expresiones algebraicas · el polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de...

Seminario Universitario – Matemática

1

Módulo 3

Expresiones Algebraicas

“Difícilmente se pueda estudiar cualquier rama de la matemática actual sin un ‘manejo’

algebraico razonable. Usamos la palabra manejo y no la de ‘estudio’, porque en matemática

no es suficiente ‘estudiar’ en el sentido corriente de la palabra. El álgebra está ‘metida’ en

toda la matemática... Es bien conocida la utilidad del álgebra en la química y en la física...

En general muchos capítulos del álgebra han adquirido vigencia y aparecen

inesperadamente despertando el interés de ecónomos, biólogos y estadísticos...”

Enzo Gentile

Una expresión algebraica es aquella que vincula números y letras por medio de las operaciones aritméticas: suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación.

Por ejemplo, son expresiones algebraicas: 2 22 3; 5 ; 2 3 5x x x y z

y.

Según las operaciones que afecten a la o las indeterminadas las podemos clasificar en según el siguiente cuadro:

EnterasRacionales

Expresiones Algebraicas Fraccionarias

I rracionales

POLINOMIO EN UNA VARIABLE

Se llama polinomio en la variable x de grado n (n 0) a la siguiente expresión:

1 2 21 2 2 1 0( ) .....n n n

n n nP x a x a x a x a x a x a o bien

0

( )

nk

k

k

P x a x

donde

1 2 2 1 0

, , , ..... , , ,n n n

a a a a a a son los coeficientes; x es la variable o

indeterminada; y los exponentes de la variable x son todos enteros no negativos.

Módulo 3: Expresiones Algebraicas

2

El grado de un polinomio es el del término de más alto grado. Por ejemplo, el grado de

5 3 21

4 3 82

x x x es 5, pues el primer término es de quinto grado (los demás son de

grado 3,2 y 0 respectivamente).

El coeficiente del término que determina el grado de un polinomio se denomina coeficiente

principal.

Un polinomio está ordenado en forma creciente (decreciente) cuando el grado de cada uno

de sus términos va aumentando (disminuyendo) consecutivamente.

Un polinomio ordenado es completo cuando el grado de sus términos aumenta o

disminuye de uno en uno, incluyendo al de grado cero.

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo. El polinomio nulo carece de grado. Si en un polinomio P (x) se reemplaza la indeterminada por un número real, se obtiene otro

número real denominado valor numérico del polinomio. Por ejemplo:

2

2

2

Si ( ) 4 3

(1) 4 1 1 3 4 1 3 6

( 2) 4 2 2 3 4 4 2 3 16 2 3 21

P x x x

P

P

También se dice que se ha especializado el polinomio P (x) para x = 1, y para x = –2. Dos o más términos son semejantes si son del mismo grado.

Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado son respectivamente iguales. En símbolos: Dados

1 2 1 21 2 1 0 1 2 1 0( ) ... y ( ) ...n n n n

n n n nP x a x a x a x a x a Q x b x b x b x b x b

es 1 1 2 2 1 1 0 0( ) ( ) ...n n n nP x Q x a b a b a b a b a b .

Resulta evidente que dos polinomios iguales tienen el mismo grado. Dos polinomios son opuestos si tienen opuestos los coeficientes de los términos

semejantes. Al opuesto de un polinomio P (x) lo simbolizaremos –P (x).

Por ejemplo, dado 2 7( ) 5 3

4P x x x , su opuesto es 2 7

( ) 5 34

P x x x .

ACTIVIDAD 1

Dados los polinomios:

2 31( ) 5 20 ; ( ) 3 2 56 ; ( ) 5 16

2P x x Q x x x R x x x

a) Determinar el grado y el coeficiente principal de cada uno de ellos.

b) Calcular: 1

(1) ; ( 3) ; (0) ; (4) ; ( 2) ; ; (4) ; (4) ; 2 ; (1) (2) (0)5

P P P P Q Q Q R R P Q R

.


3

OPERACIONES CON POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

SUMA

Para sumar dos polinomios, se suman término a término los términos semejantes. Ejemplo:

Dados P(x) = 2 x3 + 5 x2

– 7 x + 6 y Q(x) = 6 x2 + 7, hallar P(x) + Q(x):

Es conveniente ordenar los polinomios de la siguiente manera:

3 2

2

3 2

( ) 2 5 7 6

( ) 6 7

( ) ( ) 2 11 7 13

P x x x x

Q x x

P x Q x x x x

“El grado del polinomio suma es menor o igual que el grado del polinomio sumando de mayor grado”.

Para efectuar la resta de dos polinomios, se suma al polinomio minuendo el opuesto del

polinomio sustraendo. En símbolos: ( ) ( ) ( ) ( )P x Q x P x Q x .

Ejemplo:

3 3 2Dados ( ) 5 8 4 ( ) 2 2, hallar ( ) ( ) :P x x x Q x x x x P x Q x

La disposición es similar que la usada para la suma, pero en lugar de escribir Q (x), se escribe el opuesto:

3

3 2

3 2

( ) 5 8 4

( ) 2 2

( ) ( ) 4 2 7 2

P x x x

Q x x x x

P x Q x x x x

PRODUCTO

a) de un polinomio por un número real

El producto de un polinomio por un número real se resuelve aplicando la propiedad distributiva: Ejemplo:

2

2 2 2

11Si ( ) 5 1, hallar 6 ( ) :

3

11 116 ( ) 6 5 1 6 6 5 6 1 22 30 6

3 3

P x x x P x

P x x x x x x x

b) de dos polinomios

Para efectuar el producto de dos polinomios, se hace la siguiente disposición práctica:

Efectuar 2( ) ( ) , si ( ) 4 3 2 ( ) 3 4P x Q x P x x x Q x x :

2

2

3 2

3 2

4 3 2

3 4

16 12 8

12 9 6

12 25 18 8

x x

x

x x

x x x

x x x


4

En la primer fila debajo de la línea, encontramos el producto de P (x) por 4, y en la segunda, el producto de P (x) por –3 x. Notemos que se van encolumnando los términos semejantes. Por último, efectuamos la suma. “El grado del producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores”.

Productos Especiales

Cuadrado de un binomio: 2 2 2

2x a x x a a

Cubo de un binomio: 3 3 2 2 3

3 3x a x x a x a a

Producto de la suma por la diferencia de dos términos: 2 2x a x a x a

COCIENTE

Para resolver el cociente de un polinomio por un número real se aplica la propiedad distributiva, La disposición práctica para efectuar el cociente entre dos polinomios es la que se muestra en el siguiente ejemplo, donde se resuelve el cociente:

4 3 210 11 22 53 4 : 5 8x x x x x

410 x

3 2

4

11 22 53 4 5 8

10

x x x x

x 3 3 2

3

16 2 6 1

5

x x x x

x

2

3

22

5

x

x 2

2

8

30

x

x

2

53

30

x

x

48

5

x

x 4

5 x

8

4 Resto

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. El polinomio dividendo debe escribirse ordenado en forma decreciente y completa.

2. Se divide el primer término del polinomio dividendo por el primer término del polinomio divisor.

3. Se multiplica este resultado por el divisor y se resta del polinomio dividendo.

4. Se bajan los términos necesarios y se repite la operación hasta obtener una expresión de grado menor que el del divisor. Esta última expresión recibe el nombre de resto.

“El grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre el grado del polinomio dividendo y el del polinomio divisor”.

ACTIVIDAD 2

Dados los polinomios:

2 2 3 23( ) 2 ; ( ) 5 ; ( ) 2 5 ; ( ) 2 4 5 18

2P x x Q x x R x x S x x x x


5

Calcular:

22 3

) ) 4 )

1 1) ) )

2 2

4) : ) )

3

a P Q b Q R c P R

d S P R e S P R f P Q S R

g S R h R S i P Q R

División de un polinomio de una variable por otro de la forma x – a

Para dividir un polinomio P (x) por otro de la forma x – a, se hace uso de una regla práctica

conocida como regla de Ruffini. Esta regla permite calcular los coeficientes del cociente antes mencionado, veámosla en un

ejemplo: Dividir 4 3 25 6 9 10 3 : 2x x x x x

5 6 9 10 3

2 10 8 34 48

5 4 17 24 51

Procedimiento:

1. En la primera fila se escriben los coeficientes del polinomio dividendo, ordenados en forma decreciente y completa. (Si falta algún término se completa con cero.)

2. En el ángulo superior izquierdo se escribe a.

3. Se baja el primero de los coeficientes y se multiplica por a. Este resultado se escribe debajo del siguiente y se efectúa la suma.

4. Se continúa el procedimiento hasta el último coeficiente.

Los números obtenidos son los coeficientes del polinomio cociente, y el último es el resto de la división.

Como ya hemos visto, el grado del polinomio cociente es la diferencia entre el grado del polinomio dividendo y el del polinomio divisor, por lo que, al dividir aplicando la Regla de Ruffini, el grado del cociente es una unidad menor que el grado del divisor.

4 3 2 3 25 6 9 10 3 : 2 5 4 17 24 ; resto 51x x x x x x x x

Teorema del Resto:

“El resto de la división de P (x) por (x – a) es igual a P (a)”

Demostración: Si C(x) es el cociente de P (x):(x – a) y el resto es igual a R, entonces se cumple:

( ) ( )P x C x x a R ; haciendo x a :

( ) ( ) , pero 0, entonces ( ) 0 0 ( )P a C a a a R a a C a P a R

Apliquemos el teorema del resto en el cociente que resolvimos por la regla de Ruffini:

Resto

Coeficientes del polinomio cociente


6

4 3 25 2 6 2 9 2 10 2 3

5 16 6 8 9 4 20 3

80 48 36 20 3 51

R

El teorema del resto puede servir como verificación, para saber si hemos resuelto correctamente un cociente mediante la regla de Ruffini, pero su aplicación más importante es para averiguar si un polinomio es divisible o no por otro de la forma (x – a), ya que si lo es, el resto de la división será cero y la aplicación del teorema, nos evita el tener que resolver el cociente.

Consecuencia del teorema del resto:

Si P (a) = 0, entonces P (x) es divisible por (x – a).

ACTIVIDAD 3

Dividir los siguientes polinomios aplicando la regla de Ruffini, verificar el resto aplicando el teorema correspondiente:

3 2

5 4 3 2

7

) 2 2 5 : 3

) 3 2 4 4 5 2 : 1

) 1 : 1

a x x x x

b x x x x x x

c x x

CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO

Diremos que: a es cero o raíz de P (x) P (a) = 0

Ejemplos:

22

a) 2 es raíz de ( ) 5 10 pues (2) 5 2 10 0

b) 3 es raíz de ( ) 2 3 pues ( 3) 3 2 3 3 9 6 3 0

P x x P

Q x x x Q

El problema de determinar los ceros de un polinomio nos lleva a plantear una ecuación polinómica, es decir P (x) = 0. Se demuestra que “Todo polinomio de grado n admite n raíces”. Es decir que un polinomio de grado 1 admite una única raíz, uno de segundo grado tiene dos raíces, etc. Para hallar la raíz de un polinomio de grado 1, se despeja la incógnita realizando operaciones a ambos lados del signo igual:

5 10 0

5 10 10

10 5

5

2

x

x restando a ambos miembros

x dividiendo ambos miembros por

x operando


7

Las raíces de un polinomio de segundo grado 2( )P x ax b x c , se hallan mediante la

fórmula resolvente: 2

1;2

4

2

b b acx

a

Para hallar las raíces de un polinomio de grado mayor que 2, aplicaremos el teorema de Gauss, que permite resolver una ecuación de grado superior en el caso de que exista al menos una raíz racional.

ACTIVIDAD 4

Hallar todos los ceros de los siguientes polinomios:

2 2

) ( ) 4 7 ) ( ) 6 120

) ( ) 9 8 ) ( ) 2 7 4

a P x x b Q x x

c R x x x d S x x x

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Un polinomio P (x) es primo o irreducible si no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo, menor que el grado de P. Por ejemplo, el polinomio 5 x + 4 puede escribirse de muchas maneras diferentes:

4 5 1

5 ; 2 2 ; 15 12 ......5 2 3

x x x

pero todas ellas tienen algo en común: son el producto de un número real por un polinomio de grado 1. Si volvemos a leer la definición de polinomio primo, vemos que nuestro ejemplo la cumple, pues todas las descomposiciones son el producto de un polinomio de grado cero (que no es positivo), por otro de grado 1 (que no es menor que el grado del polinomio dado), por lo tanto, el polinomio propuesto en el ejemplo es primo.

En general: todo polinomio de grado 1 es primo.

Si un polinomio no es primo, se denomina compuesto.

Estudiaremos ahora algunas formas de transformar polinomios compuestos en productos de factores primos, a este proceso lo denominamos factorización o factoreo.

CASOS DE FACTOREO

Factor común

Una expresión algebraica es factor común cuando figura en todos los términos del polinomio, por ejemplo:

2 3 4 2 2

5 15 10 5 1 3 2x x x x x x

Observemos que extraer el factor común es el proceso inverso a efectuar el producto de un monomio por un polinomio.

Factor común por grupos

En este caso no hay una expresión que sea común a todos los términos, pero el polinomio puede separarse en grupos de términos que tienen un factor común. (Los grupos formados deben tener igual cantidad de términos.) Ejemplo:


8

3 2

factor común factor común2 2

2

2

3 6 2

3 1 2 3 1 Notemos que han quedado dos términos donde

el contenido del paréntesis es factor común.

3 1 2 Se extrajo factor común el paréntesis

x

x x x

x x x

x x

Trinomio Cuadrado Perfecto

Vimos que al desarrollar el cuadrado de un binomio se obtiene un trinomio, que se denomina trinomio cuadrado perfecto. Para factorear un trinomio cuadrado perfecto procedemos de la siguiente forma:

2 3 44 4x x x

Primero debemos encontrar dos términos que sean cuadrados perfectos. En nuestro

ejemplo: 222 4 24 2 xx x x

Luego, debemos verificar que el doble producto de las bases es igual al término restante: 2 32 2 4x x x

De acuerdo al signo que tenga este doble producto, el trinomio será el cuadrado de la suma o de la diferencia de las bases, en nuestro caso, es:

2

2 3 4 24 4 2x x x x x

Cuatrinomio cubo perfecto

Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto. El método para factorearlo es similar al caso anterior, supongamos que queremos factorear

3 26 12 8x x x

Debemos encontrar dos términos cubos perfectos: 3 33 8 2x x

Después es necesario hacer dos verificaciones: a) que el triplo del cuadrado de la primera base por la segunda es uno de los términos

restantes: 2 23 2 6x x ;

b) y que el triplo de la primera base por el cuadrado de la segunda es el otro término:

2

3 2 3 4 12x x x

Por lo tanto, el cuatrinomio queda factoreado como: 33 26 12 8 2x x x x

Diferencia de cuadrados

Vimos que al multiplicar una suma por una diferencia se obtiene la diferencia entre los cuadrados de los términos, entonces, procediendo en forma inversa, una diferencia de cuadrados se factorea como el producto de la suma por la diferencia de las bases.

Ejemplo: 2 26 3 3 316 25 4 5 4 5 4 5x x x x

Suma o diferencia de potencias de igual grado

Previamente, deberemos estudiar cuándo una suma o diferencia de potencias de igual grado

( n nx a ), es divisible por la suma o diferencia de sus bases x a .


9

a) n n

x a

x a

Si aplicamos el teorema del resto: n nR a a

Ahora bien, pueden presentarse dos casos: que el exponente n sea par o impar:

a.1) Si n es par: 2 0n n n n nR a a a a a

a.2) Si n es impar: 0n n n nR a a a a

Conclusión: La suma de potencias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el exponente es impar.

b) n n

x a

x a

Por el teorema del resto: 2 0 , sea par o imparn n n

R a a a n

Conclusión: La suma de potencias de igual grado nunca es divisible por la diferencia de las bases.

c) n n

x a

x a

Por teorema del resto: n n

R a a

Analizamos según n sea par o impar:

c.1) Si n es par: 0n n n n

R a a a a

c.2) Si n es impar: 2 0n n n n n

R a a a a a

Conclusión: La diferencia de potencias de igual grado es divisible por la suma de las bases si el exponente es par.

d) n n

x a

x a

El resto es: 0, sea par o imparn n

R a a n .

Conclusión: La diferencia de potencias de igual grado siempre es divisible por la diferencia de las bases. Esto se puede resumir en el siguiente cuadro:

mpar

unca

ar

iempre

: I

:

: P

: S

N

Ejemplo 1:

Factorear 327x

Primero verificamos que es una suma de potencias de igual grado, 3 3 327 3x x . Las

bases son x y 3.


10

Vemos que esta suma es divisible por la suma de las bases, ya que su exponente es impar,

por lo tanto: 3

27( )

3

xC x

x

Determinamos el polinomio cociente aplicando regla de Ruffini y obtenemos 2

( ) 3 9C x x x , entonces:

3

2 3 2273 9 27 3 3 9

3

xx x x x x x

x

Ejemplo 2:

Factorear: 416x

En este caso, no podemos hacer el cociente por la suma de las bases, ya que el primer renglón nos indica que esto es posible sólo si el exponente es impar, pero tampoco podemos dividir por la diferencia de las bases, ya que la suma nunca es divisible por la diferencia de las bases (segundo renglón del cuadro). Por lo tanto, esta expresión es irreducible.

Ejemplo 3:

Factorear: 38x

Tenemos aquí una diferencia de potencias de igual grado impar. No podemos dividir por la suma, ya que esto es posible solamente si el exponente es par (tercer renglón del cuadro), pero se puede hacer el cociente por la diferencia de las bases, ya que, como lo indica el cuarto renglón del cuadro, es siempre posible.

Haciendo el cociente: 3

282 4

2

xx x

x

y pasando el denominador al segundo miembro: 3 28 2 2 4x x x x

Ejemplo 4:

Factorear: 41x

Esta diferencia de potencias de igual grado puede dividirse tanto por la suma como por la resta (ver cuadro), en el primer caso es:

4

3 2 4 3 211 1 1 1

1

xx x x x x x x x

x

En el segundo caso:

4

3 2 4 3 211 1 1 1

1

xx x x x x x x x

x

Regla práctica:

Observemos que el factoreo de una suma o diferencia de potencias de igual grado siempre es igual al producto de la suma o resta de las bases por un polinomio C(x). Daremos algunas reglas que nos permitirán formar dicho polinomio sin tener que efectuar el cociente:

a) Si C(x) multiplica a la suma de las bases, los signos de sus términos son alternados, en cambio si multiplica a la diferencia de las bases, sus términos son todos positivos.

b) El grado de C(x) es n–1.

c) C(x) tiene como primer término el producto de la primer base elevada a la n–1 por la segunda con exponente cero, el segundo término es el producto de la primer base elevada a la n–2 por la segunda elevada al exponente 1, y así se forman los demás


11

términos (los exponentes de la primer base decrecen desde n–1 hasta 0, y los de la segunda crecen desde 0 hasta n–1).

Ejemplos:

5 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4

4 3 2

3 2 0 1 1 0 2

2

) 32 2 2 2 2 2 2

2 2 4 8 16

) 1000 10 10 10 10

10 10 100

a x x x x x x x

x x x x x

b x x x x x

x x x

ACTIVIDAD 5

Factorear las siguientes expresiones, indicando en cada una de ellas el caso aplicado:

2 3 4 5 2

2 3 2 5

) 8 4 16 12 ) 9 24 16

25) 100 ) 15 75 125 ) 32

36

a x x x x b x x

c x d x x x e x

Factorización de un polinomio en función de sus raíces

El polinomio 1 2

1 2 1 0( ) .....

n n

n nP x a x a x a x a x a

, que tiene por raíces a los

números 1 2 3, , , ......, nx x x x , puede escribirse como

1 2 3( ) .....

n nP x a x x x x x x x x .

Por ejemplo, el factoreo del polinomio 3 2( ) 3 8 33 10P x x x x , que tiene por raíces

1 2 3

1; 2; 5

3x x x , es

1( ) 3 2 5

3P x x x x

.

ACTIVIDAD 6

Factorear los polinomios dados en la actividad 4 en función de sus raíces.

DIVISOR COMÚN DE MAYOR GRADO (d.c.m.gr)

Para calcular el divisor común de mayor grado de dos o más polinomios, se factorea cada uno de ellos y se halla el producto de los factores comunes, tomados cada uno con su menor exponente.

Ejemplo: Hallar el d.c.m.gr de 2( ) 9 ( ) 2 6P x x Q x x

Factoreando cada uno de ellos:

2

( ) 9 3 3P x x x x

( ) 2 6 2 3Q x x x

d.c.m.gr , 3P Q x


12

MÚLTIPLO COMÚN DE MENOR GRADO (m.c.m.gr)

Para calcular el múltiplo común de menor grado de dos o más polinomios, se factorea cada uno de ellos y se halla el producto de los factores primos comunes o no comunes tomados cada uno de ellos con su mayor exponente. El m.c.m.gr de los polinomios del ejemplo anterior es:

m.c.m.gr , 2 3 3P Q x x

ACTIVIDAD 7

Calcular el d.c.m.gr y el m.c.m.gr de los siguientes polinomios:

2 2

2 2

) 3 6 ; 4

) 9 6 1 ; 12 4 ; 9 1

a x x x

b x x x x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Las expresiones algebraicas fraccionarias tienen la forma ( )

( )

P x

Q x, donde P y Q son

polinomios. Por ejemplo: 4

2

3 5

3

x

x x

.

Simplificación de expresiones algebraicas racionales

Si se dividen numerador y denominador de una expresión algebraica racional fraccionaria por un mismo polinomio, se obtiene una expresión racional equivalente (no igual) a la dada. Para ello, se factorean ambos y se eliminan los factores comunes:

22

2 2

4 4 4 44 16 16

2 8 2 4

x xx x

x x

2 2

2x

2 2 2x x

2 2

2

x

x

ACTIVIDAD 8

Simplificar: 2 2

3 2 3

3 3 5 5 5) )

2 2 1

x x x xa b

x x x

Operaciones con expresiones algebraicas racionales

Ahora veremos las operaciones que se pueden realizar con las expresiones algebraicas

fraccionarias, comenzando por la suma algebraica. Al igual que lo que sucede con las fracciones, las expresiones algebraicas fraccionarias pueden ser de igual o distinto denominador. En el primero de los casos, se obtiene otra expresión fraccionaria de igual denominador, cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las expresiones sumandos, y en el segundo es necesario calcular el común denominador, que es el múltiplo común de menor grado de los denominadores de las expresiones dadas. Ejemplos:

4 1 5 3 54 1 5 3 4 1 5 3 5 8 95a)

2 2 2 2 2 2

x x xx x x x x xx

x x x x x x


13

2 2

2

m.c.m.gr de losdenominadores

3 33 3 3 3b)

3 33 3 3 3 3 3 3 39

x x xx x x x xx x x

x xx x x x x x x xx

Para multiplicar expresiones algebraicas racionales, se multiplican los numeradores y

denominadores entre sí, previa simplificación.

2

2 3

2 2

11 2 1

1 1

xx x x

x x x

21x x

1x

2

1x x

1x 1x 1x

El cociente se resuelve de igual forma que en las fracciones numéricas: se multiplica el dividendo por el recíproco del divisor:

2 2

1 1 1 3 1:

3 19 9 3

x x x x x

x xx x x

3

3

x

x

1

1 3 1

x

x x x

ACTIVIDAD 9

Resolver:

2

2 2 3 2

1 1 9 12 4 3 2) 1 )

1 3 22 1 9 6 9 61

x x x xa b

x xx x x x xx

24

1 4 2 1

16 3 3 1 2) : )63 6 2

2

x xx

x x xc dx x

x

ECUACIONES RACIONALES

Un número real a es solución de una ecuación racional ( )

0( )

P x

Q x si y sólo si

( ) 0 ( ) 0P a Q a . Es decir, resolver una ecuación racional es encontrar aquellos valores

de la indeterminada que anulan el numerador pero no anulan el denominador.

Por ejemplo, resolver: 2 1

3 3

x x

x x x

2

2 10

3 3

3 2 3 1 3 30 (Común denominador)

3 3

x x

x x x

x x x x x x x

x x x


14

Como debemos buscar los ceros del numerador, eliminamos el denominador (notemos que es lo mismo que si lo pasamos multiplicando al segundo miembro).

23 2 3 1 3 3

3 3

x x x x x x x

x x x

2

0

3 2 3 1 3 3 0x x x x x x x

Distribuyendo: 3 2 2 2 3

3 2 6 9 9 0x x x x x x x

Y después de realizar la suma indicada, obtenemos la ecuación:

315 9 0 cuya solución es

5x x

Como este valor no anula ninguno de los denominadores de la ecuación propuesta, es solución de la misma.

ACTIVIDAD 10

Resolver las siguientes ecuaciones racionales:

2

2

2 87 3 1) ) 0

5 2 27 10

xx xa b

x x xx x

ECUACIONES IRRACIONALES

Las expresiones en las que la variable aparece afectada de la radicación se denominan irracionales. En consecuencia, en una ecuación irracional la incógnita aparece debajo de un radical (o afectada de exponente fraccionario).

Ejemplo:

8 2 4x x

Pasamos el 2 al segundo miembro para dejar solo el radical en el primer miembro:

8 4 2

8 2

x x

x x

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

2 2

2

8 2

8 4 4

x x

x x x

Agrupando en el primer miembro: 2

2

3 4 0

3 4 0

x x

x x

Aplicamos fórmula resolvente:

2

1;2

1

2

3 3 4 1 4 3 9 16 3 25 3 5

2 1 2 2 2

1

4

x

x

x


15

Si reemplazamos las soluciones en la ecuación propuesta vemos que 1 la verifica, pero que –4 no (es una raíz extraña, que aparece debido a que hemos elevado al cuadrado). Por lo tanto, la ecuación propuesta tiene una sola solución 1x .

ACTIVIDAD 11

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

) 1 6 1 ) 21 12 14 5a x x b x

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS Actividad 1:

a) 1 2 3

11 5 ; 2 3 ; 3

2gr P a gr Q a gr R a .

b) –15; –35; –20; 0; –48; 1387

25 ; 0; –4; 4 2 16 ; –39.

Actividad 2:

2 2 3 2

3 5 4 3 2

3) 3 )4 15 ) 2 4 5 102

)4 10 28 )4 6 20 29 3 54

a x x b x c x x x

d x x e x x x x x

5 4 3 2

4 3 2 3 2

7 85 39) 3 17 82

2 4 4

) 2 Resto: 28

97) 4 2 16 5 43 ) 6 12

9

f x x x x x

g x

h x x x x i x x x

Actividad 3:


16

2

4 3 2

6 5 4 3 2

) ( ) 2 4 13 44

) ( ) 3 3 7 2 0

) ( ) 1 0

a C x x x R

b C x x x x x R

c C x x x x x x x R

Actividad 4:

7 1

) ) 20 ) 1; 8 ) 4;4 2

a b c d

Actividad 5:

22 2 3

)4 2 4 3 ) 3 4a x x x x b x

3 4 3 25 5

) 10 10 ) 5 ) 2 2 4 8 166 6

c x x d x e x x x x x

Actividad 6: A cargo del alumno.

Actividad 7: ) . . . 2 . . . 3 2 2a d cmgr x mcmgr x x x

2

) . . . 3 1 . . . 4 3 1 3 1b d cmgr x mcmgr x x

Actividad 8: 3 5

) )2 1

a bx x

Actividad 9:

22

2 2

1 3 2 1) ) ) 2 )

2 11 3 3

x xa b c x d

xx x

Actividad 10: 3

) 1 ) 1 ;2

a x b x x

Actividad 11: ) 3 ) 4a x b x

expresiones algebraicas · el polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de...

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