estudiar matemática 8

Santillana

EstudiarMatemática.–NAP8.º;ES2.º;CABA1.º–.es.una.obra.colectiva,

creada.y.diseñada.en.el.Departamento.Editorial.de.Ediciones.Santillana

bajo.la.dirección.de.Herminia.Mérega.por.el.siguiente.equipo:

Coordinación.de.la.serie:.Claudia.Broitman

Autoría:.María.Mónica.Becerril,.Verónica.Grimaldi,.Héctor.Ponce.y.Mónica.Urquiza

Asesoramiento.didáctico:.Horacio.Itzcovich

Lectura.crítica:.Andrea.Novembre

Editoras:.Raquel.S..Kalizsky,.Laura.Spivak.y.Ana.V..Veltri

Jefa.de.edición:.María.Laura.Latorre

Gerencia.de.gestión.editorial:.Mónica.Pavicich

Estudiar Matemática

LIBRODELDOCENTE

1.257 : 589 = 2,134

83

+ 5 X =( 79 + X2) - X

3.805.047 km

37 + ∏=

( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

( 79 + X2) - 321X+ X2 586 + 89258

( 58 - 3 X ) + 10 X

9X

3.805.047 km9X

9X

1.257 : 589 = 2,134( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

( 58 - 3 X ) + 10 X

3.805.047 km3.805.047 km

37 + ∏=

( 85 Y - 3 X ) + 10 X( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 79 + X

3.805.047 km3.805.047 km9X9X

1.257 : 589 = 2,134

+ 5 X =) - X

3.805.047 km

37 + ∏=

( 85 Y - 3 X ) + 10 X

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

) - 321X+ X2 586 89 89258

( 58 - 3 X ) + 10 X

9X258 9X258

9X9X

1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

2 586 + 89258

( 58 - 3 X ) + 10 X( 58 - 3 X ) + 10 X

9X258 9X258

3.805.047 km

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X ) ( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

( 79 + X2) - 321X+ X

1.257 : 589 = 2,1341.257 : 589 = 2,134

37 + ∏=( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

) - 321X+ X

883

+ 5 X =+ 5 X =( 79 + X2) - X

3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X

3.805.047 km

3.805.047 km

+ 5 X =( 79 + X

3.805.047 km( 85 Y - 3 X ) + 10 X

M8_(001-16)_PRELI-DOC CIERRE.ind1 1 10/30/08 11:21:15 AM

La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por:

Jefa de Arte: Claudia Fano.

Diagramación: Sergio Israelson.

Tapa: 2martini•estudiodediseño.

Corrección: Juan Sosa.

Gráficos matemáticos Pablo J. Kaczor.

Documentación

fotográfica: Ariadna Demattei, Leticia Gómez Castro

y Nicolás Verdura.

Fotografía: Archivo Santillana.

Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez

y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea re-prográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C100 1AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN-978-950-46-2058-7

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: noviembre de 2008.

Este libro se terminó de imprimir en el mes de noviembre de 2008, en Encuadernación Aráoz S.R.L., Av. San Martín 1265, (1704) Ramos Mejía

Estudiar matemática : recursos para el docente : NAP 8.º, ES 2.º, CABA 1.º / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 192 p. ; 28x22 cm.

ISBN 978-950-46-2058-7

1. Formación Docente. 2. Matemática. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord.CDD 371.1

M8_(001-16)_PRELI-DOCENTE.indd 2 11/11/08 3:12:50 PM

�

1. AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspropuestasdeEstudiar Matemática ..............................................5

1.1 El.rol.de.los.problemas.................................................................................................5 •. Secuenciación.de.los.problemas...................................................................................7 •. Diversidad.de.procedimientos.......................................................................................81.1 La.exploración.como.parte.del.trabajo.matemático.......................................................81.2 Los.modos.de.representación.......................................................................................91.3 La.validación.como.parte.de.la.responsabilidad.del.alumno..........................................91.4 El.uso.de.las.letras..................................................................................................... .10. •. Las.letras.y.la.generalización.......................................................................................10. •. Las.letras.para.estudiar.procesos.................................................................................111.1 Diferentes.organizaciones.del.trabajo.en.la.clase....................................................... .12

2. LaorganizacióndecontenidosenEstudiar Matemática ...........................13

EJE:Losnúmerosysusoperaciones...............................................................................13Cap.I: Números.naturalesCap.II: Números.enterosCap.III: Números.racionales

EJE:Geometríaymedida................................................................................................14Cap.IV: Geometría.y.medida.I.Cap.V: Geometría.y.medida.II.

EJE:Relacionesentrevariables.......................................................................................15Cap.VI: Funciones.Cap.VII: Función.lineal.Cap.VIII:Probabilidad.y.estadística

3. Bibliografía............................................................................................................16

Aportes.para.la.enseñanzaÍndice


�

1.AlgunasideassobrelaenseñanzadelaMatemáticaquesubyacenalaspro-puestasdeEstudiar Matemática.

En.este.apartado.se.intenta.hacer.explícitas.algunas.ideas.sobre.la.enseñanza.de.la.Matemática.que.fundamentan.las.decisiones.adoptadas.para.la.elaboración.de.este.libro.Intentaremos.comunicar,.por.una.parte,.algunas.características.del.tipo.de.trabajo.que.se.pro-picia.desplegar.con.los.alumnos.y,.por.otra,.los.criterios.que.sustentaron.la.selección,.organiza-ción.y.secuenciación.de.los.contenidos..Ambos.aspectos.se.identificarán.con.algunos.ejemplos.de.cómo.se.esbozan.estas.cuestiones.en.las.páginas.del.libro.

1.1Elroldelosproblemas

Se.parte.de.la.idea.de.que.es.necesario.que.los.alumnos.se.enfrenten.con.problemas.nuevos,.que.favorezcan.procesos.constructivos.a.partir.de.poner.en.juego.conocimientos.iniciales.y.se.evidencie.la.necesidad.de.producir.nuevos..Para.que.los.alumnos.puedan.ir.construyendo.una.idea.acerca.del.trabajo.matemático.deberán.enfrentarse.a.situaciones.que.les.presenten.cierto.grado.de.dificultad,.que.sean.verdaderos.desafíos..La.dificultad.de.la.situación.propicia.el.des-pliegue.de.formas.de.resolución.basadas.en.el.uso.de.ciertos.conocimientos.y.hace.posible.la.elaboración.de.otros..Las.estrategias.usadas.al.principio.no.serán.“expertas”.ni.muy.económi-cas,.pero.serán.el.punto.de.partida.Estos.desafíos.se.presentan.de.diferentes.maneras..Aquí.van.algunos.ejemplos:.Encontrar.estrategias.más.económicas;.por.ejemplo:

Aportes.para.la.enseñanza

Estudiar Matemática

�..La.siguiente.secuencia.de.figuras.se.forma.con.fósforos.

Decidí.si.la.fórmula.3n.+.1,.en.la.que.n.representa.el.lugar.que.ocupa.la.figura.en.la.serie,.permite.averiguar.la.cantidad.de.fósforos.necesarios.para.armarla.

2.º.lugar1.er.lugar 3.er.lugar


6

Discutir.la.validez.de.ciertas.afirmaciones;.por.ejemplo:

�.Marquen.un.punto.que.se.encuentre.a.3.cm.de.la.recta.L.y.a.4.cm.del.punto.D..¿Hay.más.de.un.punto.posible?.

Parahacerenparejas

D

L

�.Una. camioneta. consume. 10. litros. de.combustible.por.cada.100.km.que.re-corre..El.dueño.llena.el.tanque.y.sale.a.la.ruta.con.150.litros.de.combustible.

a.. ¿Qué. cantidad. consume. por. cada.km.recorrido?

b.. Completá. la. tabla. que. muestra. la.cantidad.C.de.combustible.que.va.que-dando.en.el.tanque,.según.la.distancia.D.que.recorre.la.camioneta,.expresada.en.km.

c.. ¿Cuál. de. las. siguientes. fórmulas.podría. describir. la. relación. que. se.muestra.en.la.tabla?.

d.. Otro. vehículo. consume. 12. litros.cada.100.km.y.sale.a.la.ruta.con.su.tan-que.de.100.litros.lleno.de.combustible..¿Cómo.será.la.fórmula.que.describe.la.relación.entre.la.cantidad.de.km.que.re-corre.y.la.de.combustible.que.queda.en.el.tanque?

D 0 100 200 300 400 500 600 700

C 150

C = 0,10 · D C = 150 + 0,10 · D

C = 150 – 0,10 · D C = 150 – 10 · D

Anticipar.la.cantidad.de.soluciones;.por.ejemplo:.

Establecer.relaciones.entre.expresiones.algebraicas.que.aparentan.ser.diferentes;.por.ejemplo:.

•. ¿Es.cierto.que.tres.lados.de.longitud.conocida.solo.permiten.construir.un.triángu-lo?.¿Y.tres.ángulos.de.medida.conocida?

Paradebatir


�

Establecer.condiciones.para.que.se.cumpla.cierta.relación.o.propiedad;.por.ejemplo:

. .

•SecuenciacióndelosproblemasEn.este.libro.las.diferentes.propuestas.se.organizan.en.secuencias.pequeñas,.en.las.que.se.visitan. los.mismos. tipos.de.problemas,.una.y.otra.vez,.para. favorecer.avances..Pero,.a. su.vez,.se.incorporan.situaciones.que.agregan.desafíos.nuevos..Por.ejemplo,.en.la.página.22.se.propone.una.colección.de.problemas.que.apunta.a.un.mismo.conocimiento,.pero.de.com-plejidad.creciente..

1.En.la.ciudad.de.San.Carlos.de.Bariloche,.en.un.día.de.invierno,.se.registró.una.tempera-tura.de.2.ºC..Algunas.horas.más.tarde.había.descendido.7.ºC..¿Cuál.era.la.temperatura.en.ese.momento?.¿Y.si..hubiera.descendido.otros.3.ºC?

2.A.la.salida.del.Sol.la.temperatura.en.El.Bolsón.era.de.15.grados.bajo.cero..Si.a.las.3.de.la.tarde.había.aumentado.9.grados,.¿cuál.era.la.temperatura.en.ese.momento?

�.En.un.edificio.de.departamentos.hay.3.pisos.para.estacionamiento.cons-truidos.debajo.del.nivel.de.la.calle..La.botonera.del.ascensor.es.como.la.que.se.ve.en.el.dibujo.

a.. Emilia.tomó.el.ascensor.en.el.–2.y.fue.hasta.el.5.º.piso..¿Cuántos.pisos.subió?

b.. Lucía.subió.9.pisos.en.el.ascensor.y.llegó.a.su.departamento,.que.es.el.6.º.A..¿En.qué.piso.lo.tomó?

4.Marisa.tiene.$.280.depositados.en.su.caja.de.ahorros.del.banco..Hoy.van.a.descon-tarle.$.540.por.la.cuota.de.un.crédito..Si.no.le.alcanza,.el.banco.le.presta.el.dinero.que.le.falta..¿Cómo.anotarían.el.estado.de.su.caja.de.ahorros?

Problemasqueincluyennúmerosnegativos

�.¿Qué.condición.tiene.que.cumplir.el.número.natural.f.para.que.la.división.siguiente.dé.resto.cero?.¿Hay.una.única.opción?

8.+.f....9

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3


8

2.Buscá.un.número.cuya.multiplicación.por.4.dé.–12..Po-dés.usar.la.calculadora.

�.Buscá. un. número. cuya. multiplicación. por. –3. dé. –18..Podés.usar.la.calculadora.

•DiversidaddeprocedimientosLa.variedad.de.formas.de.resolución.es.un.buen.indicador.de.que.los.problemas.inicialmente.propuestos.no.son.tan.simples,.como.para.que.todos.los.resuelvan.del.mismo.modo,.ni.tan.complejos.como.para.que.no.los.puedan.resolver..Pero.se.espera,.por.supuesto,.que.luego.de.un.tiempo.se.los.pueda.resolver.con.estrategias.más.homogéneas.e.incluso.más.convenciona-les..Por.ejemplo:

1.2Laexploracióncomopartedeltrabajomatemático

A.menudo.en. la.resolución.de.un.problema.el.primer. intento.no.siempre.conduce.a.“buen.puerto”..Es.necesario.realizar.varios.ensayos,.identificar.en.qué.consisten.los.errores.que.im-piden.arribar.a.la.solución,.como.también.buscar.cierta.información.previa.que.pudiera.estar.involucrada.en.el. trabajo.que. se.propone.. Se. trata.de.un. juego.entre. la. anticipación.de. la.resolución.y.los.efectos.de.las.decisiones.que.se.han.ido.tomando,.de.manera.de.sistematizar.la.búsqueda..Hay.un.interjuego.entre.explorar,.probar,.ensayar,.por.una.parte,.y.reordenar.la.búsqueda,.sistematizar,.por.la.otra..Por.ejemplo:

1.a..En.la.tira.se.repiten.las.primeras.cuatro.letras,.siempre.en.el.mismo.orden..¿Qué.letra.estará.en.el.casillero.17?.¿Y.en.el.2.533?

b..¿Es.cierto.que.en.los.casilleros.21,.37.y.509.va.a.estar.la.letra.P? c.. Elegí.tres.casilleros.mayores.que.200.en.los.que.estés.seguro.que.va.a.aparecer.

la.letra.O.

Parahacerenparejas

2.Escriban.una.palabra.de.tres.letras.diferentes.para.repetir.en.esta.tira,.de.manera.que.estén.seguros.de.que.en.el.casillero.37.va.a.estar.la.letra.A.

�.Escriban.ahora.una.palabra.de.siete.letras.diferentes,.de.manera.que.en.el.casillero.53.esté.la.letra.E.

b..¿Es.cierto.que.en.los.casilleros.21,.37.y.509.va.a.estar.la.letra.P?

P A S O P A S O


�

1.3Losmodosderepresentación

Durante.la.exploración.de.un.problema.nuevo.los.alumnos.suelen.recurrir.a.dibujos,.represen-taciones.gráficas. simbólicas,. cálculos. y.diagramas.. Las.diferentes. formas.de. representación.abonan.al.proceso.exploratorio..El.propio.proceso.demanda,.en.ciertas.circunstancias,.variar.los.modos.de.representación.pues.informan.–o.permiten.identificar–.aspectos.diferentes.de.las.relaciones.que.proponen.las.situaciones..Por.ejemplo:

Algunos. alumnos.podrán. ensayar. y. explorar. con.números,. pero. las. representaciones. alge-braicas.permitirán.comprender.y.explicar.por.qué.ocurre.lo.que.ocurre..Las.primeras.formas.de.representación.que.usan.los.alumnos.serán.un.punto.de.partida.interesante.para.iniciar.el.trabajo.y.se.espera.poder.avanzar.sobre.ellas,.así.como.propiciar.la.interpretación.de.repre-sentaciones.más.convencionales..Por.ejemplo,.en.la.página.158.se.propone.un.problema.que.instala.un.juego.entre.la.representación.gráfica.y.la.algebraica:

1.4Lavalidacióncomopartedelaresponsabilidaddelalumno

Parte.del.quehacer.matemático. consiste. en.determinar. la. validez.de. lo.producido.. En.este.sentido,.se.apunta.a.un.trabajo.matemático.en.la.clase.en.el.que.los.alumnos.puedan,.pro-gresivamente,.“hacerse.cargo”,.por.sus.propios.medios,.de.la.validez.de.los.resultados.que.encuentran.y.de.las.relaciones.que.establecen..Este.aspecto.es.quizá.el.más.complejo.de.tratar.en.el.desarrollo.de.las.clases..Se.espera.que.algunas.explicaciones.provengan.de.una.experiencia.más.intuitiva,.en.tanto.se.trate.de.avanzar.hacia.explicaciones.más.argumentativas..Por.ejemplo:

�.Dibujá.en.el.recuadro.un.segmento.de.5.cm..Ese.segmento.es. la.diagonal.de.un.rectángulo.

a.. Utilizando.escuadra.y.regla.construí.el.rectángulo. b.. ¿Es.cierto.que.es.posible.construir.más.de.un.rectángulo?.¿Por.qué?

1.Elegí.tres.números.naturales.consecutivos..Sumalos..¿El.resultado.es.múltiplo.de.3?.¿Será. cierto.que. si. se. eligen.otros. tres. números.naturales. consecutivos. ocurre. lo.mismo?.¿Por.qué?

2.a..La.función.representada.en.el.gráfico.de.la.derecha,.¿es.creciente.o.decreciente?.Justificá.tu.respuesta.

b.. ¿Cuál.o.cuáles.de.estas.fórmulas.describen.el.proceso.graficado?.Justificá.tus.elecciones.

. C.=.1.000.–.8.·.t.. C.=.8.·.t.–.1.000

. C.=.1.000.–.125.·.t. C.=.1.000.+.125.·.t c.. ¿Cuál.es.el.valor.de.la.pendiente.de.la.recta?.Justificá.

L


10

Estos.modos.de.verificación.un.tanto.empíricos.–por.medio.de.una.representación,.a.través.de.ensayos.y.errores,.usando.cálculos.o.dibujos–.son.un.punto.de.partida.de.un.recorrido.a.largo.plazo..Progresivamente.se.apuntará.a.que.los.alumnos.encuentren.en.el.conocimiento.mate-mático.herramientas.que.permitan.estar.seguros.de.que.lo.que.se.hizo.o.se.afirma.es.correcto..Los.conocimientos.matemáticos.permitirán.dar.razones,.argumentar,. justificar,.sin.necesidad.de.constatar.empíricamente.

1.5Elusodelasletras

Es.muy.probable.que.la.principal.marca.del.trabajo.en.este.nivel.de.escolaridad.venga.dada.por.el.inicio.de.los.alumnos.en.el.trabajo.con.las.letras..Es.decir,.se.trata.de.acompañar.a.los.alumnos.en.el.pasaje.desde. los.problemas.que. involucran.una.actividad.aritmética.hacia. los.que.demandan.un.trabajo.algebraico..El.uso.de.las.letras.comienza.a.dotar.a.la.Matemática.de.nuevas.particularidades..En.este.libro.las.letras.funcionan.desde.dos.perspectivas:.para.tratar.cuestiones.generales.y.para.estudiar.procesos.que.varían.

•LasletrasylageneralizaciónEl.trabajo.con.las.letras.habilita.a.volver.a.pensar.algunas.propiedades.de.los.objetos.matemá-ticos,.ya.no.en.términos.de.sus.casos.particulares..Se.trata.de.promover.la.iniciación.de.su.uso.para.pensar.cuestiones.más.generales.y.poder.encontrar.modos.de.representar.relaciones.que.valen.en.colecciones.infinitas.de.objetos..De.esta.manera,.los.alumnos.contarán.con.herramien-tas.nuevas.para.profundizar.el.estudio,.incluso.de.conceptos.que.ya.fueron.tratados.en.años.anteriores.de.la.escolaridad.Por.ejemplo:

. .

Del.mismo.modo,.el.estudio.de.propiedades.de.los.números.y.el.análisis.de.ciertos.dominios.de.validez.de.esas.propiedades.demandan.el.uso.de.las.letras,.por.ejemplo:

�.¿Qué.condición.debe.cumplir.el.número.natural.a,.para.que.el.resultado.del.cálculo.siguiente.sea.un.número.ter-minado.en.3?

a.×.5.+.3

Se.quiere.comparar.las.fracciones.1a

.y.1b

..

•. ¿Es.cierto.que.si.a.y.b.son.dos.números.naturales.y.a.>.b,.entonces.1 1a b> ?

•. Si.a.y.b.son.dos.enteros.negativos.y.a.>.b,.¿se.cumple.que.1 1a b> ?

Paradebatir


11

1.Un. tren. sale. de. la. estación. terminal. y. hace.una. sola.parada. en.Victoria,. situada. a.50.km..Allí.sube.Luis,.que.se.dirige.a.San.Ignacio,.la.próxima.parada,.distante.360.km.de.la.terminal..En.este.último.tramo.el.tren.se.desplaza.a.40.km.por.hora.

a..¿A.qué.distancia.de.la.terminal.se.encuentra.Luis.después.de.viajar.2.horas?.¿Y.después.de.3.horas?.¿Y.de.4?

b..Escribí.una.fórmula.que.te.permita.calcular.a.qué.distancia.de.la.terminal.está.Luis.en.cada.momento.del.recorrido.

Este.tipo.de.situación.tiene.diferentes.finalidades..Por.un.lado,.usar.las.letras.para.dar.cuenta.de.una.regularidad..Por.otro,.identificar.que.hay.expresiones.que.parecen.ser.diferentes,.pero.que.terminan.siendo.iguales:.el.problema.de.la.equivalencia..Finalmente,.involucra.considerar.la. letra.como.susceptible.de.sufrir.variaciones.que. impactan.sobre. los. resultados.obtenidos..Esto.abre.la.puerta.a.la.siguiente.cuestión:.las.letras.para.estudiar.procesos.

•LasletrasparaestudiarprocesosUno.de.los.recursos.principales.con.que.cuenta.la.Matemática.para.estudiar.problemas.en.los.cuales.se.producen.variaciones.involucra.las.funciones..En.efecto,.la.elaboración.de.modelos.funcionales.demanda,.casi.indefectiblemente,.apelar.a.letras.para.representar.los.procesos.que.se.pretende.estudiar.Si.bien.es.esperable.que.al.principio.los.alumnos.puedan.tratar.los.problemas.desde.una.pers-pectiva.aritmética,.apelando.a.cálculos,.la.expectativa.es.que.puedan.pasar.a.identificar.relacio-nes.más.generales,.que.admiten.un.tratamiento.mediante.representaciones.algebraicas,.y.que.permitan.hacerse.cargo.de.la.variación..Por.ejemplo:

En.otros.problemas.se.busca.que.los.alumnos.se.inicien.en.el.tratamiento.de.las.letras.como.variables..Son.aquellos.en.los.cuales.se.trata.de.producir.fórmulas.que.permitan.contar.la.can-tidad.de.elementos.de.una.colección,.sin.tener.que.hacerlo.de.a.uno..Por.ejemplo:

2.La.siguiente.serie.de.dibujos.está.cons-tituida. por. bordes. de. cuadrados. for-mados. por. cuadraditos,. tal. como. se.muestra.en.el.dibujo:

a.. ¿Cuántos. cuadraditos. habrá. en. el.cuadrado.que.se.encuentra.en.el.décimo.lugar?.¿Y.en.el.que.está.en.el.lugar.41?

b.. ¿Cuál.o.cuáles.de.las.siguientes.fór-mulas. permite. conocer. la. cantidad. de.cuadraditos.de.una.figura.que.está.en.el.lugar.n?.¿Cómo.se.dieron.cuenta?4.×.(n.+.1). 2.×.n.+.4.+.2.×.n

4.×.(n.+.2).–.42.º.lugar1.er.lugar 3.er.lugar ...

...

Parahacerenparejas


12

Hay.un.juego.permanente.entre.los.cálculos.que.podrían.hacer.los.alumnos.y.las.fórmulas.que.se.solicita.elaborar..Estas.relaciones,.a.su.vez,.como.ya.se.ha.mencionado,. invitarán.a.otros.modos.de.representación.(tablas,.gráficos).para.poder.avanzar.en.la.escritura.de.expresiones.algebraicas.que.den.cuenta.de.los.procesos.que.se.están.estudiando.Una.decisión.que.se.ha.tomado.en.este.libro.es.que.las.ecuaciones.se.propongan.asociadas.al.trabajo.con.funciones,.a.partir.de.la.búsqueda.de.valores,.en.los.contextos.de.los.problemas.Por.ejemplo:

Se.trata.de.considerar.la.ecuación.lineal.como.parte.del.estudio.de.la.función.lineal.y.la.ecua-ción.de.la.recta.

Por.otro.lado,.sin.perder.de.vista.la.perspectiva.adoptada,.las.letras.también.se.proponen.para.estudiar.otros.procesos..Es.el.caso.del.siguiente.ejemplo:

En.este.caso.se.trata.de.apelar.al.estudio.de.la.variación.de.una.fórmula.para.anticipar.la.varia-ción.de.un.área.

1.6Diferentesorganizacionesdeltrabajoenlaclase

Las.formas.que.puede.adquirir.el.trabajo.matemático,.el.nivel.de.conocimientos.que.el.pro-blema.involucre.y.el.tipo.de.interacciones.que.se.pretenda.promover.harán.necesarias.diversas.modalidades.de.organización.de.la.clase..Para.muchos.problemas.es.necesario.un.momento.de.exploración.desde.el.trabajoindividual,como.punto.de.partida.para.un.análisis.colectivo.ulterior.

También.hay.propuestas.de.esta.naturaleza.en.las.páginas.de.Para estudiar los primeros pro-blemas del capítulo.y.en.las.páginas.de.Para estudiar los problemas del capítulo..Se.trata.de.un.tiempo.individual.de.estudio,.de.sistematización,.de.enfrentarse.a.las.propias.dificultades.que.aún.presenta.el.tema.tratado..Para.ambas.secciones.se.proponen.hojas.recortables,.incluso.con.la.intención.de.que.puedan.entregarse.al.docente.para.su.corrección,.como.“tarea.para.el.hogar”,.preparación.para.la.evaluación.escrita.u.otros.propósitos.

�.En.el.rombo.de.la.derecha,.las.diagonales.miden.a.y.b. ¿Cuáles.podrían.ser.las.medidas.de.las.diagonales.de.

otro. rombo. cuya. área. sea. la. cuarta. parte. de. la. del.dibujado?

2.Para. la.recta.de.ecuación. y x=32

4 – ,.encontrá.qué.valor.toma.x.si. la.variable.y.

toma.el.valor.5..Antes.de.realizar.cálculos.anticipá.si.ese.valor.será.positivo.o.negativo.

ab


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Cuando.la.actividad.requiere.un.trabajo.exploratorio.y.no.se.espera.que.se.la.pueda.resolver.en.forma.autónoma,.se.sugiere.un.abordaje.enparejas,.de.manera.que.las.interacciones.entre.los.alumnos.posibiliten.la.resolución..

Se.prevén.instancias.de.trabajocolectivo,en.las.secciones.Para debatir.o.Para revisar lo reali-zado,con.la.finalidad.de.poner.en.discusión.algún.aspecto.central.de.lo.que.se.viene.tratando.o.reflexionar.sobre.resoluciones.elaboradas.por.los.alumnos.

En.la.sección.Para tener en cuenta.se.presenta.vocabulario,.propiedades.y.demostraciones.Esta.información.fue.concebida.para.su.lectura.colectiva.y.como.fuente.de.consulta.en.diferentes.oportunidades..

2.LaorganizacióndecontenidosenEstudiarMatemática.

Este.libro.está.organizado.en.ejes.y.al.interior.de.cada.eje,.capítulos:.EJE:LosnúmerosysusoperacionesEJE:GeometríaymedidaEJE:Relacionesentrevariables

EJE:Losnúmerosysusoperaciones

Este.eje.está.conformado.por.tres.capítulos..El. capítulo 1 se. ocupa. de. los. números naturales.. Se. propone. en. principio. profundizar.algunos.aspectos.ligados.a.la.divisibilidad..Esta.opción.se.basa.en.las.“ventajas”.que.otorga.este.conocimiento.para.propiciar.un.trabajo.exploratorio;.a.su.vez,.en.ciertas.condiciones,.permite. introducir.a. los.alumnos.en.el.problema.de.la.generalización.y.el.uso.de.primeras.expresiones.algebraicas.A.esto.se.suma.un.trabajo.vinculado.al.desafío.de.contar.colecciones..La.evolución.de.los.co-nocimientos.de.los.alumnos.sobre.este.tema.estará.dada.por.la.complejidad.de.las.coleccio-nes.que.deban.contar..Obtener.fórmulas.para.contar.los.elementos.de.una.colección.permite.poner.en.evidencia. la.estructura.del.cálculo.con.el.que.se.representa.el.conteo,. lo.que.da.sentido.a.un.primer.uso.de.la.letra.como.variable.y.a.un.trabajo.sobre.las.escrituras..El capítulo 2 presenta. los números enteros,. que. por. primera. vez. serán. estudiados. de.manera.sistemática..Se.incluyen.problemas.que.involucran.su.uso.en.situaciones.contextua-lizadas,.así.como.el.problema.de.la.resta.de.naturales..Además.de.este.tipo.de.actividades.y.otras.asociadas.a.las.operaciones,.y.el.orden.con.este.conjunto.numérico,.se.propone.abor-dar. la.divisibilidad..Este.campo.es.especialmente.propicio.para.la.exploración,.formulación.y. validación. de. conjeturas;. vuelve. a. aparecer. el. álgebra. como. herramienta. para. producir.conocimiento.sobre.este.tema..


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En.el.capítulo3.se.aborda.el.estudio.de.los.númerosracionales..Se.inicia.con.la.resolución.de.diferentes.problemas.asociados.a.algunos.de.los.sentidos.que.pueden.adquirir:.la.fracción.para.medir,.la.fracción.como.proporción.y.la.noción.de.segmentos.conmensurables..Se.continúa.con.cuestiones.en.torno.del.orden,.lo.que.habilita.la.exploración.de.ciertas.condiciones.para.que.se.verifiquen.algunas.igualdades.o.desigualdades..Gran.parte.del.trabajo.se.apoya.en.la.recta.numérica,.así.como.en.el.análisis.de.escrituras.en.las.que.se.intenta.generalizar.las.condiciones.que.se.van.estableciendo.y.que.permiten.comparar.fracciones.Las.propiedades.de.las.operaciones.se.estudian.a.partir.de.problemas.que.permitan.analizar.su.funcionamiento,.y.se.incorpora.el.estudio.de.la.potenciación.y.la.radicación..Se.busca.que.los.alumnos.aprendan.a.distinguir.entre.el.resultado.exacto.y.el.resultado.aproximado.de.cierta.operación,.y.se.proponen.situaciones.que.apuntan.a.lograr.un.uso.controlado.de.la.calculado-ra..Este.tipo.de.situaciones.se.conjuga.con.el.tratamiento.de.las.expresiones.decimales,.tanto.finitas.como.periódicas.

EJE:Geometríaymedida

La.actividad.geométrica.no.se.concibe.como.una.actividad.principalmente.perceptiva.ya.que,.por.el.contrario,.es.una.actividad.intelectual..Para.que.este.tipo.de.trabajo.se.pueda.desarrollar.es.necesario.que.los.problemas.vayan.incorporando.diferentes.características..En.algunas.opor-tunidades.será.necesario.–dada.la.complejidad.de.la.entrada.de.los.alumnos.en.este.tipo.de.trabajo–.llevar.a.cabo.una.actividad.más.exploratoria,.más.intuitiva,.apelando.a.mediciones.o.dibujos,.en.los.cuales.la.validez.de.los.resultados.obtenidos.tendrá.un.“tinte”.más.empírico,.ya.que.la.dificultad.de.ciertas.demostraciones.así.lo.requiere..En.otros.casos.el.docente.deberá.in-tervenir.para.colaborar.en.la.explicitación.de.las.razones.por.las.cuales.se.obtuvo.un.resultado,.ya.que.los.alumnos,.por.sus.propios.medios,.quizá.no.puedan.elaborarlas.por.completo..Los.problemas.presentados.abordan.diferentes.tipos.de.prácticas..En.algunos.se.trata.de.que.los.alumnos.tomen.conciencia.de.propiedades.sobre.las.que.no.suelen.prestar.particular.aten-ción,.provisoriamente.“no.tan.visibles”..En.otros.casos.la.intención.es.que.los.alumnos.pue-dan.“poner.en.palabras”.esas.propiedades,.es.decir,.pasar.de.su.reconocimiento.implícito.a.su.explicitación..En.otras.situaciones.la.tarea.de.los.alumnos.consiste.en.tomar.decisiones.en.forma.anticipada.–apoyándose.en.ciertas.descripciones.o.características–.para.luego.verificar.la.validez.de.éstas.a.partir.de.la.elaboración.de.argumentos.racionales..Elcapítulo4se.inicia.con.el.estudio.de.la.circunferencia,.a.partir.de.actividades.de.copia.con.regla.y.compás..Estos.conocimientos.serán.el.soporte.sobre.el.cual.se.tratarán.los.triángulos..A.partir.de.estas.cuestiones.se.avanza.hacia.los.criterios.de.congruencia,.para.elaborar.relaciones.nuevas.entre.los.elementos.de.los.triángulos.o.establecer.la.validez.de.ciertas.afirmaciones.Por.otro.lado,.se.proponen.problemas.que.demandan.la.comparación.de.áreas,.sin.recurrir.a.la.medición,.en.los.cuales.el.triángulo,.precisamente,.es.un.punto.de.apoyo..Pensar.en.la.posibili-dad.de.cubrir.cada.figura.con.triángulos.iguales.pasa.a.ser.un.recurso.pertinente.para.resolver.esta.clase.de.situaciones..La.consecuencia.de.este.tipo.de.tarea.es.la.elaboración.de.la.fórmula.del.área.de.los.triángulos,.a.la.par.que.la.del.rectángulo,.estableciendo.el.vínculo.entre.ellas..El.capítulo.finaliza.con.algunas.propuestas.para.analizar.la.variación.del.área.de.las.figuras;.aquí.se.conjuga.la.actividad.geométrica.con.el.recurso.algebraico..Estas.relaciones.dan.pie.al.estudio.del.teorema.de.Pitágoras.y.son.una.primera.aproximación.a.la.idea.de.número.irracional.


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En.el.capítulo5se.abordael.estudio.de.algunos.cuadriláteros.desde.la.misma.perspectiva.en.que.fueron.tratados.los.triángulos..Para.tal.fin.se.proponen.diferentes.tipos.de.situaciones.que.involucran.copiar.o.construir.rectángulos,.cuadrados,.rombos.y.paralelogramos,.identificando.las.relaciones.entre.algunos.de.sus.elementos.y.la.cantidad.de.soluciones..Los.datos.van.va-riando:.lados,.ángulos,.diagonales.y.alturas,.de.modo.de.recorrer.las.diferentes.características.que.adquieren.estas.figuras.en.función.de.los.elementos.con.que.se.las.trate..El.estudio.de.los.ángulos.de.los.paralelogramos.asociado.a.las.relaciones.entre.ángulos.entre.paralelas.(cortadas.por.una.transversal).abonan.la.compleja.tarea.de.dar.cuenta.de.la.validez.de.los.resultados.y.afirmaciones.que.se.proponen.Por.último,.en.este.capítulo,.al. igual.que.el.anterior,.se.propone.la.comparación.entre.áreas.de.cuadriláteros.sin.usar.fórmulas.ni.cálculos..Ulteriormente.las.fórmulas.permitirán.estudiar.la.variación.que.puede.producirse.en.el.área.de.una.figura.al.variar.algunos.de.sus.elementos.

EJE:Relacionesentrevariables

Este.eje.contempla.fundamentalmente.el.tratamiento.de.las.funciones..El.capítulo6.plantea.una.primera.aproximación.a.través.del.análisis.de.gráficos..Se.busca.que.los.alumnos.interpreten.la.información.que.surge.de.una.lectura.directa.de.los.gráficos.y.pue-dan.obtener.datos.que.requieren.un.análisis.más.profundo..A.su.vez,.comienza.un.juego.entre.los.diferentes.modos.de. representar. relaciones.entre.magnitudes. variables:. tablas,.primeras.fórmulas.y.las.relaciones.entre.éstas.y.los.gráficos..La.entrada.a.funciones.por.medio.de.grá-ficos.ofrece.la.posibilidad.de.tratar.funciones.más.complejas.que.aquellas.a.las.que.se.podría.acceder.usando.fórmulas,.teniendo.en.cuenta.los.conocimientos.de.los.alumnos.a.esta.altura.de.la.escolaridad..El.capítulo7se.ocupa.de.la.función.lineal..Se.trata.allí.de.identificar.la.diversidad.de.procesos.que.pueden.estudiarse.con.este.modelo.y.en.principio.establecer.sus.características.principales:.el.tipo.de.crecimiento,.la.linealidad.de.los.pares.ordenados.y.el.gráfico.de.la.recta..A.partir.de.situaciones.contextualizadas.se.espera.llegar.a.caracterizar.los.fenómenos.lineales.en.términos.de.variación.uniforme.Este.trabajo.se.focaliza,.en.un.inicio,.en.situaciones.de.proporcionalidad.directa,.para. luego.derivar.en.la.función.lineal..Por.último,.se.proponen.algunos.problemas.en.los.que.intervienen.ecuaciones.lineales.asociadas.a.sus.respectivos.gráficos,.tablas.de.valores,.búsqueda.de.prei-mágenes.y.la.ecuación.de.la.recta.En.este.eje.se.incluye.la.estadística,.en.el.capítulo8,.considerada.también.una.herramienta.para.representar.u.organizar.información,.con.la.finalidad.de.anticipar.o.estudiar.el.desarrollo.de.algu-nos.procesos..Aquí.otra.vez.los.gráficos.son.un.objeto.de.trabajo.primordial,.así.como.la.posibili-dad.de.manipular.la.información.para.poner.en.evidencia.algunos.aspectos.y.ocultar.otros.


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estudiar matemática 8

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