cálculo 0 - fundamentos da matemática

DNEaD Departamento Nacional de Educao a Distncia

______________________________________________________________________

ENGENHARIA...

Coordenador: ...

Professor(a): Niander Aguiar Cerqueira

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www.redentor.edu.br

(22)3811-0111

Redentor

CLCULO 0

2


SOBRE O AUTOR

O autor do caderno de estudos o Prof. Niander Aguiar Cerqueira, brasileiro, natural

de Itaperuna/RJ, Mestre em Cincias de Engenharia pela Universidade Estadual do

Norte Fluminense (UENF, 2001), Especialista em Engenharia e Segurana do Trabalho

(REDENTOR, 2009), Bacharel em Engenharia Civil (UENF, 1999). Ele aluno de ps-

graduao em Engenharia de Produo pela SOCIESC e de Planejamento,

Implementao e Gesto da Educao a Distncia pela UFF. Professor da Faculdade

REDENTOR desde 2007, tambm autor dos cadernos de Matemtica Bsica e de

Matemtica Discreta dos cursos de Graduao em Tecnologia. Com experincia no

ensino de matemtica para Ensino Fundamental e Ensino Mdio, Pr-vestibular e Pr-

concurso desde 1996, atualmente est vinculado Faculdade Redentor, lecionando em

diversos cursos, j tendo ministrado entre outras as disciplinas: Matemtica Bsica,

Introduo ao Clculo, Clculo 0, I e II, Equaes Diferenciais, Estatstica e Matemtica

Discreta.

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APRESENTAO geral

Prezado(a) aluno(a), seja bem vindo!

Estamos comeando uma jornada juntos em direo sua formao superior. Para

tanto, faz-se necessrio a recuperao de contedos importantes de Matemtica

que voc estudou em algum momento do ensino fundamental ou do ensino mdio

dando uma nova roupagem aos mesmos.

A Matemtica est presente no dia a dia de todos ns, em particular na formao

que voc escolheu pra sua vida. Uma base slida dos contedos que voc vai

encontrar aqui nesse material vai permitir o desenvolvimento de conceitos teis

sua formao como Engenheiro.

No objetivo dessa disciplina a recuperao de todo contedo de matemtica dos

ensinos fundamental e mdio. Por isso, demos nfase queles que consideramos

mais indispensveis para as disciplinas subseqentes de seu curso, logo, para uma

melhor execuo de sua futura profisso. No entanto, nada impede que voc possa

buscar nas bibliografias recomendadas ou em outras fontes que julgar pertinentes,

suplementar sua reviso acrescentado outros tpicos que perceber serem carncias

sua.

A disciplina foi dividida em seis mdulos (aulas), sendo elemento integrante de cada

aula os exemplos, os exerccios resolvidos e as atividades propostas (a serem

resolvidas e encaminhadas como parte da avaliao). Para um bom aproveitamento

deste material muito importante que voc compreenda bem os exemplos e refaa

todos os exerccios resolvidos at que os conceitos sejam assimilados.

Esperamos que ao completar os mdulos desta disciplina voc tenha logrado xito

nos estudos, se equipando assim de contedo e entusiasmo para os futuros

desafios de seu curso e de sua profisso.

Bom estudo! Sucesso!!!

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OBJETIVOS GERAIS

Este caderno de estudos tem como objetivos:

Identificar o uso dos nmeros no cotidiano;

Revisar conceitos de conjuntos, equaes, inequaes, funes e suas

aplicabilidades;

Representar graficamente funes afim, quadrticas, logartmicas, exponenciais

e trigonomtricas;

Avaliar, decodificar, formular e resolver problemas de proporcionalidade entre

nmeros ou grandezas;

Analisar, interpretar, formular e resolver problemas envolvendo diferentes

significados das operaes com nmeros reais;

Recuperar conceitos matemticos importantes para a formao em Engenharia.

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NDICE

Pgina

Apresentao.................................................................................................... Objetivos Gerais................................................................................................

Aula 1 PROPORCIONALIDADE......................................................................... Razo e Proporo................................................................................. Grandezas Proporcionais...................................................................... Nmeros Proporcionais......................................................................... Regra de Trs......................................................................................... Porcentagem..........................................................................................

Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................

Aula 2 CONJUNTOS......................................................................................... Teoria dos Conjuntos............................................................................. Operaes com Conjuntos..................................................................... Conjuntos Numricos............................................................................. Intervalos nos Conjunto.........................................................................

Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................

Aula 3 EQUAES........................................................................................... 2.1 Equaes................................................................................................ 2.2 Sistema de Equaes............................................................................. 2.3 Inequaes............................................................................................. Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas.............................................................................. Exerccios Propostos......................................................................................

Aula 4 FUNES I.................................................................................. 4.1 Relao entre Conjuntos......................................................................... 4.2 Introduo s Funes.......................................................................... 4.3 Funo do 1 Grau................................................................................... 4.4 Funo do 2 Grau................................................................................... Resumo........................................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................

Exerccios Propostos........................................................................

Aula 5 FUNES II.................................................................... 5.1 Funo Exponencial.........................................................................

5.1.1 Potenciao 5.1.2 Domnio e Imagem 5.1.3 Representao Grfica 5.1.4 Aplicaes................................................................

5.2 Funo Logartmica....................................................................... 5.2.1 Logaritmo 5.2.2 Domnio e Imagem 5.2.3 Representao Grfica

6


5.2.4 Aplicaes....................................................................... 5.3 Funes Inversas Resumo............................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................


Aula 6 FUNES III.................................................................... 6.1 Trigonometria.........................................................................

6.1.1 Trigonometria no Tringulo Retngulo 6.1.2 Ciclo Trigonomtrico

6.2 Funes Trigonomtricas....................................................................... 6.2.1 Funo Seno 6.2.2 Funo Cosseno 6.2.3 Funo Tangente 6.2.4 Funo Cotangente 6.2.5 Funo Secante 6.2.6 Funo Cossecante

6.3 Funes Trigonomtricas Inversas.

6.4 6.5

Resumo............................................................................................... Referncias Bibliogrficas................................................................


7


AULA 1 APRESENTAO DO MDULO

Os nmeros governam o mundo e, uma das aplicaes mais corriqueiras

exatamente o clculo de propores. Sendo assim, podemos esperar que

voc j domine alguns dos conceitos a seguir, mas dada a sua relevncia

no poderamos deixar de abord-los nesse curso.

Por isso, esse mdulo importante, pois visa identificar os conceitos e

aplicaes relacionadas ao tema proporcionalidade, considerando

situaes atuais e prticas.

OBJETIVOS DO MDULO

Esperamos que, aps o estudo do contedo deste mdulo, voc seja capaz de:

Identificar e conceituar razo entre dois nmeros racionais;

Determinar a razo entre grandezas de mesma espcie e calcular razes especiais;

Conceituar proporo como igualdade de razes;

Aplicar a propriedade fundamental das propores para resolver problemas;

Identificar grandezas proporcionais e estabelecer a proporcionalidade direta ou inversa entre elas;

Identificar sucesso de nmeros proporcionais e estabelecer a proporcionalidade direta ou inversa entre eles;

Resolver problemas atravs de Regra de Trs simples ou composta;

Resolver problemas de porcentagens atravs da regra de trs.

PROPORCIONALIDADE

Razo e Proporo, Grandezas Proporcionais, Nmeros Proporcionais, Regra de

Trs e Porcentagem

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INTRODUO

No dia a dia a noo de proporcionalidade uma das mais

utilizadas, muitas vezes de forma imperceptvel. provvel

que na sua experincia de trabalho voc j tenha feito

estimativas de gastos baseados em uma informao, tenha

dividido em quantidades proporcionais, resolvido algum

problema envolvendo porcentagens, etc.

Quando ns executamos um desses clculos, estamos

considerando uma relao entre grandezas.

1.1 RAZO E PROPORO

RAZO

Razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, o quociente entre esses

nmeros, sendo indicada a razo de a para b por b

aou a: b (l-se: a est para b ou a

para b).

Exemplo:

Numa sala de espera para emprego h 20 homens e 25 mulheres.

a) Encontre a razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres.

5

4

25

20

5

5

(significa que para cada 4 homens existe 5 mulheres)

b) Encontre a razo entre o nmero de mulheres e homens.

4

5

20

25

5

5

(indica que existe 5 mulheres para 4 homens na sala)

Diagnstico da Lentido:

No Brasil, h um juiz para cada

14.000 habitantes. A mdia

internacional de um

magistrado para cada 7.000.

Oito de cada dez aes tm o

governo como autor ou ru;

A burocracia consome 70% do

tempo de tramitao de um

processo.

Fonte: Veja, 2004.

Anote: Na razo a:b, a denominado antecedente e b consequente.

GRANDEZA TUDO AQUILO QUE PODE SER MEDIDO, CONTADO.

DESTA FORMA, SO GRANDEZAS: REA, COMPRIMENTO,

VOLUME, CAPACIDADE, TEMPO, CUSTO, VELOCIDADE,

PRODUO, NO DE PESSOAS, ETC.

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Exerccios Resolvidos

1. Num dia de FLA X FLU no Maracan, as torcidas do Flamengo e do Fluminense

lotaram o estdio com um total de 90.000 torcedores. Qual a razo entre o nmero de

flamenguistas e o nmero de tricolores, se 50.000 eram torcedores do Flamengo?

Soluo:

Sendo 50.000 flamenguista, ento 40.000 eram tricolores. Assim:

4

5

40000

50000

10000

10000

(ou seja, havia 5 flamenguistas para cada 4 torcedores do

Fluminense)

2. Numa empresa h 2500 trabalhadores, sendo que 1000 trabalham no turno da noite

e o restante no turno da manh. Qual a razo entre o nmero de trabalhadores do

turno da manh e do turno da noite?

Soluo:

Nmero de trabalhadores do turno da manh: 2.500 1.000 = 1.500. Assim:

2

3

1000

1500

500

500

(so 3 trabalhadores no turno da manh para cada 2 do turno da

noite).

Razes Especiais

Escala

A razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

realMedida

desenhodoMedidaEscala

Exemplo:

Em um mapa, a distncia entre duas cidades representada por um segmento de

7,2 cm. A distncia real entre essas cidades de 4.320 km. Vamos calcular a escala

deste mapa.

As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4.320 km = 432.000.000 cm

Escala = 000.000.60

1

000.000.432

2,7

cm

cm

Velocidade mdia (Vm)

10


A razo entre a distncia a ser percorrida e o tempo gasto.

gastoTempo

percorridaDistnciaVm

Exemplo:

Um carro percorre 2.640 km em 24h. Determine a velocidade mdia deste carro.

Vm = h

Km

24

640.2 110 km/h

Densidade demogrfica

A densidade demogrfica a razo entre o nmero de habitantes de uma determinada

regio e a rea ocupada por essa regio. Ela til para se determinar a concentrao

de habitantes por quilmetro quadrado.

rea

habNaDemogrficDensidade

o

Exemplo:

O estado do Cear tem uma rea de 148.016 km2 e uma populao de 6.471.800

habitantes. D a densidade demogrfica do estado do Cear.

Densidade Demogrfica = 016.148

800.471.6 2/72,43 kmhab

Renda per Capita

A renda per capita de um pas simula quanto cada habitante receberia, se o total de

bens produzidos pelo pas, o Produto Interno Bruto (PIB), no perodo de um ano, fosse

distribudo igualmente pela populao desse pas.

Renda per capitahabN

PIBo

Exemplo:

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O PIB da Sua em 2001 foi de U$ 247.091.000.000,00. Determine a renda per capita

na sua no ano de 2001 se na ocasio ela contava com 7.200.000 de habitantes.

Renda per capita = 000.200.7

000.000.091.247 19,318.34 U$ / hab

PROPORO

A igualdade de razes denominada proporo. Assim, dados quatro nmeros

racionais a, b, c, d, no-nulos, se a razo do primeiro para o segundo igual razo

do terceiro para o quarto, esses nmeros formam uma proporo. Assim:

d

c

b

a (lemos: a est para b assim como c est para d).

Os termos a e d (primeiro e ltimo) so denominados extremos e o segundo e o

terceiro (b e c) so chamados meios.

Exemplo:

Dada a proporo: 45

18

5

2 , ou seja, 2 est para 5, assim como 18 est para 45.

Meios: 5, 18;

Extremos: 2, 45

Propriedade Fundamental das Propores

Dada a proporo 20

15

4

3 , podemos observar que:

Produto dos meios = 4 . 15 = 60

Produto dos extremos = 3 . 20 = 60

Como voc pode verificar para o exemplo acima o produto dos meios igual a 60, e

tambm o produto dos extremos, ou seja, os valores so iguais. Se voc fizer essa

mesma anlise para outras propores, ver que isto vlido para todas

Esta a chamada propriedade fundamental das propores: o produto dos meios

igual ao produto dos extremos.


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1. Em um nibus, para cada 3 homens, h 2 mulheres. Sabendo-se que so 18

homens nesse nibus, calcule o nmero de mulheres.

Soluo:

Podemos estabelecer a seguinte proporo: x

18

2

3 , assim, pela propriedade

fundamental: 36318.2.3 xx 12x .

Resp. No nibus h 12 mulheres e 18 homens.

2. Em um determinado instante, uma pessoa que tem 1,80 m de altura projeta uma

sombra de 1,20 m. Calcule a altura de um edifcio cuja sombra nesse instante de 24

m.

Soluo:

2,43.2,124.80,1.20,12420,1

80,1xx

x36x m.

3. Ferdinan descuidou das despesas gastando mais do que recebeu. Num determinado

ms ele gastou sete reais para cada cinco reais de seu salrio. Sabendo-se que sua

dvida nesse ms foi de R$ 360,00, portanto qual o salrio que ele recebe?

Soluo:

Salrio de Ferdinan: x

Gastos no ms: x + 360

Proporo: x

x 360

5

7

Assim: )360.(5.7 xx

180057 xx

180057 xx

18002 x

900x

Resp. O salrio de Ferdinam de R$ 900,00 e os gastos do ms foram de R$

1.260,00.

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4. A razo entre o comprimento e a largura de um salo de forma retangular de 6

para 4. Para contornar o teto desse salo, foram necessrios 100 metros de uma

moldura de gesso. Calcule a rea do carpete que cobre todo o piso desse salo.

Soluo:

Largura do salo: x y

Comprimento do salo: y

Permetro do salo: )2(10022 yx x

50 yx

Proporo:

2054

30565

10

50

4646 y

xyxyx

Resp. A rea do carpete ser: 20.30.yxA 2600 m .

1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Em muitos casos prticos, conforme voc vai observar a seguir, uma grandeza se

relaciona com outras, ou seja, a medida de uma depende da medida da outra. Sendo

assim, muito comum relacionarmos duas ou mais grandezas em vrias situaes de

nosso cotidiano.

Observe as situaes dadas a seguir:

Para pintar uma casa, Ado gastou 6 latas de tinta. Portanto, se ele quiser pintar

5 casas iguais a essa, ele gastar 30 latas de tinta.

Em uma corrida de carro, quanto maior for a velocidade, menor ser o tempo

gasto para completar a corrida.

Grandezas Diretamente Proporcionais (DP)

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando, aumentando (ou

diminuindo) uma de um certo nmero de vezes, o valor correspondente da outra

tambm aumenta (ou diminui) o mesmo nmero de vezes.

Exemplo: Uma empresa de construo oferece aos seus funcionrios todos os dias o

almoo. Sendo o nmero de funcionrios hoje de 100, o gasto dirio com as refeies

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Se duas grandezas so diretamente proporcionais, ento a razo de dois valores de

uma igual razo de dois valores correspondentes a eles na outra.

de R$ 200,00. Considerando que foi necessrio a contratao de mais 200 pessoas,

calcule o valor dirio gasto com as refeies se considerarmos que cada refeio tem o

mesmo custo, independente da quantidade que cada um come.

Soluo: Note que mais 200 pessoas significa que a empresa passou de 100 para

300 funcionrios, ou seja triplicou. Portanto, se cada refeio tem o mesmo custo

para a empresa, o valor gasto tambm triplicar, ou seja, passar a ser de R$ 600,00.

Resp.: 3

1

600

200

300

100 .

Resumindo: se duas variveis x e y representam medidas de grandezas, relacionadas

entre si e k uma constante no-nula (0), temos que x diretamente proporcional a y

se, e somente se,

Grandezas Inversamente Proporcionais (IP)

Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando, aumentando uma de

uma certa quantidade de vezes, a outra diminui da mesma quantidade de vezes.

Exemplo: Uma empresa comprou alimento suficiente para oferecer aos seus 100

funcionrios refeies por 30 dias. Sendo necessrio dobrar o nmero de funcionrios,

devido ao aumento da demanda, calcule para quantos dias dever ser suficiente a

quantidade de alimentos comprada.

Soluo: Note que dobrando o nmero de funcionrios a empresa vai comear a

contar com 200 pessoas. Portanto, se pra 100 funcionrios dava para 30 dias, para

200 ser suficiente para 15 dias, ou seja, dobrando o nmero de funcionrios a

quantidade de dias cai para a metade.

Resp.: 3000200.15100.30

ykxkyx .:

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Se duas grandezas so inversamente proporcionais, ento a razo de dois valores de uma igual ao inverso da razo de dois valores correspondentes a eles na outra.

Ateno!!

Tanto para as

grandezas DP

quanto para as

grandezas IP o k

denominado

fator de

proporcionalidade.

Resumindo: se duas variveis x e y representam medidas de grandezas,

relacionadas entre si e k uma constante no-nula (0), temos que x

inversamente proporcional a y se, e somente se,


1. Classifique as grandezas abaixo em diretamente proporcional (DP) ou inversamente

proporcional (IP), em cada item.

a) Nmero de operrios de mesma capacidade de trabalho e o nmero de horas para

executar o servio.

b) Velocidade desenvolvida por um veiculo e tempo gasto para realizar uma viagem.

c) Nmero de pagantes em um show e a quantia de dinheiro arrecadada.

d) Nmero de soldados de um quartel e tempo que certa quantia de arroz vai durar

para aliment-los.

e) Nmero de costureiras e nmero de camisas produzidas por elas, num determinado

tempo.

f) Nmero de costureiras e tempo para produzirem um determinado nmero de

camisas.

Soluo: Para voc resolver situaes desse tipo, necessrio pensar qual a

relao que existe entre as grandezas, ou seja, se aumentando uma a outra aumenta

ou diminui proporcionalmente.

a) IP (quanto mais operrios de mesma capacidade menos tempo pra executar o servio);

b) IP (quanto mais veloz, menos tempo se gasta);

c) DP (quanto mais pagantes, mas arrecada-se);

d) IP (quanto mais soldados menos tempo o arroz dura);

ykxkyx :.

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e) DP (quanto mais costureiras, mais camisas produzidas num determinado intervalo de tempo);

f) IP (quanto mais costureiras, menos tempo se gasta pra produzir certa quantia de camisas)

1.3 NMEROS PROPORCIONAIS

Quando uma sucesso de nmeros proporcional a outra sucesso de nmeros,

podemos estabelecer uma relao de proporcionalidade entre elas.

SUCESSES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: quando as razes entre os

elementos correspondentes das duas so iguais.

Exemplo: As sucesses de nmeros 15,35,45 e 9,21,27 so diretamente

proporcionais, pois 3

5

9

15

21

35

27

45 . A razo

3

5 a forma simplificada das razes

obtidas e denominada constante de proporcionalidade (K3

5 ).

SUCESSES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: quando produtos de seus

valores correspondentes so iguais.

Exemplo: As sucesses de nmeros 4,3,2 e 6,8,12 so inversamente proporcionais, pois 246.48.312.2 . A constante de proporcionalidade K 24 .


1. Sendo as sucesses {-2, a, b} e {c, 5, 10} so inversamente proporcionais, e o fator

de proporcionalidade 120, calcule o valor de a + b + c.

Soluo:

Sendo as grandezas IP: 12010.5..2 bac , portanto:

24120.5 aa

1212010 bb

60120.2 cc

24601224 cba

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Resp. 24 cba .

2. Se {a, 24, b} uma sucesso diretamente proporcional {5, c, -10}, ento qual o

valor de a b + c, se o fator de proporcionalidade 3.

Soluo: Sendo as grandezas DP: 310

24

5

b

c

a, portanto:

1535

aa

8324

cc

30310

bb

Assim: 538301583015 cba

Resp. 53 cba .

1.4 REGRA DE TRS

A regra de trs uma tcnica de resoluo de problemas que

envolvam grandezas proporcionais. uma forma de se descobrir

valores de incgnitas a partir de outros valores numricos.

Existem dois tipos de regra de trs: simples e composta.

Regra de Trs Simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam

quatro valores dos quais conhecemos trs. Assim, determinamos o valor desconhecido

a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Montar uma tabela, agrupando as grandezas de mesma espcie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes que sejam

correspondentes.

2) Identificar se as grandezas so DP ou IP.

Curiosidades!!

No sculo XVIII,

Leonardo de Pisa

popularizou o uso da

regra de trs, atravs de

seu livro Liber Abaci,

com o nome de Regra

dos Trs Nmeros

conhecidos.

Antes disso, os gregos e

os romanos j

conheciam as

propores, mas no

aplicasse na resoluo

de problemas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel

18


3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplos:

1) Com uma rea de absoro de raios solares de 2,2m2, uma lancha com motor

movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-

se essa rea para 2,8m2, qual ser a energia produzida?

Soluo:

1) Montando a tabela:

rea (m2) Energia (Wh)

2,0 400

2,8 x

2) Identificando o tipo de relao de proporcionalidade:

Observe que: ao aumentarmos a rea de absoro, a energia solar captada

tambm aumenta. Portanto, podemos afirmar que as grandezas so DP.

Assim sendo, colocamos setas no mesmo sentido (para baixo) na 1 e na 2

coluna, identificando que as duas grandezas so DP.

rea (m2) Energia (Wh)

2,0 400

2,8 x

3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

x

400

8.2

0,2

400.8,22 x

11202 x

560x

Resp. A energia produzida ser de 560 watts por hora.

19


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 300Km/h, faz um determinado

percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade

utilizada fosse de 450km/h?

Soluo:

1) Montando a tabela:

Velocidade

(Km/h)

Tempo (h)

300 3

450 x

2) Identificando o tipo de relao de proporcionalidade:

Observe que: ao aumentar a velocidade, o tempo gasto no percurso diminui.

Portanto, podemos afirmar que as grandezas so IP. Assim sendo, colocamos

setas em sentidos contrrios na 1 e na 2 coluna, identificando que as duas

grandezas so IP.

Velocidade

(km/h)

Tempo

(h)

300 3

450 x

3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos:

3450

300 x

Invertemos os termos

300.3.450 x

900450 x

2450

900x

Resp. O tempo desse percurso seria de 2h

20


Exerccios Complementares (Regra de Trs Simples)

1) Arthur trabalha como digitador. Ele consegue dar 46 toques em 20 segundos.

Quantos toques ela pode dar em 12 minutos? Resposta: 1656 toques.

2) Digitando 100 toques por minuto, Warley fez um trabalho em 3h. Se digitasse 120

toques por minuto, quanto tempo, em minutos, gastaria para digitar esse mesmo

trabalho? Resposta: 150 min.

3) Para encher uma piscina so abertas 12 torneiras iguais, durante 5 horas. Se

fossem abertas 15 torneiras iguais s primeiras, em quanto tempo elas encheriam essa

piscina? Resposta: 4 horas.

4) Em 100 minutos, as torneiras de uma piscina lanam 4.000 litros dgua. Em 5 horas

quantos litros de gua essas torneiras lanaro nessa piscina? Resposta: 12.000 litros

dgua.

Regra de Trs Composta

A regra de trs composta empregada na resoluo de problemas com mais de duas

grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Os passos para a resoluo de regra de trs composta so semelhantes ao da regra

de trs simples.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos

caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?

Soluo:

1) Montar a tabela: devemos colocar em cada coluna as grandezas de mesma

espcie e, em cada linha, as grandezas correspondentes de espcies diferentes.

Horas Caminhes Volume

8 20 160

5 x 125

2) Identificar os tipos de relao: vamos colocar uma seta para baixo na coluna

que contm o x (2 coluna).

21


A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe

que:

Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de

caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1

coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes.

Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna).

3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos: para calcular devemos

igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo

com o sentido das setas.

Resp. Sero necessrios 25 caminhes.

2) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando

3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para

completar esse muro?

Soluo:

1) Montar a tabela: devemos colocar em cada coluna as grandezas de mesma

espcie e, em cada linha, as grandezas correspondentes de espcies diferentes.

Pedreiros Altura (m) Dias

2 2 9

3 4 x

22


2) Identificar os tipos de relao: a seguir, devemos comparar cada grandeza

com aquela onde est o x. Observe que:

Aumentando o nmero de pedreiros, diminui o nmero de dias: IP

Aumentando a altura do muro, aumenta o nmero de dias: DP.

3) Montando a proporo e resolvendo a equao temos: para calcular devemos

igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo

com o sentido das setas.

Resp. Para completar o muro sero necessrios 12 dias.

Exerccios Complementares (Regra de Trs Composta)

1) Trs torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levaro 10 torneiras

para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvo. Se

for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguiro extrair 5,6 toneladas de

carvo? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro

de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por

dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma

velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar

essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h? Resposta: 10 horas por

dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fbrica produz 5400m de tecido com 90cm

de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centmetros de

largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

23


1.5 PORCENTAGEM

Em situaes diversas de nosso cotidiano nos deparamos com o

clculo de porcentagens (smbolo %). Ela indispensvel no

momento de estimar o aumento ou a reduo de preos,

estender os descontos que so feitos em mercadorias, fazer

comparao entre quantidades, etc.

Para calcular porcentagens, podemos proceder de mltiplas

formas. A seguir, alguns desses modos so apresentados:

1) FRAO DE QUANTIDADE: PARA CALCULAR UMA FRAO DE UM TODO,

MULTIPLICAMOS A FRAO PELO TODO.

EX.

A) 28% DE 350 PESSOAS = 7.14100

350.28350.

100

28 98 PESSOAS .

b) 12% de 50 laranjas = 2

12

100

50.1250.

100

12 6 laranjas .

2) FORMA DECIMAL: PARA CALCULAR A PORCENTAGEM PELA FORMA

DECIMAL, MULTIPLICAMOS A FRAO ESCRITA NA FORMA DECIMAL PELA

QUANTIDADE TOTAL.

EX.

A) 15% DE 3000 VOTOS = 3000.15,0 450 VOTOS .

b) 22% de 150 alunas = 150.22,0 33 alunas .

3) REGRA DE TRS: UM PROCESSO MAIS COMPLETO, POSSIBILITANDO A

RESOLUO DE PROBLEMAS OS MAIS DIVERSOS.

EX. A) 35% DE R$ 450,00

R$ 450,00 TODO O DINHEIRO, ENTO REPRESENTA 100% (TODO OU

TOTAL).

Curiosidades!!

A expresso por cento

apareceu no sculo XV,

nas principais obras de

Aritmtica de autores

italianos.

O smbolo % passou a ser

usado para abreviar a

palavra cento (cto) que

era utilizada nas

operaes comerciais.

24


Dinheiro (R$) %

450 100

x 35

Obs. Dinheiro e porcentagem so grandezas diretamente proporcionais, pois se a

porcentagem diminuir, o dinheiro tambm diminuir.

Assim, multiplicando cruzado, obtemos:

50,157100

15750

15750100

450.35100

x

x

x

Resp. 35% de R$ 450,00 R$ 157,50.

B) SE 25% DE SEU SALRIO CORRESPONDE AO VALOR DO ALUGUEL: R$

450,00; QUAL O VALOR DO SEU SALRIO?

R$ 450,00 CORRESPONDE A 25%.

Dinheiro (R$) %

450 25

x 100


00,180025

45000

4500025

450.10025

x

x

x

Resp. O salrio de R$ 1800,00.


25


1. Um produto era vendido por R$ 1440,00 e sofreu um desconto de 32%. Qual o

novo preo?

SOLUO: R$ 1440,00 CORRESPONDE A 100%.

Dinheiro (R$) %

1440 100

x 32 (desconto)


20,97980,46000,1440

80,460100

46080

46080100

1440.32100

x

x

x

Resp. O novo preo ser R$ 979,20.

OUTRO RACIOCNIO PARA O MESMO PROBLEMA:

SE O DESCONTO DE 32%, ENTO O NOVO PREO DO PRODUTO 100 32 = 68% DO VALOR ORIGINAL.

Dinheiro (R$) %

1440 100

x 68


97920100

1440.68100

x

x

100

97920x 20,979

2. Pietro recebeu um desconto de 16% numa compra, economizando assim R$ 52,00.

Qual era o valor da compra antes do desconto? Qual o valor pago?

Soluo

ESTAMOS PROCURANDO O TOTAL DA COMPRA (QUE REPRESENTA 100%) PARTINDO DO VALOR QUE CONHECEMOS: 16% = 52 REAIS.

Dinheiro (R$) %

x 100

52 16

26



00,32516

5200

520016

100.5216

x

x

x

Resp. O valor dessa compra era de R$ 325,00; o valor pago foi de R$ 273,00.

3. Ao comprar um notebook que custava R$ 1290,00, Richard obteve um desconto de

R$ 154,80, porque pagou vista, em dinheiro. Qual foi a taxa de porcentagem desse

desconto?

Soluo

ESTAMOS PROCURANDO A TAXA DE DESCONTO (X%) QUE REPRESENTAM R$ 154,80 EM R$ 1290,00.

Dinheiro (R$) %

1290 100

154,80 x


%121290

15480

154801290

100.80,1541290

x

x

x

Resp. O desconto foi de 12%.

4. Mizael pagou um conta atrasada, tendo um acrscimo de 5,8% no seu valor.

Sabendo-se que ele pagou R$ 740,60 por essa conta, qual era o seu valor at o

vencimento?

Soluo

ESTAMOS PROCURANDO O VALOR ANTES DO ACRSCIMO QUE REPRESENTAVA 100% DO VALOR DA CONTA.

Dinheiro (R$) %

740,60 105,8

x 100

27



7008,105

74060

740608,105

100.60,740.8,105

x

x

x

Resp. O valor da conta era R$ 700,00.

5) Em uma reunio no trabalho, 65% dos presentes eram solteiros. Se o nmero de

no solteiros era de 21 pessoas, quantos estavam nessa reunio? Resposta: 60

pessoas.

6) Os gastos com material de escritrio numa empresa sempre so de R$ 1300,00 por

ms. Se num determinado ms eles receberam um desconto de 14% neste valor, de

quanto foi o gasto? Resposta: R$ 1118,00.

7) Uma empresa de construo fechou uma nova obra e contratou 450 pessoas. Se ela

j tinha no seu quadro 750 funcionrios, qual foi a taxa de aumento no nmero de

funcionrios? Resposta: 60%.

8) O frete para entrega de uma determinada carga sofreu um aumento de 11,2%

devido a reajuste no preo dos combustveis. De quanto era o valor do frete se hoje se

paga R$ 556,00? Resposta: R$ 500,00.

28


RESUMO

Nesta aula, voc viu que:

Razo o quociente entre duas grandezas de mesma espcie ou de espcies

diferentes;

Proporo a igualdade de duas ou mais razes em que o produto dos meios

sempre igual ao produto dos extremos;

Duas grandezas proporcionais podem ser direta ou inversamente proporcionais;

Duas sequncias numricas so diretamente proporcionais quando razo

entre os elementos correspondentes das duas so iguais;

Duas sequncias numricas so inversamente proporcionais quando os

produtos de seus valores correspondentes so iguais;

Regra de Trs simples um mtodo de calcular um valor desconhecido tendo

outros trs conhecidos que se relacionam como grandezas DP ou IP;

Regra de Trs composta um mtodo de calcular um valor desconhecido tendo

outros cinco ou mais conhecidos que se relacionam como grandezas DP ou IP;

A porcentagem uma parte do todo que pode ser facilmente resolvida pelo uso

da regra de trs.

29


REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

LIMA, M.C.P; TINANO, M.T.R. Matemtica: 7 ano/ 6 srie ensino fundamental: Livro

2. Belo Horizonte: Editora Educacional, 2007.

LIMA, M.C.P; TINANO, M.T.R. Matemtica: 6S/7A ensino fundamental: Livro 2. Belo

Horizonte: Editora Educacional, 2008.

Livro Revisional. Fascculos de reviso: 3 srie ensino mdio, Belo Horizonte: Editora

Educacional, 2008.

30


CADERNO DE EXERCCIOS

1) Para descarregar um caminho em 10 horas, uma transportadora precisaria de 9 homens. Se o tempo disponvel de 60% do tempo previsto, qual o total de homens, de mesma capacidade dos primeiros, necessrios para executar esse servio?

2) Uma engrenagem de 30 dentes movimenta uma outra de 45 dentes. Se a segunda engrenagem executar 200 voltas, quantas ter executado a primeira?

3) Um total de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6

horas por dia. Se o grupo for dobrado e os mesmos passarem a trabalhar 8 horas

por dia, a estrada ser concluda em

a) 48 dias

b) 52 dias

c) 24 dias

d) 36 dias

e) 20 dias

4) Num dia muito quente, um trilho de trem teve seu comprimento aumentado em

0,4% em relao ao seu comprimento da madrugada e ficou com 5020 cm.

Durante a madrugada a medida do trilho era de: (obs. Lembre-se que 1,00 m

equivale a 100 cm)

a) 50,05 m

b) 50,02 m

c) 50,00 m

d) 52,30 m

e) 50,10 m

5) Uma empresa contratou um advogado para defend-la numa causa avaliada em

R$ 300.000,00. Se o advogado consegue receber 90% do valor dessa questo e

cobra, a titulo de honorrios, 15% da quantia recebida, qual o honorrio do

advogado e qual a importncia que resta para a empresa, respectivamente?

a) R$ 45.000,00 advogado; 255.000,00 empresa;

b) R$ 40.500,00 advogado; 229.500,00 empresa;

c) R$ 45.000,00 advogado; 225.000,00 empresa;

d) R$ 40.000,00 advogado; 230.000,00 empresa;

e) R$ 40.500,00 advogado; 259.500,00 empresa;

6) A carga mxima de um elevador esta: 7 adultos de 90 kg cada um. Sendo a mesma carga mxima, voc calcula que caberiam quantas pessoas de 63 kg em mdia?

a) 12 pessoas d) 11 pessoas

b) 10 pessoas

c) 15 pessoas

e) 9 pessoas

31


7) Para transportar um carregamento de areia, foram necessrias 30 viagens de

caminhes com capacidade de 5m3 cada um. Se o transporte fosse feito em

caminhes de 6m3, quantas viagens seriam necessrias?

a) 25 viagens d) 36 viagens

b) 12 viagens

c) 14 viagens

e) 15 viagens

8) As sucesses de nmeros 9,6,x e 8,,3 y so inversamente proporcionais. Ento, os valores de x e y so, respectivamente,

a) 2 e 4 b) 12 e 6

b) 3 e 6

c) 4 e 8

e) 24 e 12

Resposta:

1 Se o tempo disponvel de 60% de 10h, ento eles dispem de 6h. Portanto, montas-se uma regra de trs onde as grandezas so inversamente proporcionais, pois diminuindo o tempo disponvel deve-se aumentar o nmero de homens pra descarregar a mesma carga. Assim, 6x=10.9, ou seja, so necessrios 15 homens para fazer o mesmo servio em 6 horas. 2 Se uma engrenagem produz o movimento da outra, elas movimentam-se em proporo inversa. Portanto, se a engrenagem de 45 dentes deu 200 voltas, a de 30 dentes dar 300 voltas, ou seja, 30.x=45.200. 3- d 3 - c 5 b 6 b 7 a 8 e

32



A histria humana se confunde com a histria da utilizao dos nmeros. Desde

tempos remotos o homem j percebeu a necessidade de contar as coisas. Inicialmente

foram utilizados os dedos das mos, depois objetos mais comuns como pedras, etc.

Com o passar dos tempos foram surgindo novos desafios e em resposta aos mesmos o

desenvolvimento da matemtica com a atribuio de smbolos aos nmeros,

culminando na matemtica como hoje a at conhecemos.

Assim, pode-se dizer que o mundo comandado pelos nmeros. Eles so usados na

identificao de carros (placa, chassi, renavan, etc.), para conferir identidade civil ao

homem (RG, CPF, Ttulo de Eleitor, CREA, etc.), para identificar endereos (CEP, etc.),

para a comunicao via telefone, via internet, para fechar negcios, entre outras

infinitas aplicaes.

comum agruparmos os nmeros em grupos denominados Conjuntos Numricos.

Nesta 2 aula voc ir entrar em contato com a teoria dos conjuntos entrando no

universo dos nmeros, recordando assim a estrutura dos conjuntos numricos.

OBJETIVOS DO MDULO

Esperamos que, aps o estudo do contedo deste mdulo, voc seja capaz de:

Entender o conceito de Conjunto;

Realizar operaes bsicas com conjuntos;

Relembrar propriedades bsicas dos conjuntos numricos;

Trabalhar com intervalo de nmeros reais e realizar operaes entre intervalos.

CONJUNTOS

33


INTRODUO

A noo de conjunto a mais simples e importante da Matemtica, pois a partir dela

podem ser expressos os demais conceitos.

Um Conjunto toda e qualquer reunio de elementos que apresentam caractersticas

comuns.

Este termo aplicado no apenas ao agrupamento de nmeros. So

exemplos de conjuntos: o conjunto de todos os pases do Mercosul, sendo o

Brasil um de seus elementos; o conjunto de todos os times de futebol do

Brasil, sendo o Flamengo um de seus elementos; ou o conjunto de todas as

crianas abandonadas no Brasil.

A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Georg Cantor que a transformou

num vasto campo de investigao matemtica.

2.1 TEORIA DOS CONJUNTOS

Para designar um conjunto usamos as letras maisculas A, B, C, D, I, etc. So vrias

as formas de representar um conjunto, sendo as mais usuais:

a) Escrever todos os elementos, um a um, separados por vrgula.

Ex. O Conjunto B de todos os estados da regio sudeste do Brasil:

PauloSoJaneirodeRioGeraisMinasSantoEspritoB ,,,

b) Representar entre chaves um elemento genrico do conjunto atravs de suas

propriedades.

Ex. O Conjunto C de todas as vogais do alfabeto portugus:

portugusalfabetodovogalyyC |

c) Representar entre por meio do diagrama de Venn (Fig. 2.1)

Na representao por diagrama, traamos uma linha fechada em torno dos seus

elementos associados a pontos.

Georg Cantor

Nascido no dia 3

de maro de 1845

em St. Petersburg,

Rssia, morreu no

dia 6 de janeiro de

1918, em Halle,

Alemanha, tendo

sido o ano de 1872

o da publicao de

seus principais

estudos.

34


Ex. O Conjunto D de todas as letras da palavra paraleleppedos:

ad

ei

ro

lp

Fig. 2.1 Diagrama de Venn - conjunto das letras da palavra paraleleppedo

Relao entre Elemento e Conjunto

A relao entre um elemento e um conjunto denominada relao de pertinncia,

que simbolizada por (pertence) e (no pertence). Dessa forma, para dizermos

que o elemento x parte do conjunto A e que o elemento y no parte do mesmo

conjunto A, devemos escrever:

Ax (x pertence a A) e Ay (y no pertence a A)

Tipos de Conjuntos

Podemos classificar um conjunto de acordo com o nmero de elementos.

Conjunto Vazio

Um tipo particular de conjunto que no possui nenhum elemento. Os smbolos que

designam um conjunto vazio so: ou .

Ex. I = x| x um estado da regio sudeste do Brasil cuja primeira letra p , ento:

I .

Conjunto Unitrio

Todo conjunto que possui apenas um elemento denominado conjunto unitrio.

Ex. A = y| y um estado da regio sudeste do Brasil cuja primeira letra r , ento:

A Rio .

Conjunto Infinito

Quando no se pode determinar o nmero total de elementos de um conjunto ele

recebe o nome de conjunto infinito.

35


Ex. E = p| p um nmero primo , ento:

,...31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2E

Como se sabe existem infinitos nmeros primos, ento o conjunto infinito.

Outros exemplos de conjuntos infinitos so os conjuntos numricos: N (nmeros

naturais), Z (Nmeros Inteiros), etc.

Conjunto finito

Quando podemos contar todos os elementos de um conjunto um a um, dizemos que

esse conjunto finito.

Ex. A = {a, e, i, o, u}

B = {x|x mineiro e nascido na cidade de Muria}

Relao entre Conjuntos

A relao entre dois ou mais conjuntos chamada de relao de incluso e os

smbolos usados so: (est contido), (no est contido), (contm), (no

contm)

Assim, dados dois conjuntos A e B, se todo elemento de A tambm elemento de B,

dizemos que:

BA (leia-se: A est contido em B)

AB (leia-se: B contm A)

A subconjunto de B

A parte de B

Observe o diagrama (Fig. 2.2) do caso: BA

A

B

Fig. 2.2 Diagrama de Venn - BA

36


Podemos afirmar que:

jihgfedcbaedcba ,,,,,,,,,,,,,

N Z Q R (Conjuntos Numricos);

9,8,7,6,5,4,3,23,2,1 , pois existe um elemento do primeiro conjunto que no

pertence ao segundo conjunto.

Observao:

importante saber distinguir as relaes de pertinncia () e de incluso ( ). A figura

2.3 apresenta o esquema das relaes elemento-conjunto e conjunto-conjunto:

Fig. 2.3 Relaes de Pertinncia e de Incluso

Veja os exemplos:

7,6,5,4,3,23 , porque 3 um dos elementos do conjunto 7,6,5,4,3,2 ;

8,7,6,5,4,3,22 , pois 2 um subconjunto do conjunto 8,7,6,5,4,3,2 .

Igualdade

Um conjunto A ser igual a um conjunto B, se ambos possurem os mesmos

elementos, isto , se cada elemento que pertence a A pertencer tambm a B e vice-

versa.

Ex. Seja AMORpalavradaletraspelasformadoconjuntooxxA e

ROMApalavradaletraspelasformadoconjuntooyyB .

Veja que: BA , pois todo elemento que pertence a A tambm elemento de B , e

todo elemento de B elemento de A .

elemento conjunto

e

subconjunto conjunto

37


Subconjuntos

Considere dois conjuntos C e D. O conjunto C denominado subconjunto do conjunto

D se todos os elementos de C estiverem em D. No entanto, se algum dos elementos de

C no pertencer ao conjunto D, ento C no subconjunto de D.

Ex. Sejam os conjuntos: 8,7,6,5,4,3,2,1A , 8,6,4,2B e 9,7,5,3,1C . Ento:

BA (A contm B), pois B um subconjunto de A, uma vez que todo elemento de

B tambm elemento de A.

C A (C no est contido em A), ou seja, C no subconjunto de A, pois o

elemento 9 no pertence ao conjunto A.

Determinao dos Subconjuntos de um Conjunto

Se um conjunto tem n elementos, h uma relao entre esse nmero de elementos e o

total de subconjuntos desse conjunto. Ou seja, se A tem n elementos, o nmero de

subconjuntos ser de: n2

Ex. Dado o conjunto 6,4,2A , temos:

1 subconjunto com 0 elementos:

3 subconjuntos com 1 elemento: 5,4,2

3 subconjuntos com 2 elementos: 6,4,6,2,4,2

1 subconjunto com 3 elementos: 6,4,2

O conjunto formado por todos os subconjuntos de A denominado conjunto das partes

de A, P(A). Ento, para o exemplo anterior:

6,4,2,6,4,6,2,4,2,6,4,2,AP .

No total so 8 subconjuntos. Ou seja, se A tem 3 elementos P(A) ter 23 = 8 elementos.

PROPRIEDADE

O conjunto vazio

subconjunto de

qualquer conjunto.

AA ,
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto

38


A B

1.2 OPERAES COM CONJUNTOS

Unio

A unio entre dois conjuntos A e B consiste na obteno de outro conjunto C formado

por todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente,

temos: BAC , l-se: C igual a A unio B. A definio dada acima pode ser escrita

simbolicamente por:

BxouAxxBAC .

Tambm podemos representar a unio atravs de diagrama (Fig. 2.4).

Fig. 2.4 Unio dos conjuntos A e B

No caso de existirem trs ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte

generalizao:

CBACBACBA

Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A , 9,8,7,3,2,1B e 11,9,7,5C , obtemos:

a) 9,8,7,6,4,3,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA

b) 11,9,8,7,6,5,4,3,2,111,9,7,59,8,7,6,4,3,2,1 CBACBA

Obs.: No necessrio que se repitam os elementos comuns aos conjuntos. Assim,

no conjunto unio eles devem ser escritos uma s vez.

Interseo

Chamamos de interseco de um conjunto A com outro conjunto B, ao conjunto C

constitudo dos elementos que pertencem aos dois conjuntos (tanto a A como a B, ao

mesmo tempo).. A esse conjunto indicamos: BAC , l-se: C igual interseo de

A e B. Esquematicamente temos:

39


B A

BxeAxxBAC .

Tambm podemos representar a interseo atravs de diagrama (Fig. 2.5).

Fig. 2.5 Interseo dos conjuntos A e B

No caso de existirem trs ou mais conjuntos, podemos utilizar a seguinte

generalizao:

CBACBACBA

Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A , 9,8,7,3,2,1B , 11,9,7,5C e 10,4,3,2D ,

obtemos:

a) 8,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA

b) 711,9,7,59,8,7,3,2,1 CB

c) 10,4,3,211,9,7,5DC ou (logo, C e D so

disjuntos)

d) 210,4,3,28,2,1 DBADBA

Diferena

Denominamos diferena (l-se: menos) entre os conjuntos A e B, o conjunto C formado

pelos elementos pertencentes a A e no a B, ou seja:

BxeAxxBAC

Ateno!

Se dois conjuntos A e B

no tm elemento

comum, ou seja,

BA , dizemos que

os dois conjuntos so

disjuntos.

40


Representando a diferena atravs de diagrama obtemos (Fig. 2.6).

A

B

Fig. 2.6 Diferena entre os conjuntos A e B

Ex. Dados os conjuntos: 8,6,4,2,1A e 9,8,7,3,2,1B , temos que:

a) 6,49,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BA

b) 9,7,38,6,4,2,19,8,7,3,2,1 AB

Conjunto Universo

No estudo de conjuntos, faz-se necessrio que consideremos um conjunto mais amplo

que os demais. A esse conjunto (que contm todos os outros como subconjuntos)

denomina-se conjunto Universo, representado pela letra U (Fig. 2.7).

U

B

A

Fig. 2.7 A e B so subconjuntos de U

Exemplos de Conjunto U:

para os conjuntos de nmeros inteiros, Z o conjunto universo;

para os conjuntos de letras, o alfabeto o conjunto universo;

Conjunto Complementar

Ateno!

A idia da diferena

de conjuntos

empregada no

cotidiano com certa

freqncia. Observe:

- Todos os alunos

foram aprovados em

Ingls?

Uma resposta

comum : todos

menos fulano e

beltrano.

Assim, do conjunto

A (todos os alunos)

tirou-se o conjunto B

(fulano e beltrano.

Curiosidade!

A noo de conjunto Universo relativa. Ele deve ser definido caso a caso, de acordo com cada situao-problema. Na maioria dos problemas o conjunto R (nmeros reais) o conjunto universo.

41


Complemento aquilo que complementa, completa. Deste modo, o complemento de

um conjunto A formado pelos elementos do conjunto universo U, que no pertencem

a A. Ento, o conjunto complementar de A igual a U A.

Tambm comum o uso das notaes Ac, CA

U, A . Portanto,

AxeUxxCAU

Ex.

O conjunto das consoantes em relao ao conjunto das letras o conjunto das

vogais;

O conjunto complementar do conjunto A = {janeiro, fevereiro, abril, setembro,

outubro, dezembro} em relao ao conjunto dos meses do ano o conjunto B =

{maro, maio, junho, julho, agosto, novembro};

Seja 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A , 9,7,5,3,1B e 10,6,2C , temos que:

a) 10,8,6,4,29,7,5,3,110,9,8,7,6,5,4,3,2,1 BABCA

b) 9,8,7,5,4,3,110,6,210,9,8,7,6,5,4,3,2,1 CACCA

Nmero de Elementos de um Conjunto

Um conjunto A tem o nmero de elementos representado pelo smbolo n(A).

Existe uma relao entre o nmero de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B,

BA e BA , que pode ser definida como:

BAnBnAnBAn )(

Exemplos:

a) Sejam os conjuntos: 8,6,4,2,1A e 9,8,7,3,2,1B , ento:

89,8,7,6,4,3,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BAnBA

38,2,19,8,7,3,2,18,6,4,2,1 BAnBA

6)(5)( BneAn

Logo podemos comprovar que:

42


883658)( BAnBnAnBAn

b) Foram entrevistadas cinqenta pessoas sobre suas preferncias em relao a duas marcas A e B de aparelhos de som. O resultado da pesquisa precisamente:

21 pessoas responderam que preferem a marca A.

34 pessoas responderam que preferem a marca B

5 pessoas responderam que no preferem nenhuma das duas marcas

De acordo com esses dados quantos preferem somente a marca B?

Resposta:

Vamos considerar, no universo das pessoas pesquisadas, o conjunto A dos que preferem a marca A e o conjunto B dos que preferem a marca B. Temos: U=50

A B

x y z

t

x: nmero de pessoas que s preferem a marca A (A - B) y: nmero de pessoas que preferem as duas marcas ( BA ) z: nmero de pessoas que s preferem a marca B (B - A)

t: nmero de pessoas que no preferem nenhuma das duas marcas (U - AUB ) no caso t = 5.

Assim:

Se o total de entrevistado de 50 pessoas: 50 tzyx (I)

21 preferem a marca A: n(A) yxyx 2121 (II)

34 preferem a marca B: n(B) yzzy 3434 (III)

Assim, substituindo os valores de x e z em funo de y e o valor de t na equao (I):

505)34()21( yyy

5342150 yyy

43


10 y

10y

Substituindo o valor de y em (II) e (III) obtemos:

11x

24z

O nmero de pessoas que preferem apenas a marca B (B - A) o valor de z, ou seja,

de 24 pessoas.

Verificando, observe que:

BAnBnAnBAn )(

10342145

Sugesto: Para suplementar sua formao, pesquise na

bibliografia indicada outros exemplos de problemas que so

resolvidos pela teoria dos conjuntos, em particular os que

envolvam a presena de trs ou mais conjuntos.

1.3 CONJUNTOS NUMRICOS

Os dois principais objetos com que se ocupa a matemtica so os nmeros e as figuras

geomtricas. O objetivo deste tpico recordar e aprofundar o que voc estudou

sobre nmeros no ensino fundamental e no ensino mdio.

Conjunto dos Nmeros Naturais (N)

So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o zero.

representado smbolo N.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}

Os nmeros naturais 1, 2, 3, etc. surgiram praticamente junto com o homem pela

necessidade deste contar objetos que ele encontrava na natureza, da o nome natural.

J o zero um smbolo muito recente, remonta ao sculo IX e atribuda aos hindus.

Dada a sua importncia ele foi considerado tambm um nmero natural.

Reflita:

Deus criou os

nmeros

naturais; o resto

inveno do

homem

(Krnecker)

44


Um subconjunto importante de N o conjunto N*, ou seja, o conjunto dos nmeros

naturais no-nulos:

N * = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ou N* = N - {0}

Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)

A necessidade de representar quantidades que faltam para chegar a zero levou

criao dos nmeros negativos: -1, -2, -3, ... Hoje em dia falamos em temperaturas

negativas, saldos negativos etc.

O conjunto dos nmeros inteiros, representado pelo smbolo Z, ento formado por

todos os nmeros que pertencem ao conjunto dos Naturais (N) mais os seus

respectivos opostos ou simtricos (negativos).

So representados pela letra Z:

Z = {,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,}

Como podemos perceber, todo nmero natural tambm inteiro, ou seja, o conjunto Z

contm o conjunto N: Z N (Fig. 2.8).

Z U=R

N

Fig. 2.8 Conjunto dos Inteiros

Podemos representar o conjunto Z por pontos pertencentes a uma reta orientada (eixo) (Fig. 2.9).

Z

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fig. 2.9 Nmeros Inteiros na reta

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles so:

Inteiros no-nulos (Z*): todos os nmeros inteiros diferentes de zero.

Curiosidade: A

letra Z inicial da

palavra Zahl, que

significa nmero

em alemo.

45


Z* = {...,-3,-2,-1, 1, 2, 3,} ou Z* = Z - {0}

Inteiros no negativos (Z+): todos os nmeros inteiros que no so negativos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,}

Inteiros no positivos (Z-): todos os nmeros inteiros que no so positivos.

Z- = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Inteiros positivos Z * : somente os nmeros positivos, excluindo-se os negativos e o

zero. Coincide com o subconjunto dos naturais N*.

Z * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,}

Inteiros negativos Z * : somente os nmeros negativos, excluindo-se o zero.

Z *= {, -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)

A necessidade de operar com grandezas que nem sempre podem ser expressas por

nmeros inteiros, fez surgir a criao dos nmeros fracionrios:

1000

743,

5

1,

3

1 etc.

Os nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros

decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos

(que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como

12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

Os racionais, simbolizados pela letra Q, so aqueles que podem ser expressos na

forma:

Q ={ *, ZbeZab

axx }

Lembre-se: no existe diviso por zero, por isso b no pode ser zero.

Exemplos de nmeros racionais:

Curiosidade: As

primeiras fraes

foram

simbolizadas

pelos egpcios por

volta de 1800 a.C.

46


Inteiros (todo nmero inteiro pode ser representado por uma razo):

-1 = 5

5

1

1

5

10

4

8

1

22

Decimais exatos, finitos:

10

11,0

100

23535,2

Dzimas Peridicas Simples (decimais infinitos peridicos):

9

11,0...11111,0

99

3232,0...3232,0

9

21

9

39.2

9

323,2...33,2

Dzima Peridica Composta(decimais infinitos peridicos):

330

59

990

177

990

1178781,0...17878,0

300

37

900

111

900

12123312,0...12333,0

900

2008

900

208900.2

900

2082

900

232312123,2...23111,2

Como podemos perceber, todo nmero inteiro tambm racional, pois pode ser escrito

como 1

a, ou seja, o conjunto Q contm o conjunto Z, que por sua vez contm o

conjunto N: Q Z N (Fig. 2.10).

Q U=R

N Z

47


Fig. 2.10 Conjunto dos Inteiros

Podemos representar o conjunto Q na reta orientada. Na fig. 2.11, alguns nmeros racionais so colocados na reta:

-3 1024 -2 -

2

3 -1 -21 0

21 1

2

3 2 3 9

28 4

Fig. 2.11 Nmeros racionais na reta

Os nmeros racionais no so suficientes para representar todos os nmeros na reta,

por isso surgiu outro conjunto de nmeros como poderemos conferir no prximo item.

Conjunto dos Nmeros Irracionais (I)

H um grupo de nmeros decimais que no podem ser representados

como a razo de dois nmeros inteiros, com no-nulo. Este o grupo

dos nmeros decimais infinitos e no-peridicos.

Exemplos:

a) ...4142135,12 b) ...7320508,13 c) ...1415926535,3

Obs.: Os conjuntos I e Q so disjuntos, pois Q I = .

Conjunto dos Nmeros Reais (R)

o conjunto que rene todos os conjuntos cima citados (unio do conjunto dos

racionais com os irracionais).

R = Q U I = .IxouQxx

No conjunto R dos nmeros reais a reta fica completa, ou seja, podemos estabelecer

uma correspondncia entre o conjunto dos nmeros reais e o conjunto de pontos de

Curiosidade:

O nmero j

foi calculado

com um bilho

de casas

decimais.

Importante!

As razes de ndice par e radicando negativo (Ex. 4 ), no fazem parte do conjunto R.

Esses so os nmeros complexos, e no so objeto de nosso curso.

48


uma reta. Desta forma, cada ponto da reta corresponde a um nmero real, por isso ela

chamada reta real ou de eixo dos nmeros reais (Fig.2.12).

-3 1024 -2 -1 -

21 0

21 1 3 2 3 4

Fig. 2.12 Reta dos Reais

O diagrama a seguir (Fig. 2.13) relaciona os conjuntos numricos estudados at aqui:

R

Q Z

N I

Fig. 2.13 Conjunto dos Reais (R = Q I)

1.4 INTERVALOS NA RETA REAL

Podemos determinar subconjuntos de R, representando esses nmeros por

desigualdades. Sendo a e b dois nmeros reais, com a < b, temos:

Intervalo fechado nos extremos a e b: subconjunto formado pelos nmeros compreendidos entre a e b, incluindo os extremos a e b.

=

Notao representao de intervalo por compreenso

Sua representao grfica na reta pode ser conferida na figura 2.14:

Fig. 2.14 Representao grfica do intervalo

Intervalo aberto em a e b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b excluindo os extremos (Fig. 2.15).

R

49


Fig. 2.15 Representao grfica do intervalo ]a,b[

Intervalo fechado em a e aberto em b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b, incluindo a e excluindo b (Fig. 2.16).

Fig. 2.16 Representao grfica do intervalo [a,b[

Intervalo aberto em a e fechado em b: subconjunto formado pelos nmeros reais compreendidos entre a e b excluindo os extremos (Fig. 2.17).

Fig. 2.17 Representao grfica do intervalo ]a,b]

Intervalos Infinitos: quando queremos representar intervalos em que um nmero real pode crescer ou decrescer indefinidamente usamos os smbolos (mais infinito) e (menos infinito). (Fig. 2.18)

De modo geral, sendo a um nmero real, temos:

axxa ,

axxa ,

axxa ,

axxa ,

Fig. 2.18 Representao grfica dos intervalos contendo

Exerccios resolvidos:

1) No universo U = R so dados os intervalos 4,1 e 5,0 . Represente na reta

real, com notao de intervalo e por compreenso os seguintes conjuntos: BA , BA , BA , AB .

50


51


Resposta:

A -1 0 4 5

B

BA 515,1 xx

BA 404,0 xx

BA 010,1 xx

AB 545,4 xx

2) Represente por compresso os seguintes intervalos:

a) 25,1 Resp.: 251 xx

b) 0, Resp.: 0 xx

c) ,0 Resp.: 0 xx

3) Represente com notao de intervalos os seguintes conjuntos:

a)

2

1xx Resp.:

2

1,

b)

5

2xx Resp.: ,

5

2

c)

2

7xx Resp.:

2

7,

52


RESUMO

Nesta aula, voc viu que:

Conjunto um conceito primitivo, cuja idia a mesma de coleo, grupo, etc.,

sendo o mesmo muito utilizado na matemtica;

As relaes elemento-conjunto so denominadas de pertinncia ( , ), e as

relaes conjunto-conjunto de incluso ( ,,, );

As operaes entre conjuntos so: unio ( ), interseo ( ) e diferena ( )

H uma relao entre o nmero de elementos de dois conjuntos A e B e o

nmero de elementos da unio e da interseo desses conjuntos, que pode ser

expressa por: BAnBnAnBAn )( ;

O conjunto R formado pelos nmeros racionais (Q) e pelos nmeros irracionais

(I), sendo que: N Z Q;

Os subconjuntos de R podem ser representados na reta dos reais

(graficamente), em notao de intervalo e por compreenso.

53


REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ARNAUT, R.G.T. Matemtica Bsica. V. nico. 5 ed Rio de Janeiro9: Fundao

CECIERJ, 2009.

DANTE, L.R. Matemtica Contexto e Aplicaes: Volume nico. 1 ed. So Paulo:

Editora tica, 2001.

Livro Revisional. Fascculos de reviso: 3 srie ensino mdio, Belo Horizonte: Editora

Educacional, 2008.

NERY, C.; TROTTA, F. Matemtica para o ensino mdio: volume nico. 1 ed. So

Paulo: Saraiva, 2001.

SMOLE, K.C.S; KIYUKAWA, R. Matemtica - ensino mdio: volume 1. 1 ed. So

Paulo: Saraiva, 1998.

54


A

CB

A

CB

CADERNO DE EXERCCIOS

1) Assinale em cada diagrama abaixo a regio que representa o respectivo conjunto: a) CBA )( b) )( CBA

2) Represente na reta real os intervalos:

a) 5,1 c) 5,

b) 5,1 d) ,1

3) Sendo 32| xxA e 35| xxB , correto afirmar:

a) 3,5)( BA

b) 3,2)( BA

c) 0)( BA

d) 325|)( xouxxAB

e) BA 4) Seja A um conjunto de 10 elementos. O conjunto P(A), de todos os subconjuntos de

A, tem n elementos. Podemos concluir que:

a) n = 2048

b) n=512

c) n=1024

d) n=256

e) n=100

55


5) (MACK-SP 79) A e B so dois conjuntos tais que BA e A , ento

a) Sempre existe Ax tal que Bx

b) Sempre existe Bx tal que Ax c) Se Bx ento Ax d) Se Bx ento Ax

e) BA

6) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles

mantinham convnio com duas empresas particulares de assistncia mdica, A e B.

Sabe-se que:

o nmero de conveniados com a empresa A de 430;

o nmero de conveniados com a B de 160;

o nmero de filiados somente ao INSS de 60.

Ento, o nmero de pessoas conveniadas tanto com a empresa A quanto com a

empresa B, :

a) 100 pessoas d) 90 pessoas b) 50 pessoas e) 10 pessoas c) 40 pessoas

7) Em uma universidade so lidos dois jornais A e B. Se 75% dos alunos lem o jornal

A, 50% o jornal B, e todo aluno leitor de pelo menos um jornal, determine o

percentual de alunos que lem ambos os jornais.

a) 25% d) 90 % b) 45% e) 10 % c) 40%

8) De 240 pessoas que guardam jornal e garrafas para a reciclagem, 80 guardam papis e 210 guardam garrafas. O nmero de pessoas que guardam somente papel :

a) 50 d) 40 b) 80 e) 30 c) 90

Resposta: 1 A regio a ser pintada a que pertence a A mais a que pertence a B com exceo das partes que tambm pertencem a C. 2 a) ambas as bolinhas fechadas; b) ambas as bolinhas abertas; c) todos os valores menores que 5 e bolinha fechada; d) todos os valores maiores que -1 e bolinha fechada. 3- d 4 - c 5 - d 6 - b 7 a 8 e

56


57



A tradio grega para representao de um problema matemtico era a geometria, que

predominou por muitos anos. Diofante, no sculo III apresentou uma nova forma de

representao matemtica, o nmero atravs de letras, ou seja, a linguagem algbrica.

Sua contribuio foi muito importante, porm ficou perdida por muitos anos, cerca de

1000 anos, sendo redescoberta na Europa renascentista.

A partir do sculo XVI, com a expanso do comrcio em todo o mundo, a linguagem

matemtica tambm evoluiu, acrescentando novos smbolos, at chegarmos ao que

temos hoje.

Neste mdulo voc ver o uso da lgebra no seu cotidiano, podendo assim rever o que

so e como resolver problemas que envolvam temas como equao, sistema de

equaes e inequaes.

OBJETIVOS DO MDULO

Os objetivos especficos deste mdulo so:

Identificar a linguagem algbrica;

Resolver problemas de equao do 1 e do 2 grau;

Identificar e resolver problemas com mais de uma equao: sistema de equaes;

Identificar as desigualdades e resolver problemas.

EQUAES Equaes, Sistemas de Equaes e Inequaes

58


INTRODUO

Equao, sistema de equaes e inequaes so tpicos da lgebra que muito nos

ajudam na resoluo de problemas prticos.

3.1 EQUAO

Equao toda sentena matemtica aberta que

exprime relao de igualdade. A palavra equao tem o

prefixo equa, que em latim quer dizer igual.

Exemplos:

2x + 8 = 0

5x 4 = 6x + 8

3a b c = 0

No so equaes:

4 + 8 = 7 + 5 (No uma sentena aberta)

x 5 < 3 (no igualdade)

5 -2 (No sentena aberta, nem igualdade)

Equao do 1 grau

A equao geral do primeiro grau de forma: ax + b = 0 , com a 0.

Exemplo: 2x 8 = 3x - 10

A letra x a incgnita da equao. A palavra incgnita significa desconhecida. Na

equao acima tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1 membro, e o

que sucede 2 membro.

membro

x1

82 = membro

x2

103

Resolues de Equao do Primeiro Grau:

Para resolvermos equaes do primeiro grau, devemos lembrar que:

a) Podemos transformar uma equao em outra equao equivalente mais simples;

b) Podemos adicionar ou subtrair um mesmo nmero a ambos os membros da

igualdade;

Um pouco de histria

Diofante, um matemtico grego

que viveu em Alexandria (sec. III),

foi o primeiro a usar simbolismo

algbrico na grcia. Seus

estudos sobre a lgebra muito

contriburam para o

desenvolvimento desta rea da

matemtica.

Disponvel na interne:

http://www.extas.hpg.ig.com.br/historia.htm

59


c) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equao por um nmero

diferente de zero.

Ex.: x 5 = 0 4x = 8

x 5 + 5 = 0 + 5 3.4x = 3.8

x = 5 x = 2

Problemas do Primeiro Grau

So problemas, cujas resolues envolvem uma equao de primeiro grau. Para

resolver um problema de primeiro grau, devemos:

1) Chamar de x o que o problema est pedindo;

2) Transformar em linguagem matemtica o enunciado do problema;

3) Montar a equao do primeiro grau correspondente;

4) Resolver a equao e interpretar a resoluo de acordo com enunciado do

problema.

Exemplos de transformao de linguagem comum em linguagem matemtica


1. Determine o conjunto soluo de cada equao abaixo:

a) 36)5(4 x

Soluo:

1642036436204365.4.4 xxxx

Linguagem Comum Linguagem Matemtica

1) o dobro de um nmero x 2x

2) a metade de um nmero x

2

x

3) os trs quartos de x

4

3. x =

4

3x

4) a soma de trs nmeros consecutivos x+(x+1)+(x+2)

5) o triplo do sucessor de x mais o dobro do antecessor de x 3(x+1)+2(x-1)

6) a metade de x menos a tera parte de x

32

xx

7) o qudruplo do triplo do sucessor de x 4.3(x+1) = 12(x+1)

60


4

16x 4x Resp. 4S

b) )31(4)5(27 yy

Soluo:

)3.(41.4)5.(2.27 yy

yy 1241027

1074122 yy

10

7710 yy

Resp.

10

7S ou 7,0S

c) )6(237 nn

Soluo:

5

9953122712237 nnnnnn

Resp.

5

9S ou 8,1S

2. Resolva cada problema a seguir por meio da equao do 1 grau:

a) A diferena entre um nmero natural e dezesseis igual a trinta e sete. Qual esse

nmero?

Soluo:

Chamamos o nmero natural procurado de x e ento montamos a equao:

16373716 xx 21x

Resp. O n 16373716 xx mero natural 21.

b) Se subtrairmos dez anos, ao triplo da idade de Mateus, obteremos a idade de sua

me que 44 anos. Qual a idade de Mateus?

61


Soluo:

Idade de Mateus: x

3

545431044344103 xxxx 18x

Resp. A idade de Mateus 18 anos.

c) David, Fred e Breno tm juntos R$ 191,00. Breno tem R$ 20,80 a mais que Fred e

este tem R$ 8,40 a menos do dobro do que tem Davi. Quanto tem cada um?

Soluo:

Quantia de David: x

Quantia de Fred: 2x 8,40

Quantia de Breno: 2x 8,40 + 20,80 = 2x + 12,40

Assim: 19140,12240,82 xxx

19145 x

41915 x

1875 x

5

187x 40,37x

Resp. David tem R$ 37,40; Fred tem R$ 66,40; Breno tem R$ 87,20.

Equaes de 2 Grau

Equaes do 2 grau so todas as equaes da forma ,02 cbxax onde ba ,0

e c so nmeros quaisquer, e x a incgnita ou varivel.

Os valores de x que satisfazem a equao 02 cbxax , so chamados de razes.

a coeficiente de x 2 , ou do termo do 2 grau.

b Coeficiente de x, ou do termo do 1 grau.

c Coeficiente do termo do grau zero, ou termo independente de x.

As equaes do 2 grau dividem-se em: INCOMPLETAS E COMPLETAS.

62


Exemplo: 1) Equao completa: ,0643 2 xx onde:

6

4

3

c

b

a

2) Equao incompleta em b: ,0162 x onde:

16

0

1

c

b

a

3) Equao incompleta em c: ,0102 xx onde:

0

10

1

c

b

a

4) Equao incompleta em b e c: ,02 2 x onde:

0

0

2

c

b

a

Resoluo de Equao do Segundo Grau Incompleta:

1 caso: 0b 02 cax

a

cxcax 22

a

cx

Exemplo: 4

444044 222 xxx 1x

1

1

2

1

x

x

2 caso: 0c 02 bxax

Colocando x em evidncia: 0 baxx

Para que o produto seja nulo, um dos fatores deve ser

zero.

Assim:

000

0

2

1

x

a

bx

x

bax

x

bax

Exemplo:

02

020)2(2042 2

x

xxxxx

0

2

2

1

x

x

3 caso: 0b e 0c 02 ax

00

0 22 xa

xax

Observe: A equao s ter soluo no conjunto dos nmeros reais, quando a e c tiveram sinais contrrios.

Observe: Quando c=0, a equao admite um nica soluo no nula.

Observe!!

Quando b=c=0, a equao admite duas razes nulas.

63


Resoluo de uma equao do 2 grau completa

Uma equao do 2 grau completa apresenta at duas razes reais.

a) Frmula de Bhskara: a

bx

2

Onde D (delta) denominado de discriminante: cab ..42 .

Exemplo: ,01282 xx onde ;1a ;8b 12c

16486412.1.484 22 acb

22

4

2

48

62

12

2

48

2

48

1.2

168

22

1

x

x

a

bx

Resp. As razes da equao so 2 e 6.

Propriedade das Razes

Chamaremos as razes da equao por 1x e 2x ou 'x e "x .

a) a soma das razes: pela frmula geral, temos: ,2

42

a

acbbx

onde

a

acbbx

2

42

1

e

a

acbbx

2

42

2

Portanto:

a

acbbacbb

a

acbb

a

acbbxx

2

44

2

4

2

4 2222

21

a

bxx

2

221

a

b

Logo expressamos a soma das razes por: Sa

b

b) Produto das razes:

22222

212

4

22

4.

2

4.

a

acb

a

b

a

acbb

a

acbbxx

IMPORTANTE! Raiz de uma equao o

valor da incgnita que

torna a equao igual a zero.

64


22

22

2

2

2

2

214

4

4

4

4

4

4.

a

ac

a

acbb

a

acb

a

bxx

a

c

Ento o produto das razes ser: a

c

Exemplo: Calcule a soma e produto das razes das equaes sem resolv-las:

a) 0932 2 xx

Soluo: 2

3S e

2

9

b) 01075 2 xx

Soluo: 5

7S e 2

5

10

Trinmio do 2 Grau

Toda expresso da forma ,2 cbxax onde 0a , b e c so nmeros quaisquer e x

a incgnita ou varivel.

Sendo x1 e x2 as razes da equao 02 cbxax , podemos escrever o trinmio y

como:

y = fatoradaforma

xxxxacbxax 212 .

Exemplo: Represente as equaes na forma fatorada:

a) 0232 xx

Soluo: Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 3S e o produto 2 : 11 x e 22 x . Portanto:

02.1232 xxxx

b) 015105 2 xx

Soluo: Encontrando as razes pela soma e produto, precisamos calcular quais os

dois nmeros cuja soma 25

10S e o produto 3

5

15

: 11 x e 32 x .

Portanto: 03.1.515105 2 xxxx

65


Problemas que envolvem Equaes do Segundo Grau

So problemas, cujas resolues envolvem uma equao de primeiro grau.

Para resolver um problema de primeiro grau, devemos:

1) Chamar de x o que o problema est pedindo;

2) Transformar em linguagem matemtica o enunciado do problema;

3) Montar a equao do segundo grau correspondente;

4) Resolver a equao e interpretar a resoluo de acordo com enunciado do

problema.


1. Determine o conjunto soluo de cada equao abaixo:

a) 4)5( xx

Soluo:

04545 22 xxxx

Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 5S e o produto 4 : 11 x e 42 x .

Resp. 4,1S

b) 4122 x

Soluo:

41616124 22 xxxx

Resp. 4,4S

2. Resolva cada problema a seguir por meio da equao do 2 grau:

a) Um nmero real tal que o seu quadrado igual ao seu quntuplo. Qual esse

nmero real?

Soluo:

nmero real: x

equao: 05.055 22 xxxxxx

505

0

xx

x

66


Resp..Tanto o 0 como o 5 apresentam tal caracterstica.

b) A soma das idades de um pai e um filho 42 anos. A idade do pai igual ao

quadrado da idade do filho. Calcule essas idades.

Soluo:

Idade de Filho: x

Idade do Pai: x2

Equao: 04242 22 xxxx

Encontrando as razes pela soma e produto, estamos querendo saber quais os dois nmeros cuja soma 1S e o produto 42 : 71 x e 62 x .

Como x a idade do filho, no pode ser negativo portanto o filho s pode ter 6 anos.

Resp. A idade do filho 6 ano e do pai 36 anos.

3.2 SISTEMA DE EQUAES

Quando temos mais de uma equao como informao necessria resoluo de um

problemas temos o que denominado sistema de equaes. Dizemos que duas ou

mais equaes formam um sistema quando possuem uma soluo comum, ou seja,

uma mesma soluo. Assim, resolver um sistema encontrar qual a soluo vlida pra

todas as equaes ao mesmo tempo.

Sistema Equaes do 1Grau

Quando todas as equaes do sistema so do 1 grau, temos um sistema de equaes

do 1 grau.

Vamos ver trs mtodos prticos para resolver um sistema de equaes do 1 grau,

usando as seguintes propriedades:

1) podemos multiplicar (ou dividir) os coeficientes de uma equao por qualquer

nmero diferente de zero;

2) a soma de dois nmeros simtricos ou opostos sempre zero;

3) podemos somar (ou subtrair) membro a membro de duas equaes.

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a) Mtodo da adio

Esse mtodo consiste em adicionarmos as duas equaes membro a membro,

observando que nesta operao deveremos eliminar uma varivel.

Exemplo: Seja o sistema formado pelas equaes do 1 grau:

6

10

yx

yx

Adicionamos membro a membro as equaes:

1602

6

10

yx

yx

yx

2

16x 8x

Substitumos o valor encontrado de x, em uma das equaes, determinamos y:

810

108

y

y

2y

Resp. A soluo do sistema o par ordenado (8, 2), ou, V {(8, 2)}

b) Mtodo da Substituio

Esse mtodo consiste em isolarmos uma das incgnitas numa das equaes e

substituirmos o seu valor na outra equao.

Exemplo: Se o mesmo sistema da questo anterior:

6

10

yx

yx

Na 2 equao isolamos x no 1 membro passando y para o 2 membro: yx 6

Substituindo o x da 1 equao, obtemos:

22

4426102106 yyyyyy

Substitumos o valor encontrado de y, em yx 6 , obtendo: 826 xx

Resp. A soluo do sistema o par ordenado (8, 2), ou, V {(8, 2)}

c) Mtodo da comparao:

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Esse mtodo consiste em compararmos as duas equaes do sistema, aps termos

isolado a mesma varivel (x ou y) nas duas equaes:

Exemplo: Seja o mesmo sistema do exemplo

yx

yx

yx

yx

6

10

6

10

Comparando as duas eq

cálculo 0 - fundamentos da matemática

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