instituto universitario de tecnologÍa “josÉ antonio...

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II

ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS

419 [email protected], [email protected], [email protected]

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES RACIONALES.

Si está definida de la forma:( )( ) ; ( ) ( )( )

f xq x donde f x y g xg x

= son polinomios

entonces se dice que es una función racional.

Teóricamente cualquier expresión racional ( )( )( )

f xq xg x

= , se puede expresar como una

suma de expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de

grado menor o igual que 2. Concretamente, puede demostrarse que si ( )( )

f xg x , son

polinomios y el grado de f x( ) es menor que el de g x( ) , entonces:

2

( ) ( ); :( ) ( ) ( ) ( )

+= =

+ + +m n

f x A f x Ax Bo tambiéng x px q g x ax bx c

A y B son números reales, m y n son enteros no negativos y es irreducible,

(polinomio cuadrático que no tiene ceros reales; es decir, ). En este caso,

no se puede expresar como un producto de dos polinomios de primer grado.

Guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de ( )( )

f xg x

Pueden ocurrir tres casos: 1) grado ( )f x (numerador) > ( )g x grado (denominador) 2) grado ( )f x = grado ( )g x 3) grado ( )f x < ( )g x Para los casos 1 y 2, hay que dividir un polinomio entre el otro hasta llegar a la forma apropiada, se hace uso de la siguiente propiedad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

⎡ ⎤⇒ = + ⇒ = +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= +∫ ∫ ∫

f x g x r x f x r xf x g x c x c xg x g x g xr x c x

f x r xdx c x dx dxg x g x

2a bx c+ +2 4 0b a c− <

2a bx c+ +





Donde la integral ( )c x dx∫ es inmediata y en la integral ( )( )

r x dxg x∫ , (más sencilla de

resolver), ( )r x es un polinomio de menor grado que ( )g x y por consiguiente estamos en

el tercer caso Para el caso 3, se factoriza ( )g x , y luego se expresa como un producto de factores

lineales px q+ o formas cuadráticas irreducibles 2ax bx c+ + , se agrupan los factores

repetidos para que ( )g x quede expresado como un producto de factores distintos de la

forma ( )mpx q+ o bien 2( )nax bx c+ + , con m y n enteros no negativos.

Una vez agrupados de la forma indicada anteriormente se utiliza las siguientes condiciones:

(1) Por cada factor de la forma ( )mpx q+ con m ≥ 1, la descomposición de fracciones

parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma:

1 22

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

mm

AA Af xg x px q px q px q

= + + ++ + + , donde cada numerador mA es un número

real. Se determinan las constantes respectivas: 1.a) El denominador tiene raíces reales simples:

2 1

1 2 1 2 1 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

A x x B x xf x f x A Bg x x x x x x x x x x x x x

− + −= = + =

− − − − − −

Se iguala 2 1( ) ( ) ( )f x A x x B x x= − + − y se calcula A y B comparando coeficientes o

dándole valores a la x, y por último se resuelven las integrales

1 21 2

( ) ... ( ) ( ) ..( ) ( ) ( )

f x A Bdx dx dx ALn x x BLn x x kg x x x x x

= + + + = + + + + ++ +∫ ∫ ∫





1 22

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

mm

AA Af x dx dx dx dxg x px q px q px q

= + + ++ + +∫ ∫ ∫ ∫

1.b) El denominador tiene raíces reales múltiples:

3 2 31 2 1 2 2 2

3 22 1 2 1 2 1

31 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

f x f x A B C Dg x x x x x x x x x x x x x

A x x B x x x x C x x x x D x xf xg x x x x x

= = + + +− − − − − −

− + − − + − − + −=

− −

Igualando el principio con el final:

3 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f x A x x B x x x x C x x x x D x x= − + − − + − − + −

Calculamos los coeficientes A, B , C y D. Resolvemos la siguiente integral:

2 31 2 2 2

2 1 3 12 2

1 2

1 2 22 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 3 1

( ) 1 1( ) ( )( ) ( ) 2( )

f x A B C Ddx dx dx dx dxg x x x x x x x x x

x x x xf x dx ALn x x BLn x x C D kg x

f x dx ALn x x BLn x x C D kg x x x x x

− + − +

= + + +− − − −

− −= − + − + + +

− + − +

= − + − + + +− − − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

(2) Por cada factor 2( ) , 1nax bx c n+ + ≥ , donde 2( )ax bx c+ + , es irreducible, 0, la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:

1 1 2 22 2 2 2

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

n nn

Ax bAx b Ax bf xg x ax bx c ax bx c ax bx c

++ += + + +

+ + + + + +, donde todos los ,n nAx B son

números reales.





2.1) Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas: Si al intentar resolver una ecuación de 2º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real, pero sí compleja.

2 2 2 21 1 1 1 1 1

2 21 1 1

2 21 1 1

2 21 1 1

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

f x f x Ax B Cx Dg x ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Ax B ax bx c Cx D ax bx cf xg x ax bx c ax bx c

f x Ax B ax bx c Cx D ax bx c

+ += = +

+ + + + + + + +

+ + + + + + +=

+ + + +

= + + + + + + +

Se determinan las constantes por un sistema de ecuaciones y luego se sustituye

2 21 1 1

( ) ...( ) ( ) ( )

f x Ax b Cx Ddx dx dxg x ax bx c ax bx c

+ += + +

+ + + +∫ ∫ ∫

El denominador complejo es necesario completar el cuadrado como sigue:

22 2 2( ) ( )

2 4bx b bax bx c a x c a x ca a a

+ + = + + = + + −

Debemos colocarlo de la forma (x‐a)2 + b2 y resolver la integral de la siguiente forma:

2 2 2 21 1 1

( )( ) ( ) + ( ) +

f x Ax B Cx Ddxg x x a b x a b

+ += +

− −∫ ∫ ∫ a partir de aquí nos saldrá como solución un

Logaritmo (Ln) y una arco tangente. 2.2) Que el denominador tenga raíces reales complejas múltiples: Se determinan las constantes respectivas y por último se resuelven las integrales

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

+ += = +

+ + + + + +

+ + + + + + +=

+ + + +

= + + + + + + +

f x f x Ax B Cx Dg x ax bx c ax bx c ax bx cf x Ax B ax bx c Cx D ax bx cg x ax bx c ax bx cf x Ax B ax bx c Cx D ax bx c





Se procede a determinar las constantes como se indicó anteriormente

2 2 2

( ) ...( ) ( ) ( )

f x Ax b Cx Ddx dx dxg x ax bx c ax bx c

+ += + +

+ + + +∫ ∫ ∫

Una vez sustituidas las variables se completa cuadrados y se resuelven las integrales.

2 2

3 2

2

2

2

2

3 2

7 9 7 92 2 ( 1)( 1)( 2) 1 1 2

7 9 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2)

7 9 ( ) (

7

3 ) ( 2

91)2 2

x x x x A B

x x dxx

Cdx dx dx dxx x x x x x x x x

x x A x x B x x C x xx x x x x x

x x A B C x A B x

x

A B

x⇒

− + + − + += = + +

+ − − + − + + − +

− + + − + + + + + + −=

+ − + + − +

− + + = + +

− + ++ − −

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

2

3 2

)

+ + = -1 + 3 = 7 1 2 4 + 2 - = 9

7 9 22 4 ( 1) 2 ( 1) 4 ( 2) 2 2 1 1 2

C

A B CA B A B CA B C

x x dx dx dxdx Ln x Ln x Ln x kx x x x x x

−

⎧⎪ ⇒ = = = −⎨⎪⎩

− + += + − = + + − − + +

+ − − + − +∫ ∫ ∫ ∫

( )

( )( )( ) ( )

22

2

22 2

2

2 2

2

2

3 12( 2)( 1) 2 1 1

( 1) 2 1 23 12( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)1

3 12 ( ) (2 ) ( 2 2 )( 2)( 1) ( 2)

3 122)( 2)( 1

( 1)3 12 ( ) (

)

2

+= +

− + − + +

+ + − + + −+= + + =

− + − + − ++

+ + + − + + − −=

− + − +

+ = + +

+⇒

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫x A B Cdx dx dx dx

x x x x x

A x B x x C xx A B Cx x x x x xx

x A B x A B C x A B Cx x x xx A B x

xx x

) ( 2 2 )− + + − −A B C x A B C





( ) ( )22

02 3 2 , 2 3

2 2 12

3 12 2 2 3 32 ( -2) 2 ( 1)( 2)( 1) 2 1 11

A BA B C A B y C

A B C

x dx dx dx Ln x Ln x kx x x x xx

+ =⎧⎪ − + = ⇒ = = − = −⎨⎪ − − =⎩

+ − −= + + = − + + +

− + − + ++∫ ∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )

( )

22 2

2 22 2

2 222

2

2 4 ( 2 1) 1 4 1 33 3 3 1; 3

2 4 2 41 3 1 33 3 : :

2 4

33)2

1 3

1 3 3

4

θ

θ

⇒ + + = + + − + = + +

+ + + += ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = =

+ + + ++ + + +

+ += ⇒ + ⇒ =

+ +

+⇒

+ +

+ +

+ = ⇒ =

∫ ∫

∫

∫

∫

factor cuadráticoirreducible x x x x xx Ax B x Ax B x Ax B A B

x x x xx xx x dx De la forma x a Cambio x atg

x x x

tg

x

x x

xx

t

( )

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

1; ( 1) 3 ; 3

3 ( 3 1 3) 3 3 ( 3 2)3 3 3 11 3

3 ( 3 2) 3 2 3( 3 2)3 3 3

2 33

1 1: 1 33 3

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ

θ θ

θ θ θ

− + = =

+ − + += =

+ ++ +

+= = + = +

= + +

+ ++ = ⇒ = ⇒ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

g x tg dx Sec d

x tg Sec d tg Sec ddxtg tgx

tg Sec dI tg d tg d dSec

I Ln Sec k

x xDel cambio x tg tg arctg( )

( )

( )

2

2

2

2

2

1 3;

3

1 33 2 3 12 4 33 3

1 33 2 3 12 4 3 3 3

θ+ +

=

+ ++ += + +

+ +

+ ++ += + +

+ +

∫

∫

xSec

xx xLn arctg kx x

xx xLn arctg kx x





( ) ( )

( ) ( )

( )

2 22

2 22 2

2 22

2

2

4 13 2 4 13 2 9( ) 1 1 0; 1

4 13 4 132 9 2 9

: :4 13

14)4 13

2 9

2 3 3 2;

factor cuadrático irreducible x x x xdx Ax B dx Ax B Ax B A B

x x x xx x

dx dx De la forma x a Cambio x atgx x x

x tg x t

dxx x

g

θ

θ θ

⇒ + + = + − + = + +

+ += ⇒ = ⇒ = + ⇒ = =

+ + + ++ + + +

= ⇒ + ⇒ =+ + + +

+ = ⇒ −

⇒

=

+ +

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

2 2 2

2

2 2

2

( 2) 9 ; 3

39 92 9

1 24 13 3 3

x tg dx Sec d

dx Sec d d ktgx

dx xarctg kx x

θ θ θ

θ θ θ θθ

+ = =

= = = +++ +

+⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

( )

( ) ( )

( )

22 2

2 22 2

2 22

2

2

2 4 10 2( 2 5) 2( 1 4)

1 ( ) 1 1 12 4 10 2 2 4 101 4 1 4

1 : :2 4 10 2 1

15)2 4 1

4

1

0

2

factor cuadrático irreducible x x x x x

dx Ax B dx Ax B Ax B Bx x x xx x

dx dx De la forma x a Cambio x atgx x x

x t

dxx x

g

θ

θ

⇒ − + = − + = − +

+ += ⇒ = ⇒ = + ⇒ =

− + − +− + − +

= ⇒ + ⇒ =− +

⇒−

− +

− =

+

⇒

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 1; ( 1) 4 ; 2

1 1 2 1 1 12 2 4 4 4 1 4 41 4

1 12 4 10 4 2

x tg x tg dx Sec d

dx Sec d Sec d d ktg tgx

dx xarctg kx x

θ θ θ θ


= + − = =

= = = = ++ +− +

−⎡ ⎤= +⎢ ⎥− + ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫





( )

2

22

3 26)4 8

4 8 2 4factorcuadrático irreducible x x x

x dxx x

⇒ − +

−

=

⇒

−

++

+

∫

( ) ( )

( )

2 22 2

2 222

2 2 2

2

(3 2) ( ) 3 2 3 2 3; 24 8 4 82 4 2 4

(3 2) (3 2) : :4 8 2 4

2 2 2 2; ( 2) 4 ; 23 2 (3(2

4 8

θ

θ θ θ θ θ

θ

+ + + += ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = =

− + − +− + − +

+ += ⇒ + ⇒ =

− + − +

− = ⇒ = + − = =

+ +=

− +

∫ ∫

∫ ∫

∫

x dx Ax B dx x Ax B x Ax B A Bx x x xx x

x dx x dx De la forma x a Cambio x atgx x x

x tg x tg x tg dx Sec dx tgdx

x x

( )

2 2

2 2

2

2

2

2) 2)2 2 (3(2 2) 2)4 4 4 1

3 2 1 1 1(3(2 2) 2) (6 6 2) (6 8)4 8 2 2 2

3 2 3 4 34 8

2 42: 2 2 ;2 2

θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + +=

+ ++

= + + = + + = +− ++

= + = + +− +

− +−− = ⇒ = ⇒ = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Sec d tg Sec dtg tg

x dx tg d tg d tg dx x

x dx tg d d Ln Sec kx x

xxDel cambio x tg tg Sec arct

( )2

2

22

2 43 2 234 8 2 2

−

− ++ −= + +

− +∫

xg

xx xdx Ln arctg kx x

( )

3 2

2

3 2 2

3

2

2

3 2

2 2

3 22 2

2 2

2 3 6 12 4

2 8 2 3

3 2 123 12

2 3 6 12 32 2 34 4

2 3 6 12 22 3 3 44 4

2x 3 6 127)4

+ − − −

− + +

+ −

− +

+ − −+ → = + +

− −

+ − −= + + = + + − +

− −

+ − −⇒

−

∫ ∫

∫

∫

x x x x

x x x

x xx

x x x xx xx x

x x x xdx x dx dx x x L

x x d

n xx

x

x

x

k





( )

( )

3 2 2

3 2

2

2

3 2

2 2

3 2

2 2

3 22

2

2

2

3 2

2 5 4 13 4 4

2 8 8 2 3

3 12 133 12 12

1

2 5 4 13 12 34 4 4 4

2 5 4 13 12 34 4 4 4

2 5 4 13 134 4 2

2 5 4 138)4 4

x x x x x

x x x x

x xx x

x x x xx x x x

x x x dx x dx dxx x x x

x x x dx x x dx x

x x x dx

x x

xx

x

− − + − +

− + − +

− +

− + −

− − += + +

− + − +

− − += + +

− +

− − +⇒

− +

− +

− − += + + =

− + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

2 132

x kx

+ − +−

2

2

2 2

22

2 2

2

2 2

122

2

3 4 2 8

3 4 5 43 4 1 12 8 2 8

5 43 4 5 42 8 2 8

42

3 4

4 325 4 2 62 8 022 2

9)2 8

8 2

+ − − −

+ − +− + − ⇒ = +

− − − −+

+ − += + ⇒

− − − −

=± + ⎧+ ±⇒ − − = ⇒ = = = ⎨ = −− − ⎩

+ −⇒

− −∫

∫ ∫ ∫

∫

x x x x

x x xx xx x x x

xx x xdx dx dxx x x x

xx dx x x xxx x

x x dxx x





( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

5 4 5 42 8 4 2 4 2

2 45 4 5 4 2 42 8 4 2

4 24 6 42 6 6 1

5 4 4 1 4 4 22 8 4 23 4 4 4 22 8

+ += = +

− − − + − +

+ + −+= ⇒ + = + + −

− − − +

= → = → == − → − = − → =

+= + = − + +

− − − +

+ −= + − + + +

− −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

x x A Bdx dx dx dxx x x x x x

A x B xx x A x B xx x x xx A Ax B B

x dx dx dx Ln x Ln xx x x xx x dx x Ln x Ln x kx x

( ) ( )

( )

4 3 3 2

4 34 3

3 2 3 2

4 3

3 2 3 2

3 2 23 2 3 2

2

2

3

2

2

3

2

4

1

1 1

1

1 1

1 1 1

11

11 1

0)

11 1

x x x x x

x x x xx x x xx x x x

x

x x x xdx xdx dxx x x x

x x x A B Cdx x x x x d

x x x dxx x

x dx dx dx dxx x x x x x x x x

x A B Cx x x x x

− − − −

− − − − −− + ⇒

− − −

= +− −

− −

− − − − −= +

− −

− − − − − −⇒ − = − ⇒ = = + +

− − − −

− −= + +

− −

⇒−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

22

2

1 11 1 1

1

0 1 11 2 22 3 2 4 3 2 1 8 2 4 2

Ax x B x C xx Ax x B x C x

x x

x B Bx C Cx A B C A A A

− + − += ⇒− − = − + − +

−

= → − = − → == → − = → =−= → − = + + → − = + − → = → =





3 2 2

4 3 2

3 2

1 2 1 2 12 2 11

1 12 2 12

− − −= + + = − − − +

− −

− − −= + − − − +

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫

x dx dx dx dx Ln x Ln x kx x x x x xx x x xdx Ln x Ln x k

x x x

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

3 2 2 2

2 2

3 2 22

2

2

3 2

22

1 3 7 52 4 20 2 16

1 1 2 5 3 7 5 1 2 5 2 5 02 2

1 2 5 0

8 6 6 8 6 63 7 5 1 2

8 6 611)3 7

51 2 5

2 5 18 6 61 2 5

5

1

− −± − ± −

− ⇒ − + − = − − + ⇒ − + = → = = ∉

−

+ + + + += = +

− + − − − +− − +

− + + + −+ +=

−

+

− + −

+⇒

− + −

∫ ∫ ∫

∫

∫

x x x x x x x x x

x x x x A Bx Cdx dx dx dxx x x x x

x x dxx x x

xx x x

A x x Bx C xx xx x x x x( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

2

13 2 2

21 2

8 6 6 2 5 12 5

1 20 4 50 6 5 5 6 25 6 192 50 5 2 50 25 2 19 2 50 25 19 6 3

8 6 6 5 3 19 5 13 7 5 1 2 5

3 19: 22 5

⇒ + + = − + + + −− +

= → = → == → = − → = − = − ⇒ == → = + + → = + + → = − − = ⇒ =

+ + += + = − +

− + − − − +

+⇒ −

− +

∫ ∫ ∫

∫

x x A x x Bx C xx

x A Ax A C C A Cx A B C B B B

x x xdx dx dx Ln x Ix x x x x x

xParaI dx x xx x

( ) ( )

( )

( )

2 2

2 222

2 2 2

2 2

2 2 2

5 1 1 5 1 4

(3 19) (3 19) : :2 5 1 4

1 2 2 1; ( 1) 4 ; 2(3 19) (3(2 1) 19)2 2 (3(2 1) 19)

4 4 41 4

θ

θ θ θ θ θ


+ = − − + = − +

+ += ⇒ + ⇒ =

− + − +

− = ⇒ = + − = =

+ + + + += =

+ +− +

∫ ∫

∫ ∫

x x


x tg x tg x tg dx Sec dx dx tg Sec d tg Sec d

tg tgx 1∫





( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

(3 19) 1 1 1(3(2 1) 19) (6 3 19) (6 22)2 2 21 4

(3 19) 223 3 1121 4

1 41 1: 1 2 ;2 2 2

1 43 19 3 112 5 2

x dx tg d tg d tg dx

x dx tg d d Ln Sec kx

xx xDel cambio x tg tg Sec arctg

xx xdx Ln arctgx x

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+= + + = + + = +

− +

+= + = + +

− +

− +− −− = ⇒ = ⇒ = =

− ++= +

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫1

2k−

+

3 2 2

2 2

3 2 2 2

2 2

2 2

3

2

2

2

2

3 4 ( 1) ( 2)

5 12 1 5 12 13 4 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)

5 12 1 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 2)5 12 1 ( 2

5 1

) ( 1)

2 112)3 4

+ − = − +

+ + + += = + +

+ − − + − + +

+ + + + − + − +=

− + − +

+ + = + + −

+ +−

+

⇒+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫x x x x

x x x x A B Cdx dx dx dxx x x x x x x

x x

x

A x B x C x xx x x

x

xx x A x B x

dxx x

2 2

2

3 2 2

2

3 2

( 1) ( 2)5 12 1 ( ) (4 ) 4 2 2

54 12 2; 3; 14 2 1

5 12 1 2 33 4 1 ( 2) ( 2)

5 12 1 32 1 23 4 2

− +

+ + = + + + + + − − −

+ =⎧⎪ + + = ⇒ = = =⎨⎪ − − =⎩

+ += + +

+ − − + +

+ += − − + + +

+ − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

C x xx x A B x A B C x A B B CA BA B C A B CA B C

x x dxdx dx dxx x x x xx x dx Ln x Ln x k

x x x





( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

3 2

2 2

23 2

22 2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

3

2 1 1

5 20

5 20

6 5 20 62 1 1 11

1 15 20 6 5 20 611 1

613)2

1 1

5 20 6 1 1

5 20 6

x x x x x x

x x x x A B Cdx dx dx dx dxx x x x x x x xx

A x B x C x xx x A B C x xx xx x x x x x x

x x A x B x Cx

x x dxx

x

x

x

x

x

+ + = + +

+ + + += = + +

+ + + + ++

+ + + ++ + + += + + ⇒ =

++ + + +

+ + = + + + +

+ +

++

=

+⇒

+

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

[ ] [ ]

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

1

22 2 2

2 1

5 20 6 25 20 6 2

520 2 6; 9; 16

5 20 6 6 911 1

6

9 1 9 91

A x x Bx Cx Cx

x x Ax Ax A Bx Cx Cxx x x A C x A B C A

A CA B C A B C

A

x x dx dx dxdxx xx x x

dxI Ln x kx

dx duI u x du dx u dux

−

⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦+ + = + + + + +

+ + = + + + + +

= +⎧⎪ = + + ⇒ = = = −⎨⎪ =⎩

+ += + −

++ +

= = +

= = = + ⇒ = ⇒ ⇒+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

2 2

3

2

2

9 9( 1)

11

5 20 6 9 1( 1)1

u I I ku x

dxI Ln x kx

x x dx Ln x Ln x kxx x

−⇒ = ⇒ = − +

+

= = + ++

+ += − + +

++

∫

∫

∫





( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

[ ]

:1 2 1 2

1 1 (2 ) (1 )1 2 1 2 1 2 (1 )(2 )

1 (2 ) (1 ) 1 2 1 (2 )

02 1 2 1 3

1 2

14)1 2

x

x

x

x

x du A BCambio de Variable u e du e dx du duu u u u

A B A u B uu u u u u u u u

A u B u A Au B Bu u A B A

e dx

B

A BA B

e e

B A A A AA B

= ⇒ = ⇒ = +− + − +

+ + −= + ⇒ =

− + − + − + − +

= + + − ⇒ = + + − ⇒ = − + +

= −⎧⇒ = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒⎨ =

⇒

+⎩

− +

∫ ∫

∫

∫

( )( ) ( )( )

1 13 3

3

1

1 1 1 11 2(1 )(2 ) 3 1 3 2 3 3

1 11 2 (1 ) (2 )3 31 2 1 2

x xx x x x

x x x x

A B

du du du Ln u Ln u ku u u u

e dx e dxLn e Ln e k Ln e e ke e e e

= ⇒ = ⇒ =

= + = − + + +− + − +

= − + + + ⇒ = − + +− + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

: 2 3 2 3 2 22 2 ( 3) 2

1 1 1 1 12 3 3 2 2 3 2 3

1 1 3 1 ( ) 33 3

03 1

115)2 3

= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎢ ⎥⎜

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎟ ⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

= + ⇒ = − + ⇒ = + −− −

+ =⎧⎨− =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ x

x x xx

x

du duCambio deVariable u u du Ln dx dx dxLn u Ln

du A Bdx du du duu u Ln Ln u u Ln u u

A B A u Bu u A B Au u u u

A BA

dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1;3 3

1 1 1 1 ln ln 32 3 3 2 3 3ln 2

−⇒ = =

⎩⎡ ⎤−

= − =− ⎡ − − ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

A B

du dudu u u kLn u u Ln u u





( ) ( )

( )

1 1 1ln 2 3 ln 2 ln 2 3 ln 22 3 3ln 2 3ln 2

ln 2 312 3 3 3ln 2

x x xx

x

x

dx k x k

xdx k

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + = − + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎝ ⎠

+⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫

∫

( ) ( )

( )

( )( )( )

3 2 2 2

2 2

3 2 2 2

22 2

2 2 2

2

3 2

2 8 4 2 1 4 2 1 ( 4)(2 1

211

)

21 212 8 4 ( 4)(2 1) ( 4) 2 1

2 1 (21 21( 4)(2 1) ( 4) 2 1 ( 4)(2

6)2 8 4

1)

x x x x x x x x

x x x x Ax B Cdx dx dx dxx x x x x x x

Ax B x C xx x Ax B C x xx x x

x xx

x x

dxx x

x

− + − = − + − = + −

− − − − += = +

− + − + − + −

+ − +− − + − −= + ⇒= =

+ − + − + −

− −⇒

− + −

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

3 2

4)( 4)(2 1)

21 2 1 ( 4)

1 21 2 3; 1; 521 4

21 3 1 21 35 5( 4)(2 1) ( 4) 2 1 ( 4)(2 1) ( 4) ( 4) 2 1

212 8 4

x x

x x Ax B x C x

A CA B A B CB C

x x x dx x x xdx dx dxdx dx dxx x x x x x x x x

x x dxx x x

++ −

− − = + − + +

= +⎧⎪− =− + ⇒ = = =−⎨⎪− = − +⎩

− − + − −= − ⇒ = + −

+ − + − + − + + −

− −− + −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ 22

3 1 5( 4) ( ) (2 1)2 2 2

xLn x arctg Ln x k= + + − − +





( )

( ) ( )

4

4 2 2 2

4 2 22 2

2

2

9 9 1

(

17)9

)9 9 1 9 1

+ = +

⇒

+= =

+

+ ++ + +∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

x x x x

dx dx A B Cx D dxdx dxx x x xx x x

dxx x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 222 2 2

2 22 2 2 2 2 2

2 22 2 1

9

1 ( ) 1 (9 1) (9 1) ( )9 1 9 1

9 09 0

0; 901

0 (0 9) 99 1 9 1 9 1 9 1

9 : :9 1

+= + + ⇒ = + + + + +

+ +

+ =⎧⎪ + =⎪ ⇒ = = −⎨ =⎪⎪ =⎩

−= + + ⇒ = −

+ + + +

− =− ⇒ + ⇒+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

A B Cx D A x Bx x x Cx Dx xx x x

B CA D

C DBA

dx dx x dx dx dx dxdxx x xx x x x x x

dx dx De la forma x a Cambio xx x

( )19

19

2 2 21 1 19 9 9

2 219

2 22 1 119 99

4 2

;

3 3 3 (3 )1

1 3 (3 )9

θ

θ θ θ θ


−

=

= ⇒ = =

− = − = = − = − + = − ++ ++

= − − ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫

atg

x tg x tg dx Sec d

Sec ddx Sec d d k arctg x ktg tgx

dx arctg x kx x x

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

9 14 2 ( 7)( 1) ( 1)

9 14 2 ( 7) 2 ( 7)( 1) 8 3( 1) ( 7) ( 2) ;2 ( 7) 2 ( 7) 5 5

( 1) 8 3 ( 1) 82 ( 7) 5 2 5 ( 7) 9 1

118)9 14

4 5

− + = − −

+ += = + ⇒

− + − − − −

+ −= + ⇒ + = − + − ⇒ = =

− − − −

+ += − ⇒ =

− − − − − +

+⇒

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫x x x x

x dx x dx Adx Bdxx x x x x x

x A B x A x B x A Bx x x x

x dx dx dx x dx Lx x x x

dx

x

x xx

x32 75

− − − +n x Ln x k





( )

( )

( )

( )

3

3 2

3 2

2

2 1 ( 2)

(2 1) (2 1)2 1 ( 2) ( 1) ( 2)

(2 1) 2 1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)1 ( 2) ( 1) ( 2)

1 1 5; ;2 3 6

(2 1) 11 ( 2)

2 119)2

2

x x x x x x

x dx x dx Adx Bdx Cdxx x x x x x x x x

x A B C x A x x Bx x Cx xx x x x x x

A B C

x dxx x x

x dxx x x

+ − = − +

− += = + + ⇒

+ − − + − +

+= + + ⇒ − = − + + + + −

− + − +

−= = =

+

−⇒

+ −

=− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

3 2

1 5 (2 1) 1 1 51 23 ( 1) 6 ( 2) 2 2 3 6

dx dx dx x dx Ln x Ln x Ln x kx x x x x x

−+ − ⇒ = + − − + +

− + + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

23 2

2 2

2 23

2

3 2

2

222

2 2

2

2

1 1 1

(3 5 ) (3 5 )1 1 11 1 1

(3 5 ) (3 5 ) 1 1 ( 1) 11 11 1 1

2; 1; 1

(3 5 )20)1

(3 5 ) 21 1

+ − − = − +

+ += = + +

+ − − − +− + +

+= + + ⇒ + = + + − + − +

− +− + +

= = =

+=

+−

−

+

+

⇒−

−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫x x x x x

x x x x Adx Bdx Cdx dx dxx x x x xx x x

x x A B C x x A x B x C x xx xx x x

A B C

x x dxdxxx

x

x

x dxx x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 3 2

(3 5 ) 12 1 11 1 1 11

++ + ⇒ = − − + + +

+ + − − ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫dx dx x x dx Ln x Ln x k

x x x x xx





4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2

4 2 2 2

4

2 2

2 2 2

2

1 1 2 1 ( 1) (( 1) )(( 1) )1 ( 1)( 1)

3 31 ( 1)

321)1

( 1) ( 1) ( 1)3

( 1)( 1) ( 1)

+ + = + + + − = + + − = + − = + − + +

+ + = + + − ++ +

= = ++ + + + − + + + − +

+= +

+ + − +

⇒

+

+ +

+

∫ ∫ ∫

∫

∫

x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x

dx dx Ax B Cx Ddx dxx x x x x x x x x x

Ax B Cx x x x x

dxx x

x2 2

2

3 2

2 2 2 2

1

3 ( )( 1) ( )( 1)( 1)

3 ( ) ( ) ( ) ( )0

0 3 3 3 3; ; ;0 2 2 2 2

33 3 1 3 1

( 1)( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)

:

+⇒ = + − + + + + +

− +

= + + − + + + + − + + + +

+ =⎧⎪− + + + = −⎪ ⇒ = = = =⎨ − + + =⎪⎪ + =⎩

+ −= −

+ + − + + + − +∫ ∫ ∫

x D Ax B x x Cx D x xx x

A C x A B C D x A B C D x B DA CA B C D

A B C DA B C DB D

dx x xdx dxx x x x x x x x

ParaI ( )

( )

( )

22 31 1 14 4 2 42

2 222 31

2 4

2 2 23 3 3 31 1 12 4 4 2 2 4 4

23 314 2 4

2 23 3 3314 4 42 4

1 1( 1)

( 1) ( 1) : :( 1)

; ( ) ;

( 1)( 1) 1

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θθ

+⇒ + + + − = + +

+ ++ +

= ⇒ + ⇒ =+ + + +

+ = ⇒ = − + = =

− ++= =

++ +

∫

∫ ∫

∫ ∫

x dx x x xx x


x tg x tg x tg dx Sec d

tg Sec dx dxtgx

( )

3 1 14 2 3

12 331

2 4

231

2 4

( )

( 1)

(2 1) 32 1 2 1 ;3 3 3

θ θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

+ = +

+= + +

+ +

+ ++ +⎛ ⎞+ = ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

tg d tg d d

x dx Ln Sec kx

xx xx tg tg arctg Sec





( )( )

21

2 3

22 31 1 12 4 4 2 4 22 2 31

2 4

21

2 3

(2 1) 31 2 1( 1) 3 3

1 ( 1) ( 1): 1( 1) ( 1)

(2 1) 31 2 1:( 1) 3 3

xx xdx Ln arctg kx x

x x dx x dxParaI dx x x xx x x x x

xx xSolucionando de forma similar dx Ln arctgx x

+ ++ +⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

+ + +⇒ − + + − = − + ⇒ = ⇒

− + − + − +

− ++ −⎛ ⎞=− + ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

∫

2 21 1

4 2 3 3

(2 1) 3 (2 1) 33 2 1 2 11 3 3 3 3

k

x xdx x xLn arctg Ln arctg kx x

+

+ + − ++ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

2 3 2 2 2

4 3 2 4 3 2

2 3 2 2 2 2

4 3 2

( )( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1)

8 2 1 ( 8 2 1) ( )( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 8

4 3 28 2 122) 2 3( )( 1)+ + = + + − + = + − +

+ − + + + − + + += = + + +

+ + + − + + + − +

+

+ − + +⇒

−

∫+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x x x dxx x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x dx Adx Bdx Cdx Dx E dxdxx x x x x x x x x x x x

x x x2 2 2 2

4 3 2

2 2 2 2

1 2 3

2 1) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

: 1; 3; 2; 2; 0

( 8 2 1) 23 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

; ;

+ + += + + +

+ − + + + − +⇒ = = =− = =

+ − + += + − +

+ − + + + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x A B C Dx Ex x x x x x x x x

Resolver el sistemadeecuaciones A B C D E

x x x x dx dx dx dx xdxx x x x x x x x x

I I I son inmediatas

( )2 2

4 22 312 4

2 2 : :( 1)

θ= = ⇒ + ⇒ =− + − +∫ ∫xdx xdxI De la forma x a Cambio x atg

x x x





( )

2 2 23 3 3 31 1 12 4 4 2 2 4 4

23 314 2 4 3 1 2

4 22 2 33 3 3314 4 42 4

; ( ) ;

2( )2 3 ( ) 2

θ θ θ θ θ

θ θ θθ θ θ θ θ

θ

− = ⇒ = + − = =

+= = + = +

+− +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x tg x tg x tg dx Sec d

tg Sec dxdx tg d tg d dtgx

( )2

2 3312 4

231

2 4

22

1 2 3

24 3 22

2 3 3

( 1) 2

(2 1) 32 1 2 1 ;3 3 3

(2 1) 32 2 12( 1) 3 3

(2 1) 38 2 1 32 1 2( )( 1) 1 3

θ θ

θ θ θ θ

+= + +

+ +

+ +− −⎛ ⎞− = ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + −⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠

+ ++ − + += − + − + +

+ + +

∫

∫

∫

x dx Ln Sec kx

xx xx tg tg arctg Sec

xxdx xI Ln arctg kx x

xx x x x dx Ln x Ln x Ln arx x x x

2 13−⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

xctg k

3 2

3 2 3

3 2

2

3 2

22

2

2

5 4 ( 4)( 1)25 20 2 (25 20 2)

5 4 ( 4)( 1) ( 4) ( 1)25 20 2 25 20 2 ( 4)(

( 4)( 1) ( 4) ( 1

5 2 25 20 223) (5 )5 4 5 4

)

− + = − −

− + − += = + +

− + − − − −

− += + + ⇒ − + = −

−

+ − +

− −

⇒ +− + − +

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

x x x x x xx x x x dx A B Cdx dx dx dx

x x x x x x x x xx x

x x xdx dxx x x x x x

A B C x x A xx x x x x x

161 712 6 3

2161 71

2 6 3

3161 71

2 6 33 2

1) ( 1) ( 1)

; ;

(25 20 2)( 4)( 1) ( 4) ( 1)

5 2 5 4 15 4

−

−

−

− + − + −

= = =

− += +

− − − −

+= + + − − +

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

x Bx x Cx x

A B C

x x dx dx dx dxx x x x x xx dx x Ln x Ln x Ln x k

x x x





2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2

2 2 2 2

2

( 3 10) (( 5)( 2)) ( 5) ( 2)

8 7 8 7( 3 10) ( 5) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 2)

8 7( 5) ( 2) ( 5) (

8 724)( 3 1

5) ( 2) ( )

)

2

0x x x x x x

x x x x Adx Bdx Cdx Ddxdx dxx x x x x

x x dx

x x x

x x A B C Dx x x x x x

x x

re

− − = − + = − +

− + − += = + + +

− − − + − − + +

− += + + +

− + − − +

− +⇒

+

− −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

8 30 27 3049 343 49 343

28 30 27 30

49 343 49 3432 2 2 2

2303432 2

: ; ; ;

8 7( 5) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 2)

8 7 8( 3 10) 49( 5)

solver el sistemadeecuaciones A B C D

x x dx dx dx dxdxx x x x x x

Las Integrales son inmediatas

x x dxx x x

− −

−

⇒ = = = =

− += + + −

− + − − + +

− + −= +

− − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ 30343

27( 5) ( 2)49( 2)

Ln x Ln x kx

− + − + ++

NOTA: COMO PUEDEN OBSERVAR LA SOLUCIÓN DE INTEGRALES RACIONALES SE BASA

EN PRIMER LUGAR, DETERMINAR LOS VALORES DE LAS CONSTANTES QUE APAREZCAN

SEGÚN LOS CASOS ANTERIORMENTE ESTUDIADOS, Y UNA VEZ QUE TENEMOS ESOS

VALORES, LAS INTEGRALES A CALCULAR SE RESUELVEN POR MÉTODOS YA CONOCIDOS.





INTEGRALES VARIAS

( )

( ) ( )

22

2

22 2

2

2 2

1

2

2

2 2 2

2

2: ( ) ;

1 2

2 1 : ;

1 1 1

:1

1) ( x) ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ++

= −+

= ⇒ = ⇒ = =+ + +

= ⇒+

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

Arctgx dx xSelección u Arctgx du dv xdx v kx

x Arctgx x Arctgx dxx Arctgx dxx

x Arctgx dx dx xI Selección u Arctgx du dv dxx x x

xv dx Cambio de Var

x Arctg dx

iable xx

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 22 2 2

2

222

2

222

;

1 1( )

2 1

2

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ

= ⇒ = =

= ⇒ = = − ⇒ − = − ++

= − +

= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ +

= −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

atg x tg dx Sec d

tg Sec dv v tg d Sec d d Sec d tg ktg

v Arctg x x k

x Arctgx Arctgx dxx Arctgx dx Arctgx Arctgx x

xx Arctgx

x Arctgx dx Arctgx Arctg( ) ( )2

3

1 (I )

−− +

+∫Arctgx x dx

x xx

( )

( ) ( )

( )

3 2 2

4 522

4 2 2

2 25 2

22

(I )1 1

(I ) (I )

(I ) 1 2 1 2

1 1(I ) 1 2 12 2 1 2

I2

−+ +

= → = ⇒ = + ⇒ = ++ +

= + ⇒ = ⇒ = ⇒− ⇒ = − + ++

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ArcTgx dx xdxx x

ArcTgx dx ArcTgxdx zz Arctgx dz z dz k kx x

dw dw xdxw x dw x dx xdx Ln x kw x

x ArctgxArct( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

22

2 222 2

1 12 2

1 12 2 2

− + − + +

= − + + − + +∫

Arctgxgx Arctgx x Ln x k

x Arctgx Arctgxx Arctgx dx Arctgx xArctgx Ln x k





1 2

1

=1 1 1

( ) ( )

1( )

1

21

) ++

+ + ++

= +⎧⎪= =−⎨+−

⇒

=⎩

+ ∫ ∫∫ ∫Senx x Senx xdx dx dxCosx Cosx Cosx

I I

u CosxSenxI dx du Senx dx

Cosxdu Sen

Senx x dxCo

x

sx

x d

( )( )( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2

3

11

1 1 1( )

1 1 1 1

1

( )

= − =− + ⇒ =− + ++⎪

+ − −= = = −

+ + − −

−− = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

du SenxLn u k dx Ln Cosx ku Cosx

Cosx x Cosx x Cosxx xI dx dx dx dxCosx Cosx Cosx Cos Sen x

x Cosx xCosx x dxdx dxSen x Sen x Sen x

I 4

3

2

4 2

( )

( ) :

.

( )

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =− + ⇒

=− + ⇒ =− − − +

⇒

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

I

x CosxI dx x Ctgx Cscx dx Por Partes u x du dxSenx Senx

dv Ctgx Cscx dx v Cscx k sust

xCtgxCscx dx x Cscx Cscx dx xCtgxCscxdx xCscx Ln Cscx Ctgx k

x dxI x Csc xSen x

2

2

= → =

= → = +

= − = = − +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

dx

u x du dx

dv Csc x dx v Ctgx k

x Cscx dx x Ctg Ctgx dx x Csc x dx x Ctgx Ln Senx K





( )

( )

( )

1

1

2

1 1 1

( ) : 1 1

( ) 1

1 1( )1 1

3)1

+= +

+ + +

= ⇒ = + ⇒ =+

= → + → + +

−⎛ ⎞−= − =⎜ ⎟

+⇒

+

+ −⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫Cos x x Cos x x dxdx dxSen x Sen x Sen x

Cos x dxI Cambio de Variable u Sen x du Cos x dxSen xduI Ln u k Ln Sen x ku

x Sen xx dx Sen xIS

Cos x

en x Se

xdx

S

n

en x

x( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2

3 4

3 2

1

1 1

1 ( )

( ) ( ) : ( )

−= −

− −

− −= − = = − +

= − = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

dx x Sen x dxSen x Sen x

x Sen x dx x Sen x x x Sen x dx x dxI dxCos x Cos x Cos x Cos x

I Ix Sen x xPara I dxCos x

3

3

24 2

( . )

: ;

( )

( )

( ) ( . )

= −

= ⇒ = = ⇒ = +

= − = −

= − + + +

= →

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

Sen x dx xtgx Sec x dx P PCos x Cos x

Selección u x du dx dv tgxSec xdx v Sec x k

I xtg xSec x dx x Sec x Sec x dx

I xtgx Sec x dx xSec x Ln Sec x tg x k

x dxI x Sec x dx P PCos x

Sel 2

2 24

: ;

( )

11

= ⇒ = = ⇒ = +

= = − = = − +

⎛ ⎞+= + − + + + − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

ección u x du dx dv Sec x dx v tg x k

I x Sec x dx xtg x tgx dx xSec x dx xtg x Ln Sec x k

Cos x x dx Ln Sen x x Sec x Ln Sec x tg x xtgx Ln Sec x kSen x





( )

2

2

22 2 211

2 2

1 1 2 ; ;1 1 1 2

( )1 1 1 2 ( . )1 1 2 2 1 2 1

14)

1

xx

xx

x x dx xxLn dx Selección u Ln du dv xdx v kx x x

x Lnx x x x dx x dxxLn dx Ln S T

Ln dxx

x x x x

−+

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ = = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

−⎛ ⎞ ⇒⎜ +

⎠

⎟⎝ ⎠

∫

∫

∫

∫ ∫1

22 2

1 2

2 2 2

2

( )

( ) : ; 1

1 1

I

x dxI De la forma x aSen x Sen x Sen dx Cos dx

Sen Cos d Sen d CosSen Cos

θ θ θ θ θ


⇒ = ⇒ = ⇒ = =−

−= =

−

∫

∫ ∫

( )( )( )

2

2

2

22

2 2 2 2

2 11

1

11 1 1 1 11 1 1

( )1 1 11 2 2 1

xx

d Cosd dCos Cos Cos

Sen Cos d Sec d Cos d Ln Sec Tg Sen kSen

x Sen

xx dx x xLn x k Ln x k Ln x kx x xx x x

x Lnx xxLn dx Lnx

θ θθ θθ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ

θ

−+

= − ⇒

= − = + − +−

=

++= + − + = − + = − +

− − +− − −

− +⎛ ⎞ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ x Kx

⎛ ⎞− +⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 2 2

1 2

21

2

2 2 2

2

2

1

( ) ( )

( )

15)

(( )

+= +

= − +

⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = =

+⇒

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫tgx dx tgxdx dx

Sen x Sen x Sen xI I

I Csc x dx Ctgx k

Senx dxtgx dx Senx dx dx Sen xCosxISen x Sen x Sen x Cosx

tgx dxSe

Senx Cosx

n x

2 ) ∫Cos x dx

Senx Cosx





2 2

2

1

:

2 2 (2 )2 22

+ = + = + = + +

+=− + + +

= →

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

Sen x dx Cos x dx Senx dx Cosx dx tgx dx Ctgx dx Ln Secx Ln Senx kSenx Cosx Senx Cosx Cosx Senx

tgxdx Ctg Ln Secx Ln Senx kSen x

Otra Formadx dx Csc x dxSen x Sen x

DÁMASO ROJAS MAYO 2008

instituto universitario de tecnologÍa “josÉ antonio...

Documents