estructura discreta

ESTRUCTURA DISCRETA, COMBINATORIAPERMUTACIÓN Y VARIACIÓN

ELABORADO POR: GUSTAVO MARRUFFO

TECNICAS DE CONTEO (principio)Se les denomina técnicas de conteo a: las variaciones, permutaciones y combinaciones las cuales son parte de Discretas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número, existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos, etc.


Problema¿Cuántos círculos hay?

Regla de la suma


Teorema(Regla de la suma) Si los conjuntos A, B son tales que(A B) = , entoncesl A U B l = l A l + l B l.


• Ejemplo Se lanza al aire una moneda cuatro veces. ¿De cuantas formas distintas pueden obtenerse una, dos, tres o cuatro caras?

• Solución

• Sea Ai el conjunto formado por todos los resultados posibles en los que aparezcan, exactamente, “i caras” al lanzar cuatro veces la moneda. Entonces,

• A1 = {(c, x, x, x), (x, c, x, x), (x, x, c, x), (x, x, x, c)}

• A2 = {(c, c, x, x), (c, x, c, x), (c, x, x, c), (x, c, c, x), (x, c, x, c), (x, x, c, c)}

• A3 = {(c, c, c, x), (c, c, x, c), (c, x, c, c), (x, c, c, c)}

• A4 = {(c, c, c, c)}

• y el conjunto A1 U A2 U A3 U A4 estaría formado por todos los resultados en los que aparecen una, dos, tres o cuatro caras, por tanto el número pedido es el cardinal de dicho conjunto. Al ser los Ai dos a dos disjuntos, por el principio de adición, tendremos que habría

• |A1 [ A2 [ A3 [ A4| = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 15

formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras.


• Principio de Multiplicación

• Este principio nos va a permitir resolver con más comodidad situaciones que involucren procesos que consistan en acciones sucesivas.

• Supongamos una acción que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un dado, luego otro y a continuación un tercero. Diremos que los pasos son independientes si el número de formas en que hacerse cada uno de ellos no depende del número de formas en que pueden realizarse cada uno de los otros.


• Teorema

• Si A1,A2, . . . ,An es una colección de conjuntos finitos no vacíos, entonces

• |A1 × A2 × · · · × An| = |A1| · |A2| · · · · · |An|


• Ejemplo ¿Cuantos resultados distintos son posibles al tirar tres dados diferentes?

• Solución

• Sean A1,A2 y A3 los conjuntos formados por los posibles resultados que podamos obtener al tirar cada uno de los tres dados, entonces |Ai| = 6, i = 1, 2, 3 y cada resultado es un elemento del producto cartesiano A1 × A2 × A3, luego por el principio de multiplicación, habrá

• |A1 × A2 × A3| = |A1| · |A2| · |A3| = 6 · 6 · 6 = 216 resultados distintos.

• Obsérvese que al ser diferentes los dados, podemos etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar la tirada como una acción con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales tiene seis resultados posibles.

• El número de posibilidades será, por tanto, 6 · 6 · 6 = 216

• Obsérvese también que si los dados no fueran diferentes, la respuesta sería distinta. Por ejemplo sería imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251.


• Ejemplo Un número de teléfono consta de siete dígitos. Si la primera ha de ser un número entre

• 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser números entre 1 y 9 ambos inclusive. ¿Cuántos números de teléfono distintos pueden formarse con estas condiciones?

• Solución

• Sean los conjuntos,

• A1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• A2 = A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• A4 = A5 = A6 = A7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• El número de teléfonos con numeraciones distintas que pueden formarse son los del conjunto

• A1 × A2 × A3 × A4 × A5 × A6 × A7

• Por el principio de multiplicación,

• |A1 × A2 · · · × A7| = |A1| · |A2| · |A3| · |A4| · |A5| · |A6| · |A7|

• = 8 · 9 · 9 · 10 · 10 · 10 · 10

• = 6.480.000

• Regla del Producto

• Si un procedimiento puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento entero puede realizarse, en el orden dado, de (m x n) formas.


Ejemplo

Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos cuatro de dos formas diferentes:

•(a) Sin devolución de cada carta extraída.

•(b) Con devolución de la carta en cada extracción.

Calcular el número de formas diferentes de obtener cuatro cartas en cada caso.

Solución

Consideraremos el experimento como una acción con cuatro pasos independientes.

(a) Para el primer paso tenemos 40 opciones posibles y como la carta extraída no se devuelve quedarán 39 opciones para el segundo paso y, por la misma razón, 38 y 37 opciones para el tercero y el cuarto, respectivamente. Así pues el experimento podría hacerse de

40 · 39 · 38 · 37 = 2193360 formas distintas.

•(b) Cada carta extraída se devuelve a la baraja. Por tanto, para cada una de las cuatro extracciones dispondremos de las cuarenta. Así pues, el número de formas diferentes de obtener las cuatro cartas es

40 · 40 · 40 · 40 = 2560000

• Ejemplo Se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo, a continuación se registra el resultado de cada tirada.

• (a) ¿En cuántos resultados la suma es 7 u 11?

• (b) ¿En cuántos resultados uno y sólo uno de los dados muestra un 2?

• (c) ¿En cuántos resultados ninguno de los dados muestra un 2?

• Solución

• (a) Sean a y b los resultados de los dados azul y rojo, respectivamente. Entonces,

• a, b 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el par (a, b) puede considerarse como un par ordenado.

• Pues bien, si A es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya suma sea 7 y B el formado por aquellos que suman 11, entonces,

• A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

• B = {(5, 6), (6, 5)}

• y el número de resultados en los cuales la suma es 7 u 11 será igual al cardinal de A [ B. Al ser A

• y B disjuntos, por el principio de adición, habrá

• |A U B| = |A| + |B| = 8

• resultados que cumplan las condiciones requeridas.

• (b) Sean

• A1 = {2}

• B1 = {1, 3, 4, 5, 6}

• A2 = {1, 3, 4, 5, 6}

• B2 = {2}

• donde Ai y Bi, i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de los dados azul y rojo. Entonces, todos los resultados en los cuales aparece un 2 en uno sólo de los dados, son los elementos del conjunto

• (A1 × B1) [ (A2 × B2)

• siendo A1 × B1 y A2 × B2, disjuntos.

• Consecuentemente, por el principio de adición y luego por el de multiplicación tendremos que el número de resultados en los que uno sólo de los dados muestra un 2 es

• |(A1 × B1) U (A2 × B2)| = |A1 × B1| + |A2 × B2|

• = |A1| · |A2| + |B1| · |B2|

• = 1 · 5 + 1 · 5 = 10

• (c) Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los resultados en los que ninguno de los dos dados muestra un 2 son los elementos de A2 ×B1. Por el principio de multiplicación, habrá

• |A2 × B1| = |A2| · |B1| = 5 · 5 = 25

• resultados que cumplen la condiciones pedidas.

PERMUTACIÓN, COMBINACIÓN Y VARIACIÓN

• El problema general es contar cuantos grupos de n elementos se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos. Hay que tener en cuenta los elementos que forman el grupo, y si importa o no el orden de los mismos. La segunda cuestión que hay que tener en cuenta es si se puede repetir o no el mismo elemento dentro del grupo de n elementos.

ANÁLISIS COMBINATORIO

• Variaciones (sin repetición) de m elementos tomados de n en n (n < m): son los grupos de n elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de los mismos. Se representan por o bien por y su número

• se calcula así:

• Combinaciones (sin repetición) de m elementos tomados de n en n (n < m): es el número de grupos de n elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos son diferentes sólo si tienen algún elemento distinto.

• Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabra aaaabbbbcccc… es igual a

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

!!...!!

21 knnnn

Donde n1, n2, n3… es la cantidad de a’s, b’s, c’s, etc Obviamnete n1 + n2 + n3

+ … nk = n.

EJEMPLO TABLERO TA-TE-TI

• ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay?



aab

c ccc c c

aab

c cc

c c

aab

cc

c cb b

aacccbacccacccbabccacacbabcc

• Principio de Inclusión-Exclusión• El principio de adición establecía que si X es la unión de una colección de conjuntos

A1,A2, . . . ,An,

• disjuntos dos a dos, entonces

• |X| = |A1| + |A2| + · · · + |An| .

• En muchas ocasiones, necesitaremos calcular el número de elementos de un conjunto X que es la unión de una colección de conjuntos A1,A2, . . . ,An que no sean disjuntos. El principio de inclusión-exclusión

• nos dice como hacerlo en función del número de elementos de los conjuntos A1,A2, . . . ,An.

• En síntesis, este principio nos dice que si sabemos contar elementos de intersecciones de conjuntos,

• entonces podremos determinar el tamaño de la unión de dichos conjuntos.

TeoremaSean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U . Entonces,|A U B| = |A| + |B| − |A B|

Ejemplo

•De un grupo de programadores, 35 están familiarizados con ordenadores del tipo A, 41 con ordenadores del tipo B y 46 con algunos de los dos. ¿Cuantos están familiarizados con ambos?

•Solución

Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B los subconjuntos de P formados por los que están familiarizados con los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo están con ambos son, por tanto, los del conjunto A \ B. Pues bien, según los datos del enunciado,

|A| = 35

|B| = 41

|A [ B| = 46.

Aplicando el principio de inclusión - exclusión,

|A U B| = |A| + |B| − |A B| =) |A B| = 35 + 41 − 46 = 30

Hay, por tanto, 30 programadores que están familiarizados con ambos tipos de ordenadores.

REFERENCIAS ELECTRONICAS

• Web: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/

• Web antigua: www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/principal.htm

• Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria de R. P. Grimaldi.

• Elementos de Matemáticas discretas de C. L. Liu.

http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/

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