inversión bajo incertidumbre
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ciclo especial
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CAPTULO 1
Inversin bajo incertidumbreMINERA CHILENA presenta una nueva serie especial de nueve captulos desarrollada por el doctor en economa de minerales, Juan Ignacio Guzmn. En este ciclo se analizarn aquellas inversiones que generan un cambio en las reservas de la mina. Es decir, inversiones que pueden agruparse como nuevos proyectos y expansiones o extensiones de las faenas en actual operacin.
L
Por Juan Ignacio Guzmn.
a economa defi ne toda
inversin como el acto
de incurrir en un costo
inmediato con la expectativa de
obtener una retribucin futura.
En este sentido, la decisin
de construir una nueva mina
o planta de procesamiento o
de expandir las instalaciones
existentes son todas inversio-
nes. No slo forman parte de
las mismas las inversiones en
nuevos proyectos (green elds)
o en expansiones de las opera-
ciones existentes (brown elds),
sino que tambin el reemplazo
de equipos o la automatizacin
de los procesos pueden ser
considerados inversiones.
Si se piensa con mayor dete-
nimiento, la actividad minera
contempla una amplia gama
de inversiones de todo tipo, lo
que explica que prcticamente
todas las empresas del sector
cuenten con un rea de eva-
luacin de inversiones.
Pese a la variedad de inver-
siones en minera, en este
ciclo de inversin bajo incer-
tidumbre el foco principal se
basar en aquellas inversiones
que generan un cambio en
las reservas de la mina. Es
decir, inversiones que pue-
den agruparse como nuevos
proyectos y expansiones o
extensiones de las faenas en
actual operacin. Este foco
se adopta debido a los altos
montos involucrados en la
decisin, pero tambin debido
a las caractersticas propias
de dichas inversiones. De he-
cho, stas comparten cuatro
caractersticas comunes que
hacen que su evaluacin sea
metodolgicamente similar:
1. La inversin una vez hecha
pasa a ser un costo hundi-
do, es decir, es irreversible.
2. En la mayora de los casos
la inversin representa un
derecho que tiene la empre-
sa pero no una obligacin
y, por tanto, constituye lo
Figura N 1. Precio promedio anual del cobre (real) en la Bolsa de Metales de Londres (BML) y precio pronosticado en el ao 2000. Fuente: BML y GEM.
400
350
300
250
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150
100
50
0
Prec
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(
US2
010/
lb)
Precio real
Pronstico ao 2000
Precio real
Pronstico ao 2000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
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que en finanzas se conoce
como una opcin.
3. El ciclo de inversin (es decir,
el tiempo que toma desde
que se inicia la inversin
hasta que se empieza a re-
cibir la retribucin) es largo
comparado con la mayora
de las industrias productivas
(siendo la petrolera y forestal
excepciones).
4. Las inversiones se realizan
en un contexto de incerti-
dumbre, no slo respecto
del nivel de la inversin mis-
ma sino que, ms importante
an, sobre las retribuciones
futuras que generar dicha
inversin.
El presente ciclo se enmarca
en los mtodos de evaluacin
de proyectos mineros consi-
derando los cuatro factores
antes mencionados. Como se
discutir a lo largo de estos
captulos, estas cuatro carac-
tersticas hacen que las reglas
tradicionales actualmente en
uso en la industria minera no
sean necesariamente las ms
adecuadas para revelar el ver-
dadero valor de un proyecto y,
por ende, se deben considerar
nuevas tcnicas (discutidas
entre los captulos 4 y 9) para
tomar las mejores decisiones
de inversin.
Certidumbre versus
incertidumbre
De entre los cuatro factores an-
tes mencionados hay uno que
es particularmente importante
para justificar la introduccin
de nuevas herramientas de
evaluacin de proyectos en
minera: la incertidumbre.
Se dir que las decisiones se
toman bajo certidumbre si el
producto de dicha decisin
es conocido a priori, de for-
ma perfecta, por quien evala
y toma la decisin. De esta
forma, el concepto de certi-
dumbre est ineludiblemente
ligado a un producto que se
obtendr en un tiempo futuro,
el cual se caracteriza por ser
perfectamente predecible. El
lector podr notar que en mi-
nera si bien la mayora de las
decisiones no se realiza en un
medio ambiente completamen-
te cierto, la toma de la mayora
de las decisiones se realiza
como si as lo fuera. Ejemplos
de stas son la decisin de
reemplazar un camin que ha
alcanzado el fin de su vida til
por otro nuevo, o el modificar
la corriente elctrica en una
planta de electro-obtencin.
Pese a que ninguna de estas
decisiones puede ser consi-
derada en estricto rigor como
realizada en un contexto de
absoluta certidumbre, lo cierto
es que la experiencia (y en
algunos casos la teora) ha
enseado a quienes toman
estas decisiones que la mejor
forma de plantear el problema
y resolverlo es como si ste se
encontrara inserto en un medio
ambiente predecible.
Por su parte, la incertidumbre
se refiere precisamente a la
carencia de certidumbre y a la
imposibilidad de pronosticar de
forma precisa las retribuciones
futuras asociadas con el pro-
yecto. En minera, como se ver
en mayor detalle en el captulo
2 de este ciclo, muchos de los
parmetros de los proyectos
son inciertos. En este sentido,
ni los ingresos ni egresos que
generar un proyecto pueden
ser conocidos a priori debido
a que tanto los precios de los
commodities minerales como
los costos de los insumos de
produccin, adems de la
misma produccin, son todos
inciertos en mayor o menor
grado.
Evaluacin
Hoy en da la mayora de las
empresas mineras evalan sus
decisiones de inversin referi-
das a proyectos como si stas
fuesen realizadas en un am-
biente de certidumbre, reem-
plazando la incertidumbre de
los parmetros principales de
la evaluacin por pronsticos
de los mismos. Sin embargo,
por bien construidos que se
encuentren los pronsticos, la
mayora de las veces la proba-
bilidad de que stos se mate-
rialicen en la prctica es muy
baja (en algunos casos nula),
lo que genera una oportunidad
de mejora en la evaluacin
El lector podr notar que en minera si bien la mayora de las decisiones no se realiza en un medio ambiente completamente
cierto, la toma de la mayora de las decisiones se realiza como si as lo fuera.
Se sabe que evaluar las inversiones irreversibles bajo incertidumbre con las mismas herramientas
con las que se evala bajo certidumbre es errneo. Pero este hecho no ha sido suficiente
para que las empresas mineras modifiquen sus actuales metodologas de evaluacin, pues un cambio en esta lnea conllevara a un proceso
culturalmente costoso.
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de proyectos por medio de
la utilizacin de herramientas
que, en lugar de evitar lidiar
con la incertidumbre, busquen
beneficiarse de ella.
El criterio preferido y comn-
mente utilizado en minera para
evaluar las decisiones de inver-
sin es el Valor Presente Neto
(VAN), que consiste en sumar
los flujos de caja descontados
que genera el proyecto. La
regla del VAN establece que
las buenas decisiones sern
aquellas que estn necesa-
riamente asociadas a un VAN
positivo. Esto ltimo es equiva-
lente a exigir que la retribucin
futura del proyecto rente al me-
nos la inversin comprometida
a la tasa de rentabilidad exigida
por el inversionista.
Pese a lo evidentemente correc-
to que puede parecer la regla
del VAN, incluso sin la presencia
de incertidumbre, esta regla no
lleva necesariamente a tomar las
mejores decisiones de inversin.
Ms an, bajo incertidumbre
se sabe que la regla del VAN
sin considerar la variabilidad
de ciertos eventos en el futuro
conlleva a una decisin subpti-
ma y, por ende, mejorable. Esto
ltimo es, sin duda, la principal
crtica de las opciones reales,
tcnica moderna que como se
discutir entre los captulos 5 y
9 del presente ciclo es parte
central de la evaluacin de las
inversiones irreversibles bajo un
contexto de incertidumbre.
El problema del uso del VAN
determinstico (esto es, sin consi-
derar incertidumbre, sino que un
nico pronstico por parmetro)
en minera radica en la falacia
de asumir que el VAN evaluado
en los valores esperados de los
precios, costos, leyes de mineral,
recuperacin metalrgica, entre
muchos otros, es equivalente al
valor esperado del VAN, es decir,
el valor esperado de la distribu-
cin de probabilidad del VAN
cuando dichos parmetros se
consideran con sus respectivas
distribuciones de probabilidad
o procesos estocsticos. Pese
a que en principio lo anterior
puede parecer un simple juego
de palabras, tiene profundas
implicancias pues, bajo incerti-
dumbre, las empresas mineras
debieran tomar siempre sus
decisiones con el objetivo de
maximizar sus utilidades espe-
radas, y no de maximizar sus
utilidades en base a los valores
esperados de los distintos pa-
rmetros pronosticados.
Potencial econmico
Tericamente se sabe que eva-
luar las inversiones irreversibles
bajo incertidumbre con las mis-
mas herramientas con las que
se evala bajo certidumbre es
errneo. Pero este hecho no
ha sido suficiente para que las
empresas mineras modifiquen
sus actuales metodologas de
evaluacin, pues un cambio
en esta lnea conllevara a un
proceso culturalmente costoso.
Lo que ha motivado a que
muchas empresas mineras
estn pensando hoy en evaluar
sus proyectos con tcnicas
modernas para tratar la in-
certidumbre es el potencial
de ganancia econmica que
podra reportar la toma de
decisiones con herramientas
El potencial valor en juego permite prever que el actual inters de la industria minera por implementar evaluaciones con tcnicas modernas que incorporan explcitamente la incertidumbre se materializar en el futuro cercano en mejores decisiones que permitan maximizar el valor para los accionistas.
El criterio preferido y comnmente utilizado en minera para evaluar las decisiones de inversin es el Valor Presente Neto (VAN), que consiste en sumar los flujos de caja descontados que genera el proyecto.
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tericamente ms robustas.
Para encontrar la potencial pr-
dida econmica que podra
generarse producto de la incer-
tidumbre en los proyectos mi-
neros, Auger y Guzmn (2010)
estudiaron la potencial prdida
de VAN producto de la incerti-
dumbre en el precio del cobre
para 51 proyectos mineros cuyo
inicio de produccin ocurri
entre 1950 y 2000. Con el fin
de estimar dicha prdida, se
evaluaron expost cunto habran
ganado, en trminos de VAN,
cada uno de los proyectos dado
el precio efectivamente realizado
del cobre y sus caractersticas
principales (costos, produccin,
vida de la mina, etc.). Para tal fin
se estudi cmo la incertidum-
bre en el precio podra impactar
el timing de inversin (esto es,
comprometer o decidir poster-
gar la inversin), y la seleccin
de la capacidad de produccin.
Considrese como ejemplo una
empresa que est tomando la
decisin de si invertir o no en el
ao 2000 en una mina de cobre
de una cierta capacidad. Asu-
miendo que el precio es la nica
variable incierta, la empresa
realiza un pronstico para llevar
a cabo la estimacin del VAN
del proyecto. Dicho pronstico
se muestra en la Figura N 1,
y como queda claro de la mis-
ma figura al pasar el tiempo el
precio termina tomando un valor
distinto y en este ejemplo muy
superior al pronosticado.
Es claro de la Figura N 1 que
si el pronstico de precios del
cobre crece hasta alcanzar un
nivel alto rpidamente enton-
ces, dado el largo ciclo de
inversin, si el proyecto tiene
un VAN positivo ser ptimo
invertir inmediatamente debido
a que las retribuciones iniciales
de la operacin de la mina
sern altas. La capacidad a la
cual podra ser ptimo ser un
resultado de la evaluacin del
proyecto al precio pronostica-
do. Sin embargo, una evalua-
cin expost demuestra que en
efecto lo ptimo debiese haber
sido postergar la inversin y
aumentar la capacidad de pro-
duccin (para as aprovechar
los mejores precios).
Los resultados de Auger y
Guzmn indican que las 51
minas consideradas habran
obtenido un VAN calculado
expost de US$25.500 millones
(en moneda de 2008). Pese
al importante valor creado
por la industria, lo cierto es
que cuando se examin la
decisin tomada por las firmas
en cuanto a timing y capaci-
dad Auger y Guzmn (2010)
concluyeron que todava las
decisiones se podran haber
tomado de mejor forma si se
hubiese conocido al momento
de comprometer la inversin
el verdadero precio del cobre
futuro. De hecho, como re-
sultado de esta condicin de
certidumbre, se estim que
el VAN podra haber sido de
US$38.100 millones (en mone-
da de 2008), es decir, ms de
49% superior al efectivamente
alcanzado por este grupo de
proyectos.
Si bien es imposible conocer
el futuro y, por tanto, parece
improbable asegurar completa-
mente la brecha de US$12.600
millones identificada por Auger
y Guzmn (2010), nuevas he-
rramientas de evaluacin de
inversiones irreversibles bajo
incertidumbre s permitiran
capturar parte de dicho valor.
Distintos estudios acadmicos
hacen pensar que utilizando
tcnicas como la de las opcio-
nes reales se podra capturar
entre 15% y 40% de la brecha
mxima potencial. En esta lnea,
las evaluaciones realizadas por
GEM empresa especialista en
evaluacin de proyectos mine-
ros bajo incertidumbre para
distintos proyectos en Chile
avalan dichas cifras.
El potencial valor en juego
permite prever que el actual
inters de la industria minera
por implementar evaluaciones
con tcnicas modernas que
incorporan explcitamente la
incertidumbre se materializar
en el futuro cercano en mejo-
res decisiones que permitan
maximizar el valor para los
accionistas. mch
Referencias complementarias:
Para una discusin en detalle
respecto de la brecha potencial
generada en la industria minera
del cobre debido a la incerti-
dumbre en el precio del cobre
el lector puede consultar Auger,
F. y Guzmn, J. I. (2010) How
rational are investment decisions
in the copper industry?. Resour-
ces Policy, Vol. 35, pp. 292-300.
Juan Ignacio Guzmn es doctor en economa de mi-
nerales, socio fundador y ge-
rente general de GEM Ltda. y
acadmico de la Universidad
de los Andes.
E-mail: [email protected]
Lo que ha motivado a que muchas empresas mineras estn pensando hoy
en evaluar sus proyectos con tcnicas modernas para tratar la incertidumbre es
el potencial de ganancia econmica que podra reportar la toma de decisiones con herramientas tericamente ms robustas.
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InVERSIn BAJO InCERTIDUmBRE: CAPTULO 2
Tipos de incertidumbresLa identificacin de las incertidumbres debe hacerse de forma de considerar todas aquellas variables inciertas cuya variabilidad se considere relevante, se afirma en esta nueva entrega de esta serie.
E
Por Juan Ignacio Guzmn.
l primer paso para incor-
porar la incertidumbre en
la evaluacin de proyectos
mineros consiste en identificar
aquellas fuentes de incertidumbre
que pudieran ser relevantes para
el proceso de toma de decisiones.
En la prctica existen infinitas
fuentes de incertidumbre y, por
tanto, este primer paso consiste
precisamente en limitar el nmero
de incertidumbres a estudiar a
aquellas con mayor impacto sobre
la inversin o retribuciones futuras
que se espera generar. Para esto,
sin embargo, debe tenerse un
objetivo bien definido a priori, pues
de lo contrario existe el peligro
de incluir variables que resulten
irrelevantes para el anlisis (lo que
aumenta los costos del mismo), o
ms importantemente, de no in-
cluir algunas otras variables que s
pudieran serlo, lo que podra llevar
a tomar decisiones equivocadas.
Cualquiera sea el nivel de inge-
niera en el que se encuentre el
proyecto minero, es importante
reconocer que el objetivo de la
evaluacin es la toma de distintas
decisiones respecto de la forma
en la que se desarrollar o no la
explotacin de las reservas de
mineral. Luego, la identificacin de
las incertidumbres debe hacerse
de forma de considerar todas
aquellas variables inciertas cuya
variabilidad se considere relevante
al nivel que podran: 1.- Afectar
la viabilidad econmica del pro-
yecto; 2.- Modificar la envolvente
econmica de la mina resultante;
o 3.- Cambiar la tasa y secuen-
ciamiento ptimo de la operacin
(ver Figura N 1).
Desde el punto de vista prctico,
para llevar a cabo la identificacin
de las incertidumbres con el ob-
jetivo de realizar evaluaciones en
minera se recomienda crear un
equipo multidisciplinario. ste
debe asegurarse de que todas
las incertidumbres relevantes para
la evaluacin sean incluidas, as
como coordinar las tareas con
las distintas disciplinas y depar-
tamentos que pudieran participar
de dicha identificacin. En este
sentido, una buena forma (aun-
que no la nica) de llevar a cabo
el proceso de identificacin es
realizar una lista de incertidumbres
potenciales a partir de un proceso
de brainstorming entre todos los
miembros del equipo.
Clasificacin
Con el objetivo de mejorar la pre-
sentacin y tratamiento de las
incertidumbres identificadas se
recomienda clasificarlas segn la
naturaleza de las mismas. Pese a
que toda clasificacin es per se
arbitraria y, por ende discutible, la
experiencia demuestra que como
mnimo es necesario dividir las
incertidumbres segn la fuente
de su origen, pudiendo ser sta
externa o interna.
Las fuentes de origen externa
son aquellas ajenas a la empre-
sa. En minera, tal vez la principal
fuente de incertidumbre externa
sea el precio de los commodi-
ties minerales y otras variables
macroeconmicas, tales como
los costos de los insumos y el
tipo de cambio. Adems de
las incertidumbres de mercado
existen muchas otras fuentes
de incertidumbres externas. La
Tabla N 1 detalla un conjunto
de riesgos externos en minera.
En esta tabla las incertidumbres
aparecen en neutro, de forma
que no se considera si el efecto
sobre el valor econmico del
proyecto es positivo o negativo.
Figura N 1. Tringulo objetivo para identificacin de incertidumbres relevantes. Fuente: Elaboracin propia
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En cuanto a las incertidumbres
de origen interno, puede decirse
que stas son dictadas por los
activos y organizacin propios
de la empresa. Los principales
tipos de fuentes de incertidumbre
interna en minera se detallan en
la Tabla N 2.
Evaluacin de proyectos
Las diferentes evaluaciones tc-
nico-econmicas de proyectos
pueden separarse conceptual-
mente en minera en seis cate-
goras, dadas a continuacin:
perfil, pre-factibilidad, factibilidad,
construccin, operacin y cierre
de mina. La experiencia del autor
indica que en cada uno de estos
estudios la evaluacin, conside-
rando las incertidumbres propias
del proyecto, es fundamental, y
tiene el poder de modificar deci-
siones al interior del proyecto y,
por ende, cambiar los resultados
econmicos de la evaluacin.
Dependiendo del horizonte de
tiempo que se considere para la
evaluacin es importante recono-
cer que ciertas incertidumbres
pudieran aplicarse bajo un hori-
zonte de evaluacin y no hacerlo
bajo otro. As por ejemplo, la in-
certidumbre respecto del cambio
en la legislacin ambiental en un
horizonte de evaluacin de corto
plazo (menor a cinco aos) podra
no existir, mientras que para un
horizonte mayor (20 aos, por
ejemplo) podra ser esencial, y
su no inclusin podra ser con-
siderado un error conceptual de
la evaluacin.
Adems, las incertidumbres pue-
den depender del ciclo de la
vida de la operacin minera. De
hecho, ciertas incertidumbres pu-
dieran ser relevantes slo al inicio
de la mina, como por ejemplo
las asociadas a la recuperacin
metalrgica de unidades geo-
lgicas nunca antes tratadas.
Otras, sin embargo, pueden ser
insignificantes en un inicio pero
volverse crticas hacia el final de
la explotacin de la mina. Tal es
el caso de la incertidumbre aso-
ciada a fallas geotcnicas, la que
se vuelve crtica en faenas a cielo
abierto y subterrneas cuando
se alcanza cierta profundidad.
En la experiencia del autor, en
mltiples proyectos mineros
pareciera que el nmero de
incertidumbres relevantes sue-
le aumentar a medida que el
entendimiento del proyecto va
mejorando (siendo menores en
la ingeniera de perfil y mayores
en la ingeniera de factibilidad). No
obstante esto, las incertidumbres
que deben considerarse no son
necesariamente acumulables,
puesto que no todas las incerti-
dumbres relevantes en una etapa
de estudio o ingeniera deben ser
necesariamente incluidas en una
etapa posterior. Tpicamente ste
es el caso de las incertidumbres
tecnolgicas, que pueden ser
relevantes de examinar en los
estudios iniciales, pero que re-
ducirn su importancia en etapas
posteriores, cuando se ha optado
finalmente por la tecnologa a uti-
lizar y, por tanto, se ha despejado
dicha incertidumbre. Algo similar
puede ocurrir con la incertidumbre
asociada al riesgo poltico del
pas en el que se materializar
la inversin, el cual puede ser
relevante para una etapa de perfil,
pero posteriormente no debiese
incluirse en el anlisis ms que
por medio de sumar a la tasa de
descuento un premio adecuado
por dicho riesgo.
Otro factor clave que debe con-
siderarse durante la identificacin
de las incertidumbres para la eva-
luacin de proyectos en minera
es el hecho de que la relevancia
de stas tambin puede variar en
el tiempo. De aqu, parece clave
que cada empresa tenga en base
a su propios objetivos, experiencia
y condiciones externas e internas
una lista mnima de incertidumbres
que toda evaluacin deba con-
siderar y que continuamente se
encuentren bajo monitoreo. En
particular, es importante que dicha
lista identifique las incertidumbres
mnimas a considerar dependien-
do del tipo de evaluacin a realizar,
as como presentar un criterio
general para la inclusin de otras
incertidumbres que pudieran ser
relevantes para el anlisis. mch
Referenciascomplementarias:El material de este captulo est
basado en un libro en actual desa-
rrollo que el autor est escribiendo
en el tpico de inversin bajo in-
certidumbre en minera.
Juan Ignacio Guzmn es doctor en economa de mi-
nerales, socio fundador y ge-
rente general de GEM Ltda. y
acadmico de la Universidad
de los Andes.
E-mail: [email protected]
Tipo Incertidumbres ms comunes
MercadoPrecio del commodity principal, precio de subproductos, tasa de cambio, precios de energa y otros insumos crticos, costos de mano de obra, monto de la inversin, tasa de descuento
Financiera Tasa de inters, disponibilidad de recursos financieros
Poltica Expropiacin de recursos, estabilidad gubernamental
Legislacin Cambio en tasa de impuesto y/o royalties, cambio en leyes laborales
Sociales Demandas de la comunidad, estabilidad social
Ambientales Cambio en la regulacin (material particulado, gaseoso u otros), permisos ambientales
Comerciales Cambio en especificaciones de compra
Industriales Guerra de precios, produccin del resto de productores, confiabilidad de los provee-dores, entrada de nuevos productores, poder de mercado de los clientes, sustitucin
Tecnolgicas Mejoramiento de la tecnologa actual, capacidad de tratamiento de nuevo mineral
Fuente: Elaboracin propia.
Tabla N 1. Fuentes de incertidumbre externa
Tipo Incertidumbres ms comunes
Geolgica Distribucin de leyes, tonelaje de reservas, continuidad de las unidades geolgicas, variabilidad del ndice de Bond
Geotcnica Colapso de roca, estallido de roca, falla en paredes de la mina
Metalrgica Recuperacin (%), tiempo de procesamiento (cinemtica), calidad del producto
OperacionalesDisponibilidad de equipos, disponibilidad de recursos humanos, falla en infraestructu-ras, variabilidad de la mezcla a planta, disponibilidad de insumos, ambiental, dilucin, productividad de equipos, condiciones climticas
Proyectos Atraso de proyectos, Ramp up, Capacidad de extraccin, Capacidad de procesamiento
Organizacionales Huelgas, productividad laboral
Fuente: Elaboracin propia.
Tabla N 2. Fuentes de incertidumbre interna
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INVERSIN BAJO INCERTIDUMBRE: CAPTULO 3
Cuantificacin de incertidumbresLos mtodos ms utilizados para cuantificar las incertidumbres se basan en el uso de la teora de las probabilidades, analiza la presente entrega de esta serie exclusiva para MINERA CHILENA.
U
Por Juan Ignacio Guzmn
na vez que el equi-
po del proyecto ha
identificado las incer-
tidumbres relevantes para la
evaluacin del mismo, se hace
necesaria la cuantificacin de es-
tas incertidumbres. Este proceso
en general requerir, adems de
bsqueda de datos y uso de
herramientas estadsticas, de
una componente experta, as
como de la visin de futuro del
inversionista y otros stakeholders
clave del proyecto u operacin
en cuestin.
Identificacin
Las incertidumbres pueden apa-
recer ya sea debido a una falta
de conocimiento respecto de
la variable en cuestin, lo que
se conoce como incertidumbre
epistmica, o bien debido a
una variabilidad intrnseca de
la variable, tambin conocida
como incertidumbre aleatoria.
Desde el punto de vista de las
incertidumbres en minera, un
claro tipo de incertidumbre epis-
tmica en una mina es la ley de
mineral de un bloque cualquie-
ra del modelo de bloques del
depsito. De hecho, a travs
de un proceso de sondajes y
geoestadstica es posible acotar
el nivel de incertidumbre en un
bloque, y a travs de un proceso
de muestreo en el laboratorio
sera posible reducir incluso
ms dicha incertidumbre. En
el lmite, si se quisiera conocer
exactamente la ley de un blo-
que se podra enviar todo el
bloque a laboratorio y conocer
exactamente la proporcin del
metal a recuperar contenido en
el mismo (lo que, naturalmente,
no se realiza en la prctica de-
bido al alto costo asociado). En
este sentido, por definicin este
tipo de incertidumbre puede
eventualmente convertirse en
certidumbre una vez se hayan
realizado las inversiones ne-
cesarias.
Por otro lado, un ejemplo de
incertidumbre aleatoria sera la
disponibilidad de equipos mine-
ros. La teora de la confiabilidad
de equipos mineros (vase el
libro de Jardine citado en las
referencias) demuestra que la
falla de los componentes me-
cnicos y elctricos tiene una
componente de aleatoriedad o
incertidumbre irreducible que
no puede ser conocida a priori,
lo que contrasta con las incer-
tidumbres epistmicas debido
a la incapacidad de reducir el
nivel de incerteza hasta un nivel
mnimo (o nulo).
Probabilidades
Los mtodos ms utilizados
para cuantificar las incertidum-
bres se basan en el uso de la
teora de las probabilidades.
Sin duda, uno de los factores
que pueden explicar por qu
la teora de las probabilidades
sigue siendo la tcnica ms
usada para cuantificar incerti-
dumbres es que sta antece-
de en ms de 200 aos a sus
teoras alternativas (las cuales
han aparecido recin desde la
segunda mitad del siglo XX).
No obstante, existe una razn
an ms profunda que permite
augurar que en el futuro las
Desde el punto de vista de las incertidumbres en minera, un claro tipo de incertidumbre epistmica en una mina es la ley de mineral.
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probabilidades permanecern
siendo la base de cuantificacin
de las incertidumbres en minera
y otras industrias.
Este argumento se conoce
como el Teorema de Cox (vase
el artculo completo en las refe-
rencias). Si bien este teorema es
bastante tcnico y su definicin
escapa del alcance dado en este
ciclo, basta decir que el Teorema
de Cox establece que bajo un
relativamente amplio rango de
supuestos (los cuales parecen
realistas en gran parte de las
incertidumbres en minera) siem-
pre ser posible encontrar una
probabilidad asociada a cada
posible evento futuro de forma
que adems stas cumplan
con los todos los supuestos
matemticos exigidos por dicha
teora.
Probabilidades objetivas
y subjetivas
Todo aquel que tenga un back-
ground en probabilidades sabr
que la cuantificacin de una
incertidumbre a travs de las
probabilidades generalmente
consiste en realizar un anlisis
estadstico para determinar el
histograma de frecuencia, y
a partir de ste estimar de al-
guna forma la distribucin de
probabilidades y parmetros
del proceso aleatorio que est
detrs de dicha incertidumbre.
Este mtodo objetivo de cuan-
tificacin, es decir, que no de-
pende del juicio de quien lo lleva
a cabo sino que simplemente
de la evidencia histrica de los
hechos, es referido en la teora
de las probabilidades como
probabilidad objetiva.
Pese a que se suele asociar el
estudio de las probabilidades
objetivas a aquellas incertidum-
bres aleatorias, lo cierto es que
en minera tambin se utilizan
para llevar a cabo cuantificacio-
nes de incertidumbres epistmi-
cas. Un claro ejemplo de esto
es la geoestadstica, que busca
obtener probabilidades objetivas
acerca de la ley de mineral en
un bloque cualquiera a partir de
una muestra de leyes tomadas a
cierta distancia de dicho bloque.
Sin embargo, aquellos que han
estudiado geoestadstica po-
dran sentirse frustrados al ver
que no todas las incertidumbres
pueden ser cuantificadas de
forma tan objetiva.
Lo anterior conlleva a la defini-
cin de un segundo conjunto de
probabilidades que, a diferencia
de las probabilidades objetivas,
estn basadas en criterios de
creencias y juicios expertos. Este
mtodo es especialmente rele-
vante para la incertidumbre cuyo
origen es epistmico. Desde el
punto de vista tcnico se llama
a esta probabilidad subjetiva
como probabilidad bayesiana,
y su interpretacin debe darse
en el sentido de que mide el
estado actual de conocimiento
al momento en que se evalan
las probabilidades. Su nom-
bre deriva de Thomas Bayes
(1702-1761), un matemtico y
sacerdote ingls que fue pionero
en conceptos asociados a pro-
babilidades condicionales a la
informacin conocida.
La diferencia fundamental entre
la probabilidad bayesiana (o
subjetiva) y la objetiva radica
en que mientras la ltima es
independiente de quin realiza
la estimacin la primera no lo es.
Sin embargo, no debe confun-
dirse una probabilidad subjetiva
con una estimacin arbitraria. La
clave est en que las probabili-
dades subjetivas deben ser con-
sistentes con los axiomas de la
teora de la probabilidad. As, las
probabilidades subjetivas deben
obedecer los mismos axiomas
que las probabilidades objetivas,
pues de lo contrario no pueden
ser consideradas probabilidades
en el sentido estricto.
La idea de que la probabilidad
debera ser interpretada como
un grado subjetivo de creen-
cia en una proposicin fue
propuesta por el economista
Uno de los factores que pueden explicar por qu la teora de las probabilidades sigue siendo la tcnica ms usada para
cuantificar incertidumbres es que sta antecede en ms de 200 aos a sus teoras alternativas.
Un ejemplo de incertidumbre aleatoria sera la disponibilidad de equipos mineros.
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graf
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Carlo
s Rec
abal
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INER
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NA
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ciclo especial
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ingls John Maynard Keynes
(1883-1946) en su libro titula-
do A treatise on probability,
publicado en 1921. Keynes,
con su inconfundible y original
modo de pensar, puede ser
considerado como el padre de
las probabilidades subjetivas.
Pese a su temprano desarrollo
en la primera mitad del siglo XX,
las probabilidades subjetivas al-
canzaron un rol preponderante
recin hacia la mitad del siglo.
Quien fi nalmente popularizara
este mtodo fue el matemtico
y estadstico americano Leo-
nard Jimmie Savage (1917-
1971), particularmente con la
publicacin de su libro The
foundations of statistics en
1954.
Aunque la validez matemtica
de las probabilidades subjetivas
haya sido demostrada por el
teorema de Cox, lo cierto es
que incluso sin esa prueba tan
valiosa es importante advertir el
poder de llevar a cabo evalua-
ciones con creencias y juicios
expertos. De hecho, esto es
particularmente importante en
minera. De lo contrario, cmo
podramos evaluar la proba-
bilidad de que se produzca
un colapso de roca en una
seccin de mina nueva para
la cual no existe conocimiento
geotcnico? O, cmo poder
en general determinar la proba-
bilidad de que se materialice un
evento para el cual no existen
estadsticas sufi cientes?
Asimismo, las estimaciones
subjetivas deben verse como
una oportunidad en minera,
pues permiten utilizar el mejor
juicio de la gente experta en
tareas de planifi cacin y eva-
luacin. En este sentido, es
importante advertir que si bien
el grupo de evaluacin puede
coordinar el proceso de cuan-
tifi cacin, en raras ocasiones
(slo cuando tenga expertos
internos) podr apoyar el pro-
ceso de cuantifi cacin ms que
presentando la metodologa a
quienes tienen la experiencia y
conocimiento necesarios.
Cuantificacin
La primera pregunta que debe
hacerse el equipo asignado a la
cuantifi cacin de las incertidum-
bres es si existen datos histri-
cos o pronsticos ya realizados
respecto de la incertidumbre en
cuestin. Muchas veces el que
la respuesta sea afi rmativa no
signifi ca que los datos estn
cargados en una base de datos
electrnica simple de consultar.
De hecho, a veces debern pri-
mero recolectarse y procesarse
los datos que puedan ser tiles
para la cuantifi cacin. El proceso
de recoleccin puede ser uno de
campo, en el cual se realiza un
censo y registro de nuevos datos
asociados a la incertidumbre
en cuestin. Tambin puede
ser uno de bsqueda y orden
de datos ya generados, pero
que se encuentran dispersos
o simplemente en formato no
electrnico, lo que difi culta las
actividades siguientes.
Una vez procesados los datos,
si stos son abundantes y el
equipo experto cree que pue-
den ser usados como la mejor
gua disponible para modelar
la incertidumbre en el futuro,
entonces se pasar a la etapa
de ajuste estadstico. sta es
tal vez la parte ms mecnica
de todo el proceso de cuan-
tifi cacin de riesgos, pero el
autor ha detectado que en la
prctica no siempre se maneja
de forma apropiada al interior
de las empresas mineras.
Si la serie de datos no posee co-
rrelacin en el tiempo o espacial,
Pese a que se suele asociar el estudio de las probabilidades objetivas a aquellas incertidumbres aleatorias, lo cierto es que en minera tambin se utilizan para llevar a cabo cuantificaciones de incertidumbres epistmicas. Un claro ejemplo de esto es la geoestadstica.
Foto
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Figura N 1. Ajuste de distribucin de la razn entre inversin realizada y estimada en proyectos mineros de cobre. Fuente: GEM.
Test de ajuste para razn entre inversin observada e inversin estimada
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el ajuste estadstico consistir
en ajustar una distribucin de
probabilidades a travs de un
test de bondad de ajuste. La
idea de este test es comparar
la verdadera frecuencia de los
datos observados, con aquellos
que debieran verse tericamen-
te si es que alguna distribucin
de probabilidades pudiera ser
considerada como generadora
de dichos datos. Puesto que
a priori podra no existir una
buena razn para ajustar una
distribucin de probabilidades
en particular, existen distintos
tests y programas estadsticos
tales como EasyFit, Crystal Ball
y @Risk que permiten probar
un conjunto de distribuciones de
probabilidades y buscar entre
ellas cul o cules podran ser
las potenciales generadoras
de los datos. Los dos tests
ms usados para realizar el
proceso de ajuste de distribu-
ciones son el Chi-cuadrado y
el de Kolmogorov-Smirnov. Se
recomienda al lector interesado
en un estudio en mayor profun-
didad de estos y otros mtodos
numricos de cuantificacin de
incertidumbres referirse al libro
de Mun (2006).
La Figura N1 muestra un ejem-
plo desarrollado en un estudio
interno en GEM, empresa es-
pecializada en evaluaciones de
inversin bajo incertidumbre en
minera. En sta se presentan
los resultados de un estudio
en el cual se consideraron 59
muestras de proyectos mineros
de cobre (incluyendo greenfields
y brownfields) que entraron en
operacin entre 2000 y 2010,
para los cuales se traz el factor
definido como la razn entre la
inversin realizada o efectiva-
mente materializada para poner
en marcha el proyecto y aquella
inversin que haban estima-
do inicialmente las ingenieras
de perfil y pre-factibilidad. Si
no existiera incertidumbre en
el monto final de la inversin,
los valores estimados en las
ingenieras iniciales debiesen
ser idnticos al monto efectiva-
mente gastado para materializar
el proyecto, con lo cual dicho
factor sera siempre igual a 1. Sin
embargo, lo que el estudio de
GEM sugiere es que no slo esta
incertidumbre efectivamente
existe y el factor de ajuste aso-
ciado tiende a ser generalmente
mayor a 1 sino que, adems,
es bastante relevante para la
evaluacin de los proyectos
mineros de cobre.
Es as como los datos sugieren
que el factor de inversin de-
biese seguir una distribucin
de probabilidades lognormal.
Sin embargo, dado que esta
distribucin por definicin no
tiene una cota superior, enton-
ces parece necesario truncar
en el valor mximo observado
para la muestra analizada. As,
la distribucin lognormal trun-
cada del factor de ajuste tiene
como parmetros una media de
1,055, una desviacin estndar
de 0,478, as como un par-
metro de desplazamiento de
0,434; asimismo, la distribucin
se trunca en 2,725. De aqu,
mediante un test de ajuste como
el descrito anteriormente se ha
podido cuantificar la incertidum-
bre asociada a la inversin en
proyectos de cobre, de forma tal
que el valor de la inversin de un
proyecto cualquiera en etapas
tempranas de ingeniera podra
ser considerado como el origi-
nalmente estimado multiplicado
por este factor de ajuste (que
a su vez sigue la distribucin
de probabilidades ya descrita).
A simple vista puede parecer
que la cuantificacin de incer-
tidumbres es siempre posible.
Pese a que efectivamente en
la mayora de los casos en mi-
nera ser posible derivar una
distribucin de probabilidades
o proceso estocstico para
describir una incertidumbre, en
algunos casos esto no es po-
sible (pues no necesariamente
existe un proceso probabilstico
subyacente a la incertidum-
bre). Esto es algo que el equipo
asignado a la cuantificacin
de incertidumbres debe tener
siempre presente. mch
Referencias complementarias:Cox, R. 1946. Probability, fre-
quency and reasonable ex-
pectation. American Journal of
Physics 14 (1): 1-13.
Jardine, A. 1998. Maintenance, replacement and reliability. To-
pics in operational research se-
ries. University of Birmingham.
Keynes, J.M. 1921. A treatise on probability. London, UK:
Macmillan.
Mun, J. 2006. Modeling risk: applying Monte Carlo simu-
lation, real options analysis,
forecasting, and optimization
techniques.
Savage, L.J. 1954. The founda-tions of statistics. New York, NJ:
John Wiley & Sons y London,
UK: Chapman & Hall.
Juan Ignacio Guzmn es doctor en economa de mi-
nerales, socio fundador y ge-
rente general de GEM Ltda. y
acadmico de la Universidad
de los Andes.
E-mail: [email protected]
Las estimaciones subjetivas deben verse como una oportunidad en minera, pues
permiten utilizar el mejor juicio de la gente experta en tareas de planificacin y
evaluacin.
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INVERSIN BAJO INCERTIDUMBRE: CAPTULO 4
Planificacin minera con incertidumbrePor lo general, los pronsticos determinsticos tienen una baja probabilidad de materializarse en la prctica, lo cual reafirma la necesidad de reenfocar los esfuerzos de planificacin minera hacia el diseo de planes robustos.
E
Por Juan Ignacio Guzmn
l boom en el precio de
los commodities acon-
tecido en el periodo
2004-2008, as como la ltima
crisis mundial, han expuesto una
vez ms la exigua robustez que
posee la minera, y en particular
los planes mineros, para ajustarse
a cambios significativos en los
precios. Esta realidad ha generado
una preocupacin creciente por
estudiar la forma de incorporar
las incertidumbres de mercado y
otros riesgos de forma exante a la
planificacin minero-metalrgica,
con el objetivo de obtener planes
robustos a dichos riesgos.
Pese a lo anterior, gran parte de los
esfuerzos en planificacin minera
en las ltimas dcadas se ha
dirigido hacia asegurar la optima-
lidad de los planes (en el sentido
estrictamente matemtico) y no
necesariamente hacia la robustez
de los mismos, los cuales siguen
siendo vulnerables a estimaciones
y pronsticos determinsticos de
variables tanto tcnicas como de
mercado, y en particular al precio
del commodity mineral a producir
en la mina.
Por lo general, los pronsticos
determinsticos tienen una baja
probabilidad de materializarse
en la prctica, lo cual reafirma
la necesidad de reenfocar los
El precio del commodity mineral a extraer de la mina puede ser descrito por definicin como una variable continua, por lo que tcnicamente la probabilidad de acertar en el pronstico es nula.
esfuerzos de planificacin minera
hacia el diseo de planes robus-
tos, capaces de aportar el mayor
valor posible para un rango de
potenciales escenarios futuros.
As por ejemplo, el precio del
commodity mineral a extraer de
la mina la cual en la experiencia
del autor es por lejos la variable de
mayor impacto en la evaluacin
de un proyecto minero puede
ser descrito por definicin como
una variable continua, por lo que
tcnicamente la probabilidad de
acertar en el pronstico es nula.
Por ms que una empresa minera
u otros agentes de mercado se
esfuercen en producir pronsticos
ms elaborados, jams stos ten-
drn la capacidad de concretarse.
La experiencia de los ltimos aos
indica que, en efecto, la mayora
de las veces ni siquiera el precio
pronosticado estar dentro de un
rango tolerable para el precio real
(para el caso particular del pre-
cio del cobre puede encontrarse
evidencia en este sentido en Lay,
2009). Esto mismo ocurre con
otras fuentes de incertidumbre,
Foto
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a: P
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MIN
ERA
CHI
LENA
tanto de mercado como tcnicas.
Como consecuencia de la baja
o nula posibilidad de acierto que
caracteriza a los pronsticos res-
pecto de las variables inciertas que
afectan a los proyectos mineros
es que el valor comprometido de
los mismos necesariamente va a
diferir del valor realmente obtenido
una vez materializado el proyecto.
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Esta aparente paradoja ha sumido
a la planifi cacin minera en una
evidente falta de robustez frente
a sus fuentes de incertidumbre,
lo que ha redundado en la sensa-
cin de que los planes nunca se
ajustan a las condiciones de mer-
cado sino que ms bien parecen
subestimarlas o sobreestimarlas.
Planificacin
Determinstica Inflexible
(PDI)
Desde el punto de vista formal, se
puede clasifi car a la planifi cacin
minera en actual uso como una
Planifi cacin Determinstica In-
exible (PDI), puesto que, por una
parte, los parmetros de entrada
no consideran incertidumbre (lo
que hace que los planes sean
determinsticos) y, por el otro lado,
los planes no se construyen con
la capacidad de ajustarse o ser
fl exibles a cambios en las condi-
ciones de entrada que se hayan
defi nido (lo que hace que sean
infl exibles).
Este tipo de planifi cacin contrasta
con el concepto de planes robus-
tos, los que debieran tomar como
parmetros de entrada variables
aleatorias o estocsticas (recono-
ciendo as la incertidumbre en las
mismas). Desde el punto de vista
conceptual, la robustez proviene
precisamente del buscar el plan
minero ptimo a una banda de
posibles valores en las variables
inciertas, en lugar de buscar un
plan minero que sea ptimo slo
a un valor nico de dichas varia-
bles. Pese a que en los prximos
captulos se tratar el tema de la
planifi cacin con fl exibilidad, en lo
que sigue en el presente captulo
se har referencia slo a planes
robustos y que no incorporan
fl exibilidad, esto es, planes asocia-
dos a un proceso de Planifi cacin
Estocstica In exible (PEI).
As, recordando las palabras del
estadstico norteamericano John
Tukey (1915-2000), la Planifi ca-
cin Estocstica In exible (PEI),
o aquella planifi cacin que se
hace cargo de los parmetros de
entrada estocsticos o aleatorios,
est orientada sobre la mxima de
que es mejor estar aproximada-
mente correcto que exactamente
equivocado, advirtindose que el
foco actual de la planifi cacin mi-
nera (Planifi cacin Determinstica
In exible) slo puede dar una res-
puesta exacta a un problema que
por defi nicin no es el correcto.
Mejor Plan Robusto (MPR)
Gran parte de los modelos de
planifi cacin minera buscan maxi-
mizar el VAN. Sin embargo, al
considerar incertidumbres en la
valoracin de los planes mineros
este objetivo deja de ser vlido.
Para dirigir la bsqueda hacia
planes robustos es necesario
entonces modificar la funcin
objetivo de forma tal que en lugar
de maximizar el VAN en un esce-
nario esperado, sta maximice el
VAN esperado resultante de los
distintos escenarios considerados.
Para un tratamiento matemtico
en detalle de dicho problema el
lector puede revisar Valle (2011) y
las referencias ah citadas.
Aunque podra parecer a sim-
ple vista que el VAN en el valor
esperado es equivalente al valor
esperado del VAN, lo cierto es que
en general no lo son (la desigual-
dad de Jensen es un ejemplo
clsico que demuestra que ambas
cantidades no necesariamente
son equivalentes). Aun cuando
se ha reconocido tericamente la
diferencia entre ambos problemas,
la experiencia del autor indica que
en la prctica de la evaluacin de
proyectos y planes en minera se
consideran en general ambos
problemas como equivalentes.
A modo de defi nicin, cuando
un plan minero sea ptimo en
el sentido de maximizar el VAN
esperado, o equivalentemente
maximizar el VAN dado el nivel de
incertidumbre del proyecto, se dir
que dicho plan es el Mejor Plan
Robusto (MPR), trmino acua-
do en 2009 por GEM, empresa
especializada en evaluaciones
de inversin bajo incertidumbre
en minera.
Sin embargo, las herramientas ac-
tuales de planifi cacin minera no
estn diseadas para encontrar el
Mejor Plan Robusto, entendiendo
a ste como aquel plan que maxi-
miza el VAN esperado bajo todos
los escenarios considerados, ya
que simplemente no es posible
construir la totalidad de planes
para todos los posibles estados
en el futuro, y seleccionar fi nal-
mente el de mejor VAN esperado.
Como consecuencia de la baja o nula posibilidad de acierto que caracteriza a los pronsticos respecto de las variables
inciertas que afectan a los proyectos mineros es que el valor comprometido de los mismos necesariamente va a diferir del valor realmente obtenido una vez materializado el proyecto.
Figura N1. Matriz de VAN y VAN esperado
VAN Esperado
Plan MineroPrecio A
Plan MineroPrecio M
Plan MineroPrecio B
VANA,A VANA,M VANA,B
VANM,A VANM,M VANM,B
VANB,A VANB,M VANB,B
Escenario RealizadoPrecio A Precio M Precio B
Matriz de VAN
VAN Esperado Plan Minero Precio A
VAN Esperado Plan Minero Precio M
VAN Esperado Plan Minero Precio B
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Es por esto que GEM desarroll
una metodologa simplificada y
aplicable a la prctica que utiliza
las herramientas de planificacin
actuales para encontrar un plan
que sea robusto frente a las in-
certidumbres en consideracin,
con lo cual se puede encontrar
efectivamente un MPR restringido
a las capacidades actuales en
planificacin minera.
Ejemplo
Para mostrar la derivacin del
MPR en la prctica, y conside-
rando como nica incertidumbre
relevante al precio del cobre,
supngase un proyecto minero
de cobre en el cual la empresa
duea de la inversin ha estimado
un precio esperado del cobre de
largo plazo de 250 centavos de
dlar la libra. Con este precio
como parmetro de evaluacin,
el equipo de planificacin minera
buscar el plan que maximiza el
VAN de la mina para dicho precio
medio o M. Si, por otra parte,
la empresa reconociera la incer-
tidumbre en el precio, y estimara
que con igual probabilidad ste
puede ser de 200 o 300 centa-
vos de dlar la libra, entonces el
equipo de planificacin habra
producido un plan minero para
un precio bajo y otro alto, B
y A, respectivamente.
La diferencia en tamao y ritmos
de produccin de los planes
asociados a los precios B, M
y A va a depender de las ca-
ractersticas propias de la mina
(recursos, leyes, vida de la mina,
etc.) y de las caractersticas eco-
nmicas asociadas a los distintos
planes (costos de capital y ope-
racin, principalmente). Aunque
es posible imaginar depsitos
donde el uso de tres precios
tan distintos pudieran llevar a
un mismo ritmo y secuencia de
explotacin, lo cierto es que en
general al variar los precios del
cobre tan significativamente las
operaciones resultantes pueden
ser radicalmente distintas.
De cualquier forma, producto
del ejercicio anterior en lugar de
tener un nico plan minero a un
precio esperado, el planificador
minero derivar tres planes a
tres precios dados. Luego, para
determinar cul de todos estos
planes es el MPR, la idea es
evaluar cada plan a los distintos
precios futuros, de forma de ob-
tener una matriz como la dada en
la Figura N1. De aqu, y utilizando
la probabilidad asociada a cada
precio de largo plazo, que por
simplificacin en la exposicin se
asumen equiprobables, el VAN
esperado de un plan viene dado
simplemente como el promedio
aritmtico del VAN del plan al ser
evaluado en cada uno de los tres
precios de largo plazo. De aqu,
el plan minero con mayor VAN
promedio es aquel que posee
el mayor VAN esperado y, por
tanto, corresponde al Mejor Plan
Robusto (MPR).
Aplicacin en Codelco
Como se detalla en un paper
de trabajo presentado recien-
temente en Mineplanning 2011,
durante 2010 Codelco con
ayuda de la empresa GEM llev
a cabo un anlisis de opciones
previo a su proceso estndar de
planificacin anual de largo plazo
por medio de la metodologa
de la Planificacin Estocstica
Inflexible (PEI). Mediante el mis-
mo fue posible derivar el MPR
de cada Divisin de Codelco,
con lo cual hoy en da los planes
mineros de esta empresa son
todos robustos al precio del
cobre y el tipo de cambio.
Sin duda que este ejercicio prc-
tico sienta nuevas bases para
empezar a explorar el futuro en
planificacin minera, donde no
slo se incorpore la incertidumbre
de los precios y otras variables
tcnicas para conseguir planes
robustos, sino que adems los
planes sean diseados desde
un principio para responder a
cambios en los valores esperados
de las mismas. mch
Referencias complementarias:
Alvarado, L., Deck, C., Guzmn, J.I., Lay, R., Castillo, J., Chacn,
E. y Henrquez, J. 2011. PEI:
Non-flexible stochastic planning
at Codelco. Paper presentado en
MINEPLANNING 2011.
Lay, R. 2009. Evaluacin, compa-racin y anlisis de pronsticos
de precios del cobre. Tesis de
Magister, Pontificia Universidad
Catlica de Chile, Santiago, Chile.
Valle, A. 2011. Programacin dinmica estocstica para la de-
terminacin del pit final en una
mina a cielo abierto. Memoria de
ttulo, Universidad de los Andes,
Santiago, Chile.
Savage, L.J. 1954. The founda-tions of statistics. New York, NJ:
John Wiley & Sons y London,
UK: Chapman & Hall.
Juan Ignacio Guzmn es doctor en economa de mi-
nerales, socio fundador y ge-
rente general de GEM Ltda. y
acadmico de la Universidad
de los Andes.
E-mail: [email protected]
Las herramientas actuales de planificacin minera no estn diseadas para encontrar el Mejor Plan Robusto, entendiendo a
ste como aquel plan que maximiza el VAN esperado bajo todos los escenarios considerados.
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INVERSIN BAJO INCERTIDUMBRE: CAPTULO 5
Valorandola flexibilidad, parte IEn ste y los siguientes captulos se examinar en detalle el rol que juegan las flexibilidades en los proyectos mineros, las que en lenguaje tcnico son referidas como opciones reales.
U
Por Juan Ignacio Guzmn
na vez introducidos
los aspectos clave de
la incertidumbre y su
rol en el negocio minero, se
puede avanzar hacia el efecto
que la misma tiene sobre la
evaluacin de proyectos en
minera.
As como en el Captulo 4 del
presente ciclo se discuti el
rol que juega la robustez en la
toma de decisiones de un plan
minero, en ste y los siguientes
captulos se examinar en deta-
lle el rol que juega la flexibilidad
en los proyectos mineros, las
que en lenguaje tcnico son
referidas como opciones reales.
Definicin de opcin
real
Como se mencion en el Ca-
ptulo 1 de este ciclo, mu-
chas decisiones de inversin
en minera comparten cuatro
caractersticas: ser irreversi-
bles, ser un derecho y no una
obligacin, estar realizadas en
un contexto de incertidumbres
y poseer largos ciclos de in-
versin. Cuando una decisin
de inversin posee las tres
primeras caractersticas, se
dir que esta decisin es una
opcin real o simplemente
una opcin.
t=0 t=1 t=2
0=200
1=100
1=300 2=300
2=300
)empo
q=0,5
1-q=0,5
lunes 11 de julio de 2011
Figura 1. Flujos de caja incierto en un proyecto de ejemplo Fuente: en base a Dixit y Pindyck (1994)
Opciones ms
frecuentes
Dentro de las opciones ms
frecuentes que puede tener
disponible un proyecto minero
est la de continuar con los
estudios (EIA, exploraciones,
pruebas metalrgicas, etc.) o
ingenieras con objeto de reducir
la incertidumbre tcnica del
proyecto y, por tanto, tomar
mejores decisiones en el futuro
(en lugar de tomarlas hoy con
menos informacin).
Adicionalmente, los proyectos
mineros tambin tienen en ge-
neral la opcin de continuar la
explotacin de fases marginales
de la mina.
Otra alternativa bastante comn
se refiere a la opcin de abando-
nar una operacin minera cuan-
do los precios del commodity
mineral son bajos. La opcin de
abandonar un proyecto permite
acotar las prdidas potenciales
del mismo, minimizando el ries-
go de la inversin.
En los captulos que siguen se
estudiarn en ms detalle stas
y otras opciones en minera.
Ahora se introduce, mediante
un ejemplo, el clculo del valor
de un proyecto por medio de
incorporar las opciones que
posee.
Valor de la opcin
Para ejemplificar el clculo
del valor de una opcin con-
sidrese el caso hipottico de
una mina que est tomando
la decisin de reabrirse luego
de haber permanecido varios
aos cerrada debido a los
bajos precios del commodi-
ty mineral que explota. Este
ejemplo se encuentra inspirado
en un ejemplo del libro de Dixit
y Pindyck (1994), que hoy se
considera la referencia clsica
en la teora de la inversin
bajo incertidumbre (altamente
recomendada para el lector).
Debido a una oportunidad ni-
ca en el mercado la empresa
duea del proyecto considera
que de tomar la decisin de
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reabrir la mina este ao (t=0),
podr entrar inmediatamente
en produccin pero pagando
una inversin de reapertura de
$1.600. En cuanto al precio
del commodity mineral, se
sabe que el precio inmediato
(t=0) es de $200 y la empresa
estima que el prximo ao
(t=1) el precio podra ser alto
con una probabilidad de 0,5,
en cuyo caso los excedentes
generados por la empresa
seran de $300 en t=1. Por
otro lado, el precio podra ser
bajo, con probabilidad de 0,5
en cuyo caso excedente anual
sera de $100. La empresa
espera que luego del primer
ao (t=2 en adelante) el precio
se mantenga alto o bajo para
siempre (aunque en la prctica
es imposible operar una mina
durante un nmero infinito de
periodos, se ha utilizado este
supuesto con objeto de sim-
plificar los clculos matemti-
cos) de forma tal que la mina
podra generar excedentes
de $300 o $100 cada ao,
respectivamente. La Figura 1
muestra esquemticamente
esta situacin. Finalmente para
el clculo del Valor Actual Neto
(VAN) de la inversin asocia-
da a la reapertura de la mina
se considera que la tasa de
descuento de la empresa es
de 10%.
Si la empresa tuviese que
tomar una decisin en t=0
respecto a si invertir o no en
reabrir la mina (la cual es una
inversin irreversible, hecha en
un contexto de incertidumbres
en precios), lo hara en base
al clculo de la suma de flujos
de caja descontados utilizando
un excedente esperado para
cada ao, los cuales en este
ejemplo son de $200 ($ 300
x 0,5 + $ 100 x 0,5). ste es
el VAN tradicional utilizado en
las empresas mineras en la
actualidad, y su clculo pue-
de hacerse por medio de la
siguiente frmula:
Es decir, el VAN sin opciones
(o tradicional) viene dado sim-
plemente como la suma de los
flujos de caja descontados
menos la inversin necesaria
para reabrir la operacin.
Segn el clculo del VAN
tradicional la alternativa de
proceder con la reapertura de
esta mina es atractiva puesto
que el VAN es mayor a cero,
lo que indica que no sola-
mente se recupera el dinero
invertido para reabrirla (y la
rentabilidad asociada a haber
invertido dicho dinero en otra
alternativa de inversin), sino
que adems los excedentes
esperados para el futuro ms
que compensan la inversin.
Lo que no considera el clculo
del VAN tradicional es el hecho
de que la empresa pudiera
tener la opcin de postergar
la decisin durante un perio-
do de tiempo, y en lugar de
invertir en t=0 poder hacerlo
en t=1, una vez despejada la
incertidumbre en el precio del
commodity mineral. En este
caso, la decisin de inversin
en t=1 requiere determinar si
ante todo evento de precios
(alto o bajo) se debiese invertir
en la reapertura de la mina.
Si se traslada la decisin de
inversin al periodo 1, para
el caso en que el precio del
commodity sea alto entonces
el VAN del proyecto ser de:
, mientras que si el precio es
bajo el VAN vendr dado por:
De aqu, es claro que slo en el
caso en que el precio sea alto
la empresa decidir invertir en
reabrir la mina, mientras que si
el precio es bajo se preferir
abandonar la inversin. De
aqu, el VAN esperado en t=0
con la opcin de esperar y
ver la materializacin de la
incertidumbre en el precio del
commodity mineral (muchas
veces referido como VAN ex-
pandido) vendr dado por:
Lo notable es que al comparar
el VAN del proyecto con la
opcin de esperar y ver versus
el VAN del proyecto sin esta
opcin es claro que el proyecto
con la opcin es ms valioso
que el proyecto sin la opcin
($ 773 > $ 600). De hecho, la
diferencia entre el VAN del pro-
yecto con la opcin y el VAN
del proyecto sin la opcin, que
en este ejemplo es de $173,
corresponde precisamente al
valor de la opcin o flexibilidad
del proyecto.
Desafortunadamente, en la
prctica el clculo del valor de
la opcin de un proyecto pue-
de ser bastante ms complejo
que para este sencillo ejemplo.
Esto debido fundamentalmen-
te a que el supuesto de que la
incertidumbre en el precio se
resuelve completamente si se
espera un ao no es razonable
en minera. Pese a esto, hoy se
reconocen dos metodologas
principales de clculo para el
valor de la opcin, conocidas
como anlisis de activos con-
Dentro de las opciones ms frecuentes que puede tener disponible un proyecto minero est la de continuar con los estudios (EIA,
exploraciones, pruebas metalrgicas, etc.) o ingenieras con objeto de reducir la incertidumbre tcnica del proyecto.
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tingentes (ligada a la teora
financiera) y programacin
dinmica (ligada a la teora de
la optimizacin). Ambas meto-
dologas son conceptualmente
distintas, siendo la diferencia
fundamental entre ambas el
que en el primera se asume
que la tasa de descuento es
particular a cada incertidum-
bre y proyecto, y por tanto es
endgena, mientras que en
la segunda se considera una
tasa de descuento de forma
exgena y que tpicamente
corresponde a la usada por
la empresa para todas sus
inversiones (que en minera
suele ser adems nica por
empresa).
En mi opinin, la industria mi-
nera debe avanzar primero en
introducir las opciones rea-
les mediante la tcnica ms
simple y ad hoc a la realidad
minera, que es la programa-
cin dinmica. Esto debido
a que el anlisis de activos
contingentes utiliza supuestos
(como completitud del mer-
cado financiero o el hecho
de que la empresa no puede
fijar la tasa de descuento del
proyecto) que hoy distan de la
realidad de evaluacin en las
empresas mineras. Adems,
como todo buen evaluador de
proyectos sabe, no sirve de
mucho desgastarse afinando
la calculadora del VAN si
no se es capaz de reconocer
antes las verdaderas fuentes
de valor en un proyecto y por
tanto el objeto a valorar. Lo
mismo ocurre con las opcio-
nes reales. Por ms que se
busquen frmulas matemti-
camente complejas y teoras
elegantes, no se agregar valor
si no se logran identificar las
opciones ms valiosas de un
proyecto como respuesta a
las incertidumbres realmente
estratgicas del mismo.
Potencial valor
Muchas veces las empresas
mineras se comportan preci-
samente de la forma en que
la teora de las opciones reales
predice; esto es, incorporando
de manera implcita el valor
de las opciones que tiene un
proyecto en su evaluacin. Sin
embargo, contar con evalua-
ciones explcitas en las em-
presas que reconozcan este
valor permite tomar decisiones
de mejor forma, al identificar
el verdadero valor de un pro-
yecto, as como la forma en
que ste debiese ser llevado
a cabo, aprovechando as al
mximo las flexibilidades de
una inversin.
Desde el punto de vista acad-
mico se han realizado ejercicios
numricos para encontrar el
valor de distintas opciones
en depsitos minerales. No
obstante, la mayora de las
veces slo se han utilizado
depsitos ficticios, que care-
cen de la complejidad propia
de los recursos minerales (por
ejemplo, se suele usar el su-
puesto de que los recursos
son infinitos y homogneos,
lo cual elimina toda la esencia
del problema de la inversin en
minera y que trata en detalle la
planificacin minera). Para una
revisin exhaustiva de artculos
acadmicos de la aplicacin de
opciones reales al campo de
los recursos no-renovables, el
lector puede referirse a Shaffie
et al. (2009).
La prctica de las opciones
reales en proyectos mineros
reales en GEM empresa es-
pecializada en evaluaciones de
inversin bajo incertidumbre
en minera ha encontrado,
La industria minera debe avanzar primero en introducir las opciones reales mediante la tcnica ms simple y ad hoc a la realidad minera, que es la programacin dinmica.
va programacin dinmica,
que el VAN con opciones es
tpicamente entre 10% a 20%
mayor al VAN sin opciones. Es
importante mencionar eso s
que valorar las opciones implica
mucho ms que simplemente
aumentar el VAN de un proyecto.
Su verdadero aporte radica en
apoyar el proceso de toma de
mejores decisiones respecto a la
forma de materializar el proyecto,
tal como el timing de entrada,
capacidad de procesamiento,
entre otras. mch
Referencias complementarias:
Dixit, A. y Pindyck, R. 1994. Investment under uncertainty.
Princeton, NJ: Princeton Uni-
versity Press.
Shaffie, S., Topal, E. y Nehring, M. 2009. Adjusted Real Option
Valuation to Maximise Mining
Project Value A Case Study
Using Century Mine. En Procee-
dings Project Evaluation 2009,
pp. 125-134 (The Australian
Institute of Mining and Meta-
llurgy: Melbourne).
Juan Ignacio Guzmn es doctor en economa de mi-
nerales, socio fundador y ge-
rente general de GEM Ltda. y
acadmico de la Universidad
de los Andes.
E-mail: [email protected]
AVISO WEIR JULIO 2011 MCH TRAZADO.pdf 1 14-07-11 15:17
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InversIn BaJo IncertIduMBre: captuLo 6
Valorandola flexibilidad, parte IIEn este captulo se analiza el caso hipottico de un proyecto minero de cobre para ejemplificar el clculo del valor de una opcin de crecimiento en minera.
E
Por Juan Ignacio Guzmn
n el captulo anterior se
examin, mediante un
ejemplo numrico, el
valor de una de las flexibilidades
ms simples que se estudian en
relacin con la inversin bajo in-
certidumbre en proyectos mine-
ros: la opcin de esperar y ver.
sta consiste en esperar hasta
ver condiciones favorables en el
precio del commodity mineral o
cualquier otra fuente de incerti-
dumbre que pueda despejarse
(parcialmente al menos) antes
de tomar alguna decisin de
inversin.
Otra opcin que hace sentido
en minera, y que en la ex-
periencia del autor tiene un
mayor valor en la prctica, es
la de construir proyectos con
el concepto de modularidad.
Estos mdulos o fases son
expansiones de capacidad di-
seadas desde un comienzo
en el proyecto, y que tienen
potencial de volverse ms va-
liosos en el futuro que lo que
podran ser en el presente,
dada la evolucin que espera
se resuelva respecto de una o
varias incertidumbres subya-
centes. Esta opcin es comn-
mente referida como opcin
de crecimiento, nombre que
se utilizar en lo sucesivo.
Economas de escala
Para ejemplificar el clculo del
valor de una opcin de creci-
miento en minera, considrese
el caso hipottico de un pro-
yecto minero de cobre. A fines
de 2011 la empresa duea
del proyecto debe tomar una
decisin respecto de si seguir
o no con la construccin de las
operaciones (al inicio de 2012)
y, en caso afirmativo, a qu
capacidad. La construccin de
la faena toma un total de tres
aos antes de estar comple-
tamente operativa, de forma
tal que la operacin podra
estar produciendo a mxima
capacidad al inicio de 2015.
Los estudios geometalrgicos
indican que existen 1.000.000
de toneladas de cobre en el
depsito, y los planes mineros
han sido diseados con el fin
de extraer todo este metal.
Luego de considerar mlti-
ples alternativas, el equipo
del proyecto ha establecido
que existen dos capacidades
anuales factibles, de 50.000 y
100.000 toneladas de cobre,
respectivamente.
En base a los estudios de
ingeniera se ha establecido
que el costo unitario de pro-
duccin (a ctodo) viene dado
por 3.500 US$/ton en caso
de que la produccin anual
sea de 50.000 ton de cobre.
2012 2013 2014 2015 2024
Produccin (kton) 0 0 0 100 100
Ingreso (MUS$) 0 0 0 500 500
Gasto (MUS$) 0 0 0 330 330
Inversin (MUS$) 800 0 0 0 0
Flujo de Caja (MUS$) -800 0 0 170 170
VAN (MUS$) 63
Fuente: Elaboracin propia.
Tabla 1. Clculo del VAN para operacin de 50.000 toneladas anuales de cobre.
Tabla 2. Clculo del VAN para operacin de 100.000 toneladas anuales de cobre.
2012 2013 2014 2015 2034
Produccin (kton) 0 0 0 50 50
Ingreso (MUS$) 0 0 0 250 250
Gasto (MUS$) 0 0 0 175 175
Inversin (MUS$) 500 0 0 0 0
Flujo de Caja (MUS$) -500 0 0 75 75
VAN (MUS$) 28
Fuente: Elaboracin propia.
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Debido a economas de es-
cala, se ha establecido que el
costo unitario de produccin
(a ctodo) podra reducirse a
3.300 US$/ton en el caso de
que se opte por una mina y
planta con capacidad para
producir 100.000 ton de cobre
al ao. Los costos anteriores
se asumen en moneda real y
sin escalamiento, de forma tal
que permanecen constantes
durante la vida de la mina.
Los estudios de ingeniera
muestran que tambin existen
economas de escala en cuan-
to a la inversin, puesto que
mientras que para una capa-
cidad anual de 50.000 ton de
cobre se estima una inversin
total actualizada de US$500
millones, para la operacin de
100.000 ton de cobre anual se
consideran necesarios slo
US$800 millones.
En la prctica, son precisa-
mente las economas de es-
cala en costos de capital y de
operacin las que justifican
proyectos mineros de mayor
capacidad. De hecho, ste ha
sido el principal paradigma que
ha regido la evaluacin de pro-
yectos mineros en las ltimas
dcadas, particularmente en
la industria del cobre.
Para el clculo del Valor Ac-
tual Neto (VAN), la empresa
utiliza una tasa de descuento
(WACC) de 10%. Con el fin de
mantener tan simples como
sea posible los clculos del
VAN en este ejemplo, no se
consideran los impuestos en
la evaluacin.
En cuanto a la incertidumbre
asociada a esta oportunidad
de inversin, se estima que el
precio del cobre es la variable
que juega el principal rol. As,
estudios de mercado reali-
zados por la empresa mues-
tran que entre 2012 y 2016
el precio se mantendr en
promedio en 5.000 US$/ton,
mientras que se estima que a
fines de 2016 se contar con
nueva informacin que llevar
a actualizar dicho valor a un
nivel de 7.000 US$/ton o 3.000
US$/ton, eventos que se es-
tima tienen igual probabilidad
de ocurrir. Cabe sealar que
los nmeros aqu presentados
se han mantenido a propsito
dentro de rangos que pudieran
parecer razonables para la in-
dustria del cobre; sin embargo,
stos han sido seleccionados
nicamente para simplificar el
clculo y facilitar la exposicin.
Las Tablas 1 y 2 muestran el
clculo tradicional del VAN
esperado del proyecto para
una capacidad de produccin
anual de 50.000 y 100.000
toneladas de cobre, respecti-
vamente. En esta evaluacin, y
usando la prctica comn, se
ha utilizado el valor esperado
del precio (que corresponde
a 5.000 US$/ton para todo el
periodo de explotacin de la
mina). Es importante mencio-
nar que el flujo de caja de un
ao cualquiera se ha calculado
mediante restarle a los ingre-
sos los gastos e inversiones de
dicho ao. Ntese que ambos
flujos de caja difieren en su
horizonte de evaluacin, pues
la vida de la mina en uno y otro
caso son diferentes, debido
que las reservas son idnticas
en ambos casos.
As, como resultado de la eva-
luacin tradicional se obtiene
que la alternativa de invertir
en una mina con capacidad
anual de 50.000 ton de cobre
es de US$28 millones, cifra
menor a los US$63 millones
que se consiguen invirtiendo
en una mina con el doble de
capacidad. Obviando el hecho
de que los nmeros podran
en ambos casos desalentar
a un inversionista real debido
a su marginalidad, el mayor
VAN que se obtiene al invertir
en la mina de mayor ritmo de
explotacin, justificar que
este proyecto sea seleccio-
nado por la empresa como la
mejor alternativa de inversin.
Opcin de crecimiento
La evaluacin tradicional re-
salta las economas de escala
que se pueden obtener de una
operacin ms grande, lo que
constituye una mejora real en
trminos de productividad.
Sin embargo, los proyectos
de menor tamao suelen te-
ner una ventaja que tambin
conlleva a ganancias reales,
pero que en la prctica no se
cuantifica pues requiere de
una evaluacin que conside-
re las incertidumbres. Dicha
ventaja se refiere a la capaci-
dad que tiene un proyecto de
En la prctica, son precisamente las economas de escala en costos de capital y de operacin las que justifican proyectos mineros de mayor capacidad. De hecho, ste ha sido el principal paradigma que ha regido la evaluacin de proyectos mineros en las ltimas
dcadas.
Figura 1. rbol estratgicoFuente: Elaboracin propia
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menor capacidad de adap-
tarse a cambios en la (o las)
incertidumbre(s) estratgica(s)
que posee.
En el ejemplo anterior se
puede argir que, al ser las
reservas lo suficientemente
acotadas, slo en el caso de
que la explotacin se defi-
na en un principio para una
capacidad anual de 50.000
ton de cobre existir la posi-
bilidad, una vez que se cuen-
ten con nuevos antecedentes
de precios a fines de 2016,
de expandir la capacidad de
produccin anual a 100.000
ton de cobre. Esta opcin de
crecimiento puede represen-
tarse grficamente a travs del
llamado rbol estratgico,
herramienta muy til en eva-
luaciones de proyectos con
opciones reales. Este rbol es
una representacin visual en
la que se consideran las op-
ciones que posee un proyecto
(representadas por cuadrados),
as como las incertidumbres
asociadas a dichas opciones
(simbolizadas por crculos).
Finalmente, para representar
los nodos terminales que con-
tienen la informacin respecto
al VAN que conlleva seguir un
camino particular del rbol se
suele utilizar un triangulo con
un vrtice en el eje horizontal.
La Figura 1 muestra el rbol
estratgico del proyecto dis-
cutido. La primera decisin
que debe tomar la empresa se
refi ere a la capacidad anual del
proyecto. En caso de que se-
leccione una capacidad anual
de 100.000 ton de cobre, en-
tonces el VAN del proyecto ser
de US$792 millones o US$665
millones, dependiendo de si el
precio a partir de 2017 es de
7.000 US$/ton o 3.000 US$/
ton, respectivamente. Puesto
que a fi nes de 2011 se estima
que el precio esperado es de
5.000 US$/ton para todo el
horizonte de vida de la mina,
el VAN esperado del proyecto
(obtenido como promedio de
ambos VAN) ser entonces de
US$63 millones, que corres-
ponde exactamente al valor
obtenido segn la evaluacin
tradicional de ms arriba (resul-
tado esperado pues esta alter-
nativa no considera opciones).
La diferencia respecto de la
evaluacin tradicional ocurre
cuando se evala el proyec-
to a una capacidad anual de
50.000 ton de cobre, con la
opcin de crecimiento a una
capacidad anual de 100.000
ton de cobre. Para evaluar esto
se debe plantear la opcin de
crecimiento una vez despejada
la incertidumbre respecto del
futuro del precio del cobre a fi -
nes de 2016. Para diferenciar la
dinmica del proyecto defi nido
de esta forma se encuentra de-
tallado en cada nodo terminal
en azul el VAN partiendo en
2012 de continuar con cada
camino, mientras que en rojo
se encuentra el VAN residual
desde 2017 de continuar dicho
camino (ste es el VAN sobre el
cual se tomaran las decisiones
a fi nes de 2016, pero actua-
lizado a 2012). Es as como
si el nuevo precio del cobre
resulta ser alto (7.000 US$/ton),
entonces lo conveniente para
la empresa es expandir su ca-
pacidad de produccin puesto
que esto conllevar a un VAN
residual de US$1.077 millones,
el que es mayor al VAN residual
de mantener la capacidad de
produccin (US$980 millones).
Si las nuevas perspectivas del
precio del cobre son de 3.000
US$/ton, entonces la empre-
sa estar mejor no invirtiendo
en aumentar la capacidad de
produccin, limitando as sus
prdidas a un VAN residual
a slo US$140 millones (en
lugar de US$310 millones).
La fl exibilidad asociada a la op-
cin de crecimiento correspon-
de a la capacidad de la empre-
sa a adaptar la capacidad de su
proyecto en la medida que las
condiciones le sean favorables,
sin estar obligada a hacerlo. En
trminos cuantitativos el valor
del proyecto con capacidad de
produccin anual de 50.000
ton de cobre con la opcin de
crecimiento a 100.000 ton de
cobre anual vendr dado por el
valor esperado del VAN dada la
fl exibilidad que da expandirse
en caso de que el precio sea
favorable (y nicamente en este
caso). En este ejemplo, el VAN
viene dado por el promedio
del VAN en caso de que el
precio sea alto y se realice la
expansin (US$685 millones)
y el VAN en el caso de que el
precio sea bajo y se mantenga
la capacidad de produccin
(-US$532 millones). As, el VAN
del proyecto con opcin de
crecimiento ser de US$76
millones. Ntese que este VAN
es superior a la alternativa de
comprometer el proyecto a una
capacidad anual de 100.000
ton de cobre (US$63 millones)
y, por tanto, en lugar de inver-
tir en una mina ms grande
la empresa debiese invertir
en una mina ms pequea,
siempre y cuando esta ltima
tenga