1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Unidad 1.Preliminares.

1.1 Evidencia de aprendizaje. Resolución de EDP

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas y ejercicios.

1. Calcule la expresión para la posición de equilibrio estático de una cuerdaque está �ja por los extremos y sobre la cual hay una distribución de cargapor unidad de longitud continuamente distribuida a lo largo de ella.

2. Obtenga la ecuación de oscilaciones pequeñas transversales de una cuerdaque tiene una pequeña bola de masa m �ja a un punto x0 interior de lacuerda.

3. Obtenga la ecuación de oscilaciones de una cuerda que está sumergida enun medio elástico.

4. Calcule la solución general de la ecuación

yux � xuy = 0

e interprete geométricamente el resultado obtenido.

5. Obtenga la EDP de primer orden que debe satisfacer una función u, lacual cumple una relación de la forma

u = f�xyu

�con f derivable.

6. Sea la ecuación

(xy � u)ux + (y2 � 1)uy = uy � x

Resuelva el problema de Cauchy con cada uno de los siguientes datos

�y = 0; x2 � u2 = 1

�x2 + y2 = 1; u = 0

7. Considera la ecuación:uux � uy = 0

� Calcule sus curvas características.

1

� Determine la solución de la ecuación que pasa por la curva

y = 0; u = x2 � 1

y dibuje u(x; 0); u(x; 1); u(x; 2); u(x; 3).

8. Calcule la solución general de las ecuaciones:

� (1 + x2)ux + uy = 0� 2xyux + (x2 + y2)uy = 0� yuy � xux = 1� y2ux � xyuy = x(u� 2y)

9. Halle la solución del Problema de Cauchy

2xyux + (x2 + y2)uy = 0

con

u = exp

�x

x� y

�sobre

x+ y = 1

10. Resolver la ecuaciónut + uux = 0

con la condición inicial

x =1

2�2; t = � ; u = �

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