Estadística y Predictibilidad

Dr. Ignacio Méndez Ramírez IIMAS UNAM

Panorama de la Plática• Extrapolación• Causalidad. Conceptos• Modelos. (evolución del conocimiento,

mundos de Popper)• Aleatoriedad y probabilidad• Dos ejemplos de modelos estadísticos, con

predicción

La palabra riesgo deriva del latín risicare, que significa “atreverse”.

En este sentido, es una elección, antes que una suerte.

Las acciones que nos atrevemos a tomar, dependen de que tan libres somos para efectuar

la elección.

El concepto de predecir posibles evoluciones de un fenómeno, para escoger entre alternativas es inherente

al ser humano.

La expresión de la visión determinística: si conocemos perfectamente el comportamiento de todas las partículas que existe en el universo, podremos

predecir el futuro (Laplace)

¿Me enfermarési como el

fruto rojo?

¿Me enfermarési como el

fruto rojo?

Estudio unos pocos frutos “iguales”, se los doy a comer a ratones, si se mueren todos, concluyo “Todos los

frutos rojos son dañinos”

Estudio unos pocos frutos “iguales”, se los doy a comer a ratones, se mueren 14% de ellos, concluyo “Es poco probable que me enferme si como el fruto rojo”

Estudio unos pocos frutos “iguales”, se extrae un compuesto que interfiere con la digestión en ratones. Concluyo “Esos

frutos rojos son dañinos”

Estudio unos pocos frutos “iguales”, se los doy a comer a ratones, se mueren 92% de

ellos, concluyo “Es probable que me enferme, si como el fruto rojo”

Conocimiento

¿Me enfermo, si como un fruto como

ese?

Dudas:¿todos los frutos rojos son indigestos? ¿influye el tamaño del fruto?¿el tono de rojo? ¿la época del año? ¿el tipo de árbol o arbusto? etcétera. ¿Qué es ser semejantesemejante?

Extrapolación

La sustancia A (que contienen esos frutos) modifica de tal

manera las reacciones químicas en el proceso

digestivo

Al estudiar grupos “grandes” de personas que comen esos frutos,

el porcentaje de personas enfermas, oscila alrededor de

80%.

Se debe especificar: ¿cómo se determina la sustancia A?,

¿Qué tipo digestión?, ¿En quécondiciones?, etc.

Se debe especificar: ¿cómo se determina qué es “grande”?,

¿Qué tipo de frutos?, ¿En quécondiciones están las personas?,

etc.

La CCiencia también hace extrapolaciones.

Ejemplo de ello son las investigaciones que se llevan a cabo con ciertos elementosciertos elementos(enfermos de amibiasis, fumadores empedernidos, plantas de maíz, cajas de Petri con un medio para crecer bacterias, etcétera), cuyas conclusiones se aplican a otros elementos semejantesotros elementos semejantes a los estudiados.

Extrapolación

Elementos

estudiados

Elementossemejantesa los estudiadosExtrapolación

Extrapolación

Se puede considerar que lo estudiado, o experiencia previa, es una muestramuestra de todo un conjunto de otros elementos o nuevas experiencias semejantes a los estudiados.

Este conjunto no estudiado es la poblacipoblacióónn.

Poblaciones y Muestras

Muestra Población

Extrapolación

Poblaciones y Muestras

¿Extrapolación Válida?

Nos preguntamos: ¿la extrapolación no se equivoca?, ¿cómo hacer que no se equivoque?

La respuesta es ssíí ,, se puede equivocar, pero frecuentemente nonose equivoca.

Poblaciones y Muestras

Si se pueden encontrar leyes deterministasdeterministas que expresen relaciones (necesarias y suficientes) entre propiedades de las instancias estudiadas (muestrasmuestras), entonces:.

se pueden aplicar los resultados o conclusiones a todas las instancias (poblacipoblacióónn) no estudiadas aún, que cumplan con las propiedades requeridas.

Poblaciones y Muestras

Aquí están muchas leyes de la naturaleza, principalmente inorgánicas, como la física clásica, termodinámica (macroscópica), etcétera.

Así la experiencia (traducida en leyes) con ciertos planetas, se aplica a otros; con ciertos gases se aplica a otros; con ciertas moléculas se aplica a otras; etcétera.

Poblaciones y Muestras

Hay procesos o fenómenos en los que nono se pueden encontrar relaciones entre sus propiedades, que sean necesarias y suficientes.

Hay mucha variabilidadvariabilidad, hay indeterminismoindeterminismo.

Se pueden encontrar ciertas “leyes” pero son de naturaleza probabilprobabilíísticastica y no determinística.

Aleatoriedad e indeterminismoAleatoriedad e indeterminismo

Estas leyes nos permiten hacer extrapolaciones, pero nunca son seguras, siempre hay la posibilidadposibilidad de equivocarse.

La estadística lo que busca es que la ““probabilidadprobabilidad”” de equivocarse sea ““pequepequeññaa””.

Aleatoriedad e indeterminismo

Ejemplo:

Considere el esquema siguiente donde setienen datos de desarrollo de enfermedad cardiovascular en 50,000 personas.

Aquí hay dos tipos de extrapolación, una es a toda la población de la cual los 50,000 se consideran una muestra; y la otra a una persona en el futuro que es considerada un elemento tomado al azar de la población.

Aleatoriedad e indeterminismo

En la primera inferencia o extrapolación se puede predecir con poco error cucuáántasntaspersonas en ese millón desarrollarán la enfermedad; en cambio en el caso de una persona no se puede predecirno se puede predecir con poco error, únicamente se le asignan las probabilidades de desarrollar la enfermedad de la población a que pertenece.

En estos razonamientos es crucial la validez del supuesto que las condiciones de la muestra sean semejantessean semejantes a las de la población o individuo.

Aleatoriedad e indeterminismo

Se estudian 5,000 personasde 40 años que fuman (20cigarros al día o más) y con colesterol elevado. Seencuentra que 15% de ellasdesarrolla enfermedadcardiovascular antes decumplir 50 años.

Se tiene una población de un millón de personasque fuman semejantes alos estudiados.Se espera “alrededor” de150,000 con enfermedadcardiovascular antes delos 50 años.

Una persona de 40 años que fuma, concolesterol elevado, semejante a losestudiados, tiene una probabilidadde 0.15 de enfermedad cardiovascular antes de cumplir 50 años.

muestra

población

elemento

extrapolación

extrapolación

Aleatoriedad e indeterminismo

AristAristóóteles : teles : **Material *Formal *Final *Eficiente

tiempo

PredicciPrediccióónn: si se da esa configuración va a ocurrir el efecto. La causalidad determinística

tiempo

PredicciPrediccióónn: si se da esa configuración van a ocurrir los efectos con ciertas probabilidades. La causalidad probabilistica

CAUSALIDAD

yxHipótesis Teórica. Conceptos o “Constructos”

X1

X2

X3

X4...

Xk

Y1

Y2

Y3Y4...

Ym

Hipótesis Empírica (s)

Entre Indicadores de los conceptos.

Pobreza SaludRepresión AgresiónEducación Ingresos

Ejemplos

CONCEPTOS DE CAUSALIDAD

X Y

Causalidad determinísticaLa causa es necesaria y suficiente

para el efecto. La configuración del mundo está totalmente determinada

por la configuración anterior.

X Y

X Y

Causa necesaria pero no suficiente

Causa suficiente pero no necesaria

Trisomía 21

Sx. Down

Amiba Amibiasis

AnemiaDeficiencia Fe

CONCEPTOS DE CAUSALIDAD

X Y

Causalidad probabilística•Causa no necesaria ni suficiente•Asociación estadística•Las probabilidades de Y cambian al cambiar X

Tabaquismo

Cáncer pulmonar

Se decubren leyes que describen matemáticamente las variables importantes de un proceso, sin incluir consideraciones aleatorias. E=mc2 , f=ma, mecánica clásica, ecuaciones diferenciales para muy variados fenómenos, fluidos, dinámica poblacional, etc.

No se encuentran leyes que describan matemáticamente a lasvariables del proceso, sin incluir consideraciones aleatorias. Se encuentran modelos pero ahora son probabilísticos

En el lenguaje familiar entendemos pormodelo la reproducción (maqueta de un ferrocarril) o proyecto (modelo de una iglesiaque ha de construirse) de unos objetos . En la ciencia el modelo es una construcciónque, con una simplificación intencionada, reproduce aspectos de un fenómeno natural y hace posibles unas derivacionesdeductivas y unas afirmaciones que puedencomprobarse por experiencia.

Mundo 3 de Popper

Arno Anzenbacher “Introducción a la filosofía”Herder 1993

Las teorías empíricas, sólo posibilitan en definitiva la construcción de un modelo de la naturaleza, es decir, la representación de un aspecto de la realidad en el sentido de unasimplificación. Filosoficamente hay que teneren cuenta, frente a todas las construccionesmodélicas de teorías empíricas, la advertenciade no confundir los modelos con lo quereproducen. Es decir, no hay queontologizarlos.

Arno Anzenbacher “Introducción a la filosofía”Herder 1993

Riedl, R. “Biología del conocimiento. Los fundamentos filogenéticos de la razón”. Ed. Labor 1983

Mundo 1

Mundo 2

Mundo 3

Popper, K .”Knowledge and The Body-Mind Problem”. Routledge, London, New York. 1996

y “Popper selections”. Edited by D.Miller, Princeton U. Press. 1985

Mundo 1

Mundo 2

Mundo 3

Átomos, moléculas, órganos, neuronas, sinapsis,

neurotransmisores, etc.

Sentimientos, creencias, melancolía, afecto, deseos, etc.

Obras de arte, sinfonías, teorías, matemática, leyes, validación, relaciones lógicas, ciencia, etc.

Mundo 1

Mundo 2

Mundo 3

Conocimiento Objetivo.

Evolucionó por su valor de supervivencia tremendo

Algo que no hemos hecho pero que es una consecuencia no intencional de lo que hacemos.

Ejemplo: Creamos el sistema de números naturales. Una consecuencia es la existencia de los números primos. Si tenemos el número 2340798527 podemos “decubrir” si es primo o no. Esto es un conocimiento “objetivo”, estáabierto a otros, el razonamiento del descubrimiento(Mundo 3). La forma de hacer el descubrimiento es subjetiva y con creatividad. (Mundo 2)

Aquí esta la interacción de los mundos 2 y 3. Conjeturas y teoremas o refutaciones. La afectividad inseparable de la teoría

Popper (1996, p.47) *No puedo enfatizar suficiente que considero los productos de la mente humana como reales : no sólo los que son por si mismos objetos físicos, tales como un rascacielos y un automóvil, los que cualquiera llamaría “reales”- sino que tambien un libro o una teoría. La teoría es por si misma un objeto abstracto. La considero como realpor que podemos interactuar con ella -podemos producir una teoría-, y por que puede interactuar con nosotros. Esto es suficiente para considerarla como real. Ella puede actuar sobre nosotros, la podemos asir, la podemos usar, y podemos cambiar el mundo con auxilio de esa teoría*

Mundo 3.- Productos de la mente humana

Mundo 2.- Experiencias mentales conscientes

Mundo 1.- Objetos físicos, incluyendo organismos

• Un modelo matemático, deterministico o probabilístico esta en el mundo 3, de Popper. Con el podemos derivar consecuencias siguiendo su lógica interna y en esta medida, efectuar predicciones. Estas siempre están sujetas a la validez del modelo. En el caso de los modelos probabilísticos, además se debe tener una idea del grado de incertidumbre en predicciones individuales.

Tenemos que considerar la reciente filosofía de la ciencia que cuestiona algunos de los pilares mas importantes sobre los que se basa nuestra lógica científica, especialmente la que tiene que ver con la objetividad y la falibilidad de la inducción y la deducción. Pero no tiramos la toalla debido a esto, ni aconsejamos que “cualquier cosa es válida”.

W.R. Shadish,T. D. Cook and D.T. Campbell. “Experimental and Quasi-experimental Designs for

Generalized Causal Inference”. Houghton Mifflin Co. 2002. (Preface xvii)

La naturaleza falible del conocimiento no requiere considerar que no sirve (si no es perfecto, no sirve), ni tampoco el relativismo metodológico fuerte (ningun método tiene estado privilegiado sobre otros para cualquier propósito). Mas bien, defendemos la creencia que algunos postulados causales estan mejor apoyados que otros y que en ciencia, la lógica y experiencia artesanal indican que algunas prácticas son a menudo (no siempre) superiores a otras, para propósitos causales, aun que no necesariamente para otros.

W.R. Shadish,T.D. Cook and D.T. Campbell. (Preface xvii)

El uso de los modelos en el trabajo de investigación se da de acuerdo al esquema:

¿Por que hay aleatoriedad?

1. Complejidad de los fenómenos y no se conoce todos los aspectos y leyes involucradas, pero el mundo es determinado.

2. Hay aleatoriedad intrínseca.

3. Pequeños cambios de condiciones iniciales tienen efectos muy grandes (t. Caos)

Admitir la aleatoriedad. Heisenberg

Rechazar la aleatoriedad. Einstein: “Diós no juega dados”

Bifurcaciones, atractores

No se puede predecir con certeza el resultado de

un estudio o evento

No hay modelos matemáticos que liguen todos los

elementos del fenómeno

ALEATORIEDAD

Para estudiar fenómenos aleatorios se usa la probabilidad

2. Probabilidad clásica o de “juegos”• La probabilidad de un

evento A es el cociente del número de posibles resultados favorables al evento entre el número total de resultados posibles.

totalesresultadosAconresultados

AP_

__)( =

Supone un “espacio muestral” equiprobable. Todos los posibles resultados son igualmente probables. Por esto es “a priori” y “subjetiva”.

Espacio muestral: El conjunto que comprende a todos los resultados posibles

En el mundo no hay espacios equiprobables exactos.

• Probabilidad de “águila” al lanzar una moneda es igual a ½, que resulta de tener un caso favorable entre dos posibles.

• Probabilidad de un número mayor de 4 al lanzar un dado, es 2/6=1/3, ya que el 5 y el 6, dos resultados son mayores que 4, y hay 6 posibles resultados.

• Se dice que debe ser una moneda “ honesta “ o un dado “honesto”. ¿Qué es esto? Que sean igualmente probables los posibles resultados.

• ¿Hay dados y monedas honestos en el mundo?

• ¿Se aplica a aspectos biológicos, sociales, económicos, etc.

2. Probabilidad clásica o de “juegos”

La regularidad estadística consiste en el hecho universalmente observado ,que funciona como un supuesto muy apoyado, que al estudiar un número grande de veces un fenómeno en condiciones constantes (o casi ) las proporciones en las que ocurren los posibles resultados son muy estables (casi no cambian ) .

Es decir, no se puede predecir el resultado al estudiar uno o unos pocos elementos, pero en conjuntos grandes de elementos si es posible la predicción con poco error de las proporciones o porcentajes con los que ocurren los diversos resultados.

3.- MODELACION BASADA EN LA REGULARIDAD ESTADISTICA

J. Bernoulli, Ars Conjectandi, 1713

Muestra aleatoria de n elementos

La proporción de ellos con A es p

La proporción de elementos con A es P

PP

pp Liga con representatividad

Limn→∝

P ¦ p-P¦ < e = 1

Limn→∝

p=P

Población muy grande o infinita, un proceso

A

A

REGULARIDAD ESTADISTICA EN VARIABLES DICOTOMICAS

El valor en el que se estabilizan las proporciones se le conceptualiza como la probabilidad de sobrevida para esos pacientes con esa técnica quirúrgica, la población

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

×

1 n 1 n2

× × × ×

1 n2

×.66

3

.66.5

1 n2 3 4

× ×

××

1 2 3 4

× ×

××

8

× × ××...P(S)Fr

e(S)

Fre(

S)

pocos cambios en la frecuencia

100

p

p

p p

p

Pudo ocurrir así o de otro modo, es impredecible

Predecible

REGULARIDAD ESTADÍSTICAAl estudiar un fenómeno aleatorio muchas veces, en condiciones casi constantes (población), los diferentes resultados ocurren con una proporción estable.

A esa proporción le llamamos probabilidad de cada resultado.

¿Se muere el paciente, dentro del

próximo año?

...

La proporción de pacientes muertos es estable, en la población

¿Se enferma el trabajador?

La proporción de trabajadores que se

enferman es estable en la población

...

...

Regularidad Estadística Variables Categóricas

El auto durante el recorrido de 80,000Km., ¿se descompone de clutch, frenos, motor o no se descompone?

Constancia de Proporciones = Probabilidades

P(F

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FrenosClutchMotorNo

Población de Autos

P1P2

P3P4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

α/2 =0.025 0.4750.475

X = Diámetro del pecho

X

Los diámetros del pecho de los soldados “tienen” distribución normal

Regularidad estadística, base de la probabilidad frecuentista

• Al estudiar un fenómeno muchas veces en condiciones constantes o casi (la población), la frecuencia de los posibles resultados es muy estable.

• La definición de los resultados de interés (espacio muestral) y las condiciones de estudio (población) es subjetiva, sin embargo, los valores en los que se estabilizan las frecuencias relativas o probabilidades son objetivos.

• Para entender, describir y predecir fenómenos aleatorios, se pretende conocer esas probabilidades

Subjetivo:Subjetivo:

1.-Sujetos (elementos en estudio)-

2.- Condiciones

3.- Mediciones

Espacio muestral.

ObjetivoObjetivo::

a).-Dicotómico: Distribución Bernoulli T=P

b).- Politómico Distribución Multinomial T=(P1 P2 Pk)

c).-Conteos. Regularidad de frecuencias estabilizadas. Subjetivo: modelo con Distribución Poissond).-Continuo uni o multivariado, regularidad de frecuencias en intervalos: Subjetivo: Distribución f(x/T)

T= ?

255075100125

Cou

nt

0.03

0.080.10

Pro

babi

lity

63 646566 67 686970 71 7273 74

200

400

600

Cou

nt

0.05

0.15

0.25

Pro

babi

lity

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Uso de modelos en la regularidad Uso de modelos en la regularidad estadestadíísticastica

1. Experiencias empíricas previas.2. Consideraciones teóricas sobre la

naturaleza del fenómeno estudiado, y3. Combinaciones de las dos anteriores.4. Simplicidad

Para describir, entender y predecir los fenómenos aleatorios, frecuentemente se recure a postular modelos probabilísticos. Estos pueden haber surgido por tres vías:

)( θxf

FUMAR Y ENFERMEDAD CARDIACARelación causal determinada en forma no experimental

En un estudio de seguimiento por varios años de toda una población de personas, se construyó el modelo logístico que permite concluir, que en hombres de 45 años la probabilidad de ataque cardiaco dentro de 12 años se estima como sigue:

ü 0.03, si no fuma, con presión y colesterol normalesü 0.05. si fuma 20 cigarros al díaü 0.075, si fuma y tiene presión 140/88ü 0.15, si fuma, tiene presión 140/88 y nivel sérico de

colesterol 250 mg/dL

Significancia Estadística¿ Que tanto es tantito?

¿ Cuándo las diferencias entre los datos obtenidos y los esperados bajo un modelo

probabilistico son “grandes”?

Razonamiento de Fisher : Se supone que el modelo es cierto, se evalúa la probabilidad de una discrepancia entre los datos observados y los observados , como la obtenida o aun mayor. Este es el llamado Valor de P. Si la P es menor de .05 , es decir 5%, se considera que el modelo no es compatible con los datos . Se dice las diferencias son significativas

Reaccionamos ante lo improbable

! Es improbable encontrar tres elefantes en la calle !

¿QUE?

La significancia, no demuestra que el modelo sea falso, solo que los datos son incompatibles (poco probables) con ese modelo

0

100

NU

EV

A

0.050

0.100

0.150

0.2000.250

0.300

0.350

0.350

0.400

0.450

20 30 40 50 60

EDAD

P(asma, mv)

413 trabajadores de una industria del cemento, con su historia de trabajo por varios años, se construyó un índice del grado de exposición a los polvos de la caliza y otros componentes del cemento, se le llamó“nueva”. Además la edad de los trabajadores es una variable confusora para la presencia de asma y

otros padecimientos. Estimación de probabilidades de asma en modelo logistico. Se nota claramente la interacción en el “efecto del trabajador sano”

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Pro

b[co

r.mv]

20 30 40 50 60 70EDAD

Probabilidades de CorazónMáxima Verosimilitud Interacción Edad*Esf*Abu

-Abu

Esf-

EsfAb...

--

800 trabajadores de una empresa siderúrgica. (Datos del Dr. Mariano Noriega, Maestría “Salud en el Trabajo”, UAM-X). Entre varios diagnósticos y varias exigencias de trabajo, se selecciona la relación entre la edad, el trabajo aburrido y con esfuerzos como factores de riesgo (causa) para el diagnóstico de patología del corazón. Esta relación se selecciona por que es donde hay una fuerte interacción triple. Las probabilidades aumentan con la edad pero mucho más si sólo hay trabajo aburrido, un poco menos con sólo esfuerzos y poco con ambos, casi nada cuando no esta ninguna de las dos exigencias. Hay un efectoantagónico, la presencia de ambos riesgos produce menores probabilidades de diagnóstico corazón, que cada uno de ellos por separado