modelación matemática y computacional de transporte de...
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Modelación Matemática y Computacional de Transporte de Contaminantes
Curso de Modelación de Flujo y Transporte en Acuíferos
Instituto de Geofísica de la UNAM
31 de mayo de 2010
presenta
Dr. Guillermo de Jesús Hernández García,
Instituto de Geofísica, UNAM
2
Índice
1. Introducción. Formulación de la ecuación del Transporte en medios porosos
2. Transporte advectivo y ley de Darcy3. Dispersión y retardación4. Retardación y reacciones Químicas5. Modelo matemático y su solución6. Solución numérica del Transporte advectivo. 7. Solución del Transporte Advectivo-Dispersivo. 8. Experimentos numéricos
3
1. Introducción
Transporte en medios porososEl soluto existe solamente en el volumen de los poros de la matrizsólida, el cual constituye una fracción del mismo. Así, la masa del soluto, Ms(t), está dada por:
La propiedad intensiva asociada a la masa del soluto es el integrando en el segundo miembro de esta ecuación; es decir, el producto de la porosidad por la concentración del soluto.
, ,
donde: ( , ) es la porosidad
( , ) es la concentración del
soluto en el fluido
S
B t
M t x t c x t d x
x t
c x t
4
1. Introducción
La ecuación global de balance para la masa de un soluto es:
, ,
equivale a dos ecuaciones, que deben satisfacerse simultáneamente:
la ecuación diferencial de balance local:
Sss
B t B t
dMt g x t d x x t nd x
dt
v
y la condición de salto correspondiente
v v 0;
Esta última se aplica cuando el sistema tiene discontinuidades,
pues cuando no las hay ella se satisface automáti
Ss
s
cc g
t
c n x
camente.
5
1. Introducción
Los procesos del transporte en un medio poroso
Son:
advección,
la difusión,
procesos no conservativos (es decir, que alteran la conservación de masa).
6
2. Transporte advectivo y ley de Darcy
La advección está asociada a la velocidad de las partículas, por lo que a esta última se le refiere también como ‘velocidad de advección’, o ‘advectiva’. Esto, para distinguirla de la velocidad de Darcy, también utilizada en los estudios de fluidos en medios porosos.
7
2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTÍCULA Y TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO
La razón de flujo a través de la sección de arena es:
Donde
Q es la razón de flujo, volumen por unidad de tiempo
K es la conductividad hidráulica,
h1 es la carga aguas arriba y h2 es la carga aguas abajo
La ecuación es una forma de la ley de Darcy
1.212
L
hhKAQ
8
2.1 VELOCIDAD PROMEDIO DE PARTÍCULA Y TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO
Ahora podemos definir la velocidad de filtración promedio, v
También se usará la velocidad de Darcy, q
2.7
2.8
K dhv
dl
Q dhq K
A dl
9
2.2 GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACIÓN DE FLUJO DE AGUA SUBTERRÁNEA
La velocidad de filtración
promedio es el vector de
velocidad de Darcy dividida
por la porosidad efectiva
2.14
2.15
xx
y
y
zz
qv
qv
qv
qv
10
2.2 GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE DARCY Y ECUACIÓN DE FLUJO DE AGUA SUBTERRÁNEA
En términos de la carga, la formulación del flujo de
agua subterránea para densidad y viscosidad
uniformes, toma la forma de la ecuación diferencial
parcial siguiente
16.2t
hSq
z
hK
zy
hK
yx
hK
xsszyx
11
2.3 TRANSPORTE ADVECTIVO2.3.1 Aproximación Euleriana al transporte advectivo y consideraciones del balance de masa
Del análisis en tres dimensiones se
obtiene la siguiente forma alternativa:
2.30
En forma vectorial:
2.31
2.32
o más exactamente
sx y z s
ss
si s
i
x y
q Cv C v C v C C
x y z t
q C- C C
t
o
q Cv C C
x t
q C qx y
v
2.33z s s
CC q C q C
z t
12
Seguimiento de Partículas y Derivada Material
( ) ii i
i i i
vCv C v C
x x x
i s
i
v q
x
Este método consiste en valuar la concentración asociada a las partículas
individuales del fluido, usando el campo de velocidades del fluido de alguna
región de interés.
En el caso de flujo estacionario se tiene que:
Si sustituimos la ecuación anterior en la de transporte advectivo:
( )si s
i
qDC C Cv C C
Dt t x
13
Dispersión
* En matemáticas, dispersión significa el grado de distanciamiento de un conjunto de valores respecto a su valor medio.
* En física, dispersión es el fenómeno por el cual un conjunto de partículas que se mueve en una dirección determinada rebota sucesivamente con las partículas del medio por el que se mueve hasta perder una dirección privilegiada de movimiento.
* La teoría del transporte dispersivo o de dispersión hidrodinámica, abordalos efectos de la diferencia de las velocidades individuales de las partículas dela velocidad promedio de filtración.
3
14
Transporte y transferencia de masa dispersivo
15
Suma de los dos componentes. Dispersión transversal y dispersión longitudinal
16
Analogía entre transporte dispersivo y difusión molecular.
Difusión Iónica. a) Solución salina y agua destilada separada por una placa,
b) distribución iónica cuando la placa es removida, c) distribución iónica en
un tiempo t1después de que la placa fue removida, d) distribución iónica
final.
Ley de la difusión de Fick
2 1
La expresión para el
transporte difusivo es:
Donde es el coeficiente
de difusión molecular
Usando la notación en derivadas
y dividiendo ambos lados entre A:
donde es el flujo de
D
D
C CF DA
l
D
CF D
l
F
masa difusivo
17
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersión en dos dimensiones
En el transporte por fluidos en medios porosos la matriz de difusión se construye agregando dos procesos difusivos:
La difusión molecular, debida a los movimientos brownianos, que a nivel microscópico efectúan las moléculas del soluto y del fluido;
La difusión mecánica, debida al carácter aleatorio del medio poroso.
En consecuencia el tensor de dispersión hidrodinámica, es la suma del tensor de dispersión molecular y el tensor de dispersión mecánica:
donde
Tensor de dispersión hidrodinámica
Tensor de dispersión molecular
Tensor de dispersión mecánica
m M
m
M
D D D
D
D
D
18
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersión en dos dimensiones
es un tensor isotrópico dado por
donde <1 es la tortuosidad del medio poroso y
es el coeficiente de difusión del soluto
en el fluido
m
m
ij d ij
d
D
D D
D
19
Flujo dispersivo y coeficiente de dispersión en dos dimensiones
El tensor de dispersión mecánica se caracteriza por ser una matriz anisotrópica con eje de simetría en la dirección de la velocidad del fluido y cuyos valores propios son proporcionales a la magnitud de la velocidad
( )
es el coeficiente de dispersividad mecánica longitudinal
es el coeficiente de dispersividad mecánica transversal
i jM
ij T ij L T
L
T
v vD v
v
20
Ecuación diferencial del transporte con advección y dispersión en un medio poroso
Para los procesos de difusión, el campo vectorial del flujo de masa
está dado por la Ley de Fick para medios porosos:
,
la ecuación diferencial de balance local es:
v
Sustituye
s
S s
x t D c
cc g
t
sndo :
v
Esta es la ecuación que describe el transporte advectivo dispersivo de solutos
que incluye fuentes o sumideros internos (Herrera, 2008).
Otros autores (Zheng y Bennett, 2002
s
cc D c g
t
), en Hidrogeología lo presentan así:
s s
CqC D C q C
t
21
Figura que ilustra el efecto de la dispersividad en transporte de solutos en un campo de un flujo de dos
dimensiones. La velocidad de filtración es de 0.33 m/día y alineada con el eje x. Los desarrollos de una pluma
desde una fuente constante con una concentración relativa de 1.0.
En (a) se muestra la configuración de la pluma a 500 dias con la dispersión igual a 1 y 0.3 m longitudinal y
transversalmente respectivamente. La pluma es relativamente pequeña, y el sistema transporte es dominado
por la advección.
En (b), la dispersión longitudinal y transversal son incrementadas por dos ordenes de magnitud, resultando en
una considerable mayor pluma dispersiva.
En (c), la dispersividad longitudinal es la misma que en (b), sin embargo, la dispersividad transversal es
solamente una decima parte que en (b). Como un resultado, la pluma formada en (c) es de más elongación y
estrecha que en (b).
22
El efecto de las reacciones químicas en el transporte de solutos es incorporado generalmente en la ecuación de advección-dispersión
Término “Chemical sink/source”
Éste término puede ser formulado para cada especie o componente químico de interés.
Representa la tasa de cambio en la masa del soluto de una especie particular debido a N reacciones químicas.
4. TRANSPORTE CON REACCIONES QUÍMICAS
23
Para el transporte con reacciones químicas se consideraran varios tipos de reacciones que son frecuentemente incorporadas en los modelos de transporte advectivo-dispersivo
Una de ellas, equilibrio controlado o reacciones con una tasa de SORCIÓN limitada, la cual involucra la transferencia de masa ente la fase disuelta y la matriz sólida del medio poroso
Otras, como decaimiento radioactivo, biodegradación aeróbica y anaeróbica, entre otros.
24
Sorción con Equilibrio Controlado Proceso de Sorción
Cuando un medio poroso está saturado con agua conteniendo materia disuelta, sucede frecuentemente que ciertos solutos son removidos de la solución e inmovilizados en o sobre la matriz sólida del medio poroso por fuerzas químicas o electrostáticas. (el proceso contrario es conocido como desorción)
Éste proceso involucra adsorción y absorción
25
Isotermas de sorción y la representación de sorción en las ecuaciones de transporte
En un experimento el agua en la
arena es desplazada repetidamente,
y en cada ciclo la concentración va
aumentando, cada equilibrio dará
una fase sorbida y una fase disuelta
: gráfico de la concentración en la fase disuelta
versus la concentración en la fase sorbida
a temperatura constante. Para químicos de interés
se puede describir por una ecuación.
la pendie
a
f
Isoterma
C K C
1
nte de la isoterma es dada por:
y en función de cada químico en cada medio poroso
a
f
f
CK aC
C
K a
26
Isoterma Freundlich : para ciertos químicos,
generalmente concentraciones bajas la
sorción es gobernada por ésta isoterma,
donde a es 1 y Kd es el coeficiente de
distribución [l/kg].Sorción infinita
Isoterma Lagmuir donde S es la
máxima capacidad de Sorción
27
Concepto de retardo
Caso de laboratorio (Cherry et al., 1984)
28
Caso hipotético de campo (Cherry et al., 1984)
29
Ec.
4.8
AsumiendoReacomodando los términos
30
Factor de retardoAsumiendo un comportamiento
no lineal de la Isoterma de
Freunlinch
Asumiendo un comportamiento
no lineal de la Isoterma de
Langmuir
31
Cuando las reacciones químicas tienen decaimiento
radioactivo, hidrólisis o alguna de las formas de
biodegradación, puede ser caracterizado como
un proceso irreversible de primer orden
Cte. de velocidad de reacción o
decaimiento
CC
t
32
Concentración vs. Tiempo en un proceso irreversible de primer orden. λ es la constante de primer orden
33
Para las reacciones irreversibles de primer orden la fórmula se
describe:
Asumiendo que no hay cambio de porosidad con el tiempo, se
puede obtener una ecuación general para el transporte advectivo-
dispersivo incorporando el equilibrio controlado por la sorción y
los procesos irreversibles de primer orden
1 2
1
N
n b
n
CR b C C
t
1 2
1
2
( )
Cte. de velocidad de reacción de fase disuelta
Cte. de velocidad de reacción de fase sorbida
ij i s s b
i j i
C CR D q C q C C C
t x x x
34
5. MODELO MATEMÁTICO Y SU SOLUCIÓN
5.1 El modelo matemático de transporte de soluto.
Las ecuaciones diferenciales parciales descritas son llamadas ecuaciones gobernantes; rigen y describen el transporte y transformaciones de soluto.
Para obtener una solución única, en cualquier ecuación diferencial parcial, y aplicarla como ecuación gobernante, hay que agregar información sobre:
1. las condiciones iniciales que especifican el estado inicial de soluto en el sistema
2. Las condiciones de frontera que controlan el modo en el área en cuestión.
35
5.1.1 Ecuaciones Gobernantes
De la ecuación diferencial parcial que rige el transporte tridimensional con un solo
constituyente químico de las aguas subterráneas, teniendo en cuenta la advección,
dispersión, sorción de equilibrio controlado y reacción irreversible de primer orden:
MODELO MATEMÁTICO Y SU SOLUCIÓN
36
Las ecuaciones que rigen el transporte están vinculados a la ecuación que rige el flujo a través de
la Ley de Darcy:
Donde h es la carga hidráulica, que se obtiene a partir de la solución de la ecuación que rige para
tres dimensiones el flujo de las aguas subterráneas totalmente saturadas:
Tensor de la
Conductividad
hidráulica
Valor especifico
De almacenamiento
En medio poroso
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Suponiendo que los cambios en la concentración de soluto dado por la solución de la
ecuación de transporte causan una variación insignificante en la densidad del agua, la
ecuación de flujo y la de transporte de soluto se pueden resolver independientemente. Esta
aproximación DESACOPLADA es eficiente computacionalmente y ha sido implantada en
varios códigos de transporte comúnmente usados, como el MOC (Konikow and
Bredehoeft, 1978) RANDOM WALK (Prickett, 1981), MT3D (Zheng, 1990),
MODFLOW-SURFACT (HGL, 1996).
En un problema en el que el soluto de interés está presente en concentraciones baja, al
igual que en muchas situaciones que afecta el materia de contaminación por productos
químicos orgánicos, la densidad puede ser generalmente considerada constante y el flujo
de transporte y ecuaciones se pueden resolverse independientemente.
MODELO MATEMÁTICO Y SU SOLUCIÓN
38
La ecuación de flujo, que a menudo se expresa en términos de presión, se resuelve para un primer
paso de tiempo, aplicando una supuesta distribución de la densidad para ese paso.
Las velocidades son calculadas y usadas en la ecuación de transporte para obtener una primera
aproximación de la concentración de soluto al final del primer paso.
Estas concentraciones de soluto se utilizan para desarrollar una versión actualizada de la densidad
del agua sobre el terreno, que a su vez se utiliza como insumo en la nueva solución de la ecuación
de flujo en el primer paso.
Este proceso es seguido iterativamente hasta que una distribución de presión y de concentración
final se obtienen para el final del primer paso de tiempo. El procedimiento se repite en el segundo
tiempo y posteriores pasos.
Si el movimiento de soluto predicho por la ecuación de transporte causa cambio significativo en
la densidad del agua, las ecuaciones de flujo y transporte deben ser resuelto como UN SISTEMA
ACOPLADO.
Esta aproximación ha sido implementada en varios códogos multipropósito de transporte, como
el SUTRA(Voss, 1984), HST3D(Kipp, 1987), CFEST (Gupta et al., 1987), SWiFT/386 (Ward,
1991), FEMWATER (Lin et al., 1997).
MODELO MATEMÁTICO Y SU SOLUCIÓN
39
5.1.2 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales son una parte integral del modelo matemático que describe el
cambio transitorio de la concentración de soluto en el agua subterránea, y debe ser
especificado antes de la solución del modelo matemático puede ser intentado. La condición
inicial en forma general puede escribirse como
Cuando C0 (x, y, z) indica una concentración conocida de distribución y Ω denota todo el
dominio de interés.
Un caso especial de la ecuación (5.5) (fig. 5.1 (a)) es
Donde la concentración inicial en el campo de interés es cero en todas partes. Muchos de los
problemas de transporte tiene como objetivo evaluar el impacto de posibles fuentes
contaminantes tienen este tipo de condición inicial
40
5.1.3 Condiciones de frontera
La solución del modelo matemático también requiere condiciones de frontera. En general,
hay tres tipos de condición de frontera en los modelos de transporte:
1. Las concentraciones se especifican a lo largo de una frontera; llamada condición de
Dirichlet,
2. Se especifican los gradientes de concentración a través de una frontera; condición de
Neumann, y
3. Las dos concentraciones, a lo largo de una frontera y la concentración de gradientes a
través de esa frontera se especifican, rindiendo una combinación de 1 y 2, llamada la
condición de Cauchy.
41
5.1.4 Solución del modelo matemático
El proceso de formulación y de la solución de un modelo matemático que se conoce
como modelación matemática.
Los métodos para la obtención de la solución de un modelo matemático se puede dividir
en dos clases, analíticos y numéricos, un híbrido de estas dos clases no es poco común.
Los métodos de analíticos producen soluciones exactas de las ecuaciones diferenciales
gobernantes; los métodos numéricos aproximan las ecuaciones diferenciales mediante
un conjunto de ecuaciones algebraicas.
En general, soluciones analíticas sólo puede obtenerse en virtud de la simplificación de
muchos supuestos, tales como un campo de velocidades unidireccional, de un conjunto
de propiedades de transporte uniforme, una simple corriente de dominio de la
geometría, y un simple patrón de los sumideros y fuentes de distribución.
Por estas razones, las soluciones numéricas, que son capaces de aproximar condiciones
más generales, son más ampliamente utilizados en aplicaciones de campo.
El centro de atención en general es de las soluciones numéricas problemas de transporte
de soluto, o de la modelación computacional.
42
6. Simulación del Transporte Advectivo
El transporte advectivo está relacionado con el movimiento de los solutos a la velocidad de filtración promedio del agua subterránea.
En la mayoría de las situaciones de campo, el termino de transporte advectivo es mas grande que el termino dispersivo, y un cálculo puramente advectivo es una buena primera estimación para el movimiento de los solutos.
Cuando la sorción debe ser considerada, el cálculo puede ser reducido a una forma puramente advectiva, introduciendo el factor de retardo.
43
En forma Euleriana, la ecuación de transporte con únicamente advección sería:
Ésta ecuación puede ser resuelta usando métodos numéricos estándar (ej. métodos de diferencias finitas o elementos finitos), basados en el principio de conservación de masas. Sin embargo poseen problemas numéricos.
Ec.(6.1)
Introducción
44
El transporte advectivo puede ser resuelto más
efectivamente usando métodos basados en una
aproximación Lagrangiana:
Es ésta aproximación el fluido es visto como un
ensamble de un número infinito de partículas de fluido,
la cual representa una porción infinitesimal del fluido.
En éste caso C esta asociada con una partícula y
D( )/Dt denota la derivada material
Introducción
(6.2)
45
Método de Seguimiento de Partículas
Éste método es el mas general para calcular las
trayectorias de las partículas de soluto con transporte
advectivo.
Si la densidad del fluido es uniforme, las trayectorias
de contaminantes bajo advección coincide con las
trayectorias del flujo de agua subterránea, y son
gobernadas por la siguiente ecuación
46
La Ec.(6.3) es una ecuación diferencial de primer orden, por tanto la
solución de ésta para un tiempo t expresando la ubicación de la
partícula sería:
Seguimiento de Partículas
(6.3)
(6.4)
Es el vector de posición
Es el vector de velocidad de filtración
47
1. Si la distribución de velocidad es suficientemente
simple, la ecuación puede ser integrada directamente
2. En caso de que no, es necesario algoritmos de
integración. Un procedimiento numérico general es
definir una posición inicial de una partícula a un t=to,
y encontrar posiciones subsecuentes en pasos de
tiempo finitos.A ésta forma de solución se le llama
“Seguimiento de partículas”
Seguimiento de PartículasEc.(6.4)
48
Los efectos de sorción acoplados con el transporte
advectivo son representados usando un retardo en la
velocidad, por tanto las ecuaciones 6.3 y 6.4 se pueden
reescribir:
Ec.(6.5)
Ec.(6.6)
Seguimiento de Partículas
49
Interpolación de Velocidad
Para darle solución a la ecuación 6.4 se requiere evaluar el
campo de la velocidad (v) en un punto arbitrario (x,y,z) y en
un tiempo t.
Si existiera una solución analítica , la velocidad v, sería
conocida en cualquier punto, sin embargo un modelo de flujo
numérico es usado para resolver ésta distribución y en éste
caso la velocidad es conocida en solo ciertas locaciones y
tiempos.
Por ello un esquema de interpolación debe ser usado para
obtener las velocidades en puntos y tiempos arbitrarios.
50
Referencias y ejemplos de interpolación de
velocidad.
Discusiones sobre el método de diferencias finitas se
pueden encontra en publicaciones como: Prickett and
Lonnquist (1971), Bennett (1976), y Wang y Anderson
(1982) para nivel intriductorio. Para nivel intermedio a
avanzado: Peaceman (1977), Huyacorn y Pinder
(1983), Kinselbach (1986), y Bear y Verruijt(1987)
Varios códigos bien documentados han tenido un
amplio uso: el código PLASM (Prickett y Lonnquist,
1971), el código USGS 2D/3D (Trescott et al., 1976), y
el USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh,1988)
51
Centrado en el bloque: la
región está dividida en celdas o
bloques alrededor de cada
nodo. Las propiedades
hidráulicas son específicas para
cada celda y son uniformes en
cada una
Centrado en la malla: Los
nodos están localizados en la
intersección de las mallas. Las
propiedades de transmisividad
son diferentes
52
Interpolación en 3D
El procedimiento para
interpolación de
velocidad puede ser
extendido a la
dimensión vertical
53
54
Modelo de flujo con Elementos finitos
Éste método también ha sido ampliamente usado en la simulación de flujo en agua subterránea. Comparado con el método de diferencias finitas, éste ofrece una mayor flexibilidad en la discretización espacial a cambio de una mayor complejidad matemática.
En la malla 2D para elementos finitos, el régimen de flujo es dividido en subdominios, generalmente triangulares o cuadriláteros.
55
La intersección de las
líneas constituyen los
nodos. Las propiedades
hidráulicas se asumen
uniformes en toda el
área del elemento.
Éste tipo de modelos
normalmente usan un
sistema de coordenadas
local para facilitar el
cálculo relativo a los
elementos individuales.
56
La distribución de la carga dentro de un elemento e,
h(x,y) puede ser expresado como:
La velocidad dentro del elemento e puede ser obtenida
derivando la anterior ecuación:
Método elementos finitos
57
Para una malla cuadrilátera
(x,y), puede ser
transformado en un
elemento rectangular
cambiando a unas
coordenadas locales
58
Cordes y Kinzelbach (1992) proponen un esquema que divide cada
elemento triangular en cuatro subtriangulos. Un único flujo y
velocidad de filtración es asociado con cada subtriangulo y puede
ser calculado a través del balance de masa, demostrando así un
significativo mejoramiento en la aproximación a la velocidad.
59
El método de elementos finitos es discutido en varias referencias muy completas, como las de Zienkiewicz (1977), Pinder y Gray (1977), Huyakorn y Pinder (1983), Wang y Anderson (1982) e Iztok (1989).
Algunos de los códigos más ampliamente usados son: AQUIFEM (Wilson, et al.,1979), SUTRA (Voss,1984), FEMWATER (Yeh y Ward, 1980) y FEFLOW (Kaiser, 1998)
60
• Comunmente los códigos de seguimiento de partículas se basan en la solución semianalítica de los códigos USGS MODPATH (Pollock 1989, 1994) y el código USEPA WHPA (Blandford y Huyakorn, 1991).
• MODPATH fue diseñado para utilizar la solución del código USGS MODFLOW (McDonald y Harbaugh, 1988; Harbaugh y McDonald, 1996).
• WHPA es una colección de soluciones analíticas y numéricas para delimitar áreas de protección de pozo. Incluye el codigo seguimiento de partículas, GPTRAC, que se basa en la solución semianalítica y puede aceptar la solución de la carga, ya sea un bloque centrado con diferencias finitas de flujo o un cuadrilátero con elementos finitos para flujo.
• Ambos MODPATH y WHPA están disponibles fácilmente en la Red.
6.5 Códigos generales de seguimiento de partículas
61
• El rastreo de partículas basado en la solución numéricaincluye GWPATH (Shafer, 1987), FLOWPATH (Franz y Guiguer, 1990), y PATH3D (Zheng, 1989).
• GWPATH utiliza el cuarto orden de Runge-Kutta y el método está diseñado para aceptar el estado de la carga de una solución de dos dimensiones como el código de modelo de flujo del PLASM (Prickett y Lonnquist, 1971).
• FLOWPATH es un código bidimensional de flujo estado de estable y de seguimiento de partículas. El componente de rastreo de partículas se basa en el método de Euler con control adaptable de dimensiones de los pasos.
• PATH3D acepta ya sea soluciones del estado estable o de transitorio de la carga desde MODFLOW o cualquier modelo en diferencias finitas de bloque centrado.
7.
Simulación de transporte advectivo-dispersivo
63
7.1 METODOS EULERIANOS
Método de diferencias finitas
Éste método es un método numérico bien establecido
que ha sido aplicado tanto en la modelación de flujo y
transporte.
Las teorías y técnicas de solución han sido presentadas
en varios libros: Remson et al 1971; Peaceman ,1971;
Wang and Anderson, 1983; Huyakorn and Pinder,
1983; Kinkelbach 1986; Bear y Verruijt,1987.
64
Discretización espacial y temporal
Consideremos un problema que involucra flujo
advectivo-dispersivo en una campo de una dimensión.
Con condiciones iniciales C(x,0)=0 y condiciones de
frontera C(0,t)=C0 t>0 y ∂C(∞,t)/∂x=0 t>0
65
La ecuación vista anteriormente puede ser aproximada
con ecuaciones de diferencia finita. Para ello, dividimos
el dominio en un enrejado de diferencias finitas
1(Opción) Con mismo ancho y nodos centrados en la
celda “Central Scheme”.
Discretización espacial y temporal
66
El primer término de la ecuación puede ser aproximado
al nodo j por
Donde ∂C/ ∂x representa los gradientes de concentración
a la derecha e izquierda de la celda j y son aproximadas
por los términos (Cj-Cj-1)/Δx y (Cj+1-Cj)/Δx
67
El segundo término de la ecuación 7.2 puede ser
aproximado al nodo j por
Donde Cj+1/2 y Cj-1/2 son concentraciones a la derecha e
izquierda de la interfase de la celda. Una formula
general para expresar esta concentración en la interface
es
Si aproximamos a α=0.5 (“Central Scheme”)
68
El esquema de carga central tiende a crear oscilaciones
artificiales
Debido al anterior problema, se ha desarrollado
esquemas con cargas espaciales alternativas. El
esquemas mas usado (Segunda opción) es el esquema
“Upstream” aguas arriba. El cual puede ser expresado
como lo siguiente:
Este esquema evade la oscilación artificial asociada al
esquema de la carga central. “
69
La solución
numérica
oscila con
respecto a la
verdadera
solución
70
El termino de la derivada del tiempo puede ser
aproximado
Donde n es un nivel de tiempo anterior y n+1 un nuevo
tiempo. Si utilizamos Cn (t) para aproximar la dispersión
y la advección en la Ec. de Transporte, la discretización
es “explícita”
71
Cuando los pasos de
tiempo usados en el
método explicito son 1
día y 5 días, los perfiles
de concentración son
similares. Sin embargo
cuando se usan 10 días,
excede el criterio de
estabilidad.
72
Si las concentraciones que tomamos son ahora las del nuevo nivel,
la discretización se dice que es hacia atrás o implícita
73
En las anterior expresiones las concentraciones son desconocidas en
cualquier nodo a un tiempo nuevo, depende de las concentraciones de
nodos adyacentes, las cuales también son desconocidas
ω es el factor de peso temporal, análogo a la función alfa en espacial
74
Donde los coeficientes y términos de la mano derecha de la ecuación
están dados por:
75
En general las
anteriores
ecuaciones se
reducen a la
forma explicita
cuando ω =0
e implicita
cuando ω =1, en
ω =1/2 es centrado
en el tiempo o
método Crank-
Nicolson
76
SOLUCIÓN A LAS ECUACIONES Método iterativo
En principio se da una estimación inicial de los valores
que serán determinados; la estimación es mejorada a
través de cálculos numéricos sucesivos.
Los procesos iterativos toman los pasos de cálculo que
sean necesarios dependiendo de la tolerancia de error, para
llegar a la solución.
Requiere menos memoria en la computadora.
77
SOLUCIÓN A LAS ECUACIONES Método directo
Ejecuta un número fijo de operaciones y se obtiene una
solución exacta para el sistema de ecuaciones, en el
sentido de que no hay implicación de tolerancia.
El método directo es por lo general más eficiente que el
método iterativo.
78
El método de discretización espacial no está libre de errores..
La forma del frente de concentración para un problema
dominado por advección es medido mediante el número de
Peclet (Pe).
Para un campo de flujo en una dimensión está dado por la
siguiente fórmula:
Oscilación artificial y dispersión numérica
79
Para problemas advectivo Pe tiende a infinito.
La oscilación artificial puede ser reducido mediante
un cambio en el espaciamiento de la malla
Dependencia entre la oscilaciónArtifical y el número de Pe.
80
Como el método de diferencias finitas, el método de elementos finitos se ha utilizado ampliamente en el flujo de agua subterránea y simulación de transporte de soluto. Esta sección está destinada a proporcionar una comprensión básica de los elementos finitos con enfoque aplicado a la solución de la ecuación de advección-dispersión.
Un cuerpo extenso existe en la literatura sobre la teoría y la aplicación numérica de los métodos de elementos finitos tanto de modelos de flujo y de transporte. Los lectores interesados pueden consultar varios textos, Pinder y Gray (1977), Zienkiewicz (1977), Huyakorn y Pinder (1983), y Sun (1996). Wang y anderson (1982) y de Istok (1989) proporcionan las discusiones a nivel de introducción del tema.
7.1 METODOS EULERIANOS(cont)Método de Elemetos Finitos
81
• Resultados obtenidos para el problema en una dimensión de transporte, con el método de elementos finitos y con el método de diferencias finitas, usando una malla de espaciamiento y pasos de tiempo idénticos y los siguientes parámetros:v=1 m/día; α= 0.1 m;
Δx=10 m; Δt=1 día.
• La solución de elementos finitos presenta menor dispersión numérica que la solución de diferencias finitas con cálculo aguas arriba del termino de advección, y la más pequeña oscilación artificial.
• Sin embargo, la solución de elementos finitos todavía exhibe una considerable dispersión numérica y oscilación artificial, para este problema dominado por advección. Para reducir este error numérico la malla espacial debe refinarse.
82
• SUTRA (Voss, 1984) es un código de transporte de dos dimensiones que utiliza elementos de cuadrilátero.
• FEMWASTE (Yeh y Ward, 1981) es un código de transporte de dos dimensiones por elementos finitos que utiliza elementos cuadrilátero. FEMWASTE está diseñado para trabajar con el código FEMWATER de los mismos autores (Yeh y Ward, 1980). Una versión más reciente de FEMWATER (Lin et al., 1997) es un código de elementos finitos tridimensionales para las situaciones que el flujo depende de la densidad y simulación de transporte en virtud de diversas condiciones de saturación.
• El Código de Transporte Princeton (PTC) (Babu y Pinder, 1984) es un código de transporte tridimensional que utiliza la formulación de elementos finitos en dirección horizontal y la formulación de diferencias finitas en la dirección vertical.
• Otro codigo de elementos finitos tridimensional es CFEST (Gupta et al. 1987), que resuelve corriente, soluto, y el transporte de calor en medios porosos o fracturados.
Códigos generales que aplican elementos finitos disponibles para la solución de diversos problemas de transporte.
83
7.2 MÉTODOS LAGRANGIANOS
Método de camino aleatorio(Random Walk)
Este método usa la técnica de seguimiento de partícula para aproximar el transporte por advección;
el efecto de la dispersión es incorporado por la adición de un desplazamiento aleatorio a la localización de la partícula después de cada movimiento advectivo.
La sorción y el decaimiento son manejados ajustando la velocidad de las partículas y la masa acarreada por las partículas.
84
Códigos
El código RANDOM WALK de Prickett et al.
(1981), ha sido con mucho el primer modelo de
propósito general bidimensional basado en el
método de camino aleatorio. Este código, junto
con su compañero de modelación de flujo en
diferencias finitas PLASM (Prickett y
Lonnquist, 1971), han sido usados
extensamente en aplicaciones de campo.
85
7.3 MÉTODOS EULERIANO-LAGRANGIANOS
Resuelven el término de advección con una
aproximación LAGRANGIANA,
y los términos de dispersión y reacción con
una aproximación EULERIANA.
86
MÉTODOS EULERIANO-LAGRANGIANOS
Dependiendo del uso de las técnicas Lagrangianas para aproximar el término de advección los métodos Euleriano-Lagrangianos se pueden agrupar en:
método de características de seguimiento hacia delante MOC (Konikow y Bredehoeft, 1978; Douglass y Russell, 1982; Zheng, 1993);
Método modificado de características de seguimiento hacia atrás MMOC (Russell y Wleeler,1983; Bentley y Pinder, 1992);
Combinaciones de estos dos métodos.
Otro esquema es el Método Adjunto Localizado Euleriano-Lagrangiano ELLAM (Herrera, et al., 1993), el cual da seguimiento a la masa asociada con volúmenes de fluidos para conservar masa localmente y globalmente.
87
MÉTODO DE CARACTERÍSTICAS. (MOC)
Aplicado por Garder et. al (1964) para estudiar el transporte en porosidad media. Se simulaba el desplazamiento y depósito de partículas.
Tiempo después el método fue utilizado para el modelo de trasporte de solutos en dos dimensiones de Konikow y Bredehoeft. Este método es mejor conocido como MOC.
88
Pasos esenciales para el uso del MOC
ASIGNACIÓN DE LA PARTÍCULA INICIAL.
El MOC utiliza una técnica de seguimiento de partícula convencional
para solucionar el termino advectivo.
A cada partícula se le asigna una concentración igual a la
concentración de la celda cuando inicia.
Partícula dinámica de patrón al azar
Partícula uniforme de patrón establecido
89
Al final de cada paso de tiempo, el
promedio de las concentraciones de
las partículas en la celda es
evaluado.
Para poder calcular el movimiento
de las partículas 4-7 se hace un
promedio aritmético de la
concentración expresado por la
ecuación:
*
1
10
mNPn n
m p m
pm
C C if NPNP
90
8. Experimentos numéricos Ecuación de transporte
en Hidrología subterránea los modelos de transporte estacionario para dos dimensiones tienen la siguiente ecuación:
SS
qC D C vC C C
L
Sq
SC
D
flujo volumétrico de agua desde o hacia el acuífero.
es la concentración en fuentes o sumideros,
es la porosidad del medio, adimensional.
escalar que puede ser término de reacción química o decaimiento radiactivo.
es el tensor de dispersión hidrodinámica
es el vector de velocidadv
λ
91
8. Experimentos numéricos Problema con saltos prescritos
Transporte con advección dominante
Parámetros y condiciones de salto prescrito
0.a u bu
11 12
21 22
1
2
1 0
0 1
1
1
0
0
a aa
a a
b vb
b v
c
f
0 ,0.5 4; 0,1j x x
92
8. Experimentos numéricos TH en mallas cuadriláteras en regiones irregulares
Problema con saltos prescritos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figura 6.15: Malla para dominio irregular cóncavo y convexo, con la solución obtenida en paralelogramos, para el problema con saltos prescritos con 10x10 elementos, y 40x40 elementos .