estaditica unas
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estadistica para los negocios ITRANSCRIPT
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Probabilidades
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Probabilidades
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PROBABILIDADES
I. INTRODUCCIN
El campo de la estadstica descriptiva se ocupa de describir algo que ya ha ocurrido. Otra
faceta de la estadstica es la INFERENCIA ESTADSTICA O ESTADSTICA
INFERENCIAL cuya base es el clculo de la probabilidad de que algo ocurrir. Las
probabilidades en el mundo de los negocios es una componente muy importante en la toma de
decisiones, por cuanto se decide sobre situaciones que debern ocurrir en un futuro cercano o
no tan prximo, pero existe un riesgo de que la decisin a tomar pueda no ser la correcta. Esta
medida del riesgo podra asociarse a una probabilidad o posibilidad de que las cosas no
salieran como estaba esperado, sino que por imponderables o tal vez futuras situaciones no
previstas puedan hacer fracasar las decisiones. Por otro lado el conocer las probabilidades de
que ocurran las cosas, ayuda a tomar mejores decisiones debido a que ayudan a confiar en la
decisin a tomar conociendo que si situaciones similares han ocurrido en el pasado, es
probable que puedan continuar en el futuro.
Rara vez el encargado de tomar decisiones dispone de informacin completa a partir de la cual
puede realizar una determinacin; es decir que siempre mantiene una situacin de
incertidumbre para la decisin. Por ejemplo: preguntas relacionadas con la incertidumbre son:
Un cereal con sabor a menta de reciente desarrollo dar ganancias al lanzarse al mercado?
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomar decisiones, es importante que
todos los riesgos implcitos conocidos se evalen en forma cientfica. La inferencia estadstica
se ocupa de deducciones acerca de una poblacin con base a una muestra tomada a partir de
ella con la ayuda de la teora probabilstica, a la que a menudo se denomina "Ciencia de la
incertidumbre"; permitiendo a quien toma decisiones, analizar los riesgos y minimizar el azar
inherente, con informacin limitada, por ejemplo, al lanzar un nuevo producto al mercado o
aceptar una mercadera que contenga partes defectuosas.
II. TERMINOS IMPORTANTES.
2.1 EXPERIMENTO: Puede definirse como una prueba o serie de pruebas en las que se hacen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o sistema para
observar e identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la
respuesta de salida.
Como Ejemplo de un experimento, suponga que un ingeniero metalrgico tiene inters
en estudiar el efecto de dos procesos diferentes de endurecimiento, el templado en
aceite y el templado en agua salada, sobre una aleacin de aluminio. El objetivo del
experimentador es determinar cul de las dos soluciones de templado produce la
dureza mxima para esta aleacin en particular.
Un experimento puede ser determinstico y no determinstico.
2.2 EXPERIMENTO DETERMINSTICO. Cuando los resultados del experimento es determinado en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza el
experimento.
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2.3 EXPERIMENTO NO DETERMINSTICO O ALEATORIO (E).- Cuando los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el
experimento.
CARACTERSTICAS:
1. Cada experimento podr ser repetido indefinidamente bajo las mismas condiciones.
2. Todos los resultados posibles del experimento aleatorio, se pueden conocer a priori con precisin y no el resultado del experimento.
3. Cuando el experimento es repetido un numero grande de veces, el conjunto generado de resultados, describe un comportamiento que permitir el estudio del
fenmeno aleatorio.
EJEMPLOS:
E1: Observar el tiempo de vida de un disco duro.
E2: Observar el nmero de crditos aprobados al finalizar el primer ao de
estudios de un estudiante.
E3: Contabilizar el total de artculos defectuosos de la produccin del da.
E4: Observar el tiempo que tarda un empleado en ensamblar un CPU.
E5: Seleccin de un objeto de un lote de produccin.
E6: Observar el tiempo de interrupcin de una computadora.
Experimento Resultados Experimentales
Lanzar una moneda al aire Cara, cruz
Seleccionar una pieza para inspeccionar Defectuosa, no defectuosa
Llevar a cabo una visita de ventas Venta, no venta
Lanzar un dado 1, 2, 3, 4 , 5, 6
Jugar un partido de ftbol Ganar, perder, empatar
2.4 ESPACIO MUESTRAL (S).- Es un conjunto de todos los posibles resultados experimentales posibles de un experimento aleatorio (E). EJEMPLOS:
Los espacios muestrales para los experimentos E1, E2, E3, E4, E5, E6, son:
S1= t / 0 t 50 000 hrs. S2 = 0, 5, 15, 22, ....
S3 = 0, 1, 2, 3, .........N N es el nmero mximo producido.
S4 = t/ t 0 minutos
S5 = DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO
S6 = t/ t 0 minutos El primer paso en el anlisis de un experimento en particular es definir cuidadosamente
sus resultados posibles especificando el espacio muestral para el experimento. Los
espacios muestrales, puede ser finitos, infinitos, discretos o continuos.
2.5 PUNTO MUESTRAL.- Es cada resultado particular del experimento aleatorio o un elemento del espacio muestral. El nmero de puntos de muestra de "S" es representado
por n(S)
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Ejemplo: Los tres miembros de la comisin de material bibliogrfico de la Universidad
deben expresar su opinin favorable (F) o contraria (C) con respecto a un determinado
proyecto de inversin.
a) Hallar el espacio muestral. b) El nmero de puntos de muestra.
Solucin:
a) Sean los eventos: F: favorable , C: Contraria.
S=(FFF), (FFC), (FCF), (CFF). (FCC), (CFC), (CCF), (CCC) b) n (s) = 8 puntos de muestra.
2.6 EVENTO O SUCESO.- Un evento (A) es un conjunto de puntos muestrales (resultados experimentales) y es cualquier subconjunto ( .SA ) del espacio muestral (S). Se puede representar por A1, A2, ...Ak
2.7 TIPOS DE EVENTOS
1. EVENTO SIMPLE O ELEMENTAL. Contiene un elemento del espacio
muestral S. Ejemplo A= (FFF)
2. EVENTO COMPUESTO: Es la unin de dos o ms eventos simples. Contiene 2 ms elementos del espacio muestral S.
Ejemplo. B = (FFF), (FFC), (FCF)
3. EVENTO SEGURO O UNIVERSAL: Es el espacio muestral S. Ejemplo.
C=(FFF), (FFC), (FCF), (CFF), (FCC), (CFC), (CCF), (CCC)
4. EVENTO IMPOSIBLE O VACO
No contiene ningn elemento del espacio muestral. D=
5. EVENTO COMPLEMENTO Es el evento Ac que contiene todos los elementos del espacio muestral que no
estn en A.
6. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos eventos mutuamente A y B definidos sobre un espacio muestral son
mutuamente excluyentes, sino pueden ocurrir juntos, es decir la interseccin es el
conjunto vaco. A B =
7. EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS Los eventos A1, A2,... Ak, son colectivamente exhaustivos, si la unin de todos
ellos es el espacio muestral. A1 A2 A3 ........... AK = S
III. QU ES UNA PROBABILIDAD? La probabilidad de un resultado experimental es una medida numrica de la posibilidad
que ocurra el resultado experimental, en la que, deben satisfacerse dos requisitos
bsicos de probabilidades:
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1. Los valores de probabilidad asignados a cada resultado experimental deben estar comprendidos entre 0 y 1.
0 P (Aj) 1
2. La suma de todas las probabilidades de los resultados experimentales, debe sumar 1.
n
j 1
P(Aj) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + + P(An) = 1
Identificamos P(Aj) como la probabilidad que ocurra el resultado j del experimento E.
POR QU SE ESTUDIA LA PROBABILIDAD?
Qu papel desempea la probabilidad en la toma de decisiones? La probabilidad
ayuda a tomar una decisin frente a un determinado problema.
3.1 ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD
Es aceptable cualquier mtodo para asignar valores probabilsticas a los resultados
experimentales y que sean medidas numricas razonables de la posibilidad de los
resultados y que se cumpla con los dos requisitos bsicos de probabilidades. En la
prctica frecuentemente se usan:
El mtodo objetivo que se divide en: Probabilidad clsica o a priori y Probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori.
El mtodo subjetivo.
3.2 DEFINICIN CLASICA
Se basa en el supuesto de que todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
son igualmente probables; es decir, cada uno de los elementos del espacio muestral
tienen la misma posibilidad de ser elegido.
Si un experimento aleatorio tiene puntos muestrales mutuamente excluyentes e
igualmente posibles y si n(A) de estos puntos muestrales presentan una caracterstica
tal como A, entonces la probabilidad del evento A es:
)(
)()(
Sn
An
posiblesresultadosdetotalNmero
favorablesresultadosdeNmeroAp
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3.3 DEFINICIN DE FRECUENCIA RELATIVA Si un experimento aleatorio se repite n veces bajo las mismas condiciones y n(A) de las
veces que se repite el experimento aleatorio ocurre el evento A.
)(
)()(
Sn
An
nesobservaciodetotalNmero
pasadoelenocurrioeventoelquevecesdeNmeroAp
Suponga que en la evaluacin del mercado de prueba del producto se hizo contacto con
400 clientes potenciales; 100 de ellos compraron el producto, pero 300 no lo hicieron.
En efecto, entonces, hemos repetido el experimento 400 veces de entrar en contacto
con un cliente y hemos encontrado que el producto solo fue comprado 100 veces del
total, por lo que podramos decidir utilizar la frecuencia relativa del nmero de clientes
que compraron el producto como una estimacin de la probabilidad.
Al resultado experimental de que un cliente adquiera un producto le asignamos una
probabilidad de:
P (Comprar) = 100/400 = 0.25 o 25%
y a los que no compran:
P (No Comprar) = 300/400 = 0.75 o 75%.
Este mtodo de asignar probabilidades se conoce como mtodo de
frecuencia relativa
3.4 PROBABILIDAD SUBJETIVA
Si existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, de
todas formas puede obtenerse una probabilidad en forma subjetiva. Fundamentalmente
esto significa evaluar las opiniones disponibles y otra informacin subjetiva para
despus llegar a la probabilidad. Atinadamente a esta probabilidad se le denomina
PROBABILIDAD SUBJETIVA.
Los mtodos clsicos y de frecuencia relativa, no pueden aplicarse en todas las
situaciones en las que se desea asignar probabilidades, en algunos casos los resultados
no tienen igual probabilidad de ocurrencia, en otros no hay informacin de frecuencias
relativas.
Por ejemplo: Cul es la posibilidad o probabilidad que en el prximo examen de
estadstica obtenga una nota de 15?.
Definicin. Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el
grado de creencia asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo particular,
basado en toda la evidencia a su disposicin, con las siguientes exigencias:
1) P [A] = 0, representa la certeza que el evento A, no ocurrir. 2) P [A] = 1, representa la certeza que el evento A, si ocurrir. 3) 0 P(Aj) 1, representa el grado de certeza que el evento A, ocurrir
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3.5 ALGUNAS REGLAS BSICAS DE PROBABILIDAD
1. 0 P(Ej) 1 2. P(E) = 1, Evento seguro
3.
n
j 1
P(Ej) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + + P(En) = 1
4. Si es el conjunto vaco, entonces sibleEventoimpoP ,0)(
5. Regla de la adicin para eventos mutuamente excluyentes.A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra sucedan. Si estos dos eventos
son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de
la regla de adicin para eventos mutuamente excluyentes:
P (A o B)= )( BAP = P (A) + P (B) BA
6. Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que ste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y no A son mutuamente excluyentes y
exhaustivos:
P(A) + P(no A) = 1 P(A) = 1 - P(no A) noAASAA
7. Si A y B son dos eventos cualesquiera, definidos en el espacio muestral S, tal que
A B entonces P(A) P(B)
)()( BPAPBASi
8. Regla de adicin para eventos que no son mutuamente excluyentes. Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al
mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de la adicin para evitar
el conteo doble:
BASi P(A o B)= )( BAP = P(A) + P(B) - P(AB)
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAPCBASi
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3.6 Probabilidad condicional
Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado
a la ocurrencia previa de otro evento.
Definicin. Sean A y B dos eventos en un espacio muestral (). La probabilidad del evento A
dado que ha ocurrido B, denotado por P(A/B), que se define por:
(/) =( )
() () > 0
Donde:
El smbolo / se lee: dado que, siempre que, si, et.
P(A/B): Probabilidad que ocurra el evento A, dado que el evento B ha ocurrido.
REGLA DE MULTIPLICACION
Probabilidad de la interseccin o producto de eventos, tambin se llama probabilidad conjunta.
La probabilidad que ocurra los eventos A y B es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno
de ellos multiplicado por la probabilidad condicional que ocurra el segundo, dado que el
primero ha ocurrido.
).()/()()(0)(;)(
)()/(
).()/()()(0)(;)(
)()/(
BAPABPAPBAPAPAP
ABPABPSi
BAPBAPBPBAPBPBP
BAPBAPSi
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos A y B son independientes, si y slo si P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A). De otra
forma A y B son dependientes.
TEOREMA: Si A, B, C son eventos de S, tales que 0)(0)( BAPyAP entonces:
)/()/()/()()(
:
)/()/()()(
12121312121
nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP
generalEn
BACPABPAPCBAP
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TEOREMA DE BAYES
Para llegar al teorema de bayes exige la definicin de particin de un espacio muestral y el
teorema de probabilidad total.
Particin del espacio muestral.
Se denomina particin del espacio muestral , a una coleccin de K eventos A1, A2,..Ak, no
vacios, mutuamente excluyentes y cuya unin es el espacio muestral . Es decir si cumple las
siguientes condiciones:
i) Los eventos A1, A2,..Ak son mutuamente excluyentes.
Simblicamente: Ai Aj = , , = 1,2,3, . . ,
ii) Los eventos A1, A2,..Ak son colectivamente exhaustivos.
Simblicamente:
=
k
=1
iii) P(Ai) > 0 = 1,2,3, . . ,
Particin del espacio muestral
Probabilidad total
Sea A1; A2; A3; ; Ak una particin del espacio muestral , entonces para cualquier evento A en , se tiene: P(B)= P(A1) P(B/A1)+ P(A2) P(B/A2)+ P(A3) P(B/A3)++ P(Ak) P(B/AK)
() = ()(/)
=1
Particin del espacio muestral
A1 A2 A3 .. Ak
B
A1 A2 A3 .. Ak
B1 B2 B3 . Bk
A1B A2 B A3 B . Ak B
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El diagrama del rbol de probabilidades para experimentos sucesivos da una visin
esquemtica del teorema de probabilidad total
Un diagrama de rbol es muy til para representar probabilidades condicionales y conjuntas.
Se utiliza para mostrar la elaboracin de un diagrama tal.
B1
B2
B3
Bk
A
A
A
A
A
A
A
A
P(B1)
P(B2)
P(B3)
P(Bk)
P(A/B1)
P(A/B2)
P(A/B2)
P(A/B3)
P(A/B3)
P(A/BK)
P(A/BK)
P(A/B1)
AB 1 = P(B1) P(A/B1)
AB 1 = P(B1) P(A/B1)
AB 2 = P(B2) P(A/B2)
AB 2 = P(B2) P(A/B2)
AB 3 = P(B3) P(A/B3)
AB 3 = P(B3) P(A/B3)
ABk = P(Bk) P(A/BK)
ABk = P(Bk) P(A/BK)
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TEOREMA DE BAYES
Es una consecuencia del teorema de la probabilidad total. Si A1; A2; A3; ; Ak es una
particin del espacio muestral S, entonces para cualquier evento B en S, entonces:
kipara
ABPAP
ABPAiPBAP
k
i
ii
ii ,...,3,2,1,
)/()(
)/()()/(
1
Ejemplo: Una compaa de desarrollo urbano est considerando la posibilidad de construir un
centro comercial en el sector de Higos Urco, Chachapoyas. Un elemento vital es esta
consideracin es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad.
Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la
compaa construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la
probabilidad es de slo 0.20. Basndose en la informacin disponible, el presidente de la
compaa estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada.
a) Cul es la probabilidad de que la compaa construya el centro comercial? b) Dado que el centro comercial fue construido. Cul es la probabilidad de que la
autopista haya sido aprobada?
Solucin:
Definimos los eventos:
A: La autopista es aprobada
B: El centro comercial es construido
a) P(B)= 0.60(0.90)+ 0.40(0.20)=0.62
b) 87.062.0
54.0
0.40(0.20) 0.60(0.90)
0.60(0.90))/(
BAP
0.60
(0.90)
A
A
B
B
B
B
0.60
0.40
0.9
0
0.20 0.40
(0.20)
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EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Se lanza un dado y se observa el nmero obtenido. calcular la probabilidad de obtener:
a) 3 puntos, b) Al menos 5 puntos.
Solucin.
Sea el evento A, entonces P(A) = #
#
a) 3 puntos.
P(A) = {3}
{1,2,3,4,5,6} =
1
6
b) Al menos 5 puntos.
P(A) = {5,6}
{1,2,3,4,5,6} =
2
6
2. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: a) 7 Puntos. b) 6 puntos slo en la segunda tirada. c) 7 puntos 6 puntos slo en la segunda tirada. d) 7 puntos y 6 puntos slo en la segunda tirada.
Solucin.
Entones el espacio muestral sera:
S= {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,5) (3,6) (4,1)
(4,2) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}, n(S)= 36 Casos
Posibles
a) 7 Puntos. Sea el evento A, entonces A={(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }, n(A) = 6 casos favorables
P(A) = 6
36=
1
6
b) 6 puntos slo en la segunda tirada. A = {(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)}, n(A) = 5 casos favorables
P(A) = 5
36
c) 7 puntos 6 puntos slo en la segunda tirada. A = {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)}, n(A) = 10 casos
favorables
P(A) = 10
36
Espacio muestral
Laz 1/lanz 2 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
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d) 7 puntos y 6 puntos slo en la segunda tirada. A = {(1,6)}, n(A) = 1 caso favorable
P(A) = 1
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3. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2
premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB) = 3
4
2
5 +
3
8 - P(AB) =
3
4
P(AB) = 1
40
a) Slo uno de los dos premios
P[(AC B)U(ABC)]= P(AC B)+P(ABC)
=14
40 +
15
40 =
29
40
b) ninguno de los dos premios.
P(A B)C = 1 - P(A B)
= 1 - 30
40 =
10
40
4. De un grupo de personas, el 30% prctica futbol y el 40% juega ajedrez. De los
futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona. Cul es la
probabilidad que
a) Juega ftbol o ajedrez? b) Practica slo uno de estos deportes? c) No practica ni futbol ni ajedrez?
ACB=14/40 ABC=15/40 AB=1/40
ACBC=10/40
P(A)=16/40 P(B)=15/40
=1 = 40 40 A=Primer premio
B=Segundo premio
P(A)=2/5
P (B)=3/8
P (AUB)=3/4
1 PREMIO 2 PREMIO
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Solucin:
Sean los eventos:
A=Practican Futbol
B=Practican Ajedrez.
a) Juega ftbol o ajedrez.
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
=30% + 40% - 15% = 55%
b) Practica slo uno de estos deportes.
P[(ACB)U(AB C)]= P(ACB)+P(AB C)
=25%+15%=40%
c) No practica ni futbol ni ajedrez.
P(A CB C)=1 P(AUB)
= 100% 55% = 45%
5. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que: P(A) = 0.20, P
(B) = 0.30 y P(A B) = 0.10. Calcular: a) P (AC BC) b) P (AC B ) c) P (BC A ) d) P (AC B )
Solucin:
ACB=25% ABC=15% AB=15%
ACBC=45%
P(A)=30% P(B)=40%
=1
AJEDREZ
FUTBOL
P(ACB)=0.20 P(ABC)=0.10 P(AB)=0.10
P(ACBC)=0.60
P(A)=0.20 P(B)=0.30
P () =1
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99
a) P (AC BC) = P(AB)C=1-P(AUB) = 1 - 0.40=0.60
b) P (AC B ) = P(B) P(AB)
P (ACB) = 0.30 0.10
P (ACB) = 0.20
c) P (BC A ) = Slo A
P (BCA) = P (A) P (AB)
P (BCA) = 0.20 0.10
P (BCA)= 0.10
d) P (AC B ) =P(AC)+P(B) P(ACB) = [1- 0.20 ]+ 0.30 0.20 = 0.90
6. En una encuesta pblica se determina que la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es
0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma
solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. calcular la probabilidad
que una persona consuman: a) A o B pero no C b) Solamente A
Solucin:
a) A o B pero no C
a) P [(AUB) CC]= 0.30 + 0.12 + 0.18 = 0.60
b) Solamente A
b) P (ABCCC) = 0.30
7. En una ciudad se publican tres revistas: A, B y C. El 30% de la poblacin lee A, el 20% lee B, el 15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C, y el 3%leen A,
B y C. Determinar el porcentaje de personas que:
a) Lean al menos uno de las tres revistas c) Lee solamente A b) Leen B o C; pero no A d) Leen A o no lee B ni C.
0.10 0.30
0.02
0.08
0.10
0.05
0.20
P(B)=0.37
P(A)=0.50
ACBCCC=0.10
PRODUCTO C
PRODUCTO B PRODUCTO A
=1
-
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100
Solucin:
P(A) = 30%
P(B) = 20%
P(C) = 15%
P(AB) = 12%
P(AC) = 9%
P(BC) = 6%
P(ABC) = 3%
a) Lean al menos uno de las tres revistas
P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
P (AUBUC) = 30%+20%+15% - 12% - 9% - 6% + 3%
= 41%.
b) Leen B o C; pero no A
P [(B U C) AC] = 11%
c) Lee solamente A.
P (ABCCC) = 0.12 = 12%
d) Leen A o no lee B ni C.
P[A (BCCC)]=P(A)+P(BCCC) - P(ACBCCC) = 0.3 + 0.71 - 0.12 = 0.89 = 89%
P(A) = 0.3 P (B) = 0.2
C
0.12 0.05 0.09
0
0.06
0.03
0.03
0.03
P () =1
P (C) = 0.15
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101
8. La demanda de dos productos A y B vara aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg. El distribuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos si la suma de sus
demandas vara de 3000 a 5000 Kg. Calcular la probabilidad de que el precio de venta
de ambos productos baje.
Solucin:
Sea:
1 miles A 5 miles de Kg 1 miles B 5 miles de Kg
Baja:
3 A+B 5 miles de Kg P[( + )]
P(A) = 4
16 =
1
4
AT = A A A = 2
AT = 33
2
11
2= 4 A = 42 = 16
9. Para decidir si se acepta o no un lote de 20 artculos en donde existen 4 defectuosos, se toman dos artculos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos se rechaza el lote, si
los dos son buenos se acepta el lote y si solamente uno es bueno se toman otros dos
artculos al azar a la vez de los 18 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta
el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.
Solucin:
P [Aceptar el lote]= 1 P [Rechazar el lote] = 1 [P (DD) + P (BD)*P [(DD)/BD]
= 1- (2
4
220 +
141
16
220
230
15
218 )
=1-37
969= 0.962
10. En un estudio se encontr que la probabilidad de que se incremente el empleo en la ciudad de Tingo Mara es de 0.35, de que se incremente el consumo de artculos de
primera necesidad es de 0.05 y de que se incremente el consumo de artculos de
primera necesidad dado el incremento de empleo es de 0.10.
Cul es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artculos de
primera necesidad?
-
Probabilidades
102
Solucin:
Sean los eventos:
A=incremento de empleo
B=incremento de consumo de artculos
P(A)=0.35 P(B/A)=P(B)
P(A)
P(B)=0.05 0.10= P(B)
0.35
P(B/A)=0.10 P(AB)=0.035
11. En un hospital especializado en enfermedades de trax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumona y un 20 % con gripe. La probabilidad de curacin
completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un
enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la
probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.
Solucin:
Sea el evento: E= curacin completa en cada una de dichas enfermedades
Br=Emfermos con Bronquitis.P(Br) = 0.50 P(C/Br) = 0.7 N=Emfermos con Neumonia. P(N) = 0.30 P(C/N) = 0.8 Gr=Emfermos con Gripe. P(Gr) = 0.20 P(C/Gr) = 0.9
(/) =() (/)
() (
) () (
)
() (/)
(/) =0.50 0.70
0.50 0.70 + 0.30 0.80 + 0.20 + 0.90
(/) = .
12. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemticas es 0,6, la de que apruebe
Lengua es 0,5 y la de que apruebe los dos es 0,2.
-
Probabilidades
103
Solucin:
Sean los eventos:
A: Apruebe Matemtica P(A) = 0.6
B: Apruebe Lengua P(B) = 0.5
Hallar:
a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.
P(AUB) = P(A) + P(B) P(AB) P(AUB) = 0.6 + 0.5 0.2
P(AUB) = 0.9 b) La probabilidad de que no apruebe ninguna.
P(ACBC) = 1 P(AUB) P(ACBC) = 1 0.9 P(ACBC) = 0.1
c) La probabilidad de que se apruebe Matemticas y no Lengua. P(ABC) = P(A) P(AB) P(ABC) = 0.6- 0.2 = 0.4
13. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:
a) Cuntos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumna y
repita el curso?
d) Elegidos al azar dos estudiantes Cul es la probabilidad de que ninguno repita curso?
Solucin:
a) Total de alumnos y alumnas =55
b) P(Alumnos) = 25
55
Estudiantes Repiten No Repiten Total
Alumnas 5 25 30
Alumnos 10 15 25
Total 15 40 55
0.3 0.4 0.2
P(A)=0.6 P(B)=0.5
-
Probabilidades
104
c) P(Alumnos NR) = 5
55
d) Elegidos al azar dos estudiantes
P(NR)= 2
40
255 = 0.53
14. En un proceso de produccin se sabe que durante cuatro dcimas partes de tiempo se producen 20% de unidades defectuosas y durante seis dcimas partes de tiempo se
producen 15% de unidades defectuosas. De la produccin que consiste de 20unidades
de slo de una de las modalidades, se inspeccionan tres elegidos al azar a la vez y se
encuentran dos unidades defectuosa. En base a este resultado, Qu modificaciones
acerca de las probabilidades de las dos calidades de produccin se deben hacer?
Sean los eventos:
A1: Calidad de 20% es defectuosa P(A1) = 0.4 A2: Calidad de 15% es defectuosa P(A2) =0.6 C: Dos defectuosos en la muestra de tres
20*20% 20*0.2=4
P(C/A1) = 2
4116
320 =
616
1140= 0.084
20*15% 20*0.15=3
P(C/A2) = 2
3117
320 =
317
1140 = 0.045
() = (1) (
2) (
2 )
= (0.084)(0.4) + (0.045)(0.6)
= 0.06
(1
) =
(1)(/1)
(1)(
1)+(2)(
1)
(1
) =
0.40.084
0.40.084+0.60.045= 0.56
(2
) = 0.6 0.045
0.6 0.045 + 0.4 0.084= 0.44
15. Una maquina presento un sistema de dos componentes A y B dispuestos en serie, las
confiabilidades de que las componentes trabajan correctamente son 0.70 y 0.80,
respectivamente. Suponga que A y B funcionan independientemente, y ambas
componentes del sistema deben funcionar correctamente para que la maquina lo haga.
Para incrementar la confiabilidad del sistema se emplea una componente similar, en
paralelo, a fin de formar el sistema S que se observa en la figura. La maquina
-
Probabilidades
105
funcionar siempre que, por lo menos uno de los componentes (sub-sistemas) trabajen
correctamente, calcular la confiabilidad del sistema S.
E1: La componente A funciona correctamente.
E2: La componente B funciona correctamente.
E: La sistema S funciona correctamente.
Cs:Confiabilidad del sistema.
Cs=E=P[(E1E2)U(E1E2)]=2P(E1E2)-P[(E1 E2)2]
=P(E1E2)[2-P(E1E2)]
=(0.7)(0.8)*[2-(0.7)(0.8)]
=0.8064
16. Durante el primer ao de uso un amplificador de radio puede requerir tres tipos de
reparaciones y las probabilidades correspondientes son: 0.05, 0.04 y 0.12. Cul es la
probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparacin durante su
primer ao de uso? Cada tipo de reparacin es independiente de los otros dos.
R1=Primera reparacion. P(R1)=0.05
R2=Segunda reparacion. P(R2)=0.04
R3=Tercera reparacion. P(R3)=0.12
P(R1 U R2 U R3) =P(R1)+P(R2)+P(R3)-P(R1R2)-P(R1R3) - P(R2R3) +
P(R1R2R3) =0.05+0.04+0.12-(0.05)(0.04)-(0.05)(0.12)-(0.04)(0.12)+(0.05)(0.04)(0.12)
=0.19744
17. La probabilidad que falle un motor en un avin es 0.10. Con cuntos motores debe
estar equipado un avin para tener una seguridad de 0.999de que el avin vuele?
(Supngase que es suficiente que un motor funcione para que el avin se mantenga en
vuelo).
Mi= El motor (i) funciona correctamente (i=1, 2, 3n)
A = u. El avin (i)
Los eventos Mi son independientes => i=1..n ;y P-[ ]=0.9
(i)= 1, 2 ,3 ..n ;
-
Probabilidades
106
El avin se mantiene al vuelo si almenos uno de los motores funcione
=1
0.999=P [A] P [ = 1 [1 P[Mi] ] [1 P[M2] =1
=1 (0.1)
=>(0.1) =0.001
n log(0.1) = log (0.001)
n-[10 ] = -log (0.001)
-n=-3
n =3
Se necesitan 3 motores.
Probabilidad condicional:
18. Cierta Universidad en formacin en su primer ao de funcionamiento tiene tres
curricula: Ciencia, Administracin e Ingeniera. La clasificacin de los alumnos por su
sexo, es como sigue
Ciencia Administracin Ingeniera
Hombres 250 350 200
Mujeres 100 50 50
Se selecciona un estudiante al azar del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre.
Cul es la probabilidad:
a) Que est en ciencias? b) que est en ingeniera? c) Que el estudiante est
matriculado en Administracin?
C=Ciencia,
A=Administracin, I=Ingeniera, H=Hombres, M=Mujeres
a) P(C/H)=P(CH)
P(H)=
250/1000
800/1000=
5
16
b) P(C/H)=P(IH)
P(H)=
200/1000
800/1000=
1
4
c) P(C/H)=P(AH)
P(H)==
350/1000
800/1000=
7
16
Ciencia Administracin Ingeniera Total
Hombres 250 350 200 800
Mujeres 100 50 50 200
Total 350 400 250 1000
-
Probabilidades
107
19. La probabilidad de que una construccin de un edificio en Tingo Mara se termine a
tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la
construccin se termina a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad
que haya huelga y no se termina la construccin a tiempo es 1/10. Cul es la
probabilidad que
a) La construccin se termina a tiempo y no haya huelga?
b) No haya huelga dado que la construccin se termin a tiempo?
c) La construccin no se termina a tiempo si hubo huelga?
d) La construccin no se termina a tiempo si no hubo huelga?
Sean los eventos:
A: se termina a tiempo = 17/20
B:no haya huelga =3/4
P(A/B)=14
15 P(A/B) =
()
()
14
15=
()
3/4 ( ) =
14
15
3
4=
P( ) =
a. P( ) =
b. P(/) =()
()=
14/20
17/20=
c. P(/) =()
()
2
20
1() =
d. P(/) =()
() =
1/20
15/20=
20. Una poblacin est clasificada en tres grupos, segn la edad: el 20% est entre 25 y 35
aos, el 65% entre 36 y 50 aos y el 15% entre 51 y 65 aos. Al investigar los hbitos
de dicha poblacin se ha comprobado que toman caf por la maana el 70% del grupo
del primer grupo de edades, el 40% del segundo y el 10% del tercero.
a) Seleccionado aleatoriamente un individuo de la poblacin cul es la
probabilidad de que sea del grupo de 25 a 35 aos y tome caf?
b) Si sabemos que un individuo toma caf cul es la probabilidad de que
pertenezca al grupo de 51 a 65 aos?
1/20
14/20 3/20
A=17/20 B=15/20
P( ) = 2/20
-
Probabilidades
108
EDADES PORCENTAJE CAFE
[25 35] 20% 70%
[36 50] 65% 40%
[51 65] 15% 10%
TOTAL 100% 120%
Teorema de bayes.
21. En una poblacin animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras estn enfermos. Se sabe adems que hay doble nmero de hembras que de
machos y se pide:
Sean los eventos:
A1 : Animal macho
A2 : Animal hembra
A1 = x A2 =2x Total: 3x
P(A1)=
3 =
1
3
P(A2)= 2
3 =
2
3
a) Elegido al azar un individuo de esa poblacin Cul es la probabilidad de que est enfermo?
P(E) = 0.153
b) Un individuo de esa poblacin se sabe que est enfermo Qu probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?
P(M/E) = ()(
)
()=
1
30.10
0.153= 0.18
22. La probabilidad de que un artculo provenga de una fbrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fbrica A1 produce un 4 por mil de
artculos defectuosos y la A2 un 8 por mil
Sean los eventos:
Probabilidad que provenga de A1 =0.7
Probabilidad que provenga de A2 =0.3 Datos:
La fbrica A1 produce 4/1000 artculos defectuosos.
La fbrica A2 produce 8/1000 artculos defectuosos.
a) 70%
120%= 0.58
b) 10%
120%= 0.08
P(E/Macho) = 10 %
P(E/Hembra) = 18 %
P(M)=1/3
P(H)=2/3 Hembra 18% E = 2
3 0.18 = 0.41
Macho 10% E = 1
3 0.10 = 0.03
-
Probabilidades
109
a) Se observa un artculo y se ve que est defectuoso. Cul es la probabilidad de que provenga de la fbrica A2?
P(A2)*P(
2)= 0.30*
8
1000=
2.4
1000
b) Se pide un artculo a una de las dos fbricas, elegida al azar. Cul es la probabilidad de que est defectuoso?
P(D) = P(A1)* P(
1) + P(A2)* P(
2)
P(D) =0.7* 4
1000 + 0.3*
8
1000
P(D) = 0.0052
A1
D (1) (
1) = 0.70
4
1000=
2.8
1000
A2
D (2) (
2) = 0.30
8
1000=
2.4
1000
P(A2)=0.30
P(A1)=0.70
-
Probabilidades
110
EJERCICIOS: Probabilidades y sus axiomas
1. Se lanza un dado y se observa el nmero obtenido. Calcular la probabilidad de
obtener:
a) 3 puntos, b) Al menos 5 puntos.
2. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: a) 7 Puntos. b) 6 puntos slo en la segunda tirada. c) 7 puntos 6 puntos slo en la segunda tirada. d) 7 puntos y 6 puntos slo en la segunda tirada.
3. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2
premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:
a) Slo uno de los dos premios, b) ninguno de los dos premios.
4. Si P (A) = 0.40; P (B) = 0.10; P (A B) = 0.30. Determinar: a) P (AC BC) =. b) P (AC U B) =.
5. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que: P(A) = 0.20, P(B)
= 0.30 y P(A B) = 0.10. Calcular: a) P (AC BC) b) P (AC B ) c) P (BC A ) d) P (AC B )
6. En una encuesta pblica se determina que la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37, que consuma el producto C es
0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma
solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. calcular la probabilidad
que una persona consuman:
a) A o B pero no C b) Solamente A
7. En una ciudad se publican tres revistas: A, B y C. El 30% de la poblacin lee A, el 20% lee B, el 15% lee C, el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C, y el 3%leen A,
B y C. Determinar el porcentaje de personas que:
a) Lean al menos uno de las tres revistas c) Lee solamente A b) Leen B o C; pero no A d) Leen A o no lee B ni C.
8. Se lanza un dado n veces Cul es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los n lanzamientos?
9. Suponga que A y B son sucesos para los cuales:
( ) ; ( ) ; ( )P A x P B y P A B z Calcular cada una de las probabilidades
siguientes en trminos de , ,x y z
i) ( )C CP A B iii) ( )CP A B
ii) ( )CP A B iv) ( )C CP A B
Solucin: i)1 z ; ii) y z ; iii)1 x z ; iv) 1 x y z
-
Probabilidades
111
10. Cien personas fueron encuestadas acerca de sus preferencias sobre tres productos A, B y C. Se encontr que 50 prefieren el A, 37 el B, 30 el C. Adems, 12 prefieren A y B, 8
slo A y C, 5 slo B y C, y 15 slo C. De cinco personas elegidas al azar encuestadas,
Cul es la probabilidad de que 2 de ellas prefieran B y C, 2 slo A y B, y 1 prefiera
los tres productos?
11. Suponga que en un proceso de produccin se utilizan las maquinas, A y B, que trabaja en forma independiente para producir cierto bien. Si la probabilidad de que ambas
maquinas fallen es 1/5 y de que falle slo la maquina B es 2/15. Calcular la
probabilidad de que falle slo la maquina A
12. Un sistema est formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de falla son 1/6 y 2/15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos una de las componentes
falle es 7/30, calcule la probabilidad de que:
a) Ninguna de las componentes fallen. b) Slo una de las componentes falle.
13. En una produccin de 10 000 artculos, 1000 de estos pueden tener al menos uno de tres tipos de defectos A, B y C de la siguiente manera, 650 de A, 372 de B y 590 de C,
166 de A y B , 434 de A y C. 126 de B y C. Si un artculo de esta produccin es
elegido al azar, calcule la probabilidad de que tenga,
a) Los 3 tipos de defectos, b) Slo un tipo de defecto.
14. Si las probabilidades de que, en condiciones de garanta, un automvil nuevo requiera reparaciones del motor, de la trasmisin o de ambos son 0.87, 0.36 y 0.29,
respectivamente, Cul es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o
ambos tipos de reparacin durante el periodo de garanta?
15. La probabilidad de que un conector elctrico que se mantiene seco falle durante el periodo de garanta es 0.01. Si el conector se humedece la probabilidad de fallo durante
el periodo de garanta es 0.05. Si el 90% de los conectores se mantienen seco y el 10%
se humedecen, Qu proporcin de conectores se espera que fallen durante el periodo
de garanta?
16. En una empresa distribuidora afirma que el 20% de sus clientes son clasificados como morosos, el 12% como incobrable y el resto como pagadores. Al hacer una revisin de
los montos de la deuda se encontr que el 70% de los morosos tienen deudas
superiores a los 500 dlares, lo mismo que el 90% de los incobrables y el 40% de los
pagadores.
a) Qu porcentaje de los clientes con deudas no mayores a 500 dlares son pagadores?
17. De 200 clientes de crdito de una tienda comercial, 100 tienen crditos menores que $200, 15 tienen crditos de al menos $500, y 110 tienen crditos menores de 4 aos.
Adems 30 clientes tienen crditos de al menos 4 aos y de 200 a menos de 500
dlares, y 10 clientes tienen crditos de al menos $500 y menos de 4 aos.
a) Si se elige un cliente al azar, Cul es la probabilidad de que tenga crdito menos de 4 aos si tiene saldo de crdito de menos de $200?
b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos 4 aos de crdito, Cul es la probabilidad de que uno tenga saldo de crdito de $500 o ms?
-
Probabilidades
112
18. La demanda de dos productos A y B vara aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg. El distribuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos si la suma de sus
demandas vara de 3000 a 5000 Kg. Calcular la probabilidad de que el precio de venta
de ambos productos baje.
Probabilidad condicional:
19. a) Si P(A) = 5/8, P (B) = 3/4 y P(A/B) = 2/3, Calcular P(A/Bc ) b) P(A) = 1/3 y P(A U B) = 11/21. Calcular la P (B). Si los eventos A y B son
independientes.
c) P(B) =3/15, P(B/A) = 1/5 y P(A B) = 1/15, Calcular P(A BC ) d) P(A) = 0.5 y P(A U B) = 0.7. Hallar P(B), Si P(A/B) = 0.5
20. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:
a) Cuntos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante Cul es la probabilidad de que sea alumna y
repita el curso?
d) Elegidos al azar dos estudiantes Cul es la probabilidad de que ninguno repita curso?
21. Cierta Universidad en formacin en su primer ao de funcionamiento tiene tres
curricula: Ciencia, Administracin e Ingeniera. La clasificacin de los alumnos por su
sexo, es como sigue
Ciencia Administracin Ingeniera
Hombres 250 350 200
Mujeres 100 50 50
Se selecciona un estudiante al azar del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre.
Cul es la probabilidad:
a) Que est en ciencias? b) que est en ingeniera? c) Que el estudiante est
matriculado en Administracin?
22. La probabilidad de que una construccin de un edificio en Tingo Mara se termine a
tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la
construccin se termina a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad
que haya huelga y no se termina la construccin a tiempo es 1/10. Cul es la
probabilidad que
a) La construccin se termina a tiempo y no haya huelga?
b) No haya huelga dado que la construccin se termin a tiempo?
c) La construccin no se termina a tiempo si hubo huelga?
-
Probabilidades
113
d) La construccin no se termina a tiempo si no hubo huelga?
23. En un estudio de una enfermedad al pulmn se examina 10 000 personas mayores de
60 aos. Se halla que 4 000 personas de este grupo son fumadores. Entre los fumadores
1800 padecen de desordenes pulmonares. Entre los que no fuman 1500 tiene
desordenes pulmonares. Si elige una persona al zar. Determinar la probabilidad de que
la persona elegida al azar es fumador dado que tiene desordenes pulmonares.
24. Una poblacin est clasificada en tres grupos, segn la edad: el 20% est entre 25 y 35
aos, el 65% entre 36 y 50 aos y el 15% entre 51 y 65 aos. Al investigar los hbitos
de dicha poblacin se ha comprobado que toman caf por la maana el 70% del grupo
del primer grupo de edades, el 40% del segundo y el 10% del tercero.
a) Seleccionado aleatoriamente un individuo de la poblacin cul es la
probabilidad de que sea del grupo de 25 a 35 aos y tome caf?
b) Si sabemos que un individuo toma caf cul es la probabilidad de que
pertenezca al grupo de 51 a 65 aos?
25. En un taller hay 3 mquinas; la primera se avera al mes con una probabilidad de 0,04,
la segunda con 0,06 y la tercera con 0,1; sus averas son independientes en
probabilidad. Se pide: a) Probabilidad de que se avere una sola mquina en el mes.
b) Probabilidad de que se averen las tres mquinas en el mes
c) Probabilidad de que se averen la primera y la segunda, pero no la tercera.
Probabilidad del producto
26. En un estudio se encontr que la probabilidad de que se incremente el empleo en la ciudad de Tingo Mara es de 0.35, de que se incremente el consumo de artculos de
primera necesidad es de 0.05 y de que se incremente el consumo de artculos de
primera necesidad dado el incremento de empleo es de 0.10.
Cul es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de artculos de
primera necesidad?
27. Sea determinado que la probabilidad de televidentes que ven los programas de ATV y Frecuencia Latina son respectivamente 0.4 y 0.5. Cada televidente ve los programas
independientes uno del otro. Si se elige uno al azar de tales televidentes Qu
probabilidad hay de que vea ambos programas?
28. Una maquina presento un sistema de dos componentes A y B dispuestos en serie, las
confiabilidades de que las componentes trabajan correctamente son 0.70 y 0.80,
respectivamente. Suponga que A y B funcionan independientemente, y ambas
componentes del sistema deben funcionar correctamente para que la maquina lo haga.
Para incrementar la confiabilidad del sistema se emplea una componente similar, en
paralelo, a fin de formar el sistema S que se observa en la figura. La maquina
-
Probabilidades
114
funcionar siempre que, por lo menos uno de los componentes (sub-sistemas) trabajen
correctamente, calcular la confiabilidad del sistema S.
29. Durante el primer ao de uso un amplificador de radio puede requerir tres tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son: 0.05, 0.04 y 0.12. Cul es la
probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparacin durante su
primer ao de uso? Cada tipo de reparacin es independiente de los otros dos.
Teorema de bayes.
30. Un ensamblador de automviles usa autopartes que provienen de tres proveedores. De 2000 partes recibidas 1000 provienen del primer proveedor, 600 del segundo, y el resto
del tercer proveedor. Si el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen
del primero, segundo y tercer proveedor son respectivamente 3%, 4% y 5%. Si se elige
un automvil al azar:
a) Cul es la probabilidad de que contenga una parte defectuosa?
b) Y si contiene una parte defectuosa, Cul es la probabilidad que haya sido provedo
por el tercer proveedor?.
31. Tres mquinas I, II y III manufacturan el 30%, 30% y 40% de la produccin total de un cierto artculo. Las mquinas producen 4%, 3% y 2% de productos defectuosos,
respectivamente. Se toma un artculo al azar, se prueba y resulta ser defectuosa.
a) Cul es la probabilidad que haya sido manufacturado por la maquina II? b) Cul es la probabilidad que haya sido manufacturado por la maquina III?
32. Tres maquinas A, B y C han producido respectivamente, 100, 200 y 300 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas, B un 6% y C un 10%. Se toma una
pieza y se pide:
a. La probabilidad de que sea defectuosa. b. Sabiendo que es defectuosa, cual es la probabilidad de que proceda de la primera
mquina (A).
33. La probabilidad de que un conector elctrico que se mantiene seco falle durante el periodo de garanta es 0.01. Si el conector se humedece la probabilidad de fallo durante
el periodo de garanta es 0.05. Si el 90% de los conectores se mantienen seco y el 10%
se humedecen, Qu proporcin de conectores se espera que fallen durante el periodo
de garanta?
34. En una lnea de produccin hay dos procesos, A y B. en el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso
A y 100 del B.
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Probabilidades
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a) Si al extraer el producto resulto defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso A.
35. Una empresa de software que disea juegos para ordenador somete los diseos preliminares de sus productos a la evaluacin previa de un grupo seleccionado de
clientes. Segn muestra la experiencia, el 95% de los productos que tuvieron un gran
xito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los de xito moderado
recibieron buenas evaluaciones y solo el 10% de los que tuvieron escaso xito fueron
valorados favorablemente. Adems, globalmente el 40% de los productos de la
empresa han tenido mucho xito, el 35% un xito moderado y el 25% una baja
aceptacin.
a) Cul es la probabilidad de que un producto, elegido al azar entre la produccin de la fbrica, obtenga una buena evaluacin previa?
b) Si un nuevo producto obtiene una buena evaluacin, Cul es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran xito?
36. El mercado de consumo de caf en Lima se encuentra distribuido de la siguiente manera: 25% para la marca K, 45% para la marca N y el resto para la marca A. De los
consumidores de la marca K, 20% consume caf clsico y el resto caf descafeinado.
De los consumidores de la marca N, 40% consume caf descafeinado y el resto caf
clsico. De los consumidores de la marca A, 30% consume caf clsico y el resto caf
descafeinado.
a) Si se elige un consumidor de caf al azar, entonces la probabilidad de que consuma caf descafeinado es
b) Si se elige un consumidor al azar y se encuentra que consume caf descafeinado, entonces la probabilidad que consuma caf de la marca N
es. 37. Si se elige un consumidor de caf al azar, entonces la probabilidad de que consuma
caf de la marca K y no consuma caf clsico es..
38. El departamento de crdito de una empresa comercial, informo que el 38% de sus ventas son en efectivo, 49% se pagan con cheque en el momento de la adquisicin y el
resto son a crdito. Se tiene que el 30% de las compras en efectivo, 80% en cheques y
80% de las compras a crdito son por ms de 170 dlares. Pedro acaba de comprar un
disco duro que cuesta 180 dlares. Cul es la probabilidad de que haya pagado en
efectivo?
39. En una poblacin animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras estn enfermos. Se sabe adems que hay doble nmero de hembras que de
machos y se pide:
a) Elegido al azar un individuo de esa poblacin Cul es la probabilidad de que est enfermo?
b) Un individuo de esa poblacin se sabe que est enfermo Qu probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?
40. En un hospital especializado en enfermedades de trax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumona y un 20 % con gripe. La probabilidad de curacin
completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un
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Probabilidades
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enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la
probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.
41. La probabilidad de que un artculo provenga de una fbrica A1 es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la fbrica A1 produce un 4 por mil de
artculos defectuosos y la A2 un 8 por mil
a) Se observa un artculo y se ve que est defectuoso. Cul es la probabilidad de que provenga de la fbrica A2?
b) Se pide un artculo a una de las dos fbricas, elegida al azar. Cul es la probabilidad de que est defectuoso?
c) Se piden 5 artculos a la fbrica A1 Cul es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?