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EST 220 Estatstica Experimental 1 Perodo Letivo de 2009 Lista de exerccios para a 1 Prova

Assunto: Captulos 1, 2 e 3

Captulo 1 Exerccios Adaptados do Livro: MONTGOMERY, D.C. e RUNGER, G. C. Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro. LTC Livros Tcnicos, 2003, 463p. 1.1. Um artigo no peridico Material Engineering (1989, Vol. II, No. 4, pp. 275-281) descreve os resultados de testes de tenso quanto adeso em 22 corpos de prova de liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova dada a seguir (em Mpa):

19,8 18,5 17,6 16,7 15,815,4 14,1 13,6 11,9 11,411,4 8,8 7,5 15,4 15,419,5 14,9 12,7 11,9 11,410,1 7,9

Os dados sugerem que a carga mdia na falha excede 10 Mpa? Considere que a carga na falha tenha uma distribuio normal e use = 0,05. 1.2. Um engenheiro de desenvolvimento de um fabricante de pneu est investigando a vida do pneu em relao a um novo componente da borracha. Ele fabricou 16 pneus e testou-os at o final da vida em um teste na estrada. A mdia e o desvio padro da amostra foram 60.139,7 e 3.645,94 km, respectivamente. O engenheiro gostaria de demonstrar que a vida mdia desse novo pneu excede 60.000 km. Formule e teste as hipteses apropriadas e retire concluses, usando = 0,05. 1.3. Uma marca particular de margarina foi analisada para determinar o nvel (em percentagem) de cidos graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 16,8; 17,2; 17,4; 16,9; 16,5; e 17,1. Com base nestes resultados possvel afirmar que o nvel de cidos graxos igual a 17%? Use = 0,05. 1.4. Uma mquina de produzir bastes metlicos usados em um sistema de suspenso de automveis. Uma amostra de 15 bastes selecionada, sendo o dimetro medido. Os dados, em mm, resultantes so mostrados a seguir:

8,24 8,23 8,20 8,21 8,208,28 8,23 8,26 8,24 8,258,19 8,25 8,26 8,23 8,24

Existe alguma evidncia forte para indicar que o dimetro mdio dos bastes exceda 8,20 mm, usando = 0,05?

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1.5. A espessura da parede de 25 garrafas de 2 litros foi medida por um engenheiro de controle da qualidade. A mdia da amostra foi m = 4,05 mm e o desvio-padro da amostra foi s = 0,08 mm. Suponha que seja importante demonstrar que a espessura da parede excede 4,00 mm. Formule uma hiptese apropriada usando estes dados. Obtenha concluses para = 0,05. 1.6. Um artigo em Nuclear Engineering International (Fevereiro de 1988, p. 33) descreve vrias caractersticas de bastes combustveis usados em um reator pertencente a uma utilidade eltrica na Noruega. Medidas da percentagem de enriquecimento de 12 bastes foram reportadas como segue:

2,94 2,75 2,75 2,812,90 2,90 2,82 2,953,00 2,95 3,00 3,05

Teste a Hiptese Ho: m = 2,95 versus m 2,95, usando = 0,05 e obtenha concluses apropriadas. 1.7. Dois catalisadores esto sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento de um processo qumico. Especificamente, o catalisador 1 est correntemente em uso, mas o catalisador 2 aceitvel. Uma vez que o catalisador 2 mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele no mude o rendimento do processo. Um teste feito em uma planta piloto, resultando nos dados mostrados na tabela abaixo. H alguma diferena entre os rendimentos mdios? Use = 5% e considere varincias iguais.

Observao Catalisador 1 Catalisador 21 91,50 89,19 2 94,18 90,95 3 92,18 90,46 4 95,39 93,21 5 91,79 97,19 6 89,07 97,04 7 94,72 91,07 8 89,21 92,75

1.8. O dimetro de bastes de ao, fabricados em duas mquinas extrusoras diferentes, est sendo investigado. Duas amostras aleatrias de tamanhos n1 = 15 e n2 = 17 so selecionadas e as mdias e as varincias das amostras so 73,8m1 = , 35,0s

21 = , 68,8m2 =

e 40,0s22 = , respectivamente. Suponha 22

21 = e que os dados sejam retirados de uma

populao normal. H evidncias que confirme a afirmao de que as duas mquinas produzem bastes com diferentes dimetros mdios? Use = 0,05 para chegar concluso.

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1.9. Um filme fotocondutor fabricado com uma espessura nominal de 25 x 10-3 polegada. O engenheiro da produo deseja aumentar a velocidade mdia do filme e ele acredita que isso possa ser atingido atravs da reduo da espessura do filme para 20 x 10-3. Oito amostras de cada espessura de filme so fabricadas em um processo piloto de produo, sendo a velocidade do filme medida em J/in2. Para o filme de 25 x 10-3, os resultados dos dados da amostra so 15,1m1 = e 11,0s1 = , enquanto para o filme de 20 x 10

-3, os dados resultantes em 06,1m2 = e 09,0s2 = . Note que um aumento na velocidade do filme baixaria o valor (em J/in2) da observao. Os dados confirmam a afirmao de que a reduo da espessura do filme aumenta a velocidade mdia do filme? Use = 0,05 e considere que as varincias das duas populaes sejam iguais e que a populao em foco da velocidade do filme seja normalmente distribuda. 1.10. Os pontos de fuso de duas ligas usadas na formulao de solda foram investigados atravs da fuso de 21 amostras de cada material. A mdia e o desvio-padro da amostra para a liga 1 foram F420m o1 = e F4s

o1 = , enquanto para a liga 2 eles foram F426m

02 = e

F3s 02 = . Os dados amostrais confirmam a afirmao de que ambas as ligas tem o mesmo ponto de fuso? Use = 0,05 e considere que ambas as populaes sejam normalmente distribudas e que tenham a mesma varincia. 1.11. Um artigo no Jornal of Strain Analysis (1983, Vol. 18, No. 2) compara vrios mtodos para predizer a resistncia de cisalhamento para traves planas metlicas. Dados para dois desses mtodos, os procedimentos de Karlsruh e Lehigh, quando aplicados a nove traves especficas, so mostrados na tabela abaixo. Deseja-se determinar se h diferena (na medida) entre os dois mtodos com relao a mdia da resistncia ao cisalhamento. ( =5%).

Trave Mtodo de Karisuhe Mtodo de Lehigh 1 1,186 1,067 2 1,151 0,992 3 1,322 1,063 4 1,339 1,062 5 1,200 1,065 6 1,402 1,178 7 1,365 1,037 8 1,537 1,086 9 1,559 1,052

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1.12. Quinze homens adultos, entre as idades de 35 e 50 anos, participaram de um estudo para avaliar o efeito da dieta de exerccios no nvel de colesterol no sangue. O colesterol total foi medido em cada indivduo, inicialmente depois de trs meses de participao em um programa de exerccios aerbicos e mudanas para uma dieta de baixo teor de gordura. Os dados so apresentados na tabela abaixo. Os dados confirmam a afirmao de que dieta com baixo teor de gordura e um programa de exerccios aerbicos so valiosos para uma reduo mdia dos nveis de colesterol no sangue? Use = 0,05.

Nvel de Colesterol no SangueIndivduo Antes Depois

1 265 229 2 240 231 3 258 227 4 295 240 5 251 238 6 245 241 7 287 234 8 314 256 9 260 247 10 279 239 11 283 246 12 240 218 13 238 219 14 225 226 15 247 233

1.13. Dois diferentes testes analticos podem ser usados para determinar o nvel de impurezas em ligas de ao. Oito espcimes so testados, usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. H evidncias suficientes para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nvel mdio de impureza? Use = 0,01.

Espcime Teste 1 Teste 21 1,2 1,4 2 1,3 1,7 3 1,5 1,5 4 1,4 1,3 5 1,7 2,0 6 1,8 2,1 7 1,4 1,7 8 1,3 1,6

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1.14. Camadas de xidos em pastilhas de semicondutores so atacadas em uma mistura de gases, de modo a atingir a espessura apropriada. A variabilidade na espessura dessas camadas de xido uma caracterstica crtica da pastilha. Uma baixa variabilidade desejada para as etapas subseqentes do processo. Duas misturas diferentes de gases esto sendo estudadas para determinar se uma delas superior na reduo da variabilidade de espessura das camadas de xido. Vinte e uma pastilhas so atacadas pela mistura de gs 1 e outras vinte e uma pastilhas so atacadas pela mistura de gs 2. Os desvios-padro da espessura de xido so 96,1s1 = angstroms e 13,2s2 = angstroms, respectivamente. H qualquer evidncia que indique ser um gs prefervel em relao ao outro? Use = 0,05. 1.15. Duas companhias qumicas podem fornecer uma matria-prima, cuja concentrao de um determinado elemento importante. A concentrao mdia para ambos os fornecedores a mesma, porem suspeita-se que a variabilidade na concentrao pode diferir entre as duas companhias. O desvio-padro da concentrao de uma amostra aleatria de n1 = 10 bateladas produzidas pela companhia 1 7,4s1 = g/l, enquanto para a companhia 2, uma amostra aleatria de n2 = 16 resulta em 8,5s2 = g/l. H evidncia suficiente para concluir que as varincias das duas populaes difiram? Use = 0,05. 1.16. Um estudo foi feito para determinar se homens e mulheres diferem suas repetibilidades em arrumar componentes em placas de circuito impresso. Duas amostras de 25 homens e 21 mulheres foram selecionadas, com cada indivduo arrumando as unidades. Os desvios-padro dos tempos de distoro dos componentes para as duas amostras foram

98,0s emhom = min. e 02,1smulher = min. H evidncias para confirmar a afirmao de que homens e mulheres diferem com relao repetibilidade para essa tarefa de arrumar os componentes nas placas de circuito impresso? Use = 0,01.

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Captulo 2

2.1. Uma indstria petroqumica deseja comparar o efeito que 5 solventes possuem na octanagem da gasolina. Os solventes se diferenciam em sua composio qumica, conforme mostrado na tabela abaixo:

Elementos Qumicos que compem o solvente Solvente Nitrognio Chumbo Enxofre Fsforo Zinco

1 No No No No No 2 Sim No Sim No No 3 Sim Sim No Sim Sim 4 Sim Sim No Sim No 5 Sim Sim Sim Sim Sim

Observao: Na tabela acima, Sim indica que o componente est presente na composio do solvente e No indica que o componente no est presente na composio do solvente. Com base nestas informaes, pergunta-se:

a) Qual seria um contraste apropriado para verificar se vale a pena adicionar elementos qumicos na gasolina? Justifique a sua resposta.

b) Qual seria um contraste apropriado para verificar se vale a pena adicionar chumbo na

gasolina? Justifique a sua resposta.

c) Suponha que com base nos dados experimentais, o contraste do item anterior fornea

a estimativa igual a 50. possvel AFIRMAR que a adio de chumbo interfere na octanagem final da gasolina? Justifique a sua resposta.

d) O pesquisador apresenta o seguinte grupo de funes que ele afirma representar um grupo de contrastes ortogonais, considerando-se r1=r2=r3=r4=r5=4

Y1= 5m1 m2 m3 m4 m5 Y2 = m2 m3 Y3 = m4 m5 Y4 = m2 + m3 m4 m5 Y5 = m2 m3 + m4 m5 D trs justificativas pelas quais voc concorda ou discorda a respeito da afirmao do pesquisador.

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2.2. Suponha que um experimento foi instalado com 6 tratamentos e 4 repeties. Baseado nestas informaes assinale a alternativa que representa um grupo completo de comparaes ortogonais a. ( )

Tratamento 1 2 3 4 5 6Y1 + + - + - +Y2 + - 0 - 0 - Y3 0 + 0 - 0 -

b. ( )

Tratamento 1 2 3 4 5 6Y1 + + - + - +Y2 + - 0 - 0 - Y3 0 + 0 - 0 - Y4 0 0 0 + 0 - Y5 0 0 + 0 - 0

c. ( )

Tratamento 1 2 3 4 5 6Y1 + + - + - +Y2 + - 0 - 0 - Y3 0 + 0 - 0 - Y4 0 0 0 + 0 -

d. ( )

Tratamento 1 2 3 4 5 6Y1 + + - + - +Y2 + - 0 - 0 - Y3 0 + 0 - 0 - Y4 0 0 0 + 0 - Y5 0 0 0 + 0 - Y6 + - + - + +

e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores

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2.3. Assinale a alternativa correspondente a uma afirmativa falsa: a. ( ) a varincia de um contraste sempre igual a zero b. ( ) um contraste pode ser definido como sendo uma funo de mdias

populacionais tal que a soma dos coeficientes que multiplicam as mdias igual a zero

c. ( ) a condio que usada para verificar se dois contrastes so ortogonais dada pela soma do produto dos coeficientes de cada mdia dividido pelo respectivo nmero de repeties associado mesma

d. ( ) o grupo de contrastes ortogonais nico, ou seja, para um determinado experimento possvel formar apenas um nico grupo de contrastes ortogonais

e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 2.4. Considere um experimento com I tratamentos e J repeties para cada tratamento. Assinale a alternativa correspondente a uma afirmativa verdadeira: a. ( ) o estimador de um contraste dado por Y = a1m1 + ... + aImI b. ( ) o valor que se obtm para a estimativa de um contraste nico, ou

seja, qualquer que sejam os valores amostrais, a estimativa de um contraste sempre assume o mesmo valor

c. ( ) o mtodo do sistema de equaes lineares impe duas condies bsicas para formar um grupo de contrastes ortogonais. A primeira impe que a comparao a ser estabelecida tem que ser contraste. A segunda impe que o contraste a ser encontrado tem que ser ortogonal aos contrastes j estabelecidos

d. ( ) aplicando o mtodo prtico, ao final obtm-se um total de I comparaes ortogonais

e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores

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Captulo 3 3.1. Um tecnlogo deseja verificar se a ingesto de lactobacilos vivos tem influncia no nvel de colesterol no sangue e nas fezes em ratos. Para este experimento, ele tem sua disposio 5 tipos de lactobacilos e 25 ratos. No entanto, estes 25 ratos so de 5 raas diferentes sendo que existem 5 ratos de cada raa. O tecnlogo, com o objetivo de eliminar o efeito da raa dos ratos, decidiu que os ratos de uma mesma raa devem receber sistematicamente apenas um tipo de lactobacilo, ou seja, os ratos da raa 1 recebero apenas lactobacilos do tipo 1; os ratos da raa 2 recebero apenas lactobacilos do tipo 2; os ratos da raa 3 recebero apenas lactobacilos do tipo 3, os ratos da raa 4 recebero apenas lactobacilos do tipo 4, e os ratos da raa 5 recebero apenas lactobacilos do tipo 5. Ao final, ele pretende avaliar o teor de colesterol no sangue e nas fezes de todos os animais. Com base nestas informaes pergunta-se:

a) Quais foram os tratamentos em teste neste experimento? Justifique a sua resposta. b) O princpio da casualizao foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. c) O princpio do controle na casualizao foi utilizado neste experimento? Justifique a

sua resposta. d) Qual(is) varivel(is) resposta est(o) sendo usada(s) para verificar se existe diferena

nos efeitos de tratamentos? Justifique a sua resposta. e) possvel estimar o erro experimental nesta pesquisa? Em caso afirmativo, esta

estimativa vlida. Em caso negativo, o que deveria ter sido feito para ser possvel estimar o erro experimental nesta pesquisa. Justifique as suas respostas.

3.2. Em determinada fase de um programa de melhoramento de cana-de-acar, um melhorista de plantas resolveu realizar um experimento para identificar as linhagens mais produtivas para usar nas prximas fases do programa. Ao todo ele tinha 50 linhagens para avaliao. Com base em uma reviso de literatura sobre o melhoramento de cana-de-acar, o melhorista verificou que a produo de linhagens deveria ser avaliada em parcelas constitudas por 4 fileiras de plantas sendo cada fileira com 3 metros de comprimento. Com o objetivo de que o seu trabalho pudesse ser aceito pela comunidade cientfica, resolveu demarcar parcelas deste tamanho no campo para receber as linhagens. Ele resolveu avaliar cada linhagem 3 vezes. Entretanto, no foi possvel demarcar as 150 parcelas necessrias dentro de uma rea completamente homognea com relao declividade. Contudo, o melhorista verificou que a rea total poderia ser subdividida em 3 subreas, de tal forma que dentro de cada uma delas havia homogeneidade com relao declividade. Em cada uma destas subreas havia 50 parcelas demarcadas. Em face desta situao, para cada subrea o melhorista designou ao acaso as 50 linhagens s parcelas. Aps conduzir o experimento segundo as recomendaes tcnicas para a cultura da cana-de-acar, o melhorista colheu e pesou todas as plantas de uma mesma parcela. No momento da colheita, o melhorista verificou que, para cada linhagem, as produes observadas nas trs parcelas no foram exatamente as mesmas. Partindo do pressuposto de que todo o procedimento do melhorista cientificamente correto, marque a alternativa correta para cada uma das seguintes perguntas:

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3.2.1. Neste experimento qual(is) foi(ram) o(s) princpio(s) bsico(s) da experimentao utilizado(s): a. ( ) repetio, casualizao e controle localb. ( ) casualizao c. ( ) controle local d. ( ) repetio e casualizao e. ( ) repetio e controle local f. ( ) casualizao e controle local g. ( ) repetio h. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 3.2.2. Os tratamentos comparados neste experimento foram: a. ( ) fileiras b. ( ) parcelas c. ( ) linhagens d. ( ) declividade e. ( ) produo de cana-de-acar f. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 3.2.3. A razo cientfica do ponto de vista estatstico que justifica a subdiviso da rea em subreas : a. ( ) estimar o erro experimental b. ( ) controlar uma fonte de variao ambiental indesejvel no

experimento c. ( ) eliminar totalmente o erro experimental d. ( ) validar a estimativa do erro experimental e. ( ) facilitar a instalao e conduo do experimento f. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 3.2.4. Do ponto de vista cientfico-estatstico, se o melhorista no tivesse distribudo ao acaso as linhagens s parcelas dentro de cada subrea: a. ( ) ele poderia chegar s mesmas concluses sem problema algum b. ( ) ele no poderia validar a estimativa do erro experimental c. ( ) ele teria dado a mesma chance para todos os tratamentos de ser

designado para qualquer parcela d. ( ) ele no poderia estimar o erro experimental e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores

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3.2.5. Do ponto de vista cientfico-estatstico, cada linhagem apareceu trs vezes no experimento para que se pudesse: a. ( ) diminuir a preciso do experimento b. ( ) validar a estimativa do erro experimental c. ( ) eliminar totalmente o erro experimental d. ( ) estimar o erro experimental e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 3.2.6. Neste experimento a unidade experimental foi a. ( ) parcelas constitudas por 4 fileiras de plantas, sendo cada fileira

com 3 metros de comprimento b. ( ) cada planta de uma linhagem c. ( ) cada fileira de 3 metros de comprimento que continha apenas uma

linhagem d. ( ) cada linhagem e. ( ) cada subrea f. ( ) nenhuma das alternativas anteriores 3.2.7. (5%) O fato de se observar diferentes valores da produo para uma mesma linhagem, ocorreu por que: a. ( ) O experimento foi conduzido de forma errada e deve ser refeito at

que se obtenha valores idnticos de produo para uma mesma linhagem

b. ( ) Um ou mais fatores ambientais atuaram e fizeram com que as produes observadas no fossem exatamente as mesmas

c. ( ) O pesquisador no utilizou todos os princpios bsicos da experimentao

d. ( ) O nmero total de linhagens avaliadas foi muito grande e. ( ) nenhuma das alternativas anteriores

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Respostas

Captulo 1 1.1. m = 13,71 S = 3,55 t = 4,90 t0,05(21) = 1,721 Concluso: RHo. A carga excede 10Mpa 1.2. m = 60.139,7 S = 3.645,94 t = 0,1532 t0,05(15) = 1,75 Concluso: NRHo. 1.3. m = 16,98 S = .3189 t = - 0,1562 t0,05(5) = 2,57 Concluso: NRHo. 1.4. m = 8,234 s =0,025298 t = 5,205 t0,05(14) = 1,761 Concluso: RHo. 1.5. m = 4,05 mm s = 0,08 mm t = 3,125 t0,05(24) = 1,71 Concluso: RHo. 1.6. m = 2,90 s = 0,0993 t = -1,74 t0,05(11) = 2,20 Concluso: NRHo. 1.7. 1m = 92,255; 2m = 92,733 21s = 5,7121;

22s =8,8804;

2cs = 7,30

Ho: m1 = m2 Ha: m1 m2 t = -0,35 t0,025(14) = 2,145 Concluso: NRHo

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1.8. 1m = 8,73; 2m = 8,68 21s = 0,35;

22s =0,40;

2cs = 0,37

Ho: m1 = m2 Ha: m1 m2 t = 0,23 t0,05(30) = 2,04 Concluso: NRHo 1.9. 1m = 1,15; 2m = 1,06 21s = 0,11;

22s = 0,09;

2cs = 0,0101

Ho: m1 = m2 Ha: m1 > m2 t = 1,79 t0,5(14) = 1,76 Concluso: RHo 1.10. 1m = 4,20; 2m = 4,26 21s = 16;

22s = 9;

2cs = 12,5

Ho: m1 = m2 Ha: m1 m2 t = -5,50 t0,5(40) = 2,02 Concluso: Rho 1.11. Dm = 0,2736 2Ds = 0,1839 Ho: mD = 0 Ha: mD 0 t = 6,05 t0,025(8) = -2,306 Concluso: Rho 1.12. Dm = 26,87 2Ds = 721,9969 Ho: mD = 0 Ha: mD > 0 t = 5,47 t0,05(14) = 1,76 Concluso: Rho 1.13. Dm = -0,2125 2Ds = 0,298 Ho: mD = 0 Ha: mD 0 t = -3,48 t0,005(7) = 3,50 Concluso: Rho

14

1.14. 2

1s = 3,84 22s = 4,54

Ho: 2221 = Ha:

21

22 >

F =0,85 F0,05(20,20) = 2,12 Concluso: 1.15. 2

1s = 22,09 22s = 33,64

Ho: 2221 = Ha:

21

22 >

F = 0,66 F0,05(15,9) = 3,01 Concluso: NRho 1.16. 2

emhoms = 0,9604 2mulhers = 1,0404

Ho: 2221 = Ha:

2emhom

2mulher >

F = 0,9231 F0,01(20,24) = 2,03 Concluso: NRho

Captulo 2 2.1 a) C1=4m1 m2 m3 m4 m5 b) C2=3m1 + 3m2 2m3 2m4 2m5 c) No. Afirmaes s podem ser realizadas aps a aplicao de um teste de

hipteses d) 1) O nmero de contrastes por grupo de contrastes ortogonais deve ser no

mximo igual ao nmero de tratamentos menos um 2) Os contrastes Y1 e Y4 no so ortogonais 3) Os contrastes Y1 e Y5 no so ortogonais 2.2 (b) 2.3 (d) 2.4 (c)

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Captulo 3

3.1. a) Repetio b) No. Porque a distribuio dos lactobacilos aos ratos foi feita de maneira

sistemtica c) No. Para usar o controle local, as unidades experimentais deveriam ser

separadas em blocos heterogneos e, tambm, deveria ser feita uma distribuio ao acaso dos tratamentos dentro de cada bloco, de tal forma que cada bloco todos os tratamentos sejam avaliados

d) Variveis resposta: nvel de colesterol no sangue e nvel de colesterol nas fezes dos ratos

e) possvel estimar, mas a estimativa no vlida, pois no foi utilizado o princpio da casualizao

3.2. 3.2.1. (a) 3.2.2. (c) 3.2.3. (b) 3.2.4. (b) 3.2.5. (c) 3.2.6. (a) 3.2.7. (b)