Curso­Taller de Matemáticas Olímpicas

Exponentes

Si a, es un número real y x, y números enteros o racionales, se cumplen las siguientes propiedades:

1. 10 =a

2. xx

aa 1=−

3. xx aa =1

)(4. yxyx aaa =+

5. y

xyx

aaa =−

6. yxxy aa )(=

7. si  yx aa = , entonces:  yx =

Ejercicios.

1. ¿Cuántas cifras tiene el número  20001996 52 + ?

2. Escribir  55 22 + como potencia de 2.

3. ¿Cuál es la mitad de  982 ?

4. ¿Cuánto es 7777777 7777777 ++++++ ?

5. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracción del pastel original quedo después de cortar tres veces?

6. Sea 1, 4, 9, 16… la sucesión de los cuadrados de los enteros positivos. El número  810  es un término de esta sucesión. ¿Cuál es el término de la sucesión que sigue después de  810 ?

7. Poner los siguientes números en orden de menor a mayor:

8. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación  64422 2 +=× xx ?

9. Encontrar y en términos de x, de tal manera que:  441 2162 ++ += xxy

10.¿Para qué valores enteros de n se cumple la ecuación  6522 33 =+ −+ xx ?

Factorizaciones

Convertir un número en sus factores muchas veces puede ayudarnos a resolver un problema. 

Algunas factorizaciones importantes son las siguientes:

Ejercicios.

11.Calcular la suma 2008 + 2007 + … + 3034.

12.Calcular la suma de los primeros n pares: 2 + 4 + 6 + … + 2n.

13.Calcular la suma 3 + 6 + 9 + 12 + … + 303.

14.Calcular la suma de los primeros n impares: 1 + 3 + 5 + … + 2(n + 1).

15.A partir de la demostración vista arriba, deducir una fórmula general para la suma de los enteros consecutivos desde m hasta n. 

16.Raúl leyó un libro. El primer día leyó 60 páginas y cada día siguiente leyó 7 páginas más que el anterior. Si la lectura le llevó en total 200 días, ¿cuántas páginas tenía el libro?

17.Encontrar la suma de todos los números de 7 cifras en los que los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 aparecen exactamente una vez. (Por ejemplo 1234567 y 7654321 son de los números que buscamos, pero 1111111 y 1234321 no lo son.)

18.Usa la fórmula para sumas de potencias de la misma base y calcula:

19.1 – 3 + 9 – 27 + 81 – 243 + 729 – 2187 + 6561 ­ 19683

20.Si m  y n son enteros positivos que satisfacen  3921 =++ ++ nnn mmm , entonces, ¿cuánto vale  mn ?

21.Probar que el número  es el cuadrado de un entero para toda r.