EstimaciEstimacióón de los Efectos de Sitio n de los Efectos de Sitio usando Ruido Susando Ruido Síísmicosmico

Francisco J. SFrancisco J. Sááncheznchez--SesmaSesma, M. Rodr, M. Rodrííguez, guez, M. Perton, M. Suarez y A. RodrM. Perton, M. Suarez y A. Rodrííguezguez--Castellanos Castellanos

Seminario de Modelación Matemática y Computacional

27 de marzo de 2009

Plan de la presentaciPlan de la presentacióónn1.1. Coda Coda Ondas con difracciOndas con difraccióón mn múúltipleltiple RuidoRuido

2.2. DifracciDifraccióón mn múúltiple ltiple RRéégimen difusivogimen difusivo

3.3. EquiparticiEquiparticióón n Im [Func. de Green] = correlacionesIm [Func. de Green] = correlaciones

4. Teorema de representaci4. Teorema de representacióónn

5.5. AutocorrelaciAutocorrelacióón = Im [funcin = Im [funcióón de Green en la fuente]n de Green en la fuente]

7. Casos sencillos (semiespacio, estrato, cu7. Casos sencillos (semiespacio, estrato, cuñña)a)

8. 8. ConclusionesConclusiones

Coda sísmica, ruido sísmico ambiental -Campos ‘aleatorios’, Campos difusos

Coda sCoda síísmica, ruido ssmica, ruido síísmico ambiental smico ambiental --Campos Campos ‘‘aleatoriosaleatorios’’, Campos difusos, Campos difusos

Comunmente se acepta que el ruido obscurece y que no contiene información útil. De hecho, la intuición sugiere que el esparcimiento (scattering) múltiple de las ondas las hace ininteligibles.

Regímenes de propagación y decaimiento de la densidad de energía

50 m apertura

Campillo et al. (1999); Shapiro et al. (2000)

RTE Monte Carlo

Ecuación de difusión

Margerin, Campillo y van Tiggelen (2001)

Teorema de RepresentaciTeorema de Representacióón de Tipo Correlacin de Tipo Correlacióónn

Ar

Brr

Weaver & Lobkis (2004), Wapenaar (2004), Van Manen, Curtis & Robertson (2006)

Correlación

[ ] {}dSTG

TGG

AliBjl

BljAilBAij

),(),(

),(),(),(Imi2*

*

rrrr

rrrrrr

−

−= ∫

SPAC (SPAC (AAuto uto CCorrelaciorrelacióón En ESPSPectral )ectral )

En 1957 K. Aki mostrEn 1957 K. Aki mostróó que que el promedio azimuthal del el promedio azimuthal del coeficiente de correlacicoeficiente de correlacióón n espacial de un campo espacial de un campo escalar estescalar estáá dado pordado por

))(

(),,0(),,(

21

0

2

0 ωωθ

ωθφωθφ

π

π

crJdr

=∫

ckkr(ωr /),cosiexp()),,( ωθωθφ =−Φ=

aquaquíí JJ00 = funci= funcióón de Bessel n de Bessel de primera especie y orden de primera especie y orden cero. De esta manera se cero. De esta manera se Puede Puede ““invertirinvertir”” c(c(ωω).).

∫=π

θθφπ

φ2

0

),(21)( drrKeiiti Aki

(1930-2005)

SPACSPACEn este mEn este méétodo se buscan las velocidades de las ondas superficiales todo se buscan las velocidades de las ondas superficiales

para encontrar la estructura. para encontrar la estructura.

Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciaSe supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales les para hacer el promedio azimutal.para hacer el promedio azimutal.

Si ademSi ademáás el ruido es iss el ruido es isóótropo, se puede obtener el mismo resultado tropo, se puede obtener el mismo resultado con scon sóólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos lo dos estaciones apilando las correlaciones por largos periodos de tiempo.periodos de tiempo.

ConsidConsidéérese una onda plana:rese una onda plana:

))cos(iexp()(),,( 0θθωθ −−= krωFru

0cos*

)()()()( θikre

QuPuQuPu +=

r

P

0cos*

θikrBA

BA

euu

uu −=

Q

θθο

x

yCoherencia

( )krJdeeQuPuQuPur ikrikr

0

2

00

coscos*

00

21

)()()()(),( ==== ∫

πθθ θ

πωρ

( )∫ ∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞

=

π

θθεπ

2

00

00cosi

21 dmkrJ

mm

mm

Promedio azimutal de Promedio azimutal de la correlation con la correlation con respecto al respecto al áángulo de ngulo de incidenciaincidencia

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

βω

βω

μβω

μrJrYrHG 00

)2(0 i

41

i41

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Η

−=

βωω

βωω

μω rJirJrG 00 )sgn()sgn(

41),(

CausalidadCausalidad

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

βω

μrHG )2(

0i41

β/r

2222

1

β

βπμ rt

rtHG

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=

t

tβ/r

β/rG/2

(Im, Re)(Re)

(Im)

β/r−

A partir del Teoremade Representación

Sánchez-Sesma et al,WAVE MOTION (2008)

A partir del Teorema de Representación

[ ] { }∫Γ

Γ−−= ξξξξξ dTGTGG imniinmimn ),(),(),(),(),(Imi2 **ABBABA xxxxxx

[ ]),,(Im4),(),( 2* ωωω BABA xxxx ijSji GkEuu −−=

El promedio de las correlaciones cruzadas proporcional a Im[Gij(xA,xB)]

),,(),,(),,( τττ

τ−−=

∂∂ BAGBAGBAC

Colin de Verdière Teorema Fluctuación-Disipación

Se puede demostrar que

R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87, 134301 (2001)

O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diffuse field, J. Acoust. Soc. Am., 110, 3011-3017 (2001)

R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Elastic wave thermal fluctuations, ultrasonic waveforms by correlation of thermal phonons, J. Acoust. Soc. Am., 113, 2611-2621 (2003)

Experimentos con ruido tExperimentos con ruido téérmicormico

Campillo & PaulCampillo & PaulScienceScience (2003)(2003)

Experimentos con coda sExperimentos con coda síísmicasmica

[ ]),,(Im]),,(Re[ 1111 ωωωω ωAAAA xxxx GeiG ti =×

Significado físico de la parte imaginaria de la Función de Green en la fuente

La parte imaginaria de la Función de Green en la fuentes proporcional a la potencia inyectada al medio por lacarga unitaria armónica.

)],(Im[4)()()( 1*2AAAAA xxxxx mmSmm GkEuuE ×−== −πμρω

Semiespacio. Problema SH antiplano.Semiespacio. Problema SH antiplano.

{ })'()(i41),( )2(

0)2(

022 krHkrHG +=μBA xx

( ))()(4

1)],(Im[ ,0022 krJkrJG +

−=

μBA xx

( ))2(1),( 0 zkJEzE +×= ∞ω

Un estrato 2D. Ondas SH antiplanasUn estrato 2D. Ondas SH antiplanas

z

xh

Fuente-Receptor ...})3(2)2(2)(21{2

1)]0,0(Im[ 00022 +±+±−

= ωτωτωτμ

JJJG

βτ /2h=

∑∞

=

−

−

−−=

022

122

)/()/()2()]0,0(Im[

nn

nfnfHGττεμπτ

...})3(2)2(2)(2)0({21Re)]0,0(Im[ )2(

0)2(

0)2(

0)2(

022 +±+±−= ωτωτωτμ

HHHHG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

βω

μrHG )2(

0i41

β/r

2222

1

β

βπμ rt

rtHG

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=

t

tβ/r

β/rG/2

(Im, Re)(Re)

(Im)

β/r−

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

Frequency [Hz]

Nor

mal

ized

Am

plitu

des

G22

(0,0,ω)

Transfer Function

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [sec]

Non

Ca

usa

l Re

spo

nse

F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}

Estrato 2D . OndasEstrato 2D . Ondas PP--SVSV

z

x)

Π / 2N

)]2/)12(cos(exp[)1()(),0,(2/)1(

00 NjNikxvxv

NM

j

jjM −−−−= ∑

−=

=− πεωω

⎩⎨⎧

+=

−=

−= ∑−

=

−

impar ,2/)1(par ,2/

,)/cos1(2

,)()1()2();0,;0,(12

0

)2(0

1

llll

m

NmxR

kRHixxG

l

N

ll

m

π

μω

Función de Green

Función de Transferencia

N=101 0.9 o

Q=50

Función de Transferencia

Fuente = Receptor

Im[G(x,0;x,0)]

N=31 6 oQ=50

Im[G(x,0;x,0)]

Fuente = Receptor

Función de Transferencia

2 4 6 8 10 12 14 16 180

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Frequency [Hz]

Nor

mal

ized

Am

plitu

des

ωxIm[G(0, 0)]

)/(sin)/(cos)/(sin)/(cos

})1(1{)()];0,0(Im[

222

22

1

chchchchA

AcG

ωξωωξω

ξρωω

×+×−

=

−−−=× −

⎩⎨⎧

=

=

11

33

for ,for ,

,

G G

c

cc

HSHS

βαρρξ

ωxIm[G11]

ωxIm[G33]

<WxW*>

<UxU*>

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

Frequency [Hz]

Am

plitu

des

ImG22(0,0) and Transfer Function

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

Frequency [Hz]

Am

plitu

des

ImG22(0,0) and Transfer Function

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20

25

Frequency [Hz]

Am

plitu

des

ImG22(0,0) and Transfer Function

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

G22

FuncdeTransf

<uu*>

El ruido en la Tierra se genera en los oceanosEl ruido en la Tierra se genera en los oceanos

Ruido Artificial Vasconcelos Ruido Artificial Vasconcelos et al. et al. ((EOSEOS 2008)2008)

ConclusionesLa coda y el ruido sísmicos suelen exhibir propiedades difusivas

En un campo difuso la isotropía conduce a la equipartición

Se ha identificado equipartición en la coda de sismos

<U(P)U*(Q)> = Jo(kr) = Im[G(P,Q)] Aki (1957)

Si hay iluminación de fondo con isotropía y equiparticiónse demuestra que para medios elásticos heterogéneos:

Si P y Q coinciden se encuentra que la densidad de energía en un campo difuso en promedio está ligadas a la función de Green

Esto implica que el ruido sísmico permite estimar los efectos de sitio

( ))()()()(

),(Im*

QPQuPu

QPG jiij uu

∝

Gracias por su atención