eso_3º - act. de ampliación matematicas (multiplo)

Actividades de ampliacin

Unidad 1 Nmeros racionales e irracionales

Unidad 1 Nmeros racionales e irracionales 1. Ya sabes que para trabajar con fracciones es muy til la descomposicin en factores primos, pero sabes

cuntos nmeros primos hay entre el 0 y el 100?

2. Un vendedor ambulante lleva una cesta de manzanas. En la primera casa que visita vende la mitad de las manzanas que lleva ms media manzana. En la segunda, la mitad de las que le quedaban ms media manzana, y lo mismo ocurre en la tercera y cuarta casa, con lo que despus de esta cuarta visita se le agotan las manzanas. Teniendo en cuenta que en ningn momento parte ninguna manzana, calcula el nmero de manzanas que llevaba en la cesta.

3. En una copa de cristal, A, tenemos 100 mililitros de agua, y en otra, B, 100 mililitros de vino. Con una cucharilla pasamos 10 mililitros de A a B, y a continuacin, 10 mililitros de B a A. Hay ahora ms agua en el vino o ms vino en el agua?

4. Una bola de goma se deja caer desde 300 metros de altura. Despus de cada bote que da en el suelo se

vuelve a elevar 45

de la altura del bote anterior. Qu altura alcanzar a continuacin del cuarto bote?

5. La imagen muestra el directorio de unos grandes almacenes. Sabiendo que cada planta ocupa una superficie de 1320 metros cuadrados, responde a las siguientes cuestiones.

a) Cul es la superficie total de los grandes almacenes?

b) Qu parte de la superficie total ocupan los aparcamientos?

c) Qu superficie est dedicada a aparcamientos?

d) Si por ley hay que reservar una veinteava parte de dicha superficie a vehculos para minusvlidos, motocicletas y vehculos especiales, cunta superficie les corresponde?

e) El supermercado ocupa los dos tercios del primer stano. Qu superficie ocupa?

f) El restaurante y el bar ocupan cada uno las dos quintas partes de la quinta planta. El resto de la planta lo ocupan a partes iguales el departamento de libros y el de msica. Qu superficie ocupa cada una de las tres zonas (bar-restaurante, libros y msica)?

g) La ferretera ocupa un tercio de las dos quintas partes de la cuarta planta. Expresa su superficie mediante una fraccin. Cul es la superficie de la ferretera?

h) La moda juvenil supone las dos terceras partes de la planta tercera. Qu superficie corresponde a moda infantil?

i) Se va a trasladar el almacn general a una nave industrial en las afueras, y su espacio en la sexta planta se quiere destinar a moda juvenil, libros y msica, de manera que cada departamento mantenga su superficie. Es posible? Si es as, qu parte de la planta queda libre? Cunta superficie es? Se podra poner algn otro departamento manteniendo la superficie del mismo?

6. Escribe dos nmeros racionales y dos irracionales que estn situados entre el 5 y el 6.

7. Halla dos nmeros irracionales tales que, al dividir uno entre otro, se obtenga un nmero racional.

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 2 Potencias y races

Unidad 2 Potencias y races 1. Calcula mentalmente la raz cbica de los siguientes nmeros.

27, 125, 18

, 1000 y 0,008

2. Calcula las siguientes operaciones.

a) 3 1331 b) 5 11024

c) 10 40 d) 14256

3. Calcula k en cada caso.

a) 4 256 k= b) 3 2k = c) 81 3k =

4. Estudia si a es mayor, menor o igual que a, cuando a toma cada uno de los siguientes valores:

a) 1 b) 0,81 c) 0 d) 12

Para qu valores de a es a > a? Y a < a?

5. a) El nmero 10 elevado a 100 se denomina Googol. Si tardas en escribir un cero 15

de segundo y en escribir un

uno 110

de segundo, cunto tardaras en escribir el nmero 100 Googols con todos sus ceros?

b) El nmero 10 elevado a un Googol se denomina Googolplex. Usando los mismos tiempos descritos en el apartado anterior, cunto tardaras en escribir un Googolplex completo? (Supn que la cantidad de papel y tinta es ilimitada.)

5. Sigue el diagrama de flujo con tu calculadora en repetidas ocasiones.

x

Haz la raz cuadrada

Haz la raz cuadrada

Resultado

Multiplica por x

a) Prueba con diferentes nmeros x, por ejemplo: 11, 5, 8, 27 Qu valor obtienes? b) Qu pasa si se opera tres veces la raz cuadrada en lugar de dos? c) Imagina que en el diagrama de flujo se cambia multiplica por x por divide entre x. Qu pasa ahora?

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 3 Expresiones algebraicas y ecuaciones

Unidad 3 Expresiones algebraicas y ecuaciones 1. Un hombre gasta un tercio de su dinero y pierde dos tercios de lo que le qued, encontrando al final en su

bolsillo 12 monedas. Cuntas monedas tena al principio?

2. Un mercader visita 3 ferias. En la primera duplica su dinero y gasta 30 monedas de oro, en la segunda triplica su dinero y gasta 54 monedas de oro, y en la tercera cuadruplica su dinero y gasta 72 monedas de oro. Al final vuelve a casa con 48 monedas. Con cuntas comenz la jornada?

3. Para lograr que su hijo se interese por el estudio del lgebra, un padre le ofrece el siguiente trato: le pagar 8 cntimos por cada problema que resuelva bien y le cobrar 5 cntimos por cada uno que haga mal. Tras 26 problemas, ninguno de los dos le debe dinero al otro. Cuntos problemas resolvi correctamente el hijo?

4. Un sirviente va a recibir 100 monedas de oro y una capa por un ao de trabajo. Tras 7 meses decide dejar el empleo y recibe la capa y 20 monedas de oro. Cunto vala la capa?

5. El mtodo ms fcil para medir un lagarto: La cabeza mide 9 centmetros. La cola mide tanto como la cabeza ms la mitad del cuerpo, y el cuerpo mide la suma de las medidas de la cabeza y de la cola. Cunto mide en total el reptil?.

6. Cinco turistas llegan a un restaurante en un pas extranjero cuya lengua desconocen. Al leer el men observan que este ofrece 9 platos combinados cuya composicin no comprenden. Despus de pensar un momento, deciden pedir y se reparten la comanda como mejor les parece. La comida, no obstante, es excelente y deciden comer all durante los das que dure su estancia en dicha ciudad. El men es siempre el mismo, y a la cuarta vez que comen en dicho establecimiento, cada uno sabe con precisin qu nombre corresponde a cada plato. Cmo lo hacen?

7. Un invidente entr en una habitacin donde estaban charlando unas seoras. Tras quedar un momento escuchando dijo:

Saludo a las 24 damas aqu presentes. No somos 24 contest una de ellas, bastante ofendida, pero si fusemos cinco veces ms de las que somos, seramos tantas ms de 24 como tantas menos somos en este momento.

Cuntas seoras haba en la tertulia?

8. Un excursionista sali de su casa a las siete de la maana dispuesto a realizar un paseo que incluye un tramo por llanura, el ascenso y descenso de una colina y el regreso a su casa. En el llano se desplaza a 4 kilmetros por hora, disminuyendo esta velocidad en 1 kilmetro por hora en el ascenso y aumentndola a 6 en la bajada. De regreso a casa comprueba que es la una de la tarde. Qu distancia ha recorrido durante su paseo?

9. Un halcn acecha a lo que le parece ser un centenar de palomas. Pero una de ellas, viendo que la rapaz est echando cuentas, le dice:

Si sumamos las que somos, ms tantas como las que somos, ms la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en ese caso, y contigo, seramos 100.

Evidentemente, mientras el halcn haca sus clculos, las palomas se dieron a la fuga, pero sabras decir t cuntas palomas haba en la bandada?

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 4 Sistemas de ecuaciones

Unidad 4 Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el siguiente sistema.

3

2 43 1

x y zx y zx y z

+ + = + = =

Indicacin: para resolver sistemas con tres ecuaciones se pueden ir eliminando incgnitas utilizando el mtodo de reduccin; por ejemplo, en este caso eliminamos la x en las dos ltimas ecuaciones, operando entre las ecuaciones. En la segunda escribiremos 1. 2., y en la tercera, 1. 3.. As obtenemos:

x y zy zy z

3- 2 74 2 2

+ + = + =+ =

Y ahora puedes resolver el sistema formado por las dos ltimas ecuaciones para encontrar los valores de y y z. Posteriormente se sustituye en la primera ecuacin para encontrar x.

2. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones.

a) 420

x y zx y zx y z

+ + = + =+ =

b) 2 4

2 12 2 2 0

x y zx y zx y z

+ = + = + =

3. Se sabe que 1 1 12 2x y z

+ = . Despeja z en funcin de x e y.

4. Sabiendo que a, b y c son nmeros reales y teniendo en cuenta que a debe ser positivo, calcula los valores de a, b y c, si cumplen a b = 15, b c = 10 y a c = 6.

5. Si 2 3ba = , cunto vale 62 4ba ?

6. En una empresa de reciclado de papel se clasifica el material recogido en tres tipos: A, B y C, en funcin de su calidad. Se realizan tres pruebas: en la primera, con 2 kilogramos de papel de tipo A, 1 de tipo B y 1 de tipo C obtenemos 3,35 kilogramos de papel nuevo. En la segunda prueba, con 1 kilogramo de tipo A, 2 de tipo B y 1 de tipo C obtenemos 3,25 kilogramos. En la tercera prueba, con 1 kilogramo de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo C obtenemos 3,2 kilogramos de papel nuevo. Cul es el rendimiento en porcentaje de cada uno?

7. Los puntos de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 2 cumplen la ecuacin:

x2 + y2 = 4 Encuentra qu puntos de la circunferencia cumplen la igualdad x 2y = 0 (esta es la ecuacin de una recta; por tanto, estamos buscando en realidad los puntos de corte de la recta y la circunferencia dadas).

8. Las tres cifras de un nmero suman 16. Si a ese nmero se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 495; la cifra de las decenas es igual a la diferencia entre la cifra de las centenas y la de las unidades. Calcula dicho nmero.

9. Mara le dice a su hijo Pedro: Cuando transcurra la cuarta parte de los aos que tengo, t tendrs la mitad de mi edad actual. Pedro le contesta: S, pero hace tan solo cinco aos, tu edad era siete veces mayor que la ma. Cul es la edad actual de Pedro?

Pgi

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toco

piab

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Unidad 5 La ecuacin de segundo grado. Identidades notables

Unidad 5 La ecuacin de segundo grado. Identidades notables

1. Para resolver las siguientes ecuaciones puedes hacer el cambio de variable x2

a) x4 10x2 + 9 = 0 c) x4 + 3x2 + 4 = 0

= t, y as convertirs la ecuacin en otra de segundo grado. Por ltimo, debes resolver tambin la ecuacin del cambio de variable.

b) x4 5x2 + 4 = 0 d) 4x4 5x2 + 1 = 0

2. Existen muchos tipos de ecuaciones. Algunas de ellas, como ya sabes, no tienen ninguna solucin, otras tienen una; otras, dos soluciones. En las siguientes ecuaciones tienes que encontrar cuatro soluciones para cada una de ellas (siempre que sea posible). Recuerda que si se tienen dos incgnitas, cada solucin es un valor para x y un valor para y.

a) x2 + y2 = 4 c) xy x2 = 0

b) x2 + y2 = 4 d) xyx =+2

3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 1 2xx

= b) 231

++

=

xx

xx

4. Resuelve las siguientes ecuaciones elevando al cuadrado ambos miembros. Comprueba en cada caso las soluciones. Qu observas?

a) 2 1x x = b) 4 2x x+ = c) 154

xx =

5. Calcula el valor de m para que la siguiente ecuacin tenga una nica solucin.

( 2) (2 1)(2 1)2 5

x x x x m+ + =

6. Cunto vale k? (Ayuda: es un nmero entero.)

2634

2634 ++=k

7. Un automvil parte del reposo con una aceleracin de 8 m/s2

Indicacin: sin velocidad inicial, el espacio recorrido en funcin del tiempo es:

. En cunto tiempo recorrer 1 km?

a te2

2

= .

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 6 Sucesiones y progresiones

Unidad 6 Sucesiones y progresiones 1. a) Escribe los primeros trminos de la sucesin na formada por los cuadrados de los nmeros naturales.

b) Escribe la sucesin formada por los nmeros 12 aa , 23 aa , 34 aa , 45 aa , siendo a1, a2, a3

c) Demuestra que la sucesin del apartado b es una progresin aritmtica.

, los trminos de la sucesin del apartado anterior.

2. Al sustituir en la expresin 3 2x el valor de x por cada uno de los trminos de la progresin aritmtica de los nmeros impares, qu obtienes?

3. Tres nmeros en progresin geomtrica verifican las siguientes dos condiciones.

i) Si al segundo se le aaden 4 unidades, los tres nmeros forman progresin aritmtica. ii) Si, despus, al tercero se le aaden 32 unidades, los tres nmeros vuelven a estar en progresin geomtrica. Halla los tres nmeros. 4. En una localidad de 1 048 575 habitantes existe una nica persona que se sabe un determinado chiste. En

cinco minutos se lo cuenta a dos vecinos. En los siguientes cinco minutos, cada uno de los dos vecinos se lo cuenta a otros dos, quienes hacen lo mismo, y as sucesivamente. Cunto tiempo tardarn todos los vecinos de la localidad en conocer el chiste?

5. Elena deja caer un baln desde el balcn de su casa, a 28 metros de altura. En cada rebote, el baln alcanza

la mitad de la altura desde la que cae.

a) Cuntos metros recorre el baln desde que lo suelta hasta que rebota por dcima vez?

b) Calcula el recorrido cuando ha rebotado 14 veces. Interpreta los resultados.

6. En un cuadrado de lado 2 metros se inscribe una circunferencia. Dentro de la circunferencia se inscribe un

cuadrado, y dentro de este, otra circunferencia, y as sucesivamente tal y como muestra la figura. Escribe la sucesin de las reas de los cuadrados y la de las reas de los crculos formados. 7. El producto de tres nmeros en progresin geomtrica es 648 y su suma es 27. Calcula el valor de los

nmeros y el de la diferencia de la progresin. 8. El producto de tres nmeros en progresin aritmtica es 729 y su suma es 39. Calcula el valor de los

nmeros y la razn de la progresin.

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 7 Proporcionalidad y porcentajes

Unidad 7 Proporcionalidad y porcentajes 1. a) Comprueba que las siguientes igualdades de razones son ciertas.

64

32=

2136

712

=

b) A partir de las igualdades del apartado anterior obtenemos las siguientes. Comprueba que son tambin ciertas.

96

3624

32

=++

= 2848

7211236

712

=++

=

c) A la vista de los resultados de los apartados anteriores, demuestra que si dc

ba= , entonces

bdac

ba

++

= .

Indicacin: partiendo de que a d b c = , debes demostrar que ( ) ( )a b d b a c + = + .

2. Demuestra que si a cb d= , entonces a a c

b b d

=

.

3. a) Sabemos que 1510

32= . Se verificar tambin que

22

22

153

10232

+

+= ?

b) Demuestra que si dc

ba= , entonces

22

22

db

caba

+

+= .

4. Al hacer un recorrido en bicicleta de 125 kilmetros, pedaleando durante 100 minutos al da, he tardado tres

das. Si se supone que he llevado la misma velocidad media, qu distancia habr recorrido en otra ocasin si he pedaleado durante 120 minutos diarios y he tardado 4 das?

5. Doce rollos de papel continuo de 90 centmetros de ancho por 1.500 centmetros de largo cuestan 72 euros.

Qu ancho tendrn 20 rollos de ese mismo papel si se sabe que miden 2.000 centmetros de largo y cuestan en total 120 euros?

6. Para hacer los 38

de un trabajo, Alejandra emplea 24 das trabajando 5 horas diarias. Qu parte del mismo

trabajo puede hacer en 18 das trabajando 4 horas diarias? 7. Un estanque, alimentado por varios grifos iguales, se consigue llenar dejando 4 grifos abiertos durante 8

das a razn de 6 horas diarias. Cuntos das tardar en llenarse el mismo estanque si dejamos abiertos 3 grifos durante 4 horas diarias?

8. Silvia trabaja repartiendo pizzas y cobra 20 euros cada da que trabaja ms un 6% del precio de las pizzas

que reparte. Durante el mes pasado trabaj 14 das y cobr un total de 394 euros. Calcula el nmero de pizzas que reparti en ese perodo sabiendo que cada una de ellas vale 9,50 euros.

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 8 Figuras planas. Propiedades mtricas

Unidad 8 Figuras planas. Propiedades mtricas 1. A partir de la semejanza de tringulos podemos

obtener algunos resultados clsicos como el teorema del cateto, cuyo enunciado es el siguiente:

Un cateto de un tringulo rectngulo es igual al producto de la hipotenusa por la proyeccin del cateto sobre ella.

Podras demostrarlo?

Indicacin: los tringulos BAC y BHA son semejantes. A partir de esta semejanza puedes deducir el teorema del cateto para el cateto BA.

2. En el cuadrado de la figura, cul es la distancia de P a la horizontal? 3. Demuestra el teorema de la altura: En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de

los catetos sobre la misma.

Indicacin: con el mismo grfico que el de la primera actividad debemos demostrar que BHA y AHC son semejantes. Por qu? A partir de esta semejanza puedes deducir el teorema.

4. Demuestra que la suma de ngulos de un tringulo es 180.

Indicacin: Observa el dibujo y piensa si los ngulos B y D , y C y E son iguales. Por qu? 5. Cortamos el rectngulo de la figura, de 16 por 9, en los trozos que se muestran y queremos reordenar las

piezas para formar un cuadrado. Es posible? Qu lado tendra?

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 9 Cuerpos geomtricos

Unidad 9 Cuerpos geomtricos 1. Hasta ahora has estudiado lo que se llama geometra eucldea; en geometra eucldea se cumple lo que se

llama el postulado eucldeo de paralelismo: Por un punto exterior a una recta pasa una nica paralela. Crees que podramos inventar una geometra en la que no se cumpliera este resultado? Estudia el siguiente caso:

Consideramos una esfera, los puntos de nuestra geometra sern los puntos de la esfera, las rectas sern las circunferencias mximas sobre la esfera, es decir, las circunferencias que resultan de cortar planos que pasan por el centro de la esfera con la propia esfera. Definimos rectas paralelas como aquellas que no se cortan.

En la geometra que hemos definido, se cumple el postulado eucldeo de paralelismo? Cuntas rectas paralelas pasan por un punto exterior a una recta?

2. En la geometra que hemos definido en el ejercicio anterior, un tringulo est formado por tres segmentos de recta limitados por tres puntos que no pertenecen a la misma recta (o, lo que es lo mismo, a la misma circunferencia mxima).

Tomemos un tringulo cuyos vrtices sean el Polo Norte, un punto sobre el Ecuador de longitud 0 y otro punto sobre el Ecuador de longitud 90 O. Si suponemos que los ngulos del tringulo son los que forman en cada vrtice las tangentes a cada lado del tringulo, cunto suman los ngulos interiores de dicho tringulo?

3. En geometra eucldea, un resultado bsico es que por dos puntos pasa una nica recta. Cuntas rectas pasan por dos puntos de la geometra de la esfera que acabamos de describir? Cuntas rectas pasan por un solo punto? Puedes poner algn ejemplo de este hecho tomando como rectas los meridianos de la superficie terrestre?

4. Por qu solo existen cinco poliedros regulares? Para responder a esta pregunta, considera los siguientes aspectos.

a) Cada vrtice debe ser comn al menos a tres caras para que podamos formar un poliedro (es imposible que en un vrtice coincidan solo dos caras).

b) Si sumamos los ngulos interiores de las caras que concurren en cada vrtice, la suma debe ser menor de 360, pues de no ser as, las caras que componen ese vrtice formaran un plano y no habra poliedro.

Con estas dos condiciones y considerando lo que miden los ngulos interiores de cada tipo de polgono, justifica que solo se pueden construir poliedros regulares con tringulos, cuadrados y pentgonos, y que estos poliedros regulares solo pueden ser los cinco conocidos.

5. Hipcrates de Chios (alrededor del 430 a. C.) trabaj calculando reas de ciertas figuras circulares. Para ello utilizaba la siguiente propiedad:

Las reas de segmentos circulares correspondientes al mismo ngulo estn en la misma razn que los cuadrados construidos sobre sus cuerdas correspondientes.

(Recuerda que un segmento circular es la regin del crculo comprendida entre un arco y su cuerda.)

2

2A CA C =

Utilizando la propiedad que hemos citado, demuestra que el rea de la luna de la figura es igual al rea del tringulo. Si el radio del crculo son 5 centmetros, calcula dicha rea.

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 10 Transformaciones en el plano

Unidad 10 Transformaciones en el plano 1. Considera una traslacin de vector gua u

no nulo.

a) Hay algn punto que quede invariante en la traslacin?, o lo que es lo mismo, existe algn punto cuyo homlogo en la traslacin sea el mismo?

b) Qu tipos de rectas quedan invariantes en la traslacin? Estas rectas estn formadas por puntos invariantes o son simplemente rectas invariantes consideradas en su conjunto?

2. Considera una simetra axial de eje e.

a) Estudia sus puntos invariantes.

b) Estudia sus rectas invariantes y diferencia aquellas que estn formadas por puntos invariantes y aquellas que no lo estn.

3. Completa la siguiente tabla.

Puntos invariantes

Rectas invariantes formadas por puntos

invariantes

Rectas invariantes formadas por puntos no

invariantes Simetra axial de eje e

Simetra central de centro O Giro de centro O y ngulo

Traslacin de vector gua u

4. Las rectas r y s de la figura son paralelas.

a) Halla el homlogo del punto P al aplicarle, en primer lugar, la simetra axial de eje r y, despus, la simetra axial de eje s.

b) Halla el homlogo del punto P al aplicarle la traslacin de vector con direccin la perpendicular a r y s, con sentido el que va de r hacia s y con mdulo el doble de la distancia entre r y s (vector u

de la figura).

c) Qu conclusin puedes sacar sobre los dos movimientos aplicados en los apartados anteriores? Razona la respuesta.

5. Las rectas r y s de la figura son secantes y forman un ngulo .

a) Halla el homlogo del punto P al aplicarle, en primer lugar, la simetra axial de eje r y, despus, la simetra axial de eje s.

b) Halla el homlogo del punto P al aplicarle un giro de centro el punto de corte de r y s, y de ngulo, 2 en sentido horario.

c) Qu conclusin puedes sacar sobre los dos movimientos aplicados en los apartados anteriores? Razona la respuesta.

6. Aplicando el mtodo de los giros, dibuja un tringulo equiltero de forma que uno de sus vrtices sea el

punto A, y cada uno de los otros dos est sobre las rectas r y s.

Pgi

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toco

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le


Unidad 11 Funciones

Unidad 11 Funciones 1. Un tren arranca de la estacin y va ganando velocidad poco a poco. Antonio se ha despistado 10 segundos

despidindose de su novia y debe correr para alcanzarlo y entrar en l por la puerta trasera que an est abierta. Carolina est a 75 metros de la salida en el momento en que arranca el tren y decide esperarlo y montarse cuando pase por delante de ella. A Pedro le trae su amigo Jorge en moto, pero el trfico ha hecho que lleguen tarde 20 segundos, por lo que sigue en la moto, que le acerca hasta el tren, y se sube a este en marcha. Interpreta la grfica.

a) En qu orden se incorporan al tren?

b) Qu distancia ha recorrido el tren en 10 segundos?

c) Qu velocidad lleva el tren cuando lo coge Carolina?

d) Cundo y dnde se incorpora Jorge al tren?

2. Dada la funcin nKyx

= , halla los valores de K y n

para completar la tabla.

3. La esperanza de vida de una rata es inversamente proporcional al cuadrado de la densidad de veneno matarratas que se distribuye alrededor de una casa. Cuando la densidad de matarratas es de 1 gramo por metro cuadrado, la esperanza de vida es de 50 das. Averigua cuntos das sobrevivir una rata si la densidad de matarratas es de medio gramo por metro cuadrado. Si quiero reducir la esperanza de vida a dos das, qu cantidad de veneno tendr que poner?

4. Una gran empresa incrementa mensualmente sus gastos en publicidad consiguiendo a su vez rcords mensuales de ingresos.

Mes Gastos

(miles de ) Ingresos

(miles de ) 1 2 3 4 5 6 7

100 200 300 400 500 600 700

280 450 560 630 680 720 740

Indicacin: Dibuja una grfica que describa esta informacin y considera el beneficio como ingresos menos gastos. a) Es una buena inversin el gasto de 200.000 euros al mes en publicidad? b) Es una buena inversin el gasto de 700.000 euros al mes en publicidad? c) Cul es el gasto mensual en publicidad ms beneficioso?

5. La velocidad de un cohete en funcin del tiempo tras el lanzamiento viene dada por v = 54t 2t3. Utiliza una representacin grfica para hallar: a) La velocidad mxima que alcanza el cohete. b) El tiempo que necesita para acelerar hasta conseguir una velocidad de 70 metros por segundo. c) El intervalo de tiempo en que el cohete vuela a ms de 100 metros por segundo.

x 1 2 4

y 100 252

1

10

Pgi

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toco

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Unidad 12 Funciones lineales y afines

Unidad 12 Funciones lineales y afines 1. Algunos conductores tratan de estimar el gasto anual (g en euros) en reparaciones o revisiones de su coche

con relacin a su velocidad media de conduccin (v en kilmetros por hora), con la ecuacin:

g(v) = 5v + 30

Dibuja la grfica para 0 < v < 160 y a partir de ella halla:

a) El precio estimado de las revisiones o reparaciones de un chico que conduce su motocicleta con una velocidad media de 23 kilmetros por hora.

b) La velocidad media de un conductor cuyo gasto anual en reparaciones y revisiones es de 600 euros.

2. Halla la pendiente de AB, AC y CB. 3. Dibuja la recta de ecuacin x + 2y 6 = 0 y di cul es su pendiente y su ordenada en el origen. 4. La siguiente tabla muestra las medidas realizadas durante un experimento de dos variables q y t.

q 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t 3,85 5,0 6,1 7,0 7,75 9,1

Uno de los cientficos del equipo intuye que las dos variables estn relacionadas por una funcin del tipo t = mq + c, con m y c constantes.

a) Dibuja los valores de los puntos obtenidos y la recta que mejor se ajuste a dichos puntos. Para ello, dibuja q en el eje horizontal con 4 centmetros por unidad, y t en el eje vertical con 2 centmetros por unidad.

b) Halla la pendiente y la ordenada en el origen, y de ah, estima los valores de m y c.

5. Dos ingenieros de una importante fbrica de automviles miden la potencia P (kilovatios) que requiere un

coche para viajar a determinadas velocidades v (kilmetros por hora). Estos son sus resultados.

v (km/h) 40 60 80 100 120 140 P (kW) 13,5 30,5 54 84,5 122 166

Francisco cree que la frmula correcta que relaciona P y v es de la forma P = mv + n. Carlos cree que la frmula es kvP = . Despus de estudiar los datos, Carlos advierte que la frmula de Francisco no puede ser correcta. Explica

por qu no lo es. Para ello:

a) Representa los datos en una grfica.

b) Dibuja aproximadamente la recta que mejor se ajuste a los datos, confirma que la frmula de Carlos es la correcta y estima el valor de k.

6. Un barco fluvial navega con una velocidad de 20 kilmetros por hora con el agua en calma, pero hoy el ro

baja con una velocidad de 5 kilmetros por hora. El barco slo tiene combustible para tres horas de navegacin y sale de puerto a favor de la corriente.

Dibuja una grfica espacio-tiempo que indique un viaje de ida y vuelta en esas 3 horas. Cundo debe volver el barco para que no consuma todo su combustible y quede a la deriva?

7. Un ciclista hace 500 metros en 22 segundos a una velocidad al principio de 10 metros por segundo y ms

tarde de 50 metros por segundo. Cuntos metros hizo a cada velocidad? (Resuelve el problema por interseccin de rectas y luego comprueba el resultado resolviendo el sistema de ecuaciones.)

Pgi

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Unidad 13 Estadstica

Unidad 13 Estadstica 1. La suma de cinco nmeros es 75.

a) Calcula el valor de la media aritmtica de dichos nmeros.

b) Si a la lista se aade un nuevo nmero de valor 9, cunto vale la nueva media aritmtica?

2. La media aritmtica de un grupo de cuatro nmeros es 4, y la media aritmtica de otro grupo de seis

nmeros es 6. Cul es la media de todos esos nmeros? 3. Como sabes, para calcular la varianza de un conjunto de n datos aislados 1 2 3, , , ..., nx x x x se puede utilizar la

frmula ( )2ix x

Vn

= o bien la frmula

22i

xV x

n= .

Partiendo de la primera y utilizando los procedimientos algebraicos que conoces, demuestra que ambas frmulas son iguales.

4. a) Demuestra que la media aritmtica de los n primeros trminos de una progresin aritmtica es igual a la

semisuma del primero y del ltimo.

b) Calcula la media aritmtica de los primeros 100 mltiplos de 3.

5. El siguiente diagrama de barras adosadas muestra las preferencias de un grupo de jvenes, diferenciando

chicos y chicas, sobre el lugar donde se van a pasar las vacaciones.

a) A cuntos jvenes en total se les ha preguntado?, a cuntos chicos y cuntas chicas?

b) Cuntos jvenes quieren ir a realizar un circuito turstico?, cuntos chicos y cuntas chicas?

c) Qu porcentaje del total de chicos quiere ir a la playa?, y del de chicas?

6. Se consideran los siguientes nmeros en progresin aritmtica:

5957555351494745434139373533312927252321191715131197531

a) Calcula la media y la desviacin tpica de dichos nmeros.

b) Calcula el porcentaje de datos que entran dentro del intervalo ( 2 , 2 )x s x s + .

7. Teniendo en cuenta los nmeros que aparecen en la siguiente tabla de datos agrupados, calcula el

porcentaje de datos que entran dentro del intervalo ( 2 , 2 )x s x s + . Ten en cuenta que ser necesario que realices ciertas proporciones adecuadas.

Intervalos Frecuencias absolutas 0 5x < 10 5 10x < 12

10 15x < 24 15 20x < 8

Pgi

na fo

toco

piab

le


Unidad 14 Probabilidad

Unidad 14 Probabilidad 1. a) Escribe todos los sucesos elementales del espacio muestral correspondiente a observar el nmero de caras

obtenidas al lanzar al aire tres monedas. Se trata de un espacio de sucesos equiprobables?

b) Escribe todos los sucesos elementales del espacio muestral correspondiente a observar los resultados obtenidos al lanzar al aire una moneda dos veces. Se trata de un espacio de sucesos equiprobables?

2. Una bolsa contiene dos bolas blancas y una negra. Calcula la probabilidad de que al extraer dos de ellas resulten ser las dos blancas en los siguientes casos.

a) Las extracciones se realizan sin reemplazamiento, es decir, despus de extraer la primera bola, se extrae la segunda sin devolver la primera extrada a la bolsa.

b) Las extracciones se realizan con reemplazamiento, es decir, despus de extraer la primera bola, se devuelve a la bolsa y a continuacin se extrae la segunda.

c) La extraccin se realiza de una sola vez, es decir, se extraen las dos bolas a la vez.

3. En el experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces, se pide:

a) Determinar el espacio muestral.

b) Cul es la probabilidad de que se obtengan al menos dos caras?

4. En un saco hay muchas bolas blancas, negras y amarillas en una proporcin 1 : 3 : 4. Se sacan al azar 72 bolas y se introducen en una bolsa ms pequea. Seguidamente se saca una bola de la bolsa pequea.

a) Qu composicin de bolas se espera que haya en la nueva bolsa?

b) Cul es la probabilidad de que esta ltima bola sea blanca?

c) Cul es la probabilidad de que esta ltima bola sea negra o amarilla?

d) Cunto suman las probabilidades de los sucesos correspondientes a los dos apartados anteriores? Por qu?

5. Se lanzan dos dados sobre la mesa. Si la suma de las puntuaciones obtenidas es superior a 7, se introduce en una bolsa una bola blanca; si la suma es inferior a 7, se introduce una bola negra, y si es exactamente igual a 7, se introduce una bola verde. Se realiza este experimento 36 veces, de forma que se tienen 36 bolas en la bolsa. Finalmente, se extrae una bola de la bolsa.

a) Cul es la composicin esperada de la bolsa?

b) Cul es la probabilidad de que la bola extrada no sea blanca?

6. Utiliza un mapa de Espaa para resolver el siguiente ejercicio. Se elige al azar una de las provincias espaolas. Se supone que entran en el bombo todas las provincias ms las ciudades de Ceuta y Melilla.

a) Calcula la probabilidad de que la provincia sea costera.

b) Calcula la probabilidad de que la provincia pertenezca a un archipilago.

c) Calcula la probabilidad de que la provincia pertenezca a una comunidad autnoma formada por dos provincias.

7. a) Escribe cinco nmeros que tengan exactamente tres divisores. Qu propiedad cumplen todos ellos?

b) Se elige un nmero entero positivo menor o igual que 50. Cul es la probabilidad de que tenga exactamente tres divisores?

8. Se extrae al azar una carta de una baraja espaola. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) O: Salir oro b) R: Salir rey c) RO d) RO

Compara los resultados de )P( RO y de )P()P()P( RORO + .

Pgi

na fo

toco

piab

le

3ESOMAMU_AM_ESU01Unidad 1 Nmeros racionales e irracionales

3ESOMAMU_AM_ESU02Unidad 2 Potencias y races

3ESOMAMU_AM_ESU03Unidad 3 Expresiones algebraicas y ecuaciones

3ESOMAMU_AM_ESU04Unidad 4 Sistemas de ecuaciones

3ESOMAMU_AM_ESU05Unidad 5 La ecuacin de segundo grado. Identidades notables

3ESOMAMU_AM_ESU06Unidad 6 Sucesiones y progresiones

3ESOMAMU_AM_ESU07Unidad 7 Proporcionalidad y porcentajes

3ESOMAMU_AM_ESU08Unidad 8 Figuras planas. Propiedades mtricasIndicacin: los tringulos BAC y BHA son semejantes. A partir de esta semejanza puedes deducir el teorema del cateto para el cateto BA.

3ESOMAMU_AM_ESU09Unidad 9 Cuerpos geomtricos

3ESOMAMU_AM_ESU10Unidad 10 Transformaciones en el plano

3ESOMAMU_AM_ESU11Unidad 11 Funciones

3ESOMAMU_AM_ESU12Unidad 12 Funciones lineales y afines

3ESOMAMU_AM_ESU13Unidad 13 Estadstica

3ESOMAMU_AM_ESU14Unidad 14 Probabilidad

eso_3º - act. de ampliación matematicas (multiplo)

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