1

Tema 7.-

Estimación Puntual

• En este tema pretendemos inferir información sobre una población a partir de la información contenida en las muestras aleatorias simples de tamaño “n”.

• Una de nuestras primeras necesidades es la de simplificar la información contenida en los datos muestrales.

• Definición: EstadísticoUn estadístico es cualquier función de las variables aleatorias que constituyen una muestra extraída de la población total.

1

1Sea , , muestra aleatoria .

Algunos de los estadísticos más utilizados son:

)

:

1

n

n

ii

X X

X

i Media muestra

Xn

l

=

= ∑

…

2 2 2

1

2 2

1

1

) ( - )

(1

1

1

)

:

1

n

ii

n

ii

ii Varianza cuasi varianza muestral

nS X

n

S

X

Xn

n

X=

=

= −

=

−

−

−

−∑

∑

• NOTA

• Dado que un estadístico es una v.a. (ya que es una función de variables aleatorias) podemos hablar de su función de probabilidad, que denominaremos distribución muestral o distribución en el muestreo.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

• Distribución muestral de la media

1

2

2

Sea ( , , ) . . . de una población sobre la que

se observa una característica ,de media y varianza ,

entonces:

E = V

nX X ma s

X

X Xn

µ σ

σµ =

…

La variable aleatoria sigue una distribución

de media y desviación típica

X

n

σµ

Si X sigue una distribución N(µ,σ) se verifica

,X Nn

σµ ≡

2

• Teorema Central del Límite

1

2

Sea , , m.a.s. de una v.a. con media

y varianza . Entonces:

( , ) cuando +

( , ) 30

nX X X

X N nn

X N nn

µσσµ

σµ

∞

≈ ∀ ≥

…

֏ ֏

Si la población de partida NO es Normal, cualquiera que sea la distribución de la población de partida, la distribución de las medias muestrales tiende a la Normal, a medida que el tamaño de la muestra crece.

• Distribución muestral de la cuasi-varianza

2

2

1Sea , , m.a.s. de una v.a. ( , ).

Sean y la media y cuasi-varianza muestral,

respectivamente. Entonces:

1. y son v.a. independientes

n

X S

X X X N

X S

µ σ≡…

2

2

22

12

( 1)La variable aleatoria tiene una

distribución - con -1 grados de libertad.

( 1)

2.

n

n S

ji cuadrado n

n S

σ

χσ −

−

− ≡

Nota: Algunos autores a S2 lo llaman varianza muestral

por economía del lenguaje.

1

2

Sea ( , , ) . . . de ( , )

Sean y la media y cuasi-varianza muestrales.

Entonces l

tiene una distribución

con -1 grado

a

s de libertad

variable aleator

.

ia

n

Xt

X X ma s X N

X S

de StudentS n

n

µ σ

µ−

≡…

•Otras distribuciones muestralesSi X sigue una distribución N(µ,σµ,σµ,σµ,σ) se verifica

22

12

( 1)n

n S χσ −− ≡

1n

Xt

S n

µ−

− ≡

(0,1)X

Nn

µσ

− ≡

3

• Distribución muestral de una proporción

• En una investigación estadística sólo podemos contar el número de éxitos en un experimento Binomial.

• Tenemos que estimar la proporción de éxitos.

ˆ

Sea ( , ). Deseamos estimar .

( )Sabemos que ( )

donde es el número de éxitos en los intentos

ˆ

kP k n

X B n p p

E XE X n

n

n

p

P

p

X

n

≡

= ⇒

=

=

=

ˆLa variable aleatoria sigue una distribución

(1 )de media y desviación típica .

P

p pp

n

−

Además a medida que

(siempre que no este

próximo a 0

aumenta, la distribución

ˆde se

aproxima a la

(1 )ˆ , grande

ni a

1

)

n

P Normal

p pP N p n

n

p

−≈

•Distribución muestral de la diferencia de medias

2 21 2

1 21

1 2

2

La . . tiene una distribución de media

( ) y desviación típica

Ade que y crecen, la distribu-

ción de

más, a medid

se aproxima a la .

a

v a X Y

n

n n

X Y Normal

n

σ σµ µ

−

− +

−

2 21 2

1 2 1 21 2

, y g ran desX Y N n nn n

σ σµ µ

− ≈ − +

1 2 1 2

Si las desviaciones típicas son desconocidas,

y las muestras son grandes, sustituiremos

y por y , respectivamente. S Sσ σ

•Distribución muestral del cociente de varianzas

2 2

2 21 12

1

2

2

1

2

2

2

2

21 2

Si y son las cuasi-varianzas de m.a.s. de tamaños

y respectivamente, tomadas de poblaciones

con varianzas respectivas y ,

entonces la v.a tiene una dis. t

S S

n n

norma

S

S

les

σσ

σ σ

1 2

1 2

2 21 1

1, 12 22 2

ribución

con 1 y 1 grados de libe .

rtad

n n

F de Snedecor n n

SF

S

σσ − −

− −

≡

4

• DEFINICIÓN: PARÁMETRO

Un parámetro es una característica numérica de la población que tiene un valor fijo pero que desconocemos.

La determinación de un parámetro es uno de los objetivos del proceso estadístico. Para determinar el valor del parámetro, se elige una m.a.s.y a partir de su análisis se estima el valor del parámetro que interesa.

• Es importante establecer una distinción clara entre lo que es un parámetroy un estadístico.

• Los parámetros son magnitudes constantes, inherentes a la población y no se ven afectados por las muestras extraídas de la población.

• Ejemplo: La media poblacionalµ es un parámetro.

• Un estadísticoes una magnitud que corresponde a una muestra aleatoria particular extraída de la población, y si se cambia la muestra, entonces cambiará el valor del estadístico.

• Ejemplo: La media muestral es un estadístico (no es un valor fijo, sino que hay tantas como muestras)

X

Identificación del comportamiento de una variable

Obtenida la muestra de la variable, ajustar un modelo que explique su comportamiento supone:

1. Identificar su forma

2. Estimar los parámetros de la distribución (dependerán del modelo)

• Para conjeturar la forma del modelo que explica el comportamiento de una variable aleatoria continua, se compara la forma del histograma con la función de densidad del modelo teórico.

• Una vez identificada la forma genérica de un modelo, es necesario concretar el valor de sus parámetros.

• Existen diversos métodos para la estimación de los parámetros del modelo a partir de los datos muestrales.

• ESTIMADOR Y ESTIMACIÓN

• Consideramos una población en la que observamos una v.a. Xque tiene asociada una distribución f

θ(x) donde θ es un

parámetro desconocido, y pretendemos, con la ayuda de una m.a.s. (X1 , X2 ,… , Xn ) determinar θ. Este valor se denominaráestimador puntualdel parámetro.

5

• Un estimadorde un parámetro es cualquier estadístico que calculamos con la finalidad de estimar el valor de un parámetro (es decir, un estadístico que nos permite obtener un valor aproximado de alguna característica de la población).

• Un estimador es una v.a. con su correspondiente distribución de probabilidad.

• Su valor varía de una muestra a otra.

• Una estimación es el valor del estimador para una muestra particular.

CRITERIOS DE SELECCIÓN DE UN ESTIMADOR

Para decidir cuál es el mejor estimador puntual que puede usarse de un parámetro particular, necesitamos desarrollar algunos criterios.

a) Estimadores insesgados o centrados.Una propiedad deseable de un estimador es que debe estar cerca en cierto sentido al valor verdadero del parámetro desconocido.

ˆ ˆ es insesgado para E

estimador

sesg

ˆ ˆSi E se dice que es

para . Se llamado sesga del estimador

ˆa E

o

θ θ θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

⇔ =

≠

−

b) Estimadores eficientes o de mínima varianza

Un estimador eficiente es aquel que tiene varianza (dispersión) mínima.

1 2

1 2

ˆ ˆSe dice que es más eficiente que

ˆ ˆsi V V

θ θ

θ θ <

c) Estimadores consistentes

Un estimador es consistente si la probabilidad de que el valor del estimador sea cercano al del parámetro poblacional, se aproxima a la unidad conforme aumenta el tamaño muestral

( )

ˆ estimador de basado en una . . .

de tamaño n.

ˆ es para

ˆlim 1 >

consistente

0

n

n

nn

m a s

P

θ θ

θ θ

θ θ ε ε→∞

⇔

− < = ∀

6

¿CÓMO SE OBTIENE UN ESTIMADOR PARA UN PARÁMETRO θ?

Distintos métodos:

�Máxima verosimilitud.

�Método de los momentos

�Método de mínimos cuadrados

Para tamaños muestrales grandes, los estimadores de máxima verosimilitudson insesgados, de mínima varianza y consistentes.

Estimación de parámetros

• Estimador de la media poblacional µ

1

es

1

esti

mador insesgado y consistente

de

n

ii

X Xn

X µ=

= ∑

Si X sigue una distribución N(µ,σµ,σµ,σµ,σ) ) ) ) se verifica

,X Nn

σµ ≡

• Estimador de la varianza poblacional σ2

( )2

2

2

1

2 es estimad

1

or insegado y consistent

1

e de

n

ii

S

S X Xn

σ=

= −− ∑

Si X sigue una distribución N(µ,σµ,σµ,σµ,σ) se verifica

22

12

( 1)n

n S χσ −− ≡ 1n

Xt

S n

µ−

− ≡

Nota

( )2

2 2 2

2

2

1

Si consideramos el estadístico

se verifica

que

ˆ ˆ es estimador sesgado p

1ˆ

ara

n

ii

X X

E

n

σ σ σ σ

σ=

≠ ⇔

= −

∑

• Estimador de una proporción p

ˆ

ˆ es estimador insesgado, consistente y

eficiente para

(1 )ˆ

Para grande

,

kP

n

P

p

p pP N

n

pn

=

−≈