Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la educación Superior

Universidad Fermín Toro

Algebras de

Booleanas

Roger Camacho 20.500.261

Estructuras discretas II

Adriana Barreto

EditorialÁlgebra de boole o álgebra booleana se le denomina a

las reglas algebraicas, basadas en la teoría de conjuntos,

para manejar ecuaciones de lógica matemática. La lógica

matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos

de dos estados, etc., asociados por medio de operadores como

Y, O, NO, EXCEPTO, SI...ENTONCES, y que, por lo tanto

permite cálculos y demostraciones como cualquier parte de

las matemáticas. Es llamada así en honor de George Boole,

famoso matemático, que la introdujo en 1847.

Funciones

BooleanasSi se hace un análisis comparativo del cálculo proposicional y la

teoría de conjuntos, con sus conectivos lógicos y las operaciones

unión, intersección y complemento respectivamente, se observa un

comportamiento idéntico.

EL álgebra booleana provee operaciones y reglas para trabajar con el

conjunto de {0, 1}. 0 -> F y 1-> V.

Las 3 operaciones del álgebra booleana son complemento, suma y

producto booleano.

1.Demostrar si los siguientes polinomios son

equivalentes:

Se le da a cada letra un valor numero igual en este caso se le

asigna el numero 1

w = 1 ; x = 1 ; y = 1 ; z = 1 ; z’= 0

Por lo tanto:A. P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’)

P (w, x, y, z) = 1.1 + (1 + 0) + (1 + 0)

P (w, x, y, z) = 1 + 1 + 1

Por lo tanto P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’) Es

Equivalente.B. Q (w, x, y, z) = x + z’ + y

Se aplica el mismo procedimiento

Q (w, x, y, z) = 1 + 0 + 1

Por lo tanto Q (w, x, y, z) = x + z’ + y No es Equivalente.

Función Normal

conjuntivaUna función de Boole se llama forma

normal disyuntiva o polinomio normal

en n variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es

una de las constantes 0 , o bien un

polinomio en cada uno de cuyos términos

figuran las n variables xi y ninguna otra

letra (y en particular, no hay constantes);

y cada uno de los términos es único.

Ejemplos: x +y’ , x’y + xy’

2. Encuentre el polinomio en Forma Normal

Conjuntiva asociado al siguiente Polinomio:

P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z)

Solución:

P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z)

Se le asigna a cada par la variable restante.

= (x + y’ + zz’) (x’ + z’ + yy’) (y’ + z + xx’)

Se aplica la propiedad distributiva.

= (x + y’ + z) (x + y’ + z’) (x’ + z’ + y) (x’ + z’ + y’)

(y’ + z + xx’) (y’ + z + x) (y’ + z + x’)

Polinomio en la formal Normal Conjuntiva.

Forma Normal

Disyuntiva.Una función de Boole se llama forma

normal conjuntiva o producto normal en n

variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es una de las

constantes 0 , o bien una forma lineal

o un producto de formas lineales en cada uno

de cuyos factores figuran las n variables xi

y ninguna otra letra (y en particular, no hay

constantes); y cada uno de los términos es

único. Ejemplos: xy’, (x’ + y) . (x + y’).

C. Encuentre el polinomio en Forma Normal

Disyuntiva asociado al siguiente polinomio:

P (x, y, z) = (x + y’)z´

Solución:

P (x, y, z) = (x + y’)z´

Se aplica la propiedad distributiva.

P (x, y, z) = (xz’ + y’z’)

Luego se complementa con las variables restantes.

P (x, y, z) = [ (xz’ + yy’) + (y’z’ + xx’) ]

Por ultimo se distribuye nuevamente

P (x, y, z) = (xz’ + y) + (xz’ + y’) + (y’z’ + x) + (y’z’

+ x’)

Polinomio en la forma normal Disyuntiva.

Circuitos LógicosLos circuitos de conmutación y temporización, o circuitos lógicos,

forman la base de cualquier dispositivo en el que se tengan que

seleccionar o combinar señales de manera controlada. Entre los

campos de aplicación de estos tipos de circuitos pueden mencionarse

la conmutación telefónica, las transmisiones por satélite y el

funcionamiento de las computadoras digitales.

La lógica digital es un proceso racional para adoptar sencillas

decisiones de 'verdadero' o 'falso' basadas en las reglas del álgebra

de Boole. El estado verdadero se representado por un 1, y falso

por un 0, y en los circuitos lógicos estos numerales aparecen como

señales de dos tensiones diferentes. Los circuitos lógicos se utilizan

para adoptar decisiones específicas de 'verdadero-falso' sobre la base

de la presencia de múltiples señales 'verdadero-falso' en las entradas.

La señal de entrada, una vez aceptada y acondicionada, es procesada

por los circuitos lógicos digitales. Los dispositivos lógicos digitales,

ejecutan una variedad de funciones lógicas a través de las llamadas

puertas lógicas, como las puertas OR, AND y NOT y combinaciones

de las mismas (como 'NOR', que incluye a OR y a NOT).

D. Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente

polinomio

P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´

Solución: