ESTADÍSTICA Asignatura Clave:FIM008 Número de Créditos: 6 Teóricos:2 Prácticos: 4 Fecha de actualización: 18 de Julio de 2003 INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los períodos de evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu Tutor de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de asesoría. Se recomienda al Titular Académico (estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura. Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.- Relación de las Unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática consistente en información inicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIA: • Realización e interpretación de gráficas estadísticas. • Empleo de cálculos de las primeras estadísticas. • Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo. • Fortalecimiento del pensamiento lógico y simbólico. • Incremento del pensamiento creativo. SUMARIO: Desarrollar las habilidades numéricas y de pensamiento lógico, para la solución de problemas estocásticos, partiendo de situaciones de la vida real hasta las conclusiones teóricas más fundamentales. ESTADÍSTICA CONTENIDOS: Unidad I Probabilidad. Unidad II Estadística descriptiva. Unidad III Presentación gráfica de datos estadísticos.

Unidad IV Estimación. Unidad V Regresión. Unidad VI Análisis de datos

A C T I V O S

UNIDAD I Probabilidad

I.1.- Definición y concepto. I.2.- Teoría (teorema), fundamental del conteo. I.3.- Evento o suceso. I.4.- Punto muestral. I.5.- Espacio muestral. I.6.- Distribuciones de muestreo. I.7.- Intervalos de confianza. Actividad: Aplicación e importancia de la probabilidad dentro de la estadística

UNIDAD II Estadística Descriptiva

II.8.- Estadística.- definición. II.9.- Importancia y usos de la estadística. II.10.- Definición de: población y muestra. II.11.- Experimentación. II.12.- Presentación de datos. II.13.- Estadísticos muéstrales. II.14.- Distribución de frecuencias no agrupadas. II.15.- Distribución de frecuencias agrupadas Actividad: Efectuar un muestreo poblacional.

UNIDAD III Presentación gráfico de datos estadísticos.

III.16.- Gráfica de líneas. III.17.- Histograma. III.18.- Polígono de frecuencias. III.19.- Gráfica de pastel. III.20.- Ojivas. Actividad: De la unidad anterior efectuar una representación gráfica del muestreo.

UNIDAD IV Estimación.

IV.21- Estimaciones y estimadores. IV.22.- Estimadores Insesgados óptimos. IV.23.- Función de verosimilitud y estimadores máximo-verosímiles. IV.24.- Precisión de estimaciones. IV.25.- Intervalos de estimación. IV.26.- determinación del tamaño muestral. Actividad: Efectuar estimaciones de producción en productos agrícolas más importantes de la región.

UNIDAD V Regresión

V.27.- Métodos de regresión. V.28.- Regresión lineal mínimo cuadrática. V.29.- Análisis de la bondad de ajuste. V.30.- Regresión no lineal y múltiple. V.31.- Correlación total, parcial y múltiple. Actividad: Ejemplificar y comprender el concepto de regresión.

UNIDAD VI Análisis de Datos

VI.32.- Introducción. VI.33.- Hipótesis y modelos VI.34.- Prueba de hipótesis estadística. VI.35.- La hipótesis nula. VI.36.- Hipótesis alternativa. Actividad: Ejemplificar y comprender el concepto de hipótesis. ESCENARIOS INFORMATIVOS: - Asesores locales - Asesores externos - Disposición en internet. - Puntualidad en intranet. - Fuentes directas e indirectas. - Bibliografía BIBLIOGRAFÍA: Holguin Quiñones Fernando 1984 Estadística Descriptiva Aplicada a las Ciencias Sociales Editorial UNO, México, pp. 452 Jack, Levin 1979 Fundamentos de Estadística en la Investigación Social

Editorial Karla, México, 2da. edición, pp. 305 Jonson Robert, Patricia Kuby 1999 Estadística Elemental Editorial Thomson, México, 2da. Edición, pp. 534 Páginas WEB: http://www.ruf.rice.edu/~lane/rvls.html http://research.ed.asu.edu/siip/ EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA PRINCIPIA TEMÁTICA: I.1.- Definición y concepto.

Se entiende por probabilidad, Específicamente se habla sobre “la probabilidad de que ocurre un evento”. Naturaleza de la probabilidad.- Puede pensarse que la probabilidad es la frecuencia relativa con que ocurre un evento. La probabilidad y la estadística son dos campos ajenos pero relacionados de las matemáticas. Se ha dicho que “la probabilidad es el vehículo de la estadística”. Es decir que si no fuera por las leyes de la probabilidad, la teoría de la estadística no seria posible.

I.2.- Teoría (teorema), fundamental del conteo. Para encontrar la probabilidad de muchos eventos es necesario

determinar el número de resultados posibles del experimento implicado. Esto requiere enumerar (obtener un “conteo” de) las posibilidades. Este “conteo” puede obtenerse usando uno de los métodos:

1) Enlistar todas las posibilidades y luego proceder a contarlas (1, 2, 3, ); 2) Ya que a menudo no es necesario delinear (obtener una representación

de) todas las posibilidades., el conteo puede determinarse al calcular su valor numérico. Existen tres métodos básicos de conteo de uso común para obtener el conteo mediante cálculos: La técnica fundamental y dos técnicas específicas. Regla fundamental de conteo.

Si un experimento esta integrado por dos ensayos, donde uno de ellos (una sola acción o elección) posee “m” resultados posibles y el otro tiene “n” resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene:

m x n (A-1) Resultados posibles para el experimento. Ejemplo: Un vendedor de automóviles ofrece uno de sus modelos deportivos compactos con dos o opciones de transmisión (estándar o

automática) y en uno de tres colores- ¿Cuántas elecciones posibles de combinaciones de transmisión y color tiene el cliente?. Tenemos que: m = 2; n = 3. Al usar la regla fundamental de conteo (A-1), el número de opciones posibles disponibles para el cliente es:

m x n = 2 x 3 = 6 Esta regla fundamental de conteo puede ampliarse para incluir experimentos que tienen más de dos ensayos.

Regla general de conteo.

Si un experimento esta compuesto por k ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n1 resultados posibles, el segundo posee n2 resultados posibles, el tercero tiene n3 resultados posibles, etc., entonces el número de resultados posibles para el experimento es:

n1 x n2 x n3 .........x nk (A - 2) Ejemplo: En muchos estados (USA), en las placas del automóvil se usan tres letras seguidas de tres numerales, para obtener el “número de placas”. Si se supone que puede usarse cualquiera de las 26 letras del alfabeto ingles para ocupar cada uno de los tres caracteres y que puede utilizarse cualquiera de los dígitos del 0 al 9 para ocupar los tres últimos caracteres.¿Cuántos números de placas diferentes son posibles?

Solución: Para la primera letra hay 26 opciones posibles (n1 = 26), 26 para la segunda (n2 = 26) y 26 para la tercera (n3 = 26). De manera semejante hay 10 opciones posibles para el numeral que se usara para los caracteres cuarto (n4 = 10), quinto (n5 = 10) y sexto (n6 = 10). En consecuencia, al usar la regla general de conteo (formula A -2), Se encuentra que hay:

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17,576,000

Número de placas diferentes, al usar este esquema de seis caracteres. I.3.- Evento o suceso. Un suceso es un subconjunto A del espacio muestral (υ), es decir, es un

conjunto de resultados posibles. Evento.- Acontecimiento, suceso, cosa que sucede, acontecimiento. Si el resultado de un experimento es un elemento de A, decimos que el suceso A ha ocurrido. Probabilidad de eventos:

Hay tres métodos para asignar probabilidades a un evento: Empírico, Teórico y Subjetivo. Empírico o Probabilidad Experimental.

Se trata de la frecuencia relativa observada con la que ocurre un evento (lanzamiento de moneda), y se representa con la siguiente notación que se usa para denotar la probabilidad empírica.

n

AnAp

)()(' =

Donde: p’(A) .- Probabilidad del evento (A). n (A).- Número de veces que se observa el evento (A) n.- Es el número de veces que se intenta el experimento.

Ejemplo: En un experimento del lanzamiento de monedas, se observo exactamente un águila (1A) en 104 de los 200 lanzamientos de un par de monedas.

La probabilidad empírica observada de la ocurrencia de (1A) fue:

adprobabilidde..%..52.......,.........52.0200

104=

I.4.- Espacio Muestral. Un conjunto que (υ) consiste en todos los resultados de un experimento

aleatorio se llama un Espacio Muestral. I.5.- Punto muestral. Y a cada uno de los resultados se le denomina punto muestral VARIABILIDAD DE LA MUESTRA I.6.- Distribuciones de muestreo. Distribuciones muéstrales.- Para hacer inferencias sobre una población

es necesario analizar un poco más los resultados muéstrales. De una manera se obtiene una media muestral x . ¿Es de esperar que este valor, x . Sea exactamente igual a la media de una población µ ?..La respuesta es “no”. No es de esperar que ocurra esto, pero los resultados muéstrales serán aceptables si la media de la muestra esta “próxima” al valor de la media de la población.

Considérese una segunda pregunta, si se toma una segunda muestra ¿la media de esta será igual a la media de la población?, ¿igual a la media de la primera muestra? Nuevamente, No, no espera que sea igual a la media de la población, y tampoco que la media de la segunda muestra sea una repetición de la primera segunda no obstante otra vez se espera que los valores estén “próximos”. Este argumento debe ser valido para cualquier estadística muestral y sus valores de la población correspondiente.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO MUESTRAL

Es la distribución de valores de un estadístico muestral, obteniéndose muestras repetidas, todas del mismo tamaño y extraídas de la misma población.

Para ilustrar el concepto de distribución muestral, se considerara una

población finita muy pequeña: el conjunto de dígitos pares, {o, 2, 4, 6, 8}, y todas las muestras posibles de tamaño 2; además, se tomara en cuenta dos distribuciones muéstrales diferentes que pueden formarse con: 1) las medias y 2) los rangos muéstrales

Primero, se requiere enumerar todas las muestras posibles de tamaño 2; hay 25 muestras posibles:

{0, 0} {2, 0} {4, 0} {6, 0} {8, 0} {0, 2} {2, 2} {4, 2} {6, 2} {8, 2} {0, 4} {2, 4} {4, 4} {6, 4} {8, 4} {0, 6} {2, 6} {4, 6} {6, 6} {8, 6} {0, 8} {2, 8} {4, 8} {6, 8} {8, 8}

Cada una de las muestras tiene una media x. Estas medias son, respectivamente:

0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8

Cada una de las muestras es igualmente probable, por lo que cada una de las 25 medias muéstrales se le puede asignar una probabilidad de 1/25 = 0.004. La distribución muestral de las medias muéstrales se presenta en la tabla 7.1 como una distribución de probabilidad y en la figura 7.1, como un histograma.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS MUESTRALES x p( x ) 0 0.04 1 0.08 2 0.12 3 0.16 4 0.20 5 0.16 6 0.12 7 0.08 8 0.04

HISTOGRAMA: Distribucion muestral de medias muestrales

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Recuerde que µp’ = p, y que el estadístico muestral p’, es un estimador insesgado de p. Así, la información sobre la distribución muestral de p’ se resume como sigue: Si de una población se elige una muestra aleatoria de tamaño n con p = P (éxito), entonces la distribución muestral de p’ tiene: 1. Una media µp’, igual a p.

2. un error estándar σp igual a ,/)( npq ’ y

3. una distribución aproximadamente normal si n es suficiente grande.

I.7.- Intervalos de confianza. Procedimiento del Intervalo de Confianza:

Las inferencias sobre el parámetro binomial de población p, P(éxito), se realizara usando procedimientos bastantes semejantes a los que se emplean para hacer las inferencias sobre la media poblacional µ. Cuando se calcula la proporción de la población p, las estimaciones se basan en las estadística muestral insesgada p’,. La estimación puntual, p’, se vuelve el centro del intervalo de confianza, y el error máximo de estimación es un múltiplo del error estándar. El nivel de confianza determina el coeficiente de confianza, el número de múltiplos del error estándar.

n

qpazpa

n

qpazp

''.

2'............

''.

2'

+

−

donde: p’ = x / n y q = 1 – p’ II.8.- Estadística.- Definición.

Definición.- Ciencia de recolectar, describir e interpretar datos. Como usuarios potenciales de la estadística necesitamos dominar la “ciencia” y el “arte” de utilizar correctamente su metodología. El empleo cuidadoso de los métodos estadísticos permite obtener información precisa de los datos: Estos métodos incluyen:

1) Definir cuidadosamente la situación 2) Recolectar los datos 3) resumir con precisión los datos, y 4) obtener y comunicar las conclusiones significativas.

La estadística se divide en dos áreas: estadística descriptiva y estadística inferencial. Estadística Descriptiva.- es en lo que piensa la mayoría de las personas al escuchar la palabra estadística. La estadística descriptiva incluye la recolección, presentación y descripción de los datos muéstrales. La estadística inferencial.- Se refiere a la técnica de interpretación de los valores resultantes de las técnicas descriptivas y a la toma de decisiones y obtención de conclusiones sobre la población muestreada.

II.9.- Importancia y usos de la estadística.

El término estadística posee varios significados para personas de diversos entornos e intereses. Para algunos, es un campo de “magia” en

el que una persona con conocimientos supera a los demás. Para otros, se trata de un medio para recolectar y representar grandes cantidades de información. Y todavía para otro grupo, “se trata de un medio para tomar decisiones de frente a la incertidumbre”. En la perspectiva idónea, cada uno de estos puntos de vista es correcto.

II.10.- Definición de: Población y Muestra.

Población.- Es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas. La población de interés debe de definirse cuidadosamente y se considera que esta completamente definida solo cuando se especifica la lista de los elementos que pertenecen a ella. Un ejemplo de población bien definida es el conjunto de “todos los estudiantes que han asistido a una universidad estadounidense”. Por lo general, se piensa que una población es una colección de personas. No obstante, en estadística la población puede ser una colección de animales, objetos manufacturados o de cualquier cosa.

Hay dos tipos de poblaciones; finitas e infinitas: Población finita: Cuando es (o puede ser) posible enumerar físicamente los elementos que pertenecen a una población, se dice que la población es finita. Ejemplo: Los libros de una biblioteca universitaria constituyen una población finita. (Los libros se pueden contar.) Población infinita: Cuando los elementos de una población son ilimitados, la poblac ión es infinita. Ejemplo: La población de todas las personas que podrían tomar aspirina, y la población de todos los focos de 40 watts que serán producidos en México, son infinitas.

Muestra.- Es un conjunto de la población. Una muestra consta de los individuos, cuyos objetos o medidas seleccionados de la población por el colector de la muestra. Variable.- Característica de interés sobre cada elemento individual de una población o muestra. Por ejemplo: La edad de un estudiante que ingresa a la universidad, el color de su cabello, su estatura, y su peso son cuatro variables. Dato.- Valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo. Por ejemplo; Juan Pérez, ingreso a la universidad a la edad de 23 años. Datos.- Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra. Por ejemplo: El conjunto de 25 estaturas recolectadas de 25 estudiantes.

II.11.- Experimentación.

Experimento.- Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos. El experimento incluye las actividades para seleccionar los elementos y obtener los valores de los datos.

Parámetro.- Valor numérico que resume todos los datos de una población completa.

En un experimento, el investigador controla o modifica el entorno y observa el efecto sobre la variable bajo el estudio. A menudo leemos sobre resultados de laboratorio obtenidos usando ratas blancas para probar dosis diferentes de un nuevo medicamento y su efecto sobre la presión arterial. Los tratamientos experimentales fueron diseñados específicamente para obtener los datos necesarios para estudiar el efecto sobre la variable.

II.12.- Presentación de datos.

Definición.- Valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo.

Recolección de datos.- Uno de los primeros problemas que enfrentan quienes se dedican a la estadística es la obtención de datos. Los datos no ocurren simplemente; es necesario recolectarlos. Es importante obtener buenos datos porque en última estancia las inferencias efectuadas se basan en las estadísticas obtenidas a partir de los datos. Estas inferencias pueden ser tan buenas como lo sean los datos.

La recolección de datos para el análisis estadístico es un proceso complicado que incluye los siguientes pasos:

1. Definir los objetos de la investigación o del experimento.

Ejemplo: Comparar la eficacia de un nuevo medicamento con la eficacia de un medicamento normal; estimar el ingreso familiar medio en algún municipio.

2. Definir la variable y la población de interés Ejemplo: duración del tiempo de recuperación de los pacientes que sufren algún enfermedad particular; ingreso total de los hogares de algún municipio.

3. Definir los esquemas para recolectar y medir los datos.

Esto incluye los procedimientos de muestreo, el tamaño de la muestra y el instrumento de medición (cuestionario, por teléfono, etc.) de los datos.

4. Determinar las técnicas idóneas para realizar el análisis de datos: descriptivas o inferenciales.

Los métodos que se emplean para recolectar los datos son: los experimentos y las encuestas.

Experimento.- El investigador controla o modifica el entorno y observa el efecto sobre la variable en estudio. Encuesta.- En una encuesta o (inspección), los datos se obtienen al muestrear alguna parte de la población de interés sin embargo, el investigador no modifica el entorno. Censo.- Si es posible enlistar (o enumerar) y observar cada elemento de la población, entonces se compila un censo. Un censo es una encuesta al cien por ciento.

II.13.- Estadísticos muestrales.

Estadística.- Valor numérico que resume los datos de la muestra. La estatura “promedio” encontrada al utilizar el conjunto de 25 estaturas es un ejemplo de una estadística muestral. Una estadística es un valor que describe una muestra. Casi todas las estadísticas muéstrales se determinan con ayuda de formulas y suele asignarse denominaciones simbólicas usando letras del alfabeto español (por ejemplo; x , s y r) Ejemplo: Un estudiante de estadística esta interesado en determinar algo sobre el promedio del valor en dólares de los automóviles que pertenecen al cuerpo docente de nuestra universidad. Cada uno de los 8 términos descritos puede identificarse en esta situación.

1) La población es la colección de todos los automóviles que pertenecen a todos los miembros de del cuerpo docente de la universidad.

2) Una Muestra, es cualquier subconjunto de esa población. Por ejemplo, una muestra serian los automóviles que pertenecen a los profesores del departamento de matemáticas.

3) La variable, es el valor en dólares de cada automóvil individual. 4) Un dato podría ser el valor en dólares de un automóvil en

particular. El automóvil de él Prof. Neyoy, por ejemplo esta valuado en 9,400 dólares.

5) Los datos serian el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida (9,400; 8,700; 15,950...).

6) El experimento serian los métodos aplicados para seleccionar los automóviles que integren la muestra y determinar el valor de cada automóvil de la muestra. Podría efectuarse preguntando a cada miembro del Dpto. de matemáticas, o de otros formas.

7) El parámetro sobre el que se esta buscando información es el valor “promedio” de todos los automóviles de la población.

8) La estadística que se encuentre es el valor “promedio” de todos los automóviles de la muestra.

II.14.- Distribución de frecuencias no agrupadas.

Los listados de grandes conjuntos de datos no presentan una imagen valiosa de. Algunas veces se desea condensar los datos en una forma más manejable. Esto puede lograrse con ayuda de una distribución de frecuencias.

Distribución de frecuencias.- Listado, a menudo expresado en forma de diagrama, que asocia cada valor de una variable con su frecuencia.

Para ilustrar el concepto de distribución de frecuencias se usara el siguiente conjunto de datos:

13312

20234

22144

23223

Si x representa una variable, puede usarse una distribución de frecuencias para representar este conjunto de datos enumerando los valore “x” con sus frecuencias. Por ejemplo, el valor 1 se presenta tres veces en la muestra; por tanto, la frecuencia de x = 1 es 3. El conjunto de datos completo esta representado por la distribución de frecuencias que se muestra en la tabla siguiente:

X F 0 1 1 3 2 8 3 5 4 3

L frecuencia “f” es el número de veces de que aparece el valor x en la muestra, La tabla es una distribución de frecuencias no agrupadas: “no agrupadas” porque cada valor de x en la distribución permanece solo.

II.15.- Distribución de frecuencias agrupadas.

Cuando en un gran conjunto de datos tiene muchos valores x distintos, en lugar de unos cuantos valores repetidos, como en el ejemplo anterior, es posible agrupar los valores en un conjunto de clases y elaborar una distribución de frecuencias agrupadas. La representación de tallo y hojas de la figura (siguiente) muestra, en forma de fotografía, una distribución de frecuencias agrupadas.

19 PUNTAJES DE EXAMEN 5 2 6 6 8 2 7 6 4 6 8 2 6 8 4 8 2 6 4 2 8 9 6 2

Cada tallo representa una clase. El número de hojas en cada tallo es el mismo que la frecuencia de esa misma clase. Los datos representados en la figura, se enumeran como una distribución de frecuencias de la tabla, siguiente.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

clase frecuencia 50 o más hasta menos que 60→ 50 ≤ x < 60 1 60 o más hasta menos que 70→ 60 ≤ x < 70 3 70 o más hasta menos que 80→ 70 ≤ x < 80 8 80 o más hasta menos que 90→ 80 ≤ x < 90 5 90 o más hasta menos que 100→ 90 ≤ x < 100 2 19

El proceso de tallo y hojas puede usarse para elaborar una distribución de frecuencias; no obstante, la representación del tallo no es compatible con todos los anchos de clase. Por ejemplo, puede ser inconveniente utilizar los anchos de clase 3, 4, 6, o 7. Por tanto, algunas veces es ventajoso contar con un procedimiento por separado para elaborar una distribución de frecuencias agrupadas.

III.16.- Introducción.

Una vez que se han recolectado los datos de la muestra, es necesario “familiarizarse “con ellos. Una de las formas de más conocidas para lograr lo anterior es, aplicar una técnica inicial exploratoria de análisis de datos que produzca una representación visual. La representaciones resultantes revelan, visualmente, patrones de comportamiento de la variable en estudio. Hay muchas formas Gráficas (visuales) para describir los datos. El método que se aplica es determinado por el tipo de datos y el concepto a representar. Nota: Cuando se elabora una representación grafica no existe solamente una respuesta correcta. El juicio del analista y las circunstancias que rodean al problema desempeñan un papel primordial en el desarrollo de la grafica.

III.17.- Gráfico de líneas.

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7

Y

X

III.18.- Histograma.

Un histograma o un histograma de frecuencias esta formado por una serie de rectángulos que tienen sus bases sobre un eje horizontal (eje x) e iguales al ancho de clase, su altura es igual a la frecuencia de clase.

HISTOGRAMA: Distribucion muestral de medias muestrales

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

III.19.- Polígono de Frecuencias. Un polígono de frecuencias es un Gráfica de líneas trazado sobre los puntos medios de cada clase, se obtiene uniendo los puntos medios de los extremos superiores de cada rectángulo. Se acostumbra a prolongar el polígono hasta los puntos medios inferiores y superior de la clase inmediata.

Polígono de frecuencias III.20.- Gráfico de pastel.

X

1

2

3

4

5

III.21.- Ojivas.

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

Y

X

IV.22- Estimaciones y estimadores.

La estimación de un parámetro poblacional dado por un número se llama “estima de punto del parámetro”. La estima de un parámetro poblacional dada por dos números entre los cuales se considera que se encuentra dicho parámetro se llama estima de intervalo del parámetro. Ejemplo: Si se dice que una distancia viene dada por 5.28 m., se esta dando una estima de punto del parámetro. Si se dice que la distancia es 5.28 ±0.03 m. es decir, la distancia real se encuentra entre 5.25 y 5.31 m, se esta dando una estima de intervalo. Nota: La precisión o conocimiento del error de una estima se conoce también como su seguridad. Estimadores.-

IV.23.-Estimadores Insesgados óptimos.

Definición.- Estadística insesgada, es una estadística de la muestra cuya distribución muestral tienen un valor medio igual al valor del parámetro de la población que esta estimándose. Una estadística que no es insesgada es sesgada. Un estadístico se llama estimador insesgado de un parámetro poblacional si la media o esperanza del estadístico es igual al parámetro. El valor correspondiente del estadístico se llama estima insesgado del parámetro. Ejemplo: La media x1, y la varianza Ŝ2 son estimadores insesgados de la media poblacional µ y de la varianza poblacional σ2 , puesto que E(x) = µ, E(Ŝ2)= σ2, los valores x1 y Ŝ2 se llaman estimás insesgadas, ¡pero no

siempre es posible¡.

22

22

2

2

2122

21

)ˆ(

1

)(.....)()(ˆ

1ˆ)..2

.........)..1

σ=−

−++−+−=

−=

+++=

SE

n

xxxxxxS

n

nS

n

xxxx

n

n

IV.24.-Función de Verosimilitud y estimadores máximo-verosímiles.

Aunque los límites de confianza tienen valor para estimar un parámetro poblacional es conveniente tener un estimador por punto. Para obtener

el “mejor“de tales estimadores empleamos una técnica conocida como el estimador de máxima verosimilitud, (FISHER). Para ilustrar el método suponemos que la población tiene una función de densidad que contiene un parámetro poblacional, por ejemplo θ, que se va a estimar por un estadístico determinado. Por tanto, la función de densidad puede denotarse por f (x1, θ) . Suponiendo que hay “n” observaciones independientes x1,.....,xn, la función densidad conjunto para estas observaciones es:

L = f (x1, θ) f (x2, θ)………. f (xn, θ) Que se llama verosimilitud.

Estimadores máximo-verosimilitud. La máxima verosimilitud puede tomarse tomando la derivada de L con respecto a θ e igualamos a 0 (cero). Para este propósito es conveniente tomar primero el logaritmo de y luego la derivada. De esta manera hallamos:

0),(

.),(

1..........

),(.),(

1 1 =∂

∂++

∂

∂

θθ

θθθ

θn

n

xf

xf

xf

xf

De aquí podemos obtener θ en términos de xk

El método puede generalizarse, así para el caso donde existan varios parámetros tomamos las derivadas parciales con respecto a cada uno de los parámetros. Los igualamos a cero y resolvemos las ecuaciones resultantes simultáneamente.

IV.25.-Intervalos de Estimación.

En el intervalo limitado por dos valores y sirve para estimar el parámetro de una población. Los valores que limitan este intervalo son estadísticas calculados a partir de la muestra que se esta utilizando como base para la estimación.

IV.26.-Determinación del tamaño muestral.

Tamaño de la muestra.- El intervalo de confianza posee dos características básicas que determinan su calidad; su nivel de confianza y su ancho. Es preferible que el intervalo tenga un alto nivel de confianza y que sea exacto (estrecho) a la vez. Mientras más alto sea el nivel de confianza, más probable es que el intervalo contenga el parámetro, y mientras estrecho es el intervalo más exacta es la estimación. No obstante, estas dos propiedades parecen contraponerse, ya que parecería que un intervalo más ancho es menos exacto. La parte del error máximo de la formula del intervalo de confianza especifica la relación implicada.

n

zEσα.

2

=

Las componentes de esta formula son: a) El error máximo “E” , La mitad de del ancho del intervalo de confianza. b) El coeficiente de confianza, z(α/2), que es determinado por el nivel de

confianza.

c) El tamaño de la muestra,”n”. d) La desviación estándar, σ La desviación estándar, σ no es de interés de en este análisis porque es una constante, (la desviación estándar, de una población no cambia de valor).

IV.24.-Precisión de Estimaciones.

Así quedan, tres factores. El análisis de la formula (8.2) indica lo siguiente: el aumentar el nivel de confianza, se hace más grande el coeficiente de confianza y por tanto, y por tanto se requiere incrementar el error máximo de o el tamaño de la muestra; aminorar el error máximo, requiere de la reducción de del nivel de confianza o bien aumentar el tamaño de la muestra; disminuir el tamaño de la muestra obliga a que el error máximo se vuelva más grande o que el nivel de confianza disminuya. Se tiene una “lucha tripartita por la supremacía”, como se muestra en la figura. Un aumento o una disminución de cualquiera de los tres factores afectan a uno o a ambos, de los otros dos elementos. El trabajo del experto en estadística es “equilibrar” el nivel de confianza. El tamaño de la muestra y el error máximo. De modo que se obtenga un intervalo aceptable. 1-α Nivel de confianza Error máximo E n Tamaño de la muestra

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V.27.- Método de regresión.

Aunque el coeficiente de correlación mide la intensidad de una relación lineal, no dice nada sobre la relación matemática que hay entre las dos variables. En la sección 3.2, se encontró que el coeficiente de correlación para los datos “lagartijas” y “sentadillas” era de 0.84. Esto implica que existe una relación lineal entre el número de “lagartijas” y el número de “sentadillas” que hace un estudiante. El coeficiente de correlación no ayuda a predecir a el número de “sentadillas” que pueda hacer una persona con base en el conocimiento de que puede hacer 28 “lagartijas”.

El análisis de regresión encuentra la ecuación de la recta que describe mejor la relación entre dos variables. Una aplicación de esta ecuación es hacer predicciones. Hay muchas situaciones en las que estas predicciones se usan regularmente; Por ejemplo, predecir el éxito que tendrá un estudiante en la universidad con base en los resultados que obtuvo en el bachillerato, y averiguar la distancia necesaria para detener un automóvil conociendo su velocidad.

En general, el valor exacto de y no es predecible: sin embargo, las aproximaciones a este valor son de utilidad si las predicciones son razonablemente acertadas.

La relación entre estas dos variables es una expresión algebraica que describe la relación matemática entre x & y . A continuación se presentan algunos ejemplos de varias relaciones posibles, denominadas modelos o ecuaciones de predicción:

Lineal: ŷ = b0 + b1x Cuadrática: ŷ = a + bx + cx2 Exponencial: ŷ = a (bx) Logarítmica: ŷ = a logbx Regresión lineal con pendiente positiva Regresión lineal con pendiente negativa X x Figura V.1 figura V.2 Y y Regresión curvilínea (cuadrática) No hay relación X x (Regresión no lineal) Y y figura V.3 figura V.4 V.28.- Regresión lineal mínimo cuadrática.

Si un modelo de línea recta parece idóneo, la recta del mejor ajuste se encuentra aplicando el método de mínimos cuadrados suponga que: ŷ = b0 + b1x Es la ecuación de una recta, donde: ŷ (que se lee como y gorro) representa el valor estimado de y que corresponde a un valor particular de x. El criterio de mínimos cuadrados requiere encontrar las constantes de b0 y b1 tales que la sumatoria ∑(y- ŷ)2 sea lo más pequeña posible (figura A).

ŷ = b0 + b1x y (x, ŷ) y- ŷ Figura A (x, y)

ŷ y x

En la figura A se muestra la distancia de un valor observado de y a un valor estimado de ŷ. La longitud de esta distancia representa el valor (x, ŷ), mostrado como el segmento de recta de línea gruesa de la figura A, Observe que (y- ŷ) es positivo cuando el punto (x, y) por arriba de la recta, y es negativo cuando (x, y) esta por debajo de la recta.

En la figura B se muestra un diagrama de dispersión con una posible recta del mejor ajuste, junto con los 10 valores individuales de (y- ŷ) . Los valores positivos se muestran con línea gruesa, y los valores negativos con línea (punteada). Si la recta es, en efecto la del mejor ajuste, la suma de los cuadrados de estas diferencias se minimiza (se hace lo más pequeña posible).

+1 +1.5 La recta el mejor ajuste +2.5 -1.5 -1 +1 +1 -2.5 Figura B -1 -1 x ∑(y- ŷ)2 = (-1)2 + (+1)2 +...........+ (+1)2 = 23

En la figura C, Se muestra los mismos puntos que en la figura B con los 10 valores individuales (y- ŷ) , asociados a una recta que, definitivamente, no es la del mejor ajuste. El valor de ∑(y- ŷ)2 es 149, mucho mayor que el 23 de la figura B. Cada recta diferente trazada a partir de este conjunto de 10 puntos, produce un valor distinto de ∑(y- ŷ)2

. La tarea consiste en encontrar la recta tal que el valor de ∑(y- ŷ)2 sea menor posible.

No es la recta la mejor curva de ajuste.

∑(y- ŷ)2 = (-6)2 +(-4)2 ......+(+6)2 = 149.0

La ecuación de la recta del mejor ajuste es determinada por su pendiente (b1), y su ordenada al origen (a0). Los valores de la constantes, pendiente y ordenada al origen, que satisfacen el criterio de mínimos cuadrados se encuentran aplicando las siguientes formulas.

6.3..........................).(

.......

)]....)([()....(;..........

5.3......................)(

))((............;.........

1

0

0

21

n

xbyborigenalordenada

numero

xdesumapendienteydesumaborigenalOrdenada

xx

yyxxbPendiente

∑ ∑=

−=

−∑

−−∑=

Para encontrar la pendiente b1 se usara una equivalencia matemática de la formula (3.5), que utilice la suma de los cuadrados determinados en los cálculos preliminares de la correlación.

7.3.................................)(

)(.........;......... 1

xSC

xySCbPendiente =

Observe que el numerador de la formula (3.7) es la SC(xy) de la formula (3.4) y que el denominador es la formula (2.8) de los cálculos del coeficiente de correlación. Entonces, si ya ha calculado previamente el coeficiente de correlación lineal aplicando. El procedimiento delineado en <(la hoja no) (sección .3.2) , es fácil encontrar la pendiente de la recta del mejor ajuste. Si no ha calculado previamente r, elabore una tabla semejante (3.11) y complete los cálculos preliminares necesarios. Ahora se consideraran los datos de la ilustración (3.7) y la cuestión es predecir las “sentadillas” efectuadas por un estudiante con base en el número de “lagartijas” hechas. Se requiere encontrar la recta del mejor ajuste, ŷ = b0 + b1x. Los cálculos ya han sido completados en la tabla (3.11) .

Para calcular la pendiente, b1, usando la formula (3.7), recuerde que; SC (xy) =919.0 y que SC(x) = 1396.9.

66.06579.09.1396

0.919

)(

)(...... 1 ====

xSC

xySCbpendiente

Para calcular la ordenada al origen, b0, usando la formula (3.6), recuerde que por la tabla de extensiones, ∑x = 351, y ∑y = 380.

xyesrectaladeecuacionlaAsi

n

xbyborigenalOrdenada

66.09.14ˆ....................

9.149077.1410

9229.230380

10

)351)(6579.0(380).(...........

1

0

+=

==−

=

−=

−= ∑∑

V.29.- Análisis de la bondad de ajuste.

El problema de ensayar la bondad de ajuste de las distribuciones teóricas a las distribuciones muéstrales es esencialmente el mismo que al decidir si hay diferencias importantes entre los valores de la población y la muestra. Un ensayo de significación importante para la bondad de ajuste de distribuciones teóricas, el ensayo Chi-cuadrado. En un intento para determinar si una distribución normal representa un buen ajuste para datos dados, conviene usar un papel Gráfica de curva normal o papel de probabilidad, como a veces se llama.

Ensayo Chi-cuadrado para la bondad de ajuste. Para determinar si la proporción P de “éxitos” en una muestra de tamaño “n” extraída de una población binomial difiere de la proporción poblacional P de éxitos, hemos usado el estadístico dado por (5) o (6).

)6........(..............................

)5...(..............................)/(

npq

npxZ

nqp

pPZ

−=

−=

En este caso sencillo solamente dos sucesos A1, A2 pueden ocurrir, que los hemos llamado “éxito” y “fracaso” con probabilidades p y q = 1 – p. Un valor muestral especifico de la variable aleatoria x = np se llama frecuencia observada para el suceso A1 en tanto que np se llama la frecuencia esperada o teórica.

Ejemplo: Si obtenemos una muestra de 100 lanzamientos de una moneda honrada, de modo que n = 100, p = ½, entonces la frecuencia esperada de caras (éxitos) es:

Np = (100)(1/2) = 50 La frecuencia observada en la muestra podría lógicamente ser diferente.

Una generalización al caso donde pueden ocurrir “k” sucesos posibles A1, A2, ......,AK con probabilidades p1, p2, ...., pk , respectivamente. En tal caso tenemos una poblacional multinomial. ...si

n

xZ

/σµ−

=

Si extraemos una muestra de tamaño “n” de esta población, las frecuencias observadas para los sucesos , A1, A2, ...,Ak pueden describirse por las variables aleatorias x1,...,xk (cuyos valores específicos

x1, x2,...xk, serian las frecuencias observadas para la muestra) en tanto que las frecuencias esperadas estarían dadas por np1, ......, npk

respectivamente. Los resultados pueden indicarse como se muestra en la siguiente tabla.

Suceso A1 A2 ........... Ak Frecuencia observada x1 x2 ........... xk Frecuencia esperada np1 np2 ........... npk

V.30.- Regresión No lineal y múltiple.

Regresión no lineal: Muy a menudo en la practica se encuentra que existe una relación entre dos, (o más) variables y se desea expresar esta relación en forma matemática, determinando una ecuación que conecte dos variables. 1) Un primer paso es la colección de datos indicando los valores

correspondientes de las variables. 2) El siguiente paso es dibujar los puntos (x, y) en un sistema de

coordenadas rectangulares. El conjunto resultante se llama diagrama de dispersión.

Del diagrama de dispersión es posible frecuentemente visualizar una curva que se aproxime a los datos. Dicha curva se llama curva de aproximación, en la figura (V.1 ) por ejemplo se observa que los datos se aproximan bien por una recta y decimos que existe una regresión lineal entre las variables. Sin embargo, en la figura (V.3) , aunque existe una relación entre las variables esta no es una relación lineal y por eso la llamamos regresión no lineal.

Regresión lineal múltiple.

Por ejemplo, si creemos que hay una relación lineal entre una variable dependiente de z sobre x, y, entonces buscaríamos una ecuación conectando las variables que tenga la forma:

)(.............................. Acybxaz ++=

Esta se denomina ecuación de regresión de z sobre x, y, . Si x es la variable dependiente una ecuación semejante se llamaría ecuación de regresión de x sobre y, z.

Puesto que (A), representa un plano en un sistema de coordenadas rectangulares tridimensional se llama con frecuencia plano de

regresión. Para hallar el plano de regresión de mínimos cuadrados a, b, c en (A) de modo que:

∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

++=

++=

++=

2

2

ycxybyayz

xycxbxaxz

ycxbnaz

Estas funciones llamadas las ecuaciones normales correspondientes a (A), se obtienen como resultado de aplicar una definición análoga (pendiente ref.) adviértase que puede obtenerse formalmente de (A), multiplicando por 1, x, y respectivamente y sumando

V.31.- Correlación total, parcial y múltiple.

Correlación lineal: El objetivo primordial del análisis de correlación lineal es medir la intensidad de una relación lineal entre dos variables. Se analizaran algunos diagramas de dispersión que muestran diferentes relaciones entre variables independientes o de entrada, “x”, y variables dependientes o de salida, “y”, Si a medida que crece “x” no hay un cambio definido en los valores de “y”, se dice que no hay correlación o relación entre x & y. Si a medida que crece x””, hay un cambio en los valores de “y”, existe una correlación. La correlación es positiva cuando “y” tiende a crecer, y es negativa cuando “y” tiende a decrecer. Si los pares ordenados (x, y) tienden a seguir un patrón de línea recta, se tiene una correlación lineal. Los diagramas de dispersión siguientes ilustran estas ideas:

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Y CORRELACIÓN No hay correlación Correlación positiva Correlación positiva alta Correlación negativa Correlación negativa alta

La correlación lineal perfecta ocurre cuando todos los puntos están exactamente sobre una recta, como se observa en la siguiente figura. Esta correlación puede ser positiva o negativa, dependiendo de si “y” crece o decrece a medida que “x” se incrementa. Silos datos forman una recta horizontal o vertical, no hay correlación, ya que una variable no afecta a la otra.

Correlación positiva perfecta Correlación negativa perfecta VI.32.-Introducción.-

Naturaleza de la prueba de hipótesis: Todo mundo toma decisiones en la vida diaria. Algunas de estas decisiones son de fundamental importancia y otras aparentemente insignificantes. Todas las decisiones siguen el mismo patrón básico. Se ponderan las alternativas; luego, con base en las convicciones y preferencias personales, y cuales sean los hechos disponibles, se llega a una decisión y se emprende la acción idónea. La prueba de hipótesis sigue casi el mismo proceso, excepto que implica información estadística. Un amigo suyo va hacer una fiesta (para celebrar el súper tazón por que acaba de ingresar a la universidad; usted conoce la situación, cualquier pretexto sirve) a la que usted esta invitado. Debe tomar una decisión de: ir o no ir. Decisión simple; buena tal vez, a salvo que usted desea asistir solo si esta convencido de que la fiesta será más divertida que las reuniones clásicas de sus amigo; además, definitivamente no quiere asistir si solo va a ser un desastre de fiesta. Usted ha asumido la posición de que la “fiesta será un fracaso” y no asistirá a menos que se convenza de lo contrario. Su amigo le asegura “¡Esta garantizado, la fiesta será un éxito¡” . ¿Asistirá usted o no?. El proceso de toma de decisiones comienza con la identificación de algo de interés y luego con el planteamiento de dos hipótesis al respecto.

VI.33.- Hipótesis y modelos

HIPÓTESIS.- Afirmación de que algo es verdadero. La afirmación de su amigo “¡La fiesta será un éxito¡” es una hipótesis. Su posición de que “la fiesta será un fracaso” también es una hipótesis.

VI.34.- Prueba de hipótesis estadística

Proceso que permite tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas. Estas hipótesis se plantean de modo que una es la negación de la otra (de esta forma una de ellas siempre es verdadera y la otra es falsa). Luego, una hipótesis se prueba con la esperanza de poder demostrar que su ocurrencia es muy improbable, implicándose así que la otra hipótesis es probablemente verdadera. Las dos hipótesis presentes en la toma de una decisión se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa.

VI.35.-La hipótesis nula. (Ho)

Es la hipótesis que se prueba. Por lo general, es una afirmación sobre un parámetro poblacional que tiene un valor específico. La hipótesis nula se denomina así porque es el “punto inicial” de la investigación (en su interpretación a menudo se usa la frase “no hay diferencia”).

VI.36.- Hipótesis alternativa. (Ha)

Es la afirmación sobre el mismo parámetro da la población que se usa en la hipótesis nula. En general, es una afirmación que especifica que el parámetro de la población tiene un valor diferente, de alguna manera, del valor proporcionado en la hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implica la probable veracidad de la hipótesis alternativa. Con respecto a la fiesta de su amigo, los dos puntos de vista o hipótesis opuestos son: “La fiesta será un éxito”, y “La fiesta será un fracaso”. ¿Cuál afirmación se vuelve hipótesis nula y cual alternativa?

Un paso muy importante es determinar las afirmaciones de las hipótesis nula y alternativa. La idea básica de la prueba de hipótesis es que los hechos tengan la posibilidad de “refutar” la Ho. La hipótesis nula es la afirmación que podría ser refutada por los hechos. Su interés (convicción o resultado deseado), como la persona que realiza la prueba, se expresa en la hipótesis alternativa. Siendo usted quien toma la decisión, considera que los hechos demostraran la factibilidad de su teoría al demostrar la improbabilidad de la veracidad de la hipótesis nula.

Algunas veces, la hipótesis alternativa se denomina hipótesis de investigación, ya que representa lo que el investigador espera encontrar como “verdadero” (De ser así el investigador publicara un articulo sobre la investigación).

Debido a que los “hechos” (quien asiste a la fiesta, que se ofrecerá en esta, etc.) solo pueden demostrar la improbabilidad de que la reunión será un fracaso, su postura inicial, “La fiesta será un fracaso”, se

convierte en la hipótesis nula. Así, la afirmación de su amigo, “¡La fiesta será un éxito¡” , se vuelve la hipótesis alternativa. Ho: “La fiesta cera un fracaso” vs. Ha: La fiesta será un éxito”.

INTEGRACIÓN CONCEPTUAL: (El Titular Académico, conocerá las respuestas). La tecnología de los métodos científicos se aborda de manera axiomática a través de las técnicas de análisis de los fenómenos estocásticos. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPORTES CRÍTICOS O SUGERENTES A: MC Ernesto Guerra García, Coordinador General Educativo. (Correo electrónico: eguerra@uaim.edu.mx ) Benito Juárez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, México. C.P. 81890, Tel. 01 (698) 8 92 00 42. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

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