estructuras algebraicas

ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Definición:

Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacio y una relación o ley de constitución interna definida en el.

Definición:

Sea A un conjunto no vacio. Llamaremos ley de composición interna (o simplemente ley de composición) definida sobre A a toda aplicación:

¿ : A x A A

Si x, y ϵ A escribimos

¿(x , y)=x∗y

Al elemento x*y lo denominamos la composición (por *) de x con y.

Ejemplo:

La operación suma y producto entre números en N, en Z, en Q, en R, y en C.

Definición:

Se llama MONOIDE a todo par (A,*) formado por un conjunto A y una ley de composición *. Diremos también que * define sobre A una estructura de monoide.

Obsérvese que a veces se sobreentenderá la ley de composición * definida sobre A y se denotara (A, *) simplemente por A, y nos referiremos al monoide A.

Por ejemplo, si A denota cualquiera de los conjuntos numéricos N, Z, Q, R, C y * la suma ordinaria + o el producto ordinario . de números, se obtienen los siguientes monoides:

¿¿¿¿¿

EDUARDO MARTÍNEZ ANTONIO Página 1


Definición:

Diremos que un monoide (A,*) es finito si el conjunto A es finito. La descripción de monoides finitos se hace mediante tablas de composición.

Ejemplo.

i. A={0 ,1,2 }

* 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

Es el monoide definido por:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 0 * 2 = 21 * 0 = 1 1 * 1 = 2 1 * 2 = 02 * 0 = 2 2 * 1 = 0 2 * 2 = 1

Composiciones n-arias.

Sea (A, *) un monoide. Las composiciones x * y ϵ A si x, y ϵ A constituyen las composiciones binarias de los elementos de A.

Si x, y, z, denotan elementos de A dados en un cierto orden, podemos obtener los siguientes elementos de A vía composiciones binarias:

x * (y * z)

(x * y) * z

Análogamente, con elementos x, y, z, v de A, dados en un cierto orden, podemos formar los siguientes elementos de A vía composiciones binarias:

a = x * (y * (z * v))b = x * ((y * z) * v)c = (x * y) * (z * v)d = (x * (y * z)) * ve = ((x * y) * z) * v

En general, dados n elementos x1, x2, ... xn de A en un cierto orden, llamaremos composición n-aria de los mismos a todo elemento de A que se obtenga de x1, x2, ... xn por sucesivas composiciones binarias, conservando siempre el orden inicial.



Las composiciones n-arias no tienen por qué ser necesariamente iguales entre sí. Por ejemplo, en el monoide (Z, -) de enteros con la diferencia como ley de composición, existen elementos x, y, z en Z cuyas composiciones ternarias no coinciden.

Ejemplo:8 – (5 – 3) = 6(8 – 5) – 3 = 0

Definición: Sea (A, *) un monoide y sea n ϵ N, n>2. Diremos que * es n-asociativa si cualesquiera que sean x1, x2, ... xn en A, dados en un cierto orden, coinciden entre sí todas sus composiciones n-arias. Diremos que * es asociativa si es n-asociativa, cualquiera que sea n.

Definición:

Se denomina SEMIGRUPO a todo monoide cuya ley de composición es asociativa.

Teorema.Un monoide (A, *) es un semigrupo si y sólo si, * es 3-asociativa, o sea, sí y solo si,

x * (y * z) = (x * y) * z

Ejemplo.Los monoides numéricos (N, +), (N, .), (Z, +), (Z, .) son semigrupos.

Ejemplo.Verificar si el siguiente monoide es o no semigrupo.

* a b ca a b cb b b bc c c c

Debemos comprobar si * es asociativa

a * (b * c) = (a * b) * cAl evaluar

a * b = b * c b = b

b * (c * a) = (b * c) * a b * c = b * a

b = b



c * (b * a) = (c * b) * a c * b = c * a c = c

Por tanto, el monoide constituye un semigrupo por ser asociativo.

Conmutatividad.

Sea (A, *) un monoide.

Definición:

Diremos que x, y ϵ A conmutan entre sí si x * y = y * x

Diremos que (A, *) es un monoide conmutativo (o también que * es conmutativa) si todo par de elementos de A conmutan entre sí.

Definición: Un Semigrupo en el cual la ley de composición es conmutativa constituye un SEMIGRUPO CONMUTATIVO.

Identidad e Inverso.

Sea (A, *) un monoide. Resulta natural estudiar la existencia en A de elementos que gozan de las propiedades análogas al 0 en el monoide (Z, +) y al 1 en el monoide (N, .), a saber

m + 0 = 0 + m = m cualquiera que sea m ϵ Z

n . 1 = 1 . n = n cualquiera que sea n ϵ N

Entonces, Definición:

Se dice que un elemento e ϵ A esi. Identidad a la izquierda de * si

e * a = a

cualquiera que sea a ϵ A.

ii. Identidad a la derecha de * si

a * e = a

cualquiera que sea a ϵ A.



iii. Identidad de * si es simultánea la identidad a la izquierda y a la derecha de *.

Ejemplo:

En el monoide

* 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

El elemento identidad será e = 0

0 * 0 = 0 0 * 1 = 11 * 0 = 1 0 * 2 = 22 * 0 = 2

Notación.

Se denotará con (A, *, e) un monoide con elemento identidad e.

Definición:

Sea (A, *, e) un monoide con identidad.

Sea a ϵ A.

Diremos que

i. Posee un inverso a la izquierda (respecto de e) si existe b ϵ A tal que

b * a = e

ii. Posee un inverso a la derecha (respecto de e) si existe c ϵ A tal que

a * c = e

iii. Posee un inverso (respecto de e), o que es inversible, si existe d ϵ A tal que

d * a = a * d = e



Definición:

Sea el par (A, ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria

(A, ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:

i. * es asociativa. ii. * posee elemento identidad en A.

iii. Todo elemento de A es inversible en A respecto de .

Ejemplo:

El siguiente monoide

* 1 a b1 1 a ba a b 1b b 1 a

i. Es asociativo: 1 * (a * b) = (1 * a) * b

1 * 1 = a * b (comprobación)

1 = 1

ii. Posee elemento identidad: 1

1 * a = a a * 1 = a1 * b = b b * 1 = b

iii. Todo elemento es inversible

a * b = b * a = 1



Definición:

Un grupo constituye un Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo, es conmutativa

Definición:

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.

Ejemplos

1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.

Comprobación:

es una ley de composición interna en Z pues si a y b ϵ Z , a + b + 3 ϵ Z

es asociativa pues

(a * b) * c = (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6 y a * (b * c) = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6 tiene elemento neutro e = –3 , pues a e = a entonces a + e +3 = a ❑

⇒ e = –3

y e a = a entonces e + a + 3 = a ❑⇒ e = –3

tiene inverso a * a’ = –3 ❑

⇒ a + a’ + 3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha

a’ * a = -3 ❑⇒ a’ + a + 3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda

es conmutativa pues a * b = a + b + 3 = b + a + 3 = b * a

Otros ejemplos:

1) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + ) son grupos abelianos . También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.

2) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento. 3) (N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0, pero no tiene inverso aditivo. 4) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 5) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo. 6) ( Q – { 0 } , ) y ( R – { 0 } , ) Son grupos.



Definición:

Un subconjunto B ≠ø del conjunto A es un subgrupo de (A , *) si y solo sí (B , *) es un grupo.

Por ejemplo, (Z, +) es un subgrupo de (Q, +).

Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A, *, ) que también son estructuras algebraicas.

Estas nuevas estructuras son:

Definición:

Dados, un conjunto A ≠ ø y dos leyes de composición interna * y , la terna ordenada (A , * , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

a) es asociativa. b) posee elemento neutro en A. c) Todo elemento de A es inversible en A respecto de . d) es conmutativa. Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

e) es asociativa. Esta propiedad muestra que (A, ) es un semigrupo.

f) distribuye doblemente sobre . Es decir, si a, b, c ϵ A

a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

Resumiendo podemos decir que: (A, *, ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.

Una aclaración oportuna

Como la operación es aditiva y la operación es multiplicativa, es común representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación.Con esta aclaración debe quedar claro que ( A , + , ) representa una estructura algebraica, talvez un anillo, pero que la operación + y la operación no representan la suma y el producto conocido, salvo ello esté expresamente indicado.



Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1 conocidos.

Si además

g) conmutativa. Es decir , : a, b A a b = b a entonces tenemos un Anillo conmutativo. h) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad.

i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de .

Es decir , a 0 , / a a´ = a´ a = e entonces se llama Anillo de división.

Ejemplos

1.- ( N , + , ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no existe neutro para la adición. 2.- ( N0 , + , ) con las operaciones conocidas no es anillo, pues N0 carece de inversos aditivos.

3.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, es un anillo conmutativo con unidad.

Anillos sin divisores de cero

Un anillo (A , , ) se dice sin divisores de cero si y solo sí elementos no nulos de A dan producto no nulo.

En símbolos:

(A , , ) carece de divisores de cero si y solo sí , : a, b A si y entonces a b 0

Anillo de integridad



(A , , ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A , , ) es un anillo y 0 es su único divisor de cero

Dominio de integridad

La terna (A , , ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A , , ) es un Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.

Dicho de otra manera, un Dominio de integridad es un Anillo conmutativo con identidad y de integridad.

Ejemplos

1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas es un dominio de integridad. 2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas son dominio de integridad.

3.- Los polinomios en una indeterminada ( o más ) con coeficientes en Q , R ó C forman dominio de integridad con las operaciones conocidas.

Cuerpo

La terna ordenada ( A , + , ) es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo de división conmutativo.

Esto es: ( A , + , ) es un cuerpo si y solo si ( A , + , ) es un anillo conmutativo, con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.

Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:

( A , + , ) es un cuerpo si y solo si a) ( A , + ) es un grupo abeliano.b) ( A – {0} , ) es un grupo abeliano.c) distribuye respecto de +

Ejemplos

1.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, no es cuerpo, pues Z carece de inversos multiplicativos.

2.- ( Q , + , ) ; ( R , + , ) y ( C , + , ) con las operaciones conocidas son cuerpos.

3.- Todo cuerpo es un dominio de integridad.



Para proveer de un ejemplo de estructura algebraica no tan conocida, definiremos el conjunto Zn

llamado conjunto de los enteros modulo n.

Definición:

Enteros módulo n (Zn)

Si n es un número entero tal que n 2 , se denomina Zn al conjunto Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 ,..., n-1}

Este conjunto, provisto de las operaciones de suma y producto definidas así:

+ suma : si h y k pertenecen a Zn , entonces h + k es igual al resto de la división de h + k por n. Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h + k = 4

producto : si h y k pertenecen a Zn , entonces h k es igual al resto de la división de h k por n. Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h k = 3

La terna (Zn , + , ) es un anillo conmutativo con unidad. Se llama Anillo de los enteros módulo n.

( Zn , + , ) es un dominio de integridad si y solo sí n es primo.

Esto puede verse en las siguiente tablas de operaciones en el conjunto Zn

Para n = 3 Zn = { 0 , 1 , 2 } las tablas de operaciones son:

Para la suma Para el producto

+ 0 1 2 0 1 20 0 1 2 0 0 0 01 1 2 0 1 0 1 22 2 0 1 2 0 2 1

El producto No posee divisores de cero

Para n = 4 Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 } las tablas de operaciones son:

Para la suma Para el producto



+ 0 1 2 3 0 1 2 30 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 2 3 0 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 0 23 3 0 1 2 3 0 3 2 1

El producto posee divisores de cero


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