escuela politÉcnica nacional dra. sandra gutiÉrrez p. 1 teorÍa de la decisiÓn bajo incertidumbre...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. 11

TEORÍA DE LA DECISIÓN TEORÍA DE LA DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBREBAJO INCERTIDUMBRE

Maestría en Riesgo FinancieroMaestría en Riesgo Financiero

22ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P. DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

Toma de decisiones con Toma de decisiones con información experimentalinformación experimental

En ocasiones, la asignación de una probabilidad En ocasiones, la asignación de una probabilidad a priori, puede ser obtenida de una manera a priori, puede ser obtenida de una manera subjetiva, dependiendo del conocimiento o subjetiva, dependiendo del conocimiento o experiencia del decisor.experiencia del decisor.Por otro lado, se puede también obtener una Por otro lado, se puede también obtener una probabilidad a priori de una manera objetiva, probabilidad a priori de una manera objetiva, mediante la información proveniente de un mediante la información proveniente de un experimento, por lo general un muestreo, con el experimento, por lo general un muestreo, con el cual se busca reducir la incertidumbre en la cual se busca reducir la incertidumbre en la consecución, no sólo de las probabilidades a consecución, no sólo de las probabilidades a priori sino también de las probabilidades a priori sino también de las probabilidades a posteriori.posteriori.



Regla de BayesRegla de Bayes

La regla de Bayes, se utiliza para combinar la La regla de Bayes, se utiliza para combinar la distribución a priori y la información muestral, distribución a priori y la información muestral, con el fin de determinar la mejor acción que se con el fin de determinar la mejor acción que se debe adoptar. Para ver esta combinación debe adoptar. Para ver esta combinación consideremos la variable aleatoria (consideremos la variable aleatoria (θθ,X), donde ,X), donde θθ señala un evento o estado de la naturaleza y señala un evento o estado de la naturaleza y X indica la información obtenida a partir de un X indica la información obtenida a partir de un experimento que podría consistir en la toma de experimento que podría consistir en la toma de una muestra aleatoria. Cuando ambas variables una muestra aleatoria. Cuando ambas variables son discretas, la distribución a posteriori de son discretas, la distribución a posteriori de θθ dada X=j, puede expresarse en la forma:dada X=j, puede expresarse en la forma:



Regla de BayesRegla de Bayes



EjemploEjemplo

Ante la decisión de perforar o no en busca de petróleo, Ante la decisión de perforar o no en busca de petróleo, el dueño de un terreno contempla la contratación de un el dueño de un terreno contempla la contratación de un geólogo para conducir un examen exploratorio detallado. geólogo para conducir un examen exploratorio detallado. Puesto que nunca dos sitios de perforación no probados Puesto que nunca dos sitios de perforación no probados son iguales, no hay frecuencia histórica que pueda ser son iguales, no hay frecuencia histórica que pueda ser usada con este propósito. Por tanto, el geólogo debe usada con este propósito. Por tanto, el geólogo debe confiar en un valor subjetivo de la probabilidad. confiar en un valor subjetivo de la probabilidad. Supongamos que él cree que hay una posibilidad del Supongamos que él cree que hay una posibilidad del 60% de encontrar petróleo, eso es, si ,{60% de encontrar petróleo, eso es, si ,{θθ=1=1} y {} y {θθ=0=0} } indican los eventos, hay y no hay petróleo, entonces indican los eventos, hay y no hay petróleo, entonces P(P(θθ=1)=0.60 y =1)=0.60 y P(P(θθ=0)=0.40.=0)=0.40.



EjemploEjemplo

Como paso siguiente, el dueño del terreno Como paso siguiente, el dueño del terreno evalúa el examen exploratorio, empezando por evalúa el examen exploratorio, empezando por ver qué resultados son significativos. Por ver qué resultados son significativos. Por simplicidad, asumimos que el análisis del simplicidad, asumimos que el análisis del geólogo conduce sólo a una predicción: geólogo conduce sólo a una predicción: favorable (X=1) o desfavorable (X=0). Registros favorable (X=1) o desfavorable (X=0). Registros históricos muestran que, la predicción del históricos muestran que, la predicción del geólogo ha sido favorable en un 85% de los geólogo ha sido favorable en un 85% de los campos que poseen petróleo. Además, el campos que poseen petróleo. Además, el examen del geólogo es en un 90 % digno de examen del geólogo es en un 90 % digno de confianza, al hacer una predicción desfavorable confianza, al hacer una predicción desfavorable cuando no hay petróleo.cuando no hay petróleo.



Cronología de los eventos Cronología de los eventos (como árbol)(como árbol)



En lugar de emplear los árboles de En lugar de emplear los árboles de probabilidad se puede recurrir al uso de probabilidad se puede recurrir al uso de matrices estocásticas donde cada fila matrices estocásticas donde cada fila señala una distribución de probabilidad señala una distribución de probabilidad condicional. Para ilustrar el uso de las condicional. Para ilustrar el uso de las matrices estocásticas suponemos que la matrices estocásticas suponemos que la variable variable θθ toma los valores 0,1, 2,…, m y toma los valores 0,1, 2,…, m y la variable X toma los valores 0, 1, 2, …, nla variable X toma los valores 0, 1, 2, …, n



Definimos entonces las probabilidadesDefinimos entonces las probabilidades

Para construir el árbol de decisión se debe conocer la Para construir el árbol de decisión se debe conocer la matriz P*=(p*matriz P*=(p*jiji). Cuando esto no es posible se debe ). Cuando esto no es posible se debe identificar la matriz P=(pidentificar la matriz P=(pijij) y la función de frecuencia de ) y la función de frecuencia de la variable la variable θθ. Luego se encuentra la matriz R=(r. Luego se encuentra la matriz R=(rijij) para ) para obtener de su transpuesta la función de frecuencia obtener de su transpuesta la función de frecuencia marginal de la variable X. Finalmente se halla la matriz marginal de la variable X. Finalmente se halla la matriz P*P*



EjemploEjemplo

Retomando el ejemplo visto anteriormente, vemos que Retomando el ejemplo visto anteriormente, vemos que la matriz P y la función de frecuencia de la variable la matriz P y la función de frecuencia de la variable θθ resumen la información del primer árbol de probabilidad resumen la información del primer árbol de probabilidad presentado . Por otra parte la matriz Rpresentado . Por otra parte la matriz RTT, la función de , la función de frecuencia de la variable X y la matriz P* reemplazan al frecuencia de la variable X y la matriz P* reemplazan al segundo árbol de probabilidad.segundo árbol de probabilidad.

P(P(θθ=1)=0.60 y P(=1)=0.60 y P(θθ=0)=0.40=0)=0.40



EjemploEjemplo



Análisis PosteriorAnálisis Posterior

Este análisis consiste en utilizar un árbol de decisión Este análisis consiste en utilizar un árbol de decisión como base para la toma de decisiones. El árbol inicia como base para la toma de decisiones. El árbol inicia con la etapa que involucra la alternativa de obtener o no con la etapa que involucra la alternativa de obtener o no la información experimental.la información experimental.En caso afirmativo, en las ramas del nodo de En caso afirmativo, en las ramas del nodo de incertidumbre se sitúa la distribución de probabilidad de incertidumbre se sitúa la distribución de probabilidad de la variable X, donde X representa la información la variable X, donde X representa la información experimental.experimental.Posteriormente se tienen en cuenta los nodos de Posteriormente se tienen en cuenta los nodos de decisión después de los cuales, vienen los nodos de decisión después de los cuales, vienen los nodos de incertidumbre en cuyas ramas se sitúan las incertidumbre en cuyas ramas se sitúan las distribuciones condicionales de la variable distribuciones condicionales de la variable θθ..Cuando el decisor no recurre a la información Cuando el decisor no recurre a la información experimental se emplea la distribución a priori de la experimental se emplea la distribución a priori de la variable variable θθ



Análisis PosteriorAnálisis Posterior

El valor esperado de la información perfecta, El valor esperado de la información perfecta, indica el valor de la información ideal acerca de indica el valor de la información ideal acerca de los diferentes eventos.los diferentes eventos.

Si el costo de la información es mayor que el Si el costo de la información es mayor que el valor esperado de la información perfecta, la valor esperado de la información perfecta, la ramificación proveniente de aquella información ramificación proveniente de aquella información se descarta del árbol, haciendo con ello se descarta del árbol, haciendo con ello innecesario el cálculo de las probabilidades a innecesario el cálculo de las probabilidades a posteriori y de paso abreviando el árbol de posteriori y de paso abreviando el árbol de decisión.decisión.



EjemploEjemplo

A continuación se muestra el diagrama de árbol de A continuación se muestra el diagrama de árbol de decisión que ilustra las escogencias del dueño del decisión que ilustra las escogencias del dueño del terreno, en el ejemplo del petróleo, una vez que sean terreno, en el ejemplo del petróleo, una vez que sean conocidos los resultados exploratorios. Si la decisión conocidos los resultados exploratorios. Si la decisión inicial es no efectuar un examen exploratorio, entonces inicial es no efectuar un examen exploratorio, entonces la escogencia perforar o abandonar, debe hacerse sin la escogencia perforar o abandonar, debe hacerse sin información, lo cual se muestra en el nodo de decisión información, lo cual se muestra en el nodo de decisión de la parte inferior del árbol. Aquí las probabilidades a de la parte inferior del árbol. Aquí las probabilidades a priori originalmente obtenidas, se aplican a los eventos priori originalmente obtenidas, se aplican a los eventos petróleo y no petróleo. Se asume que la concesión es petróleo y no petróleo. Se asume que la concesión es vendida por 200 al descubrir petróleo, el costo de vendida por 200 al descubrir petróleo, el costo de perforación es de 80 y el costo del examen exploratorio perforación es de 80 y el costo del examen exploratorio es 15. es 15.



Efectuando la inducción hacia atrás se Efectuando la inducción hacia atrás se observa que la exploración produce una observa que la exploración produce una ganancia esperada de 43, que es superior ganancia esperada de 43, que es superior a la ganancia esperada al no hacer uso a la ganancia esperada al no hacer uso del examen exploratorio. La estrategia que del examen exploratorio. La estrategia que maximiza la ganancia esperada consiste maximiza la ganancia esperada consiste entonces en hacer el examen exploratorio, entonces en hacer el examen exploratorio, si éste es favorable, perforar, pero si no lo si éste es favorable, perforar, pero si no lo es, entonces se debe abandonar.es, entonces se debe abandonar.



Uso de la información experimentalUso de la información experimental

Consideremos más detenidamente el caso en Consideremos más detenidamente el caso en que un decisor desea buscar información que un decisor desea buscar información mediante la realización de un experimento o mediante la realización de un experimento o recurriendo a una asesoría que le facilite una recurriendo a una asesoría que le facilite una buena decisión.buena decisión.En muchos casos el experimento que lleva a En muchos casos el experimento que lleva a cabo un decisor consiste en tomar una muestra cabo un decisor consiste en tomar una muestra aleatoria de una población cuyas características aleatoria de una población cuyas características influyen en los pagos fundamentales. La influyen en los pagos fundamentales. La escogencia del decisor depende del resultado escogencia del decisor depende del resultado del muestreo particular.del muestreo particular.



Uso de la información experimentalUso de la información experimental

Un esquema de muestreo puede Un esquema de muestreo puede analizarse identificando todos los analizarse identificando todos los resultados posibles de la muestra y todas resultados posibles de la muestra y todas las estrategias de que dispone el decisor. las estrategias de que dispone el decisor.



EjemploEjemploEn una ciudad y en una fecha dada se decidió la presentación de un conjunto En una ciudad y en una fecha dada se decidió la presentación de un conjunto musical. Las ganancias dependen del estado del tiempo; si está lluvioso, el conjunto musical. Las ganancias dependen del estado del tiempo; si está lluvioso, el conjunto pierde 15000, si está nublado pierde 5000 y si está soleado gana 10000. El conjunto pierde 15000, si está nublado pierde 5000 y si está soleado gana 10000. El conjunto puede cancelar su presentación, acción que dará lugar a una pérdida de 1000. puede cancelar su presentación, acción que dará lugar a una pérdida de 1000. Además incurriendo en un costo adicional de 500, el conjunto puede obtener Además incurriendo en un costo adicional de 500, el conjunto puede obtener información sobre el estado del tiempo. La oficina encargada de dicha información información sobre el estado del tiempo. La oficina encargada de dicha información entrega la siguiente tablaentrega la siguiente tabla

Tiempo actualTiempo actual Lp: lluviaLp: lluvia Np: NubosidadNp: Nubosidad Sp: SolSp: Sol

L: lluviaL: lluvia 0.70.7 0.20.2 0.10.1

N: nubosidadN: nubosidad 0.30.3 0.50.5 0.20.2

S: solS: sol 0.10.1 0.10.1 0.80.8



Además según esta oficina, las probabilidades de lluvia, Además según esta oficina, las probabilidades de lluvia, nubosidad y sol son 0.1, 0.3 y 0.6 respectivamente.nubosidad y sol son 0.1, 0.3 y 0.6 respectivamente.



Valor Esperado de la información Valor Esperado de la información muestralmuestral

Recordemos que el valor esperado de la información Recordemos que el valor esperado de la información perfecta, coloca un límite a la cantidad que el decisor perfecta, coloca un límite a la cantidad que el decisor desearía pagar por cualquier tipo de información que desearía pagar por cualquier tipo de información que sea útil en la predicción del estado de la naturaleza.sea útil en la predicción del estado de la naturaleza.Una medida similar al valor esperado de la información Una medida similar al valor esperado de la información perfecta, expresa la importancia de la información perfecta, expresa la importancia de la información contenida en la muestra. contenida en la muestra. Esta medida conocida como el Valor esperado de la Esta medida conocida como el Valor esperado de la información muestral (VEIM), se obtiene de la diferencia información muestral (VEIM), se obtiene de la diferencia entre el pago esperado bajo incertidumbre y el pago entre el pago esperado bajo incertidumbre y el pago esperdado con información muestral (PEIM)esperdado con información muestral (PEIM)



Valor Esperado de la información Valor Esperado de la información muestralmuestral

Es decir: Es decir: (VEIM)=|(PEIM)-(PEBI)|(VEIM)=|(PEIM)-(PEBI)|

El valor esperado de la información muestral es El valor esperado de la información muestral es totalmente análogo al valor esperado de la totalmente análogo al valor esperado de la información perfecta, pero se aplica a una información perfecta, pero se aplica a una información menos confiable. Al igual que el información menos confiable. Al igual que el valor esperado de la información perfecta, el valor esperado de la información perfecta, el valor esperado de la información muestral valor esperado de la información muestral establece un límite superior a lo que debe pagar establece un límite superior a lo que debe pagar el decisor, para conseguir los resultados el decisor, para conseguir los resultados muestrales.muestrales.



EjemploEjemplo

El propietario de un almacén que ordena un lote de 100 artículos, El propietario de un almacén que ordena un lote de 100 artículos, puede inspeccionar una muestra de tamaño 2 o inspeccionar la puede inspeccionar una muestra de tamaño 2 o inspeccionar la totalidad del lote. La inspección le representa al almacén un costo totalidad del lote. La inspección le representa al almacén un costo de 4 por artículo y cada artículo defectuoso es reemplazado por el de 4 por artículo y cada artículo defectuoso es reemplazado por el proveedor. Cuando el propietario del almacén sólo inspecciona la proveedor. Cuando el propietario del almacén sólo inspecciona la muestra, él repone por su cuenta a los clientes, los artículos que muestra, él repone por su cuenta a los clientes, los artículos que éstos devuelvan por defectuosos, teniendo así una pérdida de 18 éstos devuelvan por defectuosos, teniendo así una pérdida de 18 por unidad defectuosa. Por otra parte, cada unidad no defectuosa por unidad defectuosa. Por otra parte, cada unidad no defectuosa que se venda le representa al almacén una ganancia de 12.que se venda le representa al almacén una ganancia de 12.Por la experiencia se sabe que la proporción Por la experiencia se sabe que la proporción θθ de artículos de artículos defectuosos en el lote tienen la siguiente función de frecuencia: defectuosos en el lote tienen la siguiente función de frecuencia: P(P(θθ=0.10)=0.70 y =0.10)=0.70 y P(P(θθ=0.20)=0.30=0.20)=0.30Realice un árbol de decisión que represente el problema, encuentre Realice un árbol de decisión que represente el problema, encuentre P, RP, Rt t y P* y P*Suponga que el propietario del almacén no cancela cantidad Suponga que el propietario del almacén no cancela cantidad alguna, por las dos unidades que examina dentro de la muestra. alguna, por las dos unidades que examina dentro de la muestra. Calcule (VEIM)Calcule (VEIM)



SoluciónSolución

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