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Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 8

24 de janeiro de 2013

Aula 8 Fundamentos de Matemática 1

Somas


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑

i=0

2i .


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Notações:

4∑i=1

xi =∑

1≤i≤4

xi =∑

i∈{1,2,3,4}

xi = x1 + x2 + x3 + x4.


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

∑1≤i≤10i é impar

xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑

i=0

(2 i + 1).


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:


xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑

i=0

(2 i + 1).


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.


i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.


i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.


i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=2

xj


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.


i=1

xi+1(j = i + 1)=

5∑j=2

xj =5∑

i=2

xi .


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Propriedades:

b∑i=a

(xi + yi) =b∑

i=a

xi +b∑

i=a

yi eb∑

i=a

constante · xi = constante ·b∑

i=a

xi .


Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).


Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.


Números Naturais (Continuação)


Números naturais como números cardinais

X Y



X Y



A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições







Definições





Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}.

O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.


Definições





Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X .

Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.


Definições







Definições






Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito.

Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições







Definições



X Y



Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)



O Hotel Infinito de Hilbert


Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado e Wagner, 2003]


Semelhança dos nomes dos números

SânscritoGrego

AntigoLatim Alemão Inglês Francês Russo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1000

eka

dva

tri

catur

panca

sas

sapta

asta

nava

daca

cata

sehastre

en

duo

tri

tetra

pente

hex

hepta

octo

ennea

deca

ecaton

xilia

unus

duo

tres

quatuor

quinque

sex

septem

octo

novem

decem

centum

mille

eins

zwei

drei

vier

fünf

sechs

sieben

acht

neun

zehn

hundert

tausend

one

two

three

four

�ve

six

seven

eight

nine

ten

hundred

thousand

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

dix

cent

mille

odyn

dva

tri

chetyre

piat

shest

sem

vosem

deviat

desiat

sto

tysiaca


Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)


David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)


Existem “infinitos” diferentes!



Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!



Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}




O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...







(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...



(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.



E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).



(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...





E assim por diante.



Georg Cantor

Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)


Seção de Exercícios


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