estatistica apostila mec

7/16/2019 Estatistica Apostila MEC

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Govero Federal

Mstro da EducaoSecretra de Educao BscaDretor do Departameto de Artculao e Desevolvmeto dos Sstemas de Eso

Uversdade de Brasla UB

RetorTimothy Martin Mulholland

Vce-RetorEdgar Nobuo Mamiya

Coordeao Pedaggca do ProfucoroBernardo Kipnis FE/UnBDante Diniz Bessa Cead/UnBFrancisco das Chagas Firmino do Nascimento SEE-DFJoo Antnio Cabral de Monlevade FE/UnBMaria Abdia da Silva FE/UnBTnia Mara Piccinini Soares MEC

Cetro de Educao a Dstca Cead/UBDiretor Sylvio Quezado de MagalhesCoordenao Executiva Ricardo de SagebinCoordenao Pedaggica Tnia Schmitt

Udade de PedagogaGesto da Unidade Pedaggica Ana Lusa NepomucenoGestora Pedaggica Juliana C. JungmannGesto da Unidade Produo Rossana M. F. BeraldoDesigner Educacional Luciana KuryReviso Laeticia Jensen EbleEditorao Raimunda DiasIlustrao Rodrigo Mafra

Udade de Apoo Acadmco e LogstcoGerente da Unidade Lourdinia Martins da Silva CardosoGestora do Projeto Diva Peres Gomes Portela


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Brasil. Ministrio da Educao. Secretaria de Educao Bsica.

M488e Medeiros, Carlos Augusto de.Estatstica aplicada educao. / Carlos Augusto

de Medeiros. Braslia : Universidade de Braslia,2007.

130 p. : il.

ISBN 978-85-230-0990-81. Conceitos matemticos: razes e propores.

2. Distribuio de freqncia: dados brutos e rol. 3.Medidas de resumo: medidas de tendncia central(mdia, mdia aritmtica ponderada, mediana emoda). I. Ttulo. II. Universidade de Braslia. Centro deEducao a Distncia.

CDU 519.2:37(81)

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)


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ApresetaoSou professor! No h outra atividade profissional em

minha vida. Iniciei minha carreira h, aproximadamente, 15anos, como professor de Matemtica, no Ensino Fundamen-

tal, na Rede Pblica de Ensino do Distrito Federal.

Nos ltimos 5 anos, tenho me dedicado docncia no nvel superior,atuando em cursos de Formao para Docentes, basicamente, com

componentes como Metodologia Cientfica; Metodologia da Pesquisa;Mtodos e Tcnicas de Pesquisa; Organizao da Educao Brasileira e

Planejamento e Polticas Educacionais.

Fiquei muito feliz com o convite para escrever este Mdulo de Estatsticaaplicada Educao. bem verdade que, como professor de Matemtica, seipor experincia prpria que trabalhar com clculos repele mais do que atrai o

leitor. Mas, tambm, da forma como tm sido trabalhadas as cincias exatas nasescolas, no de se estranhar.

Foi nesse contexto que resolvi apresentar aos Funcionrios da Educao umaferramenta valiosa, fincada na Matemtica, que auxilia na interpretao da realida-de. Sem ela, nossas aes se pautam por bases outras que no a cincia. E issoimplica acertar, algumas vezes, mas errar, outras tantas vezes.

claro que no h receita segura para o acerto, isso todos sabemos. Mas existemferramentas que, por fora do nosso percurso individual, vo sendo oferecidas aalguns poucos que se tornam detentores dos saberes e isso no posso aceitar.Dentre essas ferramentas, a Estatstica figura como (quem sabe!) uma dessas que,se no observada, confina nossas aes ao campo da sorte.

Mas ainda assim, reconhecendo sua importncia, preciso lidar com as resistn-cias e limitaes de todos ns, com o traquejo algbrico, isto , com nmeros,nmeros e nmeros.

Pois bem, estava ciente disso tudo quando escrevi esse Mdulo. Tudo que escrevibuscou responder seguinte pergunta: o que da Estatstica Bsica pode ser ofere-cido aos Funcionrios da Educao de modo que os auxiliem em suas atividadesdiuturnas, caminhando no sentido de uma educao de qualidade?

Com isso em mente, procurei colocar em um prato da balana aquilo que efetiva-mente poderia contribuir para alcanar a to sonhada qualidade da educao e,no outro prato, metodologias e procedimentos de resoluo, com os fundamentospara aqueles que desejarem se aprofundar no futuro, pautados em estratgias quelevem aos resultados.


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Por isso, caro leitor, algumas vezes possvel que voc tenha que recorrer a recursos ex-ternos para a melhor compreenso dos contedos. Mas se isso acontecer, sero poucasvezes, j que me empenhei para consolidar os contedos no interior deste Mdulo.

As frmulas, leitor, deixe que as calculadoras e as planilhas eletrnicas resolvam. A nscabe, contudo, saber o que representam os resultados, bem como de que maneira or-ganizar os dados para que cheguemos a eles. A ns compete identificar as ferramentas

que contribuem para dar mais qualidade s nossas atividades profissionais.

Transformar dados em informao: esse o desafio!

Objetvo do Mdulo

Refletir a partir da Estatstica Bsica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e pelacincia, disponveis a todos, que auxiliam na tomada de deciso.

Emeta

Conceitos matemticos: razes e propores; grandezas e medidas; regra de trs sim-ples; porcentagem; coeficientes, taxas e ndices; sistema de coordenadas cartesianas;arredondamento. Variveis, tabelas e grficos: populao e amostra; estatstica descri-tiva e estatstica indutiva ou inferencial; variveis; tabelas; grficos: diagramas, carto-gramas e pictogramas. Distribuio de freqncia: dados brutos e rol; distribuio defreqncia: grficos de uma distribuio; curvas de freqncia. Medidas de resumo:medidas de tendncia central (mdia, mdia aritmtica ponderada, mediana e moda);medidas de disperso (disperso e variao, desvio padro e coeficiente de variao);medidas de posio (quartis, decis e percentis).


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Mesagem do autor

Amigos e amigas Trabalhadores da Educao!

Durante 14 anos, dediquei-me docncia da matemtica,

na Educao Bsica, na rede pblica de ensino do DistritoFederal. Aps a concluso do mestrado, tenho me dedica-do docncia em cursos de formao docente, em institui-es de ensino privadas.

Foi com muito prazer que recebi e prontamente aceitei odesafio para escrever sobre Estatstica aplicada Educaocomo etapa da formao promovida pelo Profuncionrio.A idia que me motivou, do incio ao fim dessa jornada, foia de traduzir, na medida do possvel, a linguagem rgida damatemtica de modo a permitir a aproximao aos recur-

sos da Estatstica (e da Matemtica) como ferramenta parao desenvolvimento de suas atividades profissionais.

Tenho claro que a dificuldade com a disciplina historica-mente significativa. E mais ainda, que essa dificuldade setorna instrumento de excluso social e no o contrrio. Porisso, empenhei-me para que vocs pudessem perceberque, com um pouco de disciplina, possvel fazer uso dosrecursos da Estatstica para a melhoria das condies detrabalho, bem como para a melhoria dos resultados desse

trabalho na educao. assim que admito que, em alguns momentos (poucos, euespero!), vocs se sentiro cansados de tantos nmeros.Mas no desanimem! A algum que porventura abra o M-dulo de Estatstica aplicada Educao em alguma pginaaleatoriamente, poder parecer algo bem difcil. Mas, naverdade, esforcei-me para construir degraus que condu-zam do mais simples ao mais complexo, por isso, precisoter claro que cada pgina lida prepara-os para as pginasseguintes.

Penso que nossa luta reside na seguinte questo: a queminteressa a Estatstica? Se ao final da leitura vocs chega-rem concluso de que interessa a todos ns e que, porisso, no pode se limitar a um nmero determinado de es-pecialistas, ento, alcancei meu objetivo maior: contribuirdiretamente para sua formao e, conseqentemente, parauma educao pblica de qualidade.

Forte abrao,

Carlos Augusto de Medeiros


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Lsta de Fguras

Figura 1: Estatstica: Pirmide da definio 18

Figura 2: Razo: Comparao 24

Figura 3: Razo: Exerccio 25Figura 4: Razo: Representao 25

Figura 5: Propores: Conceito 26

Figura 6: Razes: Propores: Escala 27

Figura 7: Razes e Propores: Exerccio 27

Figura 8: Grandezas 28

Figura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta 29

Figura 10: Regra de Trs: Exerccio 31

Figura 11: Coeficiente e Taxa 34

Figura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem 37

Figura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos 38

Figura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos 38

Figura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exerccio 39

Figura 16: Arredondamento de Nmeros 40

Figura 17: Arredondamento: Fluxograma 40

Figura 18: Estatstica Dedutiva e Estatstica Indutiva: Fluxograma 46

Figura 19: Variveis: Definies 48

Figura 20: Pictograma: Exemplo 61

Figura 21: Modelo de Histograma 69

Figura 22: Polgono de Freqncia: Esboo 70Figura 23: Curvas de Freqncia 76

Figura 24: Mdia Aritmtica: Exemplo 83

Figura 25: Linha Mediana 92

Figura 26: Curvas Modais 95

Figura 27: Mdia, Mediana, Moda: Curva Simtrica 96

Figura 28: Mdia, Mediana, Moda: Curva Assimtrica 96


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Figura 29: Desvio Padro: Grficos: Exerccio 101

Figura 30: Quartis: Representao 111

Figura 31: Tabela de Freqncia: Ilustrao 115

Figura 32: Exerccio: Quartis 117

Figura 33: Exerccio: Quartis: Freqncia Acumulada Anterior 118

Lsta de Frmulas

Frmula 1: Mdia Aritmtica 81

Frmula 2: Mdia Aritmtica Ponderada 85

Frmula 3: Mediana 91

Frmula 4: Desvio Padro: Dados No-Agrupados: 99

Frmula 5: Desvio Padro: Dados Agrupados 102

Frmula 6: Coeficiente de Variao 106

Frmula 7: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Quartil 112

Frmula 8: Medidas de Posio: Quartil 112

Frmula 9: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Decil 122

Frmula 10: Medidas de Posio: Dados No-Agrupados: Percentil 122

Frmula 11: Medidas de Posio: Percentil 123

Lsta de Grfcos

Grfico 1: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: Urbano 53

Grfico 2: Matrculas na pr-escola: Brasil: 1999-2004 56

Grfico 3: Evoluo das matrculas na creche: Brasil: 1999-2004 56

Grfico 4: Evoluo das matrculas na educao infantil: creche e pr-escola: Brasil:1999-2004 57

Grfico 5: Usurios de transporte pblico do Estado: 1a a 4a sries: Brasil: rea urbana 59

Grfico 6: O despovoamento da Amaznia 60

Grfico 7: Exerccio: Polgono de Freqncia 74

Grfico 8: Mediana 93


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Lsta de Quadros

Quadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatstica 17

Quadro 2: Tipos de variveis 49

Quadro 3: Nveis de medidas 80

Quadro 4: Quartil e Percentil: Frmula Geral: Comparao 124

Lsta de Tabelas

Tabela 1: Populao: Brasil 32

Tabela 2: Aprovao: Ensino Fundamental: Brasil: 2005 35

Tabela 3: Funo Docente: Educao Bsica: Brasil: 2005 36

Tabela 4: Aprovao: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005 37

Tabela 5: Populao Escolar: Sexo 44

Tabela 6: Clculo da amostragem proporcional estratificada 45

Tabela 7: Populao Mundial: Srie Histrica 51

Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie: Diurno: Brasil 52

Tabela 9: Nmero de matrculas na pr-escola 52

Tabela 10: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: Urbano 53

Tabela 11: Matrculas na Educao Infantil: Brasil 55

Tabela 12: Usurios de transporte pblico do Estado: 1a a 4a sries: Brasil: rea urbana 57

Tabela 13: Pictograma: Exerccio 61

Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitiva 64

Tabela 15: Exemplo de Rol 65

Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqncia 66Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncia 66

Tabela 18: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncia 68

Tabela 19: Exerccio: Tabela Primitiva 71

Tabela 20: Exerccio: Rol 72

Tabela 21: Exerccio: Tabela de Freqncia 72

Tabela 22: Exerccio: Tabela de Freqncia com intervalos de classe 74


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Tabela 23: Srie Histrica: Exerccio 84

Tabela 24: Distribuio de Freqncia: Exerccio 85

Tabela 25: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Ponderao 86

Tabela 26: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Ponderao: Ponto Mdio 87

Tabela 27: Vtimas de Acidentes de Trnsito, por 10.000 veculos, em 2002 88

Tabela 28: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Mediana: Freqncia Acumulada 91

Tabela 29: Desvio Padro: Exerccio 100

Tabela 30: Desvio Padro: Dados Agrupados: Sem Intervalos de Classe: Exerccio 102

Tabela 31: Desvio Padro: Exerccio: Continuao 103

Tabela 32: Desvio Padro: Dados Agrupados: Com Intervalos de Classe: Exerccio 104

Tabela 33: Desvio Padro: Exerccio: Continuao 105

Tabela 34: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Quartis 113

Tabela 35: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta 113

Tabela 36: Medidas de Posio: Quartis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchimento:2a etapa 114

Tabela 37: Distribuio de Freqncia: Exerccio: Quartis: Primeiro Quartil 117





Tabela 42: Exerccio: Quartis 121

Tabela 43: Medidas de Posio: Percentil: Tabela-Resposta 123Tabela 44: Medidas de Posio: Percentis: Exerccio: Tabela-Resposta: Preenchida 124


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Sumro


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UniDADE 1 Introduo ao estudo da estatstica 15

UniDADE 2 Conceitos matemticos 23

UniDADE 3 Variveis, tabelas e grficos 43

UniDADE 4 Distribuio de freqncia 63

UniDADE 5 Medidas de resumo 79

COnSiDERAES FinAiS 126

REFERnCiAS 127

APnDiCE: Respostas dos exerccios Pratique! 130


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1itroduo ao estudoda estatstca


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iDADE1Introduoaoestudodaesta

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Voc sabe quantas pessoas existem na sua casa? Com cer-teza. Mas em toda a sua famlia, voc sabe? Bem... Quantaspessoas existem na sua rua? E no seu bairro? E na sua cidade?E no seu estado? E no Brasil? E no mudo, afinal? Bem, podeser que voc considere essas preocupaes bastante exage-radas, mas nem sempre o mundo foi to populoso.

Se pararmos para pensar na populao mundial de um tem-po atrs, digamos, no sculo XV, veremos que a quantidadede pessoas era bem menor. Se voltssemos Grcia Antiga,menor ainda. Pois bem, esse crescimento acelerado de habi-tantes foi verificado no mundo moderno, com a sociedade demassas. A partir da, a Estatstica se tornou, juntamente com acincia da economia, a cincia social por excelncia.1 Por qu?Porque lidamos com grandes nmeros.

A Estatstica ou mtodos estatsticos, como chamada algu-mas vezes, nasceu com os negcios do Estado, da seu nome.Mas, hoje, sua influncia pode ser encontrada nas mais di-versas atividades: agricultura, biologia, comrcio, qumica,comunicaes, economia, educao, medicina, cincias pol-ticas e muitas outras.2

A Estatstica se interessa pelos mtodos cientficos para co-leta, organizao, resumo, apresentao e anlise de dados,bem como na obteno de concluses vlidas e na tomada de

decises razoveis baseadas em tais anlises. Algumas vezes,o termo Estatstca empregado para designar os prpriosdados ou nmeros, por exemplo, estatstica de empregos, deacidentes etc.3

Se a Estatstica ganha importncia com a moderna sociedadede massas, como vimos, no significa que, antes disso, noexistissem preocupaes com os clculos de grandes nme-ros.

Na histria, vemos que a palavra Estatstica apareceu pela pri-meira vez no sculo XVIII e foi sugerida pelo alemo GottfriedAchemmel (1719-1772); palavra esta que deriva destatu (esta-do, em latim). Como se pode perceber, Estatstica um nomeque deriva de Estado; de fato, na origem, as atividades daEstatstica eram, basicamente, atividades de Estado. Mas hojeisso mudou bastante.

1 ARENDT (2005, p. 51).

2 SPIEGEL (1975, Prefcio).3 SPIEGEL (1975, p. 1).

A populao mundial estestimada hoje em maisde seis bilhes e meio dehabitantes (6.600.000.000).

Para daqui a trinta anos estestimada uma populao demais de oito bilhes e meiode habitantes no planeta(8.547.874.779).Fonte: U.S. CENSUSBureau, 2006.

Estatstica uma parteda Matemtica Aplicadaque fornece mtodos paraa coleta, organizao,descrio, anlise einterpretao de dados. Ela dividida em:1) Estatstica Descritiva:

parte da Estatstica queapenas coleta, descreve,organiza e apresentaos dados. Nela no sotiradas concluses.

2) Estatstica Indutivaou Inferncia: analisaos dados e obtm asconcluses.


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O primeiro levantamento estatstico de que se tem conheci-mento se deve a Herdoto e se refere a um estudo da rique-za da populao do Egito, cuja finalidade era averiguar quaiseram os recursos humanos e econmicos disponveis para aconstruo das pirmides, isso no ano de 3050 a. C. No anode 2238 a. C., o imperador Chs Yao ordenou a realizao

de uma Estatstica com fins industriais e comerciais. No anode 1400 a. C., o famoso fara egpcio Ramss ii ordenou umlevantamento das terras do Egito. Existem ainda, outros casosde Estatsticas no perodo antigo4 da civilizao.

Em perodos mais recentes, podemos sintetizar as preocupa-es com a Estatstica em quatro fases:

Primeira Fase

Pepino, no ano de 758, e Carlos Magno, em 762, realizaramestatsticas sobre as terras que eram propriedade da Igreja.Essas foram as nicas estatsticas importantes desde a quedado Imprio Romano.

Segunda Fase

Na Inglaterra, no sculo XVII, j se analisavam grupos de ob-servaes numricas referentes sade pblica, nascimentos,mortes e comrcio. Destacam-se, nesse perodo, John Graunt(1620-1674) e William Petty (1623-1687) que procuraram leisquantitativas para traduzir fenmenos sociais e polticos.

Terceira Fase

Tambm no sculo XVII, inicia-se o desenvolvimento do Cl-culo das Probabilidades que, juntamente com os conheci-mentos estatsticos, redimensionou a Estatstica. Nessa fase,destacam-se: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huy-gens (1629-1695).

Quarta Fase

No sculo XIX, inicia-se a ltima fase do desenvolvimento daEstatstica, alargando e interligando os conhecimentos ad-quiridos nas trs fases anteriores.Nesta fase, a Estatstica no se limita apenas ao estudo daDemografia e da Economia, como antes; agora, o seu campode aplicao se estende anlise de dados em Biologia, Me-dicina, Fsica, Psicologia, Indstria, Comrcio, Meteorologia,Educao etc., e ainda, a domnios aparentemente desligados,como Estrutura de Linguagem e estudo de Formas Literrias.Destacam-se, no perodo, Ronald Fisher (1890-1962) e KarlPearson (1857-1936).

Fonte: Histria da Estatstica (2006)Quadro 1: As fases de desenvolvimento da Estatstica

Como se v, a Estatstica possui sua histria na Histria dohomem. Nessa ltima fase, com a Estatstica consolidada, as

4 Podemos considerar os perodos da Histria com alguns marcos cronolgicos: 1) Pr-Hstra: at 4000 a. C., perodo do surgimento da escrita; 2) idade Atga: do apare-cimento da escrita e das primeiras civilizaes, por volta de 4000 a. C., at a queda deRoma, em 476 d. C.; 3) idade Mda: da queda de Roma at a tomada de Constantinoplapelos turcos otomanos, em 1453; 4) idade Modera: da queda de Constantinopla at a

tomada da Bastilha, em 1789 (Revoluo Francesa); 5) idade Cotemporea: da tomadada Bastilha aos dias atuais.

Herdoto (gr. H) o mais importante doshistoriadores gregos maisantigos. Foi o primeiroprosador a reunir diversasnarrativas histricas ouquase-histricas em umrelato coerente e vivo e , porisso, considerado o pai daHistria.

Yao era descendente

do Imperador Amarelo, oprimeiro antepassado doschineses e bem respeitadopor sua inteligncia ecaridade. Aos 16 anos deidade, Yao foi eleito comolder da tribo. Segundoregistros histricos, Yaofundou seu pas em Pingyang,como capital (atual cidadede Linfen, na Provncia deShanxi ao norte da China).At hoje pode-se encontrarnesta cidade o Templo deYao, que foi construdodurante a Dinastia Jun (265a.C. - 420 d.C.) e o Tmulo deYao construdo na DinastiaTang (618 d.C. - 907 d.C.).(OS IMPERADORES Yao eYun, 2006).

[...] Filho e neto deguerreiros, Ramss II assumiuo poder com 25 anos, em1290 a.C., e desde o incio deseu reinado o jovem generallanou-se em um esforomilitar indito. O Egito jhavia sido o maior impriodo mundo cerca de 200anos antes e, sob a batutade Tutmoss III (a quem seuav, Ramss I, servira comogeneral), havia controlado aPalestina e a Mesopotmia.


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tabelas tornaram-se mais complexas, surgiram as representa-es grficas e o clculo de probabilidades. Desde essa po-ca, a Estatstica deixou de ser a simples catalogao de dadosnumricos coletivos e se tornou o estudo de como chegar aconcluses sobre o todo, partindo da observao e anlise departes desse todo.5 Essa sua maior riqueza.

Para tanto, seu ponto de partida so os dados, os quais so ex-presses numricas de observaes que se fazem de elemen-tos com, pelo menos, uma caracterstica comum.6 Por isso,

A Estatstca uma parte da Matemtica Aplicada quefornece mtodos para a coleta, organizao, descrio,

anlise e interpretao de dados e para a utilizao dos

mesmos na tomada de decises (CRESPO, 1995, p. 13).

De um lado, a Estatstica, basicamente, coleta, organiza e des-creve os dados e, de outro,analisa einterpreta esses dados.7Veja a Figura 1, abaixo:

Fgura 1: Estatstica: Pirmide da definio

A Pirmide da definio da Estatstica nos revela que notopo, isto , o mais importante interpretar. Normalmente,

5 CRESPO (1995, p. 11).

6 CRESPO (1995, p. 13).7 Ver Seo 2: Estatstica Descritiva e Estatstica Indutiva, p. 42.

Mas, agora, essas regieshaviam se rebelado, algumasestavam sob domnio hititae as fronteiras do imprioameaavam ruir. Em suaprimeira campanha militar,com apenas 10 anos e ao ladodo pai, Sethi I, participou daretomada do litoral do Lbano.

A expanso atribuda aRamss comeou com Sethi,que saneou a economia,abriu novas minas de ouro ecriou as condies para queo filho recuperasse o terrenoperdido, diz a historiadorafrancesa Bernadette Menu,autora de Ramss II, oSoberano dos Soberanos [...](ARANHA, 2006).


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as pessoas limitam o termo Estatstica organizao e descri-o dos dados, desconhecendo, portanto, o que ela oferecede mais importante: [...] o aspecto essecal da Estatstca o de proporcoar mtodos ferecas, que permtam co-cluses que trascedam os dados obtdos calmete.(CRESPO, 1995, p. 13, grifo do autor).

por meio da anlise e interpretao dos dados estatsticosque possvel o conhecimento de uma realidade, de seusproblemas, bem como, a formulao de solues apropriadaspor meio de um planejamento objetivo da ao8, para almdos achismos e casuismos comuns.

Parece evidente, a partir da Pirmide, acima, que as etapasda Estatstica devem obedecer s fases da base para o topo,ou seja:

1) Coleta de Dados.Aps a definio do problema a ser estudado e o estabe-lecimento do planejamento do trabalho (forma de coletados dados, cronograma das atividades, custos envolvi-dos, levantamento das informaes disponveis, deline-amento da amostra etc.), o passo seguinte o da cole-ta de dados, que consiste na busca ou compilao dosdados das variveis, componentes do fenmeno a serestudado9.

A coleta de dados poder ser realizada de maneira diretaouindireta. A coleta ser direta quando os dados foremobtidos de fonte primria, isto , sobre elementos infor-mativos de registro obrigatrio, como, por exemplo, ele-mentos pertinentes aos pronturios dos alunos de umaescola. A coleta ser indireta quando proveniente deelementos j conhecidos (coleta direta)10.

2) Crtica dos dados.

procura de falhas e imperfeies, os dados devem ser

cuidadosamente criticados, a fim de noincorrermos emerros grosseiros que possam influenciar nos resultados.11

3) Apurao dos dados.

Criticados os dados, agora, eles devem ser processados,isto , mediante algum critrio de classificao, eles se-ro objeto de operaes matemticas.

8 CRESPO (1995, p. 13).9 CLEMENTE (2003, p. 4).

10 CRESPO (1995, p. 14).11 CRESPO (1995, p. 14).


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4) Exposio ou apresentao dos dados.

Os dados devem ser apresentados sob a forma de tabe-las ou grficos, a fim de tornar mais fcil o exame daquiloque est sendo estudado.

5) Anlise dos resultados.

Todas as fases anteriores se limitam descrio. A an-lise dos resultados obtidos tem por base a induo oua inferncia com o intuito de tirarmos concluses e fa-zermosprevises. Desse modo, buscamos atingir o fimltimo da Estatstica, qual seja: tirar concluses sobre otodo a partir de informaes fornecidas porparte repre-sentativa do todo.12

Diante de tudo isso, podemos afirmar que

A Estatstca est interessada nos mtodoscientficos para coleta, organizao, resumo,

apresentao e anlise de dados bem como na obteno

de concluses vlidas e na tomada de decises razoveis

baseadas em tais anlises. (SPIEGEL, 1975, p. 1, grifo

nosso).

Resulta claro que a Estatstica uma valiosa ferramenta

nas tentativas humanas de interpretao da realidade.

Privilegiadamente til para o exame de fenmenos de

massa, teria a Estatstica utilizao na educao?

Bem, naturalmente, a Estatstica como qualquer outra cincia,

eu suponho, aplica-se educao, na medida em que lidamoscom grandes quantidades. A despeito do que possa ser consi-derado grande quantidade, no restam dvidas quanto suafrtil aplicao no campo educacional, como ferramenta paraa formulao de planos, programas e projetos nos sistemasde ensino, bem como, no interior da prpria escola.

Vamos supor que voc, amigo Trabalhador da Educao,esteja desconfiado que os alunos estejam chegando muito

12 CRESPO (1995, p. 15).

Conhea mais sobre a histriada estatstica no Brasil no site:http://www.redeabe.org.br/


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atrasados para o incio das aulas. Estar desconfiado umimportante incio, mas ainda insuficiente para a tomada dealguma deciso que reverta esse quadro. Por isso, com osrecursos da Estatstica, voc poderia, por exemplo, coletardados sobre o comportamento de toda a escola, com umsimples questionrio, perguntando aos alunos (ou melhor, a

umaparcela da escola13

) sobre quantas vezes eles chegaramatrasados no ltimo ms: a) de 0 a 2; b) de 3 a 5; c) maisde 6.

Observe que a partir desses dados, voc pode analisar se essadesconfiana condiz com a realidade e que medidas, caso ne-cessrio, devem ser tomadas. Esse um pequeno exemplodas infinitas possibilidades que a Estatstica nos possibilita.

Nesse sentido, recorrer aos ensinamentos da Estatstica im-plica, necessariamente, em melhorar a qualidade dos nossosservios.

Talvez, o uso constante da matemtica assuste alguns de ns.Eu compreendo que a matemtica tem sido considerada umacincia que promove a excluso social, em virtude de sua ain-da rgida forma de trabalho nos bancos escolares. No entanto,ainda assim, no posso concordar que, de maneira definitiva,ela sentencie a populao completa ignorncia, como se sa alguns fosse permitida sua apropriao.

Pensando nisso, esforcei-me para que esse Mdulo tornasse aEstatstica (e a matemtica) acessvel a todos, explicando fun-damentos, apresentando frmulas e metodologias apropria-das para as resolues, tudo isso porque, o que nos interes-sa so anlises consistentes que levem melhoria de nossasaes.

Nosso estudo inicia na Udade ii: Cocetos Matemtcoscom uma breve retomada daqueles conceitos matemticos quediretamente condicionam o aprendizado da Estatstica. Assim,naseo 1, estudaremos um pouco as razes e as propores;naseo 2, estudaremos medidas e grandezas, com enfoquena chamada regra de trs simples; depois, naseo 3, retoma-remos o conceito de porcentagem; naseo 4, veremos umaaplicao direta do conceito de porcentagem em coeficientes,taxas e ndices; com aseo 5, retomaremos o importante sis-tema de coordenadas cartesianas e encerraremos, naseo 6,com uma tcnica de arredondamento de nmeros.

13 Ver Unidade 3: Variveis, Tabelas e Grficos, Seo 1: Populao e Amostra, p. 40.


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tstica

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Depois, na Udade iii: Varves, Tabelas e Grfcos estuda-remos naseo 1, populao e amostra; naseo 2, examina-remos mais detidamente os conceitos de Estatstica Indutivae Estatstica Dedutiva; naseo 3, aprenderemos sobre vari-veis; nassees 4 e5, veremos como apresentar de maneiraprtica nossos dados por meio de tabelas e grficos, respec-

tivamente.Na Udade iV: Dstrbuo de Freqca estudaremos a or-ganizao dos dados. Primeiro, na seo 1, identificaremosdados brutos e dados organizados (rol); depois, na seo 2,veremos uma especificidade da organizao dos dados achamada distribuio de freqncia; a seguir, naseo 3, pro-pomos um exerccio completo envolvendo os contedos daUnidade de estudo; por fim, naseo 4, apenas para conhe-cimento, apresentaremos alguns tipos de curvas possveis,

muito utilizadas em apresentaes de dados organizados comessa natureza especfica distribuio de freqncia.

Na nossa ltima etapa de estudo, Udade V: Meddas deResumo exploraremos com maior aproximao os recursosda Estatstica, por meio da seo 1, introduo, onde apon-taremos algumas ressalvas desse estudo; depois, na seo2, trabalharemos, de fato, com mdias e medidas chamadasde tendncia central (mdia aritmtica, mediana e moda); aseguir, naseo 3, trabalharemos com medidas de outra natu-

reza chamadas de medidas de disperso (desvio padro e co-eficiente de variao), mas igualmente teis para a tomada dedecises; por ltimo, naseo 4, estudaremos as chamadasmedidas de posio (quartis, decis e percentis).

Lembro, ainda, que, ao longo dos nossos estudos, existem,aqui e ali, algumas atividades propostas para voc exercitarum pouco (Pratique!) e, no final do Mdulo, voc encontraras respostas dessas atividades.

Desejo a todas e a todos um bom estudo!


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2Cocetos matemtcos


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iDADE2Conceitosmatemticos

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Antes de adentrarmos ao mundo da Estatstica, alguns concei-tos so convenientes resgatar da matemtica. Nosso objetivoser o de to somente relembr-los, por isso, no nos dete-remos muito tempo neles. A idia que como para o estudoda Estatstica eles so pressupostos, ou seja, sem eles im-possvel compreender a proposta da Estatstica, pode ser til

retom-los, sem exagerarmos a dose. Nesse sentido, retoma-remos os conceitos de razo e proporo; a seguir, grandezase medidas; depois, porcentagem; e ainda, coeficientes, taxase ndices; enfim, sistema de coordenadas cartesianas.

Boa leitura!

Seo 1: Razes e Propores

Chamamos de razo a uma maneira de comparar quantida-des. Por exemplo, se um determinado conjunto A possui 10elementos e, outro conjunto B possui 5 elementos, podemoscomparar esses conjuntos. Veja Figura 2, abaixo:

Fgura 2: Razo: Comparao

Voc reparou que para cada elemento do conjunto B existeum elemento do conjunto A? Reparou, ainda, que sobraram 5elementos do conjunto A? Pois bem, a comparao dos con-juntos A e B, da Figura 2, acima, indica que:

105

= 10 5 = 2

Dizemos que a comparao dos 10 elementos do conjunto Acom os 5 elementos do conjunto B a razo de 10 para 5. Deoutra forma, para os 5 elementos de B existem 5 elementosmais 5 elementos de A, existem, portanto, 2 vezes elementosem A comparados a B.

Veja mais sobre fraes nosite da Wikipedia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o

Uma diviso nada mais doque uma simplificao defraes. Observe que 10 5

o mesmo que 105

.

Essa diviso fcil: 105 = 2


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TEVejamos outro exemplo: Suponha que voc possua R$ 2,00

e eu R$ 8,00. Qual a razo do que voc possui para o que eupossuo?

Fgura 3: Razo: Exerccio

Observe que se voc possui R$ 2,00 e eu possuo R$ 8,00, di-zemos que eu possuo 4 vezes aquilo que voc possui ou

28

=

14

Desse modo, dizemos que 2 est para 8 ou 1 est para 4. A Fi-

gura 4, abaixo, talvez ajude a compreender que 28 representaa mesma poro que 1

4. Quando isso ocorre, dizemos que as

razes so semelhates.

Fgura 4: Razo: Representao

Sempre que temos razessemelhantes, prefervel

usar a mais simples, a qual,em matemtica, chama-serazo irredutvel.


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Propores, por sua vez, so tambm comparaes. Mas socomparaes entre duas razes. Veja Figura 5, abaixo:

Fgura 5: Propores: Conceito

Observe que na Figura 5, acima, temos dois desenhos. O

primeiro desenho proporcionalao segundo. Por qu? Va-mos representar o primeiro desenho por meio de uma razo:

5 10 = 510

=12 , ou seja, 1 est para 2. O segundo desenho

pode ser representado como 2 4 = 24

=

12 , isto , 1 est

para 2. Voc notou? Quando duas razes so iguais, estamosdiante de uma proporo:

510

=24 ,

dizemos que: 5 est para 10 assm como 2 est para 4.Um bom uso dasrazes epropores com mapas, plantas emaquetes. Veja a planta de um bairro de uma cidade, abaixo:

Fgura 6: Razes: Propores: Escala


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TEA Figura 6 anterior apresenta o mapa de um bairro em escala.

Isso significa que a escala do mapa indica a razo entre asdistncias representadas e as distncias reais. Isto , a esca-la 1:300000 indica que cada cm no desenho corresponde a300.000 cm reais. Veja:

Escala = distncia no desenho

distncia real

Assim, supondo que voc v em linha reta do Edifcio 1 at aEscola e a distncia no desenho de 12 cm, qual a distnciareal? Fcil:

Soluo:

1300.000

= 12x

x = 12 x 300.000 = 3.600.000

x = 3.600.000 cm

x = 36 km

Logo, a distncia real de 36 Km.

Verifique quais figuras, abaixo so proporcionais,sabendo que as medidas esto em milmetros (mm).

Fgura 7: Razes e Propores: Exerccio


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Seo 2: Gradezas e Meddas

O professor Dante14 inicia sua aula sobre gradezas e med-das fazendo algumas perguntas, como por exemplo:

Qualasuaaltura?

Qualseratemperaturamximahoje?

Qualasuamassa?

Quantotempoduraseutrabalho?

O professor mostra que para responder a essas perguntas preciso usar meddas. Para isso, precisamos usar instrumen-tos, bem como reconhecer as gradezas. Veja:

Fgura 8: Grandezas

Medr comparar gradezas de mesmo tipo. Professores dematemtica adoram dizer: no se pode somar laranjas comlimes!. Eles tm razo: s podemos operar com grandezasiguais. Isso quer dizer que no posso somar 2 horas com 2Km, pois, as grandezas so diferentes (no primeiro caso, agrandeza tempo; no segundo, comprimento).

14 DANTE (2003, p. 111).

No se esquea: em umamedida, deve sempreaparecer o nmero

acompanhado da unidade demedida usada: 5 palmos, 10cm etc.(DANTE, 2003, p. 112).

Em Matemtica, entende-se por grandeza tudo que suscetvel a aumento oudiminuio. Assim, podemosfalar em grandezas como:tempo, velocidade, peso,nmero de pessoas, nmerode objetos etc. (PARENTE;

CARIB, 1996, p. 44).


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Quando eu tomo a medida do comprimento de uma mesa,por exemplo, eu digo: a mesa possui 1 metro de comprimento.Isso quer dizer que eu comparei a unidademetro com o com-primento damesa. Observe a Figura 9, abaixo:

Fgura 9: Medida de Comprimento: Segmento de reta

O segmento de reta AB mede 5 cm; podemos dizer que osegmento AB igual a 5 unidades de medida cm; ou ainda,

= 5 cm. Quando se mede uma gradeza sempre se com-para com um padro de referncia estabelecido. Por exemplo,dizer que uma corda tem 30 metros de comprimento dizerque ela 30 vezes maior do que um objeto cujo comprimentofoi definido como sendo um metro.15

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais

quando o aumento do valor de uma leva ao aumento do

valor da outra e so inversamente proporcionais quando, aocontrrio, o aumento de uma leva diminuio de outra. Para

resolvermos problemas envolvendo grandezas direta ou

inversamente proporcionais, recorremos regra de trs.

Regra de Trs Smples

Quando colocamos gasolina em um automvel, o preo quepagamos dretamete proporcoal ao volume de gasolina

colocado. Observe que se o preo do litro de gasolina custaR$ 2,59, possvel saber quanto custar para encher um tan-que de 55 litros. Veja:

Litros degasolina

Preo(R$)

1 2,59

55 x

15 SEARS; ZEMANSKY; YOUNG (1985, p. 3).

Conhea mais sobre regra detrs simples no site:http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php


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Note que conhecemos trs nmeros e queremos conhecerum nmero:x. Esse quarto nmero conhecido como quartaproporcionale, para encontr-lo, utilizamos o procedimentoconhecido como regra de trs.

Solucionando nosso problema, temos que:

Ento, para encher um tanque de 55 litros, gastarei

R$ 142,45.

Voc notou que a regra de trs nada mais do que umaproporo?

Para o caso de grandezas versamete proporcoas, pre-ciso tomar um pequeno cuidado na hora de montar a propor-o. O restante igual ao caso anterior. Um problema clssicodesse tipo o dos pedreiros construindo um muro: 3 pedrei-ros trabalhando constroem um muro em 10 dias. Em quantos

dias 6 pedreiros construiriam o mesmo muro trabalhando nomesmo ritmo? Vamos responder:

Nmero depedreiros

Tempo(em dias)

3 10

6 x


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Observe que utilizamos duas setas: uma para o nmero depedreiros e outra para o tempo. A seta para cima indica queo nmero de pedreiros aumentou (de 3 para 6); a seta parabaixo indica que o tempo diminuiu (de 10 para x). Veja quemesmo eu no sabendo, ainda, quanto tempo ser, eu possogarantir que o tempo ser menor do que 10 dias, se com 3

pedreiros eu preciso de 10 dias, com mais pedreiros eu pre-cisarei de menos de 10 dias, no mesmo? Quando as setasesto orientadas para sentidos diferentes, estamos diante degrandezas inversamente proporcionais. Na prtica, isso mu-dar nossa proporo:

Soluo:Note que a segundarazo foi invertida.

36 =x10

Ento,

6x = 3 x 10

x = 306x = 5

Aumentando o nmero de pedreiros de 3 para 6, o muro seriaconstrudo em 5 dias.

Sabendo que a altura da mulher de 1,60m,

quanto mede seu cachorro?

Fgura 10: Regra de Trs: Exerccio

preciso estar sempreatento s grandezas: se sodiretamente ou inversamenteproporcionais.


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Seo 3: Porcetagem

Porcetagem uma razo com o denominador sempreigual a 100.

Desse modo, 25100

, por exemplo, umaporcentagem e pode

ser expressa como 25% (vinte e cinco por cento).

Na prtica, calculamos as porcentagens em diversas situaes.Suponha que meu salrio seja de R$ 400,00 e eu receberei umaumento de 12%. Quanto passarei a receber?

Soluo:

12% de 400 = 12 x 400

100= 48

Passarei a receber, portanto, R$ 400,00 + R$ 48,00 = R$ 448,00.

Sempre vemos nos supermercados o uso das porcentagens.Por exemplo: um produto de R$32,00 est com desconto de7%. Por quanto ele est sendo vendido?

Soluo:

7% de 32 = 7 x 32100

= 2,24. Ento,

32,00 2,24 = 29,76

Logo, o produto est sendo vendido a R$ 29,76.

Vamos realizar um outro tipo de exerccio muito comum, como uso de porcentagens. A Tabela 1, abaixo, apresenta a popu-lao total brasileira, por sexo. Pergunta-se: qual a porcenta-gem de mulheres na populao total brasileira?

Tabela 1: Populao: Brasil

Populao resdete, por sexo

Grupos por idade Total Homens Mulheres

Total 169 872 856 83 602 317 86 270 539

Fonte: IBGE, Censo 2000

Para responder a essa pergunta, tenho que ter clareza de que

a populao total brasileira corresponde a 100%. Assim,


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TE100% = 169.872.856

O que quero descobrir qual a porcentagem desse total quecorresponde a 86.270.539. Veja:

Porcentagem Populao

100 169.872.856x 86.270.539

Para resolver o problema, usaremos o conceito de propor-es, assim:

100x

= 169.872.85686.270.539

169.872.856x = 100 x 86.270.539

x = 8.627.053.900169.872.856 = 50,78%

Assim, no Brasil, a populao de mulheres corresponde a50,78% da populao total.

Sabendo que a populao total brasilei-

ra de 169.872.856 e que a populao brasilei-ra em idade escolar de 30.502.425*, pergunta-se:

qual o percetual de brasleros em dade escolar?Em outras palavras, quantos por cento da populao to-

tal brasileira est em idade escolar? Registre a ativida-

de em seu memorial.

*Fonte: IBGE, Censo Demogrfico 2000

Seo 4: Coefcetes, taxas e dcesCoefcete, outro importante conceito matemtico que que-remos resgatar, tambm o resultado de uma diviso de umaquantidade por outra. Por exemplo, se numa escola com 400alunos, 80 ficaram reprovados, ento, o coeficiente de repro-vao foi de 0,2, porque

nmero de reprovados nmero de alunos = 0,2.

Os coeficientes sorazes entre o nmerode ocorrncias e onmero total (nmero deocorrncias e nmero deno-ocorrncias). (CRESPO,1995, p. 34).


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Para facilitar os clculos, comum transformarmos o coefi-ciente em taxa. Para isso, basta multiplicarmos o coeficientepor 10, 100, 1000 ou qualquer outra potca de 10. Normal-mente, usamos 100. Observe:

0,2 x 100 = 20%

Coeficientede Taxa dereprovao reprovao

Fgura 11: Coeficiente e Taxa

Nosso coeficiente de reprovao (0,2) multiplicado por 100 igual taxa de 20%, pois, 0,2 x 100 = 20%. Mas o que issosignifica? Significa que de que cada 100 alunos, 20 ficaramreprovados.

Observe como fcil comprovar isso. Vamos agrupar os

400 alunos em grupos de 100. Assim, teramos 4 grupos

de 100 alunos. Cada grupo possui 20 reprovados. Logo, 20

vezes 4 igual a 80 alunos reprovados. Bem, isso mostraque nosso coeficiente de reprovao (20%) est correto.

Como se v coeficiente e taxa so conceitos muito parecidos.A nica diferena a multiplicao do coeficiente pelapotn-cia de 10 que dar a taxa.

O conceito de dce, por sua vez, no muito diferente, senopor uma nica razo: dividimos grandezas diferentes. Obser-ve que no nosso exemplo, o coeficiente de reprovao 0,2 ea taxa de reprovao de 20%; nos dois exemplos estamostratando do nmero dealunos. Assim,

Coeficiente de reprovao = no de alunos reprovados no total de alunos

As taxas so os coeficientesmultiplicados por umapotncia de 10 (10, 100, 1.000etc.) para tornar o resultadomais inteligvel. (CRESPO,

1995, p. 35).

Os ndices so razes entreduas grandezas tais queuma no inclua a outra.(CRESPO, 1995, p. 34).


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TEMas suponha que queiramos saber a relao entre o nmero

dealunos reprovados e o nmero de alunos reprovados emmatemtica. Nesse caso, estamos diante de duas grandezasdiferentes. Assim, essa comparao de grandezas diferenteschama-se dce (por exemplo,ndice de reprovados por dis-ciplina).

Vamos realizar um exerccio. Veja a Tabela 2, abaixo:

Tabela 2: Aprovao: Ensino Fundamental: Brasil: 2005

Unidade daFederao

Alunos aprovados no Ensino Fundamental

Total

Total Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 26.368.619 23.172 9.752.502 13.434.669 3.158.276

Fonte: Censo Escolar 2005

Essa Tabela apresenta o total de alunos aprovados no ensinofundamental brasileiro, por dependncia administrativa. Va-mos calcular coeficiente e taxa utilizando essa Tabela.

Primeiro: qual o coeficiente de aprovao no ensinofundamental dos alunos que freqentam escolas da rede

municipal?

Para responder a essa pergunta faremos a seguinte diviso:

total de aprovados na rede municipal

coecente de aprovao da rede municipal = total de aprovados no Brasil

Assim,

coecente de aprovao da rede municipal = 13.434.66926.368.619

= 0,5


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Isso tem algum significado muito importante para a educa-o? Pouco provvel, a no ser pelo fato de que o coeficientede 0,5 (que representa uma taxa de 0,5 x 100 = 50%) corres-ponde a dizer que de cada 100 alunos aprovados no pas, 50so da rede municipal.

Veja que trabalhamos com coeficiente e taxa no exemplo aci-

ma. Agora, para trabalharmos comndice, precisaremos com-parar grandezas diferentes. Relembrando, se voc ainda tiverdvidas sobre grandezas, retome a Seo 2: Grandezas e Me-didas, desta Unidade.

Vamos supor que queiramos estabelecer o ndice de densi-dade professor-aluno aprovado no ensino fundamental na

rede municipal de ensino. Precisaremos, portanto, da Tabela3, abaixo.

Tabela 3: Funo Docente: Educao Bsica: Brasil: 2005

Unidadeda

Federao

Funes Docentes Exercendo Atividades em Sala de Aula


Brasil 2.589.688 14.980 940.039 1.110.132 524.537


Nesse caso, estamos diante de duas grandezas diferentes:professores e alunos. Assim,

ndice de densidade professor aluno da rede municipal = 1.110.13213.434.669

= 0,08

Isso representa uma taxa de 0,08 x 100 = 8%; ou seja, paracada 100 alunos aprovados na rede municipal, h 8 profes-sores.

Calcule o coeficiente de aprovao no Ensino Fun-

damental da rede privada, da zona rural brasileira utili-

zando a Tabela 4, abaixo. Depois, transforme esse coefi-

ciente em taxa.

Registre os resultados em seu memorial.

Observe que um ndicetambm pode sertransformado em taxa.


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TETabela 4: Aprovao: Ensino Fundamental: Rural: Brasil: 2005

Unidade daFederao

Alunos aprovados no Ensino Fundamental

Rural


Brasil 4.085.448 499 499.117 3.553.931 31.901


Seo 5: Sstema de Coordeadas Cartesaas

Os professores Jakubo e Lellis (1995) contam uma histriabastante interessante sobre o famoso filsofo e matemticofrancs Re Descartes:

Fgura 12: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Origem

Dizem que ele estava descansando na cama, quando viu umamosca pousada na parede. A mosca voou, mas Descartes ficoupensando. Como poderia explicar a uma outra pessoa qual era a

posio exata da mosca na parede? (JAKUBOVIC; LELLIS, 1995,p. 210).

Esse teria sido o incio do sstema de coordeadas cartesa-as. Descartes imaginou duas retas: uma horizontal e outravertical. Se ele marcasse nmeros nessas retas, ficaria fcillocalizar a mosca. Veja Figura 13, abaixo:

Famoso por ter proferido afrase penso, logo existo,Descartes (1596-1658)escreveu o Dscurso doMtodo, em 1637, que irmarcar profundamente arealizao da cincia nomundo. O nome cartesianasvem do nome do seu autor,Descartes.


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Fgura 13: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Eixos

Dessa forma, para localizar um ponto em um plano,usamos:16

Asretasnumeradasx e y chamam-se exos cartesaos:o eixo x horizontal, o eixo y vertical;

Oplanocomesseseixoschama-seplao cartesao;

Osparesordenadossoascoordeadas cartesaas doponto;

Opontocorrespondenteorgem o par ordenado (0; 0).

Veja a Figura 14, abaixo:

Fgura 14: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Pontos

16 JAKUBOVIC; LELLIS (1995, p. 211).


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TEDe maneira mais completa, podemos localizar qualquer ponto

no plano: o ponto A se encontra em (6; 6), isto , x 6 e yvale 6; o ponto B (4; 2); e assim por diante. Viu? Na prtica,usamos o sistema de coordenadas cartesianas em diversassituaes diferentes quando queremos localizar um ponto emum plano. Veja a Figura 15, abaixo:

Fgura 15: Sistema de Coordenadas Cartesianas: Exerccio

Como localizar o carro B, por exemplo? Claro! O carro B estna Rua 1 com a Avenida 1, ou seja, B (Rua 1; Avenida 1). O

carro A est na origem de nosso sistema; as Ruas indicam oprimeiro nmero do par ordenado (x) e as Avenidas o segun-do nmero (y). Desse modo, A (Rua 0; Avenida 0); o carro Cest na Rua 2, Avenida 3, isto , C (Rua 2; Avenida 3). Pronto!

Na Figura 15, acima, identifique todos os cruza-

mentos que no possuem carros.

Seo 6: Arredodameto

Com essa Seo 6 encerramos nossa Unidade II.

Entendemos por arredodameto de dados atcnica utilizada para suprimir unidades inferiores, isto ,

arredondar um nmero significa reduzir a quantidade de

algarismos aps a vrgula.


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Um nmero apresenta uma parte inteira e uma parte fracion-ria. Veja:

Fgura 16: Arredondamento de Nmeros

s vezes, queremos trabalhar com nmeros com, digamos,uma casa decimal, mas o que fazer quando o resultado en-

contrado for um nmero com muito mais casas depois davrgula? A rigor, na Estatstica, precisamos seguir um critriorgido de arredondamento a fim de no comprometermos osresultados.

Por exemplo, suponha que queiramos trabalhar com duas ca-sas decimais e nosso resultado foi 1,1417. Como fazer?

Conforme a Resoluo n 886/66 do IBGE, o

arredondamento realizado da seguinte maneira:

Fgura 17: Arredondamento: FluxogramaFonte: Adaptado de: CRESPO (1995, p. 174)

Na matemtica, muitasvezes, deparamo-nos

com situaes onde oclculo nunca d certo seno transformarmos essenmero em frao.


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Caso haja necessidade de alterao, nossa ateno deve re-cair sobre o primeiro algarismo a ser abandonado. Teremostrs caminhos possveis:

1) Seguimos o primeiro caminho (i) quando o primeiro alga-rismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4. Nesse caso, o

algarismo a permanecer ficar sem alterao. Por exemplo,4,84 passa a 4,8;

2) Seguimos o segundo caminho (ii) quando o primeiro alga-rismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9. Nesse caso, o l-timo algarismo a permanecer ser aumetado de um. Porexemplo, 4,87 passa a 4,9;

3) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, se-guimos o iii caminho. Nesse caso, temos que prestar muita

ateno, pois, o caminho se divide em dois percursos:a) Quando o nmero a ser abandonado for 5 e ele for o

ltimo ou seguido de zeros, aumetaremos uma uda-de apeas quadoo ltmo algarsmo a permaecerformpar. Por exemplo: 5,85 passa a 5,8;

b) Quando o nmero a ser abandonado for 5 seguido de al-gum nmero diferente de zero, aumeta-se uma udadeao algarismo a permanecer. Por exemplo, 8,55000000002passa a 8,6.

Casos de arredondamento no so difceis, mas requeremmuita prtica at compreendermos bem os processos. Noh outra alternativa.

Ressalto que, em nosso Mdulo, simplesmente abandonamosa parte fracionria sem todo esse rigor. Por isso, esteja von-tade para fazer correes s respostas, caso voc julgue per-

tinente.

1) Arredonde cada um dos dados abaixo,

deixando-os com apenas uma casa decimal (CRES-

PO, 1995, p. 174):

2,38 =

24,65 =

0,351 =

4,24 =

328,35 =

2,97 =

6,829 =

5,550 =

89,99 =

Observe que o ltimoalgarismo a permanecer 8(par). Nesse caso, no sofreralterao.

Observe que o ltimoalgarismo a permanecer 5 eo primeiro a ser abandonadotambm 5. O ltimoalgarismo a permanecer (5)foi aumentado de 1 porquehavia, aps o algarismoa ser abandonado (5) umalgarismo diferente de zero.


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iDADE4Distribuiodefreqncia

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2) Arredonde cada um dos valores abaixo para o

centsimo mais prximo (CRESPO, 1995, p. 174):

46,727 =

123,842 =

253,65 =

299,951 =

28,255 =

37,485 =


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3Varves, tabelas egrfcos


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iDADE3Variveis,

tabelasegrficos

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Nessa Unidade III, nosso objetivo estudar algumas maneirasde organizao e exposio dos dados de um fenmeno sobestudo. Para isso, preciso compreender o significado de po-pulao e amostra (seo 1); a seguir, naseo 2, retomaremosa distino j iniciada nesse estudo, entre a Estatstica voltadapara a descrio (Estatstica Descritiva) e a voltada para inter-

pretao (Estatstica Indutiva ou Inferencial); naseo 3, apren-deremos sobre como trabalhar com os fenmenos a partir desua representao numrica conseguida com a aplicao doconceito de varivel; depois, na seo 4, iremos formalizar aexposio dos dados em uma Tabela, como forte recurso visualda Estatstica; para, enfim, naseo 5, reconhecermos os grfi-cos como poderosas ferramentas para rpida e eficiente com-preenso do comportamento da(s) varivel(eis) em estudo.

Boa leitura!

Seo 1: Populao e Amostra

Ao examinar um grupo qualquer, considerando todos os seuselementos, estamos tratando da populao ou uverso. Nemsempre isso possvel. Nesse caso, examinamos uma peque-na parte chamada amostra.

Uma populao pode serfinita (isto , possuir fim) ou infinita(no possuir fim). Por exemplo, a populao dos alunos de sua

escola finita e a populao constituda de todos os resultados(cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda infinita.

Se uma amostra representativa de uma populao, pode-mos obter concluses importantes sobre a populao. Mastambm, podemos analisar e descrever um certo grupo semtirar concluses ou inferncias sobre um grupo maior, nessecaso, a parte da Estatstica que se preocupa com isso a cha-mada estatstica descritiva ou estatstica dedutiva .

Vamos realizar um exerccio. Observe a Tabela 5, abaixo.

Tabela 5: Populao Escolar: Sexo

EscolasNo de Estudantes

Masculino Feminino

A 80 95B 102 120C 110 92D 134 228E 150 130F 300 290

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 24).

Para que as concluses sejamvlidas preciso observaralguns critrios; quem estudaesses critrios a estatsticaindutiva ou infernciaestatstica. Dizemosinferncia quando queremosnos referir a uma conclusosobre uma populao a partirdo exame da amostra dessapopulao.


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Essa Tabela se refere populao escolar, por sexo e por es-cola, de uma determinada localizao. Um exerccio interes-sante retirar uma amostra, digamos, de 10% da populao.Bem, para isso, precisaremos considerar escola por escola.

Tabela 6: Clculo da amostragem proporcional estratificada

Escolas Populao 10% Amostra

A

M = 80 10 x 80100

= 8 8

F = 95 10 x 95100

= 9,5 9

B

M = 102 10 x 102100

= 10,2 10

F = 120 10 x 120100

= 12 12

C

M = 110 10 x 110100

= 11 11

F = 92 10 x 92100

= 9,2 9

D

E

F

Procedendo assim, temos que na escola A, devemos conside-rar 8 alunos e 9 alunas; na escola B, 10 alunos e 12 alunas; naescola C, 11 alunos e 9 alunas.

Complete a Tabela 6, acima, e registre o resultado

em seu memorial.

Muitas vezes, a populaose divide em subpopulaeschamadas estratos. Aamostragem proporcionalestratificada considera osestratos para a amostra, demaneira anloga Tabela 6,ao lado.


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Seo 2: Estatstca Descrtva e Estatstca idutvaou iferecal

Como j afirmamos, a Estatstica interessa-se pelo tratamentode fenmenos por meio de mtodos cientficos capazes deauxiliar a tomada de decises.

O principal objetivo da Estatstica tirar concluses

sobre o todo (populao), a partir de informaes

fornecidas por parte representativa do todo (amostra).

O primeiro passo consiste em coletar, criticar, apurar e exporos dados.17 Essas so etapas da Estatstca Descrtva. Ob-serve que cumpridas essas etapas, ainda no possvel tirar

concluses muito seguras, mas possvel, por exemplo, co-nhecer a realidade da escola, bem como conhecer seus pro-blemas.

O passo seguinte consiste na Estatstca idutva ou ifere-cal. Basicamente, nessa etapa, ocorre a anlise e a interpre-tao do fenmeno em estudo, com o intuito de tirar conclu-ses e fazer previses.18 Agora, possvel formular soluesconsistentes sobre os problemas levantados de uma dada re-alidade.

A Estatstica, portanto, comea com a descro para, s de-pois, chegar a cocluses. Veja:

Fgura 18: Estatstica Dedutiva e Estatstica Indutiva: Fluxograma

17 Ver Unidade 1: Introduo ao Estudo da Estatstica, p. 11.18 CRESPO (1995, p. 15).


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A Figura acima revela que o ponto de partida um proble-ma. Seria muito bom se pudssemos pegar o atalho e doproblema fssemos, imediatamente, para a ao. Emboraalguns gestores (do setor pblico e do setor privado) ajamassim, isso no muito seguro. O interessante observar asduas etapas (i e ii), a fim de garantir um mnimo de segurana

de que estamos no caminho correto para a soluo do proble-ma evidenciado.

Dessa maneira, uma vez identificado onde se deseja atuar, opasso seguinte o do plaejameto (Que recursos possuo?Que mtodos de coleta de dados irei utilizar? Que tempo pos-suo? Qual o universo? Qual a amostra? etc.). Feitas as esco-lhas, entramos na Etapai: Estatstica Descritiva.

Nessa etapa I, todos os passos devem ser observados: cole-ta, crtica, apurao e exposio dos dados. S depois disso,estamos preparados para a Etapa ii: Estatstica Indutiva ou In-ferencial. Nessa etapa da soluo do problema, podemos tirarconcluses e fazer algumas previses com maiores chancesde acertar do que se pegssemos o atalho.

A propsito, essa talvez a maior contribuio da Estatsticapara nossas atividades no ambiente de trabalho: apresentar-se como uma poderosa ferramenta para a soluo de proble-mas.

Seo 3: Varves

Se consideramos o fenmeno sexo, haveria, pois, dois re-sultados possveis: masculino ou feminino. O fenmeno totalde filhos tambm possui um nmero determinado: 0, 1, 2,3... Mas o fenmeno estatura apresenta uma situao dife-rente: 1m64cm, 1m58cm, 1m75cm...

Chamamos de varvelo conjunto de resultados possveis deum fenmeno19. A varivel pode ser qualitativa (masculino-feminino) ou quantitativa (expressa por nmeros: salrios,idade etc.).

A varivel quantitativa pode ser cotua ou dscreta. Porexemplo, o nmero de crianas de uma famlia pode ser 0, 1,2, 3... Mas, jamais, pode ser 2,5 ou 3,842. Chamamos essa va-rivel de discreta. J a altura de um indivduo pode ser 1,65m,

19 CRESPO (1995, p. 17).


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1,662m ou 1,6722m, conforme a preciso da medida, e umavarivel contnua.20 Assim,

Uma varivel quantitativa que pode assumir,

teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe

o nome de varivel contnua; uma varivel que s podeassumir valores pertencentes a um conjunto enumervel

recebe o nome de varivel discreta.21

Veja:

Fgura 19: Variveis: Definies

Explicando melhor, a Figura acima mostra que varvel cor-responde aos resultados possveis de um conjunto. Ser va-rvel qualtatva, quando seus valores forem expressos poratributos (qualidades), como, por exemplo, sexo, cor da peleetc. e ser varvel quattatva quando seus valores foremexpressos por nmeros. Nesse ltimo caso, varivel quantita-tiva, poder ser dscreta, quando assumir, apenas, um dos va-lores do conjunto como, por exemplo, o nmero de alunos deuma escola. Ser uma varivel quantitativa cotua, quandopuder assumir qualquer valor entre dois limites, por exemplo,peso, estatura etc.22

20 SPIEGEL (1975, p. 2).

21 CRESPO (1995); SPIEGEL (1975).22 CRESPO (1995).


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De modo geral, as medes do origem a variveis quanti-tativas contnuas e as cotages ou umeraes, a variveisdiscretas.23 Alm disso, comum designar as letras x, y e zpara representar as variveis. Por exemplo:

Sejam 2, 3, 5 e 8 todos os resultados possveis de um dado fe-nmeno. Fazendo uso da letra x para indicar a varivel relativa ao

fenmeno considerado, temos: x {2, 3, 5, 8}.24 Isso significaque x pertence ao conjunto.

Vamos realizar um exerccio? Complete o Quadro 2, abaixo,classificando as variveis em qualitativas ou quantitativas(contnuas ou discretas).

Uverso Varvel

Alunos de uma escola. Cor dos cabelos Varivel qualitativa.

Casais residentes em uma ci-dade.

Nmero de filhos Varivel quantitativa discreta.

As jogadas de um dado.O ponto obtido em cada jogada .........................................................

Peas produzidas por certamquina.

Nmero de peas produzidas porhora .........................................................

Peas produzidas por certamquina.

Dimetro externo .........................................................

Quadro 2: Tipos de variveisFonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18).

Classifique as variveis abaixo em (1) vari-

vel qualitativa, (2) varivel quantitativa discreta e (3)

varivel quantitativa contnua, relacionando as duas co-

lunas

23 CRESPO (1995, p. 18).24 CRESPO (1995, p. 18).


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Colua 1 Colua 2( ) Populao: alunos de uma cidade

Varivel: cor dos olhos ( 1 ) varivel qualitativa

( ) P: estao meteorolgica de umacidadeV: precipitao pluviomtrica duranteum ano

( 2 ) varivel quantitativadiscreta

( ) P: Bolsa de Valores de So PauloV: nmero de aes negociadas ( 3 ) varivel quantitativacontnua

( ) P: funcionrios de uma empresaV: salrios

( ) P: pregos produzidos por uma mquinaV: comprimento

( ) P: casais residentes em uma cidadeV: sexo dos filhos

( ) P: propriedades agrcolasV: produo de algodo

( ) P: segmentos de retaV: comprimento

( ) P: bibliotecas da cidade de So PauloV: nmero de volumes

( ) P: aparelhos produzidos em uma linha de montagemV: nmero de defeitos por unidade

( ) P: indstrias de uma cidadeV: ndice de liquidez

Fonte: Adaptado de CRESPO (1995, p. 18-19).

Seo 4: Tabelas

Uma das preocupaes da estatstica, como j vimos, anali-sar dados, para isso, preciso compreender o comportamen-to deles. E isto, a estatstica consegue apresentando valoresem tabelas e grfcos, que iro fornecer informaes rpidase seguras a respeito das variveis em estudo.

At aqui, em nosso estudo, lidamos com tabelas e quadros,qual a diferena? Quadros apresentam informaes no nu-mricas, isto , informaes que no so objeto de tratamentonumrico. Diferentemente, as tabelas so numricas e servempara clculos.

As tabelas so muito teis para a construo de sres es-tatstcas. Denominamos srie estatstica toda tabela queapresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsti-cos em funo da poca, do local ou da espcie (CRESPO,

1995, p. 26).

As tabelas apresentaminformaes tratadas

estatisticamente, conformeIBGE (1993) (BRASIL, 2002).


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Por exemplo:

Tabela 7: Populao Mundial:

Srie Histrica

Ano Populao

2002 6.229.629.168

2003 6.303.112.453

2004 6.376.863.118

2005 6.451.058.790

2006 6.525.486.603

Fonte: U.S. CENSUS (2006)

A Tabela 7, acima, apresenta:

1) Ttulo: Conjunto de informaes, o mais completopossvel. Responde a perguntas como: o qu? Quan-do? Onde? No nosso exemplo: Tabela 7: PopulaoMundial: Srie Histrica.

2) Cabealho: Parte superior da tabela que especifica o

contedo das linhas. No nosso exemplo: Ao e Popu-lao.

3) Lhas: Retas imaginrias que facilitam a leitura, nosentido horizontal, de dados que se inscrevem nosseus cruzamentos com as colunas. Por exemplo, noano de 2002 havia 6.229.629.168 de habitantes no pla-neta.

4) Casa ou clula: Espao destinado a um s nmero.Por exemplo, 6.525.486.603 um nmero que ocupa

uma casa ou clula.5) Colua dcadora: Parte da tabela que especifica o

contedo das linhas. No nosso exemplo, a coluna in-dicadora a do Ao (2002 a 2006).

6) Colua umrca: Parte da tabela que contm os da-dos apresentados. Em nosso exemplo, a coluna nu-mrica a da Populao.

1

2

3

4

5

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Agora que conhecemos a constituio de uma tabela simples,vamos estudar uma srie estatstica. Observe a Tabela 8, abaixo:

Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie:Diurno: Brasil

Unidade daFederao

Matrculas o Eso Fudametal de 5a a 8a sre

DiurnoTotal Federal Estadual Municipal Privada

Brasil 13.629.874 18.183 7.386.348 4.664.840 1.560.503

Fonte: MEC/Inep

O ttulo da tabela Matrculas no Ensino Fundamental de 5aa 8a srie: Diurno: Brasil. Observe que, pelo ttulo, possvel

apreender diversas informaes, tais como: a tabela se referea matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8a srie; na tabelaencontraremos dados referentes ao ensino diurno; e se refereao Brasil como um todo, no a um estado da federao emparticular. Mas, apenas pelo ttulo no possvel saber todoo contedo (como por exemplo, no sabemos se encontra-remos dados do sistema privado de ensino), mas ele j nosinforma muito. Agora...

Identifique os demais componentes da

Tabela 8: Matrculas no Ensino Fundamental de 5a a 8asrie: Diurno: Brasil (acima).

Algumas vezes, necessrio apresentar em uma nica tabelaa variao de valores de mais de uma varivel, isto , fazer aconjugao de duas ou mais sries. Tabelas contendo sriegeogrfica e srie histrica so muito comuns no campo da

educao. Vamos trabalhar com uma tabela parecida com aanterior. Observe a Tabela 9, abaixo:

Tabela 9: Nmero de matrculas na pr-escola

Unidade daFederao

Matrculas a Pr-Escola2002 2003 2004

Acre 21.737 21.682 23.148Alagoas 57.671 57.981 73.741Distrito Federal 71.985 76.926 81.786So Paulo 1.276.434 1.325.507 1.391.238

Fonte: MEC/Inep (2006)

Conjugando duas ou maissries em uma nica tabela,obtemos uma tabela de duplaentrada. Em uma tabeladesse tipo ficam criadasduas ordens de classificao:uma horizontal (linha) e umavertical (coluna) (CRESPO,1995, p. 28).


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Essa uma tpica tabela conjugada de dupla entrada. Observeque ela possui uma srie histrica (2002, 2003 e 2004) e umasrie geogrfica (Acre, Alagoas, Distrito Federal e So Paulo).Podemos dizer que ahorizontal(linha) e a vertical(coluna) for-mam duas ordens de classificao. Por exemplo, no DistritoFederal (linha horizontal srie geogrfica), o nmero total de

alunos matriculados na pr-escola variou no perodo de 2002a 2004 (colunas verticais srie histrica). Sem dvida, esta-mos diante de uma tabela conjugada de dupla entrada.

Visite o stio do Inep e procure a Tabela de

Matrcula no Ensino Fundamental de 5 a 8 srie (ou

outra Tabela qualquer) do seu municpio e identifique os

componentes dessa tabela. Monte duas tabelas: uma

simples e uma de dupla entrada.

Seo 5: Grfcos

Observe a comparao abaixo, sobre a exposio dos mes-mos dados por estratgias diferentes: Tabela e Grfico.

Tabela 10: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: Urbano

Unidade daFederao

Matrculas o Eso MdoDiurno


Brasil 8.824.397 56.464 7.528.326 149.917 1.089.690


Grfco 1: No de matrculas no Ensino Mdio: Brasil: UrbanoFonte: Censo Escolar 2005

Sries compostas de trsou mais entradas podemexistir, mas so raras devido adificuldade de representao.

Conhea o stio do INEP :http://www.inep.gov.br


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Tanto a Tabela 10, quanto o Grfico 1, acima, possuem a mes-ma finalidade: sintetizar os valores que a varivel matrcu-las no Ensino Mdio brasileiro, urbano pode assumir, paraque tenhamos uma viso global da variao dessa varivel.Ambos, Tabela e Grfico, so maneiras vlidas de apresenta-o dos dados de tal forma que podemos, de maneira clara,

explor-los.Na comparao acima, por exemplo, vemos com mais clarezae mais rapidamente no Grfico 1 que a maioria dos alunos doEnsino Mdio brasileiro encontra-se na rede estadual de ensi-no. Essa a finalidade da disposio dos dados quer seja emTabelas ou em Grficos: apresentar de maneira simples, comeficincia e rigor, os dados de um conjunto em estudo. Comoj vimos muito sobre Tabelas, iremos nos concentrar, agora,em Grficos.

Por definio:

O grfco estatstco uma forma de apresentaodos dados estatsticos, cujo objetivo o de produzir, no

investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais

rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos

falam mais rpido compreenso que as sries. (CRESPO,

1995, p. 38).

Um Grfico estabelece uma relao entre os termos de umasrie e determinada figura geomtrica, como no nosso Grfico1, acima, no qual a srie estatstica (Tabela 10) foi apresentadana forma de grfico de pizza.

Mas ateno: uma das formas mais eficazes de transmitir umainformao com certo rigor usando grficos. No entanto, umgrfico que no seja claro pode confundir o leitor25. Por isso,

a representao grfica de um fenmeno dever obedecer acertos critrios fundamentais:26

1) Simplicidade;

2) Clareza;

3) Veracidade (o grfico deve expressar a verdade sobre ofenmeno).

25 PEREIRA (2004, p. 51)26 CRESPO (1995, p. 38).


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Os principais tipos de grficos so: dagramas, cartogramase pctogramas.

Dagramas

Os dagramas, normalmente, possuem duas dimenses, onde

fazemos uso do sistema de coordenadas cartesianas27. Podemser dos seguintes tipos:grfico em linha ou em curva;grficoem colunasouem barras;grfico em colunasou em barrasmltiplas;grfico em setores.

Vejamos um exemplo de grfco em lha. Consideremos aseguinte srie histrica apresentada na Tabela abaixo:

Tabela 11: Matrculas na Educao Infantil: Brasil

ModalidadeMatrculas a Educao ifatl: Brasl.

1999 2000 2001 2002 2003 2004

Creche 831.978 916.864 1.093.347 1.152.511 1.237.558 1.348.237

Pr-Escola 4.235.278 4.421.332 4.818.803 4.977.847 5.155.676 5.555.525

Fonte: MEC/Inep

Vamos construir o grfico em linha, por exemplo, do nmerode alunos matriculados na Pr-Escola, no perodo considera-do. Para isso, precisaremos montar o sistema de coordenadascartesianas. muito simples, como j vimos, nesse sistema,para cada ano do eixo x, encontraremos uma quantidade dematrculas correspondente y, formando, assim, o par orde-nado (x;y). Em 1999, temos 4.235.278 matrculas, formandoo par ordenado (1999; 4.235.278); em 2000, o par ordenadoser (2000; 4.421.332); e assim sucessivamente. Pronto, a ta-refa est realizada! Veja o resultado, abaixo.

27 Ver Unidade 2: Conceitos Matemticos, Seo 5: Sistema de Coordenadas Cartesianas,p. 33.


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Grfco 2: Matrculas na Pr-Escola: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

Considerando ainda a srie estatstica representada pela Tabe-la 11, acima, realizaremos, agora, outra representao grfica:

o grfcoem barras. Nesse tipo de grfico, a representaoser em forma deretngulos, dispostoshorizontalmente (embarras). Poderamos tambm, dispor a srie histrica vertical-mente, ento, teramos um grfico em colunas.

Vamos representar desta vez, a evoluo das matrculas naCreche. Dessa vez, o eixox ser representado pelo nmero dematrculas na Creche e o perodo est representado no eixoy.Veja como fica o grfico:

Grfco 3: Evoluo das matrculas na creche: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

Vamos juntar as duas informaes, a evoluo das matrculasna Creche e na Pr-Escola, em um s grfico? Para isso, ire-mos considerar, novamente, a srie estatstica representa pelaTabela 11. Observe o resultado:


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Grfco 4: Evoluo das matrculas na educao infantil: creche epr-escola: Brasil: 1999-2004Fonte: MEC/Inep

O Grfico 4, acima, um exemplo de grfco em coluas oubarras mltplas

. Nele, podemos comparar, rapidamente ecom clareza, a evoluo das matrculas na educao infantilbrasileira, na Creche e na Pr-Escola, ao mesmo tempo.

Como voc j notou, as diversas representaes grficas ser-vem para apresentar os dados com rigor metodolgico e demaneira clara; seus usos dependem da finalidade da expo-sio. s vezes, podemos utilizar diversas representaesgrficas, mas, algumas vezes, existem representaes ideaispara os dados a serem expostos. assim que, por exemplo,

o grfco em setores empregado sempre que desejamosressaltar aparticipao do dado no total, dessa maneira, eleserve para mostrar propores relativas; o total representa-do pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantasso as partes.28

Vejamos na prtica: considere a seguinte srie estatstica:

Tabela 12: Usurios de transporte pblico do estado: 1a a 4a sries:Brasil: rea urbana

Unidade daFederao

Alunos do Ensino Fundamental de 1 a 4 sries, reaurbana, que utilizam transporte escolar do poder

pblico estadual e municipalrea urbana


Brasil 447.847 324 81.482 363.994 2.047


28 CRESPO (1995); PEREIRA (2004).


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A Tabela 12, acima, apresenta os alunos de 1 a 4 sries doensino fundamental que freqentam escolas urbanas e fazemuso do transporte pblico oferecido pelo Poder Pblico esta-dual e/ou municipal, de acordo com a dependncia adminis-trativa (Federal, Estadual, Municipal e Privada). Para trabalhar-mos com setores, precisaremos estabelecer as propores

para cada esfera administrativa. Assim,Soluo:

Para encontrar as propores de cada dependncia adminis-trativa, usaremos o procedimento da regra de trs simples:29

1) Encontrando a poro da esfera federal:

1a etapa: preparando a regra de trs

Aluos %

447.847 100

324 x

2a etapa: montando a proporo

447.847324

= 100x

3a etapa: resolvendo a equao

447.847 xx = 324 x 100 x 32.400447.847

= 0,072%

2) Encontrando a poro da esfera estadual:

1a etapa: preparando a regra de trs

Aluos %

447.847 100

81.482 x

2a etapa: montando a proporo

447.847324

= 100x

29 Ver Unidade 2: Conceitos Matemticos, Seo 2: Grandezas e Medidas, Regra de trssimples, p. 25.


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3a etapa: resolvendo a equao

447.847 xx = 81.482 x 100 x 8.148.200447.847

= 18,19%

Viu como fcil? Agora a sua vez!

Continue o exerccio e encontre as pores

mucpal e prvada.

Aps encontrar as propores de cada esfera administrativa(federal, estadual, municipal e privada), basta, agora, construirogrfico em setores. Veja o resultado abaixo:

Grfco 5: Usurios de transporte pblico do estado: 1 a 4 sries:Brasil: rea urbanaFonte: Censo Escolar 2005

Observe como interessante a comparao das partes como todo. No nosso exemplo, o grfico em setores apresenta,com inigualvel clareza, que as participaes federal e privadaso insignificantes (tanto que nem aparecem) e a participaomunicipal esmagadora. Convenhamos, essa demonstrao mais interessante que a srie estatstica na forma de tabela,no mesmo?


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Cartogramas

Cartogramas so representaes sobre uma cartageogrfca. Eles so muito teis quando queremos

relacionar dados estatsticos com reas geogrficas ou

polticas. Essas representaes so muito teis para

expressarem populao e densidade.30

Vejamos um exemplo:

Grfco 6: O despovoamento da AmazniaFonte: FELIX NETO (2006, p. 5).

Observe que o Grfico 6, acima uma apresentao agradvelaos olhos e de fcil interpretao tambm. Esse o objetivo.

Pctogramas

Os pctogramas so os processos grficos de maioraceitao pblica por sua forma atraente e sugestiva.31

Em sua representao encontram-se figuras, desenhos etc.Seja a srie estatstica abaixo:

30 CRESPO (1995, p. 46).31 CRESPO (1995, p. 48).


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nDiCE:Respostasdosexercciospratique!

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TETabela 13: Pictograma: Exerccio

Vtmas Fatas

LocalIdade (anos)

0 a 9 10 a 12 13 a 17 18 a 29 30 a 59 60 e mais Igno-rado

Brasil 808 307 891 5006 6950 1666 3249

Fonte: Adaptado de Anurio Estatstico de Acidentes de Trnsito (2002)

A Tabela acima, revela o nmero de vtimas fatais em aciden-tes de trnsito no Brasil, no ano de 2002. Em forma de picto-grama, poderia ser assim representada:

Fgura 20: Pictograma: Exemplo

Observe que os carros so representativos para a srie estats-tica de vtimas fatais em acidentes de trnsito. Naturalmente,na confeco de grficos pictricos temos que utilizar muitacriatividade, procurando obter uma otimizao na unio daarte com a tcnica (CRESPO, 1995, p. 49).

Procure, em jornais, revistas, livros e ou-

tros, um exemplo de cada representao grfica

estudada, isto , um grfico em setores (em forma de

pizza), um grfico em linha, um grfico em barras, um

grfico em colunas mltiplas, um cartograma e, por fim,

um pictograma. Recorte ou tire uma cpia (se possvel)

e cole em seu memorial.


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4Dstrbuo defreqca


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O objetivo desta Unidade partir dos dados brutos, isto , de-sorganizados, para uma apresentao formal. Nesse percur-so,seo 1, destacaremos a diferena entre tabela primitiva erol, bem como a importncia do resumo dos dados por meiode uma tcnica que agrupa as repeties, chamadas defreq-ncia (seo 2). Voltaremos s Tabelas e Grficos, naseo 3,

porque, agora, aparecer algo novo: os dados agrupados. Emfuno disso, as Tabelas apresentaro diferenas das anterio-res e os Grficos assumem formatos j consagrados pelo uso(histograma e polgono de freqncia).

Boa leitura!

Seo 1: Dados Brutos e Rol

Na Unidade anterior, trabalhamos com exposio de dados.Mas, infelizmente, os dados, raramente, apresentam-se orga-nizados. Por exemplo, vamos supor que um professor entre-gue as notas de seus alunos, conforme a Tabela 14, abaixo:

Tabela 14: Exemplo de Tabela Primitiva

notas de 40 aluos de uma dscpla

8,0 5,0 3,0 3,5 4,0 10,0 5,6 3,0 2,5 1,5

9,5 7,5 6,3 6,6 7,8 4,0 2,5 5,0 7,0 8,010,0 9,8 9,7 3,5 3,8 5,0 3,7 4,9 5,4 6,8

6,3 7,8 8,5 6,6 9,9 10,0 2,6 2,9 5,2 8,8

Observe que, nessa Tabela, as notas no esto numericamen-te organizadas. Esse tipo de tabela denomina-se Tabela prm-tva.32 Partindo dessa Tabela, difcil identificar o comporta-

mento das notas, isto : onde se concentram? Qual a maior?Qual a menor? Quantos alunos esto abaixo ou acima de umadeterminada nota?

Esses dados esto, de fato, desorganizados, por isso, vamosorganiz-los. A maneira mais simples realizando uma orde-nao (crescente ou decrescente). Aps essa ordenao dosdados, a Tabela recebe o nome de rol. Veja como fica:

32 CRESPO (1995, p. 54).


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Tabela 15: Exemplo de Rol


1,5 2,9 3,5 4,0 5,0 6,3 6,8 7,8 8,8 9,9

2,5 3,0 3,7 4,9 5,2 6,3 7,0 8,0 9,5 10,0

2,5 3,0 3,8 5,0 5,4 6,6 7,5 8,0 9,7 10,0

2,6 3,5 4,0 5,0 5,6 6,6 7,8 8,5 9,8 10,0

De fato, com os dados assim organizados, podemos saber,com facilidade, qual a menor nota (1,5) e qual a maior (10,0).E tambm, podemos encontrar a ampltude de variao, isto, a diferena entre omaior valor e omenor valor: 10,0 1,5= 8,5. Alm dessas informaes, com um pequeno esforo,

podemos ainda identificar que as notas se concentram emdois valores (5,0 e 10,0) e que 6,0 o valor que divide asnotas. Convm destacar que os dados so teis, apenas, seconseguirmos transform-los em formao. Mais frente,discutiremos essas medidas.

Enfim,

Dados brutos so aqueles que no foramnumericamente organizados e rol um arranjo de dadosnumricos brutos em ordem: crescente ou decrescente.

Em um rol, a diferena entre o maior e o menor nmero

chama-se amplitude total.33

Seo 2: Dstrbuo de Freqca

Vamos continuar estudando as notas entregues por um pro-fessor apresentada acima. Para estudarmos melhor a varivel,

construiremos uma Tabela apresentando os valores de ma-neira mais resumida. Com os dados organizados em umrol,identificamos que existem repeties de muitos valores. Essarepetio recebe o nome de freqca. Vejamos:

33 SPIEGEL (1975, p. 43).


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Tabela 16: Exemplo de Tabela de Freqncia

notas Freqca notas Freqca notas Freqca1,5 1 5,0 3 8,0 22,5 2 5,2 1 8,5 12,6 1 5,4 1 8,8 12,9 1 5,6 1 9,5 13,0 2 6,3 2 9,7 13,5 2 6,6 2 9,8 13,7 1 6,8 1 9,9 13,8 1 7,0 1 10,0 34,0 2 7,5 14,9 1 7,8 2 Total 40

Dispor os dados dessa maneira melhor do que da formaanterior, mas ainda inconveniente. Isso porque exige mui-to espao. Uma alternativa agrupar os dados. Para desen-

volver tal tarefa, comum, em primeiro lugar, distribuir osdados em classes ou categorias em uma Tabela. Essa Tabelareceber o nome de Dstrbuo de Freqca ou Tabela deFreqca.

Para construir a tabela de freqncia das notas, considerare-mos, por exemplo, quatro classes: da nota 0,0 at a nota 4,9(0,04,9); da nota 5,0 at a nota 6,9 (5,06,9); da nota 7,0 ata nota 8,9 (7,08,9); por fim, da nota 9,0 at a nota 10,0 (9,010,0). Agrupando os dados dessa maneira, comum cham-

los de dados agrupados. Vejamos:

Tabela 17: Exemplo de Tabela de Distribuio de Freqncia


Notas Nmero de estudantes(freqncia)

0,0 4,9 14

5,0 6,9 117,0 8,9 8

9,0 10,0 7

Total 40

A distribuio de freqncia, acima, apresenta uma disposio

mais amigvel. Nela, podemos observar que 14 alunos tiraram

Classes de freqncia ou,simplesmente, classes sointervalos de variao davarivel. (CRESPO, 1995,p. 57).

A Tabela de Distribuio deFreqncia uma Tabelacomo outra qualquer, masque apresenta o nmerode repetio dos valoresao invs de repet-los

integralmente. Por exemplo,ao invs de expor 2, 2, 2 ,2 e 3, em uma Tabela deFreqncia colocamos 2 (4vezes) e 3.


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notas entre 0,0 e 4,9; 11 alunos, entre 5,0 e 6,9; 8 alunos, entre7,0 e 8,9; 7 alunos, entre 9,0 e 10,0. Identifica-se, de imediato,a maior e a menor concentrao das notas dos alunos e essa uma informao muito interessante.

Aprofudameto: regras para a elaborao de uma dstr-buo de freqca

Na construo de uma dstrbuo de freqca, a determi-nao do nmero de classes e da ampltudedessas classes sempre uma preocupao.

No nosso exemplo anterior, as classes escolhidas no foramde maneira aleatria, mas, de qualquer forma, existem regrasque podem ser observadas se quisermos maior rigor no estu-do de um evento.

Assim, Spiegel (1975, p. 45-46) sugere as seguintes regras ge-rais:

1) Determinam-se o maior e o menor nmero de dadosbrutos e, ento, calcula-se a amplitude total do rol (di-ferena entre o maior e o menor daqueles nmeros);

2) Divide-se a amplitude total em um nmero convenien-

te de intervalos de classe que tenham a mesma ampli-tude. Nem sempre isso possvel; nesse caso, usamosintervalos de classe de amplitudes diferentes. O nme-ro de intervalo de classes normalmente entre 5 e 20,dependendo dos dados;

3) Os intervalos de classe so escolhidos de maneira queseus pontos mdios coincidam com dados realmenteobservados. Isso tende a diminuir erros;

4) Determina-se o nmero de observaes que caem

dentro de cada intervalo de classe, isto , calculam-seas freqncias de classe.

Seguindo as regras gerais acima, que alteraes teramos nonosso exerccio das notas?

Bem, primeiro, vamos calcular a diferena entre o maior e o

menor nmero: 10,0 1,5 = 8,5. Isso significa que entre a


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maior nota e a menor nota h uma distncia de 8,5. Essa aamplitude total, isto , os valores variam, no mximo, 8,5. Deoutra forma, a distncia do menor valor para o maior valor de 8,5. OK!

Agora, na segunda etapa das regras acima, vamos escolher onmero de intervalos de classe.34 Vamos tentar o menor n-

mero sugerido: 5. Se quero 5 classes e minha amplitude total 8,5, basta dividir a amplitude

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