

5/1=ξ

4/1=ξ

3/1=ξ1=ξ

2

m

c2/k 2/k )sin()( 0 tvtv gg ω=

)(tvt


2

0

max )2(1 βξ+== Dvv

TRg

t

(2.81)

Se observa que esta expresión coincide con (2.78) para el caso a). Entonces la fig.2.14 tiene validez para las dos situaciones básicas de aislamiento frente a las vibraciones.

En el diseño de sistemas de aislamiento resulta conveniente expresar el comportamiento en términos de su efectividad, más que de la transmisibilidad, la cual queda definida por 1 – TR.

Ejemplo 2.3

Los puentes de hormigón que consisten en una larga serie de tramos simplemente apoyados de luces iguales, debido a la fluencia lenta, pueden tener deformaciones que causarán una excitación armónica en un vehículo que atraviesa el puente a velocidad constante.

El sistema de suspensión del vehículo está proyectado para proveer un aislamiento frente a las vibraciones, de modo que limitará los movimientos verticales transmitidos desde la calzada a los ocupantes.

En la fig.2.16 se muestra el caso descripto en una forma muy simplificada

Figura 2.16: Esquema simplificado de un vehículo circulando por un puente

Datos del vehículo: k = 2.20 KN/cm, ξ = 0.40. Calcular el movimiento vertical en el vehículo en estado de régimen.

De acuerdo con (2.81) será

21

222

2

0max )2()1()2(1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=βξβ

βξg

t vv

Para la velocidad del vehículo de 70 Km/h, el periodo de la excitación es

s

sm

mTp 617.0

360070000

12==

El periodo natural del vehículo es

2/k 2/kc

KNW 18= )(tvt

Velocidad: 70 Km/h

L = 12 m

3 cm


sgk

WT 574.098120.2

00.18222==== ππ

ωπ

Luego 930.0617.0574.0

===pT

Tβ , y con ξ = 0.40, la amplitud de la respuesta es

cmcmcmvt 94.4648.13)93.04.02()93.01(

)93.04.02(1321

222

2

max ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

=

Resulta también de interés notar que si no existiera el amortiguamiento en el vehículo, ξ = 0, la amplitud resultaría

cmcmvv gt 2.22

93.013

11

220max =−

=−

=β

Este valor está por encima del rango de los elásticos y en consecuencia tiene escaso significado, pero está demostrando la importante función de los amortiguadores para limitar los movimientos resultantes del ondulamiento de la superficie de rodamiento. 2.3.2. Carga periódica 2.3.2.1. Expresión de la carga en serie de Fourier

Para tratar cargas periódicas, solamente es necesario expresarlas bajo la forma de series de Fourier. La respuesta a cada término de la serie es simplemente la respuesta a una carga armónica, y por el principio de superposición de efectos la respuesta total es la suma de las respuestas correspondientes a dichos términos.

Se considera ahora una carga genérica como la representada en la fig.2.17. Esta función periódica puede expresarse mediante la siguiente serie de Fourier

Figura 2.17: Carga periódica genérica

)(tp

tpT pT pT


∑∑∞

=

∞

=

++=11

0 )2sin()2cos()(n p

nn p

n tT

nbtT

naatp ππ (2.82)

en donde Tp es el periodo de la carga, y los coeficientes se calculan de acuerdo a las siguientes expresiones

∫

∫

∫

=

=

=

pT

ppn

pT

ppn

pT

p

dttT

ntpT

b

dttT

ntpT

a

dttpT

a

0

0

00

)2sin()(2

)2cos()(2

)(1

π

π (2.83)

2.3.2.2. Respuesta a la carga desarrollada en serie de Fourier

A partir de (2.55), la respuesta en estado de régimen a una carga armónica )sin(0 tp ω es

[ ])cos(2)sin()1()2()1(

1)( 2222

0 ttkp

tv ωβξωββξβ

−−+−

= (2.84)

Esta expresión será aplicable para cada término de la serie, reemplazando

ωω

ωω

ββωπωω 110 por,2por,opor

nT

TnnT

nbapp

nn

pnnn ===== (2.85)

Por otra parte se debe tener en cuenta que el primer término de la serie consiste en una carga constante, que es el promedio de la carga representado por el coeficiente a0. La respuesta en estado de régimen a una carga constante es simplemente el desplazamiento estático

k

av 0

0 = (2.86)

Entonces la respuesta total en estado de régimen resulta

[ ]

[ ] }

{

}

{

)cos(2)1(

)sin()1(2)2()1(

11)(

12

11

22220

tnba

tnbaak

tv

nnn

nnnn

ωβξβ

ωββξβξβ

−−+

+−++−

+= ∑∞

= (2.87)

2.3.2.3. Forma exponencial de la solución en serie de Fourier

Las expresiones del desarrollo de la carga en serie de Fourier (2.82), (2.83), pueden también escribirse en forma exponencial mediante la sustitución de las funciones trigonométricas por los términos exponenciales dados por las ecuaciones de Euler


)(21cos,)(

21sin xixixixi eexeei

x −− +=−−= (2.88)

Resulta

tni

nn eCtp 1)( ω∑

∞

−∞=

= (2.89)

donde

∫ −=pT

tni

pn dtetp

TC

0

1)(1 ω (2.90)

Se debe observar que en el desarrollo en serie (2.89) por cada valor positivo de n, sea n = +m, existe el negativo n = -m. Los factores exponenciales correspondientes del desarrollo en serie

tnitni ee 11 y ωω − resultan complejos conjugados y lo mismo ocurre con los factores C+m y C-m.

Luego, por cada término de la serie existe su conjugado, de modo que la parte imaginaria del desarrollo en serie queda cancelada, como debe ocurrir al ser la carga p(t) una función real.

El paso siguiente es calcular la respuesta del sistema frente a una carga genérica tnie ω , para luego aplicar superposición de efectos. Es decir, se debe resolver la ecuación

tnietvktvctvm ω=++ )()()( &&& (2.91)

Nuevamente se considera sólo la respuesta en estado de régimen, asumiendo que la carga periódica dura lo suficiente para que la respuesta transitoria desaparezca. La solución en estado de régimen es de la forma

tnin eHtv ωω )()( = (2.92)

Reemplazando (2.92) en (2.91) se obtiene

ωω

βξββ

ω

ξββωωω

11

12

11

22

con)12(

1)(

bien o)12(

11)(

=++−

=

++−=

++−=

ninknH

ikkcimH

nnnnn

(2.93)

Finalmente, teniendo en cuenta (2.89) y aplicando el principio de superposición de efectos, resulta que la respuesta total en estado de régimen del sistema a una carga periódica genérica se puede escribir

∑∞

−∞=

=n

tnin eCnHtv 1

1)()( ωω (2.94)

La ventaja en cuanto a simplicidad de la solución bajo forma exponencial surge al comparar (2.94) con la solución en serie trigonométrica (2.87).


2.3.3. Carga dinámica genérica 2.3.3.1. Primer procedimiento: Respuesta en el dominio del tiempo, Integral de Duhamel

Se considera en primer lugar el caso particular de las cargas impulsivas. Consiste en un único impulso, en general de relativamente corta duración, tal como el ilustrado en la fig.2.18.

La respuesta del sistema frente a una carga impulsiva se divide en dos fases: la fase I correspondiente al intervalo durante el cual actúa la carga, seguida de la fase II o fase de vibración libre.

Figura 2.18: Carga impulsiva arbitraria

Durante la fase I la estructura está sujeta a una vibración forzada bajo la carga p(t) partiendo del reposo. Durante la fase II el movimiento corresponde a una vibración libre que tiene como condiciones iniciales al desplazamiento y velocidad )(,)( 11 tvtv & existentes al final de la fase I.

Con respecto al amortiguamiento se debe señalar que si el objetivo del análisis es calcular la máxima respuesta de la estructura a la carga impulsiva, como ésta se alcanza en un tiempo muy corto, antes que las fuerzas de amortiguamiento tengan efecto de manera apreciable, es válido considerar al sistema como no amortiguado. En cambio, si por cualquier motivo interesa una respuesta prolongada en el tiempo, en la fase II dicha respuesta deberá considerarse con el amortiguamiento.

Para cargas impulsivas que puedan ser expresadas analíticamente por funciones simples, por ejemplo de forma rectangular, triangular o semionda sinusoidal, pueden calcularse soluciones cerradas para la ecuación de movimiento.

Se considera ahora una carga impulsiva de muy corta duración, tal como la representada en la fig.2.19.

Se propone calcular ahora, en forma aproximada, las condiciones iniciales de la fase II. Debido a la corta duración de la carga se considera a p(t) constante en el intervalo, e igual a p(τ). A partir de la ley de Newton se calculan las variaciones en la velocidad y el desplazamiento provocadas por el sólo efecto de la carga

)(tp

t

1t

Fase I Fase II


Figura 2.19: Carga impulsiva de muy corta duración

Será

∫∫∫ ≅=

==

ttt

dtm

pdttpm

vd

tpdt

tvdmtptvm

τττ

τ )()(1

luego,)()(o)()(

&

&&&

(2.95)

Resulta así, en el intervalo de acción de la carga:

2)()()()(

deduce se donde de,)()()(

2ττττττττ

ττ

∆≅∆+∆≅∆+

−≅

mpvy

mpv

tm

ptv

&

&

(2.96)

Es decir que para ∆τ pequeño, v(τ +∆τ) resulta de segundo orden, o despreciable, con respecto a )( ττ ∆+v& .

Por otra parte como las fuerzas elásticas resistentes son proporcionales al desplazamiento, también resultan despreciables, de modo que será válido en la fase I considerar sólo el efecto de la carga impulsiva, recordando que por la corta duración del intervalo no se considera el efecto del amortiguamiento.

Entonces después de una fase I de corta duración, la fase II se inicia prácticamente con la velocidad inicial )( ττ ∆+v& de (2.96). Luego, aplicando la solución (2.17) correspondiente a vibraciones libres no amortiguadas, la respuesta en fase II será de la forma

[ ]( ) ττττωτωτ

∆+>∆+−∆≅ ttmptv siendo)(sin)()( (2.97)

)(tp

)(τp

tτ τ∆

Fase I Fase II


Se considera ahora el caso de una carga dinámica genérica tal como la representada en la fig.2.20

Figura 2.20: Carga impulsiva genérica

A esta carga se la puede representar como la sucesión de cargas impulsivas p(τ) de duración infinitesimal dτ. De acuerdo con lo visto, para una de estas cargas, originada en el instante τ, se tiene una fase I que tiende a cero y no interviene en la solución, y una fase II que de acuerdo con (2.97) da lugar a la siguiente respuesta

( ) ττωτωτ

>−= ttdmptdv siendo)(sin)()( (2.98)

Se debe notar aquí que en esta expresión dv(t) representa la respuesta infinitésima a un impulso infinitésimo, a lo largo del tiempo t > τ, y no es la variación de v(t) durante un cierto intervalo de tiempo dt. Por otra parte esta expresión, en lugar de ser aproximada como la (2.97) que le da origen, resulta exacta debido al carácter infinitésimo del intervalo considerado dτ.

Como la carga ha sido considerada como una sucesión de cargas impulsivas infinitésimas, la respuesta total será, aplicando el principio de superposición de efectos, la suma de las respuestas (2.98) con respecto a la variable τ, desde cero al instante t considerado

( )∫ −=t

dtpm

tv0

)(sin)(1)( ττωτω

(2.99)

Esta expresión es generalmente conocida como la integral de Duhamel para un sistema no amortiguado. También puede expresarse bajo la forma:

( ))(sin1)(

donde)()()(0

τωω

τ

τττ

−=−

−= ∫

tm

th

dthptvt

(2.100)

)(tp

t

)(τp

τ τd

)( τ−t

)(tdv respuesta


La ecuación (2.100) se denomina: integral de convolución, y cuando se calcula la respuesta de una estructura a una carga dada utilizando esta integral se dice que se ha obtenido la respuesta en el dominio del tiempo.

La función h(t-τ) es generalmente denominada como la respuesta al impulso unitario, definida en este caso para un sistema no amortiguado, porque expresa la respuesta del sistema a un impulso de magnitud unitaria aplicado en el instante t = τ.

En la ecuación (2.99) está implícito que la carga se origina en el instante t = 0 y que la estructura estaba en reposo en dicho instante. Para otras condiciones iniciales,

0)0(,0)0( ≠≠ vv & , debe adicionarse a la respuesta una vibración libre adicional, resultando así, en general

( )∫ −++=t

dtpm

tvtvtv0

)(sin)(1)cos()0()sin()0()( ττωτω

ωωω&

(2.101)

La respuesta de sistemas amortiguados se puede expresar mediante la integral de Duhamel en forma completamente análoga al caso de sistemas no amortiguados, excepto que la vibración libre originada por la carga impulsiva diferencial p(τ) dτ, está sujeta a una declinación exponencial.

Entonces haciendo m

dpvv ττ )()0(,0)0( == & en la ecuación (2.33), se llega a

( ) ττωτωττωξ >⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= −− ttd

mpetdv D

D

t siendo)(sin)()( )( (2.102)

En donde la declinación exponencial comienza tan pronto es aplicada la carga, en el instante t = τ . Sumando estas respuestas infinitésimas, finalmente se obtiene la solución bajo la forma

( )∫ −= −−t

Dt

Ddtep

mtv

0

)( )(sin)(1)( ττωτω

τωξ (2.103)

La cual para ξ = 0 se reduce a la (2.99).

Comparando (2.103) con la integral de convolución (2.100) se observa que la respuesta al impulso unitario para un sistema amortiguado, está dada por:

( ))(sin1)( )( τωω

τ τωξ −=− −− tem

th Dt

D (2.104)

Evaluación numérica de la integral de Duhamel

Si la función de la carga aplicada es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede se evaluada por la integración formal de (2.99), (2.101) o (2.103) según corresponda. Sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo por datos experimentales, y la respuesta debe ser evaluada por un proceso numérico. Para ello es útil recordar la identidad trigonométrica


( )

)sin()cos()cos()sin()sin()(sin

τωωτωωτωωτω

DDDD

DDD

tttt

−=−=−

(2.105)

Luego, para condiciones iniciales nulas, (2.103) se puede escribir

∫

∫

=

=

−=

t

DtD

t

DtD

DD

deep

mtB

deep

mtA

ttBttAtv

0

0

)sin()(1)(

)cos()(1)(

donde)cos()()sin()()(

ττωτω

ττωτω

ωω

ωξ

τωξ

ωξ

τωξ

(2.106)

La integración numérica de la integral de Duhamel requiere la evaluación de las integrales A(t) y B(t) numéricamente. Por ejemplo para A(t), y suponiendo por simplicidad que la función y(t) a ser integrada ha sido evaluada en incrementos iguales ∆τ : y0, y1, y2, .... , yN-1, el valor de la integral se puede obtener aproximadamente sumando dichas ordenadas multiplicadas por adecuados factores de peso. Expresado matemáticamente es

∑∫∆

≅=A

D

t

Dt

mdy

mtA

ζζωτττ

ω)(1)(1)(

0

(2.107)

en la cual ∑A

tζζ

)(1 representa el proceso de sumatoria numérico, cuya forma específica

depende del orden de integración aproximada utilizada. Por ejemplo:

- Simple sumatoria: ζ = 1

12101

)( −++++=∑ N

Ayyyyt L (2.108 a)

- Regla de trapecios: ζ = 2

NN

Ayyyyyt +++++= −∑ 1210

2222)( L (2.108 b)

- Regla de Simpson: ζ = 3

NN

Ayyyyyt +++++= −∑ 1210

3424)( L (2.108 c)

donde N = t / ∆τ debe ser un número par para la regla de Simpson.

Para obtener la historia de la respuesta, ésta debe ser evaluada sucesivamente en una secuencia de tiempos t1, t2, ..., donde el intervalo entre esos tiempos es ∆τ ( o 2∆τ si se utiliza la regla de Simpson). Entonces, es más conveniente expresar las sumatorias (2.108) en forma incremental


- Simple sumatoria: ζ = 1

( ) )exp()(cos)()()(11

τωξτωττ ∆−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−∆−+∆−= ∑∑ ttptt D

AA (2.109 a)

- Regla de trapecios: ζ = 2

( )

)cos()(

)exp()(cos)()()(22

ttp

ttptt

D

D

AA

ω

τωξτωττ

+

∆−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−∆−+∆−= ∑∑ (2.109 b)

- Regla de Simpson: ζ = 3

( )

( ) )cos()()exp()(cos)(4

)2exp()2(cos)2()2()(33

ttpttp

ttptt

DD

D

AA

ωτωξτωτ

τωξτωττ

+∆−∆−∆−+

∆−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆−∆−+∆−= ∑∑ (2.109 c)

La evaluación del término B(t) puede ser realizado exactamente de la misma manera

∑∆≅

B

Dt

mtB

ζζωτ )(1)( (2.110)

en la cual ∑B

tζζ

)(1 se evalúa con expresiones idénticas a (2.109) reemplazando las funciones

coseno por funciones seno.

La precisión de la solución, con cualquiera de estos procesos numéricos, depende de la longitud del intervalo de tiempo ∆τ. En general debe ser seleccionado suficientemente corto para que la función de carga y las funciones trigonométricas estén bien definidas. Una regla práctica que en general da buenos resultados es ∆τ < T/10 , donde T es el periodo del sistema o de la carga, el que sea menor. 2.3.3.2. Segundo procedimiento: Respuesta en el dominio de las frecuencias

Se presenta como una alternativa frente al procedimiento de la integral de Duhamel y con la misma generalidad. Es una extensión del análisis de la respuesta para cargas periódicas utilizando el desarrollo en serie de Fourier, al caso de cargas dinámicas genéricas.

Se considera una carga cualquiera no periódica, como la representada en la fig.2.21 en línea continua.

Cuando esta carga se desarrolla en serie de Fourier, aplicando la forma exponencial (2.89), (2.90), el resultado consiste en una función periódica tal como se observa en la fig.2.21 en líneas de trazos además de la línea continua. Las cargas repetitivas espúreas pueden ser eliminadas extendiendo a infinito el periodo adoptado para representar la carga en serie de Fourier.


Figura 2.21: Carga arbitraria representada por serie de Fourier

Se vuelven a escribir las expresiones (2.89), (2.90) en forma ligeramente modificada, utilizando la siguiente notación

)()(

221

0

1

n

pTtni

pn

p

CdtetpTC

T

ω

πω

πω

ω ==

∆==

∫ −

(2.111)

Luego, (2,89) y (2.90) resultan

∑∞

−∞=

∆=n

tnin eCtp ωω

πω)(

21)( (2.112)

∫−

−=2

2

)()(

pT

pT

tnin dtetpC ωω (2.113)

donde ωωω ∆== nnn 1 .

Además en (2.113) se han modificado los límites de la integral con respecto a (2.90), ya que son arbitrarios con tal que abarquen el periodo completo de la carga.

Ahora, si el periodo de la carga se extiende a infinito, ∞→pT , el incremento de las frecuencias se hace infinitésimo ωω d→∆ , y las frecuencias discretas nω se transforman en una variable continua ω .

Entonces en el límite, la serie de Fourier (2.112) se convierte en la siguiente integral de Fourier

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deCtp ti)(21)( (2.114)

en donde

t

)(tp

pT−2pT

−2pT

23 pTpT pT20


∫∞

∞−

−= dtetpC tiωω )()( (2.115)

Estas dos integrales son conocidas como un par de transformadas de Fourier, porque la función del tiempo puede calcularse a partir de la función de la frecuencia y viceversa, aplicando procesos equivalentes.

Una condición necesaria para la existencia de la transformada de Fourier es que la integral

∫∞

∞−dttp )( sea finita.

Luego, análogamente que para cargas periódicas, se calcula la respuesta del sistema frente a una carga genérica tie ω , y resulta

tieHtv ωω )()( = (2.116)

donde )(ωH de manera similar a (2.93) es

ωωβ

ξββω =

++−= con

)12(1)( 2 ik

H (2.117)

Finalmente, teniendo en cuenta (2.114), la respuesta para una carga dp(t) será

ωωωπ

ω deCHtdv ti)()(21)( = (2.118)

y aplicando superposición de efectos, la respuesta total resulta

∫∞

∞−

= ωωωπ

ω deCHtv ti)()(21)( (2.119)

donde

∫∞

∞−

−== dtetvVCH tiωωωω )()()()( (2.120)

Esta expresión se conoce como expresión fundamental para el análisis de la respuesta en el dominio de las frecuencias. Para su aplicación es necesario evaluar previamente )(ωC a partir de )(tp según (2.115), transformada de Fourier de la carga, y reemplazar )(ωH según (2.117).

Notar que )(,)( ωVtv constituyen un par de Fourier, y )(ωV es la respuesta del sistema en el dominio de las frecuencias.

Análisis numérico en el dominio de las frecuencias

La aplicación del procedimiento de análisis en el dominio de las frecuencias está limitado a casos para los cuales la transformada de la carga aplicada esté disponible, y aún en esos casos la evaluación de las integrales puede ser un proceso tedioso. Para hacer práctico el uso del método es necesario formularlo en términos de un procedimiento de análisis numérico, el cuál tiene dos fases:


(i) Transformada discreta de Fourier

El primer paso es obtener expresiones de la transformada discreta de Fourier (DFT) que corresponda a las expresiones integrales (2.114), (2.115). Para ello se asume que la carga es periódica de periodo Tp. Esto constituye una aproximación en el tratamiento de una carga general, pero es necesario para reemplazar la integral infinita en el tiempo (2.115) por una suma finita. La elección del periodo de la carga también sirve para definir la frecuencia más baja a considerar en el análisis

pTπωω 2

1 =∆= (2.121)

El periodo de la carga es dividido en N incrementos iguales ∆t, y la carga es definida para los tiempos discretos tm = m ∆t. Luego, los términos exponenciales de (2.112) se pueden escribir

)2exp()exp()exp(Nmnitmniti mn πωω =∆∆= (2.122)

Entonces la ec.(2.112) toma la forma discreta

∑−

=

∆=

1

0)2exp()(

2)(

N

nnm N

mniCtp πωπω (2.123)

en la cual la frecuencia más alta a ser considerada ha sido arbitrariamente establecida en ω∆− )1(N .

La correspondiente expresión discreta para la función amplitud )(ωC puede ser obtenida sustituyendo la integral de (2.113) por la suma de términos finitos de la serie, y resulta

∑−

=

−∆=1

0)2exp()()(

N

nmn N

mnitptC πω (2.124)

Las ecuaciones (2.123) y (2.124) son un par de Transformadas Discretas de Fourier que corresponden a las transformadas continuas (2.114) y (2.115).

Cuando se utilizan las transformadas discretas hay que recordar que están basadas en la suposición que la carga es periódica. Para minimizar el error en el análisis de cargas no periódicas, el periodo de la carga se debe extender con la inclusión de un intervalo significante de ceros en el periodo Tp.

(ii) Transformada rápida de Fourier

El segundo paso es desarrollar un procedimiento numérico eficiente para evaluar las sumas en las dos ecuaciones de la DFT. Para ello se tiene en cuenta que las funciones exponenciales involucradas son armónicas y se extienden sobre el rango N2. Solamente valores discretos de m y n son utilizados en las exponenciales, y se aprovecha la ventaja de la duplicación de valores cuando se forman las sumas en la DFT.

Se ha desarrollado un algoritmo, denominado Transformada Rápida de Fourier (FFT), cuyo desarrollo no se incluye aquí, que es eficiente y potente, haciendo al análisis en el dominio de las frecuencias computacionalmente competitivo con el tradicional análisis en el dominio del tiempo.

SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 37

CAPÍTULO 3

SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

3.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

Los sistemas continuos, de infinitos grados de libertad, generalmente son reducidos al caso de sistemas de varios grados de libertad mediante una adecuada discretización. La ecuación de movimiento, o de equilibrio dinámico resulta:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })()()()( tptvktvctvm =++ &&& (3.1)

donde [ ] [ ] [ ]kcm ,, son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de dimensiones NxN, siendo N el número de grados de libertad; { })(tv es el vector de desplazamientos, Nx1, (corrimientos o rotaciones) de los nodos de la estructura definidos en la discretización; { })(tp es el vector de cargas, Nx1, en los nodos, equivalentes a las cargas exteriores.

La ecuación matricial (3.1) expresa las N condiciones de equilibrio dinámico en correspondencia con los grados de libertad del sistema.

Para resolver esta ecuación se comienza por considerar el caso de vibraciones libres no amortiguadas.

3.2. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS 3.2.1. Análisis de frecuencias de vibración

A partir de la ecuación (3.1) resulta para este caso

[ ]{ } [ ]{ } { }0)()( =+ tvktvm && (3.2)

Esta ecuación exige un vector desplazamiento proporcional al vector aceleración pero con signo opuesto, es decir: { } { })()( 2 tvtv ω−=&& , por ejemplo


{ } { } )sin(ˆ)( θω += tvtv (3.3)

También resulta equivalente proponer

{ } { }

{ } { }ωθθθω

πθθθω

−=−=

+=+=

22

11

donde))(cos(ˆ)(

2donde)cos(ˆ)(

tvtv

tvtv (3.4)

En (3.3), el vector { }v̂ representa la forma del sistema, la cual no cambia con el tiempo, sólo la amplitud varía, ω es la frecuencia circular del movimiento y θ es un ángulo de fase.

Sustituyendo la ecuación (3.3) en (3.2), resulta

[ ]{ } [ ]{ } { }0)sin(ˆ)sin(ˆ2 =+++− θωθωω tvktvm (3.5)

Dividiendo por )sin( θω +t , se llega a

[ ] [ ]( ){ } { }0ˆ2 =− vmk ω (3.6)

Se presenta así un sistema de N ecuaciones lineales homogéneas, siendo N la cantidad de grados de libertad de la estructura, donde { }v̂ es el vector de las incógnitas y [ ] [ ]( )mk 2ω− la matriz del sistema.

Para que exista solución no trivial { } { }0ˆ ≠v , se debe anular el determinante de la matriz del sistema, es decir que se debe cumplir

[ ] [ ] 02 =− mk ω (3.7)

La expresión (3.7) es una ecuación algebraica en ω2 de grado N, para un sistema de N grados de libertad. Se denomina la ecuación de las frecuencias del sistema o la ecuación característica del sistema.

Las N raíces de esta ecuación ),,,( 222

21 Nωωω L representan las frecuencias de los N modos

de vibración posibles en el sistema. El modo que tiene la frecuencia más baja se lo llama “primer modo”, y así sucesivamente.

Las frecuencias se las agrupa en el vector de frecuencias

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Nω

ωωω

ωM3

2

1

(3.8)

Se demuestra que para matrices de masa y rigidez definidas positivas, simétricas y reales, lo que corresponde a sistemas estructurales estables, todas las raíces de la ecuación de frecuencias son reales y positivas.


3.2.2. Análisis de las formas de modos de vibración

Una vez que las frecuencias de vibración han sido determinadas a partir de la ecuación (3.7), se reemplaza una raíz genérica 2

nω en (3.6), y se obtiene una solución no trivial { } { }0ˆ ≠v eligiendo arbitrariamente el valor de una de las componentes de dicho vector y calculando las restantes en función de ésta.

Por ejemplo habiendo elegido la primera componente del vector igual a la unidad se tendrá:

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Nn

n

n

Nn

n

n

n

n

v

vv

v

vvv

v

ˆ

ˆˆ1

ˆ

ˆˆˆ

ˆ 3

2

3

2

1

MM

(3.9)

Entonces una solución genérica de (3.2) resulta, de acuerdo con (3.3)

{ } { } )sin(ˆ)( nnnn tvtv θω += (3.10)

donde { })(tvn representa uno de los N modos naturales de vibración del sistema de N grados de libertad. nω es la correspondiente frecuencia circular, y { }v̂ representa la forma de dicho modo natural de vibración.

De manera que la solución general del problema de las vibraciones libres no amortiguadas, resulta una combinación lineal de los N modos naturales de vibración del sistema:

{ } { } { }∑∑==

+==N

nnnnn

N

nnn tvCtvCtv

11)sin(ˆ)()( θω (3.11)

Donde las constantes Cn y θn se determinan a partir de las condiciones iniciales de cada grado de libertad ),,2,1(,)0(,)0( Nnvv nn L& = .

Con condiciones iniciales adecuadamente impuestas resulta posible provocar la vibración en uno cualquiera de los modos naturales, que constituyen características intrínsecas de la estructura.

Como se observa en (3.10), en un modo natural cada punto de la estructura ejecuta un movimiento armónico alrededor de una posición de equilibrio estático, todos los puntos pasan por su posición de equilibrio en el mismo instante y alcanzan su posición extrema simultáneamente.

Vale decir que la frecuencia de la oscilación es la misma para todos los puntos y constituye la frecuencia natural de la estructura para ese modo particular.

La configuración deformada { }nv̂ de un cierto modo, permanece constante mientras la estructura vibra en ese modo, entre la posición de equilibrio y la posición extrema, caracterizada por una amplitud variable para cada caso, según las condiciones iniciales impuestas.


Es conveniente remarcar que, como surge de (3.7), el número de modos naturales de una estructura es igual al número de sus grados de libertad, ya que puede demostrarse que para matrices de masa y rigidez, reales, simétricas y positivas definidas pertenecientes a sistemas estructurales estables, todas las raíces de (3.7) serán reales y positivas.

En general cada modo es diferente de todos los otros y su frecuencia es también distinta. Puede ocurrir que varios modos tengan la misma frecuencia aunque esta situación es poco frecuente en las estructuras. Sin embargo no es inusual el caso en que varios modos tengan frecuencias aproximadamente iguales, para cuya determinación se requiere gran precisión numérica o experimental.

Por otra parte resulta conveniente expresar la forma de cada modo en forma adimensional, para lo cual, para el modo genérico n-ésimo, se dividen todas las componentes del vector { }nv̂ por una componente de referencia, usualmente la mayor. El vector resultante { }nφ se denomina la forma o configuración del modo n-ésimo.

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Nn

n

n

kn

Nn

n

n

n

n

v

vv

v

ˆ

ˆˆ1

ˆ1

3

2

3

2

1

MM

φ

φφφ

φ (3.12)

En donde knv es la componente de referencia.

Se designa con [ ]Φ a una matriz cuadrada de dimensión NxN, cuyas columnas están formadas por los vectores modales, es decir

[ ] { } { } { }[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==Φ

NNNN

N

N

N

φφφ

φφφφφφ

φφφ

L

MMM

L

L

L

21

22221

11211

21 (3.13)

Ejemplo 3.1

Determinar los modos naturales de vibración del pórtico de la fig.3.1.

Se supone a las masas concentradas en los pisos con los valores indicados en la figura. Por otra parte se supone a las vigas rígidas y a las columnas axialmente rígidas, de modo que éstas, en cada piso, actúan como resortes laterales cuyos coeficientes de rigidez, correspondiente al conjunto de las columnas del piso, se muestra en la fig.3.1(a).

La matriz de rigidez de este pórtico puede determinarse aplicando un desplazamiento unitario a cada piso sucesivamente y evaluando las fuerzas resultantes en correspondencia con cada piso.

Debido a que las vigas se han supuesto rígidas, las fuerzas de piso pueden determinarse fácilmente por simple adición de las rigideces transversales de las columnas conectadas a él, que han experimentado desplazamiento. Este procedimiento se muestra en la fig.3.1(b).


Figura 3.1: Pórtico para análisis de vibración

Entonces las matrices de masa y de rigidez para este tipo de pórtico, de tres grados de libertad, resultan

[ ] [ ]

[ ] [ ]

600donde

252025.131

0111070

luego520231

0111070,

0.20005.10000.1

80.1

2

2

2

ω

ω

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

B

BB

B

cmKNmk

cmKNk

cmsKNm

Las frecuencias naturales del pórtico se obtendrán igualando a cero el determinante de la matriz de la ecuación anterior. Esto conduce a la ecuación

025.75.5 23 =−+− BBB

Las tres raíces resultan

54.3,61.1,351.0 321 === BBB

Luego las frecuencias son

s

rad

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1.461.315.14

,54.361.1351.0

600

3

2

1

23

22

21

ωωω

ωωω

1v

2v

3v

cmsKN 2

80.1

70.2

60.3 2140

3210

cmKN1070

11 =v

1

12 =v 13 =v

1

1

107011 =k

107021 −=k

031 =k

107012 −=k

321022 =k

214032 −=k

013 =k

214023 −=k

535033 =k

( a ) ( b )


Se calculan ahora las formas de los modos naturales de vibración, eligiendo según (3.9) la primera componente del vector genérico { }nv̂ igual a la unidad, resultando

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

000

ˆˆ1

252025.131

011

3

2

n

n

n

n

n

vv

BB

B

de donde surge la ecuación:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −00

ˆˆ

25225.13

01

3

2

n

n

n

n

vv

BB

Luego

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

01

25225.13

ˆˆ 1

3

2

n

n

n

n

BB

vv

Introduciendo uno por vez los valores de B calculados, se obtiene finalmente

{ } { } { }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

961.0000.1

389.0ˆ,

676.0601.0

000.1ˆ,

300.0644.0000.1

ˆ 321 vvv

En la fig.3.2 se muestran las formas de los tres modos naturales de vibración del pórtico.

Figura 3.2: Modos naturales de vibración del pórtico 3.2.3. Condiciones de ortogonalidad de los modos naturales de vibración

Considerando dos vectores modales { }mv̂ y { }nv̂ , a partir de (3.6) se tiene que

000.1 000.1 389.0

000.1−601.0−644.0

300.0 676.0− 961.0

srad5.141 =ω

srad1.312 =ω

srad1.463 =ω

Modo 1 Modo 2 Modo 3


[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }0ˆˆ

0ˆˆ2

2

=−

=−

mmm

nnn

vmvk

vmvk

ω

ω (3.14)

Multiplicando por { }Tmv̂ a la primera y por { }Tnv̂ a la segunda, resulta

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ2

2

=−

=−

mT

nmmT

n

nT

mnnT

m

vmvvkv

vmvvkv

ω

ω (3.15)

Siendo [k] y [m] matrices simétricas, de esta última ecuación se deduce:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0ˆˆˆˆ 2 =− nT

mmnT

m vmvvkv ω (3.16)

Restando (3.16) de la primera de (3.15) se obtiene

( ) { } [ ]{ } 0ˆˆ22 =− nT

mnm vmvωω (3.17)

bajo la condición de N frecuencias diferentes, como ocurre en general en las estructuras nm ωω ≠ , luego

{ } [ ]{ } nmnT

m vmv ωω ≠= 0ˆˆ (3.18)

Esta ecuación muestra que los vectores de las formas modales son ortogonales con respecto a la matiz de masa.

Análogamente se demuestra que:

{ } [ ]{ } nmnT

m vkv ωω ≠= 0ˆˆ (3.19)

Vale decir que los vectores de las formas modales son también ortogonales con respecto a la matriz de rigidez.

En general es conveniente expresar las condiciones de ortogonalidad en términos de las formas o configuraciones adimensionales de los modos, vectores { }nφ . La ecuaciones (3.18) y (3.19) siguen valiendo cuando se las dividen por cualquier par de componentes de referencia de los vectores { }mv̂ y { }nv̂ , entonces las condiciones de ortogonalidad resultan:

{ } [ ]{ }{ } [ ] { } nmn

Tm

nmnT

m

k

m

ωωφφ

ωωφφ

≠=

≠=

0

0 (3.20)

3.2.4. Normalización de los modos naturales de vibración

Como ya fue descrito, los vectores que representan las formas o condiciones modales pueden presentarse de diversas formas.

Por ejemplo, haciendo igual a la unidad la amplitud de uno de los grados de libertad, generalmente el primero, y determinando los restantes en correspondencia con esa elección. En este caso se dice que la forma del modo ha sido normalizada con respecto a la coordenada de referencia especificada.


Otro procedimiento de normalización, como variante del anterior, consiste en adoptar como coordenada de referencia, para cada modo, la de mayor amplitud. Entonces, el máximo valor en cada vector modal será la unidad, lo que asigna números convenientes para ser utilizados en cálculos siguientes.

Sin embargo el procedimiento de normalización más comúnmente usado en programas de computación, consiste en calcular vectores de forma o configuraciones modales que satisfacen la condición:

{ } [ ]{ } 1ˆˆ =nT

n m φφ (3.21)

Esto se consigue calculando previamente el siguiente escalar

{ } [ ]{ } nnT

n Mvmv ˆˆˆ = (3.22)

Donde { }nv̂ representa la forma del modo n-ésimo con amplitudes arbitrarias.

Luego será:

{ } { } 21

ˆˆˆ −= nnn Mvφ (3.23)

ya que así se verifica la ecuación (3.21).

Una consecuencia de este tipo de normalización, junto con la condición de ortogonalidad con respecto a la matriz de masa, es la siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ]ImT

=ΦΦ ˆˆ (3.24)

Donde [ ]Φ̂ es la matriz cuadrada de dimensión N x N, formada por el conjunto de los N vectores modales normalizados

[ ] { } { } { }[ ]Nφφφ ˆˆˆˆ21 L=Φ (3.25)

Cuando los vectores que representan las configuraciones modales han sido normalizados de esta forma, se dicen que son ortonormales con respecto a la matriz de la masa.

3.2.5. Independencia lineal de los modos naturales de vibración

Los vectores { }nv̂ son linealmente independientes.

En efecto: serían linealmente dependientes si existiera un conjunto de constantes no todas nulas, para las que se cumple

{ } { } { } 0ˆˆˆ 2211 =+++ NN vCvCvC L (3.26)

A continuación se prueba que esta ecuación implica que NiCi ,,1,0 L== , en consecuencia tal conjunto no existe y por consiguiente los vectores { }nv̂ son linealmente independientes.

Multiplicando a la ecuación anterior por { } [ ]mv Tnˆ resulta


{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } 0ˆˆˆˆˆˆ000

11 =++++=≠=

44 344 21L

44 344 21L

44 344 21 NT

nNnT

nnT

n vmvCvmvCvmvC (3.27)

Luego: NiCn ,,2,1,0 L==

3.2.6. Métodos para calcular autovalores y autovectores

El problema de los valores propios de una matriz cuadrada genérica dada [A], queda expresado por la siguiente ecuación

[ ]{ } { }vvA λ= (3.28)

Los vectores { }v no nulos que satisfacen esta ecuación son los denominados autovectores o vectores propios de la matriz dada, y los correspondientes valores de la constante de proporcionalidad λ son los denominados autovalores o valores propios de la matriz.

La ecuación anterior puede escribirse

[ ] [ ]( ) { } { }0=− vIA λ (3.29)

de donde surge que los autovalores son las raíces de la ecuación

[ ] [ ] 0=− IA λ (3.30)

Luego para cada valor de λ, volviendo al sistema lineal de ecuaciones homogéneas planteado en (3.29), es posible determinar el autovector correspondiente eligiendo arbitrariamente una de sus componentes y calculando las restantes.

Entonces, siendo la matriz [A] dada de orden NxN, existen N autovalores y autovectores. Cada autovector está determinado salvo una constante de proporcionalidad.

El problema de la determinación de las frecuencias y modos naturales de vibración de una estructura es un problema de valores propios. En efecto, a partir de la ecuación (3.6), multiplicando por [k]-1 y dividiendo por ω2, resulta

[ ] [ ]{ } { }vvmk ˆ1ˆ2

1

ω=− (3.31)

Al producto matricial [ ] [ ]mk 1− que representa todas las propiedades dinámicas de la estructura no amortiguada, se lo denomina matriz dinámica

[ ] [ ] [ ]mkD 1−= (3.32)

y entonces (3.31) resulta

[ ]{ } { }vvD ˆ1ˆ2ω

= (3.33)

Comparando con (3.28) resulta que los vectores { }v̂ , representativos de las formas modales, son los autovectores, y 1/ω2 los autovalores de la matriz dinámica.


En consecuencia en la determinación de los modos y frecuencias naturales de vibración se aplicarán los métodos genéricos desarrollados para calcular autovalores y autovectores. El procedimiento básico o elemental consiste en resolver la ecuación

[ ] [ ]

0

1

1

1:ndodesarrolla

01

221

222221

112211

2

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=−

ω

ω

ω

ω

NNNN

N

N

DDD

DDD

DDD

ID

L

MM

L

L

(3.34)

Es una ecuación algebraica de grado N en 1/ω2 . La dificultad que implica resolver esta ecuación hace que el campo de aplicación de este procedimiento esté limitado a sistemas de hasta 4 o 5 grados de libertad, insignificante para las estructuras de la práctica.

Existen otros métodos, en general iterativos, que permiten resolver problemas de gran cantidad de grados de libertad, como por ejemplo el Método de Iteración Matricial, conocido como método de Jacobi, y su variante el Método de Iteración por Subespacios. Los algoritmos computacionales están implementados en subrutinas standard, que pueden consultarse en la bibliografía.

Ejemplo 3.2

Determinar los modos y frecuencias naturales de vibración de un pórtico de 5 pisos y dos vanos cuya geometría se muestra en la fig.3.3.

Datos: 1. Materiales:

Hormigón: MPafc 25=′ Acero: MPaf y 420=′

2. Momento de inercia de las secciones considerando la fisuración.

3. Masa distribuida en vigas:

224 /1021.4 cmsKNm −= 4. Medidas en cm. 5. Medidas indicadas: ancho/altura

Figura 3.3: Datos del pórtico


Empleando una subrutina que utiliza el Método de Iteración por Subespacios implementada en el programa DINLIES, se calcularon los primeros cinco modos naturales de vibración, cuyas formas se muestran en la fig.3.4.

Figura 3.4: Modos y frecuencias naturales de vibración del pórtico

segrad57.61 =ω

segT 956.01 =

1

segrad93.192 =ω

segT 315.02 =

1

segrad49.393 =ω

segT 159.03 =

1

segrad43.624 =ω

segT 101.04 =

1

segrad76.625 =ω

segT 100.05 =

1


Resolviendo la ecuación (3.7) el vector de frecuencias para N = 5 resulta:

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

76.6243.6249.3993.1957.6

ω

Se observa que los tres modos de más baja frecuencia son de traslación y serán los modos de mayor colaboración frente a cargas de viento y cargas sísmicas. Los dos siguientes corresponden a modos verticales.

3.2.7. Método de Rayleigh

Con este método se puede calcular en forma aproximada la frecuencia del primer modo natural de vibración, que tiene su interés en problemas con acción de viento o de sismos sobre las estructuras.

Para ilustrar el método se considera la viga simplemente apoyada de características no uniformes que se muestra en la fig.3.5.

Figura 3.5: Vibración de una viga no uniforme

Esta viga tiene en realidad un número infinito de grados de libertad y en el problema de vibraciones libres se manifiestan infinitos modos naturales de vibración.

El método consiste en asumir la configuración del primer modo de vibración ψ(x), y entonces los desplazamientos de la viga vibrando en ese modo fundamental será

)sin()(),( 0 tZxtxv ωψ= (3.35)

donde Z0 ψ(x) representa la amplitud adquirida en cada punto, y ω la frecuencia natural.

El concepto fundamental en el método de Rayleigh es el principio de conservación de la energía: la energía mecánica en un sistema que vibra libremente sin fuerzas disipativas de amortiguamiento, debe conservarse constante.

)()(),( tZxtxv ψ=

L

x)(,)( xmxEI


Entonces la energía de deformación máxima que el sistema adquiere al alcanzar los desplazamientos máximos, y que va acompañada por energía cinética nula, debe ser igual a la energía cinética máxima que el sistema alcanza con energía de deformación nula cuando pasa por la posición que ocupaba en reposo.

La energía de deformación de la viga, teniendo en cuenta únicamente las deformaciones por flexión, resulta

∫∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

====LLLL

dxx

txvxEIdxxEIdxMdMV0

2

2

2

000

),()(21)(

21

21

21 ϕϕϕθ (3.36)

De acuerdo a (3.35) resulta

( )∫ ′′=L

dxxxEItZV0

2220 )()()(sin

21 ψω (3.37)

Luego, el máximo es

( )∫ ′′=L

dxxxEIZV0

220max )()(

21 ψ (3.38)

Como se observa el máximo se alcanza para 1)sin( ±=tω , y de acuerdo con (3.35) quiere decir que se alcanza cuando los desplazamientos son máximos y las velocidades nulas.

Por otra parte la energía cinética de la viga se expresa con

( )∫=L

dxtxvxmT0

2),()(21

& (3.39)

De acuerdo a (3.35) resulta

( )∫=L

dxxxmtZT0

22220 )()()(cos

21 ψωω (3.40)

Luego, el máximo es

( )∫=L

dxxxmZT0

2220max )()(

21 ψω (3.41)

Como se observa el máximo se alcanza para 1)cos( ±=tω , y de acuerdo con (3.35) quiere decir que se alcanza cuando las velocidades son máximas y los desplazamientos nulos.

Finalmente, después de igualar la máxima energía de deformación con la máxima energía cinética, resulta

( )

( )∫

∫ ′′

= L

L

dxxxm

dxxxEI

0

2

0

2

2

)()(

)()(

ψ

ψω (3.42)


Selección de la configuración del modo

La precisión de la frecuencia calculada por el método de Rayleigh depende completamente de la elección de la configuración del modo ψ(x). En principio deberá elegirse una forma posible, es decir compatible con los vínculos.

Cuando la forma elegida difiera de la real, debe tenerse en cuenta que para satisfacer en cada instante las condiciones de equilibrio dinámico, requerirá la presencia de vínculos externos adicionales (ficticios). Estos vínculos rigidizarán al sistema incrementando el valor de la frecuencia natural.

En consecuencia, a la verdadera configuración de vibración le corresponde el menor valor de la frecuencia obtenida por el método de Rayleigh, de manera que entre varios resultados aproximados obtenidos con este método, el menor de ellos es siempre la mejor aproximación.

Ejemplo 3.3

Determinar la frecuencia fundamental de una viga simplemente apoyada con masa y rigidez a flexión constantes.

Como una primera aproximación se asume que la configuración modal es parabólica

( )

( )30

)1()()(

,4)()(,2)(

luego,)1()(

0

22

2

0

2

30

22

LmdxLx

Lxmdxxxm

LEIdxxxEI

Lx

Lx

Lxx

LL

L

=−=

=′′=′′

−=

∫∫

∫

ψ

ψψ

ψ

Reemplazando en (3.42), resulta

432 120304

LmEI

LmLEI

==ω

Si en cambio la forma asumida es senoidal )sin()(L

xx πψ = , se llega al siguiente resultado

4442 409.97

LmEI

LmEI

== πω

que es significativamente menor que el primero, 20% aproximadamente, y entonces debe considerarse que se trata de una aproximación mucho mejor.

En realidad este segundo valor es exacto, porque la forma senoidal es la verdadera configuración del modo fundamental de vibración de una viga uniforme simplemente apoyada.


La pregunta ahora es como fijar un criterio para seleccionar una aceptable configuración modal que asegure buenos resultados con el método de Rayleigh

Para eso, el concepto que se debe tener en cuenta es que, en vibraciones libres, los desplazamientos resultan de la aplicación de fuerzas de inercia y éstas, que son el producto de la masa por la aceleración, son proporcionales a la masa m(x) y a la amplitud de los desplazamientos. Entonces la configuración correcta ψc(x) es la elástica correspondiente a una carga pc(x) proporcional a m(x) ψc(x).

Si bien la configuración correcta ψc(x) es desconocida, la elástica obtenida a partir de una carga )()()( xxmxp ψ= , donde )(xψ es una aproximación razonable de la configuración modal, constituye una forma ψ (x) que asegura una muy buena precisión para la frecuencia.

Este procedimiento se ilustra en la fig.3.6

Figura 3.6: Elástica que resulta de fuerzas de inercia de una forma asumida

En general el método de Rayleigh da resultados suficientemente precisos a partir de un procedimiento menos refinado y trabajoso que el descrito arriba.

Consiste en suponer que la fuerza de inercia aproximada es simplemente el peso de la viga, es decir gxmxp )()( = . Luego se calcula la frecuencia sobre la base de la elástica resultante de esta carga.

Asumiendo que esta elástica representa la amplitud de los desplazamientos nodales, es decir

0)()( Zxxv ψ= (3.43)

de acuerdo con (3.41) se puede escribir

( )∫=L

dxxvxmT0

22max )()(

21 ω (3.44)

Por otra parte la energía de deformación máxima puede calcularse en forma simple teniendo en cuenta que en este caso debe ser igual al trabajo entregado por el sistema de cargas aplicadas, luego

∫∫ ==LL

dxxvxmgdxxvxpV00

max )()(21)()(

21 (3.45)

)()()( xxmxp ψ=

)()( xxvd ψ≈

Fuerza de inercia aproximada

Elástica configuración adoptada para aplicar el método de Rayleigh


Finalmente, a partir de Tmax = Vmax , resulta

( )∫

∫= L

L

dxxvxm

dxxvxmg

0

2

02

)()(

)()(ω (3.46)

A partir de (3.46) se obtienen las expresiones aproximadas que están incorporadas a los Reglamentos CIRSOC.

CIRSOC 102 “Acción del Viento sobre las Construcciones”

La expresión válida para estimar por defecto el periodo del modo fundamental de vibración de estructuras que presentan masas discretas, fig.3.7, es

Figura 3.7: Estructura con masas discretas

∑

∑

=

=== n

iii

n

iii

yPg

yPT

1

1

2

0 22 πωπ (3.47)

siendo Pi los pesos correspondientes a cada masa i, yi las flechas correspondientes a cada masa i bajo la suposición de comportamiento perfectamente elástico, y g es la aceleración de la gravedad.

CIRSOC 103 “Acción de los Sismos sobre las Construcciones”

Para estructuras de “pisos”, con masas concentradas a nivel de cada piso, la expresión aproximada para estimar el periodo del modo fundamental de vibración es

∑∑

∑

==

= === n

jjj

iiin

iii

n

iii

hW

hWF

uFg

uWT

11

1

2

0 con,22 πωπ (3.48)

1P

2P

nP

1y

2yny


siendo Wi los pesos correspondientes a cada masa i, ui las flechas correspondientes a cada masa i bajo la acción de las fuerzas laterales normalizadas iF , hi las alturas de los pisos i medidos desde la fundación.

Se observa que las fuerzas normalizadas iF son proporcionales a la distancia a la base, es decir proporcional a un desplazamiento )(xψ asumido lineal, y con ellas se calcula la elástica u(x) que interviene en la evaluación de Tmax y Vmax .

3.3. VIBRACIONES FORZADAS 3.3.1. Método de superposición modal 3.3.1.1. Coordenadas normales

Debido a la independencia lineal de las configuraciones modales, éstas constituyen una base para los vectores de dimensión Nx1, siendo N el número de grados de libertad del sistema.

Luego, en cualquier caso, el vector de los desplazamientos del sistema podrá expresarse como una combinación lineal de las configuraciones modales, siendo

{ } { } { } { } { }∑=

=+++=N

nnnNN tYtYtYtYtv

12211 )()()()()( φφφφ L (3.49)

o en notación matricial:

{ } [ ]{ })()( tYtv Φ= (3.50)

donde [ ] { } { } { }[ ]Nφφφ L21=Φ es la matriz de las configuraciones modales, cuadrada de dimensión NxN, cuyas columnas están formadas por los vectores modales, ver ec.(3.13), e { })(tY es el vector de las amplitudes modales { } { })(,),(),()( 21 tYtYtYtY N

T L= .

Es decir que las configuraciones modales constituyen N formas independientes para los desplazamientos, las amplitudes de las cuales sirven como coordenadas generalizadas para expresar cualquier estado de desplazamientos.

La ecuación (3.50) puede interpretarse como la ecuación de transformación de las coordenadas generalizadas {Y(t)} en las coordenadas geométricas {v(t)}, siendo la matriz de las configuraciones modales [Φ], la matriz de transformación. Estas coordenadas generalizadas {Y(t)}, que consisten en las amplitudes modales, se denominan las coordenadas normales de la estructura.

Debido a que la matriz [Φ] de un sistema de N grados de libertad consta de N vectores modales independientes, resulta no singular y puede ser invertida. Entonces, resulta siempre posible, despejar de la ecuación (3.50) las coordenadas normales asociadas con cualquier vector {v(t)} de desplazamientos dado.

Sin embargo la propiedad de ortogonalidad hace innecesario resolver el sistema de ecuaciones en {Y(t)}, representado por la ecuación matricial (3.50). Para evaluar una componente genérica Yn(t) se multiplican ambos miembros de (3.50) por { } [ ]mT

nφ , luego


{ } [ ]{ } { } [ ] [ ]{ })()( tYmtvm Tn

Tn Φ= φφ (3.51)

Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene:

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )()(

)()()( 2211

tYmtYm

tYmtYmtYm

NNT

nnnT

n

Tn

Tn

Tn

φφφφ

φφφφφ

+++

+++=Φ

L

L (3.52)

Por la propiedad de ortogonalidad se anulan todos los términos excepto el correspondiente a { }nφ , luego la ecuación (3.52) resulta:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }n

Tn

Tn

n

nnT

nT

n

mtvm

tY

tYmtvm

φφφ

φφφ

)()(

donde de,)()(

=

=

(3.53)

Comentario acerca de las coordenadas generalizadas: siendo

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ })()(

y)()(tbBtvtaAtv

==

(3.54)

donde {a(t)}son coordenadas generalizadas identificadas por las formas contenidas en [A], y {b(t)}son coordenadas generalizadas identificadas por las formas contenidas en [B].

Luego será

[ ]{ } [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ })()(

donde de)()(1 tbBAta

tbBtaA−=

= (3.55)

ecuación que transforma a las coordenadas generalizadas {b(t)} en las {a(t)}. En particular es

{ } [ ]{ })()( tvItv = (3.56)

Se puede interpretar así al vector {v(t)} como un vector de coordenadas generalizadas, denominadas coordenadas geométricas, identificadas por las formas:

[ ]I=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

010001

L

MMM

L

L

(3.57)

Luego haciendo

{ } { }{ } { })()(

y)()(tYtbtvta

==

(3.58)

la ecuación (3.55) de transformación de coordenadas toma la forma de la ecuación (3.50).

Se comprende así porque se afirmó que la ecuación (3.50) podía interpretarse como la ecuación de transformación de las coordenadas generalizadas {Y(t)} en las coordenadas geométricas {v(t)}.


3.3.1.2. Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas no amortiguados

Se utilizan ahora las propiedades de ortogonalidad de las coordenadas normales para desacoplar las ecuaciones del movimiento de un sistema no amortiguado de varios grados de libertad.

Para un sistema de este tipo la ecuación del movimiento, a partir de (3.1) resulta

[ ]{ } [ ]{ } { })()()( tptvktvm =+&& (3.59)

Luego se realiza la transformación de coordenadas indicada por la ecuación (3.50) introduciendo las coordenadas normales, teniendo en cuenta que { } [ ]{ })()( tYtv &&&& Φ= porque la matriz de las formas modales es independiente del tiempo, de la ecuación (3.59) resulta:

[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } { })()()( tptYktYm =Φ+Φ && (3.60)

Multiplicando a (3.60) por el vector transpuesto de una configuración modal genérica { }Tnφ ,

resulta

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ][ ]{ } { } { })()()( tptYktYm Tn

Tn

Tn φφφ =Φ+Φ && (3.61)

Pero si los dos términos del miembro de la izquierda se desarrollan como se muestra en la ecuación (3.52), debido a la propiedad de ortogonalidad de las formas modales, todos los términos, excepto el n-ésimo, se anularán y el resultado es:

{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { })()()( tptYktYm Tnnn

Tnnn

Tn φφφφφ =+&& (3.62)

Se define

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } { })()( tptP

kK

mM

Tnn

nT

nn

nT

nn

φ

φφ

φφ

=

=

=

(3.63)

siendo Mn la masa generalizada en coordenadas normales, para el modo n, Kn la rigidez generalizada en coordenadas normales, para el modo n, Pn(t) la carga generalizada en coordenadas normales, para el modo n.

Luego la ecuación (3.62) puede escribirse:

)()()( tPtYKtYM nnnnn =+&& (3.64)

que equivale a una ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad para el modo n-ésimo.

Por otra parte la ecuación (3.6) [ ] [ ]( ){ } { }0ˆ2 =− vmk ω correspondiente a vibraciones libres no amortiguadas, puede escribirse para el modo n-ésimo:

[ ]{ } [ ]{ }nnn vmvk ˆˆ 2ω= (3.65)

y dividiendo ambos miembros por una amplitud de referencia, resulta


[ ]{ } [ ]{ }nnn mk φωφ 2= (3.66)

Premultiplicando ambos miembros por { }Tnφ , la rigidez generalizada queda relacionada con

la masa generalizada, por la frecuencia de vibración

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }

nnn

nT

nnnT

n

MK

mk2

2

ω

φφωφφ

=

= (3.67)

Entonces, el uso de las coordenadas normales sirve par transformar a las ecuaciones del movimiento, de un sistema de N ecuaciones diferenciales en las coordenadas geométricas, acopladas por la existencia de las componentes fuera de la diagonal en las matrices de masa y rigidez, en un conjunto de N ecuaciones diferenciales independientes en las coordenadas normales.

En consecuencia la respuesta dinámica del sistema puede obtenerse resolviendo separadamente la ecuación (3.64) para cada coordenada normal, utilizando las técnicas empleadas para sistemas de un grado de libertad (por ejemplo: integral de Duhamel), y luego superponiendo estos resultados aplicando la ecuación (3.50) para obtener el vector de los desplazamientos.

Este procedimiento es conocido como el Método de superposición modal 3.3.1.3. Ecuaciones del movimiento desacopladas en sistemas amortiguados

Interesa ahora examinar bajo qué condiciones la introducción de las coordenadas normales sirve también para desacoplar las ecuaciones del movimiento de un sistema amortiguado.

Dichas ecuaciones, según (3.1), son:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })()()()( tptvktvctvm =++ &&& (3.1)

Introduciendo las coordenadas normales, de acuerdo con (3.50), y multiplicando por el vector transpuesto de una configuración modal genérica { }T

nφ ,resulta

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ][ ]{ }{ } [ ] [ ]{ } { } { })()(

)()(

tptYk

tYctYmT

nT

n

Tn

Tn

φφ

φφ

=Φ

+Φ+Φ &&& (3.68)

de acuerdo con las condiciones de ortogonalidad, se sabe que:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } nmk

nmm

mT

n

mT

n

≠=

≠=

para0

para0

φφ

φφ (3.69)

Suponiendo que la correspondiente condición de ortogonalidad es aplicable a la matriz de amortiguamiento, es decir suponiendo que:

{ } [ ]{ } nmc mT

n ≠= para0φφ (3.70)

entonces la ecuación (3.68) puede escribirse


n

nnnnnnn

nnnnnnn

MtP

tYtYtY

tPtYKtYCtYM)(

)()(2)(

tambiéno)()()()(

2 =++

=++

ωωξ &&&

&&&

(3.71)

en donde

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }{ } [ ]{ } { } { })()(,

2,2 tptPMkK

McCmMT

nnnnnT

nn

nnnnT

nnnT

nn

φωφφ

ωξφφφφ

===

=== (3.72)

Se observa que la masa, la rigidez y la carga generalizada para el sistema amortiguado, son idénticas a las del sistema no amortiguado , definidas por las ecuaciones (3.63).

El amortiguamiento generalizado definido por la ecuación (3.72) es de forma equivalente. El miembro de la derecha de esta ecuación, constituye una definición de la relación de amortiguación del modo n-ésimo ya que los otros factores son conocidos.

Comparando con la ecuación (2.28), se observa que la definición establece una analogía con la relación de amortiguamiento de los sistemas de un grado de libertad.

De manera análoga a lo dicho para estos sistemas, resulta generalmente más conveniente y físicamente razonable definir el amortiguamiento por la relación de amortiguamiento para cada modo , en lugar de tratar de evaluar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento [c]. 3.3.1.4. Condiciones de ortogonalidad en sistemas amortiguados

En la deducción de las ecuaciones del movimiento desacopladas para sistemas amortiguados, se asumió que las formas modales eran ortogonales con respecto a la matriz de amortiguamiento. Ahora se pretende ver bajo que condiciones, es decir para que tipo de matrices de amortiguamiento, esta propiedad resulta válida.

Se consideran dos métodos que permiten a partir de la adopción de las relaciones de amortiguamiento para una cierta cantidad de modos, calcular la matriz de amortiguamiento que verifica las condiciones de ortogonalidad.

a) Primer método

Rayleigh mostró que una matriz de la forma

[ ] [ ] [ ]kamac 10 += (3.73)

donde a0 y a1 son factores de proporcionalidad arbitrarios, satisface la condición de ortogonalidad (3.70), ya que es suficiente plantear las operaciones correspondientes y tener en cuenta las propiedades de ortogonalidad con respecto a las matrices de rigidez y masa.

Pero en forma más general se demuestra que cualquier matriz [c] de la forma

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]∑∑ ≡= −

bb

b

bb ckmamc 1 (3.74)

donde b toma valores enteros arbitrarios, -∞ < b < ∞, satisface la condición de ortogonalidad (3.70). Se observa que el amortiguamiento de Rayleigh (3.73) es un caso particular de (3.74) cuando b toma los valores 0 y 1.


Se supone entonces que la matriz de amortiguamiento es de la forma (3.74) y en consecuencia satisface las condiciones de ortogonalidad, luego, a partir de (3.72), se calcula la relación de amortiguamiento correspondiente a cada modo. De (3.72) es

{ } [ ]{ } nnnnT

nn McC ωξφφ 2== (3.75)

pero si [c] es de la forma (3.74), la contribución del término b de la sumatoria en el amortiguamiento generalizado es

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]( ) { }nbT

nbnbT

nnb kmmacC φφφφ 1−== (3.76)

para b = 2 resulta

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]kmkkmkmmkmm 11121 −−−− == (3.77)

y teniendo en cuenta la ecuación (3.66) [ ]{ } [ ]{ }nnn mk φωφ 2= , se puede plantear

{ } [ ] [ ] [ ]( ) { } { } [ ] [ ] [ ]{ }{ } [ ]{ } nnnnn

Tnn

nT

nnT

n

MKk

kmkkmm422

121

ωωφφω

φφφφ

===

= −−

(3.78)

Por medio de operaciones similares se puede generalizar este resultado, y se obtiene

{ } [ ] [ ] [ ]( ) { } nb

nnbT

n Mkmm 21 ωφφ =− (3.79)

Reemplazando en (3.76) resulta

nb

nbnb MaC 2ω= (3.80)

Luego será

nnnb

nb

nbb

nbn MMaCC ωξω 22 === ∑∑ (3.81)

de donde finalmente resulta

∑=b

bnb

nn a 2

21 ωω

ξ (3.82)

Esta ecuación permite calcular las relaciones de amortiguamiento de cada modo de vibración, a partir de una matriz de amortiguamiento de la forma (3.74) que satisface las condiciones de ortogonalidad.

Pero también a la inversa, una vez establecidas las relaciones de amortiguamiento de una cierta cantidad de modos, la ecuación (3.82) permite calcular los coeficientes ab, que definen la matriz de amortiguamiento, mediante la resolución del sistema de ecuaciones lineales que queda planteado.

Para que la ecuación (3.82) de lugar al sistema de ecuaciones mencionado, en la sumatoria deben incluirse tantos términos como relaciones de amortiguamiento modales se hayan especificado.


En principio los valores de b pueden adoptarse arbitrariamente en el rango -∞ < b < ∞, pero en la práctica conviene seleccionar estos valores lo más cercano a cero como sea posible.

Por ejemplo, para calcular los coeficientes para tres relaciones de amortiguamiento preestablecidas, las ecuaciones que resultan son

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1

0

1

33

32

22

32

11

31

3

2

1

11

11

11

21

aaa

ωωω

ωωω

ωωω

ξξξ

(3.83)

Generalizando se puede escribir

{ } [ ] { }aQ21

=ξ (3.84)

de donde se obtiene

{ } [ ] { }ξ12 −= Qa (3.85)

Finalmente la matriz de amortiguamiento se obtiene aplicando la ecuación (3.74).

Observación: una vez calculada la matriz de amortiguamiento a partir de las relaciones de amortiguamiento especificadas para ciertos modos, a los modos restantes le corresponderán relaciones de amortiguamiento determinadas por (3.82).

b) Segundo método

Se considera la matriz diagonal completa de los coeficientes de amortiguamiento generalizados, que debe obtenerse pre y post multiplicando la matriz de amortiguamiento por la matriz de las formas modales como se indica

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ΦΦ=

NNN

T

M

MM

cC

ωξ

ωξωξ

L

MMM

L

L

00

0000

2 222

111

(3.86)

A partir de esta ecuación se puede obtener la matriz de amortiguamiento, haciendo

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ccC TTT =ΦΦΦΦ=ΦΦ −−−− 1111 (3.87)

Luego para cualquier conjunto de relaciones de amortiguamiento ξn, con n = 1, N, aplicando la ecuación (3.87) se puede calcular la matriz de amortiguamiento, para la cual se cumplen las condiciones de ortogonalidad.

Pero la ecuación (3.87) no resulta práctica porque exige la inversión de la matriz de las formas modales. Se encuentra una alternativa a partir de


[ ] [ ] [ ] [ ]ΦΦ= mM T (3.88)

donde [M] es la matriz diagonal de las masas generalizadas, luego

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]ΦΦ=ΦΦ== −−− 111 mMMMI T (3.89)

de donde se obtiene

[ ] [ ] [ ] [ ]mM TΦ=Φ −− 11 (3.90)

Sustituyendo (3.90) en (3.87) resulta

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ]( )mMCMmc TΦΦ= −− 11 (3.91)

Además

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −−

2

22

2

21

1

11

00

00

00

N

N

MC

MC

MC

MCMC

L

MOMM

L

L

(3.92)

siendo nnnn MC ωξ2= , resulta n

nn

n

n

MMC ωξ2

2 = , entonces llamando

n

nnn M

ωξς

2= (3.93)

la ecuación (3.91) puede escribirse

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]mmc TΦΦ= ς (3.94)

donde [ζ] es la matriz diagonal de de los elementos ζn.

A partir de la ecuación (3.94) se presenta la siguiente variante más conveniente para la práctica

[ ] [ ]

[ ] [ ]{ } { } [ ]mmc

cc

Tnnnn

N

nn

φςφ=

= ∑=

donde1 (3.95)

Luego

[ ] [ ] { } { } [ ]mmcN

n

Tnnn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=1φςφ (3.96)

y reemplazando a ζn de acuerdo con (3.93), finalmente resulta


[ ] [ ] { }{ } [ ]mM

mcN

n

Tnn

n

nn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=1

2φφ

ωξ (3.97)

En esta ecuación se observa la contribución de cada modo con su correspondiente relación de amortiguamiento, de manera que cualquier modo no amortiguado no contribuye en dicha formación. Es decir, sólo los modos específicamente incluidos en la formación de la matriz de amortiguamiento resultan amortiguados, y todos los restantes sin amortiguamiento.

Finalmente hay que hacer notar que la evaluación de la matriz de amortiguamiento, aplicando la ecuación (3.74) o la (3.97), no es necesaria cuando se utiliza el método de superposición modal, ya que se aplican directamente las relaciones de amortiguamiento de cada modo, como se puede observar en las expresiones (3.71) y (3.72).

En cambio dicha evaluación es necesaria cuando se aplica otro procedimiento de análisis, como por ejemplo integración directa paso a paso. 3.3.1.5. Resumen del método de superposición modal

La base del método de superposición modal consiste en la transformación de las coordenadas geométricas a las coordenadas normales, logrando cambiar al sistema de N ecuaciones del movimiento, de un sistema de ecuaciones acopladas a un sistema de ecuaciones independientes.

Permite evaluar la respuesta de estructuras con comportamiento elástico lineal, ya que de otra forma no quedan definidos modos naturales de vibración, cuyos desplazamientos se han expresado en función de un conjunto finito de N grados de libertad, y donde el amortiguamiento puede ser expresado por medio de relaciones de amortiguamiento modales.

Se resume en los siguientes pasos:

a) Ecuación del movimiento: de acuerdo a (3.1) es

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })()()()( tptvktvctvm =++ &&& (3.1)

Esta ecuación no se plantea, pero en necesario formular las matrices [ ] [ ]km , y el vector { })(tp

b) Determinación de los modos y frecuencias naturales de vibración: a partir de la ecuación de vibraciones libres no amortiguadas

[ ] [ ]( ){ } { }0ˆ2 =− vmk ω (3.6)

para que exista solución no trivial se debe anular el determinante de la matriz del sistema, es decir se debe resolver la siguiente ecuación característica del sistema

[ ] [ ] 02 =− mk ω (3.7)

de donde se obtienen las N frecuencias 2nω . Reemplazando de a una por vez en (3.6) se

calculan los N modos naturales de vibración { }nv̂ , que luego se normalizan por ejemplo con la mayor componente igual a 1.0: { }nφ .


c) Cálculo de la masa y carga generalizada: usando a cada vector modal { }nφ por vez se calcula:

{ } [ ] { } { } { })()(, tptPmM nnnnnΤΤ == φφφ (3.63)

d) Ecuaciones del movimiento desacopladas: se escribe la ecuación del movimiento para cada modo, utilizando la masa y la carga generalizada, junto con la frecuencia modal ωn, y el valor especificado para la relación de amortiguamiento ξn. Resulta

n

nnnnnnn M

tPtYtYtY

)()()(2)( 2 =++ ωωξ &&& (3.71)

e) Respuesta modal a la carga: cada una de las ec.(3.71) puede resolverse aprovechando las soluciones obtenidas para sistemas de un grado de libertad, dependiendo del tipo de carga. Una expresión general de la respuesta se obtiene aplicando la integral de Duhamel (2.103) para cada modo

[ ] ττωτω

τωξ dtsenePM

tY nDtnn

t

nnnD

n )()(1)( )(

0

−= −−∫ (3.98)

f) Vibraciones libres modales: la ec.(3.98) es aplicable a un sistema que se encuentra en reposo para t = 0. Si las condiciones iniciales no son nulas, debe añadirse la respuesta en vibraciones libres dada por (2.33), que para cada modo resulta

[ ])cos()0()sen()0()0(

)( tYtYY

etY nDnnDnD

nnnntnnn ωω

ωωξωξ +

+= −

& (3.99)

donde )0(,)0( nn YY & representan el desplazamiento y la velocidad inicial modal. Se obtienen a partir de los desplazamientos y velocidades iniciales { } { })0(,)0( vv & expresadas en las coordenadas geométricas originales, aplicando (3.53) se obtiene

{ } [ ] { } { } [ ] { }

n

nn

n

nn M

vmY

Mvm

Y)0(

)0(,)0(

)0(&&

ΤΤ

==φφ

(3.100)

g) Respuesta de desplazamientos en coordenadas geométricas: calculadas las respuestas )(tYn para cada modo, se aplica la ecuación (3.49) de superposición modal para obtener los

desplazamientos en coordenadas geométricas

{ } { } { } { } )()()()( 2211 tYtYtYtv NNφφφ +++= K (3.49)

que también puede escribirse en forma matricial con

{ } [ ]{ })()( tYtv Φ= (3.50)

Para la mayoría de los tipos de cargas, especialmente la acción sísmica, prepondera notoriamente la contribución de los primeros modos, de frecuencia más baja, y entonces la


serie puede ser truncada en los primeros términos. Significa que sólo es necesario evaluar los modos y frecuencias más bajas.

h) Respuesta en fuerzas elásticas: las fuerzas elásticas que resisten la deformación de la estructura resultan

{ } [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ]{ } [ ]{ }[ ]{ } [ ]{ } K

K

++=

++=Φ==

)()(

)()()()()(

222211

21

2211

tYmtYm

tYktYktYktvktf S

φωφω

φφ (3.101)

la última expresión de (3.101) indica que los modos de frecuencia altas tienen mayor participación en la determinación de las solicitaciones (al estar multiplicadas por 2

nω ) que la de los desplazamientos de la estructura. En consecuencia sería necesario incluir una mayor cantidad de componentes modales, que los utilizados en el cálculo de los desplazamientos, para lograr la misma precisión en el cálculo de las fuerzas elásticas.

Ejemplo 3.4

Análisis por superposición modal de un pórtico de 5 pisos.

Se trata del mismo pórtico utilizado en el ejemplo 3.2 en el cálculo de modos y frecuencias. La discretización en elementos de barra se muestra en la fig.3.8.

Figura 3.8: Discretización del pórtico con elementos de barra

Las cargas aplicadas poseen una distribución lineal en la altura, tipo triángulo invertido, y )(tf es una función senoidal que tiene una duración de 10.24 seg.

)932.19sin(400)(

1

3143.0

2571.0

2000.0

1429.0

0857.0

)()(

0

05

04

03

02

01

0

tKNtf

P

P

P

P

P

P

tfPtP

i

ii

=

=

=

=

=

=

=

=

∑

Amortiguamiento: para todos los modos ξi = 0.05.

Se considera la carga vertical permanente


Utilizando los vectores modales{ }nφ obtenidos en el ejemplo 3.2 se calcularon los valores de masa, rigidez y carga generalizada además del amortiguamiento generalizado, dados en la ecuación (3.72). Los resultados se indican en la tabla 3.1.

Tabla 3.1: Masa, rigidez, amortiguamiento y carga generalizadas

Modo nM ( KN s2 /cm2)

nK ( KN /cm)

nC ( KN s /cm2)

nP ( KN )

1 1.1144 0.4809 x 102 0.7321 0.7414 2 0.8108 0.3253 x 103 1.6320 0.0265 3 0.6166 0.9621 x 103 3.9350 0.0443 4 1.8827 0.7338 x 104 28.619 0.0000 5 3.4444 0.1357 x 105 52.893 0.0011

Puede observarse que el valor de carga generalizada para el modo 4 es igual a cero, por lo que este modo no es excitado bajo el estado de carga analizado y por lo tanto no contribuirá en la respuesta. Del mismo análisis se desprende que los tres primeros modos serán los de mayor colaboración en la respuesta.

Con la ecuación (3.71) se calcula la respuesta modal )(tYn a la carga, para cada uno de los modos analizados. En la fig.3.9 se muestra la respuesta del desplazamiento horizontal del último piso )(103 tYnnφ para los tres primeros modos.


Figura 3.9: Contribución de los modos de más bajas frecuencias

Por último aplicando la ecuación (3.49) de superposición modal, se obtiene la historia del desplazamiento horizontal del último piso, que se muestra en la fig.3.10.

Figura 3.10: Respuesta obtenida por superposición modal

Se observa cómo después de finalizada la aplicación de la carga, 10.24 seg, comienza una fase de vibración libre amortiguada que hace tender a cero el desplazamiento.


3.3.2. Integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a paso 3.3.2.1. Generalidades

Las características generales de los métodos de integración directa de las ecuaciones del movimiento paso a paso son

Los cálculos se efectúan sobre las coordenadas geométricas originales { })(tv , y la correspondiente ecuación del movimiento

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })()()()( tptvktvctvm =++ &&& (3.1)

La variable tiempo se discretiza mediante la introducción de un intervalo de tiempo que separa a cada par de valores consecutivos.

Se plantean las ecuaciones de equilibrio dinámico, o del movimiento, sólo en los instantes correspondientes a dicha discretización. De este modo las ecuaciones del movimiento que deben ser satisfechas pueden escribirse en función de los incrementos habidos al cabo de cada intervalo de tiempo

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }pvkvcvm ∆=∆+∆+∆ &&& (3.102)

Así queda planteado, para cada instante correspondiente a la discretización efectuada, un sistema de N ecuaciones lineales algebraicas con 3N incógnitas: { } { } { }vvv ∆∆∆ ,, &&& . Es decir que mediante la discretización de la variable tiempo se ha transformado al sistema de las N ecuaciones diferenciales del movimiento en un conjunto de sistemas de N ecuaciones lineales algebraicas, cada uno de los cuales debe satisfacerse transcurrido un intervalo de tiempo.

Asumiendo en el corto intervalo de tiempo de la discretización una adecuada ley de variación para la aceleración, o para el desplazamiento, es posible vincular entre si a los desplazamientos, velocidades y aceleraciones, de modo que los incrementos de aceleraciones y velocidades pueden expresarse en función de los incrementos de desplazamientos. Entonces, efectuado el reemplazo en la ecuación del movimiento (3.102), el problema se reduce a resolver un sistema de N ecuaciones algebraicas lineales con el vector incógnita { }v∆ , en cada instante de la discretización.

En las relaciones establecidas entre los incrementos de los desplazamientos, de las velocidades y de las aceleraciones, intervienen valores de dichas magnitudes correspondientes al origen del intervalo, de modo que los cálculos se deben desarrollar ordenadamente avanzando paso a paso a través del tiempo.

Existen diversos métodos de integración directa de las ecuaciones de movimiento paso a paso, los cuales difieren entre si en las leyes asumidas para la variación de las aceleraciones o de los desplazamientos y las respectivas ecuaciones resultantes que vinculan a los incrementos de velocidades y las aceleraciones con el incremento de desplazamientos. Se distinguen métodos de paso único, por ejemplo Wilson-θ, Newmark, y métodos de paso múltiple, por ejemplo Park, según la ley de variación asumida se desarrolle en un único incremento de tiempo ∆t o en varios.


Por otra parte se clasifican en explícitos o implícitos según que los desplazamientos o sus derivadas sean expresados totalmente en términos de valores obtenidos en pasos anteriores, o queden en función de valores correspondientes al paso considerado. Entre los primeros se encuentra el método de las diferencias finitas centrales, de fácil implementación computacional pero con el inconveniente de ser condicionalmente estable. Entre los últimos se encuentran los métodos de Wilson-θ, Newmark y Park. En problemas lineales estos tres métodos son incondicionalmente estables. En problemas no lineales trabajos de Park con ecuaciones de un grado de libertad muestran que los límites de estabilidad, es decir el mayor tamaño del paso ∆t para el cual se mantiene la estabilidad de la solución, son mayores en el método de Park que en los otros dos.

El principal campo de aplicación de los métodos de integración directa está en el campo de las estructuras de comportamiento no lineal. Por un lado porque en tales estructuras los cambios en sus características dinámicas invalidan el concepto de los modos naturales de vibración, y en consecuencia ya no es posible el desacople de las ecuaciones de movimiento por introducción de las coordenadas normales. Por otro lado porque el desarrollo del proceso de cálculo paso a paso a través de cortos intervalos de tiempo, permite ir cambiando las características de rigidez, amortiguamiento y/o masa del sistema en los extremos de cada intervalo, de modo que el análisis no lineal se aproxima a una secuencia de análisis de distintos sistemas lineales. Además, a diferencia del método de superposición modal, en los métodos de integración directa la matriz de amortiguamiento se debe expresar explícitamente. Puede considerarse una desventaja cuando exige el cálculo de la matriz a partir de las relaciones de amortiguamiento de los modos por los métodos descriptos, y puede constituir una ventaja porque permite introducir, con toda generalidad, matrices de amortiguamiento que no satisfacen condiciones de ortogonalidad con respecto a las configuraciones modales.

Resulta interesante observar que en los métodos de integración directa se completa la idea del método de los elementos finitos, porque la discretización realizada en el dominio geométrico se extiende también al dominio del tiempo, y la ecuación de equilibrio dinámico se plantea en determinados puntos, los nodos del sistema, pero también para determinados instantes. De este modo el sistema original de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales que se reduce a un sistema de ecuaciones diferenciales en la derivada tiempo al discretizar la geometría del problema, termina por convertirse en un conjunto de sistemas de ecuaciones algebraicas al discretizar también la variable tiempo.

A continuación se presenta el método de la aceleración lineal y luego el método de Newmark.

3.3.2.2. Método de la aceleración lineal

Se supone que en el intervalo de tiempo adoptado para la discretización, la aceleración varía linealmente, como se muestra en la fig.3.11


Figura 3.11: Variación de la aceleración en el intervalo de tiempo

Donde )(tvk&& indica una componente genérica del vector { })(tv&& , y t indica el origen del intervalo. A partir de la fig.3.11, resulta

( )

62)()()()(

2)()()(

Luego21)()(

21,)(

)()(

22

21

21

tvttvttvtvttv

tvttvtvttv

tvttvttvAttvA

AAtvttv

kkkkk

kkkk

kkkk

kk

∆∆+

∆+∆+=∆+

∆∆+∆+=∆+

∆∆=∆−∆+=∆=

++=∆+

&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&

&&

(3.103)

Las dos últimas ecuaciones de (3.103) pueden escribirse

62)()(

2)(

22 tvttvttvv

tvttvv

kkkk

kkk

∆∆+

∆+∆=∆

∆∆+∆=∆

&&&&&

&&&&&

(3.104)

Despejando de la primera kv&&∆ y reemplazando en la segunda de (3.104) se obtiene finalmente

)(

2)(33

)(3)(662

tvttvvt

v

tvtvt

vt

v

kkkk

kkkk

&&&&

&&&&&

∆−−∆

∆=∆

−∆

−∆∆

=∆ (3.105)

De donde

{ } { } { } { }

{ } { } { } { })(2

)(33

)(3)(662

tvttvvt

v

tvtvt

vt

v

&&&&

&&&&&

∆−−∆

∆=∆

−∆

−∆∆

=∆ (3.106)

kv&&

)(tvk&&)( ttvk ∆+&&

t tt ∆+ t

1A

2A


Reemplazando en la ecuación de movimiento escrita en forma incremental (3.102), resulta

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { } [ ]{ } { }pvktvttvvt

c

tvtvt

vt

m

∆=∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−∆∆

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∆−∆

∆

)(2

)(33

)(3)(662

&&&

&&&

(3.107)

Finalmente se puede plantear

[ ]{ } { }

[ ] [ ] [ ] [ ]

{ } { } [ ] { } { } [ ] { } { }⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∆

+∆=∆

∆+

∆+=

∆=∆

)(2

)(3)(3)(6~

36~donde

~~

tvttvctvtvt

mpp

ct

mt

kk

pvk

&&&&&&

(3.108)

Se observa en (3.108) que para calcular { }p~∆ son necesarios { } { })(,)( tvtv &&& , los que deben ser calculados en el paso anterior, e inicialmente definidos por las condiciones iniciales.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, primera ecuación de (3.108), y obtenido el vector { }v∆ , utilizando las expresiones (3.106) se calculan los incrementos { } { }vv &&& ∆∆ , . Luego

{ } { } { }{ } { } { }{ } { } { }vtvttv

vtvttvvtvttv

&&&&&&

&&&

∆+=∆+∆+=∆+∆+=∆+

)()()()()()(

(3.109)

Con las dos últimas expresiones de (3.109) se calculan los valores de la velocidad y aceleración necesarios para definir el término independiente { }p~∆ para el paso siguiente.

Además, la primera de dichas ecuaciones va configurando a través del tiempo la respuesta en desplazamientos de la estructura.

Este método de la aceleración lineal es condicionalmente estable. La solución se vuelve divergente cuando la estructura posee modos de vibración con periodos inferiores a aproximadamente 1.8 veces el intervalo de integración adoptado.

Entonces, para asegurar la estabilidad de la solución, el intervalo de la discretización debe ser menor que la mitad del menor periodo de vibración modal de la estructura, independientemente que este modo contribuya o no significativamente en la respuesta.

3.3.2.3. Método de Newmark

La ecuación de movimiento (3.1), para el instante t + ∆t, se expresa de la siguiente manera

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { })()()()( tfttpvkttvcttvm −∆+=∆+∆++∆+ &&& (3.110)

donde el vector { })(tf representa las fuerzas internas en el tiempo t, ya conocidas al final del paso anterior. Si el comportamiento es lineal será { } [ ]{ })()( tvktf = , mientras si la estructura


tiene un comportamiento no lineal físico, el incremento de fuerzas internas en cada paso se ajusta iterativamente hasta lograr el equilibrio entre las fuerzas externas e internas.

Se adopta una variación para la aceleración dentro del paso de tiempo en función de parámetros β y γ, luego integrando resulta:

)()

21()()()()(

)()1()()()(

22 tvtttvttvttvttv

tvtttvttvttv

kkkkk

kkk

&&&&&

&&&&&&

∆−+∆+∆+∆+=∆+

∆−+∆+∆+=∆+

ββ

γγ (3.111)

Para 41

21 , == βγ resulta el método de la aceleración promedio o regla trapezoidal, que es el

más usado por ser incondicionalmente estable. Si se utiliza 61

21 , == βγ se reproduce el

método de la aceleración lineal.

A partir (3.111) se expresa { } { })(,)( ttvttv ∆+∆+ &&& en función de { }v∆ , reemplazando en (3.110) y reordenando

[ ]{ } { } { } [ ]{ } [ ]{ })()()()(~ tPctQmtfttpvk ++−∆+=∆ (3.112)

donde

[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { } { }{ } { } { })()()(

)()()(

~

54

32

10

tvatvatPtvatvatQcamakk

&&&

&&&

+=+=++=

(3.113)

con 201t

a∆

=β

t

a∆

=βγ

1 t

a∆

=β

12

121

3 −=β

a 14 −=βγa )1

2(5 −∆=

βγta (3.114)

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones (3.112) y obtenido el vector { }v∆ , se actualizan los vectores de desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas en t + ∆t, los cuales son utilizados como valores iniciales para el paso siguiente.

Se resume el algoritmo de solución para el caso más general de comportamiento no lineal. Dentro del esquema iterativo de Newton-Raphson, la matriz de rigidez tangente se va actualizando en cada iteración de equilibrio de cada paso de tiempo. Para el caso lineal, dicha matriz es constante.

Por simplicidad las matrices y vectores se indican en letras negrita, el subíndice n indica el paso de tiempo y el supraíndice m la iteración de equilibrio.

Así, la ec.(3.112) se escribe

111*

−−− ++−=∆ nn

mnn

mn

mn PCQMFRvK (3.115)

donde CMKK 10* aam

nm

n ++= 13121 −−− += nnn aa vvQ &&& (3.116) 15141 −−− += nnn aa vvP &&&


El esquema de solución para cada paso de tiempo n, comenzando con m = 0, es:

1. Calcular la matriz de rigidez efectiva

CMKK 10* aann ++= (3.117)

2. Calcular el vector de cargas incremental efectivo

111*

−−− ++−=∆ nnnnn PCQMFRR (3.118)

3. Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas

nnnn vRvK ∆→∆=∆ ** (3.119)

4. Computar desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas nnn vvv ∆+= −1 11 −−∆= nnn a Pvv& 10 −−∆= nnn a Qvv&& (3.120) nnnnn FFFFv ∆+=→∆→∆ −1

5. Iteraciones de equilibrio: m = 0

6. Para la iteración de equilibrio m-ésima: 1+← mm

- Actualizar la matriz de rigidez

CMKK 10* aam

nm

n ++= (3.121)

- Computar el vector de cargas residual

111* )( −−− −−−=∆∆ mn

mn

mnn

mn vCvMFRR &&& (3.122)

para m = 1 es: 10

−= nn FF

- Resolver

mn

mn

mn

mn )()()( ** vRvK ∆∆→∆∆=∆∆ (3.123)

- Calcular nuevos desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas internas

mn

mn

mn )(1 vvv ∆∆+∆=∆ −

mn

mn

mnn

mn )(1

1 vvvvv ∆∆+=∆+= −−

11 −−∆= nmn

mn a Pvv& (3.124)

10 −−∆= nmn

mn a Qvv&&

mnn

mn

mn

mn FFFFv ∆+=→∆→∆ −1

- Verificar convergencia

3*

*

10)()( −

Τ

Τ

=≤∆∆∆∆∆∆

ETOLnn

mn

mn

RvRv

, 2

2*

2*

10)(

−=≤∆

∆∆RTOL

n

mn

R

R (3.125)


- Si converge pasar al paso 7.

- Si no converge: repetir el paso 6.

7. Actualizar vectores

mnn vv =

mnn vv && =

mnn vv &&&& = (3.126)

nnn aa vvQ &&& 32 += nnn aa vvP &&& 54 +=

nnnnmn FFFFv ∆+=→∆→∆ −1

8. Nuevo paso de tiempo: 1+= nn

Observaciones:

En el proceso iterativo, el sistema de ecuaciones a resolver para la iteración m (3.123) se obtiene a partir de:

101

1010 )())(( −

−−

− +∆∆=−∆∆+∆=−∆= mn

mnn

mn

mnn

mn

mn aaa vvQvvQvv &&&& (3.127)

análogamente:

11 )( −+∆∆= m

nmn

mn a vvv && (3.128)

reemplazando en la ecuación de movimiento para la iteración m :

1)( −−=∆∆++ mnn

mn

mn

mn

mn FRvKvCvM &&& (3.129)

resulta:

[ ]

mn

mn

mn

mn

mn

mnn

mn

mn aa

)()(

)(

*

11110

RvK

vCvMFRvCMK

∆∆=∆∆

−−−=∆∆++ −−− &&& (3.130)

Se puede utilizar el método de Newton-Raphson actualizando la matriz de rigidez en todas las iteraciones, o se puede utilizar el método de Newton-Raphson modificado en el cual sólo se actualiza la matriz de rigidez en el comienzo de un nuevo paso de tiempo (o escalón de carga).


Ejemplo 3.5

Análisis por integración directa de un pórtico de 5 pisos.

Se resuelve el pórtico presentado en el ejemplo 3.2 aplicando ahora el método de Newmark de integración directa paso a paso de las ecuaciones de movimiento, utilizando un algoritmo computacional implementado en el programa DINLI.

Para la matriz de amortiguamiento se utilizó la forma de Rayleigh (3.73)

[ ] [ ] [ ]kamac 10 += (3.73)

donde a0 y a1 se calculan a partir de considerar una relación de amortiguamiento ξ = 0.05 para los dos primeros modos de vibración. Las expresiones resultan

21

22

11221

211110

)(22

ωωξωξω

ωξω−−

=−= aaa (3.131)

Los resultados de la historia del desplazamiento horizontal del último piso se muestran en la fig.3.12.

Figura 3.12: Desplazamiento horizontal del último piso

Comparación de resultados

Se comparan los resultados del desplazamiento horizontal del último piso del pórtico de cinco pisos obtenidos con integración directa de las ecuaciones de movimiento y con superposición modal, ver fig.3.13.

Se observa un buen acuerdo general, con pequeñas diferencias en los valores de los picos de los primeros ciclos. Estas diferencias se deben a las diferentes técnicas de aproximación numérica empleadas, la cantidad de modos considerados en la respuesta, la discretización de la variable tiempo, etc.

De todas maneras, cualquiera de las dos técnicas puede ser utilizada, dependiendo del problema particular a resolver cuál es la más conveniente.


Figura 3.13: Comparación de resultados

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t (seg)

Des

plaz

amie

nto

(cm

) Integración directaSuperposición modal

REFERENCIAS 75

REFERENCIAS

La bibliografía sobre el tema análisis de estructuras con acciones dinámicas es amplísima, tanto en libros como en artículos publicados en revistas científicas y memorias de congresos de la especialidad.

En este apartado solamente se indican unas pocas, básicas, que se han tomado como referencia para escribir gran parte de los capítulos.

Clough, R.W. and Penzien, J. (1975). Dynamics of Structures. Mc Graw - Hill.

Chopra, A.K. (1995). Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering. Prentice - Hall.

Bathe, K.J. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice - Hall.

Gerardin, M. and Rixen, D. (1994). Mechanical Vibrations. Theory and Applications to Structural Dynamics. John Wiley and Sons.

Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. (1994). El Método de los Elementos Finitos. Vol I: Formulación Básica y Problemas Lineales, Vol II: Mecánica de Sólidos y Fluidos. Dinámica y No Linealidad. Mc Graw Hill – CIMNE – 4º Ed. – Madrid.

facultad de ciencias exactas, ingenierÍa y …

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