matemáticas para el ingreso de adultos a la educación superior

Matemtica para el ingreso a laEducacin Superior en loscursos para trabajadores

Milagro Riquenes Rodrguez y Arcenio Celorrio Snchez

Todas las universidades de Cuba en una:

Pgina legal375.851-Riq-M

Matemtica para el ingreso a la Educacin Superior en los cursos para trabajadores / Milagros Riquenes Rodrguez; Arcenio Celorrio Snchez. -- Ciudad de La Habana :Editorial Universitaria, 2008. -- ISBN 978-959-16-0302-9. -- 140 pg.

1. Riquenes Rodrguez, Milagros

2. Celorrio Snchez, Arcenio

3. Ciencias Matemticas

Edicin: Luz Mara Rodrguez Cabral

Correccin: Dr. C. Ral G. Torricella Morales

Diseo de cubierta: Elisa Torricella Ramirez

Editorial Universitaria del Ministerio de Educacin Superior de la Repblica de Cuba, 2008

La Editorial Universitaria publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento No Comercial Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribucin por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores, no haga uso comercial de las obras y no realice ninguna modificacin de ellas. La licencia completa puede consultarse en: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/ar/legalcode

Editorial Universitaria Calle 23 entre F y G, No. 564,

El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cuba.

e-mail: [email protected]

Sitio Web: http://revistas.mes.edu.cu

PRESENTACINCon el objetivo de apoyar el ingreso a la Educacin Superior en los cursos para trabajadores se ha elaborado el texto titulado MATEMTICA PARA EL INGRESO A LA EDUCACIN SUPERIOR EN LOS CURSOS PARA TRABAJADORES el cual presenta un aporte metodolgico sobre los temas: x Clculo numrico y trabajo con variables x Ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadrticas. Ecuaciones con radicales. x Funciones lineales y cuadrticas. Exponenciales y logartmicas x Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incgnitas. x Funciones trigonomtrica

En cada tema se oferta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodologa de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones, presenta un lenguaje claro y sencillo. Por el gran nmero de ejemplos resueltos, se logra ejemplificar la metodologa de trabajo aportada.

ndice general

1- Clculo numrico y trabajo con variables................................................................ 1

2- Ecuaciones lineales y cuadrticas: ecuaciones con radicales.............................. 37

3- Funciones lineales y cuadrticas, exponenciales y logartmicas: inecuaciones linealres y cuadrticas.......................................................................................... 48

4- Sistema de ecuaciones......................................................................................... 86

5- Funciones trigonomtricas................................................................................. 111

Bibliografa......................................................................................................... 127

Clculo numrico y trabajo con variables 1

TEMA 1 CLCULO NUMRICO Y TRABAJO CON VARIABLES

1.1. Repaso En Matemtica la palabra conjunto se emplea para expresar la idea de una coleccin de objetos de la realidad o del pensamiento bien determinados y diferenciados. La pertenencia de un objeto x a un conjunto A se expresa mediante la proposicin x es elemento de A y se denota .Ax Si por el contrario el objeto x no pertenece al conjunto A, se dice x no es elemento de A y se denota

.Ax

Existen conjuntos que contienen solamente un elemento, son los llamados conjuntos unitarios, por ejemplo: el conjunto de los nmeros pares primos. Los conjuntos que carecen de elementos se denominan conjuntos vacos, ejemplo: los nmeros naturales x tales que 2< x < 3. Los conjuntos los podemos denotar de dos formas: la forma tabular y la descriptiva.

Notacin tabular: Decimos que un conjunto est expresado en notacin tabular cuando se enumeran todos sus elementos. Se escriben todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplos a) El conjunto formado por los nmeros naturales 2,3,5 y 8

A1= {2, 3, 5,8}

b) El conjunto formado por las asignaturas: Matemtica, Fsica y Qumica

A2= {Matemtica, Fsica, Qumica}

Notacin Constructiva: Decimos que un conjunto est expresado en notacin constructiva cuando se enuncian propiedades que deben cumplir sus elementos.

Ejemplos

a) El conjunto formado por las soluciones de la ecuacin .x - x 0652

}065/{ 21 xxRxB

b) El conjunto formado por los estudiantes de la facultad de Agronoma del Centro Universitario de Las Tunas.

B2= {x / x es estudiante de la facultad de Agronoma del Centro Universitario de Las Tunas.}

A conjunto de nmeros como N, Z, Q, Q+ y R sobre los cuales han sido definidas algunas operaciones de clculo y una relacin de orden se denominan dominios numricos. Un dominio numrico puede contener como subconjunto otro dominio numrico.

Ciudad de La Habana : Editorial Universitaria, 2008. -- ISBN 978-959-16-0302-9


Fig. A-1 R: Dominio de los nmeros reales.

RRRR 2,21,5.7,2

Fig. A-2

Q es un subconjunto de R: RQ Q: Dominio de los nmeros racionales.

QQQQ 2,21,5.7,2

Fig. A-3Q+ RQ

Q+: Dominio de los nmeros fraccionarios

QQQQ 2,21,5.7,2

Fig. A-4

N Q+ RQ

N: Dominio de los nmeros naturales.

NNNN 2,21,5.7,2

Ejercicio I: En la secuencia que se representa en la figura anterior no se tiene en cuenta el dominio Z de los nmeros enteros. Haga un anlisis semejante para RQZN .Hemos construido el dominio de los nmeros reales (R) mediante ampliacin sucesiva de los dominios numricos con que bamos trabajando. De esta forma hemos podido eliminar deficiencias en cada dominio numrico tales como:

x Insuficiencia para la representacin y solucin de determinados problemas prcticos.

x Limitacin en la posibilidad de realizar determinadas operaciones.

x Discontinuidad de la recta numrica racional, o lo que es lo mismo, existencia de agujeros en la recta numrica que no son nmeros racionales.

Tambin en el dominio de los nmeros R existen insuficiencias. No todas las ecuaciones de

QR

NQ+QR

Q+QR

R



grado mayor que uno tienen solucin en R, por ejemplo: 012 x

A continuacin nos detendremos al estudio de las operaciones con los nmeros reales.

Definicin: Valor absoluto Dado un nmero real x, llamamos valor absoluto (o mdulo de x) y lo denotamos.

x = t

00

xsxxsx

Ejemplos: Calcular:

a) )4(4 porque -4 0 . Podemos concluir diciendo que el valor absoluto de cualquier nmero real es siempre no negativo.

1.2. Clculo con nmeros reales: 1.2.1. Suma algebraica.La suma algebraica de los nmeros reales de igual signo se realiza, sumando los valores absolutos de dichos nmeros y al resultado se les pone el mismo signo.

Ejemplos:

a ) 2+(3 ) ,So luc in : 22 , 3 =3 p o r l o q ue 2 +3=5

b ) 5 3 , S o l u c i n : 5 =5 , 3 =3 po r l o que 53 =- 8

c ) 3 . 2 5 2 . 1 =- 5 . 3 5

d )1223

12815

32

45

2.- La suma algebraica de dos nmeros reales con signos contrarios se realiza restando los valores absolutos de dichos nmeros y al resultado se le pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplos: Calcular:

:positivoesmdulomayordeelqueya2=5+3-quelopor5=53,=3-:Solucin5,+3-a)

-1,22,33,5-c)-25-3b)

a)127

12815

32

45

b)127

12815

32

45



Nota: En los casos donde aparezcan ms de dos nmeros reales en la expresin a calcular, lo primero que hacemos es agrupar los nmeros que tienen igual signo y luego efectuar las operaciones.

Ejemplo:

1.2.2. Multiplicacin y divisin: En la multiplicacin de nmeros reales efectuamos primeramente el producto de los signos sujeto a la regla que aparece en la siguiente tabla.

Se lee: ms por ms

es ms

Se lee: menos por

menos es ms

Se lee: ms por menos

es menos

Se lee: menos por ms

es menos

El producto de signos iguales es positivo (+) y el de signos diferentes es negativo (-), por lo que para efectuar un producto de dos nmeros reales se multiplican primero los signos y luego multiplicamos el valor absoluto de dichos factores, obteniendo as el resultado deseado.

Ejemplos: Calcular:

a ) ( - 3 ) . (2 )= -6

b ) ( - 3 ) . ( -2 ) =6

c) 65

1210

12)2()5()

32()

45(

En la divisin de dos nmeros reales (divisor distinto de cero) efectuamos primero el cociente de los signos sujeto a la siguiente tabla.

y y y yEl cociente de nmeros reales (divisor distinto de cero) de signos iguales es positivo (+) y el de signos diferentes es negativo (-), por lo que para efectuar el cociente de dos nmeros reales (divisor distinto de cero), primero se dividen los signos y luego se divide el valor absoluto de cada nmero, obtenindose as el resultado deseado.

Ejemplos:Calcular:

2(-2):(-4)b)-2(2):(-4)a)

c)8

152.4

)3).(5()23).(

45()

32(:)

45(

Dentro del clculo aritmtico de nmeros reales es importante tratar dos operaciones mutuamente inversas que son:



1.2.3. La potenciacin y la radicacin: Potenciacin: Es la multiplicacin abreviada de factores iguales:

Ejemplos : a) 813.3.3.3

b) rea de un cuadrado de lado a: 2. aaaA

c) Volumen de un cubo de lado a: 3.. aaaaV aaaaaaa

factoresn t

1;1)nN,nR,(.....

Definicin: na es la potencia de base a y exponente n

Ejemplos : Calcular utilizando la definicin.

a) 82.2.2)2( 3

b) 16)4).(4()4( 2

c) 125)5).(5).(5(

Nota: Obsrvese que cuando se trata de la potencia de una base negativa, si el exponente es impar, el resultado es negativo y s el exponente es par el resultado es positivo.

Propiedades de las potencias:

Teorema I: Para todos los nmeros reales a y b ( )00 zz bya y todos los nmeros naturales m y n ( )11 tt nym

Bases iguales

Exponentes iguales Multiplicacin

mnmn aaa xnnn baba )( x x

Divisin

mnmn aaa yn

y

baba nn



Potencia mnmn aa )( x

Ejemplos: Calcular aplicando las propiedades

a) 1282.2.2.2.2.2.222.2 743

b) 27)3()3).(3( 32

c) 6441040

1040 3

3

3

3

d) d) 444:4 123

Tratemos dos definiciones muy importantes en el clculo con potencias.

)0,(1:IDefinicin 0 z aRaa

)0,(1:IIDefinicin z aZka

a kk

Ejemplos: Calcular aplicando propiedades de las potencias:

a ) ( - 2 . 5 ) 0 =1

b) 5 - 3 = 351 =

1251

c) 641

)2(1)2()2( 6

623

Potencias de exponentes racionales:Por la definicin de raz n-sima:

),y1,0,0,( ZnmanaRaconaa nm

n m z

Como nm

a es una potencia de exponente racional, las propiedades expuestas en el teorema I son aplicables a las operaciones con races.

Ejemplos: Calcular:

a) 6 565

623

31

21

3 3333333 x x

b) 63636123123123 21

21

21

21

x x x



c) 661

1224

1

31

24 3 2 2222)2(

d) 21

41

418:282

21

21

21

21

y

e) 41616828282 21

21

21

21

x x x

Hasta aqu hemos tratado las operaciones de clculo con nmeros reales de forma separada, pero Cmo realizar el clculo numrico en expresiones donde aparezcan varias operaciones?

Para dar respuesta a esta interrogante debemos plantear que las operaciones de clculo tienen un orden de realizacin en cada expresin dada, el cual es como sigue:

1) Operaciones indicadas entre signos de agrupacin (parntesis, corchetes y llaves).

2) Potenciacin y radicacin en el orden que aparezcan.

3) Multiplicacin y divisin en el orden que aparezcan.

4) Adicin y sustraccin en el orden que aparezcan.

Ejemplos: Calcular:

a ) ( - 7 ) +3 . 5 2 =- 7 +3 . 2 5 = - 7 +7 5 = 6 8

b)127

12169

124.43.3

34

43

32.2

43

38.2

43 3

c) 11474171637 0 ..

3017

317.

101

617.2.

101

6892.

101

34

232.1,0)

3011

6022

2011.

32

20415.

32

51

43.

32)

e

d

6919

13838

138207245

23

138245

46

276490

46

2310.

1249

436

102312

15460

22864

102312

15412.5

53)4(74

3,245

315

) 223

f

1.3. Trabajo con variables:Las variables, constituyen un elemento del lenguaje matemtico, por eso no se utilizan reglas especiales para trabajar con ellas, sino que son vlidas las reglas del dominio numrico utilizado. Si se pregunta por ejemplo, Cul es el conjunto de los nmeros con la propiedad 4 < x


Establezcamos en lo adelante, el convenio: utilizar como dominio el conjunto de los nmeros reales siempre que no se especifique algn otro dominio.

Comencemos por definir el concepto de trmino:

Definicin de trmino: En nuestro caso, un trmino ser toda combinacin de variables y coeficientes numricos ligados nicamente por las operaciones de multiplicacin, divisin, potenciacin y extraccin de races (o combinaciones de stas) y su grado est dado por la suma de los exponentes que intervienen en el mismo. Son trminos:

443432

23312635

xyzc,baz,xy,,zy,x, x,

Definicin: Trminos semejantes.Llamamos trminos semejantes a aquellos que son numricos o cuando se componen de los mismos factores literales con exponentes correspondientes iguales ( en este ltimo caso los coeficientes numricos son distintos de cero).

Ejemplos: Son trminos semejantes: a) 3 y 5b ) - 5 b y 6bc ) 2 ab 3 c y 3 ,2 a cb 3

d) 2243y

32 mpnpmn

e) 33 53y4zyx

zyx

En cambio no son trminos semejantes:

34 5y4

3y23

abcabcb)

xyz -xyza)-

Definicin: Polinomio entero Llamamos polinomio entero a las sumas algebraicas del siguiente tipo:

)Znx,Raaxn y variablees(dondeUn polinomio entero que conste de uno, dos o tres trminos, se llama monomio, binomio o trinomio, respectivamente. Los polinomios pueden ser definidos tambin en varias variables, manteniendo las mismas restricciones apuntadas anteriormente, son polinomios los siguientes ejemplos:

Ejemplos: a ) 2x 4 -3 x 2 +5 x -0 .5b ) y 3 - 2y 2 + y 1



c ) 43 54213 zzz

d ) 4 ab 3 -5b a 4 +6 abNota: El grado de un polinomio lo determina el monomio de mayor grado. En los ejemplos anteriores el grado de cada polinomio es:

5d)4,c)3,b)4,a)

No es un polinomio entero la expresin: 321 xx

x porque incumple las restricciones

dadas para los trminos que conforman un polinomio entero pero si es un polinomio porque est formado por una suma algebraica de varios monomios.

La forma general de un polinomio entero de grado n en funcin de una variable es:

nnnnn axaxaxaxa ...3322110

1.3.1. Reduccin de trminos semejantes:Cuando en un polinomio existen trminos semejantes, estos pueden reducirse a un solo trmino, efectuando la suma algebraica de los correspondientes coeficientes numricos.

Ejemplos: Calcular:

> @ > @552433

5243352433)323

)2()3()52()52()32()2)2734(2734xb)

352)

222

2222

2

2222

222222

vzvzvzvzvzvzvzd

zxyxzzxyxyxxxyxzzxyxc

xxxxxa

Efectuar y calcular el resultado para los valores indicados:

> @^ `@ `

^ ` ^ `abbaaabba

aabbababaabbabaabaabba

babaabaabba

4244254252235

22[23{5101;

83;22235

Para los valores dados el resultado es:

2031

203430

203

51

23

101

834

1012

834

Nota: En los ejemplos anteriores puede observarse que siempre que se elimine o introduzca algn signo de agrupacin precedido de signo menos (-), los trminos interiores cambian de signo y en los casos en que los signos de agrupacin estn precedidos de signos ms (+), los



trminos interiores, mantienen sus signos.

1.3.2. Multiplicacin y Divisin: I.- Tratemos primeramente el producto de dos monomios: Multiplicar dos monomios es formarotro monomio cuyos factores sean todos y cada uno de los monomios dados. Ejemplos: a) ( - 2 a ) . ( 3b)= ( - 2 ) (3 ) ( a) (b )= - 6 a b b) ( - 3a 2 b ) ( 4a 3 b 2 c )=- 12a 5 b 3 c (aplicando propiedad de las potencias)

c) yazx

xyazx.

xaz.

yzx

89

23

43

23

43 323323

Producto de un monomio por un polinomio: Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los trminos del polinomio.

Ejemplos: a ) m (x +y ) =mx +m yb) m (x +y - z ) =m x +m y - mzc ) - 3a 2 b ( 4 a - 3b c+a b ) = - 1 2a 3 b +9 a 2 b 2 c -3 a 3 b 2

Producto de un polinomio por un polinomio: Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se aplica tambin la ley distributiva, resultando as un nuevo polinomio cuyos trminos son, los productos de cada trmino del primer polinomio por todos los trminos del segundo polinomio.

Ejemplos: a ) (a +b+ c ) (x +y+ z )=a ( x+ y + z )+ b ( x+y + z )+ c (x +y + z ) =a x+a y+a z +bx +b y +bz +c x+ cy+ czb ) (y - 1 ) (y 2 - 2 y - 1 ) =y (y 2 -2 y - 1 ) - (y 2 - 2 y - 1 ) = y 3 -2 y 2 - y -y 2 +2 y +1 = y 3 -3 y 2 + y+ 1 c ) ( x +y ) (x - y ) =x ( x - y ) +y ( x -y ) =x 2 - xy + yx - y 2 =x 2 -y 2

d ) (x - y ) (x - y ) =x ( x -y ) - y (x - y ) =x 2 - xy - yx +y 2 = x 2 -2 x y +y 2

Divisin de dos monomios:Dividir dos monomios es encontrar otro monomio cuyo producto por el divisor sea el dividendo, y se calcula: dividiendo los coeficientes correspondientes y las expresiones literales, aplicando las propiedades de las potencias.



Ejemplo:

a) 2223

2

23

54

204

20 abbaa

aba

Divisin de un polinomio por un monomio: Para dividir un polinomio por un monomio basta dividir cada trmino del polinomio por el monomio y formar el polinomio cuyos trminos son los cocientes as hallados.

Ejemplos:

a) 0)(n; z

nc

nb

na

ncba

b) baaab

aa

aaba 333

22

Divisin de un polinomio por otro polinomio: Dada la divisin de los polinomios A(x) y B(x) tal que el grado del denominador sea menor o igual que el grado del numerador. S C(x) es el cociente y R(x) es el resto se cumple:

)()()()( xRxCxBxA x

Ejemplo: a) Sean:

431712116 223 - x x B(x) y x - x - xA(x) Se plantea:

6x3 - 11x2 + 12x - 17 -6x3 + 2x2 8x 2x - 3 -9x2 + 4x 17 9x2 - 3x +12 x - 5

Comprobacin:

La divisin efectuada es correcta si se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente ms el resto:

17121161712116

512832961712116

532431712116

2323

22323

223

x-x-xx-x-x

x-x-xx-x-xx-x-x

)(x - )x-)( -xx(x-x-x

Nota: observe que las potencias tanto en el dividendo (numerador) como en el divisor (denominador) estn ordenadas en forma decreciente.

3x2 - x + 4



1.3.3. Otras transformaciones de trminos: Productos notables: En aritmtica es necesario memorizar las tablas de multiplicacin, en el trabajo con variables hay ciertos productos simples que tambin se necesitan memorizar por la frecuencia en que se utilizan; estos son los llamados productos notables que a continuacin se relacionan.

ayaxyxa )(1.22)()(2. yxyxyx

222 2)(3. yxyxyx r r

abxbaxbxax )()()(.4 2

bdxbcadacxdcxbax )()()(5. 2

32233 33)(6. yxyyxxyx rr r

3322y)(x7 yx)yxyx(. r r #

Ejemplos: Resolver los siguientes productos: a ) (3 x+ y ) ( 3x -y ) = ( 3 x ) 2 -y 2 =9x 2 -y 2

b ) ( y+3) ( y - 1 )=y 2 + ( 3 - 1 )y - 3= y 2 + 2 y - 3c ) ( 3 a+b ) 2 = ( 3a ) 2 +2 ( 3a ) (b )+b 2 = 9a 2 +6 ab + b 2

d ) (2 x -y ) 3 = ( 2x ) 3 - 3 ( 2 x ) 2 (y ) +3 ( 2x ) (y ) 2 - y 3 =8 x 3 - 12 x 2 y +6 x y 2 -y 3

e ) ( x - 2 ) (x 2 + 2x +4)= x 3 - 2 3 = x 3 - 81.3.4. Descomposicin en factores: Teniendo en cuenta la particularidad de los productos notables expuestos anteriormente, descompngase en factores las siguientes expresiones algebraicas.

1 ) 2 x 2 + 4 x y +6 xz , obsrvese que en cada trmino est presente el factor 2x por lo que se les llama factor comn y la suma algebraica se descompone en factores de la siguiente forma.

)32(226

24

222642

22 zyxx

xxz

xxy

xxxxzxyx

2) x 3 +3 x 2 +2 x +6 =( x 3 +3 x 2 ) + ( 2 x+ 6 ) =x 2 ( x+3) +2 ( x +3) = ( x 2 +2 ) (x+3 ) 3 ) 2a x -b y -a y+2b x = ( 2 a x - a y ) + ( 2 b x - b y ) =a ( 2 x - y ) +b ( 2 x -y ) = ( 2x -y ) ( a +b )4) a2 - b2, observe que esta suma algebraica es una diferencia de cuadrados, que es el resultado de multiplicar la suma por la diferencia de las races cuadradas, segn se observa en el producto notable (2)

a 2 - b 2 = (a -b ) ( a+ b )



5 ) 4 x 2 y 4 - 9 = ( 2 xy 2 - 3 ) ( 2xy 2 +3 ) 6 ) x 2 +6 x+9 , observe que esta suma algebraica presenta las caractersticas del producto notable (3) es decir el 1ro y 3er trminos tienen raz cuadrada exacta y el trmino medio (6x), es el duplo del producto de dichas races, por lo que:

x 2 +6 x +9=( x +3 ) 2

Todo trinomio de la forma "2" 22 baba r se denomina Trinomio

Cuadrado Perfecto, y se descompone de la siguiente forma:

)()()(2 222 bababababa rr r r

7)2

2

53

56

259

xxx donde x y

23 son las races cuadradas de los extremos

259y2x

8) 9102 xx

En este trinomio, las races cuadradas de los extremos son 3yx respectivamente y )(x)(x 3210 z que es el duplo del producto de las races cuadradas de los extremos x2 y 9, por lo

que podemos decir que dicho trinomio no es cuadrado perfecto, debemos averiguar entonces si cumple las caractersticas de algn otro producto notable.

Observe el producto notable abxbaxbxax )())(( 2 y en el trinomio (h) se cumple que 9y10 baba

Existen los nmeros a y b que cumplan estos requisitos?

R /a =1 y b =9 a =9 y b =1 , por lo que )) (x (xxx 919102

b.a qba pb)a) (x(xqpxx yconendescomponese

:formalade trinomioTodo2

213queya1323329 2 o - p)) (- (; q y p- qy) y

)1)(3(322 yyyy

10) r2 -2r -3 = (r - 3) ( r + 1)

En general

0by0a0py0qS !!o!!x

0by0a0py0qS o!x

x S q < 0o a y b tienen signos contrarios y el de mayor valor absoluto coincide con el signo de p.



11) 214110 2 xx , segn el desarrollo del producto notable (5) este trinomio es de la forma qpxmx 2 donde, m = a . c , q = b d y p = a d + b c ,

Ensayemos la descomposicin factorial de m y q comprobndose s la suma del producto de los factores tomados dos a dos nos dan p.

En el ejemplo m= 10 , q =2 1 y p = 4 1

Probemos 1 0 =5 . 2 , 21 =7 . 3 y comprobamos que: 41 =5 .7 +2 .3

Luego a = 5 , b =3 , c= 2 y d =7

Por lo que:

7235214110 2 xxxx

En la prctica se descomponen de la siguiente forma:

417532

3572

214110 2

pp

.x.x

xx

xx

Como la suma del producto cruzado de los factores de los trminos 2mx y q coincide con el valor de p se cumple que 7235214110 2 xxxx

Es decir los factores seleccionados para m y q se comprueban formando la suma del producto cruzado, y s estn bien elegidos los factores se forman horizontalmente.

-)y (-)y (-

y-y

y - y

133322------------------

2-332

6132612)

pp

)y - ) (y - (y - y 23326136 2



444

4

4

48

11143

14

3

311413

t))(t()t)((

t

t

tt)

pp

)t) ( - (t - t - t 1433114 4448

Ejemplos de descomposicin factorial de sumas y diferencias de cubos: 14) m3 + n3,esta suma algebraica presenta las caractersticas del miembro derecho del producto notable (7)

33227 yx)yxyy) (x (x:)( r r #

por lo que )n-mnn)(m(mnm 2233

15) 968 -yx esta expresin se puede expresar como una diferencia de cubos, de la forma,

333296 28 )-(y)x(-yx ])(y))(yx()x)[(-yx( 23322232 222

)yyxx)(-yx( 632432 242

16)

82

44123

391

31

271 yzzyzyyz

1.3.5. Cuadrados perfectos incompletos: Llamaremos as a los polinomios que puedan ser convertidos en cuadrados perfectos mediante la adicin de un trmino conveniente. Para que la expresin dada no se altere, es preciso restar a continuacin el trmino agregado. S este trmino es a su vez un cuadrado perfecto, la expresin puede escribirse como la diferencia de dos cuadrados y por consiguiente ser factorizado.

Ejemplos:

a ) y 4 +y 2 +1

Solucin: El trinomio no es un cuadrado perfecto; para que lo fuese el trmino del medio deba ser 2y2 sumando y restando y2 se obtiene:

y 4 + y 2 +1 +y 2 - y 2 =y 4 +2 y 2 +1 -y 2



= ( y 2 +1) 2 - y 2

= ( y 2 +1- y ) ( y 2 +1 +y )

b)x 4 - 10 x 2 +1 6 9

Solucin: Para que este trinomio sea cuadrado perfecto se necesita que el trmino medio sea -26x2 26x2. Observe que la ultima opcin es la acertada, ya que al sumar y restar este trminose obtiene una diferencia de cuadrados. x 4 +2 6 x 2 + ( 1 3 ) 2 - 2 6x 2 - 1 0x 2 = (x 2 +13 ) 2 - 3 6x 2 = ( x 2 +1 3) 2 - (6 x ) 2

= ( x 2 +1 3- 6x ) (x 2 +13 +6 x )= ( x 2 -6 x + 1 3 ) (x 2 +6x +1 3) c ) z 4 + 4 =( z 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = ( z 2 ) 2 +4 z 2 +2 2 4 z 2

= ( z 2 +2 ) 2 -4 z 2

= ( z 2 +2 -2 z ) ( z 2 +2 +2 z )= ( z 2 - 2 z + 2) ( z 2 +2 z+ 2 )Nota: Como: a 2 +2a b+b 2 = (a +b ) 2 se deduce que: a 2 +b 2 = ( a+b ) 2 - 2 abComplemento cuadrtico: Anteriormente vimos que 222 2)( bababa donde debe observarse que:

222)( baba z

A veces es necesario transformar una suma en una expresin que contenga un trinomio cuadrado perfecto, entonces se habla del complemento cuadrtico.Mediante algunos ejemplos se dar el procedimiento a seguir: Transformar las siguientes sumas de modo que contengan un trinomio cuadrado perfecto: a) x 2 + 4xSolucin: 1ro.- Recordar que ( a+ b ) 2 =a 2 +2a b+b 2

2do.- Comparar cada trmino de la suma con los del trinomio cuadrado perfecto respectivamente, o sea, x2 con a2, por lo que x=a , 4x con 2ab, es decir

4x =2xbb =2b 2 =43ero Sumar y restar a la expresin algebraica dada, b2 el cual se denomina complemento cuadrticox 2 +4 x =x 2 +4 x+2 2 - 2 2 =( x+2) 2 -2 2 =(x +2 ) 2 - 4El complemento cuadrtico es: C. C = 2 2 =4

b) y41



21

41 2 a a ; baby

2122 ; 222 yy)( bby , luego:

22

2221

41

41 yyyyyy

por lo que C . C =y 2

452

27

452

4497

449

43

4497

437

449

27

27

277272

437

2222

2222

2

o

o

zzzzzzz

C.C y bzzz, bzbz,abz,aza

zz)c

Estos resultados obtenidos en los ejemplos anteriores nos permite contar con otro procedimiento para descomponer en factores trinomios de la forma

qpxmx 2 .

Ejemplos: Descomponer en factores si es posible:

a) 313x4x 2

43

413x4 2 x ,

xx 2a ; 64

169by8

132x1

413x

24

13

2a4

13x

4132ab 2 x o

x

x

bx luego

4x2 + 13x +3 =

64169

43

8134

2

x

=

64121

8134

2

x

=

811

813

811

8134 xx

= 1434134

8234

xxxxxx

]412

212

41

21

212

212122b) 222 + )[(y + ] =- + )[(y + ) = + y + (y = y + +y

Este resultado no tiene descomposicin factorial ya que es una suma de cuadrados. Combinacin de casos de descomposicin: a ) x 2 - 2x y+y 2 - 2 5 z 2 = (x 2 -2 xy +y 2 ) - 2 5 z 2

= ( x - y ) 2 - (5 z ) 2



=( x - y -5 z ) ( x -y +5 z )b ) 4a 2 - c 2 - 6cd +b 2 -9 d 2 -4 ab =( 4a 2 - 4a b+b 2 ) - (c 2 +6 cd +9 d 2 )= ( 2a -b ) 2 - ( c+3d ) 2 = [ 2a -b - ( c+3d ) ] [2 a - b+(c+3d) ] = [2a -b - c - 3d ) ] [2 a - b+c+3d ] c ) 2a x -b y -a y+2b x =(2 ax - ay ) + (2 b x - by )=a (2 x - y )+b ( 2x - y )= ( 2x - y ) (a +b )1.3.6. Aplicaciones de las transformaciones de trminos a la ampliacin y simplificacin de cocientes. Si hay que sumar cocientes con variables, entonces se procede como en la adicin de nmeros fraccionarios convirtiendo en cocientes de igual denominador. Esto se hace mediante ampliacin o simplificacin.

Para todos los nmeros reales a, b, c )00( zz , cb , se cumple:

Ampliacin

cbca

ba

xx

Simplificacin

El factor de ampliacin o de simplificacin c puede tener un trmino o ser una suma de varios trminos.

Ejemplos:

a) Ampliemos: yx),yx()yx(

xy z

parapor32

3

R/ 352

33x))(32(

)(322

22

yxyxxyy

yxyxyxxy

Simplificar:

b))(2)(4

2

44

2 2

2

2

zyy

zyyy

yzyy

c))1(2)5(

)1)(5(2)5)(5(

)54(2)25(

108225

2

2

23

3

mmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

Clculo de un mltiplo comn:Los mltiplos comunes de los nmeros 8, 12 y 18 son: 72, 144, 216....

Es decir todos los nmeros de la forma 72n con n N.



De todos los mltiplos comunes de 8, 12 y 18, el nmero 72 es el mnimo comn mltiplo (MCM).

Ilustremos el procedimiento para calcular el MCM de nmeros naturales.

8 =2 . 2 . 2 = 2 3 Entre las potencias de igual base se toma en 12=2 .2 .3 =2 2 . 3 cada caso la de mayor exponente. 18=2 .3 .3 =2 .3 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

MC M ( 8 , 1 2 , 1 8 ) =2 3 . 3 2 = 7 2

Este procedimiento se transfiere a expresiones algebraicas y en el caso de sumas algebraicas de fracciones, el comn denominador (CD) es el MCM de los denominadores.

Ejemplo: Dadas las fracciones112

41

21

2 x-x-,

xx ,

x

, hallar el CD

x +2 = x +2 x 2 - 4 = (x -2 ) ( x+2) x - 1 = x 1CD=( x - 2 ) ( x+ 2 ) (x - 1 )1.3.7. Adicin y sustraccin de cocientes:La suma algebraica de varias fracciones de igual denominador es otra fraccin cuyo denominador es el mismo y cuyo numerador es la correspondiente suma algebraica de los numeradores.

Ejemplos:

a)n

ca-bnc

nb

na

b)y-ay-ay-aaya-yy-a1232323

Si las fracciones tienen denominadores diferentes, se comienza por reducirlas a un comn denominador y se procede como se muestra a continuacin:

Ejemplos:

abccba

abcccbbaa

abc

acb

bca)a

222

caabcaaccbbc

CD = cba



yxyxy

yxxyyxyxyx

yxxyxyyxx

xxx

xyyxb

2

2

2

2

22

104195x

1042205

10)1()2(2)4(5

101

52

24)

c) 2342

22 431612

4332

xxxxx

xxx

xxx

)1)(4(x1612)3()2)(4(

)1)(4(1612

)1)(4(3

)1(2

2

22

2

2

xxxxxxxxx

xxxxx

xxx

xxx

)1)(4(1646

)1)(4(1612382

2

2

2

22323

xxxxx

xxxxxxxxxx

1.3.8. Multiplicacin y divisin de cocientes.El producto de dos o ms fracciones es una fraccin cuyo numerador es el producto de todos los numeradores y el denominador es el producto de todos lo denominadores. El resultado debe reducirse a su forma ms simple:

Es decir: bdac

dc

ba x

Ejemplos:

a)z

xbyzabzayx

byyzzabzaayxx

byaz

yzabx

zaxy

212060

))(()(120))()((60

45

106

32 3

222

223

2

222

2

2

xx

b)24

)1)(3()1)(1(

)1)(2()3)(4(

341

212

2

2

2

2

x

x

yy

yyyy

yyyy

yyy

yyyy

Para la divisin proseguiremos como se indica en la siguiente relacin:

0;0;0; zzz

x y cdb

cbda

cd

ba

dc

ba

Ejemplos:

2222

22

22

214113721

)13)(17(1

)13)(17()17(

)13)(13(13

)17)(17(19

7113

149)

yxxyxyxyyx

xyxyxyxyxy

xyxyxy

xyxyyx

xyxy

yxa

x

y



35

)3)(3(155

)3)(3(331253

)3)(3()33()43)(3(

)3)(3(33

343

)3)(3(33

)3)(5()5)(5(

)5)(43()43)(43(

933

25152

20113169)

2222

2

2

2

2

2

2

2

x

y

y

yyy

yyyyy

yyyyy

yyy

yy

yyy

yyyy

yyyy

yy

yyy

yyyb

En el inciso anterior, determine para qu valores de y el resultado: 1.- No est definido.

2.- Est definido.

R/ ,303 yy por lo que

1.- La expresin no est definida para 3 y

2.- La expresin est definida para todos los nmeros reales 3zy

c) Calcular el valor de la expresin DCBA xy para 2 a s:

1y

12;

81527132;

16678

2

2

2

2

2

2

aaD

aaaC

aaaaB

aaaaA

DCBA xy1

-1

281527132

16678

2

2

2

2

2

2

x

y

aa

aaa

aaaa

aaaa =

38

)12)(12()2(2D-CBAquelopor

)1)(1(2

)1)(1(

111)1)(1()2(

)7)(12()8)(12(

)2)(8()7)(1(

2

2

222

xy

x

x

aaaa

aaaaaa

aa

aa

aa

aaaa

aaaa

aaaa

1.3.9. Fracciones compuestas: Todas las fracciones que contienen una o ms fracciones en su numerador o denominador o en ambos. Se llaman fracciones compuestas; pueden simplificarse reduciendo numerador y denominador a fracciones simples y efectuando la divisin.

Ejemplos:

11

11

1)1(1

1:numeradorelen

11

11)

xxxx

xxx

xx

xx

xx

a

x-11

x-1xx-1

11:rdenominadoelen

xx

Sustituyendo en la compuesta, se obtiene:



11

)1(1

11

1

11

11

x

xxx

xx

x

3

22

2

22

22

2

2

2)()(

)())((

)()(

)()(

11)

ababa

aba

aba

baaa

ba

baababa

baababa

baabbaa

baababbaa

baaba

baab

bab

baaba

abab

bab

b

x



1.3.10. Despeje de variables en una frmula: Despejar una variable en una frmula, significa obtener una igualdad para la misma que satisfaga la frmula inicial. Mediante ejemplos vase el procedimiento a seguir.

Ejemplos:

WFWrR

WrW

WrFRWrWRRF

R)rR(R

WF)a

x

2

RcomnfactorSacando-)R-(2Fdespejar.

a variablelacontienenque trminoslosmiembrosolounaLlevandoWR-R2rdenominadoeleliminarpara2por trminosambosndoMultiplica2

Despejar;2

iriIririrIririrIrrriI

rrriIb

x

)(

)(r

0,3I10,r,51ipara valorelcalcularyrDespejar;)

'

''

''

''

''

'

iI

ir r'

201.0

2)2.03.0(

)10(51

'

r



Ejercicios propuestos para el clculo numrico: Efecta:

11 .. 20+4,50,03

22 .. 3,42.5,6:100

33 .. 25:0,50+3,4

44 .. 215.0,1:0,4

55 .. (0,5+0,76)5

66..55

2505030 ,,,

77 .. 0 , 9 : 0 , 3 0 , 3 2 5

88.. Calcula:

> @> @

> @> @ > @> @ > @715210173

103

83

32

57

61

32

43

54

23

32

61

324

21

83

65

81

1013

411

54

101

52

:)h

:)g

)f

:.)e

)d

)c

)b

)a

99.. Calcula:

> @ > @> @ > @ 25,032451)

541:5

14

3:211)

324:6316)

1:493253)

21

22

5/1234/1

025

d

c

b

a

22

22:22

32)e

> @ 32

032

510.5,35,4:7,23,6)

53

35.3

1)

g

f



3486122

432216

124312125:58

133

3

3

:::)j

.)i

,.,,)h

411

34

25

11)

43

2/252)

l

k

1100.. Calcular:

> @ > @ > @ > @> @ > @ > @

1313

51310

212

2323

222322

282.2.22)

25

25

32)

5,023

21)

523)

d

c

b

a

> @> @ > @

18253:81

27.3)

23.9/42

14

55

31625)

3

2/1

2

f

e

1111.. Comprueba las siguientes igualdades:

02554

25) 3/13/104/12

a

2

6754456

36362353)

735

10.10) 03542/1

c

b

25545

58220) 4/1 d 2

111

27216831

3124131

/

///)e



1122.. Halla el valor numrico de las siguientes expresiones para:

1041

32

211;201 -; d; x; p; n-mc;,b;a

222 462)

)dcbmxc

dcbaa

2

22

2

:9

4)

4)

cbapmd

ancmbb

Ejercicios propuestos para el trabajo con variables: 1. En cada uno de los siguientes ejercicios, suprima los parntesis y reduzca los trminos

semejantes.

> @ > @

> @^ ` ^ `> @

^ `> @axyxaxaa)jzyxzyxyxx)i

aaaaa)hzxyzzyxyx)g

babaabbabababa)f

yxxyxyxyx)e

xyxyx)dyxxyxx)c

yxyx)byyxx)a

223652

23323423122523810

1064542435

2452412

675329623846832

232

223322222

2222

2. Simplifica las siguientes expresiones y calcula el valor numrico del resultado para los valores indicados.

275,325,1;)

4/1;3/12/1;12974632)

cbaacbcbacbabcbacbacbabaa

> @^ ` 10/18/322235)12

1215/1;2732238)

yxyxyxyyxd

yxbyxcbycxbc

3. Hallar los productos siguientes:

a ) ( - 2x ) ( 3y ) b ) ( 4 xy ) (5 y z )

c ) (4 a b ) ( - 3a 2 b ) d ) ( - 1 ,5 x 2 y 3 z ) (2 x z 2 )

e ) ( - 8a b ) ( - 2 cd ) f ) ( 3 x 3 y 2 z ) ( - 4a 2 xz )

g ) ( - 2a b ) ( - 3b c ) ( -2cd ) h ) (5 x m y m ) ( - 2 x 3 y 2 )

i ) ( 0 , 1a 2 b 3 ) (2 a b 4 ) ( 5a 3 b c ) j ) ( - 3x m - 1 ) ( -x m + 1 )



4. Hallar los productos indicados:

a)a ( b - c+ d ) b ) ( p+q- r )x

c ) ( - 3 x ) ( x 2 - 5 x + 6 ) d )x 2 ( y 2 + z 2 - x 2 )

e ) 222 babaab f ) 222 xxxg ) 222 232 yxyxxy 5. Efectuar las multiplicaciones siguientes:

a) 58 xx b ) 34 xx

c ) 62 xx d ) 37 xx

e ) 44 xx f ) 13 xx

g ) 325 xx h ) 3223 xx

i ) yxyx 2432 j ) zyxzyx

k) 2222 23 baba l) 3222 xxxm) dcba n) nmcba

6. Hallar los siguientes cocientes:

a) 25 39 xx y b) 224 26 xyyx y

c) cbacba 222335 y d) mpmnp 36 y

e) 232 42 xyzzxy y f) yxxy 32 510 y

g) 222 420 axyxya y h) yzxzyx 2234 4y

i) 1231510 2030 zxzx y j) 122 66 y nn baba

7. Hallar los siguientes cocientes:

a)a

aba 22 b) 274

484

xxx



c) 242

6189a

aa d)

xxx 252

e) 223 264x

xxx f) 2222222222

cbacbabcacba

8. Dividir:

a) 52092 xporxx

b) 31272 xporxx

c) 21162 xporxx

d) 3532 23 aporaaa

e) 264 23 bporbb

f) 2164 xporx

g) 113 xporx

h) 112 xporx

i) 115 xporx

j) 115 xporx

k) 328497 23 xporxxx

l) 24326 2234 xxporxxxx

m) 2324 33651112 xxporxxxx

n) 254437103912 2234 aaporaaaa

9. Efectuar

a) 2dc b) 23 ba

c) 23 b d) 24 yx

e) 232 ba f) 24ba

10. Calcular:

a) 11 aa b) yxyx 55

c) 2222 baba d) 2222 yxyx



11. Hallar los siguientes productos:

a) 21 xx b) 1210 yy

c) baba 53 d) 4325 aa

e) 5238 mm f) 1819 xx

g) 152103 xx

12. Calcular:

a) 32x b) 32 yx

c) 322 yx d) 333 ba 13. Expresar como suma algebraica aplicando los productos notables:

a) 22 33.2232 b) 11 2 xxxc) 22 2555 yxyxyx d) 422 242 aaa

e) > @ > @933 2 yxyxyx14. Efecta los productos siguientes:

a) 2222 baba b) 37 xxc) 323 xx d) 223 xy

e) 22 nmnmnm f) 65 xxg) 5101,05,0 xx h) 3312 pi) yxyx 3232 j) 3535 yyk) 2510452 2 mmm l) 32cab 15. Descomponer en factores:

a) aa 22 b) xx 36 2 i) yxxyx 442

c) xxx 442 23 d) 2222 5105 qppqqp j) azayxzxy 2323



e) 2222 448 babaab f) 3648 aaaa k) xxxx 9632 234

g) byaybxax h) abbyayy 2 l) yzxyzxx 321

16. Descomponer en factores:

17. Factorizar:

a) 22 2080 b) 229 yx

c) 22 254 yx d) 46 ba

e) 68 49yx f) 22 cba

g) 222 zayx h) 22 212 aa

i) 22 zyxzyx


a) 222 42 xbaba b) 222 44 cbaba

c) 222 649 babca d) mnnm 225 22

e) ytxztzyx 222222 f) 2222 254122094 bcambcma

19. Expresa las siguientes sumas como producto en caso posible:

a) 242 xx b) 4224 4129 bbaa

c) 25269 24 xx d) 44 a

e) 644 x


a) 1272 xx b) 652 xx

a) 22 69 baba b) 22 168 yxyx e) 22 259081 baba

c) 22 2510 zxzx d) 21025 yy f) 294864 zz



c) 542 bb d) 62 xx

e) 120142 cc f) 22 5120 xaxa

g) 32

65

61 2 yy h) 372

2 xx

i) 372 2 aa j) 344 2 xx

k) 344 2 xx l) 22 376 aaxx

m) 22 3568 yxyx n) 1052 23 xxx

o) 33 23 xxx p) 2234 xxx

21. Transformar en producto:

a) 33 yx b) 1253 x

c) 83 y d) 33 1258 yx

e) 93 yx f) 66 ba

g) 66 64yx h) 66 64yx

i) 1212 yx j) 1212 729ba

k) 66 cba l) 66 cba

22. Hallar las sumas algebraicas siguientes:

a) aaa234 b) 32 243 xxx

c) 2

36

14

23

1 xxxx d) 22 yxxy

yxyx

yxyx

e) 2232

yxxy

yxy

xyx

f) 22 1

11

1tt

ttt

t

23. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

a) 322 15

56

baabc

ca b)

yxzx

zyxy

3

2

32

3

1430

2521



c) cxby

xayc

ybxa

56

3933

2213

2

32

42

23 d) 234

231

2

2

2

2

aaa

aaa

e)

aba

ba 11 2

2

f) 3

2

3

22

3

510

xyx

yxyxx

g)yx

yxyxyxyx

22

33

33

h) 2233

2 bababa

ababa

i) 222233

aaxxax

axax

axax

j)

xxxx

xxxx

xxxx

2

23

2

2

2

2 51076

1243

2

22

22

2

22

2

cbcaccba

cbaacaba

bcabcbab)k

24. Resuelve y di para qu valores de la variable est definido el resultado:

a)mm

mmmm

mmm

mm255

1411220

16103

42

2

2

2

2

2

y

b) 469

1244827168

412163

2

2

3

2

2

2

y

xxxxx

xxx

xxxx

c) 3

1.34

279

2520493572

3

3

2

2

2

2

y

xxxx

xxx

xxxx

25. Para qu valores de la variable est definido el resultado de las siguientes operaciones?

a) 2102

11

11

aa

aa

b)34

123

11222

aaaaaa

c) 1

21

11 4

3

23

2

2

a

aaaa

aaa

a

d)12

21

613535

2 y

xx

xxx

e) 33

5450222

543 2

22

2

aaa

aa

aaa



f) 623682

632

y

xx

xx

xxx

g)4

3127

24

62

y

xx

xxx

x

h)

y

656

3233

221

2 xxxx

xx

xxx

y

xxx

xx

xxi

1111

11

11

11)

j) > @ > @xyyxyx

xyyxyx

211211 22

k)

22

22

22

22

qpqp

qpqp

qpqp

qpqp

l)

baaba

abab

bab

2

2

1

m)

axx

xax

ax

1

26. Simplificar:

a)

xx

xx

2

4

b)

bab

bab

1

1

c) 122

2

baa

baaba

d)

xxx

xx

x

22

22

22

e)

xx

xx

xx

xx

11

11 f)

baa

baa

baba

baba



27. En las frmulas siguientes despejar las variables que se indican:

a) 2rnmKF Despejar m

b) hrV 231 S Despejar h

c) lanS 2 Despejar l

d) dnaL 1 Despejar n

e) Rr

Ei

Despejar R

f) v

vu

1

Despejar v

g)lralrs

Despejar r

h)21

21

rrrrR

Despejar r2

i)

2rR

Ei

Despejar R ; r

j)b

abR21

2

Despejar b

k)r

rriIcc

Despejar r c

l)

c

c

RRn

pp11111

Despejar pR c;

28. Descomponga en factores:

x x 3817a) 2 251

41b) 6 x babaa 22c) 2 xxx 5136d) 23

22 2e) xbx b 64f 23 xx) x



29. Calcula: x

xxxx

x4

592:10225 2

2

2

30. Efecte y simplifique tanto como sea posible: 23

3262

942

2

2

2

xxxx:

xxx

31. Sean 16

2073

168

1232

2

2

x

xx

xx

x B,A

a) Calcule y simplifique tanto como sea posible BAa

b) Para qu valor de x la expresin obtenida en a) no est definida? c) Para qu valor de x la expresin obtenida en a) vale 2? 32. Sean: 9124;15132;50202;94 2222 xx Dxx Cxx BxA

a) Efectuar BD:

CA dando el resultado en la forma ms simplificada posible.

b) Determinar el valor de x para el cual el resultado obtenido en el inciso a) vale 14.

33. a) Efecte, simplifique y demuestre que: xx

xx

xx

xx 121

49

253:46

232

2

2

2

34. Simplifique la expresin: 2222

22

22

1417614256:

412949

babababa

bababa

35.a) Efecta: 11

2

8152

7132:166

782

2

2

2

2

2

x

a

a

a

aa

aa

aa

aa

aa

b) Calcule el valor numrico de la expresin resultante para 2 a

36 Efectuar:

x

zyxzyxxyzyx 11:11

21

222

37. a) Simplifique: 1

)1()(2

22

abba

b) Halle el valor de la expresin dada en a) para 1ay5,0 b



38. Simplifica:

12

22

12

xxx

xx

x

a) Existe algn valor de x para el que la expresin resultante se indefina? b) Para qu valor de x, la expresin resultante es 6,0 ?

39. En la frmula:db

nbA )1( , despeje d.

a) Para qu valores de A se indefine d?b) Compruebe que si 1 b y -A 1 entonces d = n

40. a) Dada la frmula: I

RIMP : Despejar I.

b) Calcular el valor de I sabiendo que: 511

10380 ; M ; R,P

41. Six

y Cxxxx , B

xxxxA 1

3522

9652

2

23

2

23

a) Comprueba que: 122 xA:BC

b) Para qu valor de x, C es 2

c) Calcula qu valor toma B para 41 x


Ecuaciones lineales y cuadrticas. Ecuaciones con radicales 37

TEMA 2 Ecuaciones lineales y cuadrticas. Ecuaciones con radicales

2.1. Ecuaciones lineales Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incgnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los nmeros reales.

Resolver una ecuacin es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o races de la ecuacin.

Las ecuaciones de la forma 0 bax (con a y b nmeros reales 0za ) se denominan lineales

en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx

Ejemplos2.1.1 Resolver las ecuaciones:

3212

1313)

)2(5)24(32)85

43

21

31)

234)

xx

xxd

xxxxc

xxb

xa

Soluciones:

45

432

234)

x

x

xa

o

45

2

2353454

:Prueba

SMDMI

MD

MI

65

43

21

31) xxb

En este caso, la ecuacin no est expresada en la forma 0bax ( con 0a z ) , debe reducirse la misma a sta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:

x Agrupar todos los trminos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la



ecuacin y los valores numricos en el miembro derecho (MD):

21

65

43

31 xx

x Hallar el comn denominador de la ecuacin que es el mnimo comn mltiplo de los nmeros: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 MCM

x Multiplicar toda la ecuacin por MCM

12 /.21

65

43

31 xx

61094 xx

x Reducir en cada miembro, los trminos semejantes 165 x

Despejar la variable x

516 x

Comprobacin o prueba:

3047

301532

21

1516

21

516

31:

MI

3047

302572

512

65

516

43: 6

5

MD

Como ambos miembros son iguales, la ecuacin se satisface para el valor 5

16 x y el conjunto

solucin es

516S .

Anlogamente se resuelven los dems ejemplos.

)2(5)24(32c) xxxx

144

342522252432

xx

--xxx-xxxxx

^1` SNota: La prueba queda para el estudiante.

3212

1313)

xx

xxd



Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el comn denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir trminos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuacin de la forma

0 bax ( con 0za ) .

El comn denominador de la ecuacin es: 3213 xx

41-

8)(: / 2831326296

1326329613)(12()32)(13(

)32)(13(3212

1313

3212

1313

22

22

x

xxxxxxx

xxxxxx)xxxx

xx /xx

xx

xx

xx

Nota: Comprobar la solucin obtenida.

2.2: Ecuaciones Cuadrticas

Las ecuaciones del tipo 02 cbxax con a, b y c nmeros reales y 0za se denominan cuadrticas y se resuelven mediante la frmula:

,2

422,1 a

acbbx r donde acbD 42 es el discriminante.

reales.soluciones tienenoecuacinLa0Siguales.realessolucionesdosieneecuacin tLa0S

.diferentesrealessolucionesdosieneecuacin tLa0S

oo o!

DDD

Cuando el trinomio cbxax 2 tiene descomposicin factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuacin de segundo grado a dos ecuaciones lineales.

Ejemplos 2.2.1 Resolver las siguientes ecuaciones:

065) 2 xxa

15)3() yyyb

xxx

xx

xxc)

22

212

2

2

0106) 2 zzd

043) 24 xxe

Solucin:



)6,5,1(;065) 2 cbaxxa

006)3(5)3(3paraPrueba

2,32

15)1(2

)6)(1(4)5()5(

21

21

2

2,1

MDMIMD

MIxxx

x

r r

^ `2;30

06)2(5)2(2paraPrueba 22

o

SMDMIMDMIx

Observe que el trinomio 65) 2 xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( x - x - , 02 x - 03 x : 2 x 3 x

De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuacin de segundo grado es ms cmodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente s el trinomio tiene descomposicin factorial racional por los mtodos estudiados. En caso de no existir la descomposicin factorial racional, se utiliza la frmula.

15)3() yyyb

En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuacin dada en la forma 02 cbxax

018y-0153

2

2

yyyy

Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposicin factorial, se debe utilizar la frmula para resolver la ecuacin de segundo grado. Para sustituir en la frmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1 a , 8 b y 1 c

154,154

21528

2608

)1(2)1)(1(4)8()8(

21

2

2,1

r r r

xx

x

Compruebe los resultados obtenidos.

^ `154;154 S

xxx

xx

xxc

22

212) 2

2

Esta ecuacin es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el comn denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir trminos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuacin de la forma



02 cbxax con a, b y c nmeros reales y 0za

02024

2)1(2)-2)((

.2)-( /.22

212

2

222

2

2

2

o

xxxxxx

xxxxx

MCMxxxx

xxx

xx

210)2)(1(

xx

xx

Nota: El valor 2 x no pertenece al dominio de la ecuacin porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solucin de la ecuacin.

^ 1`-S

31

31

321

2111

121:1paraPrueba

MDMI

MD

MIx

Nota: Los valores de la variable de una ecuacin que no pertenecen al conjunto solucin por ser valores que indefinen la ecuacin o por no satisfacer la misma se denominan races extraas.

^ ` I

SSyrealessoluciones tienenoecuacinla0410142642ntediscriminaelComo

1061(01062)

))(()(acbD

)c,b,azzd

410)4)(1(

043204)2(32)2(

2seao,por2dosustituyen

02formalaadadaecuacinlareduzcamos04234)

yyyyyy

xx

yx,yx

cbxaxxxe

generanoquelopor,Renimposiblees1igualdadLa4y1:obtieneseecuacinlaendoSustituyen

222

2

xxxyx

^ .`2;2races.estasparapruebalaRealice

2:cumplese4igualdadlaEndada.ecuacinlaparasolucin 2

r

S

xx



2.3: Ecuaciones con radicales: Las ecuaciones que contienen la incgnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales.

Para resolver una ecuacin con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuacin lineal o cuadrtica. En estas transformaciones se pueden introducir races extraas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuacin original.

Ejemplos 2.3.1: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 34 x b) 1353 x

c) xxx 21152 d) 11 xx

e) 5416 x f) 14244 xx

g)x

xx

242 h) 314353 2/1 xx

i) 1423 xxx j) 27411 xxx

Solucin:

a) 34 x

Racionalicemos la ecuacin elevando al cuadrado ambos miembros.

22 34 x 94 x

49 x

5 x

Comprobacin:

MDMIMDMI

3

3945

S = ^ 5 `

b) 1353 x

En este caso para racionalizar la ecuacin aislemos primeramente el radical.

4)2(

cuadradoalElevando25

313

22

xx

x

x

Comprobacin:

^ `4

1313253453

SMDMI

MDMI



c) xxx 21152

> @ > @

30033093015144

144151215

2

22

22

222

xx

xxxx

xxxxxxxx

xxx

^ `3632

61512511353

3

00221111050

0

2

2

z

SMDMI

xParaMDMI

MDMI

xParanComprobaci

d) 11 xx

> @ > @

0cuadradoal

nuevamenteElevando0

0

radicalelAislando2

21211

cuadradoalElevando11

radicalunAislando11

22

22

x

x

x

xxxxx

xx

xx

^ `0

1;1010

onComprobaci

SMDMI

MDMI

e) 5416 x

544 x

1454 x

22 14 x14 x

341 x

^ `3

55144316

:nComprobaci

SMDMI

MDMI

f) 14244 xx

> @ > @2424281964

24144

2414422

xxx

xx

xx

^ `40;141486

64362440440

:nComprobaci

SMDMIMD

MI



> @

402464

2464248

248

28:/2428241964

22

xxx

x

x

xxx

g) xx

xx

2/242

> @ > @

> @

3/26/4

0460442

44222

242

422

422

22

22

222

2

2

2

xx

xxxxx

xxxxxxx

xxx

xxx

xxx

h) 314353 21 xx> @

539143

914353

314353 222/1

xx

x

xx

> @ > @

18:/53189053185381143

53531881143

539143 22

x

xxx

xxx

xx

> @ > @ 22 535

535

x

x

^ `32

62

6222232

322

3224

384

3224

63

6333323

32332332322

323832322

:nComprobaci

/SMDMI

:

///MD

///

////MI

^ `10

33945

1625

141035103

:nComprobaci

2/1

2/1

2/1

SMDMI

MD

MI



103/30

3305325

xx

xx

i) 1423 xxx

142623 2 xxxxx

> @606

66

6

2:/262

121462

22

22

2

2

2

2

xxxxxxxx

xxx

xxx

xxxx

^ `

ecuacinladeextraarazunaes6quedecimoscasoesteEn

525164:

1232636:

:nComprobaci

oz

xSSMDMI

MD

MI

I

j) 27411 xxx

> @2

22 7411

xxx

22

22

74121

74121

xxxx

xxxx

2742 xxxx 2742 xx

> @ > @

2/1012004

012404807444

7444742

2

22

22

222

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

SMDMI

MD

MIx

01

107401:

101:0paraPrueba

nComprobaci

^ `2/1;02/1

2/14/1

4/312/32/11

4/742/11

4/1742/11:

2/12/11:2/1paraPrueba

2

SSxMDMI

MD

MIx



Ejercicios del tema 2. 1. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) )3(4)1(8)94(44 xxx b) 22 x

x

c) > @ 66)94(7352 yyy d) zzz 136312e) 105.03.07.0 xx f) 437315 xxxg) )122(311)23(7)5(3 xxx h) 4)32)(3()12)(1( xxxx

i) 5.1)6()1)(1( 2 xxx j) )21)(21()4()5(1 22 xxxx

k) 222 )2()1()5.2(2 xxxl)

21

222

22 xxx

m) yy214

523 n)

25

53

78 xx

o)6

4214

4 xx p)5144

52470

3750

,,x,x,

q)18

19

456

53 xxx r) 121

314

611

432)1(3 xxxx

2. Halla el conjunto solucin:

a) 122)9( xxx b) 1)5(39)3)(2( 2 xxxx

c) 0)23

)(21( xx d) 2)

25(2 2 xx

e) 2)4(125)2(4 xxx f) 12)2(2)2( 2 xxx

g) )32(315 2xx h) 203553 2 )x()x(

i) 2)52()53(2 xxx j) )1(6)1()1(9 222 aaa

k) 27)2(20)12)(53()45( 2 xxxxx l) 595932 2 )t()t(

m) 04)12(5)12( 2 xx n) )2)(3()5(319 2 tttt

o)21

222

22 x)x()x( p) 1211

)1(5

xxx

x

3. Para qu valores de x R se satisfacen las siguientes igualdades. a) 332 x b) 465 x

c) 32 x d) 065 x



e) 51232 x f) 010275 xx

g) 02713 xx h) 08522 xx

i) 42 xx j) 11 xx

k) 4164 xx l) xxx 21152 m) 012 xx n) 6 xx

) 04284 xx o) 102:3212 xxxp)

7217

x

xxq)

61

21

xx

x

r) 13 xx s) 3129 2 xxx

t) 27411 xxx u) 2/12/1 721 xx

4. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:

a) xx 21)7( d) 15 xxb) 1)4(2 xx

c) 13)7(2 xxe) 337 2 x

f) 472

2

xx

x

5. Calcula los ceros de la funcin 115)( xxxh


48 Funciones lineales y cuadrticas. Exponenciales y logartmicas. Inecuaciones lineales y cuadrticas.

TEMA 3: FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS. EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS. INECUACIONES LINEALES Y CUADRTICAS.

3.1. Funciones lineales:

Una funcin lineal es el conjunto de los pares ordenados );( yx que satisfacen una ecuacin lineal de la forma 0con z mnmxy cuya grfica en un sistema de coordenadas cartesianas en el plano es una recta. El nmero m, determina la inclinacin de la recta con respecto al eje de las abscisas (o eje de las x) de ese sistema de coordenadas; por eso a m se le llama pendiente de la misma. El nmero n, indica en qu punto n,P 0

1, la recta corta al eje y, a este

punto se le llama intercepto con el eje de las ordenadas o eje de las y yI y el intercepto con el eje de las x xI , es el punto cuya abscisa es el cero de la funcin que se obtiene resolviendo la ecuacin: 0nmx , es decir, el intercepto con el eje x es el punto

0;2 m

nP .

De geometra plana se conoce que dos puntos distintos determinan una y slo una recta, por tanto para representar grficamente una funcin lineal es necesario conocer dos puntos distintos que pertenezcan a la misma, los cuales pueden ser los interceptos con los ejes coordenados yx II zo dos puntos distintos arbitrarios que pertenezcan a la funcin.

Debe recordarse que el plano cartesiano est determinado por dos ejes coordenados: x e y, donde xrepresenta las abscisas siendo la recta de ecuacin 0 y , y representa el eje de las ordenadas con ecuacin 0 x . Ambos ejes se cortan perpendicularmente en el punto )0;0(O el cual se denomina origen de coordenadas. A cada una de las cuatro porciones en que queda dividido el plano por dichos ejes se les llaman cuadrantes (Fig 3.1.1)

x

y

(0;0)

Segundocuadrante

Primer cuadrante

Tercercuadrante

Cuartocuadrante

Fig 3.1.1 Ciudad de La Habana : Editorial Universitaria, 2008. -- ISBN 978-959-16-0302-9

Funciones lineales y cuadrticas. Exponenciales y logartmicas. Inecuaciones lineales y cuadrticas. 49

Las rectas paralelas a los ejes coordenados, estn formadas por los puntos y;x que satisfacen ecuaciones de la forma

cdydcy con 0zc (paralelas al eje x) y bax

abx con

)0za( (paralelas al eje y). En este ltimo caso el conjunto de pares ordenados no forma una funcin. La representacin grfica de cada una se obtiene mediante el trazado de rectas paralelas

a los ejes coordenados por los puntos

cd,0 y

0,

ab

respectivamente. En el caso abx , la

pendiente no existe y en el caso cdy , la pendiente es cero.

Ejemplos 3.1.1:Dadas las siguientes ecuaciones, determine:

a) Valor de la pendiente

b) Interceptos con los ejes

c) Representacin grfica.

42xy )1

x-4y )2

23) xy

1y4) 3x5) Solucin:1)

2ma)

b ) )0( yI x o 042 x

24 x , )0;2(2 o xIx

)4;0(44)0(2:)0( yIyxIy o Obsrveseque en este caso, la representacin grfica se hizo mediante los interceptos con los ejes coordenados y que la graduacin de los mismos est dada por las cuadrculas que aparecen en cada grfica (en todo el trabajo). Esta misma grfica pudo hacerse con dos puntos distintos y arbitrarios de la funcin, por ejemplo:

4040si ;y:x o 6161si ;y:x o

Fig 3.1.2

y y =2x + 4

x



2) 1 ma )4;0()0( o xIb y

)0;4()0(Ix o yc ) Fig 3.1.3

3) 2m )0;0()0;0( yx IeI En este caso como la recta pasa por el origen

de coordenadas 0 n , ambos interceptos coinciden, por tanto, es necesario determinar otro punto distinto por donde pasa la misma:

S 1x : 2y o (1,2)

4)

a ) 0m b ) xI no t i ene , 1y:I y

c) Fig . 3 .1 .3Es una recta paralela al eje "x"

5)

N o t i e n e

3x:I x , I y : n o t i e n e c) Fig . 3 .1 .3 Es una recta paralela al eje "y"

Fig 3.1.3

y = 1

x =3

y = 4 -x y =2 x

x

y



3.1.2: Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos:

S conocemos dos puntos distintos de una recta )000 y,(xP y )y,(xP 111 , con abscisas

distintas 10 xx z , entonces su pendiente se determina por: 0101

xxm yy

y la ecuacin de la

recta est dada por la expresin: )00 x-m(xy-y .Nota: En el caso de puntos, con abscisas iguales , no est definida la pendiente y la ecuacin de la recta es 0xx , donde x0 es la abscisa comn.Ejemplos 3.1.2.1: En cada caso, determinar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos dados:

)2;3()1;1() 21 PyPa

)3;1()1;2() 21 PyPb

)3;2()0;0() 21 PyPc

)2;5()2;3() 21 PyPd

)2;1()3;1() 21 -PyPeSolucin:

01

01

xxm yy

);( 00 yx : Coordenadas de uno de los puntos

);( 11 yx : Coordenadas del otro punto.

Nota: La designacin de los puntos por 00 y;x y 11 y;x es convencional, de manera que esa designacin no influye de modo alguno en la ecuacin de la recta.

45

41

141

41

))1((411

41

)1(312

)

xy

xy

xy

m

a

35

34

138

34

38

341

2341

34

34

2113

xy

xy

xy

)x()(y

)(m

)b

23

)0(230

23

23

0203

)

xy

xy

m

c



220

)3(0280

3522

)

yy

xy

m

d e) En este caso 110 xx , por tanto, la recta es paralela al eje y cuya ecuacin es : 1 x

Ejemplos 3.1.2.2:

En el grfico (Fig. 3.1.4) se encuentran representadas varias rectas, obtenga la ecuacin de cada una de ellas.

Solucin:

R1: pasa por (-2,0) y (0,4)

(-2,0)Ix e Iy(0,4)o 4n

42

224

0240

xy

m

R2: Pasa por (0,0) y (2,1)

xy

m

21

21

21

0201

> @

21

25y

25

252

)1(25)2(

25

)1(1)2(3

(1;3)pory(-1;-2)porPasa:3

x

xy

xy

m

R

"x"y:R

"yx:R

ejealparalelarecta2

"ejealparalelarecta3

5

4

y

R5

R4

R2

R1 R3

x

Fig 3.1.4

0



Ejemplos 3.1.2.3 Representar grficamente las siguientes parejas de rectas y comentar la posicin que observa entre ambas:

xyra 1 2:)

32: xyr2

12:) xyrb 1

12

: xyr2

Solucin:a)

o o

2;12:1si0;00:0si

1 yxyx

r

o

o

0;230:

23si

3;03:0si

2 yx

yxr

21 r//r (Fig 3.1.5) Observe que la pendiente de la recta r1 es

21 rm y la de r2 es 22 rm , es decir, ambas pendientes son iguales y las rectas son paralelas.

b)

o

o

0210

21si

1010si

1 ;y:x

;y:xr

o o

0202si1010si

2 ;y:x;y:x

r

21 rr A (Fig 3.1.6) Observe que la pendiente de la recta r1

es 21 rm y la de r2 es 21

2 rm ,

es decir, el producto de ambas pendientes es 1 y las rectas son perpendiculares..

x

yr1

r2

Fig 3.1.5

x

y

0

r1r2

Fig 3.1.6



En general: S: 21 mrmr 21 r//r

-1.mrmr 21 2rr1 A

Ejemplos 3.1.3. Hallar la ecuacin de las siguientes rectas si se conoce:

a) r1 pasa por el punto )3;2( y es paralela a la recta que tiene por ecuacin 421 xy

b) r2 pasa por el punto )1;2( y es perpendicular a la recta que tiene por ecuacin

231 xy

Solucin:

a) S 21 // rr entonces 21 mrmr por lo que 21

1 mr

Ecuacin:

)2(213 xy

221y

3121y

x

x

b) S 21 rr A entonces 1. 21 mrmr como 331

21 mrmr

Ecuacin:

))2((3)1( xy

o 631 xy 73 xy



3.2. Funciones cuadrticas.

Una funcin definida por la ecuacin 0con2 )Rc,b,a,a(cbxaxy z se llama funcin cuadrtica o de segundo grado. Los nmeros cyba, son los coeficientes de la funcin. Cualquier forma particular de esta ecuacin se obtiene a partir de la ecuacin general, asignando valores especficos a los coeficientes. El dominio de definicin es todo el conjunto R de los nmeros reales, aunque a veces se estudiarn slo en un intervalo dado. Las propiedades de este tipo de funcin dependen de los valores asumidos por los coeficientes y para ello haremos una diferenciacin de casos.

Estudio de la funcin cbxaxy 2 cbxax)x(f 2

a) Si 1 a , 0 b y 0 c , se obtiene la funcin 2xy

(Fig 3.2.1.1), la misma contiene infinitos puntos entre los que se encuentran: ^ )`;(),;(),;( 111100 Algunas de las propiedades son:

Su imagen es el conjunto de los nmeros reales no negativos, o sea 0ty > f ;0y .

En esta funcin se cumple que

)()( xfxf por lo que 2xy es par y su grfica es una parbola simtrica respecto al eje y teniendo como punto de Coordenadas del Mnimo el punto (0,0) que es el vrtice de la parbola.

x Para 0x la funcin es decreciente y para 0!x , la funcin es creciente.

x Intercepta el eje x en 0 x y al eje y en 0 y(denotaremos al intercepto con el eje x como Ix y al intercepto con el eje y como Iy).

Observa: En este caso 01! a y la grfica abre hacia arriba.

b) Si 1 a , 0 b y 0 c , se obtiene la funcin 2xy (Fig 3.2.1.2), la misma contiene infinitos puntos entre los que se encuentran: ^ )`;(),;(),;( 1-11-100 Algunas propiedades ms importantes son:

x

y

Fig 3.2.1.1

x

y

Fig 3.2.1.2Ciudad de La Habana : Editorial Universitaria, 2008. -- ISBN 978-959-16-0302-9


1) Su imagen es el conjunto de los nmeros reales no positivos o sea 0dy @0,fy .2) En esta funcin se cumple que )()( xfxf por lo que su grfica es simtrica respecto al eje y teniendo como punto de Mximo el (0,0) que es el vrtice de la parbola.

3) Para 0x la funcin es creciente y para 0!x , la funcin es decreciente. Observa: En este caso 01 a y el grfico abre hacia abajo.

c) Si 0za , 0 b y 0zc se obtiene la funcin caxy 2 para la cual se presenta la siguiente tabla:

Hacia dnde abre Vrtice Imagen Intercepto

0!a );0( cV cy t );0( cI y

0: 2 caxI x

0a );0( cV cy d );0( cI y

0: 2 caxI x

Ejemplos 3.2.1 Dadas las siguientes funciones, representarlas grficamente y determine:

a) Intervalos de monotona

b) Conjunto imagen

c) Coordenadas del Mximo o Coordenadas del Mnimo

14)1 2 xy 3x(x)f3) 2

22x-y2) 2 2-x-(x)f4) 2 Solucin:

1) 14 2-xy o 04a ! o 1-c (Fig 3.2.2)Nota: para representar estas funciones es necesario conocer:

x Coordenadas del vrtice

x Interceptos con los ejes coordenados (para hallar los interceptos con el eje x que sus abscisas son los ceros de la funcin, se sustituye "y" por cero y para hallar el intercepto con el eje y se sustituye x por cero).



c)V(0,

01-4x:I 2x , 412 x o

21

41 r r x

)0;21(,)0;

21(: xI

1-1-4(0)y:I 2y o (0,-1)

a) Monotona: Creciente : 0x ! y decreciente: 0x b) Imagen: -1y:cy tt o )[-1,y f

c) Coordenadas del Mnimo: 1)-(0,V

2) 22x-y 2 : 02 a ,2 c o 2)V(0, (Fig 3.2.3)

02-2x:I 2x

11x

122x2

r

(1,0)0), ,(-1:I x2) ,(0:I y

a) Monotona: creciente: 0x y decreciente: 0x !b) Imagen: 2dy o que es el intervalo

@;2(-fc) Coordenadas del Mximo 2)V(0;

3) 3x(x)f 2 o 01a ! o 3c (Fig 3.2.4)

V(0,3)

03x:I 2x o -3x2 : Imposible por lo que la funcin no tiene Ix

x

y

Fig 3.2.3

y

Fig 3.2.2

x



330(0)f:I 2y o 3) ,(0I yEn este caso, slo se conoce un punto por donde pasa la curva ya que el intercepto con el eje ycoincide con el vrtice y la funcin no tiene ceros. Para representar grficamente esta parbola, adems del vrtice es necesario conocer dos puntos simtricos respecto al eje y(eje de simetra de la parbola).

x 0 1 -1

y 3 4 4

4=3+(1)=f(1) 2

4=3+(-1)=f(-1) 2

a) Monotona: Creciente para 0x ! y decreciente para 0x .b) Imagen: 3ty

c) Coordenadas del Mnimo: )3;0(

2-x-(x)f4) 2 o0-1a (La parbola abre

hacia abajo) 2-c (Fig 3.2.5)

,-2)V(0

02--x:I 2x

2x- 2

-2x2 Imposible por lo que f(x) no intercepta el eje x

,-2)(0:-22--(0)f(0):I 2y

x 0 1 -1

y -2 -3 -3

b) Monotona: creciente: 0x y decreciente: 0x !c) Imagen: @2;2 fod yy

y

xFig 3.2.4

x

y

Fig 3.2.5



d) Coordenadas del Mximo V(0,-2)

Toda funcin cuadrtica del tipo cbxaxf(x) 2 con a, b y c nmeros reales y

0za , 0zb es reducible a la forma edxaxf 2)()( . Utilizando para ello el completamiento cuadrtico tratado en el tema 1.

2

2

2

22

44 abc

abx

abx af(x)

2

22

44

2 abac

abx af(x)

abac

abxa

44

2

22

Donde el vrtice de la parbola es

a

baca

bV4

4;2

2

D

abV ;2

o simplemente

abf

abV

2;

2, es decir, el vrtice de cualquier funcin de la forma

cbxaxf(x) 2 con 0za puede expresarse en la forma vv yxV ; donde abxv 2

y

abfyv 2

EN GENERAL: Para cualquier funcin cuadrtica de la forma cbxaxf(x) 2 con 0za se puede utilizar la siguiente tabla:

Sig-no de a

Abre: Representacin grfica Monoto-na

Imagen Coordenadas del Mximo o Coordenadas del Mnimo.

a>0 Haciaarriba

Proponemos el siguiente algoritmo:

1) Hallar el vrtice

2) Hallar el intercepto con el eje y: )0( xIy .3) Calcular los ceros

)0( yI x y resolver la ecuacin que de esto se forme.

4) Plotear los puntos y trazar la curva.

Nota: En caso que la funcin no tenga ceros, sugerimos, obtener

Crecien-te: vxx !y decre-ciente:

vxx

vyy t Coordenadas del Mnimo:

abf

abV

2;

2



el punto );2( cxS v simtrico con Iy respecto al eje de simetra de la parbola

0a Haciaabajo

Ideen Crecien-te: vxx y decre-ciente:

vxx !

vyy d Coordenadas del Mximo:

abf

abV

2;

2

Nota: Si el vrtice de la parbola se encuentra situado sobre el eje y o sea es de la forma C;V 0entonces se deben plotear dos puntos simtricos dados por: )x(f;xP1 y )x(f;xP 2 ,por ejemplo: )(f;P 111 y )(f;P 112 Ejemplos3.2.2

Dadas las siguientes funciones:

a) Representarlas grficamente.

b) Determinar los intervalos de monotona.

c) Determinar el conjunto imagen.

d) Expresar las Coordenadas del Mnimo o del Coordenadas del Mximo.

1) 32)( 2 xxxf

2) 54)( 2 xxxf

3) 22)( 2 xxxf

4) 64)( 2 xxxf

a) 32)( 2 xxxf (Fig.3.2.6)

122

2

abxv

43)1(2)1(1 2 fyv)4;1( V .

33)0(2)0()0(: 2 fI y

: );( 30

x

y

Fig 3.2.6



Ix: 0322 xx 013 xx

03 x 01 x3 x 1 x

)0;1()0;3(: yIx

b) Creciente: 1!x y decreciente: 1xc) Imagen: 4ty

d) Coordenadas del Mnimo: )4;1( V2)

a) 54)( 2 xxxf (Fig.3.2.7)

2)1(2)4(

2

abxv

95)2(4)2(2 2 fyv)9;2(V .

55)0(4)0()0(: 2 fI y : )5;0(

Ix: 0542 xx

0542 xx 015 xx

05 x 01 x5 x 1 x

)0;1()0;5(: yI x

b) Creciente: 2x y decreciente: 2!x .c) Imagen: 9dy

d) Coordenadas del Mximo: )9;2(V3)

a) 22)( 2 xxxf (Fig3.2.8)

1)1(2)2(

2

abxv

12)1(2)1(1 2 fyv

x

y

Fig.3.2.7

y

xFig 3.2.8



)1;1(V .

22)0(2)0()0(: 2 fI y : )2;0(

Ix: 0222 xx

o )22( 2 xx No tiene descomposicin factorial por lo que se debe calcular el discriminante:

o 04)2)(1(424 22 acbD f(x) notiene ceros y se debe buscar un tercer punto, el cual sugerimos que sea el punto simtrico a Ix:

)2;2(:);2( ScxS vb) Creciente: 1!x y decreciente: 1xc) Imagen: 1ty

d) Coordenadas del Mnimo: )1;1(V4)

a) 64)( 2 xxxf (Fig.3.2.9)

2)1(2

42

abxv

26)2(4)2(2 2 fyv)2;2( V .

66)0(4)0()0(: 2 fI y : )6;0(

Ix: 0642 xx

0642 xx

o )64( 2 xx No tiene descomposicin factorial o 08)6)(1(4)4(4 22 acbD f(x) no tiene ceros

Simtrico a Iy: )6;4(:);2( ScxS vb) Creciente: 2x y decreciente: 2!xc) Imagen: 2dy

d) Coordenadas del Mximo: )2;2( V

x

y

Fig.3.2.9



3.3: Las funciones edxay 2)(Algunas propiedades de este tipo de funcin:

Vrtice : e) ,(-d

Imagen : ey t s 0a ! o ey d s 0a

Monotona:

Si 0a ! , crece: d-x ! y decrece: d-x

Si 0a , crece: d-x y decrece: d-x !

Si a y e tienen el mismo signo : o f(x) no intercepta el eje x

S a y e tienen signos contrarios: o f(x) intercepta el eje x

Si V(-d;0)0e o est situado sobre el eje x

Ejemplos3.3.1:

Utilizando las propiedades de las funciones edxay 2)(a) Representar grficamente las siguientes funciones:

b) Analice la monotona

c) Determine el conjunto imagen.

d) Diga las Coordenadas del Mximo o coordenadas del Mnimo de la funcin.

1) 4-1)(xy 2 3) 25x-3xf(x) 2

2) 34x-xf(x) 2 DF: 4dd x0 4) 2x-5x-3f(x)

1) 4-1)(xy 2 o 01a ! o 1d y -4e a) (Fig 3.3.1)



e)V(-d, o ,-4)V(-1

04-1)(x:Ix 2

41)(x 2

4=1+x r2=1+x r

-21x o 3-1-2-x 21x o 11-2x

,0)(-3y,0)(1:Ix

Para hallar los interceptos con el eje x se puede utilizar cualquier procedimiento para la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

,-3)(0:-34-14-1)2(0y(0):Iy

b) Monotona: decrece: 1-x y crece: -1x !c) Imagen: -4y t

d) Coordenadas del Mnimo: ,-4)V(-1

2) 34x-xf(x) 2 . 40: dd xD f a) (Fig. 3.3.2)Expresemos esta funcin en la forma

ed)(xf(x) 2 , mediante Completamiento cuadrtico.

4-34)4x-(xf(x) 2

1-2)-(xf(x) 2 o

o

2

01

1da

e

V(2,-1)

01-2)-(x:Ix 2 , 12)-(x 2 ,1)2( r x . 12-x

-12-x 3x1 1x2 o (1,

matemáticas para el ingreso de adultos a la educación superior

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