ESCUELA SUPERIOR TÉCNICA

Ingreso a las Tecnicaturas UTN

MATEMATICA Prof. Mónica Assumma

1 - NUMEROS REALES: Operaciones, intervalos, potenciación, y radicación, racionalización de numeradores o denominadores. 2 - EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Polinomios en una variable. Operaciones con polinomios: adición, sustracción, multiplicación y división. Cuadrado y cubo de un binomio. Regla de Ruffini para la división y Teorema del Resto. Factorización de polinomios.

3 - FUNCIONES: Funciones numéricas, algebraicas, trascendentes. Funciones trigonométricas, resolución de triángulos.

4 - ECUACIONES: Polinòmicas, fraccionarias, irracionales, sistemas de ecuaciones lineales, sistemas mixtos.

Unidad 1

1.- NÚMEROS REALES

I.- Resuelva las siguientes operaciones:

1) 12 2) -1

2 3) (-1)

2 4) 2

-1

5) 3-2

6) (-2)-2

7) (-3)-3

8)

2

3

1

9)

1

2

1

10) (-5)

-1 11) –5

-1 12)

3

2

11

13)

1

4

1

3

1

2

1

14) –7

–2 15)

1

3

2

16)

2

3

2

17) 2

1

4 18) 22 19) 22 20) 3

1

8

21) 3

1

8

22) 25

23) 2

3

4 24) 3

2

8

25)

4

31

3

2

8

1

2

11

3

22 3

2

1

26) 21

21

34

34

27)

1

12

1

5

1

3

1

5

11

4

3

II) Resuelva las siguientes operaciones aplicando propiedades de la potenciación:

28)

2221

623

2

.22

yx

yxyx

29)

zz

zz

.

:

2

1

52

30) 5:5:5.5 223

III) Extraiga radicales y resuelva:

31) 5018772582 32) 5274512 33) 333 128216

IV) Exprese en su forma más sencilla:

34) 3324.3528 35)6 53 2 .. aaa 36) 610.610

V) Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones y exprese el resultados de la forma cba ;

con a, b y c reales:

37) 3

2 38)

53

53

39)

22

3

40)

32

52

VI) Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones, exprese los resultados en la forma más

sencilla:

41) 3 5

2 42)

72

32

43)

4

4

25

25 44)

52

13

45)2

42

x

x 46)

12

12

47)

4 yx

yx

48)

3 52 cba

a

VII) Dados los siguientes conjuntos de números reales:

0/46/

3

10/72/

53/2/

xRxxFxRxxE

xRxxDxRxxC

xRxxBxRxxA

Se pide: a) Escríbalos como intervalos reales.

b) Represéntelos en la recta real.

VIII) Realice las siguientes operaciones entre los conjuntos del ejercicio VII) y represente, cuando sea posible,

cada conjunto solución sobre la recta real:

FEADBAFDEDFCFCCABABA ;;;;;;;;

Respuestas

1) 1 2) –1 3) 1 4) ½ 5) 1/9 6) ¼ 7) – 1/27 8) 9 9) –2 10) –1/5 11) –1/5

12) –8/27 13) –12/7 14) –1/49 15) 3/2 16) 9/4 17) 2 18) -2 19) 2 20) 2 21) –1/2

22)1/25 23) 8 24) 4 25) -2/5 26) 13/5 27) –3/28 28) 64 x2 y

4 29)

zz8

1 30)

6 5.125

1

31) 28 32) 354 33) 3 2.5 34) 6419 35) a2 36) 2 37)

3

32 38) 5

2

3

2

7

39) 322

3 40) 2

7

8

7

17 41) 3 25

5

2 42)

5

2172622

43) 44 50

5

125

44)3

52156

45) 22 xx 46) 12 47) 4 3

yx 48)cb

abc2

3 2

IX- INECUACIONES

Resuelva las siguientes inecuaciones. Indique claramente el conjunto solución y represéntelo sobre la recta

numérica.

01

5)9

05

6)8

01

1)7

3

23

2

3)6

14312)5

76242)4

21253)3

264752)2

523)1

22

2

2

22

x

x

x

x

x

x

xx

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

xx

021)17

0211)16

034)15

054)14

044)13

074)12

33

3)11

024

3)10

2

2

2

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

RESPUESTAS

;2)5 ;

5

2)4 ;17)3 ;

7

8)2 2;)1 SSSSS

3)11 ;43

5;)10

;51;)9 5;6)8 ;11;)7 15

14;)6

RSS

SSSS

;2)17 2;11;)16 3;1)5 5;1)14 4)13 ;74;)12 SSSSSS

X.- VALOR ABSOLUTO

1.- Halle los valores de x para los cuales se cumple:

79)8112)7

31)622)54)4

424)3122)21313)1

2

22

xx

xxxx

xxxxxx

RESPUESTAS:

4;22;4)8;1)70;4;2)31)2;3

1)1

SSxxxxS

Unidad 2

2.- FUNCIONES 1.- Indique cuáles de las siguientes representaciones gráficas corresponden a funciones de A B:

a) b)

B B

A A

c) d)

B B

A A

2.- Clasifique las funciones del ejercicio 7.1. en inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

3.- Grafique los siguientes grupos de funciones lineales e indique en qué casos se trata de rectas

paralelas o perpendiculares. Justifique su respuesta. (Utilice un mismo gráfico cartesiano para cada

grupo de rectas)

13

1

13

13

)

3

2

1

xy

xy

xy

a

xy

xy

xy

b

2

5

22

5

25

2

)

3

2

1

13

2

2

3

1

)

3

2

1

xy

xy

xy

c

4.- Dada la recta de ecuación 24

5 xy , halle la ecuación explícita de la recta:

a) paralela que pasa por P = (1; -3) b) perpendicular con ordenada al origen 5

5.- De todas las rectas que pasan por el punto P = (1; 4), halle la ecuación de la recta que:

a) Tiene ordenada al origen 3. d) Es perpendicular a 2x – y = 1.

b) Tiene pendiente –1/5. e) Tiene pendiente cero.

c) Es paralela al eje y. f) Tiene abscisa al origen 5.

6.- Se sabe que f(x) es una función lineal, f(-1) = 1 y f(3) = 6. Halle la ecuación de dicha recta.

Grafique.

7.- Halle el valor de k en las ecuaciones de las siguientes rectas de manera que se verifique la condición

indicada:

a) (2+k)x – (3-k)y + 4k + 14 = 0 pase por el punto (2;3).

b) kx + (3 – k)y + 7 = 0 tenga pendiente 7.

8.-Halle las raíces o ceros de las siguientes funciones cuadráticas y las coordenadas del vértice.

Grafique.

a) f(x) = x2 c) f(x) = x

2 – 2x - 3

b) f(x) = x2 – 2x + 1 d) f(x) = -2x

2 – 4x

RESPUESTAS

1.- a) sí, es función b) no es función c) sí, es función d) sí, es función

2.- a) sobreyectiva b)------- c) biyectiva d)no inyectiva

no inyectiva no sobreyectiva

3.- a) y1 perpendicular a y3 b) y1 perpendicular a y2 y a y3 c)y1 paralela a y2

m1 = -1/m3 y2 paralela a y3 ; m2 = m3 m1 = m2

4.- a) y = -5/4 x –7/4 b) y = 4/5 x + 5

5.- a) y = x + 3 b) y = - 1/5 x + 21/5 c) x = 1

d) y = -1/2 x + 9/2 e) y = 4 f) y = - x + 5

6.- y = 5/4 x + 9/4 7.- a) k = -1 b) k = 7/2

8.- a) x1 = x2 = 0 ; v = (0; 0) c) x1 = 3 ; x2 = -1 ; v = (1; -4)

b) x1 = x2 = 1 ; v = (1; 0) d) x1 = 0 , x2 = -2 ; v = (-1; 2)

Ejercicios adicionales:

1.- Grafique las siguientes funciones lineales e indique las coordenadas de los puntos de intersección

con los ejes coordenados:

xxkRRk

xxhRRh

xxgRRg

xxfRRf

3

2)(/:.4.1

42

1)(/:.3.1

3)(/:.2.1

43)(/:.1.1

2.- Determine cuáles de las siguientes rectas pasan por el punto 2;10 P

0234:13:

03:23:

43

21

yxrxyr

yxrxyr

3.- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 y tiene pendiente m:

3.1. 2)3;2(0 mP 3.2. 3

2)4;1(0 mP

4.- Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene ordenada al origen b:

4.1. 3)1;2( bA 4.2. 2)0;1( bA

5.- Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Indique sus raíces o ceros, las coordenadas del vértice

y la ecuación del eje de simetría. Halle el conjunto imagen para cada una de ellas.

4)(.4.5

4)(.3.5

102

3)(.2.5

152)(.1.5

2

2

2

2

xxm

xxxh

xxxg

xxxf

Unidad 3

3.- OPERACIONES CON POLINOMIOS. FACTOREO

Parte 1

1.- Dados los polinomios P(x) = 2x

2 – x ; Q(x) = 5x + 1 y R(x) = - x

3 –3x

2 –3x +1 , resuelva las

siguientes operaciones:

a) P(x) + Q(x) – R(x) e) P(x) : Q(x)

b) 2P(x) – ½ R(x) f) R(x) : P(x)

c) P(x) . Q(x) g) Q2(x) – R(x)

d) R(x) . Q(x) h) (x. P(x) + R(x)) : (x2.Q(x))

2.- Sabiendo que cbxaxxP 2

53)( 2 y 5

2

1

2

1)( 2 bxxxQ ; halle a, b y c para que se cumpla la

siguiente igualdad: cxaxxQxP 82

34)()( 2

3.- Con los mismos polinomios P(x) y Q(x) del ejercicio anterior halle a, b y c para que se cumpla:

cxaxxQxP 82

34)()( 2

4.-Resuelva las siguientes operaciones combinadas entre polinomios:

2232

1)

1113.15)

11)

1:2)

2)

3

3

2

32

22

22

xxxe

xxxxd

xxc

xxxb

xa

5.- Aplique la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

13:653)

42:262)

3:2)

5:232)

24

3

3

2

xxxd

xxxc

xxxb

xxxa

6.- Halle el valor de k para que el polinomio 2x3 – k x

2 + 14x – 8 sea divisible por x – 2.

7.- Halle el valor de k para que al dividir el polinomio 3x2 + kx + 9 por x + 2 se obtenga el mismo

resto que al dividir 2x3 + 3x + 3 por el mismo binomio.

8.- Halle A y B para que el polinomio Ax5 – 2x

3 + Bx sea divisible por (x –1) y por (x + 2).

Respuestas:

1.- a) x3 + 5x

2 +7x ; b) ½ x

3 + 11/2 x

2 – ½ x – ½ ; c) 10 x

3 – 3x

2 – x ; d) -5x

4-16x

3 –18x

2 + 2x + 1 ;

e) C(x) = 2/5 x – 7/25 R(x) = 7/25 ; f) C(x) = -1/2 x – 7/4 R(x) = -19/4 x + 1 ; g) x3 + 28 x

2 +13x

h) C(x) = 1/5 R(x) = -21/5 x2 – 3x + 1

2.- a = ½ ; b = ½ ; c = 5/9 3.- a = -1/2 ; b = ¾ ; c = -5/9

4.- a) x4 + 4x

2 +4 ; b) C(x) = x – 4 R(x) = 5x – 4 ; c) x

3 –2x

2 + x ; d) 17x – 5

e) 9/8 x3 – 9/4 x

2 + 31/2 x – 29

5.- a) C(x) = 2x – 13 R(x) = 67 ; b) C(x) = x2 + 3x +7 R(x) = 21 ; c) C(x) = x

2 –2x +1 R(x) = –2 ;

d) C(x) = x3 + 1/3 x

2 – 14/9 x – 14/27 R(x) = 148/27

6.- k = 9 7.- k = 20 8.- A = 2/5 ; B = 8/5

Parte 2

1.- Descomponga las siguientes expresiones algebraicas en factores:

a) 5ax2 – 10 ax b) – 2ax

3 + ax

2 -

2

1 ax

c) 3b + xb – x – 3 d) x2 – 10x + 25

e) 4x2 + 1 + 4x f) x

4 – 1

g) x3 – 8 h) x

3 – x

2 – 4x + 4

i) – x3 + 6x

2 – 9x j) 8x

6- 2x

2

2.- Simplifique las siguientes expresiones algebraicas racionales:

44

82)

11

1)

25

1025)

2

2

23

4

2

2

xx

xc

xx

xb

x

xxa

3.- Resuelva las siguientes operaciones y exprese el resultado de la forma más sencilla posible:

9

32:

1

2

1

212

8

) 2

44:

4

2

2

2

2

)

1

11

) 44

1:

1

3

96

14)

22)

8

7

3)

1

11

1

2)

63

1

164

42)

2

2

1

2

2

2

2

2

22

22

2

2

22232

222

x

xx

xx

xxhxx

xx

x

xx

xxg

yx

yxyxf

xx

xx

xx

xe

bxb

ba

a

ba

ba

aaxd

ca

bc

ca

abc

xxxx

xb

xx

xa

Respuestas

1.- a) 5ax ( x – 2 ) ; b) ax (-2x + x – ½ ) ; c) (3 + x)(b – 1) ; d) (x – 5)2

; e) (2x+1)2 ;

f) (x2+1)(x+1)(x-1) ; g) (x-2)(x

2+ 2x + 4) ; h) (x – 2)(x + 2)(x – 1) ; i) –x ( x – 3)

2 ;

j) 2x2 (2x

2 – 1 )( 2x

2 + 1)

2.- a) 5

5

x

x ; b)

1

12

xx

x ; c)

2

22

x

x

3.- a) 26

5

x ; b)

21

1

xx ; c)

24

2

7

24

ca

b ; d)

b

2 ; e)

3

144

x

xx ; f) 2x

g) 21

4

xx

x h)

12

3

x

x

Unidad 4

4.- ECUACIONES

I.- Resuelva las siguientes ecuaciones; indique previamente los valores que no puede tomar la

incógnita, en caso de ser necesario:

1) 2x – 5 = 4x – 2 Rta: x = -3/2 2) 2x + 14 – 9x = 6x – 12 Rta:x = 2

3) 9x + 5 – 3 = 2(x + 2) – 9 Rta: x = -1 4) (x + 2)2 – x

2 + 5 = 0 Rta: x = -9/4

5)

6

1

21

2

1

3

15 22

xxx

Rta: x = 2 6)42

33

12

53

x

x

x

x Rta: x = 17

7) 9

212

3

3

3

12

2

x

x

x

x

x

x Rta: x = 11/10

8) 5

1

25

3

1025 22

xxxx

x Rta: x = 20 9) 0

11

1

12

xx

x

xx Rta: sin solución

II.- Plantee y resuelva los siguientes problemas:

a.- Si a un número se le restan 30 unidades y esta diferencia se multiplica por 13, se obtiene 195 ¿Cuál

es el número? Rta: 45

b.- Repartir $26 500 entre cuatro personas de manera tal que la primera reciba 3/5 de lo que recibe la

segunda; la tercera reciba 1/6 de lo que recibe la primera y la cuarta 2/3 de lo que recibe la tercera.

Rta: $ 9000; $ 15000; $ 1500; $ 1000

c.- Una persona gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que le queda. Tiene aún $60. ¿Cuánto dinero

tenía al principio? Rta: $ 150

d.- La quinta parte de un número más 4 es igual a 1/3 menos el duplo de dicho número. ¿Cuál es el

número? Rta: -5/3

e.- La suma de tres números impares consecutivos es igual a 183. ¿Cuáles son esos números?

Rta: 59, 61 y 63

f.- Un automovilista recorre 748 km en tres etapas. En la segunda el recorrido es de 124 km más que en

la primera y en la tercera 100 km menos que en la segunda. ¿Cuántos kilómetros recorre por etapa?

Rta: 200 km, 324 km y 224 km

III.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por algún método analítico y por el método gráfico.

Clasifíquelos según el tipo de solución en compatibles determinados, compatibles indeterminados o

incompatibles.

a.-

23

82

yx

yx S = (2;4) b.-

4

7

6

1

8

5

26

1

4

3

yx

yx

S = (-2;-3)

c.-

532

16

yx

yx S = (1/2; 2) d.-

65

153

yyx

yyx

S =

e.-

yx

yx

61222

18393 S = (x;y) / x = 61 – 3y

VI.- Plantee y resuelva los siguientes problemas:

a.- Un hacendado vende 3 vacas y 7 caballos a $ 6.000. Luego vende 3 vacas y 3 caballos a los mismos

precios unitarios en $ 3.000. ¿Cuál es el precio de cada vaca y de cada caballo?

Rta: $ 250 cada vaca y $ 750 cada caballo

b.- La recaudación de un partido de fútbol fue de 189.562 dólares. Las entradas a tribuna costaban 5

dólares cada una y las entradas a platea 12 dólares. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron si

ingresaron al estadio 22.000 personas? Rta: 10.634 tribunas y 11.366 plateas

c.- La suma de dos números es 998, su cociente es 27 y el resto de la división es 18. ¿Cuáles son los

números? Rta: 963 y 35

d.- En la víspera de una batalla los efectivos de dos ejércitos eran entre sí como 5 es a 6. El primero

perdió 14.000 hombres y el segundo perdió 6.000 hombres. La relación es entonces de 2 a 3.

¿Cuántos hombres tenía cada ejército? Rta: 50.000 y 60.000 hombres

ESCUELA SUPERIOR TÉCNICA

Ingreso a las Tecnicaturas UTN

FÍSICA Lic. María Lucila Colombo 1. CINEMATICA: Vectores representativos, movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular Uniforme.

2. DINAMICA: Características y composición de fuerzas, leyes de newton, aplicación.

3. TRABAJO Y ENERGIA: Trabajo de una fuerza constante, potencia, energía.

UNIDAD 1: CINEMÁTICA

Cinemática: Es la parte de la Física que describe el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que producen dicho movimiento. Cinemática del punto material: Es el estudio del movimiento de un punto material, entendiéndose por tal el cuerpo cuyas dimensiones son despreciables con respecto a la distancia que lo separa de otro cuerpo. Sistema de Referencia: Es todo sistema de ejes con un origen común con respecto al cual se refiere la posición de un cuerpo en un determinado instante. Movimiento de un cuerpo: Un cuerpo se encuentra en movimiento relativo cuando varía su posición con respecto a un sistema de referencia. Trayectoria: Es la curva que dibuja el cuerpo durante su movimiento, respecto de un sistema de referencia. Si la trayectoria es una recta el movimiento es rectilíneo, si la trayectoria es una circunferencia el movimiento se denomina circular, si la trayectoria es una parábola el movimiento se denomina parabólico, si es una elipse, elíptico, etc.

Vector Posición y Vector Desplazamiento: Elegido un sistema de referencia, la posición de un punto material se indica mediante el vector

posición r con origen en el origen de coordenadas del sistema y extremo en dicho punto material. Este vector acompaña al punto en su movimiento a lo largo de su trayectoria.

Dados dos puntos de la trayectoria del punto material, uno inicial y otro final, el vector que tiene por origen el punto inicial y por extremo el punto final de dicho tramo de trayectoria se denomina vector

desplazamiento r . Este vector se calcula restándole al vector posición final el vector posición

inicial del móvil: 12 rrr . Es importante no confundir los conceptos de desplazamiento y distancia

recorrida. Sólo coincide el desplazamiento con la distancia recorrida cuando la trayectoria es una recta. La unidad de medida en el sistema MKS de estos vectores es el m (metro).

Vector Velocidad media y Vector Velocidad Instantánea: Se define como Vector Velocidad media al cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo durante el cual se produjo dicho desplazamiento.

t

trttr

tt

rr

t

rvm

)(

12

12 , donde tr se refiere a la posición del móvil en el instante t y

ttr es la posición del mismo luego de haber transcurrido el intervalo de tiempo t .

Este vector conserva la dirección y el sentido del vector desplazamiento y su unidad de medida en el

sistema MKS es s

m.

En particular si el intervalo de tiempo es tan pequeño que prácticamente vale cero, las posiciones inicial y final del móvil son tan próximas entre sí que sus correspondientes vectores posición son casi paralelos, prácticamente superpuestos y por lo tanto el vector desplazamiento es tangente a la

trayectoria. Se define entonces el vector Velocidad Instantánea dt

rd

t

rvv

otm

ot

limlim .

Vector Aceleración media y Vector Aceleración Instantánea:

y

x

r

2r

2r

O

x O

y

tr ttr

r v

tP

ttP

y

O x

tr tv

Se define como Vector Aceleración Media al cociente entre el vector variación de velocidad y el intervalo de tiempo durante el cual se produjo dicha variación.

t

tvttv

tt

vv

t

vam

)(

12

12

Este vector conserva la dirección y el sentido del vector variación de velocidad y su unidad de medida

en el sistema MKS es 2s

m.

De la misma forma en que se analizó el concepto de velocidad instantánea, se define el Vector

Aceleración Instantánea. De modo que si 0t es dt

vd

t

vaa

otm

ot

limlim .

En los movimientos cuyas trayectorias son rectas el vector aceleración instantánea tiene la misma dirección que la trayectoria del móvil. Componentes Intrínsecas de la aceleración: La aceleración instantánea de un móvil en un punto de su trayectoria, si ésta es una curva plana, se puede descomponer en dos direcciones perpendiculares entre sí, una tangente a la trayectoria y otra perpendicular a aquella. La proyección de la aceleración instantánea sobre la dirección tangente se

denomina aceleración tangencial ta y la proyección sobre la dirección perpendicular (normal) se

llama aceleración normal, radial o centrípeta cn aa .

Así el vector aceleración instantánea se puede expresar como la suma vectorial entre el vector

aceleración tangencial y el vector aceleración normal: nt aaa .

El vector aceleración tangencial indica las variaciones en el módulo de la velocidad del móvil y el vector aceleración normal define las variaciones en la dirección de dicha velocidad.

Si la trayectoria del móvil es una recta entonces 0na y por lo tanto taa

y

tv

ttv

t

tt

tv

ttv v

x O

y

x

ta

ca

a

O

MOVIMIENTOS RECTILINEOS Movimiento Rectilíneo Uniforme Un cuerpo tiene movimiento rectilíneo y uniforme cuando su trayectoria es una recta y su velocidad instantánea permanece constante. Esto implica que el móvil efectúa desplazamientos iguales en intervalos iguales de tiempo.

tvrt

rv

.

En este tipo de movimientos se puede trabajar en forma escalar designando con la letra x todas las

posiciones finales del móvil y con 0x a su posición inicial, con la letra t a los instantes finales y 0t al

instante inicial. De modo que si el móvil se traslada paralelamente al eje de las x las ecuaciones se transforman en:

tvxt

xv

. lo que nos lleva a

0000 .).( ttvxxttvxx que es la Ecuación horaria del movimiento

Si en particular 00 x y 00 t esta ecuación se convierte en tvx . .

Si 0xx entonces 0v y por lo tanto la pendiente de la recta x(t) es positiva.

Si 0xx entonces 0v y por lo tanto la pendiente de la recta x(t) es negativa.

Si 0v entonces la recta que representa a v(t) está por debajo del origen de coordenadas.

Si 0v , la recta que representa a v(t) es coincidente con el eje de las “x” y la que representa a x(t)

es paralela al eje “x” a la altura x0.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Un cuerpo tiene movimiento rectilíneo y uniformemente variado cuando su trayectoria es una recta y su aceleración instantánea permanece constante, por lo que su aceleración instantánea es igual a su aceleración media. Nuevamente en este tipo de movimientos se puede trabajar en forma escalar . De modo que las ecuaciones se transforman en:

tavt

va

. lo que nos lleva a 0000 .).( ttavvttavv .

x

t O

0x

O

v

t

Ov

En esta última ecuación 0v es la velocidad del móvil en el instante inicial 0t llamada velocidad inicial.

Como se ve es la ecuación de una recta de pendiente a y ordenada al origen 0v , esto implica que la

velocidad varía en forma lineal respecto del tiempo. Según que 0a (pendiente positiva) ó

0a (pendiente negativa), la velocidad del móvil va aumentando o disminuyendo respectivamente

con el transcurso del tiempo.

La Ecuación Horaria de este tipo de movimiento es 2

00002

1ttattvxx

Las siguientes son las representaciones gráficas de la posición x(t), la velocidad v(t) y la aceleración a(t) en función del tiempo para los casos en que la

aceleración sea positiva o negativa:

x x

t

a > 0

0x

O

O

0x

t

a < 0

v v

O O

0v

0v

t t

a > 0

a < 0

a a

t t

O O

0a

0a

a > 0

a < 0

Movimiento Circular Uniforme: Un cuerpo tiene movimiento circular uniforme cuando su trayectoria es una circunferencia y recorre arcos iguales en intervalos iguales de tiempo. La velocidad instantánea en este tipo de movimiento mantiene invariante sólo su módulo, su dirección es siempre tangente a la trayectoria. Esto último implica que el vector velocidad instantánea es siempre perpendicular al radio de la trayectoria.

Cuando el móvil se desplaza a lo largo de un arco s de la circunferencia desde un punto A (inicial)

hasta otro punto B (final), el radio r de la misma describe un ángulo . El ángulo barrido se obtiene

a partir del arco barrido mediante la expresión r

s . En este caso como el ángulo barrido se

obtiene como el cociente entre dos longitudes, aquel es adimensional o sea que se mide en radianes.

Como este proceso se lleva a cabo en un intervalo de tiempo, t

rt

s

(ec.(1))

Donde vt

s

es la velocidad media del móvil y

t su velocidad angular. Así la (ec.(1)) se

transforma en .rv

Si el móvil da una vuelta completa de longitud rs ..2 en un intervalo de tiempo Tt llamado

período, se tiene: T

rv

..2 . Y como la inversa del período es f

T

1 y se denomina frecuencia

(cantidad de vueltas que el móvil da por unidad de tiempo), se pueden expresar frT

rv ...2

..2

y

fT

..2.2

Las unidades en el sistema MKS en que se miden el período, la frecuencia, la velocidad tangencial y la velocidad angular son:

sT (segundo)

Hzhertzs

f 111

s

rad

1v

O 1r

2r

2v

s

A

B

Ecuaciones horarias del movimiento circular uniforme:

tvss .0 en función del arco recorrido y la velocidad tangencial del móvil.

t.0 en función del ángulo barrido y la velocidad angular del móvil.

En lo que a la aceleración instantánea se refiere, es vr

vraa rn ..

22 . O sea que sólo hay

aceleración centrípeta o radial, no hay aceleración tangencial porque el módulo de la velocidad tangencial no varía.

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA

Ej. 1 (Veloc. Media) Suponga que usted está viviendo en EEUU por trabajo y todos los días viaja por la autopista que va de San Diego a Los

Ángeles con una velocidad media de 105 km/h y el viaje le lleva 2 h 20 min, excepto los viernes por la tarde que el tránsito

pesado lo obliga a conducir a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo más le llevará el viaje?

t

rv

la tardea vierneslos .

comunes días los .

22

11

tvr

tvr 2211 .. tvtv

2

112

.

v

tvt

reemplazando los datos y analizando las unidades hhhkm

hkmt 5,3

3

7.

/70

/1052

min10 16

7

3

7

2

712 hhhtt

, o sea que tardará una hora y diez minutos más que lo

acostumbrado.

Ej. 2 (Veloc. Media) Su vieja combi VW traquetea con una velocidad media de 8,0 m/s durante 60 s, luego entra en calor y corre otros 60 s con una velocidad media de 20,0 m/s

a) Calcule la velocidad media en los 120 s. b) Suponga que la velocidad de 8,0 m/s se mantuvo durante 240m, seguida de una velocidad

media de 20,0 m/s durante otros 240 m. Calcule la velocidad media en toda la distancia. c) ¿En cuál caso la velocidad media de todo el movimiento es el promedio de las dos

velocidades? a)

1

11

t

rv

ms

s

mtvr 480608. 111 es la diferencia de posición en el primer tramo.

2

22

t

rv

ms

s

mtvr 12006020. 222 es la diferencia de posición en el segundo tramo.

mrrr 168021 es la diferencia de posición entre el principio del primer tramo y el final del

segundo.

s

m

s

m

t

rv 14

120

1680

es la velocidad media durante todo el trayecto.

b)

s

s

m

m

v

rt 30

8

240

1

11

es el tiempo empleado en recorrer el primer tramo.

s

s

m

m

v

rt 12

20

240

2

22

es el tiempo empleado en recorrer el segundo tramo.

sttt 4221

s

m

s

m

t

rv 5,11

42

480

es la velocidad media durante todo el trayecto.

c) En el caso (a) la velocidad media de todo el movimiento es el promedio de las velocidades medias de cada tramo.

Ej. 3 (MRU) Dos puntos A y B están separados 1000 m. En el mismo instante dos móviles salen de A y de B, uno de ellos desde A hacia

B con velocidad 15 m/s y el otro desde B hacia A con velocidad 25 m/s. Calcular en qué instante y posición se encuentran

tomando como referencia el punto A.

x a)

00 Ax y mx B 10000 adoptando como sistema de referencia el eje de las x con origne en el puntoA

s

mvA 15 porque está en el sentido positivo del eje de las x

y s

mvB 25 porque tiene el sentido contrario al sentido positivo del eje de las x.

b) Se escriben las ecuaciones horarias de cada uno de los móviles.

Móvil A: tvxx AAtA 0 ts

mx

tA .15

Móvil B: tvxx BBtB 0 ts

mmx

tB .251000

c) Como ambos móviles para encontrarse deben hacerlo en el mismo lugar al mismo tiempo,

planteamos que ee tBtA xx donde et es el instante en que se encuentran.

Así ee ts

mmt

s

m.251000.15 , ecuación cuya única incógnita es et .

A B

Av Bv

x

y

O

Despejando et se obtiene s

s

m

mte 25

40

1000

Reemplazando este valor de et en cualquiera de las ecuaciones horarias antes planteadas se obtiene

la posición del punto de encuentro respecto de A.

mss

mx

sA 37525.1525

d)

Verificar el resultado representando gráficamente tx para ambos móviles en el mismo sistema de

referencia, para ello usar las ecuaciones horarias de ambos móviles, dar valores a t en ambos casos

entre s0 s30 . Se obtienen dos rectas, una de pendiente negativa para el móvil B y otra de pendiente

positiva para el móvil A que se cortan en el punto de coordenadas mx 375 y st 25 .

Ej. 4 (Aceleración media)

¿Cuál es la aceleración media de un móvil que en 20 s aumentó su velocidad de h

kmv 300 a

h

kmv f 60 ?

2

3

042,0

203600

1030

20

3060

s

m

ss

m

sh

km

tt

vv

t

va

of

f

Ej. 5 (Aceleración media) Un automóvil viaja a una velocidad de 100 km/h, de pronto aprieta los frenos y se detiene medio minuto después. ¿Cuál es su aceleración media?

2

3

93,030

3600

10100

30

1000

s

m

ss

m

sh

km

h

km

t

va

El signo negativo del resultado se debe a que la velocidad final del automóvil es menor que la inicial.

Ej. 6 (MRUV) Una tortuga camina en linea recta sobre lo que se llamará eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La

ecuación de la posición de la tortuga en función del tiempo es 2

2.0625,0.0,20,50 t

s

cmt

s

cmcmtx

a) Determinar la velocidad inicial, la posición inicial y la aceleración de la tortuga. b) ¿En qué instante la velocidad de la tortuga es cero?

t

x

O

375m

1000m

25s

A

B

c) ¿En qué instante después de ponerse en marcha la tortuga regresa al punto de partida? d) ¿En qué instantes la tortuga está a una distancia de 10,0 cm de su punto de partida? ¿Cuál es la

velocidad de la tortuga en cada uno de esos instantes?

e) Representar gráficamente tx , tv y ta en tres sistemas de referencias diferentes para el mismo

intervalo de tiempo, por ejemplo de 0s a 40s.

a) Comparando con la ecuación horaria de un MRUV, como es el caso del movimiento de la tortuga se obtiene que:

La posición inicial es cmx 0,500

La velocidad inicial es s

cmv 0,20

La aceleración es 2

125,0s

cma

b)

La ecuación de la velocidad en este tipo de movimiento es tavv t .0 por lo tanto en el caso de la

tortuga es ts

cm

s

cmv t .125,00,2

2

Por lo tanto planteando 0tv se despeja: s

s

cms

cm

t 16

125,0

0,2

2

c) Planteando que las posiciones inicial y final de la tortuga son iguales

ts xcmx 500 resulta 0.0625,0.2 2

2 t

s

cmt

s

cm 0.0625,02.

2

t

s

cm

s

cmt

resolviendo la última ecuación resulta 01 t y st 322 , de las cuales la primera corresponde al instante

inicial en que la tortuga parte de la posición x = 50 cm. Por lo tanto la respuesta a la pregunta es la segunda, la tortuga vuelve al punto de partida a los 32 segundos. d)

cmcmcmtx 601050 reemplazando este valor en la ecuación horaria

010.20625,0 2

2 cmt

s

cmt

s

cmy resolviendo se obtienen dos valores st 8,251 y st 2,62 .

Las velocidades de la tortuga en estos instantes son:

s

mv s 23,12,6 y

s

mv s 23,18,25 que se obtienen reemplazando dichos instantes en la ecuación de

la velocidad.

e)

Tomar las ecuaciones horarias, de la velocidad y de la aceleración, dar valores a t dentro del intervalo de

s0 a s40 en cada una de ellas y representar cada una de las curvas. tx es una parábola que se abre

hacia el sentido negativo del eje de las y, tv es una recta de pendiente negativa y ta es una recta de

pendiente cero.

Ej. 7 (Caída libre) Un niño deja caer una piedra desde una altura de 120,25 m. Calcular cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo y su velocidad justo antes de tocar el mismo. Tomando como sistema de referencia el eje “y” con su origen en el suelo, la posición inicial de la piedra

es my 25,1200 .

La ecuaciones horaria y de velocidad del movimiento son 2

0 .2

1tgyy t y tgv t . . Los términos tv0

en la primera ecuación y 0v en la segunda no figuran porque la velocidad inicial de la piedra cuando el niño la

deja caer es cero.

La coordenada del suelo es 0y , su posición final. Por lo tanto:

20 .

2

10 tgy s

s

m

m

g

yt 5

8,9

25,120.2.2

2

0

s

ms

s

mv s 495.8,9

25 , el signo negativo de la velocidad se debe a que su sentido es contrario al sentido

positivo del eje “y” elegido como referencia.

Ej. 8 (Tiro vertical) Un astronauta en la luna arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 8 m/s. El objeto tardó 5,0 s en alcanzar el punto más alto de su trayectoria. Con estos datos calcular:

a) El valor de la aceleración de la gravedad lunar. b) La altura máxima que alcanzó el objeto. c) La velocidad del objeto un justo antes de llegar al suelo lunar.

t

x v

t

t

50cm

30cm

O 16s 32s 40s

2cm/s

16s

40s

-3cm/s

2125,0s

cm

40s O

O

120,25m

y

O

g

x

fv

00 v

d) Representar gráficamente tx , tv y ta .

La ecuación horaria de este movimiento es 200 .

2

1. tatvyty , y la ecuación de la velocidad es

tavtv .0 .

a) Tomando como origen de coordenadas el piso lunar 00 y queda 20 .

2

1. tatvty

Cuando el objeto alcanza su altura máxima 0tv y por lo tanto tav .0 .

Despejando 2

0 6,15

8

s

m

ss

m

t

va

b) La altura máxima se obtiene reemplazando en la ecuación horaria

st 0,5 mss

ms

s

msyymáx 200,5.6,1.

2

15.80,5

2

2

c) Si el objeto tardó 5,0 s en alcanzar su altura máxima, tardará otros 5,0 s en llegar al piso. Entonces desde que fue arrojado hasta que llegó al suelo transcurrieron 10,0s. Usando la ecuación de la

velocidad para st 0,10 se obtiene la velocidad del objeto justo antes de llegar al suelo lunar.

s

ms

s

m

s

mv s 80,10.6,180,10 . El signo negativo se debe a que en la caída la velocidad del

objeto tiene sentido contrario a su velocidad en la subida.

d) Dar valores a t de 0s a 10s y obtener los valores correspondiente de ty , tv y ta , la primera es

una parábola abierta hacia el sentido negativo del eje y, la segunda una recta con pendiente negativa y la tercera una constante.

Ej. 9 (MCU) El minutero de los relojes, como se sabe, da una vuelta completa en un minuto. Calcular:

a) La frecuencia y velocidad angular de su movimiento. b) La velocidad tangencial del extremo de la aguja si la longitud de la misma es 5,0 cm. c) La aceleración centrípeta del extremo de la aguja.

a)

HzssT

f 017,01

017,060

11 es la frecuencia.

s

rad

sf 105,0

1017,0..2..2 es la velocidad angular

b)

s

cm

s

mm

srv 5,0005,010.5.

1105,0. 2 es la velocidad tangencial del extremo de la aguja.

máxy

y

O

a

x

0m axyv

0v

c)

22

2

22

2

05,00005,005,0

005,0

s

cm

s

m

ms

m

r

vac es la aceleración centrípeta.

Ej. 10 (MCU) En una prueba de traje “g”, un voluntario gira en un círculo horizontal de 7,0 m de radio. ¿Con qué período la aceleración centrípeta tiene magnitud de 3,0g y de 10g?

rT

rr

r

r

vac .

.4.

.2

22

222

ccc a

m

a

r

a

rT

0,7..2..2

..4 2

Reemplazando los datos en la ecuación de T para cada una de las aceleraciones pedidas se obtiene

sT 06,3 para gac 3 , y sT 68,1 para gac 10 .

BIBLIOGRAFÍA: Física Universitaria – vol. 1, Sears-Zemansky – Ed. Pearson Física para la ciencia y la tecnología – vol. 1, Tipler – Ed. Reverté

UNIDAD 2: DINÁMICA

Dinámica: Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta las causas que producen dicho movimiento.

Dinámica del punto material:

Se refiere al estudio de la dinámica de los cuerpos puntuales. Concepto de Fuerza:

Se entiende por Fuerza a la magnitud que es causa del cambio de estado en un cuerpo o en su movimiento. Se trata de una magnitud vectorial y por lo tanto se representa mediante un vector. Magnitud Vectorial: Es toda aquella magnitud que para su definición requiere determinar su dirección, sentido y módulo o norma: un vector.

F es el vector fuerza

R es la recta de acción del vector, quien le da su dirección.

El sentido está indicado por la flecha.

El módulo, norma o intensidad está representado por la longitud del vector.

F R

1F

Composición de fuerzas: Cuando sobre un cuerpo actúan más de una fuerza al mismo tiempo, el efecto neto sobre el cuerpo se debe a la acción resultante de las acciones de cada fuerza en particular. Es decir que se puede interpretar como la acción

de una única fuerza llamada “Fuerza neta o resultante” R que resulta de la suma vectorial de cada una de las fuerzas actuantes. a) Composición de fuerzas colineales del mismo sentido: La resultante de fuerzas colineales del mismo sentido es otra fuerza del mismo sentido cuyo módulo es igual a

la suma de los módulos de las fuerzas que se suman. 21 FFR

b) Composición de fuerzas colineales sentido contrario: La resultante de fuerzas colineales de sentido contrario es otra fuerza cuyo módulo es igual a la resta de los módulos de las fuerzas que se suman y cuyo sentido es igual al sentido de la fuerza de mayor módulo.

12 FFR

c) Composición de dos fuerzas perpendiculares:

El módulo de la resultante de dos fuerzas perpendiculares se obtiene a partir del Teorema de Pítágoras, pues la resultante es la hipotenusa del triángulo rectángulo determinado por aquellas fuerzas.

2

2

2

1 FFR

El módulo de la resultante es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los módulos de las fuerzas. d) Composición de dos fuerzas no perpendiculares:

El módulo de la resultante de dos fuerzas concurrentes no perpendiculares se obtiene a partir del Teorema del coseno:

2F

RFF 21

1F

2F

21 FFR

1F

2F

21 FFR

“El cuadrado de la medida de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de

las medidas de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo

que forman”.

En el caso de las fuerzas:

)º180cos(...2 212

22

1 FFFFR

El módulo de la resultante es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los módulos de las fuerzas que se suman menos el doble

producto de ambas por el coseno del ángulo º180 , que es el ángulo

que se opone a la resultante. e) Composición de más de dos fuerzas concurrentes:

La resultante R se obtiene mediante la suma gráfica de vectores. Las componentes de dicha resultante se obtienen descomponiendo respecto de un sistema de referencia todas las fuerzas que intervienen y luego sumando las componentes homólogas. Descomposición de una fuerza en sus componentes según un sistema de referencia: (para dos dimensiones)

senFF

FF

y

x

.

cos.

Son las componentes de la fuerza F en el eje x y en el eje

y respectivamente.

Las componentes de la fuerza son las proyecciones de la misma sobre cada uno de los ejes.

A su vez el módulo de la fuerza se relaciona con sus

componentes de la siguiente manera 22

yx FFF .

Y el ángulo mediante

x

y

F

Farctg .

Leyes de la dinámica: LEYES DE NEWTON

Primera Ley de Newton o Principio de Inercia

Todo cuerpo en reposo, sigue en reposo a menos que actúe sobre él una fuerza externa. Todo cuerpo en movimiento continúa moviéndose con velocidad constante a menos que sobre él actúe una fuerza externa.

Se llama inercia a la tendencia que tienen todos los cuerpos a permanecer en su estado ya sea de reposo o movimiento respecto de un sistema inercial de referencia, es la resistencia del cuerpo a cambiar su velocidad.

1F 2F

R

3F

y

x

F

O

2F 1F

21 FFR

º180

Se denomina sistema inercial de referencia a aquel sistema donde se cumple el principio de inercia.

Segunda Ley de Newton o Principio de masa

La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza externa que actúa sobre él, es directamente proporcional a dicha fuerza e inversamente proporcional a su masa.

m

Fa amF .

donde a es la aceleración del cuerpo, msu masa y F la fuerza externa.

Para modificar la velocidad de un cuerpo, en dirección, módulo, o ambos se requiere de una fuerza exterior. Recordar que la variación de la velocidad es una aceleración.

A partir de estas expresiones podemos definir la unidad de medida de F en el sistema MKS:

)( ..2

NewtonNs

mkgamF

Peso de un cuerpo de masa m : La fuerza externa de atracción que la Tierra ejerce sobre un cuerpo se

denomina Peso y se obtiene de la segunda ley de Newton

gmP .

donde g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se encuentra el cuerpo. Dicha aceleración es

diferente en los distintos puntos de la superficie terrestre, es mayor en los polos y menor en el ecuador. El valor

que se adopta para la aceleración de la gravedad es 2

8,9s

mg .

Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción

Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B (acción), el cuerpo B ejerce sobre el A una fuerza de igual intensidad pero de sentido contrario (reacción).

Esto implica que las fuerzas de acción y reacción por ser fuerzas de interacción entre dos cuerpos, tienen igual dirección y módulo pero sentidos contrarios y actúan sobre cuerpos diferentes.

No necesariamente los cuerpos deben estar en contacto directo, pues pueden interactuar entre ellos a distancia como lo hacen a través de la fuerza de atracción gravitatoria,o pueden estar vinculados a través de una cuerda que los une.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DINÁMICA

Pasos a seguir para resolver un problema de dinámica

Elegir un sistema de referencia para cada cuerpo. Considerar toda la masa del cuerpo concentrada en un punto (cuerpo puntual).

Reemplazar todos los “vínculos” (cuerdas, superficies, etc) por las correspondientes fuerzas equivalentes.

Realizar un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo que intervenga en el problema.

Descomponer todas las fuerzas actuantes sobre cada cuerpo según el sistema de referencia elegido y aplicar las segunda ley de Newton.

Ej. 1 (Fuerza resultante) Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de módulos 60 N y 40 N cuyas direcciones forman el ángulo entre sí.

Calcular la resultante de ambas fuerzas para los siguientes casos:

a) º35 b) º70 c) º90 d) º115

Para los casos (a), (b) y (d) usar el Teorema del Coseno y para el caso (c) usar el Teorema de Pitágoras. Teor. del Coseno aplicado al sistema de fuerzas

)º180cos(...2 212

22

1 ffffR

Teor. de Pitágoras 2

22

1 ffR , caso particular del Teor. del Coseno cuando el ángulo vale 90º.

Suponiendo que Nf 601 y Nf 402 :

a) NNNNNR 56,95)º35º180cos(.40.60.2406022

b) NNNNNR 71,82)º70º180cos(.40.60.2406022

c) NNNR 11,72406022

d) NNNNNR 65,59)º110º180cos(.40.60.2406022

Ej. 2 (Fuerza resultante) Dos perros tiran horizontalmente de cuerdas atadas a un poste; el ángulo entre las cuerdas es de 60,0º. Si el perro A ejerce una fuerza de 270N y el B de 300N, calcular la magnitud de la fuerza resultante sobre el poste y su ángulo respecto de la cuerda A

1f

m

2f

1f

m

2f

R

º180

Tomar un sistema de referencia con origen en el poste, de modo que la fuerza que ejerce el perro A sobre el poste forme un ángulo de 0º con el eje de las “x” y la que ejerce el perro B forme el ángulo de 60º con el mismo eje.

La fuerza neta sobre el poste es BA FFF .

Descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes:

0º0.

270º0cos.

senFF

NFF

AAy

AAx

NsenNsenFF

NNFF

BBy

BBx

8,259º60.300º60.

150º60cos.300º60cos.

Para obtener las componentes de la resultante se suman las componentes homólogas de las fuerzas que ejercen ambos perros:

NNFFF

NNFFF

ByAyy

BxAxx

8,259)8,2590(

420)150270(

El módulo o intensidad de la fuerza neta o resultante es:

NNNFFF yx 95,4938,2594202222

El ángulo que esta resultante forma con el sentido positivo del eje “x”, o sea con la dirección de la cuerda del perro A se obtiene como sigue:

º74,31420

8,259

N

Narctg

F

Farctg

x

y

Ej. 3 (Segunda Ley de Newton) Una caja descansa sobre un estanque helado que actúa como superficie horizontal sin fricción. Si un pescador

aplica una fuerza horizontal de 48,0 N a la caja y le produce una aceleración de 200,3s

ma , ¿qué masa

tiene la caja?

amF . kg

s

ms

mkg

s

m

N

a

Fm 16

.16

00,3

0,48

2

2

2

Ej. 4 (Segunda y Tercera Leyes de Newton)

Una velocista olímpica puede arrancar con una aceleración casi horizontal de magnitud 215s

m . ¿Qué fuerza

horizontal debe aplicar una corredora de 55 kg a los bloques de salida para producir esta aceleración?¿Qué cuerpo ejerce la fuerza que impulsa a la corredora, los bloques o ella misma?

y

x O

BF

AF

F

NF

NF

B

A

300

270

Pie de la

velocista Bloque

CBF BCF bloqueelsobreejerce

corredoralaquefuerza

FCB

corredoralasobre

ejercebloqueelquefuerzaFBC

Llamando CBF a la fuerza que la corredora ejerce sobre el bloque, y BCF a la fuerza que el bloque ejerce sobre

la corredora:

Ns

mkgamF CCBC 82515.55.

2 es la magnitud de la fuerza que el bloque ejerce sobre la corredora, que

es la fuerza que impulsa a la corredora.

Ej. 5 (Segunda Ley de Newton)

Un disco de hockey de 0,160kg reposa en el origen (x = 0 m) sobre una cancha horizontal sin fricción.

En t = 0 s, un jugador aplica una fuerza de 0,250 N al disco, paralela al eje x, y deja de aplicarla en t

= 2 s. a) ¿Qué posición y velocidad tiene el disco en t = 2 s? b) Si se aplica otra vez esa fuerza en t = 5,00 s, ¿qué posición y velocidad tiene el disco en t = 7 s?

a)2

2

562,1.

562,1160,0

250,0

s

m

kgs

mkg

kg

N

m

Fa es la aceleración del disco.

Suponiendo que el disco parte del origen de coordenadas 00 x , del reposo 00 v , en el instante 00 t ,

usando las ecuación horaria y de la velocidad de este MRUV para t = 2 s, es:

mss

mxtax st 124,34.562,1.

2

1.

2

1 2

222 es la posición del disco a los dos segundos.

s

ms

s

mvtav st 124,32.562,1. 2 es la velocidad del disco a los dos segundos de haber sido

lanzado.

b) En el intervalo de tiempo sts 52 el disco siguió un MRU, por lo tanto

mss

mmtvxx ss 5,1225.124,3124,3.25

En el intervalo de tiempo sts 75 el disco siguió un MRUV, por lo tanto

2

557 ..2

1. tatvxx sss

mss

ms

s

mmx s 2357.562,1.

2

157.124,35,12 22

27

tavv ss .57 s

ms

s

m

s

mv s 25,657562,1124,3

27

Ej. 6 (Diagrama de cuerpo libre)

Un cuerpo de 6 kg es levantado por medio de una soga imprimiéndole una aceleración de 240,0s

m . ¿Cuál es

la tensión de la soga? Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas en sentidos contrarios, como se ve en el diagrama de cuerpo libre:

La tensión de la cuerdaT y el peso del cuerpo P . Aplicando la segunda ley de Newton para la fuerza neta:

amFFn

ii .

1

PTF

Tomando como sistema de referencia el eje “y” paralelo a ambas fuerzas, el eje “x” perpendicular a él, y el origen de coordenadas coincidente con la masa “m”, el módulo de la fuerza resultante se calcula:

yyyy maPTF Ns

mkgagmamgmTy 2,61)40,08,9.(6).(..

2

Ej. 7 (Diagrama de cuerpo libre) Una cubeta de 4,80 kg que está llena de agua se acelera hacia arriba con un cordel de masa despreciable cuya resistencia de ruptura es de 75,0 N.

a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la cubeta. En función de las fuerzas de su diagrama, ¿qué fuerza neta actúa sobre la cubeta?

b) Aplicar la segunda ley de Newton a la cubeta y determinar la aceleración máxima hacia arriba que puede imprimirse a la cubeta sin romper el cordel.

Tomando como sistema de referencia el eje “y” paralelo a ambas fuerzas, el eje “x” perpendicular a él, y el origen de coordenadas coincidente con la cubeta:

amFFn

ii .

1

jamPT ˆ..

jamjmgT ˆ..ˆ es la fuerza neta sobre la cubeta

gm

T

m

mgTa máxmáx

máx

22

283,58,9

.80,4

.75

s

m

s

m

kgs

mkg

amáx

gmP .

m

T

gmP .

a

y

x

y

m

a

T

x

Ej. 8 (Diagrama de cuerpo libre-péndulo) Una pelota cuelga de un cordón largo atado al techo de un vagón de tren que viaja al este sobre vías horizontales y cuya velocidad va en aumento. Un observador dentro del tren ve que la pelota cuelga inmóvil. Dibujar un diagrama de cuerpo libre claramente marcado para la pelota. ¿La fuerza sobre la pelota es cero? Justificar la respuesta.

Aplicando la segunda ley de Newton, un observador en el tren plantea: OFFn

iineta

1

, o sea que la fuerza

neta sobre la pelota es nula.

OPTFneta 0PT , por lo tanto PT la tensión de la cuerda es igual al peso de la pelota.

Un observador fuera del tren ve que la pelota se mueve en sentido contrario al sentido en que se desplaza el tren:

amFn

ii .

1

netaFamPFT . donde T es la tensión de la cuerda, P es el peso de la pelota y

F es la fuerza externa que hace que la pelota se mueva en sentido contrario al tren según este observador. Descomponiendo las fuerzas respecto del sistema de referencia elegido

netayyyy

netaxxxx

FamTPF

FamPF

.

.

.

.

De modo que la expresión de la fuerza neta sobre la pelota es jTPFiPFF yyxxnetaˆ.ˆ.

a

v

Diagrama de Cuerpo Libre para un

observador fuera del tren

y

T

F

P

x

y

x

T

P

Diagrama de Cuerpo Libre para un

observador en el tren

Ej. 9 (Diagrama de cuerpo libre-plano inclinado) En un cierto punto del camino entre su casa y la escuela, su auto (de masa m=1600 kg) avanza sin motor (en punto muerto) con velocidad constante a 72 km/h si no hay viento. Un mapa topográfico indica que en este tramo de camino recto la altura se reduce 200 m por cada 6000 m de camino. ¿Qué fuerza de resistencia total (fricción más resistencia del aire) actúa sobre su coche cuando viaja a 72 km/h? Para calcular el ángulo de la pendiente

del camino:

30

1

6000

200

m

mtg

º909,130

1

arctg

Luego aplicando la segunda Ley de Newton:

amFn

ii .

1

donde 0a pues el auto

se mueve con MRU, es:

ONPFres

Descomponiendo las fuerzas sobre cada eje del sistema de referencia:

0cos..

0..

gmN

sengmFres

De la primera ecuación

sengmFres .. Nsens

mkgFres 33,522º909,1.8,9.1600

2 es la fuerza de resistencia total que actúa

sobre el coche.

Ej. 10 (Diagrama de cuerpos vinculados)

Un cuerpo de masa kgm 91 que se encuentra sobre un plano horizontal, está vinculado por una cuerda a otro

cuerpo de masa kgm 62 que cuelga suspendido de la misma como se indica en el esquema. Suponiendo

que el rozamiento es despreciable, calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. Hacer un diagrama de cuerpo libre para cada masa.

1a

2a

1m 1T

2T

2P

2m

y

x P

resF

yP

xP

N

Se elige un sistema de referencia para cada cuerpo de manera que las aceleraciones de ambos sean paralelas al mismo eje y estén orientadas en el mismo sentido:

1T es la tensión de la cuerda sobre el cuerpo de masa 1m

2T es la tensión de la cuerda sobre el cuerpo de masa 2m

Las intensidades de ambas tensiones son iguales por lo tanto las denominamos con la letra T .

1a es la aceleración del cuerpo 1 y 2a es la del cuerpo 2, como ambas tienen el mismo módulo la denominamos

a , que es la aceleración del sistema.

Aplicando la segunda Ley de Newton amFn

ii .

1

, y descomponiendo las fuerzas sobre cada cuerpo según su

correspondiente sistema de referencia. Para el cuerpo 1:

0

.

11

1

PN

amT

Para el cuerpo 2

amPT .22

De las ecuaciones planteadas se deduce:

amgmamT ... 221 gmamm .. 221 2

2

21

2 92,369

8,9.6.

s

m

kgs

mkg

mm

gma

Reemplazando el valor de la aceleración en cualquiera de las ecuaciones donde ella figura, particularmente en la más sencilla de resolver, se obtiene el valor de la tensión de la cuerda:

Ns

mkgamT 28,3592,3.9.

21

Cuerpo 2

1N

1P

1m

1T x

x

y

2m

1a

2a

2P

2T

Cuerpo 1

y

Ej. 11 (Diagrama de cuerpos vinculados) Máquina de Atwood. Una carga de 15,0 kg de tabiques pende de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso de 28,0kg en el otro extremo (ver la figura). El sistema se libera del reposo.

a) Dibujar un diagrama de cuerpo libre para la carga y otro para el contrapeso. b) ¿Qué magnitud tiene la aceleración hacia arriba de la carga de tabiques? c) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la carga se mueve?. Comparar esa tensión con el peso de la

carga y con el del contrapeso.

a) Diagramas de cuerpo libre para la carga y para el contrapeso: Se elige un sistema de referencia para cada cuerpo de manera que las aceleraciones de ambos sean paralelas al mismo eje y estén orientadas en el mismo sentido: b) Las condiciones del problema son:

aaa

TTT

21

21

Aplicando la segunda Ley de Newton para la carga y el contrapeso, descomponiendo las fuerzas que sobre ellos actúan según sus respectivos sistemas de referencia y teniendo en cuenta las condiciones antes enunciadas:

amgmT

amgmT

..

..

22

11

amgmamgm .... 2211 ammgmm .. 2112

carga 1m

2m contrapeso

polea

1a x

1T

1P

1m

carga

x

y

2m

2a

2T

2P

contrapeso

y

De modo que

2

2

21

12 96,21528

8,9.1528.

s

m

kgs

mkg

mm

gmma

c) Ns

mkggamT 4,1918,996,2.15.

21 es la tensión de la cuerda mientras la carga se mueve.

Para comparar esta tensión con los pesos de la carga y el contrapeso se calculan:

Ns

mkggmP 1478,9.15.

211 que es el peso de la carga.

Ns

mkggmP 4,2748,9.28.

222 que es el peso del contrapeso.

Conclusión: 21 PTP durante el movimiento la tensión en la cuerda es mayor que la carga y menor que el

contrapeso. BIBLIOGRAFÍA: Física Universitaria – vol. 1, Sears-Zemansky – Ed. Pearson Física para la ciencia y la tecnología – Vol. 1, Tipler – Ed.Reverté

UNIDAD 3: TRABAJO Y ENERGÍA

Trabajo de una fuerza constante y desplazamiento rectilíneo: Una fuerza externa que actúa sobre un cuerpo no deformable realiza un trabajo cuando produce un desplazamiento del mismo.

F es la fuerza externa

r es el desplazamiento producido

es el ángulo formado por la fuerza y el vector

desplazamiento.

cos.. rFW es el Trabajo de la Fuerza F

En particular si el desplazamiento es a lo largo del eje “x”

cos.. xFW

Si bien las magnitudes fuerza y desplazamiento son vectoriales, el trabajo es una magnitud escalar. Si la fuerza externa y el vector desplazamiento son paralelos el ángulo formado entre ellos es 0º o 180º, según sean dichos vectores del mismo sentido o de sentido contrario, respectivamente y en estos casos:

0.º0cos.. rFrFW

0.º180cos.. rFrFW

Si el desplazamiento es nulo, el trabajo también lo es, es decir que la fuerza no realiza trabajo.

F

r

00 xr ff xr

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo también es nulo pues el 0º90cos y por lo tanto la

fuerza tampoco realiza trabajo. Trabajo de un sistema de fuerzas: Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas exteriores, el trabajo neto o total realizado por dichas fuerzas es igual al trabajo de la fuerza neta, que es igual a la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.

n

i

i

n

i

ineto rFWW11

.

Unidades del trabajo: En el sistema MKS:

JmNrFW . denominada Joule.

En el sistema CGS:

ergcmdinarFW . denominada ergio.

En el sistema Técnico:

kgmmkgrFW . denominada kilográmetro.

La expresión kgfkg se denomina kilogramo fuerza.

Equivalencias: Jkgm 8,91 y ergJ 7101

Potencia: Es el trabajo realizado por unidad de tiempo t

WP

La unidad de Potencia en el MKS es

Ws

J

t

WP

que se denomina Watt.

La potencia es una magnitud escalar que representa la rapidez con que se realiza un trabajo.

Equivalencias: Ws

kgm8,91 y

s

ergW 7101

Otras unidades de Potencia:

El Caballo Vapor o Cheval Vapeur C.V.: ws

kgmVC 73575..1

El Caballo de Fuerza o Horse Power H.P.: Ws

kgmPH 7,74502,76..1

Potencia media y Potencia Instantánea: Reemplazando el trabajo por su correspondiente expresión, se obtiene:

mm vFt

rFP .

.

Potencia Media

Si el intervalo de tiempo tiende a cero, en lugar de tener la velocidad media se tiene la velocidad instantánea, y la potencia que se obtiene es la instantánea.

vFP . Potencia Instantánea

Energía: Se dice que un cuerpo posee energía cuando sobre él actúan fuerzas que puedan realizar un trabajo.

Energía Cinética K :

Es el trabajo total que se efectúa para acelerar un cuerpo desde el reposo hasta una determinada velocidad.

Se calcula 2..

2

1vmK

Como se puede ver esta energía es siempre positiva ya que la masa es positiva y el cuadrado de la velocidad también.

Unidad de K en el sistema MKS: JmNs

mkgvmK ...

2

22

Joule

Variación de Energía Cinética K :

20

22

0

2

0 ..2

1..

2

1..

2

1vvmvmvmKKK fff

Teorema del Tarabajo y la Energía: El trabajo realizado por una fuerza externa es igual a la variación de energía cinética.

WKKK f 0

Energía Potencial Gravitatoria U :

Es la energía que posee un cuerpo debido a su altura con respecto a una posición a la cual se le asignó altura cero. Es el trabajo que efectúa una fuerza para cambiar la altura de un cuerpo con respecto a la tierra.

Se calcula: hgmU ..

Donde el producto gm. es el peso del cuerpo,

y h es la altura.

Variación de Energía Potencial Gravitatoria:

Para elevar un cuerpo desde una altura 0h hasta otra altura fh con velocidad constante se debe aplicar una

fuerza externa de igual módulo y sentido contrario que su peso. Esta fuerza realiza un trabajo en contra de dicha fuerza de gravedad.

y

x O

hy f hgmU ..

0U

m

UhgmhgmhhgmW iffF ...... 0

El trabajo de la fuerza peso,W :

UhgmhgmhhgmW iffP ...... 0

De modo que if UUU

es la Variación de Energía Potencial gravitatoria. Observación: Para calcular la energía potencial de un cuerpo se necesita establecer un nivel de energía cero, por costumbre se adopta a la superficie terrestre como dicho nivel. Esto implica que la energía potencial de un cuerpo no tiene un valor absoluto sino que depende del nivel cero elegido. En cambio con la variación de energía potencial no ocurre lo mismo ya que se obtiene por diferencia entre dos valores de energía potencial, lo que lleva a que esta diferencia sea independiente del nivel cero elegido. Energía Mecánica: Es la suma de la energía cinética y la potencial gravitatoria:

UKE

Esta suma permanece constante siempre y cuando sobre el cuerpo no actúen fuerzas discipativas, como por ejemplo la fuerza de rozamiento. Variación de Energía Mecánica:

UKUUKKE

UKUKEEE

ff

fff

00

000

Si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son conservativas, la variación de energía mecánica es nula 0E ,

esto implica que la variación de energía cinética es igual a menos la variación de energía potencial.

UKUK 0

Es decir que cuando aumenta la energía potencial disminuye la energía cinética.

Y como KW , entonces es UW

El trabajo realizado sobre un cuerpo por una fuerza externa es igual a menos la variación de su energía potencial.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA

Ej. 1 (Trabajo de una fuerza) Sobre un cuerpo actúa una fuerza de módulo 60 N e inclinación con respecto al desplazamiento, y lo

desplaza 10 m. Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza para los siguientes casos: a) º35

b) º70 c) º90 d) º115

y

x O

ff hy fhgmU ..

0U

m

00 hy 0.. hgmU

JmNrFWd

JmNrFWc

JmNrFWb

JmNrFWa

F

F

F

F

6,253115cos.10.60cos.. )

090cos.10.60cos.. )

2,20570cos.10.60cos.. )

5,49135cos.10.60cos.. )

Ej. 2 (Trabajo de una fuerza constante y desplazamiento rectilíneo) Imagine que empuja un libro de física 1,50 m sobre una mesa horizontal, con una fuerza de 2,40 N. La fuerza de rozamiento es de 0,600 N.

a) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza con la que usted empuja el libro? b) ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de rozamiento? c) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el libro?

cos.. xFW

JJJWWWc

JmNWb

JmNWa

r

r

fFtotal

f

F

70,29,060,3 )

9,0180cos.50,1.600,0 )

60,30cos.50,1.40,2 )

El trabajo total también se puede obtener calculando el trabajo de la fuerza neta que actúa sobre el libro.

JmNW

NNNFfF

netaF

rneta

70,250,1.80,1

80,140,2600,0

Ej. 3 (Trabajo de una fuerza constante y desplazamiento rectilíneo) Un cuerpo de 15 kg se eleva con velocidad constante desde el suelo hasta una altura de 8 m. Calcular la fuerza necesaria para levantar el cuerpo, el trabajo que ella realiza y el peso del mismo. Si la velocidad es constante entonces la fuerza neta sobre el cuerpo es nula y por lo tanto la fuerza necesaria para levantar el cuerpo es igual y contraria a la fuerza peso .

OPF Ns

mkggmPF 1478,9.15.

2

El trabajo realizado por la fuerza es

JmNhFWF

11760cos8.147cos..

Ej. 4 (Trabajo de la fuerza peso a lo largo de un camino cerrado) Un hombre de 80 kg sube una escalera vertical de 3 m de altura. Calcular el trabajo realizado por la fuerza peso en los siguientes casos:

a) durante el ascenso. b) durante el descenso. c) durante el recorrido completo.

m F rf

0x fx x

y

x

m

O

F

P

h

U=0

a) Jms

mkghgmhPWascenso 23523.8,9.80..180cos..

2

b) Jms

mkghgmhPWdescenso 23523.8,9.80..0cos..

2

c) JJJWWW descensoascensoneto 023522352

Observación: Las fuerzas que cumplen con la propiedad de que el trabajo realizado a lo largo de un camino cerrado es nulo, se llaman fuerzas conservativas. En estos casos el trabajo realizado es independiente del camino recorrido.

Ej. 5 (Energía Cinética) Se cree que la masa del Tyrannosaurus Rex era del orden de los 7000 kg.

a) Trate al dinosaurio como si fuera una partícula y estime su energía cinética al caminar con una veocidad de 4,0 km/h.

b) ¿Con qué velocidad tendría que moverse una persona de 70 kg para tener la misma energía cinética que el dinosaurio al caminar?

a) Js

mkgvmK 3

2

2 10 .32,43600

1000.0,4.7000.

2

1..

2

1

b) despejando la velocidad de la expresión de la energía cinética

h

km

s

m

kg

J

m

Kv 4010,11

70

10.32,4.2.2 3

Ej. 6 (Trabajo de una fuerza y variación de energía cinética)

Un electrón en movimiento tiene una energía cinética 1K . Después de realizarse sobre él una cantidad neta de

trabajo W, se mueve con una cuarta parte de su velocidad inicial y en sentido contrario.

a) Calcular el trabajo realizado en función de la energía cinética 1K .

b) ¿Su respuesta depende de la dirección final del movimiento del electrón? a)

Según el Teorema del Trabajo y la Energía KW

La energía cinética inicial del electrón es 211 ..

2

1vmK

La velocidad final del electrón es 12 .4

1vv

De modo que reemplazando estos datos en la expresión del trabajo resulta:

21

2

121

2212 ..

2

1.

4

1..

2

1..

2

1..

2

1vmvmvmvmKKW

Reorganizando los datos en esta ecuación:

11121

21

16

15

16

1..

2

1..

2

1.

16

1KKKvmvmW

b) El resultado obtenido no depende de la dirección final del electrón pues la energía cinética sólo depende del módulo de la velocidad, no de su dirección y sentido.

Ej. 7 (Trabajo de un sistema de fuerzas) Sobre un cuerpo de masa 10 kg que se encuentra sobre un plano inclinado 25° actúa una fuerza horizontal de 150N. Por este motivo el cuerpo se desplaza 5m. Calcular el trabajo en los siguientes casos:

a) De la fuerza horizontal. b) De la fuerza peso. c) De la fuerza neta.

a) JmNxFWF

7,67925cos.5.150cos..

b) Jms

mkgxgmxPW

P08,207115cos.5..8,9.10115cos..cos..

2

c) JJJWWWPFneto 62,47208,2077,679

Ej. 8 (Trabajo – energía - potencia) Se requiere una bomba para elevar 800kg de agua por minuto desde el fondo de un pozo de 14,0m, expulsándola con una velocidad de 18,0 m/s.

a) ¿Cuánto trabajo se efectuará para subir el agua? b) ¿Cuánto trabajo se efectuará para impartirle la energía cinética que tiene al salir? c) ¿Qué potencia desarrolla la bomba?

a) Jms

mkghgmUW 1097600,14.8,9.800..

21 considerando 00 h , la posición inicial en el

fondo del pozo.

b) Js

mkgvmKW 1296000,18.800.

2

1..

2

12

22

considerando 00 v , la velocidad inicial del

agua en el fondo del pozo.

c) Ws

JJ

t

WW

t

WP neto

bom ba 3,398960

12960010976021

Ej. 9 ( energía cinética, potencial y mecánica)

Un hombre arroja desde el suelo verticalmente hacia arriba un objeto de 3 kg, con una velocidad

inicial de 30 m/s. Calcular las energías cinética, potencial y mecánica para los siguientes casos: a) En el momento del lanzamiento. b) Al segundo de haber sido lanzado. c) En el punto más alto de su trayectoria. d) Al llegar al suelo.

a) En el momento del lanzamiento

Energía potencial: Jms

mkghgmU 00.8,9.3..

2

Energía cinética: Js

mkgvmK 135030.3.

2

1..

2

12

2

m

F

y

x

P

F

m

Diagrama de cuerpo libre

Energía mecánica: JJJUKE 135001350

b) Un segundo después del lanzamiento

Primero se deben calcular la posición y la velocidad del objeto en ese instante, tomando como posición inicial

00 y y como instante inicial st 00 :

s

ms

s

m

s

msvtgvtv

mss

ms

s

msytgtvyty

2,201.8,930)1(.)(

1,251.8,92

11.30)1(..

2

1.)(

2

20

2

2

200

Energía potencial: Jms

mkghgmU ss 94,7371,25.8,9.3..

211

Energía cinética: J

s

mkgvmK

ss 06,6122,20.3.2

1..

2

12

21 1

Energía mecánica: JJJUKE sss 135094,73706,612111

c) En el punto más alto de la trayectoria:

En este punto la velocidad es nula. Con este dato se puede calcular la altura del punto más alto máxmáx hy .

s

s

ms

m

g

vttgvtgvv 06,3

8,9

30..

2

000

mss

ms

s

mytgtvyy máx

xm9,4506,38,9.

2

106,3.30..

2

1.

2

2

200

´ 2

Energía potencial: JJms

mkghgmU máx 135046,13499,45.8,9.3..

2

Energía cinética: JvmK máxy 0..2

1,

Energía mecánica: JKUE máxymáxy 1350,,

c) Al llegar al suelo

La velocidad al llegar al suelo tiene la misma intensidad que la velocidad inicial pero sentido contrario.

Energía potencial: JmgmhgmU suelo 00....

Energía cinética: JKKsuelo 13500

Energía mecánica: JKUE 1350

Observación: Puede verse que la energía mecánica del objeto se mantiene constante, no así las energías cinética y potencial.

Ej. 10 (conservación de la energía mecánica) Se desea hacer subir una caja por una rampa inclinada 20° y con rozamiento despreciable. Se la empuja hacia arriba imprimiéndole una velocidad de 25m/s con una dirección paralela a la rampa. Calcular la distancia que recorrerá la caja sobre la rampa antes de detenerse.

Asignándole energía potencial nula al punto más bajo de la rampa y teniendo en cuenta que despreciamos el rozamiento, se tiene que:

La energía mecánica se conserva fEE 0 ff UKUK 00

ff hgmvmhgmvm ....2

1....

2

1 20

2

0 fhgmvm ....2

1 20 pues 0oh y 0fv

m

s

m

s

m

g

vh f 9,31

8,9.2

25

.22

2

20

es la altura a la que llega la caja.

Para calcular la distancia recorrida sobre la rampa: BIBLIOGRAFÍA: Física Universitaria – vol. 1, Sears-Zemansky – Ed. Pearson Física para la ciencia y la tecnología – Vol. 1, Tipler – Ed.Reverté