Actividades en clase:• Prueba de lectura• Aplicaciones• Momento en 2-D• Momento en 3-D• Prueba conceptual• Solución de

problema grupal• Prueba de atención

Objetivos del día de hoy:Los estudiantes serán capaces de:a) Entender y definir “momento”, y,b) Determinar los momentos de una fuerza

en casos 2-D y 3-D.

MOMENTO DE UNA FUERZA (FORMULACIÓN ESCALAR), PRODUCTO CRUZ, MOMENTO DE UNA

FUERZA (FORMULACIÓN VECTORIAL), & PRINCIPIO DE MOMENTOS

1. ¿Cuál es el momento de la fuerza de 12 N respecto al punto A (MA)?

A) 3 N·m B) 36 N·m C) 12 N·m

D) (12/3) N·m E) 7 N·m • Ad = 3 m

F = 12 N

2. El momento de una fuerza F respecto al punto O se define como MO = ___ .

A) r × F B) F × r

C) r • F D) r * F

PRUEBA DE LECTURA

Las vigas se emplean frecuentemente para cubrir claros entre muros. Debemos conocer cuál será el efecto que la fuerza de la viga tendrá en sus apoyos.

¿Qué cree que está sucediendo en los apoyos A y B?

APLICACIONES

Los carpinteros frecuentemente emplean los martillos de esta manera para jalar clavos. ¿A través de qué tipo de acción la fuerza en el mango, FH, jala al clavo? ¿Cómo puede usted matemáticamente modelar el efecto de la fuerza FH en el punto O?

APLICACIONES (continuada)

El momento de una fuerza respecto a un punto proporciona una medida de la tendencia a la rotación (algunas veces llamada torque).

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓN ESCALAR (Sección 4.1)

Como se muestra, d es la distancia perpendicular a partir del punto O hacia la línea de acción de la fuerza.

En 2-D, la dirección de MO es ya sea a favor del reloj (FR) o en contra del reloj (CR), dependiendo de la tendencia para la rotación.

En un caso 2-D, la magnitud del momento es Mo = F d

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓN ESCALAR (continuada)

Seguido, es más fácil encontrar MO empleando los componentes de F como se muestra.

Luego, MO = (Fy a) – (Fx b). ¡Vea los diferentes signos en los términos! La convención típica de signos para un momento en 2-D es que en contra del reloj se considere positiva. Podemos determinar la dirección de la rotación imaginando un cuerpo articulado en O, y decidiendo de qué manera el cuerpo rotaría debido a la fuerza.

Por ejemplo, MO = F d y la dirección es en contra del reloj.

Fab

dO

abO

F

F x

F y

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓN ESCALAR (continuada)

Mientras que hallar el momento de una fuerza en 2-D es un procedimiento directo cuando uno conoce la distancia perpendicular d, hallar las distancias perpendiculares puede resultar difícil – especialmente cuando uno está trabajando con fuerzas en las tres dimensiones.

Así que existe un enfoque más general para encontrar el momento de una fuerza. Este enfoque más general es usualmente utilizado cuando se tiene que tratar con fuerzas en las tres dimensiones, pero se puede usar en el caso bidimensional también.

Este método más general para encontrar el momento de una fuerza emplea la operación vectorial llamada producto cruz de dos vectores.

PRODUCTO CRUZ VECTORIAL (Sección 4.2)

En general, el producto cruz de dos vectores A y B resulta en otro vector, C, p.ej., C = A B. La magnitud y dirección del vector resultante se puede escribir como:

C = A B = A B sen uC

Como se aprecia, uC es el vector unitario, perpendicular tanto al vector A como al vector B (o al plano que contiene a los vectores A y B).

PRODUCTO CRUZ (Sección 4.2)

La regla de la mano derecha es una herramienta útil para determinar la dirección del vector resultante obtenido del producto cruz. Por ejemplo: i j = k

Vea que cuando un vector se cruza en él mismo, es cero, p.ej.,i i = 0

PRODUCTO CRUZ (continuada)

Igualmente, el producto cruz se puede escribir como un determinante.

PRODUCTO CRUZ (continuada)

Cada componente se puede determinar empleando determinantes de 2x2.

Empleando el producto cruz vectorial, MO = r F.

Aquí r es el vector de posición desde el punto O hasta cualquier punto en la línea de acción de F.

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓN VECTORIAL (Sección 4.3)

Los momentos en 3-D se pueden calcular por medio del enfoque escalar (2-D), pero puede resultar difícil y lento. Entonces, es comúnmente más fácil el utilizar el enfoque matemático llamado el producto cruz vectorial.

Expandiendo la ecuación de arriba empleando determinantes de 2 2 (vea la Sección 4.2), obtenemos (unidades de muestra son N-m ó lb-ft)

MO = (ry Fz - rz Fy) i (rx Fz - rz Fx) j + (rx Fy - ry Fx) k

El significado físico de la ecuación anterior se vuelve evidente al considerar las componentes de fuerza por separado y empleando la formulación 2-D.

MOMENTO DE UNA FUERZA – FORMULACIÓN VECTORIAL (continuada)

Así que, usando el producto cruz, un momento se puede expresar como

1) Descomponga la fuerza de 100 N a lo largo de los ejes X y Y.

2) Determine MO empleando un análisis escalar para las dos componentes de la fuerza, y luego añada esos dos momentos.

Dado: Una fuerza de 100 N se aplica al marco.

Hallar: El momento de la fuerza respecto al punto O

Plan:

EJEMPLO I

Solución:

+ Fy = – 100 (3/5) N

+ Fx = 100 (4/5) N

+ MO = {– 100 (3/5)N (5 m) – (100)(4/5)N (2 m)} N·m

= – 460 N·m ó 460 N·m FR

EJEMPLO I (continuado)

1) Hallar F = F1 + F2 y rOA.

2) Determinar MO = rOA F.

o

Dado: F1={100 i - 120 j + 75 k}lbF2={-200 i +250 j + 100 k}lb

Hallar: El momento resultante de las fuerzas respecto al punto O.

Plan:

EJEMPLO II

Solución:Primero, encuentre la resultante del vector de fuerza F

F = F1 + F2

= { (100 - 200) i + (-120 + 250) j + (75 + 100) k} lb= {-100 i +130 j + 175 k} lb

Encuentre el vector de posición rOA

rOA = {4 i + 5 j + 3 k} ft

i j k4 5 3

-100 130 175MO = = [{5(175) – 3(130)} i – {4(175) –

3(-100)} j + {4(130) – 5(-100)} k] ft·lb= {485 i – 1000 j + 1020 k} ft·lb

Luego halle el momento empleando el producto cruz vectorial.

EJEMPLO II (continuado)

PQ R

S

1. Si una fuerza de magnitud F se puede aplicar en cuatro configuraciones 2-D diferentes (P, Q, R & S), escoja los casos que resulten en los valores de torque máximo y mínimo en la tuerca. (Máx., Mín.).

A) (Q, P) B) (R, S)

C) (P, R) D) (Q, S)

2. Si M = r F, entonces ¿cuál será el valor de M • r?

A) 0 B) 1

C) r 2 F D) Ninguna de las anteriores.

PRUEBA CONCEPTUAL

Ya que este es un problema 2-D:

1) Descomponga la fuerza de 20 lb a lo largo de los ejes X y Ydel mango.

2) Determine MA empleando el análisis escalar.

Dado: Una fuerza de 20 lb se aplica al martillo.

Hallar: El momento de la fuerza en A.

Plan:

xy

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL I

Solución:

+ Fy = 20 sen 30° lb

+ Fx = 20 cos 30° lb

+ MA = {–(20 cos 30°)lb (18 in) – (20 sen 30°)lb (5 in)}

= – 361.77 lb·in = 362 lb·in (a favor del reloj ó FR)

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL I (continuado)

xy

1) Encontrar F y rAC.

2) Determinar MA = rAC F

Dado: La fuerza y la geometría mostrada.

Hallar: El momento de F respecto al punto A.

Plan:

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL II

Solución: F ={ (80 cos30) sen 40 i

+ (80 cos30) cos 40 j 80 sen30 k} N={44.53 i + 53.07 j 40 k } N

rAC ={0.55 i + 0.4 j 0.2 k } m

MA =

= { -5.39 i + 13.1 j +11.4 k } N·m

i j k0.55 0.4 0.244.53 53.07 40

Encuentre el momento utilizando el producto cruz.

SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL II (continuado)

2. Si r = { 5 j } m y F = { 10 k } N, el momento r × F equivale a { _______ } N·m.

A) 50 i B) 50 j C) –50 i

D) – 50 j E) 0

10 N3 m P 2 m 5 N

1. Empleando la dirección CR como positiva, el momento neto de las dos fuerzas con respecto al punto P es:A) 10 N m B) 20 N m C) - 20 N mD) 40 N m E) - 40 N m

PRUEBA DE ATENCIÓN