estrategias para la resolución de problemas verbales prof. josé n. soto escuela de artes...

Estrategias para la Estrategias para la resolución de resolución de

problemas problemas verbalesverbales

Prof. José N. SotoProf. José N. Soto

Escuela de Artes PlásticasEscuela de Artes PlásticasJunio 2004

ObjetivosObjetivos

Problemas verbalesProblemas verbales

Pasos del modelo de PoylaPasos del modelo de Poyla

AplicaciAplicaciónón del modelo de Poyla del modelo de Poyla

Estrategias para resolver problemasEstrategias para resolver problemas

Ejercicios de prácticaEjercicios de práctica

ReferenciasReferencias

ObjetivosObjetivos

►Definir el concepto de problemas Definir el concepto de problemas verbales.verbales.

► Identificar los pasos del modelo de Identificar los pasos del modelo de PolyaPolya..

►Describir algunas estrategias para Describir algunas estrategias para resolver problemas.resolver problemas.

►Aplicar el modelo de Polya en la Aplicar el modelo de Polya en la resolución de problemas.resolución de problemas.

PProblemas verbalesroblemas verbales

►Los Los problemas verbalesproblemas verbales presentan presentan situaciones en las cuales hay una situaciones en las cuales hay una información que se desea hallar y hay información que se desea hallar y hay que determinar cómo se puede que determinar cómo se puede conseguir. Hay ocasiones en que conseguir. Hay ocasiones en que tienen una solución; hay ocasiones en tienen una solución; hay ocasiones en que hay varias soluciones y en otras que hay varias soluciones y en otras no hay solución.no hay solución.

Pasos del modelo de Pasos del modelo de PoylaPoyla

1. Comprender el problema

2. Desarrollar un plan

3. Llevar el plan a cabo

4. Comprobar

Paso 1: Comprender el Paso 1: Comprender el ProblemaProblema

►Entender el problema (de quEntender el problema (de quéé trata el trata el problema), reconocer la información problema), reconocer la información dada y qué es necesario para resolver dada y qué es necesario para resolver el problema.el problema.

Paso 2: Desarrollar un Paso 2: Desarrollar un planplan

► Identificar una Identificar una estrategia para estrategia para resolver el problema.resolver el problema. De adelante

hacia atrás

Elaboración de tablas

Tanteo y error

Seguir Patrones

estrategias

Seguir patronesSeguir patrones

►Esta estrategia nos ayuda a describir Esta estrategia nos ayuda a describir algo que ocurre en repetidas algo que ocurre en repetidas ocasiones.ocasiones.

►Ej. 1:Ej. 1: 1, 3, 5, 7 ___, ____. 1, 3, 5, 7 ___, ____.

Contestación:Contestación: 9 y 11 (los n 9 y 11 (los númeroúmeros impares)s impares)

►Ej. 2:Ej. 2: 7, -7, 8,-8, 9, -9, ___, ___. 7, -7, 8,-8, 9, -9, ___, ___.

Contestación:Contestación: 10 y -10 (los n 10 y -10 (los númeroúmeros positivos s positivos y negativos)y negativos)

Fíjate que es necesario observar bien los datos para llegar a la Fíjate que es necesario observar bien los datos para llegar a la solución.solución.

Tanteo y errorTanteo y error

► Esta estrategia nos ayuda a escribir signos de Esta estrategia nos ayuda a escribir signos de ++ y y –– entre números entre números compuestos de los dígitos: 7, 3, 8, 2, 5, 0, compuestos de los dígitos: 7, 3, 8, 2, 5, 0, 6.NO NECESARIAMENTE6.NO NECESARIAMENTE

► Se podría decir: “ Tal y como el nombre sugiere, esta estrategia Se podría decir: “ Tal y como el nombre sugiere, esta estrategia permite intentar el problema de diferentes formas hasta dar con el permite intentar el problema de diferentes formas hasta dar con el resultado. Muchas veces los primeros intentos nos permiten resultado. Muchas veces los primeros intentos nos permiten acercarnos a la solución.acercarnos a la solución.

► Sugerencia:Cambiar la redacción del problema anterior a :Forma Sugerencia:Cambiar la redacción del problema anterior a :Forma números compuestos con los dígitos a continuación y únelos con los números compuestos con los dígitos a continuación y únelos con los signos de = y/o – de manera tal que el resultado sea 35. Nota: El signos de = y/o – de manera tal que el resultado sea 35. Nota: El orden no se altera y los dígitos no se repiten. Puedes unir 2 dígitos o orden no se altera y los dígitos no se repiten. Puedes unir 2 dígitos o usarlos individualmente.usarlos individualmente.

Tanteo y errorTanteo y errorSe intenta unirlos de diferentes formas para determinar cuál de Se intenta unirlos de diferentes formas para determinar cuál de

los intentos da el resultado deseado.los intentos da el resultado deseado.

1.1. 7 + 3 + 8 + 2 + 5 + 0 7 + 3 + 8 + 2 + 5 + 0 +6 = 31, No es la +6 = 31, No es la solución. Es un poco solución. Es un poco bajo.bajo.

2.2. 73 + 8 – 25 + 6 = 62, 73 + 8 – 25 + 6 = 62, No es la solución. Es No es la solución. Es muy alto.muy alto.

3.3. 7 + 38 – 25 - 6 = 14, 7 + 38 – 25 - 6 = 14, No es la solución. Es No es la solución. Es muy bajo.muy bajo.

4.4. 73 - 82 + 50 – 6= 35, 73 - 82 + 50 – 6= 35, Correcto.Correcto.

► Como puedes ver el Como puedes ver el Tanteo y errorTanteo y error es es una estrategia en la cual hay que hacer una estrategia en la cual hay que hacer varios intentos para encontrar la solución. varios intentos para encontrar la solución. Puede que lo logres en el primer intento Puede que lo logres en el primer intento pero también puede que no.pero también puede que no.

► Lo logrLo logréé en 4 intentos. ¿En cuántos en 4 intentos. ¿En cuántos intentos lograste la solución?intentos lograste la solución?

Tanteo y errorTanteo y error

Elaboración de tablasElaboración de tablas

►Con esta estrategia puedes llevar Con esta estrategia puedes llevar números, datos y combinaciones en números, datos y combinaciones en una forma organizada. una forma organizada. En estas tablas En estas tablas puedes colocar números, palabras, puedes colocar números, palabras, símbolos y cualquier otro tipo de símbolos y cualquier otro tipo de información.información.


► Ejemplo:Ejemplo: En la clase del profesor Torres se estudian En la clase del profesor Torres se estudian

los números pares e impares y la división. El los números pares e impares y la división. El profesor plantea el siguiente problema: el profesor plantea el siguiente problema: el número misterioso tiene 4 dígitos y está número misterioso tiene 4 dígitos y está entre 4230 y 4240. Por lo menos dos de sus entre 4230 y 4240. Por lo menos dos de sus dígitos son impares y todos son diferentes.dígitos son impares y todos son diferentes.

► Si la cifra es divisible entre 7, ¿cuál es el Si la cifra es divisible entre 7, ¿cuál es el número misterioso?número misterioso?

Elaboración de tablasElaboración de tablasNúmero Dos dígitos

imparesDígitos diferentes Divisibles entre 7

4231 si si no

4232 no no no

4233 si no no

4234 no no no

4235 si si si

4236 no si no

4237 si si no

4238 no si no

4239 si si no


►El número misterioso es El número misterioso es 42354235. . ►Tiene dos dígitos impares: 3 y 5. Tiene dos dígitos impares: 3 y 5. ►Todos los dígitos son diferentes 4, 2, Todos los dígitos son diferentes 4, 2,

3, 5.3, 5.► Es divisible entre 7. (al dividirlo por Es divisible entre 7. (al dividirlo por

7 da 605)7 da 605)

De atrás hacia delanteDe atrás hacia delante

►Al usar esta estrategia se Al usar esta estrategia se comienza por el final, ya que el comienza por el final, ya que el dato final es el que nos permite dato final es el que nos permite recopilar información para recopilar información para trabajar con los datos restantes y trabajar con los datos restantes y llegar a la solución del problema.llegar a la solución del problema.


► Ej.:Ej.: La serie de Baseball en Puerto Rico, La serie de Baseball en Puerto Rico, en la que los Expos jugaron con los en la que los Expos jugaron con los Gigantes, atrajo a muchas personas al Gigantes, atrajo a muchas personas al parque Hiram Bithorn. El primer día parque Hiram Bithorn. El primer día fueron 3,000 personas menos que el fueron 3,000 personas menos que el segundo día. El segundo día fueron segundo día. El segundo día fueron 2,000 personas menos que el tercer día. 2,000 personas menos que el tercer día. El tercer día fueron 18,678 personas. El tercer día fueron 18,678 personas.

► ¿Cuántas personas fueron el primer y ¿Cuántas personas fueron el primer y segundo día?segundo día?


DIAS DIAS

ASISTENCIAASISTENCIA

Primero16,678- 3,000 = 13, 678

Segundo 18,678- 2,000 = 16,678

Tercero

18,678

► El primer día fueron El primer día fueron 13,67813,678 y el segundo día y el segundo día fueron 16,678.fueron 16,678.

► Como pudieron Como pudieron observar, sólo nos observar, sólo nos daban el dato de la daban el dato de la asistencia del tercer día: asistencia del tercer día: 18,678.18,678.

► De este dato en De este dato en adelante resolvemos el adelante resolvemos el ejercicio. Por eso, esta ejercicio. Por eso, esta estrategia se conoce estrategia se conoce como “como “De atrás hacia De atrás hacia delante”delante”. .

Paso 3: Llevar el plan a Paso 3: Llevar el plan a cabocabo

► Poner en práctica el plan que ha Poner en práctica el plan que ha escogido.escogido.

Paso 4: Paso 4: ComprobarComprobar

►Verificar si los resultados son lógicos o Verificar si los resultados son lógicos o si satisfacen la situación presentada.si satisfacen la situación presentada.

AplicaciAplicaciónón del modelo de del modelo de PoylaPoyla

► EL museo de artes desea analizar qué EL museo de artes desea analizar qué materiales son utilizados en 300 obras. materiales son utilizados en 300 obras. Escogieron 5 expertos que analizarán 10 Escogieron 5 expertos que analizarán 10 obras el primer día, 15 el segundo día, 20 el obras el primer día, 15 el segundo día, 20 el tercer día y así sucesivamente. ¿Cuántos tercer día y así sucesivamente. ¿Cuántos días aproximadamente tardarán en estudiar días aproximadamente tardarán en estudiar el total de las obras?el total de las obras?


1.1. Comprender el problema:Comprender el problema: Hay 300 obras Hay 300 obras que estudiar, y los expertos las estudiarán que estudiar, y los expertos las estudiarán diariamente a razón de 10, 15, 20, etc. diariamente a razón de 10, 15, 20, etc. Quiere decir que hay un patrón de 5 obras Quiere decir que hay un patrón de 5 obras más estudiadas por cada día que pasa.más estudiadas por cada día que pasa.

2.2. Desarrollar un plan:Desarrollar un plan: Escogeré la Escogeré la estrategia estrategia Elaboración de una tabla Elaboración de una tabla y y haré 3 haré 3 columnas: la primera para columnas: la primera para díasdías; ; la segunda para la segunda para obras estudiadasobras estudiadas y la y la tercera para tercera para total de obras estudiadas.total de obras estudiadas.


3.3. Ejecutar el plan:

DIASDIAS

OBRAS OBRAS ESTUDIADASESTUDIADAS

TOTAL DE OBRAS TOTAL DE OBRAS ESTUDIADASESTUDIADAS

1 10 10

2 15 25

3 20 45

4 25 70

5 30 100

6 35 135

7 40 175

8 45 220

9 50 270

10 30 300


►Comprobar: Comprobar: Los expertos se tardaron Los expertos se tardaron aproximadamente 10 días estudiando aproximadamente 10 días estudiando las 300 obras.las 300 obras.

►Podrás notar que el décimo día no Podrás notar que el décimo día no tuvieron que estudiar 60 obras, porque tuvieron que estudiar 60 obras, porque solo le faltaban 30 obras por estudiar solo le faltaban 30 obras por estudiar para completar las 300 obras.para completar las 300 obras.


1. Hicieron una subasta en la Escuela de Artes Plásticas para construir el monumento del Parque del Nuevo Milenio. El primer día asistieron 25 estudiantes menos que el segundo día. El segundo día asistieron el triple del tercer día dividido entre 4 y el tercer día asistieron el doble del cuarto día. El cuarto día fueron (200- 80/2-100) estudiantes. ¿Cuántas personas fueron el primer día?

2. Muchas personas fueron al cine en Cayey a ver una película de estreno. El primer día asistieron 2,000, el segundo 2,500 y el tercero 3,000. Si la asistencia continúa de esta forma por semana, ¿en qué día habrán asistido ,en forma acumulativa, 19,500 personas?


3. En el pueblo de Guayama comenzó un programa de limpieza. Se decidió premiar al ciudadano que acumule 2,000 puntos. Se asignó 40 puntos por cada botella de vidrio y 15 puntos por cada botella de plástico. José acumuló 565 puntos. ¿Cuántas botellas de cada clase ha recolectado?

4. Se busca un número el cual tenga 4 dígitos, esté entre 4230 y 4240, tenga dos dígitos impares, todos sus dígitos son diferentes y es divisible entre 9. ¿Cuál es el número misterioso?

5. Usted ganaba 15,000 dólares anuales el año pasado y este año gana $17,500. De seguir de esta manera el aumento en su sueldo, ¿cuánto ganará usted de aquí a quince años más?

ResultadosResultadosContestar los problemas en oraciones Contestar los problemas en oraciones

completascompletas..díadía cantidadcantidad totaltotal

PrimeroPrimero 90 – 25 = 6590 – 25 = 65 65 65 personaspersonas

SegundoSegundo 120 x 3 / 4 = 120 x 3 / 4 = 9090

90 personas90 personas

TerceroTercero 60 x 2 = 12060 x 2 = 120 120 120 personaspersonas

CuartoCuarto 6060 60 personas60 personas

1.

ResultadosResultados

díadía cantidadcantidad cantidad cantidad totaltotal

11 2,0002,000 2,0002,000

22 2,5002,500 4,5004,500

33 3,0003,000 7,5007,500

44 3,5003,500 11,00011,000

55 4,0004,000 15,00015,000

66 4,5004,500 19,50019,500

2.

ResultadosResultados

3.3. 11 botellas plásticas11 botellas plásticas

10 batellas de vidrio10 batellas de vidrio

4.4. El número misterioso es 4,239El número misterioso es 4,239

5.5. Ganaré $55,000Ganaré $55,000

ReferenciasReferencias

Rodríguez, J.; Caraballo, A.; Cruz, T. y Hernández, O. Razonamiento matemático: Fundamentos y aplicaciones. España: International Thomson Editores, S.A. de C.V., 2000.

Angel, A. Elementary Algebra for College Students. New Jersey: Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1992.

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