4.6 Análisis dimensional. Teorema

de Buckingham

Sirve para determinar que números adimensionales son importantes para un determinado estudio de un modelo.

Cambia los resultados experimentales a partir de la forma dimensional a una forma adimensional.

Agrupa las variables de una situación determinada en parámetros adimensionales que son menos numerosos que las variables originales.

Análisis dimensional

No tiene unidades físicas que lo definan y por lo tanto es un numero puro.

Los números adimensionales se definen como productos o cocientes de cantidades que si tienen unidades de tal forma que todas estas se simplifican.

Dependiendo de su valor estos números tienen un significado físico que caracteriza unas determinadas propiedades para algunos sistemas.

Numero adimensional

Dimensiones

El teorema de (p pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional.

Edgar Buckingham fue un físico estadounidense y matemático.

El teorema fue introducido por Buckingham en su articulo de 1914, de ahí el nombre del teorema.

La autoría del mismo debe adscribirse a Vaschy, quien lo enuncio en 1982.

Teorema de Buckingham

También llamada método de p de Buckingham permite obtener numeros adimensionales a partir de un conjunto de variables asociadas a un problema peculiar.

El numero de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situacion en que intervienen n variables es igual a n-r, donde r es el orden de la matriz dimensional de las variables:

i=n-r

i= No. de grupos adimensionales independientesn= No. de variables que intervienenr= Orden de la matriz

Teorema de Buckingham

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

En donde A son las n variables o magnitudes fisicas relevantes, y se expresan en terminos de k unidades fisicas independientes. Entonces la anterior ecuacion se puede reescribir como:

1) Enumerar las variables que describen el problema.

2) Seleccionar las dimensiones de referencia (n) que corresponden a las variables.

3) Descomponer las variables en sus dimensiones.

4) Elegir las variables de referencia.

5) Establecer las ecuaciones dimensionales y obtener los numeros p(pi).

6) Finalmente se verifican los numeros pi (p) obtenidos.

Procedimiento

1) Variables: ΔP, D, L, V, ρ, μ, Ɛ. Por tanto, m=7 Ɛ: Rugosidad de la tubería

2) Dimensiones de referencia: [L], [M], [t], por lo tanto, n=3

Se obtendrán π = 7-3 = 4 números adimensionales

3)

Ejemplo para el flujo de tuberias.

4) Referencias = D, v, ρ (n=3, sencillas e independientes entre si) Para verificar que sean independientes se verifica el determinante de los exponentes de las dimensiones, eso asegura que una variable no resulta de la combinación de las otras.

4.7 Factor de fricción para flujo en conducciones hidráulicamente

lisas o rugosas.

Factor de fricción

Factor de fricción o también llamada coeficiente de resistencia de Darcy, es un parámetro que se utiliza para saber cuanta cantidad perdida hay en una tubería debido a la fricción. También se considera el flujo estacionario para 2 sistemas:

A) Circula de manera recta B) Circula alrededor de un objeto

A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo hay perdidas de energía debido a la fricción que hay entre el liquido y la pared de la tubería, esto mismo conlleva a la disminución de las presiones de los 2 sistemas.

En las paredes de la capa laminar, siempre se persiste una capa delgada, en el cual la capa limite es laminar, su conocimiento es importante ya que se establece el valor del coeficiente de fricción f en el régimen turbulento.

Subcapa laminar

1. Régimen laminar: Hemos visto que f=64/Re, independiente de la rugosidad relativa, ya que no se forman turbulencias.

2. Régimen turbulento: a) Flujo hidráulicamente liso (tubería hidráulicamente lisa): La rugosidad (K) queda cubierta por la subcapa laminar (d). La rugosidad, por tanto, no influye en el valor de f puesto que ningún punto de la pared queda afectado por las turbulencias que producirían las rugosidades internas, comportándose como un material liso.

Comportamiento hidrodinámico de las tuberías

b) Flujo hidráulicamente semirugoso o zona de transición: El espesor de la subcapa laminar (d) se aproxima al valor medio de rugosidad absoluta (K), de manera que la rugosidad emerge de la subcapa laminar en unos puntos y en otros no, quedando solo las rugosidades que emergen afectadas por la turbulencia.

c) Flujo hidráulicamente rugoso (tubería hidráulicamente rugosa): Si el espesor de la capa limite (d) es menor que la rugosidad absoluta (K), las irregularidades internas de la conducción rebasan la subcapa laminar, produciendo turbulencia completa. Cuanto mayor sea el no. De Reynolds, mas delgada será la subcapa laminar y mas puntos de la pared sobresaldrán de ella.