estudio y desarrollo de estructuras celulares
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ESTUDIO Y DESARROLLO DE ESTRUCTURAS
CELULARES
Por:
ANDRES FELIPE VALENCIA VILLEGAS
Profesor Asesor:
JUAN PABLO CASAS RODRIGUEZ. PhD.
Proyecto de Grado para optar al título de Ingeniero Mecánico.
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería mecánica
Bogotá D.C.
2019
1
Agradecimientos
A mis padres William Valencia y Lina Maria Villegas, a mi hermana Ana Maria y a
toda mi familia por su gran esfuerzo y apoyo durante estos años de formación
académica y profesional. Su dedicación, comprensión, cariño y apoyo durante estos
años han hecho que me convierta en la persona que soy hoy.
A Juan Pablo Casas, asesor de este proyecto, me gustaría agradecer por su gran
apoyo durante el semestre. Su paciencia, sugerencias y consejos fueron los que me
han permitido concluir este proyecto de manera exitosa.
A mis amigos, quienes me han acompañado en momentos difíciles y momentos de
alegría, agradezco por su apoyo incondicional y por su motivación constante durante
mi pregrado y durante este proyecto.
2
Contenido Agradecimientos ............................................................................................................................ 1
Contenido ......................................................................................................................................... 2
Lista de imágenes .......................................................................................................................... 4
Lista de graficas ............................................................................................................................. 5
Nomenclatura .................................................................................................................................. 6
1. Introducción ............................................................................................................................. 7
1.1. Motivación ........................................................................................................................ 7
1.2. Trabajos previos ............................................................................................................. 7
1.3. Objetivos ........................................................................................................................... 8
1.3.1. Objetivo principal ...................................................................................................... 8
1.3.2. Objetivos secundarios .............................................................................................. 8
2. Marco teórico ........................................................................................................................... 9
2.1. Introducción ..................................................................................................................... 9
2.2. Historia .............................................................................................................................. 9
2.3. Contexto ......................................................................................................................... 10
2.4. Introducción a las estructuras celulares tipo Sándwich ................................... 10
2.4.1. Material de fabricación ........................................................................................... 10
2.4.2. Manufactura ............................................................................................................. 12
2.4.3. Tipos de núcleos para estructuras celulares tipo Sándwich ............................ 13
2.5. Mecánica de las estructuras celulares tipo Sándwich ....................................... 13
2.5.1. Geometría de núcleos tipo Kagomé .................................................................... 13
2.5.2. Comportamiento cuasi estático de estructuras celulares ................................. 14
2.6.1. Análisis de modos de falla por pandeo ............................................................... 15
2.6.2. Distribución de esfuerzos en una columna sometida a pandeo ...................... 16
2.6.3. Falla deseada de la estructura ............................................................................. 17
2.7. Método de elementos finitos (MEF-FEM) ........................................................... 17
2.7.1. Descripción general del método ........................................................................... 17
2.7.2. Descripción del método para estructuras celulares .......................................... 19
3. Metodología ........................................................................................................................... 20
3.1. Introducción ................................................................................................................... 20
3.2. Diseño de la estructura ............................................................................................... 20
3.2.1. Diseño de la estructura .......................................................................................... 20
3
3.3. Simulación ..................................................................................................................... 21
3.4. Procesos de manufactura para núcleo tipo Kagomé ......................................... 22
3.5. Pruebas cuasi estáticas.............................................................................................. 24
4. Análisis y resultados ........................................................................................................... 25
4.1. Introducción ................................................................................................................... 25
4.2. Resultados computacionales .................................................................................... 25
4.3. Resultados del proceso de manufactura ............................................................... 28
4.4. Resultados de pruebas cuasi estáticas ................................................................. 29
4.5. Comparación de resultados teóricos y experimentales .................................... 30
5. Conclusiones ......................................................................................................................... 32
6. Recomendaciones................................................................................................................ 33
7. Trabajos Futuros .................................................................................................................. 34
8. Referencias ............................................................................................................................ 35
Anexos ............................................................................................................................................ 37
4
Lista de imágenes Imagen 1. Estructuras celulares [9] ..................................................................................................... 9
Imagen 2. Estructura Kagomé [2] ...................................................................................................... 10
Imagen 3. Partes de una estructura celular ...................................................................................... 11
Imagen 4. Fundición por cera perdida de compuestos tipo Sándwich [10] ...................................... 12
Imagen 5. Tipos comunes de núcleos en estructuras celulares [11] ................................................ 13
Imagen 6. Kagomé 2D [13] ................................................................................................................ 13
Imagen 7. Nomenclatura estructura Kagomé [14] ............................................................................ 14
Imagen 8. Pandeo típico de una columna [17] ................................................................................. 16
Imagen 9. Distribución de esfuerzos en pandeo ............................................................................... 16
Imagen 10. Falla deseada en la estructura [17] ................................................................................ 17
Imagen 11. Pasos en un análisis de elementos finitos [18] .............................................................. 18
Imagen 12. Diseño reducciones de diámetro ................................................................................... 20
Imagen 13. Geometría Kagomé modificada ...................................................................................... 21
Imagen 14. Simulación Kagomé original ........................................................................................... 22
Imagen 15. Resultado de la impresión 3D ........................................................................................ 23
Imagen 16. Resultado de la impresión 3D sin material de relleno ................................................... 23
Imagen 17. Pruebas de compresión .................................................................................................. 24
Imagen 18. Distribución de esfuerzos en Kagomé sin modificar ...................................................... 25
Imagen 19. Simulación Kagomé modificada ..................................................................................... 26
Imagen 20. Simulación Kagomé modificada pandeo ........................................................................ 26
Imagen 21. Distribución de esfuerzos estructura Kagomé modificada ............................................ 27
Imagen 22. Probetas impresas. ......................................................................................................... 28
Imagen 23. Estructuras sometidas a cargas de compresión. ............................................................ 29
5
Lista de graficas Gráfica 1. Diagrama de Ashby modificado ....................................................................................... 11
Gráfica 2. Comportamiento estructura tipo Sándwich [6] ............................................................... 15
Gráfica 3. Comportamiento teórico estructura tipo Kagomé .......................................................... 27
Gráfica 4. Pruebas de compresión ................................................................................................... 29
Gráfica 5. Promedio resultados prueba de compresión .................................................................. 30
6
Nomenclatura �̅� Densidad relativa entre el volumen del cubo que ocuparía y la estructura
𝜌 Densidad del cubo que contiene la celda de la estructura
𝜌𝑐 Densidad de la estructura
𝜔 Angulo de apertura de la estructura
𝐿𝑐 Longitud de la barra hasta el centro de la estructura
𝐻𝑐 Altura de la estructura
𝐵 Vértice el cubo
𝑟𝑐 Radio de la barra
𝜎 Esfuerzo
𝜎𝑝𝑙 Esfuerzo de Plateau
𝐸 Módulo elástico
𝜀 Deformación
𝐹 Fuerza aplicada
𝐹𝑝𝑙 Fuerza correspondiente al esfuerzo de Plateau
7
1. Introducción 1.1. Motivación
Actualmente existe un gran campo de investigación en el desarrollo de estructuras
extremadamente resistentes y livianas, así como en estructuras capaces de
soportar muy altos niveles de deformación y absorber considerables cantidades de
energía durante este.
Las estructuras celulares, especialmente los compuestos de tipo Sándwich, son la
solución a muchos de los requerimientos de este tipo de estructuras, algunas de las
estructuras más comunes hoy en día son los Honeycombs, las estructuras
tetraédricas, piramidales y Kagomé.
Este tipo de estructuras, en especial las tetraédricas y los Kagomé han sido objeto
de estudio gracias a su baja densidad y excelentes propiedades mecánicas. A raíz
de lo anterior, se ha investigado en la prueba de estas estructuras bajo diferentes
materiales y métodos de manufactura.
Por lo tanto, este proyecto de grado se enfocará a estudiar las estructuras tipo
Kagomé y el cómo pueden cambiar sus propiedades mecánicas bajo cargas cuasi
estáticas al realizar pequeñas modificaciones en la geometría.
1.2. Trabajos previos
Este proyecto pretende estudiar el comportamiento de una estructura tipo Kagomé
con algunas modificaciones en la geometría, para esto se realizarán simulaciones
computacionales y pruebas experimentales. Algunas personas anteriormente han
trabajado en este tipo de estructuras, entre ellos Hyun, quien realizó simulaciones
computacionales para determinar las propiedades mecánicas de las estructuras tipo
Kagomé [1]. Posteriormente, otros investigadores como Wang han trabajado en la
parte experimental de estos elementos [2], encontrando que este tipo de estructuras
tienen excelentes propiedades mecánicas.
Dentro de las simulaciones propuestas por Hyun, este utiliza un modelo de
elementos finitos basado en una malla tridimensional de 10 nodos tetraédricos [1],
en este modelo, el autor utiliza como parámetros los desplazamientos y permite al
software trabajar con altas deformaciones de los elementos, esto con el fin de que
los modelos converjan.
A pesar de ser estructuras con muy buenas propiedades mecánicas, las personas
que investigan en este campo se han encontrado con la dificultad de manufacturar
estas estructuras complejas, por lo que algunos autores han dedicado su
investigación a probar el comportamiento de estas estructuras construidas a partir
de cables [3] - [4] y con métodos alternos como lo son la impresión 3D en polímeros
y metales [5].
8
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo principal
En este proyecto se pretende desarrollar, modelar y probar una estructura celular
de tipo Kagomé con variaciones geométricas con el fin de mejorar las propiedades
mecánicas de la estructura.
1.3.2. Objetivos secundarios
• Comprender apropiadamente el comportamiento de estructuras celulares ante
cargas de compresión.
• Desarrollar modificaciones geométricas a una estructura tipo Kagomé.
• Realizar simulaciones y verificación experimental de los distintos modos de falla
por pandeo que ocurren en este tipo de estructuras.
• Comparar el esfuerzo plástico de colapso de la estructura, esfuerzo de Plateau
y punto de densificación entre la estructura original y la modificada.
9
2. Marco teórico 2.1. Introducción
En esta sección se explicará un poco sobre la historia, características, diseño,
manufactura, métodos de simulación y aplicaciones que se deben considerar en
este tipo de estructuras.
2.2. Historia
Los sólidos celulares son estructuras hechas con barras o placas interconectadas
que conforman la cara de una celda, entre estas estructuras, se encuentran las
espumas de celda abierta, espumas de celda cerrada, honeycombs, etc. Este tipo
de estructuras se utilizan en varios campos de aplicación cómo aislamiento térmico,
empaques, estructural, flotabilidad, entre otras [6].
Dentro del sector de las estructuras, se utilizan sólidos celulares para reducir los
pesos de las estructuras de manera significativa, estos materiales se reconocen en
este campo por mantener una densidad bastante baja, tener gran resistencia
estática y por su gran capacidad de absorber energía [7].
Las estructuras celulares han sido implementadas desde antes de la segunda
guerra mundial por sus excelentes propiedades, algunos de sus usos han sido en
aviones, en barcos, vehículos terrestres, vehículos espaciales y edificios [8].
Algunos investigadores como Hyun, han propuesto y desarrollado estructuras
nuevas, muy livianas y con excelentes propiedades mecánicas, Hyun fue uno de los
primeros en modelar computacionalmente las estructuras Kagomé [1], este trabajo
fue continuado por Wang quien realizó pruebas de estas estructuras fundidas en
metal [2] y encontró que estas poseen excelentes propiedades mecánicas. Sin
embargo, estas estructuras poseen grandes dificultades al momento de ser
manufacturada, por lo que métodos alternativos a la fundición han sido
implementados [5].
Imagen 1. Estructuras celulares [9]
10
2.3. Contexto
Debido al gran desarrollo de nuevas geometrías, materiales y técnicas de
manufactura se ha vuelto posible realizar estructuras más complejas y con mejores
propiedades mecánicas, entre estas se encuentran las estructuras tipo Kagomé.
Imagen 2. Estructura Kagomé [2]
Este tipo de estructuras son altamente resistentes a cargas cuasi estáticas y
dinámicas, principalmente a compresión. Las estructuras Kagomé, están diseñadas
para fallar principalmente por pandeo, este tipo de falla permite a la estructura
(acompañado de un material que soporte altos niveles de plasticidad), soportar altas
deformaciones, lo que permite a esta absorber grandes cantidades de energía en
su proceso de deformación.
2.4. Introducción a las estructuras celulares tipo Sándwich
2.4.1. Material de fabricación
Desde hace ya varios años se han venido utilizando distintos materiales para la
fabricación de estructuras celulares, incluyendo las estructuras tipo Kagomé, las
más comunes son:
Metales: Titanio, aluminio y aleaciones de cobre.
No metales: Polímeros, resinas, fibra de vidrio y fibra de carbono.
Por practicidad, para pruebas sobre algunos tipos de estructuras, se utilizan
métodos de prototipado rápido en 3D, tanto en polímeros como en metales.
Las estructuras celulares tipo Sándwich se componen de 3 partes principales, las
caras, el núcleo y un adhesivo que une las dos partes anteriores, tal como se
observa en la imagen a continuación.
11
Imagen 3. Partes de una estructura celular
Núcleo:
El material en que se fabrican este tipo de estructuras es un elemento clave a tener
en cuenta, ya que estas estructuras se caracterizan por soportar altos niveles de
deformación. Gracias a esto, se busca generalmente acudir a materiales tenaces,
materiales que soporten altas deformaciones plásticas.
Al utilizar materiales tenaces, se tiene la ventaja de que en cierto modo se garantiza
que la estructura será capaz de absorber una buena cantidad de energía, mitigando
la posibilidad de que se genere una falla o ruptura de la estructura en el proceso de
deformación plástica.
Algunos autores, como Xiong, se han tomado el trabajo de modificar el diagrama de
Ashby con el fin de presentar el comportamiento de algunos compuestos tipo
Sándwich en distintos materiales.
Gráfica 1. Diagrama de Ashby modificado
12
Caras y adhesivo:
Las caras de la estructura celular se fabrican generalmente en distintos materiales
como metales, estas caras se encargan principalmente de distribuir de una manera
más uniforme los esfuerzos a los que será sometida la estructura.
Generalmente, estas caras tienden a ser delgadas y macizas, esto con el fin de que
las caras no sufran deformaciones significativas respecto al núcleo.
Una de las fallas (no deseadas) más comunes en los compuestos tipo Sándwich es
la falla por desprendimiento del adhesivo, estas fallas se originan generalmente por
el cortante o delaminación de la estructura. Lo anterior indica que la selección del
adhesivo para cada estructura es un elemento clave en el diseño.
2.4.2. Manufactura
Los principales métodos de manufactura para los núcleos de estructuras celulares
de tipo Sándwich son pocos, entre ellos se encuentra la fundición en metales,
corrugado de láminas, moldeo por compresión en polímeros e impresión 3D.
Algunos otros métodos de manufactura son mencionados por Wadley en su
publicación “Multifunctional periodic celullar metals” [10] .
Mediante el método de prototipado rápido o impresión 3D es posible lograr
estructuras bastante pequeñas y con una muy alta calidad de impresión. Sin
embargo, existen algunos problemas asociados a la disponibilidad de materiales
para prototipar estas estructuras.
Imagen 4. Fundición por cera perdida de compuestos tipo Sándwich [10]
13
2.4.3. Tipos de núcleos para estructuras celulares tipo Sándwich
Existen diversos tipos de núcleos para los compuestos de tipo Sándwich, entre ellos,
algunos de los más relevantes se pueden observar en la imagen a continuación.
Cada núcleo es utilizado para distintos fines, hay núcleos capaces de absorber más
energía que otros, hay otros capaces de resistir mayores cargas estáticas; cada
estructura en particular tiene propiedades mecánicas únicas, haciendo que en la
implementación de estas estructuras se deba estudiar que núcleo es capaz de
satisfacer las necesidades de carga a las que será sometido.
Imagen 5. Tipos comunes de núcleos en estructuras celulares [11]
Desde hace poco menos de 20 años, algunos investigadores han puesto su interés
en el estudio de estructuras reticulares como los que se observan en la Imagen 5
(g) (h) e (i), entre estas estructuras se encuentra la estructura Kagomé. Estas
esturas son de interés debido a sus excelentes propiedades mecánicas y bajas
densidades respecto a sus tradicionales competidores como los Honeycombs.
2.5. Mecánica de las estructuras celulares tipo Sándwich
2.5.1. Geometría de núcleos tipo Kagomé
Los núcleos tipo Kagomé son estructuras con una geometría de mosaico
trihexagonal, este tipo de geometría se encuentra presente en la naturaleza,
especialmente en la estructura cristalina de algunos minerales [12]. Este tipo de
estructuras recibe su nombre por su denominación en japonés.
Imagen 6. Kagomé 2D [13]
14
Este tipo de estructura en 3 dimensiones se ha caracterizado por poseer grandes
ventajas respecto a sus competidores, principalmente por ser un material más
isotrópico y más resistente que otras estructuras [2]. Esta estructura soporta altos
niveles de deformación al ser sometida a pandeo plástico.
La geometría en 3 dimensiones consta básicamente de una pirámide triangular en
su parte interior y una pirámide triangular rotada 180 grados en la parte superior,
encontrándose esta en la punta tal como se aprecia en la Imagen 2.
La densidad aproximada de este tipo de estructuras puede depender de la
geometría diseñada, generalmente, se trabajan las estructuras tipo Kagomé con
ángulos 𝜔 de 60 grados respecto a la horizontal y la densidad relativa de este tipo
de estructuras se presenta a continuación.
�̅� =𝜌𝑐
𝜌=
3𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜔(
𝑅𝑐
𝐵)
2
[14] (1)
Imagen 7. Nomenclatura estructura Kagomé [14]
2.5.2. Comportamiento cuasi estático de estructuras celulares
Los núcleos de estructuras celulares para poder ser probados en condiciones cuasi
estáticas deben manejar tasas de deformación bastante bajas, entre 10−4 y 10−5 𝑠−1
[15]. Para probar el comportamiento de este tipo de estructuras, es común recurrir
a las maquinas de ensayos universales.
Las estructuras celulares tienen un comportamiento similar al presentado en la
Gráfica 2, donde la estructura tendrá un comportamiento elástico hasta cierto punto
(depende tanto de la estructura como del material), este comportamiento es descrito
en la ecuación 2; al pasar a la parte de deformación plástica, estas estructuras
tienen una región donde la curva esfuerzo-deformación tiende a mantenerse
horizontal, en esta área ocurre el pandeo plástico de las estructuras y el promedio
de los esfuerzos obtenidos se conoce como 𝜎𝑝𝑙 o esfuerzo de Plateau. Por último,
las estructuras entran en una etapa de densificación, en este punto la estructura se
compacta.
15
Gráfica 2. Comportamiento estructura tipo Sándwich [6]
𝐸𝐾𝑎𝑔𝑜𝑚𝑒 = 𝐸𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 ∗ �̅� ∗ 𝑠𝑒𝑛4𝜔 [14] (2)
En la Gráfica 2, se observa también, que el área bajo la curva (antes del punto
donde empieza la densificación) se refiere a la energía que la estructura es capaz
de absorber en su proceso de deformación.
𝜎𝐾𝑎𝑔𝑜𝑚𝑒 = 𝜎𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 ∗ �̅� ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝜔 [14] (3)
En la ecuación 3, se observa una relación similar a la del modulo elástico con la cual
es posible aproximar el comportamiento mecánico de la estructura en base al
comportamiento real del material a compresión; algunas de las curvas de materiales
comunes se pueden encontrar en el atlas de curvas esfuerzo deformación [16].
2.6. Fallas por pandeo
2.6.1. Análisis de modos de falla por pandeo
La falla por pandeo es una falla ocurrida en una columna por una carga de
compresión, existen varios modos de pandeo en una estructura, dependiendo de la
carga aplicada y del tipo de soportes al que está conectada la estructura.
Siguiendo la hipótesis de que el material absorbería más energía si la cantidad de
fallas por pandeo aumentan (aumenta el modo de falla por pandeo), la energía
absorbida por la estructura será mayor; se intenta forzar la falla de la estructura
mediante modificaciones geométricas de la estructura.
16
Imagen 8. Pandeo típico de una columna [17]
2.6.2. Distribución de esfuerzos en una columna sometida a pandeo
Al someter una columna a cargas de compresión, se genera un perfil de esfuerzos
uniformes a lo largo de la estructura, sin embargo, cuando esta columna empieza
a fallar por pandeo se observa un perfil de esfuerzos no uniforme tal como se
puede apreciar en la imagen a continuación.
Imagen 9. Distribución de esfuerzos en pandeo
Donde la parte amarilla muestra el mayor nivel de esfuerzo alcanzado y la parte
azul, el menor.
Gracias a este comportamiento, se pretenderá que al realizar modificaciones a la
geometría, la estructura falle por pandeo en los puntos de menor esfuerzo,
aumentando así la cantidad de modos de falla.
17
2.6.3. Falla deseada de la estructura
La estructura deseada deberá tener el doble del número de fallas por pandeo, por
ende, se utiliza el ejemplo 13.2 del libro Mechanics of Materials de Hibbeler [17] y
se plantea la hipótesis de lograr el comportamiento de un pin en la mitad de una
columna mediante unas reducciones de diámetro en los puntos de deformación
máxima.
Imagen 10. Falla deseada en la estructura [17]
Al aumentar el número de fallas por pandeo o modo de pandeo, la estructura se
tornará inestable en varios puntos de manera simultánea, haciendo que cada una
de las columnas individuales sometidas a cargas de compresión falle en varios
puntos, este comportamiento generaría un modelo similar a tener dos barras unidas,
cada una fallando de manera independiente.
Al poder modelar una columna como múltiples, se pretende que el pandeo plástico
ocurrido a la estructura sea capaz de tener un mayor esfuerzo de Plateau,
absorbiendo así, mayor cantidad de energía en su proceso de deformación.
2.7. Método de elementos finitos (MEF-FEM)
2.7.1. Descripción general del método
El método de elementos finitos es un método matemático que permite el análisis
estático, dinámico, térmico, entre otras, de casi infinitas combinaciones
geométricas, este método es bastante amplio y puede extenderse incluso al análisis
de materiales no homogéneos y anisotrópicos [18].
18
Este método matemático es utilizado por una amplia variedad de programas de
simulación para dar solución a problemas complejos. Lo anterior debido a que la
aproximación matemática es bastante exacta y computacionalmente no muy
costosa.
Después de definir una geometría a analizar, el método descompondrá el cuerpo en
varias capas, con el fin de realizar aproximaciones bidimensionales y
posteriormente superponerlas para lograr así, obtener el comportamiento de una
estructura tridimensional.
Para la aplicación de este método, se utiliza malla, la cual define los puntos de
interés a analizar en la geometría, con base a esto, el método toma pequeños
desplazamientos o deformaciones (debido a las condiciones térmicas o de carga
del solido) y empieza un proceso iterativo en el que encuentra una aproximación
matemática a los esfuerzos y cargas internas a las que este está siendo sometido,
por último, este método arroja los resultados del estado de esfuerzos al que se
somete la geometría o solido en cuestión. A continuación, se presenta un diagrama
en el que se explica un poco más el proceso.
Imagen 11. Pasos en un análisis de elementos finitos [18]
El método de elementos finitos se basa en resolver varios sistemas de ecuaciones
teniendo en cuenta las propiedades del material y la geometría dada. Después de
tener el elemento a analizar con una malla, el método iterará una solución inicial a
19
la que el sistema debe converger, en este pequeño paso de tiempo (o aplicación de
carga), el sistema derivará los vectores de carga y matrices de rigidez necesarias
para resolver el sistema de ecuaciones (basándose en los principios de
conservación de masa, energía y momento), al resolver el sistema de ecuaciones,
el método encontrará una aproximación bastante acertada de las deformaciones y
esfuerzos en cada punto de la malla, denominados nodos [19].
2.7.2. Descripción del método para estructuras celulares
Algunos investigadores cómo Hyun, propone el uso de un modelo no lineal con
mallas finas, utilizando para la simulación de estructuras celulares mallas
tetraédricas y con más de 10,000 elementos y nodos, esto con el fin de garantizar
la convergencia del sistema. Además, el autor sugiere el uso de desplazamientos
en vez de fuerzas, esto permite encontrar realmente las cargas teóricas a las que la
estructura colapsará y permitirá modelar el comportamiento teórico de la estructura.
En varios casos, investigadores como Hyun y Wang, sugieren que para este tipo de
simulaciones, se deben permitir altas deformaciones de los elementos, con el fin de
que el sistema arroje resultados coherentes, además, para evitar problemas de
convergencia, los autores han sugerido la aplicación del desplazamiento en
pequeños intervalos de tiempo.
20
3. Metodología 3.1. Introducción
En esta sección se explicará en detalle el diseño computacional, la manufactura y
los métodos de caracterización seguidos para este proyecto.
3.2. Diseño de la estructura
3.2.1. Diseño de la estructura
Se pretende comprobar la hipótesis y se prueba computacionalmente que una
reducción de diámetro del 10% en la estructura es suficiente para hacer fallar la
estructura de la manera deseada, por lo que se modela el sistema como dos barras
pin-fijas (K=0,7) de longitud 𝐿/2 y se realizan las reducciones de diámetro a una
distancia de 0,35*L desde el extremo fijo y el centro de la estructura.
Imagen 12. Diseño reducciones de diámetro
Para este caso particular, se utilizó un ángulo 𝜔 de 60°, esto debido a que múltiples
autores cómo Lee [3], sugieren que este ángulo es óptimo para este tipo de
estructuras, haciéndolas más resistentes y aumentando el esfuerzo de Plateau en
estas.
El parámetro de altura se seleccionó realizando un promedio rápido del tamaño que
tienen las estructuras de varios autores como Lee, Wang, Lim, entre otros y se
definió que la altura ℎ𝑐 sería cercana a 13.85 𝑚𝑚, estos autores sugieren que esta
altura es apropiada para realizar pruebas a pequeña escala de este tipo de
estructuras. Debido a la altura seleccionada y el ángulo 𝜔, la longitud 𝐿𝑐 sería muy
cercana a 8 𝑚𝑚.
Por último, se decidió que el diámetro de barras dentro de la estructura sería de
1 𝑚𝑚 es decir que 𝑟𝑐 = 0.5 𝑚𝑚, este diámetro se seleccionó así teniendo en cuenta
la resolución de la máquina de prototipado a utilizar, el costo asociado a la impresión
y que se debían realizar pequeñas reducciones las cuales la maquina fuera capaz
de realizar sin problema alguno.
A continuación, se presenta la geometría obtenida con ayuda del software Autodesk
Inventor.
21
Imagen 13. Geometría Kagomé modificada
3.3. Simulación
Las simulaciones se realizaron por medio del software MSC MARC, el cual trabaja
bajo el método de elementos finitos y es capaz de modelar sistemas no lineales,
además, las mallas requeridas por MARC para el modelamiento fueron realizadas
en el software MSC PATRAN, la malla se realizó de 0.05mm, un poco más fina que
la generada automáticamente por el software.
Al generar la malla anteriormente mencionada, se logró obtener cerca de 13,000
elementos, siguiendo los parámetros mencionados por Hyun [1], además, se utilizó
un modelo no lineal en el cual se habilitó la opción de trabajar con altas
deformaciones.
Las simulaciones se realizaron a una tasa de deformación constante de 0.5mm/min,
teniendo en cuenta que eso es lo que establece la norma ASTM C365/C365M – 16
[20] para las pruebas de este tipo de estructuras, además de lo sugerido por
múltiples autores de trabajar a bajas tasas de deformación.
Como método de solución, se utilizó el algoritmo de Lanczos, este algoritmo es un
método utilizado comúnmente en elementos finitos, ya que es capaz de llegar a una
aproximación bastante acertada de los valores y vectores propios del sistema.
Las simulaciones se realizaron tomando Aluminio como material para el núcleo, esto
debido a que los fabricantes de las resinas poliméricas que se utilizaron en el
proceso de manufactura no proporcionan la tabla esfuerzo-deformación real del
material ni los modelos constitutivos para poder modelar su comportamiento en la
región plástica.
22
Imagen 14. Simulación Kagomé original
En Anexos se encontrará un paso a paso de las simulaciones realizadas.
3.4. Procesos de manufactura para núcleo tipo Kagomé
Para este caso particular, se decidió, por facilidad y disponibilidad, utilizar un método
de prototipado rápido en 3D. Para esto, se utilizó una impresora STRATASYS
OBJET, la cual tiene una resolución de 0.18 𝜇𝑚. Esta impresora es una impresora
de resina que solidifica la resina con ayuda de lámparas ultravioleta.
En este caso, se utilizó como material base una resina polimérica VeroBlue
RGD840, este material fue seleccionado así debido a la disponibilidad del material
dentro de los laboratorios donde se realizaría la manufactura de las probetas. Al no
utilizar materiales de relleno solubles, se decidió eliminarlos de manera cuidadosa
utilizando elementos pequeños como alfileres y cepillos con el fin de eliminar la
mayor cantidad de material posible y mitigar el ruido que este material puede aportar
a las mediciones.
A continuación, se presenta una foto de una de las probetas apenas fue retirada de
la máquina y una foto de la probeta después de eliminar el material de relleno.
23
Imagen 15. Resultado de la impresión 3D
Imagen 16. Resultado de la impresión 3D sin material de relleno
Como se observa en las imágenes anteriores, solo se decidió imprimir una de las
placas o caras del Sándwich, esto se debió a que, al no disponer de materiales de
relleno solubles, fue necesario dejar el espacio para poder remover la mayoría del
material de relleno posible.
La cara impresa actúa como base de la estructura, al ser una impresión “continua”
no fue necesario el uso de pegantes entre la cara y el núcleo, ambas conforman
una sola pieza estructural, garantizando que las estructuras se encuentran
completamente empotradas en la base.
24
3.5. Pruebas cuasi estáticas
Se realizan pruebas de compresión en la maquina Instron 5586, a una velocidad de
deformación constante de 0.5 mm/min tal como lo siguiere la norma ASTM
C365/C365M – 16 [20] y como lo realiza el autor Gautam en su investigación [5].
Imagen 17. Pruebas de compresión
Estas pruebas se realizan con el fin de obtener las propiedades mecánicas del
material y comparar su comportamiento con el comportamiento teórico de las
mismas estructuras.
25
4. Análisis y resultados 4.1. Introducción
En esta sección se presentan los resultados obtenidos computacional y
experimentalmente. Lo anterior siguiendo los parámetros previamente establecidos.
4.2. Resultados computacionales
Al realizar las simulaciones de la estructura original, se observa que la distribución
de esfuerzos se da de la siguiente manera:
Imagen 18. Distribución de esfuerzos en Kagomé sin modificar
Si bien los puntos de mayor esfuerzo no se encuentran en la mitad de cada barra
de la estructura, estos si se encuentran cerca a la mitad, lo que indica en un principio
que las reducciones planteadas podrían funcionar y generar los resultados
planteados, por lo que se prosigue a realizar las simulaciones de la estructura
modificada.
Mediante la simulación, fue posible observar que la hipótesis planteada podría
funcionar, es decir que sería posible aumentar el número de fallas por pandeo en la
estructura, tal como se muestra a continuación en la Imagen 19.
26
Imagen 19. Simulación Kagomé modificada
En la anterior imagen, si bien no se observa explícitamente un comportamiento muy
diferente respecto a la estructura original (Imagen 14), si es posible observar que
justo en los puntos de reducción de diámetro ocurre la falla, esto se puede observar
mejor en la Imagen 20.
Imagen 20. Simulación Kagomé modificada pandeo
Al observar el punto de interés (señalado en rojo en la Imagen 20), es posible notar
que la sección ubicada en el centro de la barra únicamente tiende a rotar, más no a
pandearse, generando un comportamiento similar al que tendría un pin.
27
Imagen 21. Distribución de esfuerzos estructura Kagomé modificada
En la anterior imagen, es posible observar que mediante las modificaciones
geométricas establecidas, fue posible forzar que los esfuerzos máximos ocurrieran
en los puntos deseados, generando así, un inicio del fenómeno de pandeo en cada
uno de estos puntos mencionados anteriormente.
Dentro del proceso de simulación, también fue posible encontrar que el centroide
de la estructura tiende a comportarse cómo un pin, más que cómo un punto fijo o
empotramiento.
Gráfica 3. Comportamiento teórico estructura tipo Kagomé
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Al obtener los resultados de la carga aplicada a la estructura mediante la simulación
(Gráfica 3), es posible notar una disminución significativa en el pico de la grafica
(punto máximo elástico de la curva) entre ambas estructuras, esta disminución es
cercana al 20.5%. Al disminuir el punto máximo elástico de la gráfica, significa que
la estructura es más débil y que puede resistir menos carga en su región elástica.
Sin embargo, se debe notar que la carga equivalente al esfuerzo de Plateau (𝐹𝑝𝑙)
solo difiere cerca de un 8.3%, es decir, la estructura es más débil, pero en proporción
al Kagomé sin modificar, la carga relacionada al esfuerzo de Plateau es mayor. Lo
anterior permite plantear la hipótesis de que la estructura modificada sería capaz de
absorber una mayor cantidad de energía si sus máximas cargas elásticas fueran las
mismas.
Para mejorar el comportamiento de este tipo de estructuras, se podría trabajar con
un mayor diámetro en las barras, realizando el mismo tipo de reducciones planteado
anteriormente, este incremento en el diámetro aumentaría la densidad relativa de la
estructura, sin embargo, este cambio podría arrojar resultados bastante favorables
en el comportamiento estático de la estructura.
4.3. Resultados del proceso de manufactura
Para este tipo de estructuras se recomienda probar más de 10 elementos en una
sección cuadrada de 50𝑚𝑚 𝑥 50𝑚𝑚, sin embargo, debido a la geometría, se
deicidio utilizar arreglos de 19 estructuras completas y una sección hexagonal que
no superara el área de la sección cuadrada propuesta.
Al observar la Imagen 22, es posible observar que no se logró remover la totalidad
del material de relleno, esto debido a que este polímero no es soluble en alguna
sustancia.
Imagen 22. Probetas impresas.
Se realizaron únicamente 5 pruebas de cada tipo de estructura (modificadas y sin
modificar), esto debido a la poca disponibilidad del material y a que algunas
probetas sufrieron daños en el proceso de remoción de material de relleno.
29
4.4. Resultados de pruebas cuasi estáticas
Las probetas utilizadas a pesar de estar contaminadas con material de relleno
fueron utilizadas en las pruebas de compresión.
Se realizaron pruebas de compresión en la maquina Instron, tal como se especificó
anteriormente y se obtuvieron los siguientes resultados.
Imagen 23. Estructuras sometidas a cargas de compresión.
Tal como se observa en la Imagen 23, se logró, al igual que la simulación, el
comportamiento deseado por la estructura. En la Imagen 23 a, se observa la
estructura Kagomé sin modificaciones, mientras que en la Imagen 23 b, se observa
el comportamiento real de la estructura Kagomé con modificaciones geométricas.
Gráfica 4. Pruebas de compresión
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En la anterior gráfica, se presentan los resultados experimentales de las pruebas de
compresión, donde las gráficas numeradas como S, hacen referencia a estructuras
sin modificar y las marcadas como R, a las estructuras con reducciones de diámetro.
Gráfica 5. Promedio resultados prueba de compresión
En la Gráfica 5, se presentan los resultados promedio obtenidos para las
estructuras Kagomé modificadas y sin modificar, en esta gráfica, observamos un
comportamiento muy similar a los obtenidos en la parte computacional, a pesar de
no tratarse del mismo material, es posible observar que la tendencia es la misma.
Para este caso, se observa una resistencia elástica máxima superior en el caso de
la estructura sin modificar, estos picos difieren cerca de 34%, sin embargo, para
este caso particular se obtuvo que la carga (𝐹𝑝𝑙) equivalente al esfuerzo de Plateau
(𝜎𝑝𝑙) difiere cerca de un 37%, es decir, el caso experimental no concuerda con los
resultados obtenidos mediante el método computacional.
La diferencia más significativa en la carga 𝐹𝑝𝑙 puede deberse a errores en el
prototipado de las geometrías (debido a la resolución de la maquina), a la
contaminación de las probetas o al material utilizado, ya que se observó que este
no soporta niveles muy altos de plasticidad.
4.5. Comparación de resultados teóricos y experimentales
En la parte computacional se observa que las reducciones de diámetro si tienen un
efecto positivo respecto al esfuerzo de Plateau, esto debido a que, al aumentar la
cantidad de fallas, el compuesto tipo Sándwich tenderá a oponer más resistencia a
su deformación plástica, aumentando así la cantidad de energía que el material
sería capaz de absorber.
Dentro de los resultados experimentales se encuentra que el fenómeno de pandeo
deseado está ocurriendo de la manera esperada, tal como se especificó
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anteriormente, sin embargo, los resultados experimentales no permiten concluir que
las estructuras modificadas posean un mejor comportamiento que las estructuras
sin modificar. Algunas posibles causas a este comportamiento podrían deberse a
que las reducciones de diámetro no fueron apropiadas teniendo en cuenta la
resolución de la impresora.
En ambos casos (simulaciones y experimentación) se obtienen resultados
coherentes entre las estructuras modificadas y las estructuras sin modificar, ya que
ambas poseen el mismo diámetro nominal. Al realizar reducciones de diámetro para
forzar la falla, se espera que la estructura falle con una menor carga en los puntos
de las reducciones, haciendo que la fuerza plástica de colapso sea menor en las
estructuras modificadas.
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5. Conclusiones
En este proyecto se realizaron exitosamente modificaciones geométricas en una
estructura Kagomé, iniciando por simulaciones computacionales (mediante el
método de elementos finitos) y continuando con el prototipado y ensayos de
compresión de las mismas. A pesar de realizar las simulaciones y el proceso
computacional con un material diferente al de la prueba real, se observa que las
propiedades mecánicas de la estructura tienden a tener el mismo comportamiento
global en la parte elástica.
Las propiedades mecánicas fueron obtenidas mediante métodos de compresión
cuasi estáticos, además, las fallas de las estructuras fueron identificadas y
fotografiadas. Se encontró que, al generar pequeñas reducciones de diámetro en la
estructura, esta logra forzar la falla de la manera deseada.
En la experimentación, las modificaciones geométricas no tuvieron un efecto macro
en cuanto a las propiedades mecánicas del material; si bien se logró la falla de la
manera deseada, no se observan mejoras significativas en el esfuerzo de Plateau
respecto a las estructuras sin modificar.
Por último, es importante resaltar que los resultados experimentales (especialmente
la fuerza asociada al esfuerzo de Plateau 𝐹𝑝𝑙) difieren de los obtenidos
computacionalmente, por lo que se debe replantear el problema utilizando mayores
reducciones en los diámetros o materiales que soporten mayores niveles de
plasticidad, lo último con el fin de que el material no se fracture en el proceso de
deformación plástica.
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6. Recomendaciones
La principal recomendación para este proyecto es probar las estructuras en otros
materiales que puedan a su vez ser simulados, además, en caso de trabajar
prototipado rápido, se recomienda utilizar materiales de relleno solubles en algún
tipo de solución (agua, alcohol u otros) con el fin de trabajar con probetas totalmente
limpias.
Otra recomendación sobre el proyecto es modelar el centroide de las estructuras
como un pin y no como un punto fijo.
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7. Trabajos Futuros
Se propone modelar el centroide de la estructura como un pin y no como un punto
de empotramiento, esto con el fin de generar mejores resultados.
Se propone realizar pruebas en otros materiales que soporten mejor la plasticidad;
además, se podría trabajar en otro tipo de estructuras (como tetraédricas o
piramidales) para observar si se obtiene un mejor resultado.
Realizar pruebas a cargas de impacto para observar el comportamiento de las
estructuras ante este.
Se propone realizar mayores reducciones de diámetro con el fin de observar
resultados reales a nivel macro.
Por último, sería ideal probar varios modos de falla de este tipo de estructuras, como
fallas a cortante y fallas en otras direcciones para observar si el material puede
comportarse, o al menos estar cerca de ser un material isotrópico.
35
8. Referencias
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Kagomé and tetragonal truss core panels,» International Journal od Solids
and Structures, 2003.
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panels with Kagomé cores,» International Journal of Solids and Structures ,
2003.
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[4] J.-H. Lim y K.-J. Kang, «Mechanical behavior of sandwich panels with
tetrahedral and Kagome truss cores fabricated from wires,» International
Jurnal of Solids and Structures, 2006.
[5] R. Gautam y S. Idapalapati, «Performance of strut-reinforced Kagome truss
core structure under compression fabricated by selective laser melting,»
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[6] L. J. Gibson y M. Ashby, «Cellular Solids,» Cambridge: Cambridge University
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[7] M. Scheffler y P. Colombo, Cellular Ceramics: Structure, Manufacturing,
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Transactions of the Royal Society, 2005.
[11] S. M. Pingle, N. A. Fleck, V.S.Deshpande y H. N. G. Wadley, «Collapse
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transverse shear,» INTERNATIONAL JURNAL OF SOLIDS STRUCT, 2011.
[12] J. H. Conway, H. Burgidel y C. Godman-Strauss, The symmetries of things, A
K Peters/CRC Press, 2008.
36
[13] G. Branko y G. C. Shephard, Tilings and patterns, New York: W. H. Freeman
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[14] L. MA, H.-Y. ZHENG y L.-Z. WU, «Mechanical properties and impulsive
response of 3D-Kagome truss core sandwich panel,» de 16th International
Conference on Composite Materials, Kyoto, 2007.
[15] A. C. R. Aguilar, «CONSTRUCCIÓN, CARACTERIZACIÓN Y ANÁLISIS DEL
COMPORTAMIENTO DE HONEYCOMBS DE FIBRA DE CARBONO Y
PAPEL KRAFT BAJO CONDICIONES CUASIESTÁTICAS Y DINÁMICAS.,»
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[16] ASM, Atlas os Stress-Strain Curves, USA: ASM International, 2002.
[17] G. Dhatt, G. Touzot y E. Lefrancois, Finite Element Method, Hoboken: Wiley,
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[19] S. S. RAO, The Finite Element Method In Engineering, Oxford: Elsevier,
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Sandwich Cores,» de ASTM ACTIVE STANDARD, 2016.
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Composites Science and Engineering: Number 6920, 2016.
[23] J. Xiong, L. Ma, L. Wu, B. Wang y A. Vaziri, «Fabrication and crushing
behavior of low density carbon fiber composite,» Composite Structures, 2010.
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Anexos
Paso a paso de la simulación en MARC
1) Exportar el software desde el software de diseño, en este caso Autodesk
Inventor en formato IGS.
2) Abrir el software MSC Patran, crear un nuevo documento e importar el solido
en formato IGS.
3) Ir a la pestaña “Mesh” y crear la malla bajo los parámetros deseados.
4) Exportar como “Neutral”, es decir, en formato .OUT.
5) Iniciar el software MSC Marc e importar el archivo con la malla.
6) Ir a la estaña “Tables & Coord. Syst.” Dar clic en “New” y crear una nueva
tabla con variable independiente.
7) Seleccionar el tipo de la variable (para este caso, tiempo), establecer el
tiempo máximo de simulación y dar clic en “Add”, introducir los valores 0, 0,
tiempo máximo, 1 y observar que se genere una tabla tipo rampa como la
que se observa a continuación.
8) Ir a la pestaña “Material Properties”, clic en “New”, “Finite Stiffness Region” y
“Standard”, acá se introducen las propiedades del material del cual se
compone el sólido y se selecciona la opción “Add Elements” y “All Existing”.
9) Dirigirse a la pestaña “Boundary Conditions” y dar clic en “New Structural” y
“Fixed Displacement” nombrar a esta condición como fija para identificarla,
Restringir todos los desplazamientos, dar clic en “Add Nodes” y seleccionar
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los nodos que se desean mantengan su condición de empotrados. Por último,
se da clic en “All selected” y “Ok”
10) Repetir el paso anterior, con la diferencia que en este se proporcionará el
valor del desplazamiento deseado (X, Y o Z), al introducir el valor del
desplazamiento, se debe dar clic en “Table” y seleccionar la tabla creada
anteriormente, esto hará que la carga se aplique de manera uniforme en el
tiempo.
11) Ir a la ventana “Loadcases” dar clic en “New” y seleccionar la opción “Static”.
En la casilla “Total Loadcase Time” escribir el tiempo máximo de simulación
que se desea (el mismo introducido en la tabla). Por último, seleccionar la
opción “Multi Criteria” y dar clic en “Ok”.
12) Ir al “Job” que se crea por default, seleccionar el “Loadcase”, Seleccionar
“Analysis Options” y dar clic en “Large Strain”. Dar clic en “Ok”.
13) Finalmente, se da clic en “Check” para revisar si se encuentran errores en el
modelo, de no encontrarse errores, dar clic en “Run” y en “Submit”. Cuando
el estado de la simulación sea “complete”, dar clic en “Exit Message” y revisar
que la simulación haya sido exitosa. Dar clic en “Ok”.
14) Dar clic en el botón “Open default results file” ubicado en la parte superior
izquierda de la pantalla. En este punto se puede observar (dando clic en
“Play” el paso a paso en el tiempo del sistema. Si se desea obtener una
gráfica, se debe dirigir a la opción “History Plot” y seleccionar los nodos de
interés y las variables de interés.