Estadística elemental: 1 Lo esencial

D É C I M A E D I C I Ó N

Robert Johnson 1 I Patricia Ku by

Monroe Community College 1

está cada vez en el intervalo. Consulte el ejemplo 8.4, seguros que el error máximo de estimación no

página 407. Describa sus resultados. basará de 1 segundo?

PARA SU INFORMACIÓN Use comandos para generar datos de enteros b. ¿Qué tamaño muestra1 Se requiere Para un erro

en la página 407; luego continúe con los comandos del intervalo de confianza de las máximo de 2 segundos?

páginas 409-410. <@E

8.45 Encuentre el tamaño muestra1 necesario para es- 8-49 Las nuevas computadoras mini-portátiles .g timar p de una población normal con U = 3 adentro de tener tanta potencia de computación como las 1 unidad al nivel de confianza de 98%. nas de varias veces su tamaño, pero pesan menos de:@

3 libras. ¿Qué tan grande tendría que ser una mues.f

8.46 tan grande debe tomarse una muestra si tra para estimar el peso medio poblacional, si el error.!-

la media poblacional debe estimarse con 99% de con- máximo de estimación debe ser de 0.4 a 1 desviación:

fianza a una variación de no más de $75? La población 950/0 de confianza?

tiene una desviación estándar de $900.

8.50 La imagen de la biblioteca pública está cambian. 8.47 Un compañía de alta tecnología desea estimar el do de manera constante, y sus servicios en línea con. número medio de años de educación universitaria que tinúan creciendo. El uso de la página inicial de la bi- sus empleados han terminado. Una buena estimación blioteca creció 17% durante los últimos 12 meses. Se

de la desviación estándar para el número de años de ha estimado que la duración promedio actual de una universidad es 1.0. ¿Qué tan grande tiene que ser una visita a la página inicial de la biblioteca es aproxima- muestra para estimar p a no más de 0.5 de un año con damente 20 minutos. La biblioteca desea tomar una 99% de confianza? muestra para estimar en forma estadística esta media.

¿Qué tan grande debe ser la muestra para estimar la media con una variación de no más de 0.3 de 1 desvia- ' un componente de ción estándar con 0.98 de confianza?

un producto para pasar de una estación de trabajo a la siguiente, un ingeniero ha estimado que la desviación Fuente: http://library.loganutah.org/library/annualO4/

amua~report2004.htrn 1

Todos los días tomamos decisiones; algunas de éstas son de gran importancia, otras son insignificantes en apariencia, pero todas siguen el mismo patrón básico. Ponde. ramos las alternativas; entonces, con base en nuestras creencias y preferencias, así como en cualquier otra evidencia que tengamos a mano, llegamos a una decisión y tomamos la acción apropiada. La prueba de hipótesis estadística sigue un proceso muy semejante, excepto que comprende información estadística. En esta sección desarrollamos muchos de los conceptos y actitudes de la prueba de hipótesis, al tiempo que vemos diversas situaciones de toma de decisiones sin usar ninguna estadística.

Un amigo organiza una fiesta (fiesta por el supertazón, fiesta por regresar a casa desde la universidad, o cualquier otra fiesta) y usted ha sido invitado; debe tomar una decisión: ir o no ir, así de sencillo; bien, quizá vaya, excepto que irá sólo si le convencen de que la fiesta va a ser más divertida que las típicas de su amigo. Además. definitivamente no desea ir si va a haber otro desastre. Usted ha tomado

portancia, otras i básico. ponde- ,referencias, así a una decisión

gue un proceso En esta sección de hipótesis, al i usar ninguna

por regresar a invitado; debe 3tO que irá sólo is de su amigo. :ted ha tomado

SECCIÓN 8.4 La naturaleza de la prueba de hipótesis 417

la posición de que "la fiesta será un desastre" y no va a menos que le convenzan. Su amigo le asegura, "garantizado, la fiesta será una gran diversión" ¿Vas o no vas?

El proceso de decisión empieza por identificar algo de interés y luego formular dos hipótesis acerca de éste.

Hipótesis: enunciado de que algo es verdadero.

La frase de su amigo, "La fiesta será una gran diversión", es una hipótesis. La posición de usted, "La fiesta será un desastre", también es una hipótesis.

Prueba de hipótesis estadística: proceso por el que se toma una decisión entre dos hipótesis opuestas. Las dos hipótesis opuestas se formulan de modo que cada una es la negación de la otra. (Una de ellas es siempre verdadera, y la otra es siempre falsa.) Entonces se prueba una hipótesis esperando que pueda demostrar ser un suceso improbable, lo cual implica que es probable que la otra hipótesis sea la verdad.

Las dos hipótesis comprendidas para tomar una decisión se conocen como la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

Hipótesis nula,' Ho: la hipótesis que probaremos. Generalmente, Bsta es la expo- sición de que un parámetro poblacional tiene un valor especifico. La hipótesis nula recibe ese nombre porque es el "punto de partidan para la investigación. (La frase "no hay diferencia" se usa con frecuencia en su interpretación.)

Hipótesis alternativa, Ha: enunciado acerca del mismo parámetro poblacional que se usa en la hipótesis nula. Generalmente, éste es un enunciado que espe- cifica que el parámetro poblacional tiene un valor diferente, en alguna forma, del valor dado en la hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implicara la probable verdad de esta hipótesis alternativa.

Respecto a la fiesta de su amigo, las dos hipótesis o puntos de vista opuestos son "La fiesta será una gran diversión" y "La fiesta será un desastre." ¿Cuál enunciado se convierte en hipótesis nula, y cuál en hipótesis alternativa?

Determinar el enunciado de la hipótesis nula y el de la hipótesis alternativa es un paso muy importante. La idea básica de la prueba de hipótesis es para la eviden- cia de tener una probabilidad de "refutar" la hipótesis nula. La hipótesis nula es el enunciado que la evidencia podría refutar. Su interés (creencia o resultado deseado), como persona que hace la prueba, se expresa en la hipótesis alternativa. Como per- sona que toma la decisión, usted piensa que la evidencia demostrará la factibilidad de su "teoría" al demostrar la improbabilidad de la verdad de la hipótesis nula. La

'Utilizamos la notación H, para la hipótesis nula para contrastarla con H, para la hipótesis alternativa. Otms textos pueden utilizar H, (cero subscrito) en lugar de H, y H, en lugar de 1,.

iversión"

SECCIÓN 8.4 La naturaleza de la prueba de hipótesis 41 9

S O L U C I Ó N La sospecha de usted, "El detergente de marca supera la marca de detergente de la tienda", es la razón para la prueba y por tanto se convierte en hi-

pótesis alternativa.

Ho: "No hay diferencia en el rendimiento del detergente."

Ha: "El detergente de marca supera la marca de detergente de la tienda."

No obstante, como consumidor, usted espera no rechazar la hipótesis nula por razones presupuestales.

hipótesis nula f C A S O

E , ~ R Á C T I C O 8.1 1 Evaluación de técnicas de enseñanza

i automóviles, ,e las hipótesis '

idecuadamen- oducir eviden- pás su preocu- olsas no abren sas abren ade-

entador desea

perfeccionada iula y alterna-

[ "no seca más ~ótesis alterna- hipótesis nula

lleve a un re- I :tergente de la nprar la marca

RESUMEN: ESTE ESTUDIO PRUEBA EL EFECTO DE UNA RECOLECCIÓN DE TAREAS Y HACE PREGUNTAS SOBRE CALIFICACIONES DE EXAMEN

La hipótesis para este estudio es que un profesor puede mejorar el rendimien- to de un estudiante (calificaciones de examen) si influye sobre la probabilidad percibida de recompensa de esfuerzo del estudiante. Un profesor logra esto al asignar tareas (técnicas de enseñanza) que son una parte de las caüücaciones de un estudiante y son percibidas por estudiantes como un medio de mejorar su caüficación en el grupo. El estudiante

es motivado a aumentar su esfuerzo para completar las tareas que deben también mejorar la comprensión del material del curso. El resultado final esperado es de mejores callicaciones de examen. La hipótesis nula para este estudio es:

H,: Las técnicas de ensefianza no tienen efecto significativo en las calificaciones de examen de estudiantes.

, Fuente: J h i d R. V m n i n l c y JTUIUII R. 011, D ~ ~ A c c o ' ~ n C t h g ~ ~ i m , Vol. Lm, No. 2 abril 1987. Reimpreso con permiso.

Antes de regresar a nuestro ejemplo acerca de la fiesta, necesitamos ver los cuatro posibles resultados que podrían manifestarse de que la hipótesis nula sea verdadera o falsa, y de que la decisión sea '(rechazar Ho" o "no rechazar Hon. La tabla 8.3 muestra estos cuatro posibles resultados.

Se presenta una decisión correcta tipo A cuando la hipótesis nula es ver- dadera y decidimos en su favor. Ocurre una decisión correcta tipo B cuando la hipótesis nula es falta y la decisión es en oposición a la hipótesis nula. Se comete un error tipo 1 cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera, es decir, cuando la hipótesis nula es verdadera pero decidimos en su contra. Se comete un error tipo 11 cuando decidimos a favor de una hipótesis nula que en realidad es falsa.

Cuatro posibles resultados en una prueba de hipótesis

Hipótesis nula

Decisión Verdadera Falsa

No rechazar Ha Decisión correcta tipo A Error tipo II Rechazar Ho Error tipo 1 Decisión correcta tipo B

420 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estad;stica

EJEMPLO 8.12 Descripción de los posibles resultados y acciones resultantes (en pruebas de hipótesis)

la prueba de hipótesis en el ejemplo 8.10.

S O L U C I ~ N Recuerde: Hd: "No hay diferencia en el rendimiento del detergente."

Ha: "El detergente de marca supera la marca de detergente de la tienda."

~onciusión: Se determinó que no había C O ~ ~ C ~ U S ~ O ~ : Se determinó que no había

más barato, ahonando dinero y obteniendo los mismos resultados.

Notas:

1. La verdad de la situación no se conoce antes de tomar la decisióG, se llega a una conclusión, y las acciones resultantes tienen lugar. La verdad de puede no ser conocida nunca.

2. El error tipo 11 resulta con frecuencia en lo que representa una "oportunidac perdida"; perdida en esta situación es la probabilidad de usar un producto qut da mejores resultados.

Cuando se toma una decisión, sería bueno siempre tomar la decisión correcta Esto, sin embargo, no es posible en estadística porque tomamos nuestras decisione: con base en información muestral. Lo mejor que podemos esperar es controlar 1; probabilidad con la que ocurre un error. La probabilidad asignada al error tipo 1 e a. La probabilidad del error tipo 11 es P. Vea la tabla 8.4.

Para controlar estos errores asignamos una pequeña probabilidad a cada un( de ellos. Los valores de probabilidad para a y /3 que se usan con más frecuenci; son 0.01 y 0.05. La probabilidad asignada a cada error depende de. su gravedad cuando más grave sea el error, menos dispuestos estamos a hacer que ocurra '

SECCIÓN 8.4 La naturaleza de la prueba de hipótesis 421

Probabilidad con la que se toman decisiones

Error en decisión T i p a a f l

Rechazo de una verdadera H, I a Rechazo de una verdadera H. A 1 - n No rechazar una H, falsa II p ( No rechazar una H. falsa B 1 - p

por tanto se asignará una probabilidad más pequeña. a y P son probabilidades de errores, cada una bajo condiciones separadas, y no se pueden combinar. En consecuencia, no es posible determinar una sola probabilidad para tomar una de- cisión incorrecta. Del mismo modo, las dos decisiones correctas están claramente separadas y cada una tiene su propia probabilidad; 1 - a es la probabilidad de una decisión correcta cuando la hipótesis nula es verdadera, y 1 - /3 es la probabilidad de una decisión correcta cuando la hipótesis nula es falsa. 1 - P recibe el nombre de potencia de la prueba estadística, porque es la medida de la capacidad de una prueba de hipótesis para rechazar una hipótesis nula falsa, una característica muy im- portante.

Nota: cualquiera que sea el resultado de la prueba de hipótesis, nunca se puede estar seguro de que se tome una decisión correcta.

Volvamos a los dos posibles errores en decisión que podrían ocurrir en el ejem- plo 8.10. La mayoría de las personas se molestarían si encontraran que estuvieron gastando dinero de más por un detergente que no era mejor que una marca más barata. Del mismo modo, se molestarían si encontraran que podrían haber com- prado un detergente mejor. La evaluación de la gravedad relativa de estos errores exige saber si ésta es su lavandería personal o un negocio de lavandería profesional, cuánto más dinero extra cuesta un detergente de marca, etcétera.

Hay una interrelación entre la probabilidad del error tipo 1 (a ) , la probabilidad del error tipo 11 (P), y el tamaño austral (n). Ésta es muy semejante a la interre- lación entre nivel de confianza, error máximo y tamaño muestra1 que vimos en las páginas 410-41 1. La figura 8.8 muestra el juego de "tirar de la cuerda en tres direcciones" entre a, p y n. Si cualquiera de las tres aumenta o disminuye, tiene un efecto en una o en las otras dos. El trabajo del experto en estadística es "equilibrar" los tres valores de a, /3 y n para alcanzar una situación aceptable de prueba.

Si a se reduce, entonces B debe

I G U R A 8.8 Juego aumentar o n debe aumentar; si P se

e "tirar de la cuerda reduce, entonces a! aumenta o n debe aumentar; si n se reduce, entonces a

aumenta o p aumenta. Las opciones

iisión correcta.. para a, /3 y n definitivamente no son tras decisiones arbitrarias. En este punto de nuestro

estudio, sólo se darán el tamaño mues- tral, n, y a, P(error tipo 1) y se usarán para completar una prueba de hipóte- sis. p, P(error tipo II), se investiga con más detalle en los ejercicios de esta sec- ción pero no se utilizarán en la intro- ducción a la prueba de hipótesis.

422 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estadística

Nivel de significación a: probabilidad de cometer el error tipo l.

la señora saber la diferencia entre El establecimiento del nivel de significación puede ser considerado como una "de-

leche que se vierta en una taza cisión gerencial." Típicamente, alguien en un cargo directivo determina el nivel

iil de té o de té que se vierta en de probabilidad con el que está dispuesto a correr el riesgo de cometer un error 11 /i una taza de leche? A la señora tipo 1.

i se le dieron al azar dos tazas, En este punto del procedimiento de hipótesis, se recolecta y resume la evidenaa

jj una de cada una, en pares, y ella y se calcula el valor de una estadística de prueba. II $1 t~ correctamente las identificó todas. jj

Si ella adivinaba, la probabilidad 3/ Estadística de prueba: es una variable aleatoria cuyo valor se calcula de los .::2 . :.3

de adivinar correctamente era 0.5. datos muestrales y se usa para tomar la decisión "rechazar H." o "no rechazar 3

El valor calculado de la estadística de prueba se usa en coordinación con una re- 11

.U". \ ' U" '"LT - "."""""., o no va a la fiesta.

Para completar la prueba de hipótesis, necesitará escribir una conclusión que $3. \ Q cuidadosamente describa el significado de la decisión respecto a la intención de la prueba de hipótesis.

I La conclusión:

Q-- +?.,?--+ a. Si la decisión es "rechazar Ho", entonces la conclusión debe ser expresada en

,, " forma semejante a "Hay suficiente evidencia en el nivel de significación cr para

$1 demostrar que.. .(el significado de la hipótesis alternativa)". ij

!i b. Si la decisión es "no rechazar Hon, entonces la conclusión debe ser expresada

j8 en forma semejante a "No hay suficiente evidencia en el nivel de significación a 1 /i

para demostrar que.. . (el significado de la hipótesis alternativa)".

Cuando escriba la decisión y la conclusión, recuerde que (1) la decisión es acer- ca de H y (2) la conclusión es un enunciado acerca de si se sostuvo la opinión de Ha. Esto es consistente con la "actitud" de todo el procedimiento de prueba de hipó- tesis. La hipótesis nula es el enunciado de que es "a prueba", y por tanto la decisión debe ser acerca de ella. La opinión de la hipótesis alternativa es la idea que ocasionó la necesidad de una decisión. Por tanto, la pregunta que llevó a la hipótesis alterna- tiva debe ser contestada cuando se escriba la conclusión.

Debemos siempre recordar que cuando se toma la decisión, nada ha sido de- mostrado. Ambas decisiones pueden llevar a errores: "no rechazar HOv podría ser un error tipo 11 (la falta de evidencia suficiente ha llevado, más de una vez, a no asistir a grandes fiestas), y "rechazar Ho" podría ser un error tipo 1 (más de una persona ha decidido ir a una fiesta aue fue un desastre).

. - . .

8.4 EJERCICI'OS ''.

.51 Usted está probando un nuevo sistema detona- or para explosivos y le preocupa que el sistema no sea

prese las hipótesis nula y alternativa.

8.52 Con referencia al caso práctico 8.11, exprese la ter un error hipótesis del profesor, la hipótesis alternativa.

la evidencia 8.53 Exprese las hipótesis nula y alternativa para cada

t de los '

echazar

con una re- " Esta regla la forma en

r la historia itra sus pro- acerca de la ~ropiada; va

clusión que :nción de la

;ada en CY para

~resada ación CY

;ión es acer- opinión de

:ba de hipó- la decisión

ue ocasionó :sis alterna-

ha sido de- 3dría ser un a no asistir persona ha

uno de lo siguiente:

a. Usted está investigando una queja de que "el co- rreo de entrega inmediata tarda demasiado" para su entrega.

b. Usted desea demostrar que las personas encuen- tran más cómodo el nuevo diseño de un sillón re- clinable que el anterior diseño.

c. Usted está tratando de demostrar que el humo de cigarrillos afecta la calidad de vida de una perso- na.

d. Usted está probando una nueva fórmula para un acondicionador de cabello y espera demostrar que es eficaz en casos de "puntas partidas".

8.54 Exprese las hipótesis nula y alternativa para cada uno de lo siguiente:

a. Usted desea demostrar un aumento en compra y venta de casas unifamiliares este año, en compa- ración con el porcentaje del año pasado.

b. Usted está probando una nueva receta para un pastel de queso "bajo en grasas" y espera encon- trar que su sabor no es tan bueno como el del que- so tradicional.

c. Usted está tratando de demostrar que las lecciones de música tienen un efecto positivo en la autoesti- ma de un niño.

d. Usted está investigando la relación entre el géne- ro de una persona y el automóvil que conduce; específicamente desea demostrar que los hombres tienden a manejar vehículos del tipo de camiones más que las mujeres.

8.55 Usando el ejemplo de la fiesta de su amigo (pp. 417 y 422) con Ho: "La fiesta será un desastre" con-

SECCIÓN 8.4 La naturaleza de la prueba de hipótesis 423

tra Ha: "La fiesta será una gran diversión," describa las cuatro posibles decisiones y las acciones resultantes como se describe en el ejemplo 8.12.

8.56 Cuando se inspecciona un paracaídas, el inspec- tor está buscando cualquier cosa que pudiera indicar que el paracaídas no se abra.

a. Exprese las hipótesis nula y alternativa.

b. Describa los cuatro posibles resultados que puedan aparecer, dependiendo de la verdad de la hipótesis nula y la decisión a la que haya llegado.

c. Describa la gravedad de los dos posibles errores.

8.57 Cuando una doctora en el lugar de un accidente grave inspecciona a cada víctima, administra la asis- tencia médica apropiada a todas las víctimas, a menos que esté segura que la víctima está muerta.

a. Exprese las hipótesis nula y alternativa.

b. Describa los cuatro posibles resultados que puedan aparecer, dependiendo de la verdad de la hipótesis nula y la decisión a la que haya llegado.

c. Describa la gravedad de los dos posibles errores.

8.58 Un proveedor de materiales de construcción para carreteras dice que puede suministrar una mezcla de asfalto que hará menos resbalosos los caminos húme- dos que se pavimenten con sus materiales. Un contra- tista general que construye caminos desea probar lo dicho por el proveedor. La hipótesis nula es "Los cami- nos pavimentados con esta mezcla de asfalto son me- nos resbalosos que los pavimentados con otro asfalto". La hipótesis alternativa es "Los caminos pavimentados con esta mezcla de asfalto son menos resbalosos que los pavimentados con otro asfalto".

a. Describa el significado de los dos posibles tipos de errores que puedan ocurrir en la decisión cuando se complete la prueba de esta hipótesis.

b. Describa la forma en que la hipótesis nula, como se indicó previamente, es un "punto de partida" para la decisión a tomar acerca del asfalto.

424 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estadktica

8.59 Usando la información del ejercicio 8.55, descri- d. Si se toma la decisión "no rechazar H~", ba cómo es que el error tipo 11 del ejemplo de la fiesta ¿qué error de decisión podría haberse co. representa una "oportunidad perdida". metido?

tipo 1 y un error tipo 11 si se probaran cada una de las preocupada Por la efectividad de un comercial de te-

siguientes hipótesis nulas. (Recuerde, la hipótesis al- levisión.

ternativa es la negación de la hipótesis nula.)

a. Ho: La mayoría de norteamericanos está a favor de leyes contra armas de asalto. mercial es eficaz?

b. ¿Qué hipótesis nula está probando si comete un b. Ho: Las opciones en el menú de comida rápida no son bajas en sal.

c. Ho: Este edificio no debe ser demolido.

d. Ho: No hay despilfarro en el gasto del gobierno.

probaran cada una de las hipótesis nulas del ejercicio dice que el comercial no es eficaz?

8.62 Describa la acción que resultaría en una decisión dice que el comercial no es eficaz? correcta tipo A y una decisión correcta tipo B, si se

probaran las hipótesis para el nuevo sistema detona- dor de explosivos del ejercicio 8.5 1.

ción próxima.

error tipo 1 y un error tipo 11 si Ho se probara. rá la elección?

8.64 Considere la hipótesis nula del ejercicio Práctico

significativo en las calificaciones de exámenes de estu- diantes". Describa las acciones que resultarían en una decisión correcta tipo A y una decisión correcta tipo B decimos acerca del error tipo I?

decimos acerca del error tipo I?

de decisión podría cometerse? decimos acerca del error tipo II?

b. Si la hipótesis nula es falsa, ¿qué error de decisión podría cometerse? decimos acerca del error tipo II?

c. Si se toma la decisión "rechazar Ho", ¿qué c. Si a /3 se le asigna un valor de 0.10, ¿qué error de decisión podría haberse cometido? decimos acerca del error tipo II?

Si la hipótesis nula es verdadera, ¿la probabi- lidad de un error de decisión se identifica con qué nombre?

Si la hipótesis nula es falsa, ¿la probabilidad de un error de decisión se identifica con qué nombre?

comete un 8.72 Suponga que se va a llevar a cabo una prueba de

e que el co- hipótesis usando u = 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo I?

comete un ,e que el co-

jlicidad está ercial de te-

;i toma una rrectamente

;i toma una rrectamente

ar una elec-

i comete un 3 que ganará

i comete un ie que gana-

8.73 Explique por qué LY no siempre es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula.

8.74 Explique cómo es que asignando una pequeña probabilidad a un error controla la probabilidad de que ocurra.

8.75 La conclusión es parte de la prueba de hipóte- sis que comunica los hallazgos de la prueba al lector. Como tal, necesita especial atención de modo que el lector reciba una imagen precisa de los hallazgos.

a. Con todo cuidado describa la "actitud" del exper- to en estadística y el comunicado de la conclusión cuando la decisión sea "rechazar Han.

b. Con todo cuidado describa la "actitud" y el comu- nicado de la conclusión cuando la decisión sea "no rechazar Ho".

8.76 Encuentre la potencia de una prueba cuando la probabilidad del error tipo 11 es:

a. 0.01 b. 0.05 c. 0.10

8.77 Se sabe que una población normalmente distribui- da tiene una desviación estándar de 5, pero su media está en duda. Se ha dicho que es p = 80 o p = 90, y la siguiente prueba de hipótesis se ha diseñado para solu- cionar el debate. La hipótesis nula, Ho: p = 80, se probará usando un valor de datos seleccionado al azar y compa- rándolo con el valor crítico de 86. Si el valor de datos es mayor o igual a 86, la hipótesis nula será rechazada.

a. Encuentre a, la probabilidad del error tipo 1.

b. Encuentre p, la probabilidad del error tipo 11.

8.78 Suponga que el debate del ejercicio 8.77 ha de 1 solucionarse usando una muestra de tamaño 4; en-

SECCIÓN 8.4 La naturaleza de la prueba de hipótesis 425

8.79 Usted es un inspector de control de calidad y está en aptitud de tomar la decisión de si un gran embar- que de tapones de corcho para botellas de vino no es- pumoso pasa una inspección. Una vez que inspeccione el número obligatorio en la forma aprobada, tomará una decisión de aceptar o rechazar el lote.

La parte 1 de la inspección requiere que usted se- leccione al azar 32 corchos y mida tres dimensiones físicas del tapón cilíndrico según procedimientos de- finidos.

Límites de especificación

Diámetro 24 mm ? 0.5 mm

Ovalización 50.7 mm

Longitud 45 mm + 0.7 mm

Nivel de calidad aceptable (AQL)

El lote se acepta si no más de dos corchos presentan un resultado inferior o superior a los límites de espe- cificación.

El lote puede ser rechazado si tres corchos o más pre- sentan un resultado inferior o superior a los límites de especificación.

Fuente: http://www.codiliege.org

A continuación veamos los resultados de inspeccionar la muestra obligatoria. (Todas las mediciones son en milímetros.)

Corcho 1 2 3 4 5 6 7 8

Diámetro 24.51 24.13 24.28 24.27 23.79 24.11 24.08 23.66 Ovalizacion 0.20 0.88 0.38 0.20 0.29 0.14 0.20 0.32 Longitud 44.89 44.69 45.36 44.94 44.65 45.50 44.86 44.67

Corcho 9 10 11 12 13 14 15 16

Diámetro 24.41 24.08 24.02 23.94 23.71 24.18 24.13 24.30 Ovalización 0.03 0.43 0.50 0.43 0.51 0.46 0.53 0.14 Longitud 45.13 44.92 44.88 45.14 44.87 44.67 45.01 44.86

Corcho 17 18 19 20 21 22 23 24 --- --

Diámetro 23.78 24.01 24.03 24.10 23.77 24.28 23.85 24.39 Dvalización 0.07 0.32 0.34 0.23 0.76 0.39 0.47 0.43 Longitud 45.12 45.21 45.70 44.95 44.27 45.23 45.29 44.98

--

Corcho 25 26 27 28 29 30 31 32

Diámetro 24.27 23.92 24.23 24.17 23.77 24.40 24.31 23.85 Ovalización 0.20 0.47 0.23 0.23 0.28 0.34 0.56 0.05 Longitud 44.80 45.06 45.38 45.11 44.75 45.42 45.04 44.53

a. Determine el número de corchos que pasan la parte 1 de la inspección. I: cuentre a y p.

426 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estadística

b. Exprese la decisión y explique cómo llegó a ella. A continuación se citan tres muestras diferentes,

Elabore un breve informe por escrito que resuma cada una tomada de lotes diferentes. Revise los resul.

los requisitos y sus hallazgos y decisión. tados muestrales y conteste por separado estas pre. guntas para cada muestra.

8.80 Como inspector de control de calidad del ejer- M~~~~~~ 1: 5 5 6 3 7 6 6 7 8 cicio 8.79, usted está listo para la segunda fase de la 6 7 5 7 6 6 7 6 4 5 inspección.

Muestra?: 1 6 6 8 6 5 7 6 10 6 La parte 2 requiere que el porcentaje de humedad

de 20 tapones de corcho se determine mientras se siga 7 5 7 6 5 6 6 8 5 9

el procedimiento prescrito. Muestra3: 5 7 3 5 5 5 6 5 9 3 Límites de especificación 5 7 7 9 7 8 5 1 0 8 g

Valor nominal: 6% a. Construya una gráfica de puntos de los datos.

Límites de especificación: 2 % (es decir, de 4 a 8%) Nivel de calidad aceptable (AQL) b. Aplique la totalidad de leyendas a la gráfica de

I . F1 lote F C a r ~ n t n si n n m 6 c de dos corchos presentan puntos y circule los puntos que representen por-

-'y ; ; un resultado inferior o superior a los límites de espe- centajes inferiores o superiores a los límites de es-

cificación. pecificación. 11 :: , El lote puede ser rechazado si tres o más corchos pre- C. Exprese la decisión y explique cómo llegó a ella. 8 1; sentan un resultado inferior o superior a 10s límites de d. Elabore un breve informe por escrito que resuma I ) k i especificación.

4 ' 4 los requisitos y sus hallazgos, así como la decisión

Fuente: http://www codiliege.org. para cada muestra.

-- &

t L. Prueba de hipótesis para la media p (a conocida): un acercamiento al 1 valor proba bilístico En la sección 8.4 estudiamos los conceptos y buena parte del razonamiento que hay detrás de una prueba de hipótesis cuando se observan ejemplos no estadísticos. En esta sección vamos a formalizar el procedimiento de prueba de hipótesis como se aplica a enunciados respecto a la media p de una población bajo la restricción de que u, la desviación estándar poblacional, es un valor conocido.

. . . Suposición para pruebas de hipótesis alrededor de la media p usando una aconocida: La distribución muestral de Y tiene una distribución normal.

i I

La información que necesitamos para asegurar que esta suposición se satisfaga está contenida en la distribución muestral de medias muestrales y en el teorema de 1í- mite central (CLT) (vea el capítulo 7, pp. 369-370):

La distribución de medias muestra- muestrales, o (2) si la población muestrea- les Z está distribuida alrededor de una da al azar no está normalmente distribui- media igual P , con un error estándar da, Zentonces estánormalmente distribui- igual u/&; y (1) si la población mues- da en forma aproximada para tamaños treada al azar está normalmente distri- muestrales suficientemente grandes. buida, entonces 2: está normalmente distribuida para todos los tamaños

diferentes, je 10s resul- ) estas pre-

' 8 6 i 4 5

i 10 6 1 5 9

i 9 3

S datos.

gráfica de jenten por- nites de es-

2gó a ella.

lue resuma la decisión

dia al

SECCIÓN 8.5 Prueba de hipótesis para la media p (<T conocida): un acercamiento al valor probabilstico 427

La prueba de hipótesis es un procedimiento paso a paso, bien organizado, que se emplea para tomar una decisión. Por lo general se emplean dos formatos diferentes para pruebas de hipótesis. El acercamiento al valor probabilística, o simplemente acer- camiento al valor p, es el proceso de prueba de hipótesis que ha ganado popularidad en años recientes, en gran medida como resultado de la comodidad y la capacidad de "triturar números" de la computadora. Este acercamiento está organizado como procedimiento de cinco pasos.

LA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE VALOR PROBABIL~STICO: UN PROCEDIMIENTO DE CINCO PASOS

Paso 1 El inicio:

a. Describir el parámetro poblacional de interés. b. Expresar la hipótesis nula (Ho) y la hipótesis alternativa (Ha) .

Paso 2 Criterios de prueba de hipótesis:

a. Comprobar las suposiciones. b. Identificar la distribución de probabilidad y la estadística de prue-

ba a usar. c. Determinar el nivel de significación, a.

Paso 3 La evidencia muestral:

a. Recolectar la información muestral. b. Calcular el valor de la estadística de prueba.

! Paso 4 La distribución de probabilidad:

1 a. Calcular el valor p para la estadística de prueba.

l b. Determinar si el valor p es o no es menor que a.

I Paso 5 Los resultados:

Iísticos. En ;is como se tricción de

iando al.

tisfaga está :ema de lí-

Fea- [bui- ibui- Fiaos es.

a. Expresar la decisión acerca de Ho. b. Expresar la conclusión acerca de Ha.

Un fabricante de aviones comerciales compra remaches para usarles en el en- samble de aviones. Todo proveedor de remaches que desee vender remaches al fa- bricante de aviones debe demostrar que sus remaches satisfacen las especificaciones requeridas. Una de éstas es, "La resistencia media al corte de todos los remaches, p, es al menos de 925 libras". Cada vez que el fabricante de aviones compra remaches,

PARA SU INFORMACIÓN está preocupado porque la resistencia media pueda ser menor que la especificación Considere las consecuencias de usar rema- de 925 libras. ches débiles.

Nota: cada remache individual tiene una resistencia al corte, que se determina midiendo la fuerza necesaria para cortar ("romper") el remache. Es evidente que no todos los remaches se pueden probar. Por tanto, se probará una muestra de remaches y una decisión acerca de la resistencia media de todos los remaches no probados estará basada en la media de los muestreados y probados.

Paso 1 El inicio: a. Describir el parámetro poblacional de interés.

El parámetro poblacional de interés es la media, p, la resistencia me- dia al corte (o fuerza media requerida para cortar) de los remaches

I : considerados para compra.

428 CAP~TULO 8 Introducúón a la inferencia estadística

b. Exprese la hipótesis nula (Ho) y la hipótesis alternativa (Ha) . La hipótesis nula y la hipótesis alternativa se formulan al inspeccio. nar el problema o enunciado a investigar y formular primero dos

PARA SU INFORMACIÓN enunciados opuestos acerca de la p, media. Por ejemplo, estos dos enunciados opuestos son (A) "La resistencia media al corte es me.

En las páginas 417 y 418 se dan mas ins- nor a 925" (p, < 925, el interés del fabricante de aviones), y (B) "La , trucciones específicas. resistencia media al corte es al menos 925" ( p = 925, el dicho del proveedor de remaches y especificación del fabricante de aviones). 1

I Nota: la ley de la tricotomía de álgebra expresa que dos valores numéricos deben I

estar relacionados en exactamente una de las tres posibles relaciones: <, = , o >. Estas tres posibilidades deben considerarse en las dos hipótesis opuestas para que las dos hipótesis sean negaciones una de la otra. Las tres posibles combinaciones de signos e hipótesis se muestran en la tabla 8.5. Recuerde que la hipótesis nula asigna un valor específico al parámetro en cuestión, y por tanto "es igual a" siempre será parte de la hipótesis nula.

Los tres posibles enunciados de hipótesis nula y alternativa

Hipótesis nula Hipótesis alternativa

1. Mayor o igual a (2)

2. Menor o igual a (5)

3. Igual a (=) -

El parámetro de interés, la media poblacional p,, está relacionada con el valor 925. El enunciado (A) se convierte en la hipótesis al- ternativa:

Ha: p, < 925 (la media es menor que 925)

Este enunciado representa el interés del fabricante de aviones y dice, "Los remaches no satisfacen las especificaciones requeridas". El enunciado (B) se convierte en la hipótesis nula:

Ho: p = 925 (2) (la media es al menos 925)

Esta hipótesis representa la negación del interés del fabricante de avio- nes y dice, "Los remaches satisfacen las especificaciones requeridas".

Nota: escribiremos la hipótesis nula con sólo el signo igual, con lo que se ex- presa el valor exacto asignado. Cuando "igual" se parea con "menor que" o con "mayor que", el símbolo combinado se escribe además de la hipótesis nula como recordatorio de que los tres signos han sido considerados en estos dos enunciados opuestos.

Antes de continuar con nuestro ejemplo, veamos tres ejemplos que demuestran la formulación de las hipótesis nula y alternativa abarcando la media poblacional p.

Los ejemplos 8.13 y 8.14 demuestran cada uno una hipótesis alternativa de "una cola"

SECCIÓN 8.5 Prueba de hipótesis para la media p (u conocida): un acercamiento al valor probabilistico 429

Escritura de hipótesis nula y alternativa (situación de una cola)

no. Específicamente, la EPA desea demostrar que el nivel medio de monóxido de carbono en el aire del centro de la ciudad de Rochester es peligrosamente alto, más de 4.9 partes por millón. Exprese las hipótesis nula y alternativa.

~éricos deben : < , = , o > . Stas para que 3inaciones de is nula asigna siempre será

S O L U C I Ó N Para expresar las dos hipótesis, primero necesitamos identificar el parámetro poblacional en cuestión: "el nivel medio de monóxido de carbono en Rochester". El parámetro p está siendo comparado con el valor 4.9 partes por mi- llón, el valor específico de interés. La EPA está cuestionando el valor de p y desea demostrar que es mayor a 4.9 (es decir, p > 4.9). Las tres posibles relaciones -(1) p < 4.9, (2) p = 4.9, y (3) p > 4.9- deben arreglarse para formar dos enunciados opuestos: uno expresa la posición de la EPA, "El nivel medio es mayor a 4.9 (p > 4.9)", y el otro expresa la negación, "El nivel medio no es mayor a 4.9 ( p 5 4.9)". Uno de los dos enunciados se convertirá en la hipótesis nula, Ho, y el otro se con- vertirá en la hipótesis alternativa, Ha.

Recuerde que hay dos reglas para formar las hipótesis: (1) la hipótesis nula dice que el parámetro en cuestión tiene un valor especificado ("Ho debe contener el signo igual"), y (2) la opinión de la EPA se convierte en la hipótesis alternativa ("mayor a"). Ambas reglas indican que:

H,: p = 4.9 ( S ) y H,: p > 4.9

1 , EJEMPLO 8.14 Escritura de hipótesis nula y alternativa

de aviones y requeridas".

:ante de avio- requeridas".

í relacionada I (situación de una cola)

o que se ex- ,r que" o con is nula como S enunciados

hipótesis al-

2 demuestran ioblacional p. ~itiva de "una

Un ingeniero desea demostrar que las aplicaciones de pintura hechas con una nue- va fórmula secan y están listas para la siguiente capa en un tiempo medio menor a 30 minutos. Exprese las hipótesis nula y alternativa para esta situación de prueba.

S O L U C I Ó N El parámetro de interés es el tiempo medio de secada por aplicación, y 30 minutos es el valor especificado. p < 30 corresponde a "El tiempo medio es menor a 30", mientras que p 2 30 corresponde a la negación, "El tiempo medio no es menor a 30". Por tanto, las hipótesis son

El ejemplo 8.1 5 demuestra una hipótesis alternativa de "dos colas".

EJEMPLO 8.15 Escritura de hipótesis nula y alternativa (situación de dos colas)

I

La satisfacción en el trabajo es muy importante para la productividad de trabajado- res. Un cuestionario estándar sobre satisfacción en el trabajo fue aplicado por oficia- les sindicales, a una muestra de trabajadores de una línea de montaje de una gran fábrica, con la esperanza de demostrar que la calificación media de los trabajadores

430 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estadística

de una línea de montaje en este cuestionario sería diferente de la media establecida de 68. Exprese las hipótesis nula y alternativa.

S O L U C I Ó N O bien, la calificación media de satisfacción en el trabajo es diferente de 68 (p f 68) o es igual a 68 (p = 68). Por tanto,

H , : p C L 6 8 y H , : p # 6 8

1. La hipótesis alternativa se conoce como de "dos colas" cuando Ho es "diferen- te a".

2. Cuando "menor a" se combina con "mayor a," se convierten en "diferentes de". El punto de vista del experimentador afecta en gran medida la manera en

que se forman las hipótesis. Por lo general, el experimentador está tratando de demostrar que el valor del parámetro es diferente del valor especificado. Así, con frecuencia el experimentador espera ser capaz de rechazar la hipótesis nula para que su teoría se justifique. Los ejemplos 8.13, 8.14 y 8.15 también representan los tres posibles arreglos para las relaciones <, = y > entre el parámetro p y un valor especificado.

La tabla 8.6 es una lista de frases comunes adicionales que se emplean en frases e indica sus negaciones y la hipótesis en la que se usará cada frase. De nuevo, obser- ve que "igual a" está siempre en la hipótesis nula. También observe que la negación de "menor a" es "mayor o igual a". Considere la negación como "todos los otros" del conjunto de tres signos.

,$>.L:7>y:~:,:.*~;$ie$,~<. ,:'~;;:~;~.;~a.*.:s"e->' ". j2&.i$;~~~~.&z$ygg$2T&zi:;;$ . .a..&.,d.?**;s-.

Frases comunes y sus negaciones

no: (2) VS. 1: ( ) no: (5) vs. 1,: (>) no: (1) vs. Ha: (#)

Menor a A lo sumo No menor a Menor a No más de Más que No diferente de Diferente de No menor a Menor a No mayor que Mayor que Igual que

Una vez establecidas las hipótesis, nula y alternativa, trabajaremos bajo la supo- sición de que la hipótesis nula es un enunciado verdadero hasta que haya evidencia suficiente para rechazarlo. Esta situación podría compararse con un juicio en la sala de un tribunal, donde se supone que el acusado es inocente (Ho: El acusado es

suficiente para demostrar que la inocencia es totalmente increíble ("fuera de toda duda razonable"). En la conclusión de la prueba de hipótesis, tomaremos una de dos posibles decisiones. Decidiremos en oposición a la hipótesis nula y diremos que "rechazamos HOr' (esto corresponde a la "sentencia" del acusado en un juicio), o de- cidiremos de acuerdo con la hipótesis nula y diremos que "no rechazamos Ho" (esto corresponde a "no sentenciar" o una "absolución" del acusado en un juicio).

Regresemos al ejemplo de los remaches que interrumpimos en la página 428 y continuemos con el paso 2. Recuerde que

Ho: p = 925 (2 ) (al menos 925) Ha: < 925 (menor a 925)

un valor

en frases 10, obser- negación los Otros"

es ?rente de igual a

la supo- ,videncia 50 en la usado es videncia de toda

j una de mos que O), O de- Yo" (esto

1).

la 428 y

PARA SU INFORMACIÓN Hay mas de esto, pera esperamos que el lector capte la idea. PARA SU INFORMACIÓN a se asignará en el enunciado de ejerci- cios.

Prueba de hipótesis para la media p (u conocida): un acercamiento al valor probabilistico 431

PASO 2 Criterios de prueba de hipótesis: a. Comprobar las suposiciones:

Suponga que la desviación estándar de la resistencia al corte de re- maches se sabe por experiencias pasadas que es o = 18. Las variables como la resistencia al corte por lo general tienen una distribución agrupada; por tanto, una muestra de tamaño 50 debe ser suficiente- mente grande para que el teorema de límite central (CLT) aplique, y asegurar para que la distribución de medias muestrales (SDSM) esté normalmente distribuida.

b. Identifique la distribución de probabilidad y la estadística de prueba a usar. La distribución de probabilidad normal estándar se usa porque se espera que X tenga una distribución normal.

Para una prueba de hipótesis de p, deseamos comparar el valor de la media muestral con el valor de la media poblacional como se indicó en la hipótesis nula. Esta comparación se logra usando la estadística de prueba en la fórmula (8.4):

Estadistica de prueba para media

El valor calculado resultante se identifica como z* ("z estrella"), porque se espera que tenga una distribución normal estándar cuando la hipótesis nula sea verdadera y las suposiciones se hayan satisfecho. La '* ("estre1la"j es para recordarnos que éste es un valor calculado de la estadística de prueba.

Y - p La estadística de prueba a usar es z* = -

u l f i con u =

c. Determine el nivel de significación, a.

Establecer a se describió como una decisión gerencia1 en la sección 8.4. Para ver lo que está involucrado para determinar a, la probabilidad del error tipo 1, para nuestro ejemplo de remaches, empezamos por identificar los cuatro posibles resul- tados, sus significados, y la acción relacionada con cada uno de ellos.

El error tipo 1 sucede cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Esto ocurri- na cuando el fabricante probó los remaches que no llenaron las especificaciones y los rechazó. Sin duda, esto llevaría a que los remaches no sean comprados aun cuando satisfagan las especificaciones. Para que el gerente establezca un nivel de significación es necesaria una información relacionada, ¿qué tan pronto se necesita una nueva provisión de remaches? por ejemplo. Si se necesitan mañana y éste es el único ven- dedor con existencia disponible, esperar una semana para hallar remaches aceptables podna ser muy costoso; por tanto, rechazar remaches buenos podna ser considerado como un error grave. Por otra parte, si los remaches no se necesitan sino hasta el mes próximo, entonces este error podría no ser muy grave. Sólo el gerente conocerá todas las ramificaciones y, por tanto, la entrada del gerente es muy importante aquí.

Después de mucha consideración, el gerente asigna el nivel de signi- ficación: a = 0.05.

PASO 3 La evidencia muestral: a. Recolectar la información muestral.

La muestra debe ser aleatoria sacada de la población cuya media p

esté siendo cuestionada. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 remaches, se prueba cada remache y se calcula la resistencia mues- tral media al corte: 2 = 921.18 y n = 50.

1 432 CAP~TULO 8 Introducción a la inferencia estadístic;.

b. Calcular el valor de la estadística de prueba. La evidencia muestral (? y n hallada en el paso 3a) se convierte ,, seguida en el valor calculado de la estadística de prueba, usando la fórmula (8.4). ( p es 925 de Ho, y o = 18 es Una Cantidad conocida.) Tenemos

PASO 4 La distribución de probabilidad: a. Calcular el valor p para la estadística de prueba

Valor de probabilidad,^ valor p: es la probabilidad de que la estadística de prueba pueda tener el valor que tiene, o un valor más extremo (en la direccion de la hipótesis alternativa), cuando I hipotesis nula es verdadera. (Nota: El símbolo P se usará para representar el valor p, es especial en situaciones de álgebra.)

Trace un bosquejo de la distribución normal estándar y localice & { (hallada en el paso 3b) en ella. Para identificar el área que representa 1 el valor p, vea el signo de la hipótesis alternativa. Para esta prueba, E

i: la hipótesis alternativa indica que estamos interesados en la parte fi de la distribución muestral qiie sea "menor que"&. Por tanto, el valor

-1.50 O z p es el área que se encuentra a la izquierda de z+. Aplique sombreado a esta área.

j

Para hallar el valor p, es posible usar cualquiera de los tres métodos señalados { aquí. El método que se use no es lo importante, porque cada uno de ellos es sólo la f herramienta de opción para ayudar a hallar el valor p. ;

PARA SU INFORMAC~ON Método 1: use la tabla 3 del apéndice B para determinar el área en tabla relacio- En las páginas 317-320 se dan instruccio- nado con z = 1.50: luego calcule el valor p al restar de 0.5000: nes completas para usar la tabla 3.

valorp = P(z < &) = P(z < -1.50) = P(z > 1.50) = 0.5000 - 0.4332 = 0.0668

PARA SU INFORMACIÓN Método 2: use la tabla 5 del apéndice B y la propiedad de simetría: la tabla 5 se for-

El estudiante usará sólo uno de estos tres ma para permitir leer el valor p directamente desde la tabla. Como P(z < -1.50) =

métodos equivalentes. P(z > 1.50), simplemente localice = 1.50 en la tabla 5 y lea el valor p:

P(z < -1.50) = 0.0668

PARA SU INFORMACION Método 3: use la función de probabilidad acumulativa en una computadora O

tas instrucciones para utilizar este coman- calculadora para hallar el valor P:

do de computadora se dan en las páginas P(z < -1.50) = 0.0668 329-330. ¡Haga la prueba! A ver si obtiene el mismo resultado. b. Determine si el valor p es o no es menor a a.

El valor p (0.0668) no es menor a a: (0.05).

PASO 5 Los resultados: a. Exprese la decisión acerca de Ho.

El valor p, jes suficientemente pequeño para indicar que la eviden- cia muestral es muy poco probable en caso que sea verdadera la hipótesis nula? Para tomar la decisión, neceiitamos saber la regla de decisión.