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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

ESIME Ticoman Ingeniería en Aeronáutica

_______________________________

PROPUESTA ALTERNATIVA DE UN MODELO CONTROL DE RETRACCIÓN Y EXTENSIÓN DEL TREN DE

ATERRIZAJE PRINCIPAL DEL BOEING 727.

_______________________________

TESINA

QUE PARA OBTENER EL TITULO PROFESIONAL DE INGENIERO EN AERONAUTICA

PRESENTA:

JORGE ENRIQUE AVALOS SUAREZ

POR OPCIÓN DE TITULACIÓN:

SEMINARIO DE SISTEMAS DE AVIONICA

ASESOR:

Ing. RODRIGO AVILES VILLAREAL

MEXICO, D.F. 2015

AGRADECIMIENTOS

A mi padre con su esfuerzo y sudor pude obtener estudios por el Instituto

Politécnico Nacional preocupándose por las necesidades requeridas durante mi

estancia de la licenciatura de Ingeniería en Aeronáutica. Estoy muy agradecido y

emocionado por mi carrera y mis conocimientos que me han podido llevar a cabo

una satisfacción muy emocional. GRACIAS, PADRE MÍO. Y darle las gracias al

Ingeniero Rosendo por haber tenido el apoyo económico y junto a mi padre tenerlo

presente como un señor totalmente agradecido yo mismo por su actitud y consejo.

GRACIAS Ingeniero Rosendo. Donde pude ver humildad entre estas dos

personas. GRACIAS.

Vieja madera para arder, viejo vino para beber, viejos amigos en quien confiar, y viejos autores para leer. Sir Francis Bacon (1561-1626)

A mi madre que siempre se ha preocupado por mis actitudes y mi lapso escolar y

he tenido la oportunidad de contar con su apoyo siempre que yo lo requiera.

GRACIAS, MADRE MÍA.

Una casa será fuerte e indestructible cuando esté sostenida por estas cuatro columnas: padre valiente, madre prudente, hijo obediente, hermano complaciente.

(551 AC-478 AC) Filósofo chino

A mis hermanos Ing. Patricia, Lic. Milther, Ing. Georgina, Ing. Monserrat, Tec.

Instrumentista Wilberth, por contar con sus apoyos honorables y que se han

preocupado por mis problemas y lo han llevado acabo junto a ellos para ponerles

fin a tal situación y estoy muy satisfechos por sus apoyos tanto en la parte

económica como en la parte medica. GRACIAS, HERMANOS.

Darle las gracias a mi tía que he contado con su apoyo económico y me ha podido

apoyar en circunstancias bajas y se lo agradezco de una forma muy honesta.

A mí cuñado Dr. Rullan y Ing. Andrés donde estoy agradecido por sus actos

honorables donde me ha podido llevar al ambiente del estudio y de su apoyo en la

ingeniería. GRACIAS, CUÑADO.

Un padre no es el que da la vida, eso sería demasiado fácil, un padre es el que da el amor. Denis Lord (1900-1957)

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=60

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=1512

Instituto Politécnico Nacional ESIME Ticoman

Ingeniería en Aeronáutica

Resumen

La ingeniería de control se ha desarrollado desde el siglo III. Las personas se preguntan,

como controlar un sistema mecánico.

En el siglo XVII, los científicos le llamaron a los sistemas controlados como “ingeniería de Control”.

En la actualidad, estos sistemas se han estado controlando con la tecnología moderna.

Los sistemas mecánicos fueron el mejor avance tecnológico en la edad media. Sin embargo la

electrónica se ha estado involucrando con los sistemas mecánicos, en los que se tiene como

resultado una buena ingeniera.

El diseño de sistemas estables también se conoce como ingeniería de control.

En la mayoría de los aviones, el tren de aterrizaje describe un arco de 90º aproximadamente, este

sistema de aterrizaje se ha instalado desde 1935 y seguirá instalándose probablemente en futuras

generaciones.

El sistema tren de aterrizaje ha sido un diseño muy efectivo, la aviación necesita un sistema seguro,

principalmente en los aviones para sus despegues de aterrizaje.



Abstract

Control engineering has been developed since the III century. People wonder, how can any

mechanical system be controlled?

In the XVII century, scientists started naming the controllable systems as “Control Engineering”.

Nowadays, the current technological advances have allowed these systems´ control.

The mechanical systems were one of the best advances of the middle-age; presently electronics has

been involved with mechanical systems, which has resulted in very effective engineering.

System design is also named “Control Engineering”.

In many airplanes, the landing gear´s operation describes an approximate 90° angle as it extends or retracts. This type of landing gear system has been used since 1935 and these systems will probably be installed in future airplane designs. The landing gear system must be well designed, as aircraft need a safe system, mainly for landing

and takeoff.



Índice

TITULO Página

Protocolo de Investigación

Marco contextual: Ingeniería en control en sistemas ingeniosos………………1

Situación problemática…………………………………………………………………2

Planteamiento del problema…………………………………………………………...3

Objetivos…………………………………………………………………………………..3

Objetivo general……………………………………………………………………3

Objetivos específicos……………………………………………………………...3

Preguntas de investigación……………………………………………………………3

Hipótesis…………………………………………………………………………………..3

Matriz de operacionalización de variables…………………………………………..4

Tipo de Investigación……………………………………………………………………5

Método de Investigación………………………………………………………………..5

Justificación………………………………………………………………………………5

Oportunidad………………………………………………………………………..5

Relevancia social………………………………………………………………….5

Implicación práctica ……………………………………………………………….5

Valor Teórico……………………………………………………………………….5

CAPITULO 1

Teoría de control

APARTADO 1

Métodos de solución para un sistema dinámico

Introducción………………………………………………………………………………6



Equilibrio perfecto usando El Principio d’ Alembert………………………6

Método por Energías…………………………………………………………….7

Método de LaGrange…………………………………………………………….8

Método de Hamilton……………………………………………………………..8

APARTADO 2

La función de transferencia y respuestas en función del tiempo

Introducción……………………………………………………………………………..10

Linealidad………………………………………………………………………..10

Respuesta de un sistema con respecto a una entrada escalón……….11

Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden……………..11

La función de transferencia…………………………………………………..12

Elementos de primero y segundo orden…………………………………...13

Respuestas de la función del tiempo de un sistema de primer orden……………...15

Respuestas de la función del tiempo de un sistema de segundo orden……………18

APARTADO 3

Diagramas de bloques para control

Introducción……………………………………………………………………………..22

Diagrama de bloques…………………………………………………………..22

Elementos de un diagrama de bloques…………………………………….22

Trayectoria de la señal………………………………………………………...23

Bloques en serie………………………………………………………………..23

Bloques con lazos de realimentación………………………………………24

Bloques en serie y con un lazo de realimentación………………………24

Bloques en paralelo……………………………………………………………25



APARTADO 4

Estabilidad y los polos-ceros de 𝐆(𝐬)

Introducción……………………………………………………………………………..26

Estabilidad……………………………………………………………………….26

Polos y ceros……………………………………………………………………27

Geometría de polos y ceros…………………………………………………..28

Salidas con diferentes polos con entrada impulso………………………29

Salidas con diferentes polos con entrada escalón………………………30

APARTADO 5

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Introducción……………………………………………………………………………..31

Método de Routh-Hurwitz……………………………………………………..31

Error en estado estable………………………………………………………..32

APARTADO 6

Control en Matlab y Simulink

Introducción……………………………………………………………………………..33

Control en Matlab……………………………………………………………….33

Simulink…………………………………………………………………………..35



APARTADO 7

Tren de aterrizaje principal del Boeing 727

Introducción……………………………………………………………………………..41

Tren de aterrizaje principal……………………………………………………41

Safety switch…………………………………………………………………….42

Sistema de actuación de extensión y retracción del tren de aterrizaje

principal…………………………………………………………………………..43

Retracción y extensión………………………………………………………..44

Puertas del tren de aterrizaje principal……………………………………..45

CAPITULO 2

Desarrollo y análisis de diseño de control del

amortiguamiento para el Tren de Aterrizaje del Boeing

727

Introducción……………………………………………………………………………..46

Planteamiento…………………………………………………………………...46

Desarrollo analítico…………………………………………………………….48

Análisis del sistema del tren de aterrizaje principal……………………..55

Diseño de amortiguamiento para concretar la estabilidad del tren de

aterrizaje principal a partir de nuestro diagrama de bloques…………..57



CAPITULO 3

Conclusiones demostrativas de diseño de


727

Demostración……………………………………………………………………65

Resultados finales (Graficas de Estabilidad)……………………………...67

Diseños de amortiguamiento del tren de aterrizaje del Boeing 727…..69

Bibliografía……………………………………………………….70



Lista de Tablas y Figuras

FIG. 2.0 A. a) Resorte ideal, b) Resorte real.

FIG. 2.1 B. Relación no lineal.

FIG. 2.2 C. a) Para una entrada escalón, b) No amortiguamiento, c) Algún

amortiguamiento, d) Amortiguamiento alto.

FIG. 2.3 D. Respuesta de un sistema de segundo orden con diferentes amortiguamientos.

FIG. 2.4 E. Diagrama de bloques de una función de transferencia.

FIG. 2.5 F. Grafica de la respuesta escalón de un sistema de primer orden.

FIG. 2.6 G. Grafica de la respuesta rampa de un sistema de primer orden.

FIG. 2.7 H. Grafica de la respuesta impulso de un sistema de primer orden.

FIG. 2.8 I. Respuesta en estado estable con entrada rampa unitaria de un sistema de

segundo orden.

FIG. 2.9 J. Tipos de estados estables más las respuestas transitorias con diferentes

grados de amortiguamiento.

FIG. 2.10 K. Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada impulso en t = 0.

FIG. 3.0 A. Diagrama de bloques.

FIG. 3.1 B. Tipos de trayectorias de señal.

FIG. 3.2 C. a) Realimentación negativa, b). Realimentación positiva.

FIG. 3.3 D. Diagrama de bloque de un sistema de lazo cerrado.

FIG. 3.4 E. Diagrama de bloque de lazo de pre-alimentación.

FIG. 4.0 A. Graficas con salidas 𝜃𝑜 de sistemas estables o inestables. FIG. 4.1 B. Geometría de polos y ceros. FIG. 4.2 C. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada impulso. FIG. 4.3 D. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada escalón. FIG. 6.0 A. Tabla de algunos bloques. FIG. 7.0 A. Tren de aterrizaje principal

FIG. 7.1 B. Tren de aterrizaje principal en vista lateral.


Ingeniería en Aeronáutica FIG. 7.2 C. Safety switch del tren de aterrizaje principal.

FIG. 7.3 D. Tren de aterrizaje principal extensión.

FIG. 7.4 E. Retracción y extensión del tren de aterrizaje principal.

FIG. 7.5 F. Muestra del actuador (SIDE STRUT).

FIG. 7.6 G. Puertas del tren de aterrizaje principal.



Glosario

𝑟= Vector de Posición. 𝑚𝑡= Masa Total del Tren de Aterrizaje. 𝜃= Angulo De Salida del Tren de Aterrizaje. 𝐹(𝑡)= Fuerza de Excitación. 𝑙= Longitud del eslabón Tren de Aterrizaje.

𝑙= Longitud del eslabón desde el punto de unión hasta la conexión de los eslabones que generan el momento 𝑀(𝑡). 𝐺(𝑠)= Función de Transferencia. 𝐺(𝑠)𝑇= Función de Transferencia Total. 𝑐= Amortiguamiento. 𝜁= Factor de Amortiguamiento. 𝐾= Amplificador de variación o ganancia proporcional. ��= Peso del Tren de Aterrizaje. δ= Angulo entre el actuador y el eje horizontal.

α= Angulo entre el DOWN-LOCK y el eje horizontal.

β= Angulo entre el SIDE-STRUT y el eje horizontal.



1

1.0 Marco contextual: Ingeniería en control en sistemas ingeniosos. [1]

La ingeniería de control se fue dando de una forma más oculta a su nombre de

control pero visible en aquellos sistemas clásicos inventados por grandes

personajes de la ciencia.

En la antigua Grecia hubo tres mecánicos Ktesibios, Philon y Heron.

El primero llamado Ktesibios, en el siglo III diseña un reloj de agua llamado

Clepsydra. Estos relojes consistían en un mecanismo en el cual el objetivo era que

el nivel de un depósito de agua subiera con una velocidad constante.

Philon de Bizancio, diseño un sistema de regulación de nivel de una lámpara de

aceite. Cuando el aceite se quemaba, el nivel del depósito de aceite bajaba

haciendo que entrara aceite en otro depósito de forma que esté suministraba más

aceite al depósito de la lámpara.

En el siglo I antes de cristo, Herón de Alejandría escribió una enciclopedia técnica

allí estando Pneumática y Autómata. En Pneumática describe varios temas sobre

realimentación y en Autómata presenta complicados aparatos que ejecutan un

programa fijo.

En la imagen siguiente se puede ver un sistema de realimentación de dispensador

de vino, donde el funcionamiento se puede ver en el libro de Herón.

En la Edad Media se desarrollaron importantes técnicas pero en el tema de

realimentación existen pocos inventos. Solo un sistema de control de un molino de

harina realizado por H.U. Lansperg hacia el 1200, tal que la cantidad de grano

suministrada al molino dependía de la fuerza del viento y la dureza del grano sin

pretender moler a velocidad constante.

FIG. 1. Sistema de realimentación

de dispensador de vino



2

En el siglo XVII hubo diversos sistemas de regulación de temperatura, como por

ejemplo los aplicados en el horno y la incubadora de Drebel. En la regulación de

temperatura consiste que si la temperatura sube se dilata el contenido de un

depósito de alcohol tal que se abre un sistemas de palancas que abre un orificio

de salida de gases.

En 1745, E. Lee inventa un sistema para controlar automáticamente la orientación

e inclinación de las aspas de los molinos de viento, tal que se aprovechara mejor

la dirección del viento. Este invento fue patentado con el nombre de Self-regulating

Wind Machine.

Cuando Watt se dedicaba a perfeccionar su regulador de bolas. Laplace y Fourier

desarrollaban los métodos de Transformación Matemática muy utilizados y

asumidos en la Ingeniería Eléctrica y al igual en la ingeniería de control moderno.

Maxwell plantea la forma de estudiar la estabilidad de un sistema dinámico en

función de la localización de la raíces de su ecuación característica.

En 1877 Routh resuelve el problema de Maxwell en su trabajo “A treatise on the

stability of a given state of motion” ganando el premio Adams.

En 1885 Hurwitz de forma independiente utilizando las técnicas de Cauchy y

Hermite resuelve el mismo problema en términos de un conjunto de

determinantes. En 1911 Bompiani demostraría la equivalencia de los criterios de

Routh y Hurwitz.

En 1889 Liapunov presenta sus trabajos sobre estabilidad, donde servían para la

teoría moderna de control.

A finales del siglo XIX y XX en 1912 del premio Nobel de Fisica al sueco Dalen por

su desarrollo de reguladores automáticos.

1.1 Situación problemática

Bridgestone México brinda consejos de seguridad vial con su misión de servir a la

sociedad con calidad, continua con éxito la implementación de su campaña

“Piensa antes de conducir” en la versión dirigida a niños, futuros conductores y

grandes consejeros de sus padres. Como todos los años, “Piensa Antes de

Conducir Kids” se presenta en escuelas primarias públicas y privadas. [2]

Nuevo sistema de control automático para vehículos hipersónicos: Unos

ingenieros de la Universidad de Ohio han diseñado un Software para el sistema de



3

control que es capaz de pilotar y de adaptarse a las condiciones cambiantes

durante el vuelo. [3]

1.2 Planteamiento del problema

¿Cuál es el diseño de amortiguamiento para estabilizar el tren de aterrizaje

principal del BOEING 727 y su grafica de estabilidad por medio de la ingeniería de

control?

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo general

Diseñar el amortiguamiento y mostrar la gráfica de estabilidad del sistema tren de

aterrizaje principal del BOEING 727 por medio de la ingeniería de control.

1.3.2 Objetivos específicos

Diseñar los factores de amortiguamiento que puede contener el tren de aterrizaje

principal del BOEING 727 para ser estable o amortiguado.

Mostrar la gráfica de estabilidad que corrobore que el sistema de amortiguamiento

del tren de aterrizaje principal del BOEING 727 diseñado es correcto.

1.4 Preguntas de investigación

¿Cuál es el factor de amortiguamiento para el tren de aterrizaje principal del

BEOING 727 para ser estable?

¿Cómo es el comportamiento de la gráfica que representa el amortiguamiento del

sistema tren de aterrizaje principal del BOEING 727?

1.5 Hipótesis

Si se determina el factor de amortiguamiento adecuado entonces se conocerá la

estabilidad que hay en el tren de aterrizaje principal del BOEING 727.

Y Efecto (variable dependiente): Diseño del diagrama de bloques de control

X Causa (variable independiente): Gráficos de estabilidad

X → Y



4

1.6 Matriz de operacionalización de variables

Variable Definición

conceptual

Definición

operacional

Dimensión Indicador

Y

Diagrama de

bloques

Es un cuadro de flujo de control en donde se lleva a cabo el proceso de todo el sistema

X

Gráficos de

control de

Son gráficos que demuestran la estabilidad o inestabilidad del algún sistema en estudio.

Prueba de laboratorio.

𝜃 / 𝑡



5

1.7 Tipo de Investigación

El método de investigación será del tipo analítico ya que se analizara el efecto que

tendrá la variable independiente (gráficos de estabilidad) con la otra dependiente

(diagrama de bloques) para obtener un modelo matemático del fenómeno que

estamos estudiando.

1.8 Método de Investigación

El método a usar será del tipo analítico, ya que se va tratar de analizar todo tipo

de efectos que produzcan relación sobre el fenómeno, es decir análisis de todo el

sistema que estaremos estudiando.

1.9 Justificación

1.9.1 Oportunidad

La oportunidad de demostrar la estabilidad y el control que tiene un tren de

aterrizaje para poder tener un análisis de buen calculo.

1.9.2 Relevancia social

Es un método que se llevara a cabo para analizar un sistema dinámico de un tren

de aterrizaje en la sociedad debe tener la absoluta confianza de una calidad de

ingeniería.

1.9.3 Implicación práctica

Es un análisis de estabilidad y control para demostrar que un sistema dinámico de

tren de aterrizaje está en buenas condiciones de hacer despegue y aterrizaje.

1.9.4 Valor Teórico

Es un forma de comprender como ha evolucionado la teoría de control hasta hoy

en día, una teoría de ingeniera muy confiable para demostrar seguridad en

sistemas dinámicos en nuestro caso y se demuestra un proyecto de cómo se

realiza un proceso de control y estabilidad en un sistema dinámico de tren de

aterrizaje



6

CAPITULO 1

Teoría de control

APARTADO 1

Métodos de solución para un sistema dinámico [4]

Introducción

En este apartado consiste de métodos energéticos y método de inercia para

obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico, tomando en

cuenta diferentes aspectos de movimiento que se tiene en esté.

Equilibrio perfecto usando El Principio d’ Alembert

A partir de la segunda Ley de Newton

F = ma {1a}

Dónde:

F = fuerza

m = masa

El método consiste en apreciar el fenómeno dinámico construyendo el modelo

matemático en donde se comienza describiendo los vectores posibles en el

sistema como se muestra a continuación:

Ecuación de posición que describe el Centro de Masa:

r = xi + yj + zk {1b}

Derivando la ecuación {1b}:

dr

dt=dx

dti +

dy

dtj +

dz

dtk {1c}

Derivando la ecuación {1c}:



7

d2r

dt2=d2x

dt2i +

d2y

dt2j +

d2z

dt2k {1d}

Así mismo la suma de momentos o momentos de palanca posibles en el

sistema dinámico son:

ΣMx = Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+Mxn {1e}

ΣMy = My1 + My2 + My3 +⋯+Myn {1f}

ΣMz = Mz1 + Mz2 +Mz3 +⋯+Mzn {1g}

Sustituyendo vectorialmente las ecuaciones {1b}, {1d}, {1e}, {1f} y {1g} en la

ecuación {1h}:

r × md2r

dt2= M {1h}

La forma general expresada matricialmente de {1h}, queda de la siguiente

manera:

[xyz] × m [

xyz] = [

Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+MxnMy1 + My2 + My3 +⋯+MynMz1 + Mz2 + Mz3 +⋯+Mzn

] {1i}

Método por Energías

Consiste en la suma la suma de energías cinéticas, potenciales y de trabajo para

la obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema:

Presentar las energías dinámicas

ΣEk = cte ENERGIAS CINETICAS

ΣEp = cte ENERGIAS POTENCIALES



8

Teniendo todas las energías presentes en el sistema se suma como se

muestra a continuación:

ΣEk + ΣEp = Cte {1j}

Tener una ecuación diferencial de segundo orden y se finaliza teniendo la

ecuación dinámica del sistema como se muestra:

ad2x

dt2+ b

dx

dt+ cx = GDL {1k}

Método de LaGrange

Consiste en la suma de energías cinéticas y energías potenciales sustituyendo

estas en la ecuación de Lagrange:

d

dt(∂L

∂φ) −

∂T

∂φ+∂U

∂φ= Q {1l}

Dónde:

L = T − U

T = Suma de energías cinéticas presentadas en el sistema en función de ϕ.

U = Suma de energías potenciales presentadas en el sistema en función de ϕ.

Método de Hamilton [0]

Por último se menciona el principio de Hamilton que consiste en integrar las

ecuaciones de movimiento cuando las fuerzas son conservativas y los enlaces

independientes del tiempo:

L = T − U {1m}

La ecuación anterior se llama “Función Lagrangiana”.

Dónde:

T= Energía cinética.



9

U= Energía potencial.

L= Es función de las qi y qi.

Dónde qi y qi son las incógnitas que varían con respecto al tiempo ya sea por

ejemplo posicionamiento qi y velocidad qi.

Ahora se define como “Hamilton” o “Función Hamiltoniana” representado como H:

H = Σpiqi − L {1n}

pi, son las “cantidades de movimiento” conjugadas de las coordenadas

generalizadas qi y están definidos como las derivadas parciales de la energía

cinética.

pi =∂T

∂qi {1ñ}

Ahora no hay enlaces dependientes del tiempo y las fuerzas son conservativas:

2T = Σaijqiqj {1o}

pi = Σaijqj {1p}

Luego de estas dos ecuaciones anteriores tenemos:

Σpiqi = Σaijqiqj = 2T {1q}

Así, la “Función Hamiltoniana” queda expresada de la siguiente forma:

H = 2T − L = 2T − (T − U) = T + U

H = T + U {1r}

Dónde la ecuación anterior H representa la energía total y se deriva dos veces:

ad2x

dt2+ b

dx

dt+ cx = GDL {1s}



10

APARTADO 2

La función de transferencia y respuestas en función del tiempo. [5]

Introducción

En este apartado podemos verificar las distintas formas de respuestas a la que se

lleva acabo el análisis de un sistema en estudio con respecto a la función de

transferencia.

Linealidad

El principio de superposición es una condición necesaria para un sistema lineal.

Otra condición para un sistema lineal es que si una entrada F1 produce una

deformación x1, entonces una entrada cF1 producirá una salida cx1, donde c es

una constante multiplicativa. Por lo tanto cuando la relación es lineal, la gráfica de

la fuerza F contra x es una línea recta que pasa justamente por el origen. Por

ejemplo un resorte ideal. Ahora bien, un resorte real, no es perfectamente lineal,

pero puede existir un intervalo de operación en la cual suponemos linealidad. Los

dos casos se representan gráficamente en la figura 2.0 A.

También existen casos de relaciones no lineales, en la que las relaciones se

comportan geométricamente de formas diferentes, como se puede mostrar en la

figura 2.1 B.

FIG. 2.1 B. Relación no lineal

FIG. 2.0 A. a) Resorte ideal, b) Resorte real



11

Respuesta de un sistema con respecto a una entrada escalón

Un sistema que se estudiara, su control y estabilidad tiene que tener una entrada

para ver su comportamiento funcional. Esté comportamiento funcional nos dará

una salida que variará con el tiempo, ya sea x, ésta variable variará con el tiempo;

es decir esto dependerá de la cantidad de amortiguamiento en el sistema. En la

figura 2.2 C se pueden ver tipos de variación de salidas con respecto a una

entrada escalón y en la figura 2.3 D se presentan respuestas de segundo orden

con diferentes amortiguamientos.

Medidas de desempeño para sistemas de segundo orden

En la figura 2.4 E se presentan diferentes conceptos que especifican tales

desempeños como se muestra a continuación.

Tiempo levantamiento (tr) es el tiempo que toma a la respuesta θo levantarse

desde 0 hasta el valor en estado estable θss y es la medida de que tan rápido el

sistema responde a una entrada con un tiempo de cuarto de ciclo para que la

respuesta oscilatoria sea completada.

ωtr =1

2π

FIG. 2.3 D. Respuesta de un sistema de segundo orden con diferentes amortiguamientos

FIG. 2.2 C. a) Para una entrada escalón, b) No amortiguamiento, c) Algún amortiguamiento, d) Amortiguamiento alto



12

Haciendo una pausa, se deja la

ecuación diferencial de segundo

orden en términos específicos

𝑑2𝜃𝑜

𝑑𝑡2+ 2𝜁𝜔𝑛

𝑑𝜃𝑜

𝑑𝑡+𝜔𝑛

2𝜃𝑜 = 𝑏1𝜔𝑛2𝜃𝑖

Donde 𝜁 factor de amortiguamiento

relativo y 𝜔𝑛 es la frecuencia angular

con la cual el sistema oscilara

libremente en presencia de cualquier

amortiguamiento.

Tiempo pico (tp) es el tiempo que toma a la respuesta levantarse desde 0 hasta el

primer valor pico con un tiempo de medio ciclo para que la respuesta oscilatoria

sea completada.

ωtp = π

Sobrepaso es la máxima cantidad que adquiere la respuesta por encima del valor

en estado estable; es decir es la amplitud del primer pico.

Tiempo de asentamiento (ts) se emplea como una medida del tiempo que toman

las oscilaciones en desaparecer; es decir es el tiempo que toma a la respuesta

decaer y mantenerse dentro de un porcentaje especificado por ejemplo 2% dentro

del estado estable esto significa que la amplitud de la oscilación debe ser menor

que el 2% de θss.

La función de transferencia

Ahora bien supongamos que un sistema está relacionada con una entrada θi y con

una salida θo con la ecuación diferencial que se presenta a continuación.

a2d2θo

dt2+ a1

dθo

dt+ aoθo = b1θi {2a}

Donde los coeficientes son constantes.

Si todas las condiciones iniciales son cero,

entonces la transformada de Laplace de esta

ecuación es.

a2s2θo(s) + a1sθo(s) + aoθo(s) = b1θi(s)

La función de transferencia G(s) de un

sistema lineal que describe su

comportamiento dinámico se define como el cociente de la transformada de

Laplace de la variable de salida θo(s) entre la transformada de Laplace de la

variable de entrada θi(s), suponiendo que todas las condiciones iniciales son cero.



13

En la figura 2.4 E, se muestra la función de transferencia mediante diagramas de

bloques con una entrada θi(s) y una salida θo(s).

La función de transferencia de la ecuación diferencial queda.

G(s) =θo(s)

θi(s)=

b1a2s2 + a1s + ao

{2b}

Elementos de primero y segundo orden

El orden de un elemento se define como la máxima potencia de s en el

denominador de la función de transferencia. Un elemento de primer orden tendrá a

s como a la potencia de1, mientras que un elemnto de segundo orden tendrá a s

como a la potencia de2.

Para un elemento de primer orden la ecuación diferencial es de la forma.

a1dθodt

+ aoθo = boθi {2c}

Ahora bien la función de transferencia queda.

G(s) =bo

a1s + ao {2d}

Si la acodamos de la siguiente forma.

G(s) =

boao

(a1ao) s + 1

{2e}

Donde bo

ao es la función de transferencia en estado estable G del sistema y

a1

ao es la

constante de tiempo τ del sistema.

FIG. 2.4 E. Diagrama de bloques de una función de transferencia



14

Así que

G(s) =G

τs + 1 {2f}

Esta es la relación de entrada-salida en el dominio de s para un sistema de primer

orden.

Para un elemento de segundo orden la ecuación diferencial es de la forma.

a2d2θodt2

+ a1dθodt

+ aoθo = b1θi {2g}

Ahora bien la función de transferencia queda.

G(s) =θo(s)

θi(s)=

b1a2s2 + a1s + ao

{2h}

Si la acodamos de la siguiente forma.

G(s) =

b1ao

(a2ao) s2 + (

a1ao) s + 1

{2i}

Recordando que la ecuación diferencial queda en términos específicos.

d2θodt2

+ 2ζωndθodt

+ ωn2θo = b1ωn

2θi {2j}

Así que la función de transferencia queda

G(s) =θo(s)

θi(s)=

b1ωn2

s2 + 2ζωns + ωn2 {2k}

Esta es la relación de entrada-salida en el dominio de s para un sistema de

segundo orden.



15

Respuestas de la función del tiempo de un sistema de primer orden

Respuesta escalón de un sistema de primer orden

Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada

escalón. Recordando la relación de entrada-salida en el dominio de s para un

sistema de primer orden.

G(s) =G

τs + 1 {2l}

La transformada de Laplace de la salida es

G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)

La transformada de Laplace para una entrada escalón unitario en t = 0 es 1

s.

Entonces la entrada

Transformada de Laplace de la salida =G

τs+1∗1

s

La transformada queda

a

s(s + a)

Ahora con todo esto, para una entrada escalón unitario. Su grafica se muestra en

la figura 2.5 F.

θo = G [1 − e−tτ] {2n}



16

Si el escalón es de magnitud A.

θo = AG [1 − e−tτ] {2ñ}

Respuesta rampa de un sistema de primer orden

Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada

escalón.

G(s) =G

τs + 1 {2o}



La transformada de Laplace para una entrada rampa de pendiente unitaria en t =

0 es 1

s2. Entonces la entrada


τs+1∗1

s2

FIG. 2.5 F. Grafica de la respuesta

escalón de un sistema de primer

orden



17


a

s2(s + a)

Ahora con todo esto, la salida θo para una rampa de pendiente unitario. Su grafica

se muestra en la figura 2.6 G.

θo = G [t − τ(1 − e−tτ)] {2p}

Para una rampa de pendiente A, es decir, θi = At.

θo = GA [t − τ(1 − e−tτ)] {2q}

Respuesta impulso de un sistema de primer orden

Comportamiento de un sistema de primer orden cuando tiene una entrada impulso

θo = (G

τs + 1) {2r}



FIG. 2.6 G. Grafica de la respuesta

rampa de un sistema de primer

orden



18

La transformada de Laplace para una entrada rampa de pendiente unitaria en t =

0 es1. Entonces la entrada


τs+1∗ 1


1

s + a

Ahora con todo esto, la salida para un impulso unitario. Su grafica se muestra en

la figura 2.7 H.

θo = G(1

τ) e−

tτ {2s}

Si el impulso tiene una magnitud A.

θo = GA(1

τ) e−

tτ {2t}

Respuestas de la función del tiempo de un sistema de segundo orden

Respuesta escalón de un sistema de segundo orden

La salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada escalón

unitario.

Transformada de Laplace de la salida = G(s) ∗

(Transformada de Laplace de la entrada)

FIG. 2.7 H. Grafica de la respuesta

impulso de un sistema de primer

orden



19

θo(s) =boωn

2

s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2u}

Para un escalón unitario, θi(s) =1

s, entonces.

θo(s) =boωn

2

(s2 + 2ζωns + ωn2)s {2v}

Por lo tanto queda.

θo(s) = bo [1 −1

√(1 − ζ2)exp (−ζωnt) sin [ωn√(1 − ζ2)t + ϕ]] {2w}

Respuesta rampa de un sistema de segundo orden

La salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada rampa

unitaria.

Transformada de Laplace de la salida= G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)

θo(s) =boωn

2

s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2x}

Para una rampa unitaria, θi(s) =1

s2, entonces.

θo(s) =boωn

2

(s2 + 2ζωns + ωn2)s2 {2y}



20

Por lo tanto queda.

θo(s) = bo [t −2ζ

ωn+ Cexp(m1t) + Dexp(m2t)] {2z}

Respuesta impulso de un sistema de segundo orden

Salida de un sistema de segundo orden cuando tiene una entrada impulso unitario

t = 0.

Transformada de Laplace de la salida= G(s) ∗ (Transformada de Laplace de la entrada)

θo(s) =boωn

2

s2 + 2ζωns + ωn2∗ θi(s) {2aa}

Un impulso unitario en t = 0, θi(s) = 1, entonces.

θo(s) =boωn

2

s2 + 2ζωns + ωn2 {2bb}

FIG. 2.8 I. Respuesta en estado

estable con entrada rampa unitaria

de un sistema de segundo orden.

FIG. 2.9 J. Tipos de estados

estables más las respuestas

transitorias con diferentes

grados de amortiguamiento.



21

Por lo tanto queda.

θo(s) =boωn

2

√(1 − ζ2)exp(−ζωnt) sin [ωn√(1 − ζ2)t] {2cc}

FIG. 2.10 K. Respuesta de un

sistema de segundo orden a una

entrada impulso en 𝑡 = 0.



22

APARTADO 3

Diagramas de bloques para control. [5]

Introducción

En este apartado se demuestra las formas en la que se puede simplificar algún

diagrama de bloques, para llegar al objetivo de nuestra respuesta final para el

análisis de comportamiento de control.

Diagrama de bloques

Es un conjunto de bloques conteniendo flechas de dirección para representar el

flujo de un sistema que se ha analizado. Como se muestra en la figura 3.0 A.

Elementos de un diagrama de bloques.

Las flechas se usan para representar las direcciones de flujo de la señal.

Un punto suma es en el que las señales se suman algebraicamente.

El bloque representa a la función de transferencia escrita dentro de él.

Punto de separación es de la misma forma de un circuito eléctrico, donde la

unión entre dos conductores permite que la corriente se separe, es decir, la

unión se representa mediante el encuentro de dos líneas.

FIG. 3.0 A. Diagrama de bloques



23

Trayectoria de la señal

Trayectoria directa es usual para los elementos a través de los cuales pasa la

señal en dirección entrada-salida en todo el sistema, como se muestra en la figura

3.1 B.

Trayectoria de realimentación se usa para los elementos por los cuales pasa la

señal cuando se alimenta de regreso desde la salida hasta la entrada.

Trayectoria de pre-alimentación se usa para los elementos que están en paralelo

con la otra trayectoria directa y atraves de los cuales la señal se mueve en la

misma dirección, entrada-salida.

Bloques en serie

Los bloques en serie se multiplican de forma lineal, de la siguiente forma.

G(s) = G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s) {3a}

FIG. 3.1 B. Tipos de trayectorias de señal.



24

Bloques con lazos de realimentación

La ecuación de este bloque se representa de la siguiente forma, como se muestra

en la figura 3.2 C.

Si la realimentación es negativa.

G(s) =G1(s)

1 + G1(s)H(s) {3b}

Si la realimentación es positiva.

G(s) =G1(s)

1 − G1(s)H(s) {3c}

Bloques en serie y con un lazo de realimentación

La función de transferencia de la trayectoria directa, se representa de la siguiente

manera.

G(s) = G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s) {3e}

FIG. 3.2 C. a) Realimentación negativa, b). Realimentación positiva.



25

Ahora, ya tenemos una función de transferencia de la trayectoria directa y un lazo

de realimentación con una función de transferencia H(s). La ecuación final queda.

Este modelo se muestra en la figura 3.3 D.

G(s) =θo(s)

θi(s)=

G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s)

1 + [G1(s) ∗ G2(s) ∗ G3(s)]H(s) {3f}

Bloques en paralelo

Es un sistema de control con lazo de pre-alimentación. Como se muestra en la

figura 3.4 E.

Ahora bien para representar este diagrama en su ecuación queda.

θo(s) = G1(s)θi(s) + G2(s)θi(s) {3g}

Por lo tanto queda la función de transferencia general.

G(s) = G1(s) + G2(s) {3h}

Si las señales se hubieran sustraído en el punto suma, quedaría.

θo(s) = G1(s)θi(s) − G2(s)θi(s) {3i}

Por lo tanto su función de transferencia general es.

G(s) = G1(s) − G2(s) {3j}

FIG. 3.3 D. Diagrama de bloque de un sistema de lazo cerrado.

FIG. 3.4 E. Diagrama de bloque de lazo de pre-alimentación.



26

APARTADO 4

Estabilidad y los polos-ceros de 𝐆(𝐬). [5]

Introducción

En este apartado podemos ver diferentes entradas que no dan el resultado de

alguna salida, donde este resultado da la ventaja de saber si la salida del algún

sistema es estable o inestable.

Estabilidad

Un sistema de control tiene un requerimiento importante, es que debe ser estable.

Esto significa, que si el sistema tiene una entrada de magnitud finita, por lo tanto la

salida debe de ser finita de igual modo pero no infinita.

En otras palabras, un sistema se define como estable, sí toda entrada acotada

(finita), produce una salida acotada (finita).

Ahora bien, toda entrada escalón, debe producir salidas finitas.

Si, el sistema tiene una entrada impulso y la salida del sistema tiende a infinito a

medida que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Pero si la

salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente

de cero, entonces el sistema es crítica o marginalmente estable.



27

Gráficas de sistemas estables e inestables

Se presentan diferentes gráficas con salidas θo, para distinguir, si un sistema es

estable o inestable. Como se muestra en la figura 4.0 A.

La grafica a) tiene una salida θo = 2t y el

sistema es estable.

La grafica b) tiene una salida θo = 5 y el sistema es estable.

La grafica c) tiene una salida θo = e−t y el sistema es estable.

La grafica d) tiene una salida θo = et y el sistema es inestable.

Polos y ceros

La función de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema se presenta de

forma general de la siguiente forma.

G(s) =K(sm + am−1s

m−1 + am−2sm−2 +⋯+ a1s + ao)

(sn + bn−1sn−1 + bn−2sn−2 +⋯+ b1s + bo)

Ahora bien, si se factoriza la función G(s) tanto el numerador como el

denominador, queda:

G(s) =K(s + z1)(s + z2)… (s + zm)

(s + p1)(s + p2)… (s + pn)

Las raíces del numerador son los zm, y se denominan ceros. Las raíces del

denominador son los pn y se denominan polos. Donde K es una constante

multiplicadora o la ganancia del sistema.

FIG. 4.0 A. Graficas con salidas 𝜃𝑜 de sistemas estables o inestables.



28

Los ceros son las raíces del numerador de G(s), que significa que la función de

transferencia se convierta en cero. Y los polos son las raíces del denominador de

G(s), que significa que la función de transferencia es infinita, así que estos hacen

que el denominador sea cero.

Los polos y los ceros pueden ser cantidades reales o complejas y se pueden

escribir.

s = σ + ωj

Donde esto representa un número complejo con parte real σ y parte imaginaria ω.

Geometría de polos y ceros

Los polos y los ceros de una función de transferencia G(s), se pueden representar

mediante el diagrama de eje imaginario y eje real; es decir cómo se puede

representar la geometría de un número complejo σ + ωj, como se muestra en la

figura 4.1 B.

FIG. 4.1 B. Geometría de polos y ceros



29

En la imagen se puede ver un polo y un cero geométricamente. El polo tiene

número real de −1 y número complejo de +1, el cero tiene numero real de +1 y no

tiene número imaginario.

Salidas con diferentes polos con entrada impulso

La grafica a) es estable

La grafica b) es críticamente estable

La grafica c) es inestable

La grafica d) es estable

La grafica e) es inestable

FIG. 4.2 C. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada impulso.



30

Salidas con diferentes polos con entrada escalón

La grafica a) es estable

La grafica b) es críticamente estable

La grafica c) es inestable

La grafica d) es estable

La grafica e) es inestable

FIG. 4.3 D. Salidas y polos de sistemas estables e inestables con entrada escalon.



31

APARTADO 5

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Introducción

Aquí se tiene el conocimiento de un análisis analítico para determinar si el sistema

es estable con el método de Routh-Hurwitz y saber de otra forma el error en

estado estable del sistema.

Método de Routh-Hurwitz [6]

El método de estabilidad de Routh-Hurwitz responde a la pregunta de estabilidad. Este método funciona mucho para obtener el rango de estabilidad por ejemplo de la ganancia proporcional. Teniendo la ecuación característica en transformada de Laplace.

R(s) = ansn + an−1s

n−1 +⋯+ a1s + ao = 0 {5𝑎}

Ordenando el orden de las incógnitas y el orden de los coeficientes.

{sn

sn−1|an an−2 an−4⋯an−1 an−3 an−5⋯

} {5𝑏}

Ahora de forma general

{

sn

sn−1

sn−2

sn−3

⋮s0

|

|

an an−2 an−4an−1 an−3 an−5bn−1 bn−3 bn−5cn−1 cn−3 cn−5⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯hn−1 0 0 }

{5𝑐}

Donde

bn−1 =(an−1)(an−2) − an(an−3)

an−1=−1

an−1{an an−2an−1 an−3

} {5𝑑}

bn−3 = −1

an−1{an an−4an−1 an−5

} {5𝑒}



32

cn−1 = −1

bn−1{an−1 an−3bn−1 bn−3

} {5𝑓}

Error en estado estable [1]

El error en algún sistema es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y

la señal de salida real.

Entonces cuando hay una entrada 𝜃𝑖(𝑠) y una salida 𝜃𝑜(𝑠). Por lo tanto el error se

representa de la siguiente forma.

𝐸(𝑠) = 𝜃𝑖(𝑠) − 𝜃𝑜(𝑠) {5𝑔}



33

APARTADO 6

Control en Matlab y Simulink

Introducción

Aquí en este apartado es necesario comprobar los resultados por medio del

programa Matlab para llevar los resultados a un objetivo de forma muy clara.

Control en Matlab

Como ingresar funciones de un sistema de control en Matlab

G(s)=4(s+10)/(s+5)(s+15) num=4*[1 10]; den=conv([1 5],[1 15]); printsys(num, den, ‘s’)

Encontrar los polos y ceros para la función de transferencia G(s)= (5s^2+3s+4)/(s^3+2s^2+4s+7) num=[5 3 4]; den=[1 2 4 7]; [z, p, k]= tf2zp(num, den) Presentar la respuesta a una entrada escalon para un sistema con funcion de transferencia G(s)=5/(s^2+3s+12) num=5; den=[1 3 12]; step(num,den)

num= Es el numerador den= Es el denominador conv= Multiplica polinomios printsys= Presenta la función de transferencia

[z, p, k]= tf2zp(num, den)= Es el comando para determinar y mostrar los ceros, los polos y la ganancia.

step(num,den)= Genera graficas de

respuesta de escalón unitario.



34

Generar la traza de Bode para G(s)=4/(s^2+2s+3) num=4; den=[1 2 3]; bode(num,den) Generar la traza de Nyquist G(s)=4/(s^2+2s+3) num=4; den=[1 2 3]; nyquist(num,den) Generar la traza de rlocus G(s)=(s+1)/(s^2+4s+3) num=[1 1]; den=[1 4 3]; rlocus(num,den)

bode(num,den)= Produce una traza de Bode de ganancia en dB contra frecuencia en rad/s en una escala logarítmica.

nyquist(num,den)= Son

graficas polares y calcula la

respuesta en frecuencia para

sistemas en tiempo continuo.

rlocus(num,den)= Se diuja

en la pantalla la grafica del

lugar de las raíces.



35

Simulink Ahora bien abrimos Matlab Se presenta la pantalla En la siguiente pantalla seleccionamos “SIMULINK” se muestra una línea roja retirada donde se aprecia más claro la posición del icono simulink.



36

Enseguida se presenta la siguiente pantalla donde encontraremos los comandos necesarios para armar un diagrama de cuadro de control con respecto una salida y una entrada. Hay diferentes tipos de comandos.

Elementos continuos-Librería de sistemas lineales continuos



37

Elementos discontinuos

Operaciones matemáticas



38

Rutas de señal

Modelos de señales



39

Descripción de algunos bloques que se usan para armar un diagrama de cuadro de control

FIG. 6.0 A. Tabla de algunos

bloques. [7]



40

Representación de un diagrama de bloques Se puede ver de forma clara como está compuesto de dos funciones de transferencia, uno de alimentación Fcn y otro de retroalimentación Fcn1, incluyendo una ganancia donde su explicación está en la figura 6.0 A.



41

APARTADO 7

Tren de aterrizaje principal del Boeing 727

Introducción

En este capítulo se explica de una forma breve de como el tren es retraído con

seguros llamados relays y switches y su retracción y extensión por medio de una

válvula de presión.

Tren de aterrizaje principal

El tren de aterrizaje principal se puede mostrar en la figura 7.0 A.

El tren de aterrizaje contiene switch y relays que funcionan como seguros para el

tren.

Los relays de seguridad del tren de aterrizaje junto con los switches del tren

vienen de la retracción del tren cuando el peso del avión cae sobre el tren de

aterrizaje para asegurar una fijación de este. Donde los relays y switches viene del

control del mando.

El switch de seguridad del tren principal junto con los relays retrae al tren cuando

el amortiguador hidráulico (SHOCK STRUT) no está totalmente extendido.

El switch se abre cuando el amortiguador hidráulico es extendido y es cerrado

cuando el avión está en tierra con el amortiguador comprimido (SHOCK STRUT).



42

El switch está instalado cerca de la válvula del ground spoiler en la raíz del ala, como se muestra en la figura 7.1 B.

Safety switch

La operación del safety switch del tren es atreves de la actuación del spoiler. La

articulación del spoiler está conectada con el upper torsión link como se muestra

en la figura 7.1 B.

FIG. 7.0 A. Tren de

aterrizaje principal.

FIG. 7.1 B. Tren de

aterrizaje principal en vista

lateral.

FIG. 7.2 C. Safety switch del

tren de aterrizaje principal



43

Sistema de actuación de extensión y retracción del tren de aterrizaje

principal

En la siguiente figura se puede ver la imagen de cómo es la extensión y el ingreso

del tren de aterrizaje principal del Boeing 727, donde más adelante se explica

brevemente la retracción y extensión.

FIG. 7.3 D. Tren de aterrizaje

principal extensión.



44

Retracción y extensión

Retracción y extensión del tren es generado por una energía hidráulica, un

actuador (SIDE STRUT) que está instalado debajo del ala como se muestra en la

figura 7.5 F. El tren de aterrizaje principal es controlador desde la cabina de piloto

sobre el panel de instrumentación. Cables de actuación transfieren movimiento a

una selector valve que genera presión hidráulica y mueve el tren de aterrizaje,

aquí se puede ver una imagen de la figura 7.4 E.

FIG. 7.4 E. Retracción y

extensión del tren de aterrizaje

principal.

FIG. 7.5 F. Muestra del actuador (SIDE

STRUT).



45

Puertas del tren de aterrizaje principal

Cuando el mando de control se traslada en la posición de Up, las puertas de los

trenes de aterrizaje principal se abren entonces los trenes se retraen y las puertas

se cierran nuevamente. Ahora cuando el mando de control se mueve a la posición

de Down todas las puertas se abren entonces el tren se extiende y por lo tanto las

puertas vuelven a cerrarse, como se muestra en la figura 7.6 G.

Con el control de mando en la position off la presión hidráulica es liberada de toda

la línea hidráulica del tren de aterrizaje principal, los actuadores y el tren de

aterrizaje se mantienen en la retracción o extensión por los mecanismos

bloqueados.

Las puertas principales del tren son sacadas totalmente hasta el tope por el peso

de la misma salida del tren de aterrizaje sobre un eslabón de seguridad.

FIG. 7.6 G. Puertas del tren de

aterrizaje principal



46

CAPITULO 2

Desarrollo y análisis de diseño de control del


727

Introducción

En este capítulo desarrollaremos nuestro análisis del tren de aterrizaje principal de

forma matemática para obtener nuestro resultado de diseño de amortiguamiento

por medio de diagrama de ingeniería de control.

Planteamiento

Diagrama de bloques general de la extensión del tren de aterrizaje principal

Boeing 727

En el diagrama de bloques se puede ver cómo hay dos funciones de transferencia

𝐺1 y 𝐺2.

Por lo tanto hay que hacer nuestro diseño de amortiguamiento en el diagrama de

bloques de control para llegar a nuestra conclusión de estabilidad.

¿Por qué decir de forma definitiva

“ESTABILIDAD”?, porque sabemos

que el sistema de tren de aterrizaje

es estable de forma definitiva o de

fábrica, lo que hay que hacer es UN

DISEÑO DE AMORTIGUAMIENTO

PROPUESTO O APROXIMADO.



47

Las siguientes figuras muestran donde está ubicado el momento M (t) y la fuerza F

(t) de los actuadores.

Fig. B. Actuador (SIDE STRUT) generando un

momento M (t).

Fig. C. Actuador generando un

momento F (t).



48

Del apartado 1 se muestra la teoría de la demostración para una ecuación dinámica

de algún sistema.

Por el método de la segunda ley de Newton.

r = xi + yj + zk

Partiendo de tal ecuación, decimos que:

x = l sin 𝜃

y = l cos 𝜃

Ahora sustituyendo en tal ecuación

r = xi + yj + zk

r = (l sin θ)i + (l cos θ)j

Derivamos dos veces r:

𝑑𝑟

𝑑𝑡= (𝑙�� cos 𝜃)𝑖 − (𝑙�� sin 𝜃)𝑗

𝑑2𝑟

𝑑𝑡2= (𝑙�� cos 𝜃 − 𝑙��2 sin 𝜃)𝑖 − (𝑙�� sin 𝜃 + 𝑙��2 cos 𝜃)𝑗

Usando tales formulas siguientes de forma matricial y sustituyendo:

[FxFyFz] = m [

xyz]

[xyz] × m [

xyz] = [

Mx1 + Mx2 + Mx3 +⋯+MxnMy1 + My2 + My3 +⋯+MynMz1 + Mz2 + Mz3 +⋯+Mzn

]

A partir de las ecuaciones matriciales anteriores se sustituyen la primera y segunda

derivada de r, para obtener las ecuaciones dinámicas del tren de aterrizaje principal

como se muestran al inicio.

Desarrollo analítico

¿Cómo obtener nuestro sistema de ecuaciones diferenciales del tren de aterrizaje

que se muestra en la figura B y figura C?



49

Las ecuaciones dinámicas del tren de aterrizaje principal son las siguientes

𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝐹1(𝑡) cos 𝛿

𝑚𝑡𝑙2�� + 𝑚𝑡𝑙

2𝜃 = 𝑀(𝑡) = cos𝛼 cos 𝛽 𝐹2(𝑡)

Transformando las ecuaciones dinámicas queda de la siguiente forma

Nota: Aplicando serie de Taylor, los cosenos se reducen a solamente su

argumento.

𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡) − − − − − −−−−−𝑎𝑎


2𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡) − − − − − −−−− 𝑏𝑏



50

¿Cómo obtener nuestro sistema de ecuaciones de transferencia del tren de

aterrizaje que se muestra en la figura B y figura C?

Por lo tanto para la ecuación diferencial aa, no es lineal. Por lo tanto se necesita

hacer una linealización por matriz exponencial.

Linealización. [8, 9]

�� = ��𝑥 + 𝐵𝑢

𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

Donde:

��: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜

𝐵: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

𝐶: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

𝐷: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

Ahora bien la función de transferencia es la siguiente.

𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑈(𝑠)

Y finalmente la ecuación general para la transformada de una ecuación diferencial

no lineal, es la siguiente.

𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵

Linealizando la ecuación aa. [9]

�� = 𝑥

�� = ��

𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)



51

Sustituyendo derivadas

𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙𝑥2𝜃 = 𝛿𝐹1(𝑡)

�� =𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃

Por lo tanto las ecuaciones linealizadas quedan de la siguiente manera. [9]

�� = 𝑥

�� =𝛿𝐹1(𝑡)


Ahora hay que encontrar los puntos de equilibrio.

Donde un punto de equilibrio, es un dato que nos sirve para estabilizar las

ecuaciones diferenciales. Ese punto es un dato muy importante para reducir

nuestro sistema de ecuaciones diferenciales al hacer la matriz jacobiana.

Decimos que la ecuación diferencial para un punto de equilibrio. [9]

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥, 𝑡)---------- 𝑓(��, 𝑡) = 0

Donde decimos que ��, es un punto de equilibrio en algún tiempo 𝑡, donde se lleva

acabo el comportamiento en un punto máximo o mínimo de recorrido de

estabilidad.

Ahora regresando a las ecuaciones de primer orden, analicemos algo más.

�� = 𝑥

�� =𝛿𝐹1(𝑡)




52

Matriz jacobiana, significa las derivadas parciales de cada variable de estado

sustituyéndole el punto de equilibrio analizado. [9]

�� = [

𝜕𝑃

𝜕𝜃

𝜕𝑃

𝜕𝑥𝜕𝑄

𝜕𝜃

𝜕𝑄

𝜕𝑥

]

��

Empezando el proceso de linealizacion.

Decimos que

𝑥 = 0

𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 = 0

Ahora bien queda que cuando

�� = 0

𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙+ (0)2𝜃 =

𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙= 0

Por lo tanto el punto de equilibrio dice que

�� = 0 → ��1(𝑡) = 0

Usando la matriz jacobiana y sustituyendo el punto de equilibrio

�� = 𝑥 → 𝑃

�� =𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 → 𝑄

�� = [0 1𝑥2 2𝑥𝜃

] = [0 10 0

]��



53

Ahora la matriz 𝐵𝑢. [9]

Se dice que,

𝐵 =𝜕

𝜕𝑢[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢]

Para nuestras ecuaciones diferenciales queda que

𝐵1 =𝜕

𝜕𝑢1[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] =

𝜕

𝜕𝑢1[𝑥] = 0

𝐵2 =𝜕

𝜕𝑢1[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] =

𝜕

𝜕𝑢1[𝛿𝐹1(𝑡)

𝑚𝑡𝑙+ 𝑥2𝜃 ] =

𝛿

𝑚𝑡𝑙

Usando la formula �� = ��𝑥 + 𝐵𝑢, sustituimos nuestras matrices.

[��] = [

0 10 0

] [𝜃𝑥] + [

0𝛿

𝑚𝑡𝑙] 𝐹1

Aplicando transformada de Laplace nos queda de la siguiente forma.

Recordando la ecuación 𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵.

[𝜃(𝑠)𝑥(𝑠)

] = (𝛿

𝑚𝑡𝑙) [

1

𝑠

1

𝑠2

01

𝑠

] [𝐹(𝑠)]

Finalmente nos queda la ecuación de transferencia como,

𝜃(𝑠)

𝐹1(𝑠)= 𝐺(𝑠)1 =

𝛿

𝑚𝑡𝑙𝑠2



54

Ahora transformando la ecuación diferencial lineal siguiente


2𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)

Nos queda,

𝑚𝑡𝑙2𝑠2 +𝑚𝑡𝑙

2𝑠 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑠)

𝜃(𝑠)

𝐹2(𝑠)= 𝐺(𝑠)2 =

𝛼𝛽𝑙

𝑚𝑡𝑙2𝑠2+𝑚𝑡𝑙2𝑠

Nuestras ecuaciones transformadas finalmente son las siguientes para ingresarlas

al diagrama de control.

𝐺(𝑠)1 =𝛿

𝑚𝑡𝑙𝑠2

𝐺(𝑠)2 =𝛼𝛽𝑙

𝑚𝑡𝑙2𝑠2+𝑚𝑡𝑙

2𝑠



55

Análisis del sistema del tren de aterrizaje principal

¿Cómo obtener nuestra ecuación de transferencia total del sistema tren de

aterrizaje que se muestra en la figura B y figura C?

Nuestra función de la fuerza general que hace el movimiento del tren de aterrizaje

principal viene dada de la siguiente forma.

Primeramente obtenemos nuestras ecuaciones diferenciales


𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)

Decimos que la fuerza total es

𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡)

Despejamos 𝐹1(𝑡):

𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��2𝜃

𝛿= 𝐹1(𝑡)

Despejamos 𝐹2(𝑡):

𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃

𝛼𝛽𝑙 = 𝐹2(𝑡)

Por lo tanto nuestra fuerza total es:

𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡) =𝑚𝑡𝑙�� − 𝑚𝑡𝑙��

2𝜃

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2�� + ��𝑙𝜃

𝛼𝛽𝑙

𝐹𝑇 =𝑚𝑡𝑙��

𝛿−𝑚𝑡𝑙��

2𝜃

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2��

𝛼𝛽𝑙 +��𝑙𝜃

𝛼𝛽𝑙



56

Ecuación de transferencia total

Finalmente queda:

𝐹𝑇 = �� (𝑚𝑡𝑙

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2

𝛼𝛽𝑙 ) + 𝜃 (

��𝑙

𝛼𝛽𝑙 )

Transformando esta ecuación a Laplace queda:

𝜃(𝑠)

𝐹𝑇(𝑠)= 𝐺(𝑠)𝑇 =

1

𝑆2 (𝑚𝑡𝑙𝛿+𝑚𝑡𝑙2

𝛼𝛽𝑙 ) + (

��𝑙

𝛼𝛽𝑙)

Entonces 𝐺(𝑠)𝑇:

𝐺(𝑠)𝑇 =1

𝑆2 (𝑚𝑡𝑙𝛿+𝑚𝑡𝑙2

𝛼𝛽𝑙 ) + (

��𝑙

𝛼𝛽𝑙)

𝐺(𝑆)𝑇 =𝛿𝛼𝛽𝑙

𝑆2(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙+𝑚𝑡𝑙2𝛿)+(��𝑙𝛿)



57

Podemos fijarnos que la función de transferencia no contiene el termino de

amortiguamiento por lo tanto hay que obtener una ecuación de transferencia de

diseño para demostrar la estabilidad que tiene nuestro sistema tren de aterrizaje.

A continuación se muestra la gráfica de inestabilidad es decir cuando no hay amortiguamiento en el sistema.

Diseño de amortiguamiento para concretar la estabilidad del tren de

aterrizaje principal a partir de nuestro diagrama de bloques

Tomando nuestras ecuaciones diferenciales de movimiento de análisis dinámico


𝑚𝑡𝑙2�� + ��𝑙𝜃 = 𝛼𝛽𝑙��2(𝑡)

Y quedando nuestra ecuación general como



2𝜃

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2��


𝛼𝛽𝑙



58

Recordando que:

𝐹𝑇 = 𝐹1(𝑡) + 𝐹2(𝑡)

Analizar la ecuación general de movimiento como se muestra en el recuadro de

abajo se puede visualizar que está encerrado en rojo, se necesita el término que

tiene como coeficiente el factor de amortiguamiento para demostrar su estabilidad.

Necesitamos recordar que nuestra ecuación le hace falta el término de amortiguamiento.

Sumando el término de fuerza de amortiguamiento 𝐹𝑎 = 𝑐�� y transformado en coordenadas polares queda como:

𝐹𝑎 = 𝑐�� = 𝑐𝑙��

Recordando que, 𝑥 = 𝑙 sin 𝜃



2𝜃

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2��


𝛼𝛽𝑙 + 𝑐𝑙��



59

Podemos ver que en la ecuación anterior se muestra el término 𝑐𝑙��, para amortiguar el sistema tren de aterrizaje principal y demostrar su estabilidad que tiene el sistema tren aterrizaje. Transformando la ecuación diferencial anterior en transformada de Laplace.

𝐹𝑇(𝑠) = [𝑚𝑡𝑙𝑠

2

𝛿+𝑚𝑡𝑙

2𝑠2

𝛼𝛽𝑙 +��𝑙

𝛼𝛽𝑙 + 𝑐𝑙𝑠] 𝜃(𝑠)

Ordenando

𝐹𝑇(𝑠) = [𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙��

2 +𝑚𝑡𝑙2𝛿𝑠2 + ��𝑙𝛿 + 𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙��

𝛿𝛼𝛽𝑙 ] 𝜃(𝑠)

Nuestra función de transferencia queda como

𝐺(𝑠) =𝜃(𝑠)

𝐹𝑇(𝑠)=

𝛿𝛼𝛽𝑙

𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙��2+𝑚𝑡𝑙2𝛿𝑠2+��𝑙𝛿+𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙��

Reduciendo

𝐺(𝑠) =𝛿𝛼𝛽𝑙

(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑡𝑙2𝛿)𝑠2 + 𝑐𝑙𝛿𝛼𝛽𝑙�� + ��𝑙𝛿

Podemos ver que la ecuación anterior no basta con tener nuestra solución final o la ecuación de transferencia total, sino necesitamos comprobar tal ecuación para llegar a nuestras conclusiones convenientes para demostrar nuestro diseño de amortiguamiento. Ahora nuestra ecuación posible para la demostración de estabilidad en nuestro sistema de estudio confiable Tal ecuación inicial sin amortiguamiento que se obtuvo a partir del análisis dinámico de nuestro sistema tren aterrizaje, analicemos su comportamiento.

𝐺(𝑠)𝑇 =𝛿𝛼𝛽𝑙

𝑆2(𝑚𝑡𝑙𝛼𝛽𝑙+𝑚𝑡𝑙2𝛿)+(��𝑙𝛿)



60

La convertimos como:

𝐺(𝑠)𝑇 =𝐴

𝐵𝑆2 + 𝐷

Donde:

𝐴 = 𝛿𝛼𝛽𝑙

𝐵 = 𝑚𝑙 𝛼𝛽𝑙 + 𝑚𝑙2𝛿

𝐷 = ��𝑙𝛿

Podemos ver a simple vista que tal función de transferencia no contiene el término con coeficiente de amortiguamiento como se muestra en la siguiente imagen. Ahora nos hacemos la siguiente pregunta ¿Cómo estabilizar nuestro sistema de tren de aterrizaje principal a base de un diagrama de bloques? Para un sistema lo pongamos de forma estable o lo estabilicemos, todo aquel sistema necesita un componente llamado amortiguador, que tiene la función de hacer todo tipo de sistema dinámico de forma cómoda o estable.



61

En nuestro caso para un sistema dinámico se necesita un amortiguador pero en el tren recordemos que es un actuador hidráulico que funciona como un amortiguador controlado desde la cabina de piloto. Como se muestra en la siguiente imagen.

Recordando tal ecuación

𝐺(𝑠)𝑇 =𝐴

𝐵𝑆2 + 𝐷

Hagamos el proceso para hacer estable el sistema de tren de aterrizaje principal. Lo que se supone hacer es el siguiente proceso:

𝐴

𝐵𝑆2 + 𝐷+

𝑐𝑙

𝐵𝑆2 +𝐷

Donde:



𝐷 = ��𝑙𝛿



62

Ahora podemos observar tal ecuación anterior con un término agregado de amortiguamiento se puede suponer a partir de esto que aquí está la solución determinada para poder estabilizar nuestro sistema dinámico.

𝑃(𝑠) =𝐴

𝐵𝑆2 +𝐷−

𝑐𝑙𝑠

𝐵𝑆2 +𝐷

Donde:



𝐶 = 𝑐𝑙

𝐷 = ��𝑙𝛿 En la ecuación anterior se puede mostrar su diagrama de bloques particular del procesamiento que se hizo cumpliendo con la regla del álgebra de bloques de la ingeniería de control.



63

Pero a continuación tenemos el diagrama de bloques completo de nuestro sistema de tren de aterrizaje principal tomando en cuenta un amplificador K y una retroalimentación. Simplificar nuestro diagrama de bloques nos llevara a nuestro resultado final que queremos obtener para demostrar que nuestro sistema está en buenas condiciones para estabilizarse. PRIMER PASO

𝑃(𝑠) =𝐴 − 𝐶𝑆

𝐵𝑆2 +𝐷

SEGUNDO PASO

𝑃(𝑠) =𝐾(𝐴 − 𝑐𝑙𝑆)

𝐵𝑆2 + 𝐷=𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)

𝐵𝑆2 +𝐷

TERCER PASO

𝑃(𝑠) =

𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)𝐵𝑆2 +𝐷

1 +𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)𝐵𝑆2 + 𝐷



64

CUARTO PASO

𝑃(𝑠) =𝜃(𝑆)

𝐹(𝑆)=

𝐾(𝐴 − 𝐶𝑆)

𝐵𝑆2 − 𝐾𝐶𝑆 + 𝐾𝐴 + 𝐷

Aplicando el criterio de Routh Hurwitz.

𝐵𝑆2 − 𝐾𝐶𝑆 + 𝐾𝐴 + 𝐷

Simplificando

𝑆2 −𝐾𝐶

𝐵𝑆 +

𝐾𝐴+𝐷

𝐵



65

Demostración

(𝐴−𝐶𝑆)𝐵𝑆2+𝐷

=𝜃(𝑆)

𝐹(𝑆)

Si obtenemos su transformada inversa

ℒ−1 {(𝐴 − 𝐶𝑆)

𝐵𝑆2 + 𝐷} = ℒ−1 {

𝜃(𝑆)

𝐹(𝑆)}

Queda de la siguiente forma:

𝐵�� + 𝐷𝜃 = 𝐴𝑓(𝑡) − 𝐶ℒ−1{𝑆𝐹(𝑆)}

�� +𝑫

𝑩𝜽 =

𝑨

𝑩𝒇(𝒕) −

𝑪

𝑩𝓛−𝟏{𝑺𝑭(𝑺)}

Podemos notar que este término en color rojo es opuesto o se resta a la fuerza de

excitación 𝑓(𝑡); es decir se puede notar como puede hacer estable al Tren de

Aterrizaje.

�� +𝑪

𝑩𝑺𝓛−𝟏{𝑭(𝑺)} +

𝑫

𝑩𝜽 =

𝑨

𝑩𝒇(𝒕)

CAPITULO 3

Conclusiones demostrativas de diseño de


727



66

Hallemos 𝐾 con los siguientes valores propuestos α, β y δ.

𝑚 𝑙 𝑙 𝛼 𝛽 𝛿 �� 𝑐 𝒈

1500 1,35 0,9 1,57 0,2 0,1 14715 192 9,81

Dónde:



𝐶 = 𝑐𝑙

𝐷 = ��𝑙𝛿

𝑏1 =(−𝐶𝐾)(𝐴𝐾 + 𝐷)

−𝐶𝐾= 𝐴𝐾 + 𝐷

Ecuaciones para obtener el diseño de amortiguamiento

ωn2 =

KA+D

B

2ζωn = −KC

B

A B C D

0,02826 845,64 259.2 1986,525

S2 B D+AK

S1 -CK 0

S0

K > -70295



67

Resultados finales (Graficas de Estabilidad)

Para un valor de:

𝐾 = −1

PARA 𝒄 = 𝟎, 𝜻 = 𝟎

Es decir cuando es inestable o no contiene el término amortiguamiento o no es

amortiguado.

PARA 𝒄 = 𝟗𝟔𝟎, 𝜻 = 𝟎. 𝟓



68

PARA 𝒄 = 𝟏𝟗𝟐𝟎, 𝜻 = 𝟏. 𝟎



69

DATOS DE DISEÑO DE AMORTIGUAMIENTO

DEL TREN DE ATERRIZAJE PRINCIPAL

c ζ 0 0

192 0.10007949

384 0.20015897

576 0.30023846

768 0.40031794

960 0.50039743

1152 0.60047692

1344 0.7005564

1536 0.80063589

1728 0.90071538

1920 1.0079486

Diseños de amortiguamiento del tren de aterrizaje del Boeing 727



70

Bibliografía

[1] Evolución histórica de la ingeniería de control, Ramón Piadrafita Moreno, 1999

[2] EL UNIVERSAL [3] http://www.amazings.com/ciencia/noticias/010609b.html [4] Classicals Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics,

Second Edition, Walter Greiner. [5] Ingeniería de Control, W. Bolton, Segunda Edición, AlfaOmega. [6] https://alemansistem.files.wordpress.com/2012/05/e-book-ingenieria-de-

control- control-de-sistemas-continuos.pdf [7] Sistemas de Control Continuo y Discretos, Carlos Valdivia Miranda, [8] Ingeniería de control moderna, Katsuhiko Ogata. [9] Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Dennis G. Zill-Warren S. Wright

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https://alemansistem.files.wordpress.com/2012/05/e-book-ingenieria-de-control-

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