etnomatematica y etnogeometria
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ETNOMATEMATICA Y ETNOGEOMETRIA
INTRODUCCION
En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva corriente
del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen.
Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva
alternativa para el aprendizaje de la Matemática. Después de leer a los más prominentes
impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen razón, pero, nosotros
consideramos que antes que la propia Etnomatemática esta la Ethnogeometría como la
antesala de la primera.
Para finalizar queremos manifestar que, quizá deberíamos haber puesto énfasis, sólo
en esta última parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemática a
profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometría como un primer paso. Es decir,
partir del valor cultural que tienen las formas geométricas, para luego ir al valor cultural
de la matematización. Sin embargo como la vida continua y ella, está ligada a los
problemas no sólo socio-culturales, sino, a los socio-económicos, no podemos quedarnos
en el pasado, cuando la realidad del “sistema” nos golpea inmisericordemente.
¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA?
En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Ethnogeometría,
consideramos que debemos ver, qué es Etnomatemática. Aunque hay una lista larga de autores
que intentan dar una definición exacta, lo haremos según lo señala el Prof. D’Ambrosio, por ser
de los precursores más activos y consecuentes y según el resumen analítico del Prof.
neozelandés Bill Barton1.
“Las diferentes formas de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos de Etnomatemática”2
Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los MODOS de MATEMATIZACIÓN que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las puede denominar de ETNOMATEMATICA.
“La ETNOMATEMATICA en mi concepción es etno+matema+tica, eso es, LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS] de EXPLICAR, ENSEÑAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se débrouiller" [=MATEMA] en SU ENTORNO NATURAL y CULTURAL [=ETNO]” Ubiratan D'Ambrosio.3
Según esta explicación, “ETNO” es el “ENTORNO NATURAL y CULTURAL” del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condición de cazador o recolector, se refiere al hombre de todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto circundante y circunstancial.
Si, “MATEMA” está homologada con “LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS “To
cope with" (para cubrir con o abarcar), sí débrouiller” (manejar o dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión o exultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético, gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades.
“TICAS” es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir, cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s) persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevo conocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograr sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o negativamente.
El mismo creador del concepto antes interpretado y según Eduardo Sebastiani Ferreira
dirá que la Matemática es una parte de la Etnomatemática colocada así:
EDUCACIÓN ETNOMATEMÁTICA MATEMÁTICA donde, dentro de la Educación, “la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática”, por tanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática.
Al parecer Bill Barton, se preocupa más con esto último y él, después de estudiar a los autores citados en su trabajo, aunque observa que D’Ambrosio se ubica más en la dimensión socio-antropológica, considera que son cuatro, los términos críticos para la definición: Matemática, Matemático, Nosotros y Cultura.
"La Matemática son los conceptos y las prácticas en el trabajo de esa gente quiénes se llaman
a sí mismos matemáticos."
"El Matemático se refiere a esos conceptos y a las prácticas, que se identifican como si
estuvieran relacionadas en alguna manera a la Matemática".
“ El matemático y la Matemática ambos son culturalmente específicos porque sus referentes
dependen de quiénes usan los términos. Es posible, que por ejemplo, que algunos matemáticos
disientan sobre lo qué es legítimamente Matemática.”
“En el "nosotros", usamos la definición como un grupo, quienes comparten una comprensión
de Matemática y quienes están interesados en Etnomatemática. Que el grupo incluirá
comúnmente matemáticos, quienes toman su propia definición, pero incluirán también a
otros, quienes han experimentado Matemática como una categoría en su educación propia.
Cuando una Cultura étnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos referimos a los
miembros de una cultura, que contiene la categoría de matemáticos. El uso puntual del
pronombre hace que el etnomatemático tenga un punto de vista particular”
“Cultura se toma para tener el significado usado por D'Ambrosio, que se refiere al grupo de
gente quien "desarrolló prácticas, conocimiento, y, en particular, jergas y códigos, que
claramente comprende la manera como ellos matematizan, es decir: es la manera que ellos
cuentan, miden, relacionan y clasifican, e infieren" (D'Ambrosio 1984). Tal grupo puede ser
un grupo étnico, un grupo nacional, un grupo histórico, o un grupo social dentro de una
cultura más amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de
comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de Etnomatemática si
el conjunto es descriptible con exactitud.”
Habiendo definido los términos, hay cuatro de implicaciones de la definición:
a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o
historia;
b) La definición en sí misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es
específico;
c) La práctica que describe es también culturalmente específica;
d)Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática”.
Analizar estas cuatro implicaciones, equivaldría a elaborar un tratamiento específico sólo de la
Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo por ahora.
Desde nuestra visión "Etnomatemática no es Matemática, es la matemática del pueblo como el
conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes
en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar,
calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir."
Etnomatemática es el camino para aprender Matemática" como el conjunto de los
conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e
historia, fundamentalmente comprende:
- El sistema de numeración propio.
- Las formas geométricas que se usan en la comunidad.
- Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo, capacidad,
longitud, superficie, volumen).
- Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de inferencia;
otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales.
- Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos, técnicas, e
instrumentos matemáticos."
Dentro del debate internacional que se ocupa de la relación entre matemática y cultura,
existen dos posiciones dominantes, ambas abarcadas dentro del término etnomatemática. La
primera posición entiende por etnomatemática a las matemáticas de los diferentes pueblos
indígenas (Ascher 1991); y la otra posición entiende por etnomatemática a toda forma de la
matemática cotidiana (D´Ambrosio 1990). Ambas posiciones aportan importantes aspectos para
la conceptualización y la realización de la enseñanza de la matemática dentro del enfoque de la
interculturalidad, tanto para el trabajo escolar en los contextos rurales e indígenas como para
la realización de la enseñanza matemática relacionada con cualquiera situación cotidiana en los
contextos urbanos, populares e informales. Veamos la definición de la etnomatemática:
“La etnomatemática revaloriza el bagaje de conocimientos, expresiones, formas de pensar,
conceptos y formas de hacer matemática (procesos) propios de las culturas originarias. En el
campo de la etnomatemática hay mucho que investigar y descubrir. Esta búsqueda se puede
realizar en todos los componentes de la matemática, en las formas e instrumentos que se
utilizan para la representación, la civilización y la construcción de los números, estrategias
utilizadas para las operaciones; formas de representación de cantidades de personas, animales,
etc.
La adaptación de los contenidos y métodos de la matemática escolar a un contexto cultural
específico usualmente abarca por lo tanto una amplia gama de aspectos:
Aspecto sociocultural: Las formas usadas en medidas y pesos, la medición del tiempo y el
entendimiento de éste, la forma en la que se percibe el espacio y la distribución del espacio,
la función del cálculo en la vida cotidiana;
Aspecto lingüístico: La construcción de conceptos numéricos y de palabras para designar los
números, la terminología matemática, el vocabulario utilizado para las medidas de masa y
peso, etc.;
Aspecto semiótico: La representación de cantidades en forma gráfica, icónica y numérica;
la organización del tiempo y del espacio;
Aspecto aritmético y geométrico: la forma de los números (conjuntos, series, rangos), los métodos de apoyo para la representación de cantidades, los algoritmos de las operaciones
matemáticas, las formas de percepción y reconstrucción de perspectivas;
Aspecto de conceptualización: Teoría numérica, prototeorías matemáticas, el desarrollo
científico de sistemas matemáticos, entre otros.
Para que el maestro o la maestra puedan desarrollar una enseñanza de la matemática a partir
de las experiencias y los conocimientos previos de los estudiantes es necesario acercarse
detalladamente a esa cultura matemática propia de los estudiantes y de su contexto social.
Entonces, es sumamente importante acercarse sistemáticamente a la etnomatemática
existente en el saber popular e indígena como en la práctica cotidiana de los niños, niñas y
adultos.
Acercarse a una práctica cotidiana y a los conocimientos que tienen una persona o un grupo
social y étnico es un trabajo de investigación que se orienta hacia el trabajo educativo. Lo que
necesitamos es un estudio detallado y sistemático de la cultura numérica y matemática en la
cual nuestros estudiantes están y serán socializados.
ANTECEDENTES EN EL PERU
Nuestro país Perú es un país cuya realidad compleja se caracteriza por su diversidad.
Expresiones de esta diversidad son su diversidad geográfica y su biodiversidad, y en relación
con estas su multilingüismo y pluriculturalidad. Según la información de los últimos censos
nacionales realizados en el año 2007 y documentos de la Dirección de Educación Intercultural
Bilingüe del Ministerio de Educación, actualmente coexisten en Perú hablantes de 54 lenguas
que pertenecen a 16 familias lingüísticas, siendo la lengua originaria mayoritaria el Quechua en
sus variedades Cusco-Collao y Ayacucho-Chanka. Teniendo como premisa el reconocimiento de
la compleja diversidad de la realidad peruana, sobre todo desde inicios de los 70‟ y en el marco
de proyectos experimentales de educación bilingüe, se empezó a buscar respuestas de tipo
pedagógico que permitieran tener en cuenta no solamente la diversidad lingüística sino también la
diversidad sociocultural en Perú, con la perspectiva de brindar una educación pertinente a los
estudiantes cuya lengua y cultura son originarias. En el siglo XXI, se ha reforzado la línea de
atención a la diversidad en las políticas educativas oficiales, en concordancia con la Declaración
Universal de la UNESCO sobre la diversidad cultural, adoptada el 2 de noviembre de 2001. En
efecto, en el primer artículo de esta Declaración se manifiesta que la diversidad cultural es
patrimonio común de la humanidad: “La cultura adquiere formas diversas a través del tiempo y
del espacio. Esta diversidad se manifiesta en la originalidad y la pluralidad de las identidades
que caracterizan a los grupos y las sociedades que componen la humanidad. Fuente de
intercambios, de innovación y de creatividad, la diversidad cultural es tan necesaria para el
género humano como la diversidad biológica para los organismos vivos. En este sentido, constituye
el patrimonio común de la humanidad y debe ser reconocida y consolidada en beneficio de
las generaciones presentes y futuras”. El concepto de diversidad cultural, así como el de
biodiversidad, va más lejos en el sentido de que considera la multiplicidad de las culturas en
una perspectiva sistémica donde cada cultura se desarrolla y evoluciona en contacto con las otras
culturas.
MATEMÁTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA CON ENFOQUE INTERCULTURAL Y
BILINGÜE
Todo grupo social, desde los albores de la humanidad, procedieron a matematizar su realidad
material y social, por lo que conceptualizaron de acuerdo a su utilidad o en la búsqueda de
soluciones a sus necesidades. Por ejemplo para los griegos era la ciencia de la cantidad y del
espacio y Aristóteles lo reafirma mencionando que “es la ciencia de la cantidad”. Para René
Descartes es “la ciencia del orden y la medida”. Carl Gauss dice: “es la reina de las ciencias”.
Bertrand Russell afirma “es la ciencia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se
dice es cierto”. Federico Engels dijo: “es la ciencia que estudia las formas espaciales y las
relaciones cuantitativas del mundo material”. Hoy en día surge la denominada matemática
universal, para designar a la matemática surgida a partir de la sistematización de varias
matemáticas de distintas sociedades, entonces es conceptualizado como: “… la matemática es
un sistema de conocimientos científicos integrado por conceptos no definidos, axiomas,
definiciones, reglas de deducción, operaciones y teoremas”. (“Educación Matemática”, (2008),
de César F. Solís Lavado. Pág. 12).
A fines del S. XX, surge la preocupación sobre la Educación Matemática, como una
actividad científica y parte de la cultura, que se transmite de generación en generación.
Tenemos los siguientes alcances al respecto:
Echevarría, 1995: “La educación matemática tiene los rasgos epistémicos básicos de una
actividad científica, ya que inicia y desarrolla en los jóvenes sus capacidades para explicar,
predecir y controlar fenómenos naturales, físicos y sociales mediante el dominio de familias
de procedimientos convencionales y de estructuras formales. descubrimiento y creación son
núcleos del conocimiento y de la educación matemática”.
Luis Rico, Sierra y Castro (1999): “desde nuestra posición, la educación matemática se
propone intervenir en la sociedad mediante la identificación, planteamiento, tratamiento y
resolución de los problemas que surgen en el sistema educativo conectados con la enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. Mediante el conocimiento fundado de tales problemas la
educación matemática se propone transformar la sociedad”.
Luis Rico Romero, menciona tres niveles de interpretación en la educación matemática:
1º. La educación matemática como conjunto de conocimientos, artes, destrezas, lenguajes,
convenciones, actitudes y valores, centrados en la matemática y que se transmite
intencionalmente por medio del sistema educativo.
2º. La educación matemática como conjunto de procesos implicados en la enseñanza y
aprendizaje de la matemática.
3º. La educación matemática como disciplina que estudia los problemas que surgen durante
los procesos de organización, comunicación, transmisión, construcción y valoración del
conocimiento matemático.
Pero, la educación matemática no debe darse como la transmisión de conocimientos que
cae en la homogenización cultural, porque el quehacer matemático es una actividad
intelectual y social y se da en un contexto cultural por lo que supone una interacción con
otras personas y múltiples instrumentos, en un marco histórico determinado.
Una visión amplia de la construcción del conocimiento matemático por los individuos incluye
procesos como contar, clasificar, ordenar, inferir, deducir, modelar, etc. Estos procesos
son realizados por grupos sociales y culturales específicos con sus códigos, símbolos, jergas,
mitos que conforman su manera peculiar de razonar. Esta consideración es precisamente
uno de los aspectos fundamentales que investiga la denominada etnomatemática, disciplina
que recién de la década del 80 viene configurándose y recibiendo la atención de quienes
tienen en sus manos la educación matemática; aunque, desde mucho antes, desde la
antropología y otras ciencias sociales ya se solían presentar los usos peculiares de la
matemática en los grupos aborígenes.
La otra gran área de investigación de la etnomatemática es la de las actividades
matemáticas en situaciones cotidianas dentro de las culturas, y es que hay mucho que
aprender sobre la práctica de esta ciencia en el contexto de la vida diaria. Su manejo nos
sería de gran ayuda para mejorar el aprendizaje escolar, al plantear la gran distancia que
existe entre la práctica matemática en situaciones comunes de la vida y las que se plantean
en las escuelas y colegios. “Etnomatemática” es un modelo de pensamiento que atiende al
multiculturalismo, reivindicando también la dignidad de los pueblos vernáculos.
Entonces, es necesario poner en práctica y/o tener en cuenta que la educación
matemática debe enfocarse desde un punto de vista intercultural y bilingüe que nos permita
comprender la etnomatemática andina y las raíces culturales del conocimiento matemático
que se da en el contexto rural y realizar el quehacer educativo en quechua
LAS MEDICIONES EN EL CONTEXTO SOCIOCULTURAL ANDINO.
ESTIMACIÓN DE MEDIDAS EN EL MUNDO ANDINO.
El hombre andino al estar en contacto con la naturaleza estableció una relación de interdependencia de vida entre si, plasmando este hecho en su cosmovisión; matematizó su
realidad para que pueda convivir, en armonía y respeto mutuo, con la naturaleza porque ésta da
vida y se debe responderse con vida. Estableció una relación biunívoca de vida, por esta razón
no tuvieron en cuenta que, el hombre debe conocer a la naturaleza para dominarla mediante
sus conocimientos para luego trasformarla debido a que la naturaleza no tiene alma y no se
puede comparar con el hombre.
La palabra medida era conocida como tupu y medido como tupusqa, a la persona que medía
(medidor) como tupuq.
El hombre andino se preocupó por medir el cosmos porque dependía de él para las faenas
agrícolas. Creando, en su afán de medición, el calendario solar (representada en la puerta del
sol) y las estimaciones de medición de la astronomía nació en el Tiawanaku como registro del
cielo = hanaq pacha, este calendario es muy difícil de comprender, por lo que cada investigador
pone su punto de vista, muchas veces comparando con su pensamiento occidental como Horbiger
(alemán) quien afirma que es un calendario venusiano, para Julio Valladolid este calendario
representa a Wiracocha y que su manifestación se plasma en la chakana y se ubica en la vía
láctea definida por cuatro estrellas brillantes (alfa y gamma de cruz del sur, épsilon y beta del
centauro). La estimación del tiempo – espacio fueron cíclicos de allí surgen las acepciones de la
medición del día y la noche como: “La concepción del tiempo y del espacio está asociada,
“amarrada”, bajo la noción de “tiempo circular”. Se hace referencia a ambos mediante la
palabra pacha. “Tiempo circular” quiere decir que el tiempo y el espacio, pacha, al avanzar hacia
delante, están dando la vuelta y, al dar la vuelta, están regresando hacia atrás, aunque nunca al
mismo punto sino a otro nuevo, diferente. Por eso no hay contradicción cuando se dice en
quechua ñawpa para expresar “adelante” y ñawpa para referirse al tiempo pasado.
ñawpa
antepasados
pasado
ñawpa
hacia adelante
futuro
En esta misma noción del tiempo está la del Pachacutic, que representa “el que vuelve en el tiempo y el espacio, el universo”, marcando una espiral permanente con la finalización de un ciclo y el inicio de otro. Fin y principio a la vez (CONAIE 1992).
LONGITUD, ÁREA, VOLUMEN, MASA, CAPACIDAD.
Las estimaciones de las medidas en el mundo andino fue producto del contacto con la naturaleza
y la sociedad. Es así que la medición de la longitud es prioritaria porque la relación con mama
pacha genera la distancia = chika, debido a la medición de la distancia por la caminata del hombre
= huk punchaw purina chika hina. Entonces las distancias se establecieron de acuerdo a la
jornada de caminata de un día. Así: distante era = karu kaq, está muy distante = llumpay
karum. Otra de las acepciones de longitud es sunin (imapapas huk hawaqllaman tupuynin). A la
línea se le denominó siqi.
Las medidas de longitud de acuerdo al investigador Víctor Mazzi Huaycucho fueron: el yuku
(aproximadamente 16 centímetros), kapa (aproximadamente 20 centímetros), sikya
(aproximadamente 80 centímetros), riqra (aproximadamente 1 metro), wasqa (aproximadamente
16 metros), kuchuq tupuq (aproximadamente 4000 metros), inka tupuq (aproximadamente
8000 metros). Estas aproximaciones sirvieron para la construcción de caminos, puentes,
fortalezas, palacios, canales de irrigación, andenes, el radio de moray (granja experimental). Por
ejemplo en la arquitectura estimaron a paralelo = chaymankama churakuq (siqikuna rakisqa
kanku maykama rispapas manapuni tupanakuq kanqa), a cierta pequeña inclinación en los muros
como en las puertas y ventanas o pendiente = qatanchasqa (a la pendiente que trata de
suspendido en el aire o colgado es warkurayasqa). Las ciudades guardaban semejanza =
kaqllakama, rikchakuqnin, masi, en su crecimiento y ordenamiento empleaban la proporción
= chaymanhina, kaqllachasqa (iskay kaqkuna kikinchasqa), además utilizaron la escala =
tupunan uchuyyachiq ichapas qatunyachiq, aparece también la proyección
= ruranapaq y proyectar = ruray munay.
En la actualidad, se emplean las siguientes estimaciones en la medición de la magnitud = tupukuq
ñawpa
longitud = sunin (imapas huk hawaqllaman tupuynin) tenemos en el siguiente cuadro de unidades
= sayaqninkuna:
LONGITUD SUNI TUPUNAKUNAPA
Unidades de
medida
Tupukuna Símbolo
unancha
/ Equivalencia
niraqnin
/
Múltiplos Kuraq
kamasqakuna
Megámetro Wara
waranqa
tatki
Mm 106
Kilómetro Waranqa
tatki
Km 103
Hectómetro Pachak tatki Hm 102
Decámetro Chunka tatki Dm 101
Metro Tatki m 100
Submúltiplos Sullka kamasqakuna
Decímetro Chunkacha tatki
dm 10-1
Centímetro Pachakcha
tatki
cm 10-2
Milímetro Waranqacha
tatki
mm 10-3
En las estimaciones de área, se empleó más en la agrimensura, el hombre andino determinó
el “tupu” siendo una medida de superficie de la tierra destinada para la producción de la
familia = ayllu; el tupu no tiene una medida fija en unidades cuadradas, sino era unidad de
superficie que se establece por el tiempo que utiliza un hombre o familia en trabajarlos en
una jornada. Por eso, un tupu en suelo horizontal no era igual a uno escarpado y difícil, un
suelo fértil no era igual a uno árido. Máximo Grillo Annanziata en su obra La Ciencia y la
Tecnología Inca afirma: “El concepto de tupu, como unidad Espacio – Temporal
fundamentando en el factor ergométrico (energía consumida) en el trabajo…”. O sea sobre
un factor de la combinación de la necesidad de tiempo con energía.
La superficie se conoció como muyuriynin debido a que comprendía un factor relativo de
área de la trilogía suelo – tiempo – clima.
En la actualidad se sugiere emplear las siguientes notaciones en las medidas de
superficie:
ÁREA HAWA TUPUNAKUNAPA
Unidades de medida
Tupukuna Símbolo unancha
/ Equivalencia niraqnin
/
Múltiplos Kuraq kamasqakuna
Megámetro cuadrado
Wara waranqa
iskaychasqa
tatki
Mm2 1012
Kilómetro
cuadrado
Waranqa
iskaychasqa
tatki
Km2 106
Hectómetro
cuadrado
Pachak
iskaychasqa
tatki
Hm2 104
Decámetro Chunka Dm2 102
cuadrado iskaychasqa tatki
Metro
cuadrado
Iskaychasqa
tatki m2 100
Submúltiplos Sullka
kamasqakuna
Decímetro
cuadrado
Chunkacha
iskaychasqa
tatki
dm2 10-2
Centímetro
cuadrado
Pachakcha
iskaychasqa
tatki
cm2 10-4
Milímetro
cuadrado
Waranqacha
iskaychasqa
tatki
mm2 10-6
La estimación de la medición en volumen se estableció en el tamaño de los cuerpos = hatun
kaynin, qipi. En cuanto a las medidas actuales propuestos de volumen es:
VOLUMEN WIÑARA TUPUNAKUNAPA
Unidades
medida
de Tupukuna Símbolo
unancha
/ Equivalencia
niraqnin
/
Múltiplos Kuraq
kamasqakuna
Megámetro
cúbico
Wara
waranqa kimsachasqa
tatki
Mm3 1018
Kilómetro
cúbico
Waranqa
kimsachasqa
tatki
Km3 109
Hectómetro
cúbico
Pachak
kimsachasqa
tatki
Hm3 106
Decámetro
cúbico
Chunka
kimsachasqa
tatki
Dm3 103
Metro cúbico Kimsachasqa
tatki m3 100
Submúltiplos Sullka
kamasqakuna
Decímetro
cúbico
Chunkacha
kimsachasqa
tatki
dm3 10-3
Centímetro
cúbico
Pachakcha
kimsachasqa
tatki
cm3 10-6
Milímetro
cúbico
Waranqacha
kimsachasqa tatki
mm3 10-9
La estimación de la medición en cuanto a masa = chapusqa, kaq (imakunapapas kaypachapi
tarikuq llasayniyuqkunapa kaqninkuna), la concepción hace que la idea de masa es una unidad
de la relatividad del espacio – tiempo en base al cuerpo humano compuesto por varios
elementos en el momento y lugar de la medición.
En la estimación sugerente de masa es:
MASA LLASA TUPUNAKUNAPA
Unidades de
medida
Tupukuna Símbolo
unancha
/ Equivalencia
niraqnin
/
Múltiplos Kuraq
kamasqakuna
Megagramo Wara
waranqa aqnu
Mgr 106
Kilogramo Waranqa
aqnu
Kgr 103
Hectogramo Pachak aqnu Hgr 102
Decagramo Chunka aqnu Dgr 101
Gramo Aqnu gr 100
Submúltiplos Sullka kamasqakuna
Decigramo Chunkacha
aqnu
dgr 10-1
Centigramo Pachakcha
aqnu
cgr 10-2
Miligramo Waranqacha
aqnu
mgr 10-3
En cuanto a la estimación de la medición de la capacidad se tomó en cuenta el puyñu y el
proceso de llenado = huntachina hillpusqa, puede ser medio porongo = chekta puyñu, cuarto
de porongo = kutmu puyñu y un octavo = sillku puyñu.
La estimación actual es:
CAPACIDAD WINKU TUPUNAKUNAPA
Unidades de medida
Tupukuna Símbolo unancha
/ Equivalencia niraqnin
/
Múltiplos Kuraq
kamasqakuna
Megalitro Wara
waranqa
winku
Ml 106
Kilolitro Waranqa
winku
Kl 103
Hectolitro Pachak winku Hl 102
Decalitro Chunka winku Dl 101
Litro winku l 100
Submúltiplos Sullka
kamasqakuna
Decilitro Chunkacha
winku
dl 10-1
Centilitro Pachakcha
winku
cl 10-2
Mililitro Waranqacha
winku
ml 10-3
TRUEQUE
La falta de una unidad de intercambio denominado “patrón” como el dinero, en las actividades
de intercambio de productos alimenticios, cerámica, utensilios para la agricultura, hierbas
medicinales, telas y vestimenta (productos de primera necesidad), se estableció el trueque =
truykay (la tierra, el oro y la plata no eran comerciables por ser propiedad del estado). En los
andes se estableció un sistema de intercambio para abastecerse de lo indispensable, por lo que
los caminos eran recorridos por caravanas de llamas transportando productos de las zonas
altas a las quebradas (qechua), también a la costa (hatun quchap patan, mama quchaq patan). El
intercambio de productos se determinaba de acuerdo a la concepción de inter – cambio =
chaykama – truykay, truykarquy. La estimación dependía de la calidad, cantidad, tamaño y
dificultad en su obtención del producto = rurun. El intercambio se establecía estrictamente
para consumo de la familia y no para su acumulación como riqueza, es decir producen para su
autoconsumo y el trueque se da también para el autoconsumo, notándose claramente el principio
de reciprocidad de dar – recibir (equitativamente) sin perjudicarse ambas partes, es una
relación social de equilibrio. El trueque determinó algunas estimaciones de medición como:
DENOMINACIÓN DE LA
MEDIDA ESTIMACIÓN
Aptay Puñado
Akmu Mate grande
Charki Carne o fruta seca
Himi Del pulgar al índice
Kuchus Codo
Llalla 40 piezas de vestir
Marqay Cantidad contenida entre
brazos
Mastasqa marqay Brazada
Millqay Medida en la falda
Putquy Cantidad contenida entre dos
manos
Runku Peso de coca o ají
Chekta runku Mitad
Kutmu runku Cuarta parte
Sillku runku Octava parte
El trueque se daba en tres espacios: primero la familia intercambia entre otras familias de la
misma población; segundo con otros pueblos cercanos o limítrofes y tercero con otros pueblos
de la región o lejanas.
En el trueque, dentro de un mismo pueblo se estableció cuando la familia necesitaba algún
objeto que era elaborado por un especialista, como por ejemplo del tejedor de valay o alguna
herramienta como el chiwaku. El intercambio entre los pueblos vecinos se estableció cuando un
pueblo se especializaba en tejidos y el otro en cerámica, entre otros. El trueque entre pueblos
de otras regiones se determinó por la necesidad de contar con productos que ya no se
producían en la comunidad, por ejemplo los habitantes de la región suni van a las quebradas
para obtener maíz, mate, algunas frutas; a la ceja de selva para traer coca, hierbas medicinales,
etc.
Por la década de los años sesenta, en el intercambio, ya se utilizaban el dinero = qullqi y las
siguientes medidas:
PROCESOS DE CÁLCULO EN EL CONTEXTO ANDINO.
Los procesos de cálculo en el mundo andino, se presenta especialmente en las cuatro
operaciones básicas ( adición, sustracción, multiplicación y división), éstas se conocen como:
División = rakinakuy Divisible = rakinalla
En el contexto andino los procedimientos (imayna rurana) de cálculo (hapichina) que en la
actualidad se conocen como:
Calculable: tantiana.
Calculado: tantiyasqa.
Calcular = tantiyay.
Proceder: qatinakuy, lluqsimuy.
Inferir: hurquy
A continuación, las cuatro operaciones se conoce como:
a) Adición = yapay (imamampas kaqmasinta churapay). Se entiende como aquel proceso de
agrupar = huñuy.
3 + 4 = 7 (kimsaman tawata yapasqa, llapanqa qanchis).
Yapana huñu
b) Sustracción = qichuy (iskay yupakunapa puchuynin tariy).
5 - 2 = 3
qichuna qichuq puchuq
c) Multiplicación = miray
5 x 2 = 10
miraq mirachikuq mirasqa
d) División = rakiy (imapas kaqkunata kamasqanmanhina aypuy)
rakina D d rakiq
puchuq r q rakisqa
DIVISIÓN EXACTA: CHUSAQ PUCHUYUQ RAKI
DIVISIÓN INEXACTA: PUCHUQNIYUQ PUNI RAKI
El proceso de cálculo estaba centrada generalmente en la yupana, cuyo algoritmo es
la siguiente (considerándose la acepción resolver como chuyanchay):
MEDIDAS TRADICIONALES ÑAWPAQMANTAPACHA
TUPUKUNA
Adicionar = yapay Sumar = huñuy
Restante = puchu Sustraer = qichuiy Multiplicar = mirachiy Producto = miray, miraynin Dividir = rakiy Dividido = rakisqa
Libra 0,46 kg Libra Arroba 25 libras Arroba
Bulto de viajero
(cantidad contenida
en
un equipaje liviano).
¼ de arroba
(aproximado)
Sillwi
Cantidad contenida
entre ambas manos
½ libra (aproximado) Putquy
Fanega (un costal
lleno).
10 arrobas (aproximado) Fanega
Mantada (cantidad contenida en una
manta).
1 arroba (aproximado) Lliklla
Medida en falda ½ arroba (aproximado) Uchkuy
Medida en un mate
grande.
2 libras (aproximado) Almu
Puñado. ¼ libra (aproximado) Aptay
Brazada 1,67 m (aproximado) Brazada /
mastasqa
marqay
Codo. 0,35 m (aproximado) Kuchus
Dedo. 0,015 m (aproxim.ado Rawka
Medida del dedo pulgar al dedo índice
0,15 m (aproximado) Himi
Palma de la mano. 0,20 m (aproximado) Cuarta
Paso. 0,90 m (aproximado) Ichiy
Cabeza de cabuya.
Una unidad Maray
Cantidad contenida en un
atado.
50 unidades de carrizo
(aproximado)
Wanku
Cantidad
contenida entre ambos
brazos
10 rajas de leña
(aproximado)
Marqay
¿QUÉ ES LA ETHNOGEOMETRÍA?
Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras
expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos,
entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y entre los conceptos
occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los
atribuimos a la gente de otras Culturas." Marcia Ascher
Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a
lo que se nos ha ocurrido llamar “Etnogeometría” y considerando que nuestra idea tiene asidero,
tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear, el concepto
semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría = Ethnogeometría. Como el
"Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus
afinidades de antropología cultural o social y de los lazos de civilización que los caracteriza"
Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos que encierra la
composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros días, a nosotros ahora,
por tanto se hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus quehaceres.
Para aclarar aún más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biológico y
natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen dentro de la Antropología.
Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenómenos histórico-culturales, además de los
puramente naturales, se entra en la Etnología. Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por
ejemplo, Etnología vendría a ser, cada reunión de los ICME4, donde nos congregamos
centenares de personas de diferentes razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la
Matemática o su enseñanza, lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y
espiritual con respecto de la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tan numerosas tenemos,
las de cada día en nuestras comunidades y centros educativos, a los que asisten alumnos
de diferentes etnias, pero con un fin común adquirir conocimientos. Esto implica que el mundo
actual tiende a hermanar a los hombres de y en todos los confines de la Tierra, y está lejano
el día en que se discutió en las universidades de Europa, el problema de sí los negros de Africa
o los indios del Nuevo Mundo tenían alma y si eran realmente hombres.
Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático,
como los otros lo ven. Ethnogeometría, no es el intento de describir, cómo, las ideas se ven a
través de los otros. Muy al contrario. Fue y es la generadora no sólo de ideas que todos -
etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanencia permanente5. Es el material que inspira a la
Etnomatemática, estudiar la historia a partir de la Geometría sea esta euclidiana o no- ecludiana.
La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puente entre la
Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." La universalidad de
determinadas formas básicas que son parte de una Cultura también universal. Realizar, un
estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés a los etnomatemáticos, porque
partirían de realidades tangibles para luego realizar abstracciones (formular conceptos, o
crear teoremas p.ej. sobre equicomposición de poliedros, al observar, los muros de las ruinas
incaicas) con una nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar los
conceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, p.ej. que tienen
de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del Departamento de Oruro en
Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá a primera vista diremos la forma cónica de
los techos y el material que los cubre.
A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar no sólo los
conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarlos como su material de
trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real con la Matemática, porque (como ya
lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tiene fundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más
también, socio-culturales, que han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la
Geometría, luego, a la práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática.
Por otro lado tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con nuestros ojos
occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo esa óptica y cuando
alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece ser incoherente. Eso es comprensible,
pues, tantos siglos de academicismo nos han subyugado, que no le damos
campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin los símbolos
numéricos que representan abstracciones ( eso no implica que
prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan
aparecido detractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla,
como la nueva aurora para aprender y enseñar a la Matemática.
La Ethnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y
su entorno natural, pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas
de la civilización antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas
(arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, de otra
cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática o Matemática. Verá
Ethnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismo será, cuando perciba que
una persona es diferente de otra por sus formas anatómicas, complexión física, estatura o
color, además su vestimenta, distinta y variada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite,
con diseños tejidos o estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas,
pétalos o tallados matriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas
en bajorrelieve con una policromía que muestra la riqueza espiritual de los
artesanos. Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses,
con la túnica o el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas,
que tienen forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las
jóvenes citadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones
geométricas (nosotros personas), vemos flores de formas poligonales hojas cardiodes que inspiran coordenadas polares o helechos que generan fractales que
Tejido Warlpiri
luego son colocadas en losdiseños de las vestimentas, casas, etc.. En fin una riqueza espiritual y
cultural (inclusive, ideológica por su aplicación), que nos hace admirar. En todas esas
expresiones, no vemos ni percibimos inmediatamente ideas, símbolos ni conceptos matemáticos.
Estas y éstos se presentarán después, mediante las abstracciones mentales que realicen, los
interesados (matemáticos o estudiosos), es decir, se hará Etnomatemática y luego Matemática,
partiendo de la Ethnogeometría.
Tenemos otros ejemplos, en los que, “forma, medida y cantidad” están en una simbiosis a
primera vista inseparable. Tal el caso de la actividad comercial de los mercados, en los que, las
vendedoras colocan sus productos formando montoncitos semejantes a ortoedros, pirámides
truncadas o conos, donde. 2 montones (pirámides) de papa por 5 Bs, cuatro montoncitos (conos)
de arvejas por 10 Bs. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas?
Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos singulares
pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a medir, pesar, contar,
comparar y calcular – si, es que, a estas actividades se les puede llamar Matemática. La
vendedora del mercado cuando está formando sus “montoncitos” crea las formas que serán más
atrayentes al posible comprador (etnogeometriza –si vale el término-), luego determina el valor
que tendrá en la venta el montoncito, a montoncitos más grandes con mayor número de
unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades
implica más ganancia según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a
pensar si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto
Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales.
Y. ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aún no conocían la simbología numeral, cuando
trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener noción
del derecho de propiedad y el academicismo no había nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo,
pero, la semejanza entre dos culturas.¿De dónde obtuvieron los Quichuas, el concepto de "Pachatupuy"
(Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida? La tomarían de los egipcios?
Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometría" como resultado de su trabajo anual
empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas al Nilo después de cada riada. Y como lo leímos, nos
admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos básicos de Geometría y de Arquitectura
y además con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos
afirmar que, la concepción de las formas les obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas
unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de
Pollera arrepollada
hipótesis. Parten de lo que está en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos
y con ellos mismos o sea la Ethnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es
de n codos entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los
egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente
dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y con menos o más galerías
En otras palabras el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre, sin importar
la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca de la vida del hombre.
Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aquí
donde la crítica ayudará a mejorar o retirar esta concepción nuestra proposición. Luego, desde
el punto de vista etnogeométrico. Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global.
¿Quién podría pensar, en la primera contemplación, en conceptos, reglas o axiomas matemáticos
al visitar las pirámides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglíficas del Valle de
Nazca en el Perú? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku?. ¿Quién piensa
primero en las dimensiones o calcula cantidad de material, su valor, o el tiempo que tomará
construir algún objeto? Por consiguiente no es Matemática ni Geometría pura lo que manipula el
hombre en su diario vivir, al contemplar la belleza de la naturaleza. Es Ethnogeometría como
una primera fase. Sin embargo (insistimos), no se queda con ese saber, aplica ese conocimiento
y, hace Etnomatemática y finalmente Matemática.
EL TEOREMA MATEMÁTICO DE LA PUERTA DEL SOL
Al lado tenemos, una fracción de “La Puerta del Sol” en Tiwanaku. Y, luego
la solución del teorema, presentado por Xavier Amaru Ruiz. Este es, el
mejor ejemplo de lo que hasta ahora hemos estado preconizando, de que
primero observamos las formas geométricas luego hacemos la
matematización.
Y Amaru Ruiz nos dice: “Realizando un análisis lógico a los símbolos e
ideogramas grabados en La Puerta del Sol y concentrándonos en el detalle de la aureola que
rodea la cabeza del personaje central, notamos, que su planteamiento es sumamente
interesante, porque demuestra ser un teorema lógico matemático, en el cual los números y
figuras geométricas aparecen virtualmente de manera subliminal, ya que la aureola está rodeada
de 18 pares de ganchos (triángulos) rotando en dos direcciones opuestas (18 hacia la
derecha y 18 a la izquierda) y ambos convergiendo hacia el centro del cuadro, con una
constante numeral de 36 (18+18).”
Sin proponérselo Xavier Amaru, hace Etnogeomnetría y Etnomatemática, pues,
para el análisis del diseño, ha recurrido a la observación de la forma, “números
y figuras geométricas”, pero, va más allá y, él indica: “La figura geométrica de
la unificación es el cuadrado, cuya división geométrica da paso a la creación del
rectángulo, el triángulo y el círculo. Para tener una constante de 36, sus lados
son de valor 6. El área es igual a 36.” “Esta es una matriz simétrica numeral en
la cual interaccionan números reales y virtuales, cuyo resultado es una
ecuación”.Fig 2.
Al sumar consecutivamente los ocho elementos que constituyen el cuadrado: 1+2+3+4+5+6+7+8
= 36. Si se divide en dos rectángulos verticales, o sea en: “Hemisferio Izquierdo” (HI), sumando 3+4+5+6 = 18; en el “Hemisferio Derecho” (HD), también se tiene 1+2+7+8 = 18
Con dos medianas y dos diagonales ha dividido en triángulos y que partiendo en forma irradiada
desde el punto de intersección a la periferia resultan 8, siendo cada uno de 45°, luego 8 x 45° =
360°. La medida del círculo perfecto. Si sumamos verticalmente cada par de los valores
asignados a los triángulos: 1+8, 2+7, 3+6, 4+5. El resultado siempre es 9. También da 9 la suma
de las cifras significativas de 36 y 360. Y, si borramos todos los triángulos, sólo quedaría la
aureola, luego tendríamos un vacío representado por el 0. En consecuencia hemos encontrado
dos números virtuales.
LA APROXIMACIÓN DEL VALOR DEL PI ANDINO O PI MATEMÁTICO
Para encontrar una aproximación al valor de “pi”.
El cuadrado mágico se ha dividido en dos partes,
mediante una diagonal, tal como, lo muestran las
figuras 3 y 4. Cada parte equivale a /2 (medio
“pi”), luego se han realizado estas operaciones: fig.
3.- 4+5+6+7=22, se divide entre 8+1+2+3=14, o sea
22/14=1.571428 y fig. 4, 1+8+7+6=22, se divide
2+3+4+5=14, (1.571428). Si sumamos estos dos cocientes 1.571428+1.571428= 3.142856.
Obtenemos el “Pi” andino o matemático con apenas 0.001256 de variación, a la aproximación
geométrica de la relación constante entre el diámetro de una circunferencia y su longitud de
3,1416, que encontraron los griegos.
SIMBOLOS NUMERALES
El trazado de los ocho triángulos dentro del cuadrado
mágico, no sólo sirve para determinar: el cuadrado, triángulo,
rectángulo, circunferencia o la aproximación de “pi”. Es una
matriz simétrica para otros aspectos matemáticos entre los
que tomamos a los símbolos numerales.
Al observar el gráfico podemos notar que:
Todos los numerales tienen la misma matriz.
Los numerales originales son de uno a cinco, los que siguen, son una imagen espejo.
Xavier Amaru refrenda nuestra observación indicando que: “al juntar los cinco
numerales en un bloque se forma dicho cuadrado”. “...y es por este motivo que al
sistema numeral tiawanakota se lo consideraba quinario, pero al desdoblarse, los cinco en
imagen espejo se conforma la otra mitad”. Por tanto los numerales son 1,2,3,4,5,6,7,8 (reales),
0 y 9 (virtuales). Siendo Y según el mismo autor, una situación parecida de imagen espejo, se da
en el sistema arábigo, por ej. Con los numerales 2 y 5; 6 y 9. Ambas observaciones nos llevan
a colegir que existe una dualidad simétrica.
LA ETNOGEOMETRIA INCA
Puerta inca de ingreso a Huánuco Pampa. Huánuco-Perú.
Vista del Coricancha (construcción inferior) y Convento de Santo Domingo (edificado encima del anterior) en la ciudad del Cuzco.
El Coricancha fue considerado la principal
construcción de todo el imperio inca, condición que perdió al ser destruido en la conquista española.
Fuerte de Samaipata, de antecedentes preincas y ocupado por los Incas. Departamento de Santa Cruz-Bolivia.
Coricancha:restauración digital de su posible aspecto original.
La fortaleza de Saqsaywaman, ubicada en las afueras
del Cusco y edificada por motivos bélicos, fue usada como fortaleza de resistencia militar.
Písac.
Machu Picchu, considerada actualmente la construcción más representativa del imperio inca, está enclavada en las faldas de dos
montañas: el Machu Picchu y el Huayna Picchu. Es una de las pocas construcciones que resistieron intactas el paso de la conquista
española por la región.
Los muros incas son perfectamente ensamblados.
Acllahuasi en Pachacámac.
Detalle arquitectónico de una ventana en Machu Pichu. Corresponde al estilo arquitectónico: Cuzqueño, al tipo arquitectónico: Pirka
o Rústico y a la Fase incaica: Imperialo de la Expansión.
Ushnu en Vilcashuamán.
Muro inca en la ciudad del Cuzco.
Ruinas incas de Wiñay Wayna. Cusco - Perú. Construcción inca de Ingapirca. Provincia de Cañar-Ecuador.
BIBLIOGRAFIA
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1981
Barton, Bill.: "Teniendo el Sentido de la Etnomatemática: La Ethnomatemática tiene
Sentido". The University of Auckland. New Zealand. 1997
Gerdes, Paul: Lusona: Recreações Geométricas de Africa Divisao. Grafica. Da Universidade
Eduardo Mondlane. Maputo 1990
Marastroni, G.: Hagamos Geometría. Ed. Fontanela 1980
Pacheco R.,: Un intento de Filosofia de la Matemática. Ed. CEPDI S.C.-Bolivia- 1999
Perero, Mariano: Historia e Historias de Matemática Grupo Editorial Iberoamérica México.
1994
Piaget, Jean:Seis Estudios de Psicología Ed. Seix Barral 1964.
Santaló, L. A.: Geometría No-Euclidiana. Eudeba Buenos Aires Argentina 1985.
Smogorzhevski, A.S. :Acerca de la Geometría de Lobachevski. Ed. Mir Moscú 1984
Ubitan D’Ambrosio Educação Matemática em Revista Número 1, 1993 y otros anexos de la
UVLA.
Wyllie, C. R. Jr.: Foundations Geometry. McGraw-Hill New York. 1985