Grado Ciencias AmbientalesFacultad de CienciasDepartamento de MatemáticasProfesor: Santiago de la Fuente Fernández

CÓMIC ESTIMACIÓN PUNTUAL

Sea ( )n,,2,1 xxx L una muestra aleatoria de ⎩⎨⎧ θ>=

θ+−

θ restoelen0xsie)x(f

x

a) Hallar el estimador por el método de los momentos de θb) Estudiar si el estimador encontrado en el apartado anterior es insesgado paraestimar el parámetro θ

Sea ( )n,,2,1 xxx L una muestra aleatoria de una población con función de densidad:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>θ>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛θ=

+θ

θ

restoelen0

11xsix1

)x(f1

a) Estimador de máxima verosimilitud de θb) Estimador de θ por el método de los momentos.

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )( )∑

∑∑

∑

=

==

=

=θ⇒=θ

⇒=−θ

=

=θ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+θ

−θθ

=θθ

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1ii

xlog

n~xlogn0xlogn

d

xlog)1(d

dlognd

dLlogd

Sea ( )n,,2,1 xxx L una muestra aleatoria de una población con función de densidad:

⎪⎩

⎪⎨

⎧>θ>

θ= θ

−

θ

restoelen0

01xsiex)x(f

2

2

2x

2

Hallar el estimador de máxima verosimilitud de θ

Sea ( )n,,2,1 xxx L una muestra aleatoria de una población con función de densidad:

⎩⎨⎧ >θ=

θ−

θ restoelen01xsiex)x(f

x2

Hallar el estimador de máxima verosimilitud de θ

Sea ( )n,,2,1 xxx L una muestra aleatoria con función de densidad

⎩⎨⎧ >θ<<θ=

−θ

θ restoelen001x0six)x(f

1

a) Hallar el estadístico suficienteb) Estimador de máxima verosimilitud de θc) Estimador por el método de los momentos de θ

Supongamos que se realizan n observaciones independientes de una variable aleatoria X confunción de densidad:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤θ=

−θ

θ

restoelen0

1x0six1)x(f

11

a) Hallar el estimador de θ por el método de los momentosb) Estimador de máxima verosimilitud de θc) Estimador de máxima verosimilitud de ( )21XP <θ

c) θ

θ

θ−θ

θ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ=

θ=< ∫

121

0

1

11121

0 21x1dxx1)

21X(P de donde

∑∑

−−θ

θ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=< ii xlog

n

nxlog

1ˆ1

21

21

21)

21X̂(P

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