Funciones polinómicas

• Un polinomio es una expresión algebraica de la forma

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 x

n - 2 + ... + a1 x + a0

• an, an -1 ... a1 , ao son números, llamadoscoeficientes.

• an es el coeficiente principal

• ao es el término constante.

• Para cualquier polinomio, (0, ao ) es el intercepto en y.

Polinomios

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 x

n - 2 + ... + a1 x1 + a0

• El grado de un polinomio , P(x), es el exponente

mayor al que se encuentra elevada la variable

x.

• Polinomio de grado cero (función constante)

Ejemplo: P(x) = 2

• Polinomio de grado uno (función lineal)

Ejemplo: P(x) = 3x + 2

• Polinomio de grado dos (función cuadrática)

Ejemplo: P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomios

• Ejemplo

f(x) = 5x4 – x3 + 3x2 + 2x – 7

Polinomios

• El grado del polinomio es

• el coeficiente principal, an es

• el término constante, ao es

• el intercepto en y, (0, ao ) es

.

.

.

.

Indicar el grado e intercepto en y

grado:Coef.

principal:

grado: int-y:

grado: int-y:

int-y:

Coef.

principal:

Coef.

principal:

• Los ceros o las raíces de un

polinomio son los valores de x

tal que f(x) = 0.

• Si los ceros son reales, entonces

coinciden con los interceptos en

x de la función.

• Es posible encontrar los ceros de

polinomios de grado mayor que

2 con técnicas que ya hemos

estudiado en algunos casos.

Ceros de un polinomio

Ceros de polinomios de grado

mayor que 3• El método practicado anteriormente se puede

aplicar a algunos polinomios de grado mayor que3.

• Por ejemplo, consideremos

345 6144)( xxxxf

• Este es un polinomio de grado 5 y

tiene 3 términos

• Todos los términos tienen un factor de

2 en común.

• Todos los términos tienen un factor de

x3 en común.

345 6144)( xxxxf

Se comienza la factorización

removiendo el máximo común

divisor, o sea el factor 2x3.

Ceros de polinomios de grado mayor que 3 mediante factorización

Luego, se factoriza el factor cuadrática

que queda dentro de los paréntesis o se

resuelve con la fórmula cuadrática.

La expresión cuadrática, 2𝑥2 + 7𝑥 + 3,

factorize si existen factores de 6 que

sumen 7.

3722)( 23 xxxxf

Los factores de 6 que sumen 7 son 6 y 1.

3622)( 23 xxxxxf

Usando el método AC.

123122)( 3 xxxxxf

3122)( 3 xxxxf

3122)( 3 xxxxf

La factorización completa de f(x) es:

cuando 0x2 3

3122)( 3 xxxxf

Los ceros de la función se consiguen

igualando cada factor a 0.

0 x

cuando 01x2 2

1- x

cuando 03x 3 x

Los interceptos en x de la gráfica de

)0,3(y ,02

1- 0,0)(

son:

345 6144)( xxxxf

• Polinomio de grado cero (función constante)

Ej: P(x) = 2

La gráfica de P(x) es una recta horizontal que pasa

por ( , ).

Gráficas de un polinomios

• Polinomio de grado uno (función lineal)

Ej. P(x) = 1 – 2x

La gráfica de P(x) es una recta, con

pendiente igual a ,

intercepto en y en

intercepto en x en

Gráficas de polinomios

( )

( )

• La gráfica de un polinomio de grado mayor que

1 es siempre una curva suave y contínua.

• El comportamiento en los extremos de la gráfica

es igual que el comportamiento del monomio

Q(x)=an xn.

• El comportamiento en los extremos esta

determinado por el grado, n, y el signo del

coeficiente principal, an.

Polinomios de grado > 1

Características de polinomios de grado 3; grado impar

a > 0 a < 0

máximos o mínimos locales: existen no más de n – 1 de estos puntos,

donde n es el grado del polinomio.

interceptos en x: existen no más de n interceptos en x, donde n es el

grado del polinomio.

comportamiento en los extremos:

Si a>0, la gráfica es creciente en ambos extremos.

Si a <0, la gráfica es decreciente en ambos extremos.

• Ejemplo: Trace la gráfica del polinomio:

Ejemplo

xxxxf 107)( 23

Observaciones:

• Es un polinomio de grado 3 pero le falta el

término constante.

• Todos los términos tienen un factor de x encomún.

• Intentamos factorizar para identificar puntos.

• Igualar cada factor a 0, resolver para x y

determinar los puntos correspondientes :

• Para el intercepto en y, evaluamos

f(0) .

cont.

xxxxf 107)( 23

• Factorice el polinomio:

Trace la gráfica: (cont.)xxxxf 107)( 23

Características de polinomios de grado 2; grado par

puntos de máximos o mínimos

locales: NO existen más de n – 1

de estos puntos, donde n es el

grado del polinomio.

interceptos en x: existen NO más

de n interceptos en x, donde n es el

grado del polinomio.

comportamiento en los extremos:

Si a>0, la gráfica es decreciente en

el extremo izquierdo y creciente en

el extremo derecho.

Si a <0, la gráfica es creciente en el

extremo izquierdo y decreciente en

el extremo derecho.

¿Qué sabemos?

• grado par;

• número de interceptos en x:

• número de puntos de retorno,

• a= 1;

• La ecuación esta factorizada; los ceros son

• Los interceptos en x son:

• El intercepto en y es

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

.

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Multiplicidad

• Si

o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y

o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c

entonces c es un cero real de multiplicidad m ,

La gráfica de f muestra el siguiente comportamiento

cerca de (c, 0) :

Multiplicidad (cont)

¿Qué sabemos?

• grado

• La ecuación ya está en forma factorizada y sus ceros son

• número de interceptos en x:

• número de máximos o mínimos:

• coeficiente principal:

• El intercepto en y es

Trace la gráfica del polinomio:

Trace la gráfica (cont.):

Hallar una posible ecuación para la gráfica si ftiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un

cero de multiplicidad 2

¿Qué sabemos?

• grado es

• coeficiente principal es

• Extremos

• Los interceptos en x son

• El intercepto en y es

Práctica 1• El método presentado anteriormente se puede

aplicar para hallar los interceptos en x de la

gráficas de las siguientes funciones:

xxxxf 65)( a) 23

xxxxg 232)( b)

xxxxp 963)( c) 23

Práctica 2• El método presentado anteriormente

se puede aplicar para hallar los

interceptos en x de la gráficas de las

siguientes funciones:

234 103)( a) xxxxg 35)( b) xxxh

345 24183)( c) xxxxq