escuela politÉcnica nacional dra. sandra e. gutiÉrrez p. teorÍa de la decisiÓn bajo...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. DRA.

SANDRA E. GUTIÉRREZ P.SANDRA E. GUTIÉRREZ P.

TEORÍA DE LA DECISIÓN TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBREBAJO INCERTIDUMBRE

MAESTRÍA EN RIESGO MAESTRÍA EN RIESGO FINANCIEROFINANCIERO



INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Acciones y Eventos: Acciones y Eventos: Se asume que cada actividad posible es Se asume que cada actividad posible es

conocida por el decisor (persona u conocida por el decisor (persona u organización) y se puede escoger sólo una.organización) y se puede escoger sólo una.

Acciones (notación a): potenciales Acciones (notación a): potenciales actividades del decisor.actividades del decisor.

Evaluar consecuencias (Dependen del estado de Evaluar consecuencias (Dependen del estado de la naturaleza)la naturaleza)



INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Evento o Estado de la naturaleza: Evento o Estado de la naturaleza: representado por representado por θθ, es una representación de , es una representación de una situación del mundo real a la cual se una situación del mundo real a la cual se aplica la acción.aplica la acción.

Resultados: Determinados parcialmente por Resultados: Determinados parcialmente por la escogencia y parcialmente por el azar.la escogencia y parcialmente por el azar.

Función de pagos: Función de pagos: ll(a, (a, θθ))



Un caso de ejemploUn caso de ejemplo

Se considera la alternativa de llevar o no paraguas Se considera la alternativa de llevar o no paraguas durante un día determinado. Existen dos durante un día determinado. Existen dos posibilidades: llevar un artículo que puede en posibilidades: llevar un artículo que puede en caso de lluvia, favorecer el vestido o desafiar los caso de lluvia, favorecer el vestido o desafiar los elementos con las manos libres, esperando que elementos con las manos libres, esperando que no llueva. La falta de habilidad para predecir el no llueva. La falta de habilidad para predecir el tiempo, nos causa incertidumbre sobre si va o tiempo, nos causa incertidumbre sobre si va o no a llover. No obstante debemos tomar una no a llover. No obstante debemos tomar una decisión a pesar de la incertidumbre.decisión a pesar de la incertidumbre.



Acciones:Acciones:

aa11: llevar paraguas: llevar paraguas

aa22: No llevar paraguas: No llevar paraguas

Eventos: Eventos:

θθ11: llueve: llueve

θθ22: no llueve: no llueve

Definir función de costos Definir función de costos



Tabla de PagosTabla de Pagos

La función de costos debe representar una La función de costos debe representar una ganancia o un costo (De manera general se mide ganancia o un costo (De manera general se mide en términos monetarios).en términos monetarios).

El decisor desea escoger una acción que lo El decisor desea escoger una acción que lo acerque a un objetivo.acerque a un objetivo.

El decisor debe conocer todas las acciones El decisor debe conocer todas las acciones potenciales a su disposición, los eventos potenciales a su disposición, los eventos mutuamente excluyentes que se pueden presentar mutuamente excluyentes que se pueden presentar y los valores numéricos que representan las y los valores numéricos que representan las consecuencias originadas por las ocurrencias de consecuencias originadas por las ocurrencias de los eventos.los eventos.



EjemploEjemplo

Un fabricante tiene la posibilidad de adquirir una Un fabricante tiene la posibilidad de adquirir una máquina cuyo costo es de 50, produce ingresos anuales máquina cuyo costo es de 50, produce ingresos anuales de 60 durante tres años y el costo anual de operación es de 60 durante tres años y el costo anual de operación es de 24. Si compra la máquina, el fabricante puede de 24. Si compra la máquina, el fabricante puede venderla al final del primer año en 30 o seguir con ella y venderla al final del primer año en 30 o seguir con ella y hacerle mantenimiento a un costo de 10. Al final del hacerle mantenimiento a un costo de 10. Al final del segundo año él puede venderla en 15 o continuar con segundo año él puede venderla en 15 o continuar con ella y hacerle mantenimiento a un costo de 25. Al final ella y hacerle mantenimiento a un costo de 25. Al final del tercer año la máquina concluye su vida útil y carece del tercer año la máquina concluye su vida útil y carece de valor. Si la máquina se vuelve obsoleta de valor. Si la máquina se vuelve obsoleta tecnológicamente, ella no tendrá valor de rescate y el tecnológicamente, ella no tendrá valor de rescate y el fabricante no obtendrá ganancia alguna en el año en fabricante no obtendrá ganancia alguna en el año en que se presente la obsolencia.que se presente la obsolencia.



Como el fabricante no tiene la obligación Como el fabricante no tiene la obligación de adquirir la máquina, una de las de adquirir la máquina, una de las acciones que él podría adoptar sería aacciones que él podría adoptar sería a11: :

no comprar la máquina. Las otras no comprar la máquina. Las otras acciones que podría adoptar el fabricante acciones que podría adoptar el fabricante serían, aserían, a22: comprar la máquina y venderla : comprar la máquina y venderla

al final del primer año, aal final del primer año, a33 : comprar la : comprar la

máquina y venderla al final del segundo máquina y venderla al final del segundo año y aaño y a44 : comprar la máquina y seguir con : comprar la máquina y seguir con

ella durante los tres años de vida útil. ella durante los tres años de vida útil.



En cuanto a los eventos se refiere, se En cuanto a los eventos se refiere, se pueden presentar los siguientes, pueden presentar los siguientes, θθii la la obsolencia tecnológica ocurre en el i-obsolencia tecnológica ocurre en el i-ésimo año (i=1, 2, 3) y ésimo año (i=1, 2, 3) y θθ44: la obsolencia : la obsolencia tecnológica no se presenta durante el tecnológica no se presenta durante el período útil de la máquinaperíodo útil de la máquinaAsumir que cuando el fabricante no Asumir que cuando el fabricante no compra la máquina, no tiene ni ganancias compra la máquina, no tiene ni ganancias ni pérdidas puesto que podría invertir su ni pérdidas puesto que podría invertir su capital en otra actividad económicacapital en otra actividad económica¿Cuál es la mejor decisión?¿Cuál es la mejor decisión?



Tabla de ganancias para el fabricanteTabla de ganancias para el fabricante

AccionesAcciones

EventosEventos aa11 aa22 aa33 aa44

θθ11 00 -50-50 -50-50 -50-50

θθ22 00 1616 -24-24 -24-24

θθ33 00 1616 2727 -13-13

θθ44 00 1616 2727 2323



Función de pagos continuaFunción de pagos continua

Cuando el evento o estado de la naturaleza Cuando el evento o estado de la naturaleza θθ, , es una variable aleatoria con distribución es una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, la función de pagos es absolutamente continua, la función de pagos es continua para cada acción que se escoja. continua para cada acción que se escoja. Puesto que es necesario conocer el pago Puesto que es necesario conocer el pago asociado a cada acción y a cada valor posible asociado a cada acción y a cada valor posible del evento, es del evento, es improcedenteimprocedente en este caso el uso en este caso el uso de una tabla de pagos. Implícitamente se de una tabla de pagos. Implícitamente se señalan los pagos para cada evento-acción, señalan los pagos para cada evento-acción, describiendo una función para cada acción. Las describiendo una función para cada acción. Las funciones así descritas permiten calcular el funciones así descritas permiten calcular el pago, para cualquier valor particular de pago, para cualquier valor particular de θθ que se que se desee especificar.desee especificar.



EjemploEjemplo

Un fabricante elabora cierta varilla de Un fabricante elabora cierta varilla de longitud constnte y de diámetro longitud constnte y de diámetro θθ, 0 , 0 << θθ<1. <1. El costo El costo de producción de cada varilla es de producción de cada varilla es de 10de 10θθ y su precio de venta es 5. y su precio de venta es 5.Se asume que el fabricante adopta Se asume que el fabricante adopta solamente las acciones, asolamente las acciones, a11: elaborar la : elaborar la varilla y avarilla y a22: no elaborar la varilla, en cuyo : no elaborar la varilla, en cuyo caso no obtendría beneficio alguno. caso no obtendría beneficio alguno. Defina la función de pagosDefina la función de pagos



Observación:Observación:

Cuando en un problema de decisión, Cuando en un problema de decisión, θθ es es una variable discreta que toma un número una variable discreta que toma un número infinito de valores, también es infinito de valores, también es improcedente el uso de la tabla de pagos, improcedente el uso de la tabla de pagos, a menos que se requiera sólo una parte a menos que se requiera sólo una parte de ella para analizar el problema.de ella para analizar el problema.



Criterios de DecisiónCriterios de Decisión

Revisaremos los criterios más simples para la Revisaremos los criterios más simples para la toma de decisiones. Iniciaremos con dos toma de decisiones. Iniciaremos con dos criterios donde los problemas pueden criterios donde los problemas pueden resolverse, sin recurrir a las probabilidades de resolverse, sin recurrir a las probabilidades de los eventos. Posteriormente analizaremos los los eventos. Posteriormente analizaremos los criterios en los cuales se hará uso de las criterios en los cuales se hará uso de las probabilidades a fin de calcular el pago probabilidades a fin de calcular el pago esperado.esperado.En el estudio de todos los criterios se asumirá En el estudio de todos los criterios se asumirá que el decisor dispone de n acciones: aque el decisor dispone de n acciones: a11, a, a22,…, ,…, aann y que se pueden presentar m eventos: y que se pueden presentar m eventos: θθ11, , θθ2 ,2 , …, …, θθnn



Acciones dominadasAcciones dominadas

En los problemas de decisión con muchas acciones, es En los problemas de decisión con muchas acciones, es conveniente reducir el problema tanto como sea posible. conveniente reducir el problema tanto como sea posible. Para lograr esta reducción se comparan las diversas Para lograr esta reducción se comparan las diversas acciones entre sí y se descartan las que sean acciones entre sí y se descartan las que sean dominadas por otra u otras. Decimos que la acción a’ dominadas por otra u otras. Decimos que la acción a’ está dominada por una acción a, si los pagos para ésta está dominada por una acción a, si los pagos para ésta son mejores que los pagos para aquella , sin importar el son mejores que los pagos para aquella , sin importar el evento que se presente. En otras palabras, la acción a evento que se presente. En otras palabras, la acción a domina a la acción a’ si,domina a la acción a’ si,

ll(a, (a, θθii)≥ )≥ ll(a’, (a’, θθii) i=1,2,…,m) i=1,2,…,mCuando los pagos indican ganancias yCuando los pagos indican ganancias y ll(a, (a, θθii)≤ )≤ ll(a’, (a’, θθii) i=1,2,…,m) i=1,2,…,mCuando los pagos indican costos.Cuando los pagos indican costos.



EjemploEjemplo

Una empresa de construcción está interesada en comprar lotes de Una empresa de construcción está interesada en comprar lotes de 2, 4 o 6 láminas, la cuales debe adquirir antes de conocer el 2, 4 o 6 láminas, la cuales debe adquirir antes de conocer el número requerido de ellas. El costo de cada lámina depende de su número requerido de ellas. El costo de cada lámina depende de su espesor; si él es menor de 5 milímetros su costo será de 80, espesor; si él es menor de 5 milímetros su costo será de 80, mientras que si él es de 5 o más milímetros su costo será de 120. mientras que si él es de 5 o más milímetros su costo será de 120. Todas las láminas producidas son de espesor inferior a 5 milímetros Todas las láminas producidas son de espesor inferior a 5 milímetros o todas son de espesor superior o igual a 5 milímetros. El número o todas son de espesor superior o igual a 5 milímetros. El número de láminas producidas de espesor inferior a 5 milímetros es de láminas producidas de espesor inferior a 5 milímetros es aproximado por una distribución Geométrica con parámetro 0.25 y aproximado por una distribución Geométrica con parámetro 0.25 y el número de láminas producidas con espesor mayor o igual a 5 el número de láminas producidas con espesor mayor o igual a 5 milímetros es aproximado por una distribución Geométrica de milímetros es aproximado por una distribución Geométrica de parámetro 0.4. Cuando la empresa necesita más láminas que las parámetro 0.4. Cuando la empresa necesita más láminas que las adquiridas, debe comprar las unidades faltantes con un sobrecargo adquiridas, debe comprar las unidades faltantes con un sobrecargo de 30 por lámina. Por el contrario, cuando la empresa emplea de 30 por lámina. Por el contrario, cuando la empresa emplea menos láminas que las adquiridas, cada unidad sobrante la vende menos láminas que las adquiridas, cada unidad sobrante la vende con un descuento de 40 sobre el precio que ha pagado por ella.con un descuento de 40 sobre el precio que ha pagado por ella.



TABLA DE COSTOS PARA LA EMPRESA DE TABLA DE COSTOS PARA LA EMPRESA DE CONSTRUCCIÓNCONSTRUCCIÓN

Láminas ordenadasLáminas ordenadas

Espesor de Espesor de las láminaslas láminas

22 44 66

< a 5mm< a 5mm 318,125318,125 346,45346,45 1489,191489,19

≥ ≥ a 5mma 5mm 342,800342,800 413,1232413,1232 1115,391115,39



CONCLUSIÓNCONCLUSIÓN

Se puede concluir de acuerdo a la tabla Se puede concluir de acuerdo a la tabla de costos, la acción que domina a todas de costos, la acción que domina a todas las demás es “comprar lotes de 2 las demás es “comprar lotes de 2 láminas”. Ésta es por lo tanto la mejor láminas”. Ésta es por lo tanto la mejor acción que se puede tomar en la empresa.acción que se puede tomar en la empresa.



CRITERIOS MINMAX Y MAXIMÍNCRITERIOS MINMAX Y MAXIMÍN

Si conociéramos con certeza el evento que se puede presentar, Si conociéramos con certeza el evento que se puede presentar, sería sencillo hacer la elección de la acción correcta, es decir, la sería sencillo hacer la elección de la acción correcta, es decir, la acción que tenga el costo mínimo o la ganancia máxima.acción que tenga el costo mínimo o la ganancia máxima.Enunciaremos el principio minimax. Este principio propone al Enunciaremos el principio minimax. Este principio propone al decisor que se encuentre el costo máximo, (la pérdida máxima), decisor que se encuentre el costo máximo, (la pérdida máxima), para cada una de sus acciones y que elija aquella que tenga el para cada una de sus acciones y que elija aquella que tenga el menor costo máximo (la menor pérdida máxima).menor costo máximo (la menor pérdida máxima).De acuerdo con el criterio minimax, el decisor debe escoger la De acuerdo con el criterio minimax, el decisor debe escoger la acción aacción akk obtenida estableciendo el costo minimax, obtenida estableciendo el costo minimax,

ll(a(akk, , θθrr)=min {máx )=min {máx ll(a(ajj, , θθii)})} 1≤ j≤n 1 ≤i ≤m1≤ j≤n 1 ≤i ≤m

SiendoSiendo (a(akk, , θθrr) la entrada de la tabla de pagos en donde se halla el ) la entrada de la tabla de pagos en donde se halla el costo minimaxcosto minimax



El criterio minimax se puede aplicar a situaciones que El criterio minimax se puede aplicar a situaciones que involucran ganancias, trocando la regla especificada, involucran ganancias, trocando la regla especificada, esto es, seleccionando la acción que tenga el máximo esto es, seleccionando la acción que tenga el máximo de ganancias mínimas. Este criterio es conocido como el de ganancias mínimas. Este criterio es conocido como el criterio maximín, es idéntico al anterior en el sentido de criterio maximín, es idéntico al anterior en el sentido de que la ganancia puede verse como una pérdida que la ganancia puede verse como una pérdida negativa. De acuerdo al criterio maximín el decisor debe negativa. De acuerdo al criterio maximín el decisor debe escoger entonces la acción aescoger entonces la acción akk obtenida estableciendo la obtenida estableciendo la ganancia maximín, esto esganancia maximín, esto es

ll(a(akk, , θθrr)=máx {mín )=máx {mín ll(a(ajj, , θθii)})} 1≤ j≤n 1 ≤i ≤m1≤ j≤n 1 ≤i ≤m

Siendo Siendo (a(akk, , θθrr) la entrada en la tabla de pagos en donde se ) la entrada en la tabla de pagos en donde se halla la ganancia maximín.halla la ganancia maximín.



EjemploEjemploUna empresa de transporte aéreo está interesada en adquirir un nuevo tipo Una empresa de transporte aéreo está interesada en adquirir un nuevo tipo de avión y desea determinar el número de motores de repuesto que de avión y desea determinar el número de motores de repuesto que acompañarán a la orden. La empresa debe ordenar estos repuestos en acompañarán a la orden. La empresa debe ordenar estos repuestos en lotes de 3 unidades y sólo se pueden escoger 3,6 o 9 unidades. El lotes de 3 unidades y sólo se pueden escoger 3,6 o 9 unidades. El fabricante tiene dos plantas de producción y la empresa debe tomar su fabricante tiene dos plantas de producción y la empresa debe tomar su decisión antes de conocer qué planta será usada. De la experiencia pasada decisión antes de conocer qué planta será usada. De la experiencia pasada se sabe que el número de motores de repuesto requeridos cuando la se sabe que el número de motores de repuesto requeridos cuando la producción se hace de la planta A es aproximado por una distribución de producción se hace de la planta A es aproximado por una distribución de Poisson con media 4, mientras que el numero de motores de repuesto Poisson con media 4, mientras que el numero de motores de repuesto requeridos cuando la producción se hace en la planta B, es aproximado por requeridos cuando la producción se hace en la planta B, es aproximado por una distribución de Poisson con media 8. El costo de un motor de repuesto una distribución de Poisson con media 8. El costo de un motor de repuesto comprado ahora es de 250 y si su compra se hace en fecha posterior su comprado ahora es de 250 y si su compra se hace en fecha posterior su costo será de 400. Los repuestos debe suplirse tan pronto se demanden y costo será de 400. Los repuestos debe suplirse tan pronto se demanden y los no usados serán desechados cuando el avión se vuelva obsoleto.los no usados serán desechados cuando el avión se vuelva obsoleto.Las acciones que podrá adoptar la empresa transportadora son aLas acciones que podrá adoptar la empresa transportadora son a11, a, a22 y a y a33, , que corresponden a ordenar 3, 6 y 9 motores de repuesto respectivamente. que corresponden a ordenar 3, 6 y 9 motores de repuesto respectivamente. Por otra parte, los eventos vienen a ser las dos plantas disponibles.Por otra parte, los eventos vienen a ser las dos plantas disponibles.



Tabla de costos para la empresa de transporteTabla de costos para la empresa de transporte

Motores de repuesto solicitadosMotores de repuesto solicitados

Planta Planta utilizadautilizada

33 66 99

AA 1288,81288,8 1577,61577,6 2254,82254,8

BB 2755,62755,6 2440,02440,0 2533,62533,6



ConclusiónConclusión

Si suponemos que la empresa de transporte Si suponemos que la empresa de transporte desea escoger la acción que le asegure un desea escoger la acción que le asegure un resultado favorable sin importar la planta que resultado favorable sin importar la planta que sea utilizada. Esto puede hacerse adoptando un sea utilizada. Esto puede hacerse adoptando un punto de vista pesimista, señalando el costo punto de vista pesimista, señalando el costo más alto para cada acción, indiferente de la más alto para cada acción, indiferente de la planta que sea utilizada. Cuando la empresa planta que sea utilizada. Cuando la empresa solicita 3,6 y 9 motores de repuesto el costo solicita 3,6 y 9 motores de repuesto el costo más alto es 2755,6 , 2444,0 y 2533,6 más alto es 2755,6 , 2444,0 y 2533,6 respectivamente. Por esta razón la acción respectivamente. Por esta razón la acción minimax es: solicitar 6 motores de repuestominimax es: solicitar 6 motores de repuesto

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