escuchemos las matemáticas de conceptos matemáticos a...
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Escuchemos las matemáticas.
De conceptos matemáticos a estructuras musicales: ejemplos para el aula
Dra. Mariana Montiel 2019
Antecedentes
• Los antiguos griegos y la pregunta de Pitagoras: ¿por qué la razónentre enteros pequeños se traduce en consonancia?
Ilustración que muestra a Pitágoras ejecutando experimentos con armónicos, a través de cuerdas vibrantesestiradas. De Franchino Gafori, Theorica Musice (1492)
• La respuesta, de parte de Hermann von Helmholtz llegó después de muchos siglos, en términos de la ley de Fourier y la serie armónica.
• Se estudió desde la Antigüedad hasta el Renacimiento
como una forma de vislumbrar la naturaleza de la
realidad.
• La Geometría es el número en el espacio; La Música
es el número en el tiempo; y la Astronomía expresa el
número en el espacio y el tiempo.
• El Quadrivium—el currículo
clásico—compuesto de las
cuatro artes liberals: La
Aritmética (número), La
Geometría, La Música y La
Astronomía.
• En los tiempos antiguos, medievales y del
renacimiento, decir que el orden del universo era
“musical”, era afirmar que se podía expresar en
términos matemáticos.
•
El temprano interés científico de Newton en la música se
manifestó en torno a la division matemática de la octava, un tema
que aparece por la primera vez en un cuaderno de su época
universitaria
En este cuaderno de 1665, se encuentra un estudio de los modos,
así como comparaciones de la division de la escala basadas en
logaritmos o en el temperamento igual (La
teoría de la afinación).
Newton consideraba que la música, como tema de estudio, debería
ser impartida por el profesor de matemáticas!
En los siglos XVII, XVIII, XIX:
La física del sonido: el estudio de la altura de tono como razones y frecuencias;
La multi-division de la octava:
• Euler y el uso de una representation con fracciones continuas de la razón log 2:log 3/2;
• Marin Mersenne describió una subdivisión de31-notas en su Harmonie Universelle (1636)en la cual había 4 teclas entre fa y sol. (Mn = 2n − 1, con n primo)
• Hablaremos fundamentalmente de la música como forma de
hacer que conceptos matemáticos abstractos cobren “vida
aural” para los estudiantes de matemáticas
en el contexto de su aplicación
a la música.
• En las Escuelas de Música, la necesidad que surgió de analizar
los patrones de la composición moderna, que no se podían
describir con las herramientas de la teoría musical tradicional y el
análisis armónico, dio lugar a la Teoría Musical de Conjuntos.
• El uso de la Teoría de Grupos y otras estructuras matemáticas
modernas es tan común en los cursos de, por ejemplo, Análisis
Postonal, como la aplicación de las matemáticas en las
facultades de ingeniería o de química.
En el transcurso de los últimos 40 years, la teoría matemática de la música (TMM) ha surgido en los departamentos
de matemáticas y en las escuelas de música. En el context de la pedagogía de la música, ante la necesidad de analizar
los patrones de la composición moderna, se produjo la teoría musical de conjuntos y el uso de la teoría de grupos y
otras estructuras matemáticas modernas llegó a ser tan normal como la aplicación de las matemáticas en los
departamentos de ingeniería o química.
Los matemáticos encontraban nuevas ideas estimulantes mientras exploraban ciertas relaciones musicales
establecidas. Los estudiantes de matemáticas han visto, en estos cursos, cómo su conocimiento acumulado de ideas
abstractas pueden aplicarse a una actividad humana importante, en tanto se refuerza su dexteridad en la
matemáticas.
De manera similar, cursos de educación general que no exigen una preparación sofisticada en ninguna de las dos
disciplinas han sido desarrollados, tanto para los niveles universitario como para los de secundaria y bachllerato así
como para fines de divulgación. También se han desarrollado cursos para maestros de secundaria y bachillerato y
estudiantes de la educación matemática. Estos cursos se han llevado a cabo en los EE.UU, China, Irlanda, Francia,
Australia y España. El objective de este volume es el de dar a conocer la motivación y contenido de estos cursos y,
como componente esencial, aportar materiales y ejercicios concretos para los lectores interesados en realizar sus
propios proyectos .
Simetrías
Repetición Retrogradación Inversion y Repetición
Traslación Horizontal Reflexión Vertical Reflexión Deslizante Horizontal
Transposicion Inversión Retrogradación-Inversión| Retrogradación
Traslación Vertical Reflexión Horizontal Rotación 180° | Transposición
Reflexión Deslizante
Vertical
“Diccionario” Música-Matemáticas
Patrones musicales de frisos • Un grupo de frisos es una clasificación matemática de patrones
repetitivos unidimensionales basada en las simetrías del patron.
• Tales patrones surgen frecuentemente en la arquitectura y en el
arte decorativo. Hay 7 diferentes grupos de frisos.
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es una huella si y sólo si existe una
traslación horizontal no trivial T tal que
hop
huella
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es un paso si y sólo si existe una
traslación horizontal no trivial T y una reflexión
horizontal no trivial H tal queGenerador:
Reflexión deslizante
step
una operación de simetría que
consiste en aplicar sucesivamente
una reflexión respecto a una
recta y una traslación en el
sentido de esa misma recta,
combinadas en una sola
operación (inversión y
repetición)
el zócalo de una vivienda situada en
Abades, en la provincia de Segovia
paso
la-si♭
do-si
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es un ladino si y sólo si existe una
traslación horizontal no trivial T y una reflexión
vertical no trivial V tal que
sidle
ladino
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es una vuelta si y sólo si existe una traslación
horizontal no trivial T, una reflexión vertical y una
reflexión horizontal tal que
Generadores:
Rotación de 180º
Reflexión vertical
spinning hop
(Retrogradación-Inversión)
reflexiones en
los ejes
horizontal y
vertical. Su
composición, es
decir, aplicar
una reflexión y
luego la otra,
equivale a una
rotación de
180º.
vuelta
El horizontal en torno a do
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es una vuelta ladina si y sólo si existe una
traslación horizontal no trivial T, una reflexión
horizontal H no trivial y una reflexión vertical no
trivial V tal que:
TH: Reflexión deslizante
spinning sidle
vuelta ladina
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es un salto si y sólo si existe una traslación
horizontal no trivial T y una reflexión horizontal no
trivial H tal que
jump
salto
Definición: Sea X un patrón musical de frisos.
Entonces X es una vuelta a saltos si y sólo si existe una
traslación horizontal no trivial T, una reflexión
horizontal no trivial H y una reflexión vertical no
trivial V tal que
spinning jump
vuelta a saltos
Ladino
Palacio de Velázques, Parque del
Retiro, Madrid, España
Vuelta
San Giorgio Maggiore, Venecia, Italia
Nuestra Señora de la Almudena,
Madrid, España
Vuelta Ladina
Salto
Mezquita Catedral (techo), Córdoba, España
Vuelta a Saltos
Baños de María de Padilla, Real Alcázar,
Sevilla, España
el zócalo de una
vivienda situada en
Abades, en la
provincia de Segovia
Paso
Un grupo cristalográfico plano (o grupo de las
simetrías del plano) es una clasificación matemática
de patrones repetitivos bidimensionales basada en las
simetrías del patron. Tales patrones surgen
frecuentemente en la arquitectura y arte decorativo.
Hay 17 grupos posibles.
Los 14 grupos cristalográficos musicales
De ℤ12 a la Escala Cromática C12
Do - 0
Do♯ - 1
Re – 2
Re♯ - 3
Mi – 4
Fa- 5
Fa♯ - 6
Sol - 7
Sol ♯ - 8
La – 9
La♯ - 10
Si - 11
• Como hay 12 notas en la escala cromática tradicional, usamos
ℤ mod12 (ℤ12 ). La operación es la yuxtaposición de intervalos.
• También empleamos 0 mod 12 como Do, ya que ésta es la
convención utilizada con más frecuencia. La escala diatónica se
modeliza con ℤ7.
Escalas bien formadas
Generación por semitonos (1)
Generación de C12 (ℤ12 ) por quintas (7) y cuartas (5)
• Las escalas bien formadas, tales como la escala diatónica, tienen
cualidades que encantaron a los antiguos Babilonios, Egipcios,
Griegos; estas escalas se encuentran también en los cantos
Gregorianos, la música del Renacimiento y las canciones pop
de hoy.
• La Condición de simetría: todas las escalas bien formadas
comparten rasgos estructurales. En los modos diatónicas, las
siete clases de altura se obtienen de una sucesión de quintas y
ordenadas según la octava.
• Una explicación de porqué esta escala se forma
por siete tonos, en vez de cuatro u ocho se puede
ver a través del grado de simetría rotacional que
se logra cuando se arreglan los tonos en un
círculo.
• No todas las escalas preserverán la simetría. Cualquier
número de quintas se puede representar a través de un
polígono regular, tal como muestra el hexacordo
diatónico. Sin embargo, cuando se conectan los tonos
en el orden de la escala, se pierde la preservación de la
simetría rotacional.
• La escala pentatónica preserva la simetría rotacional.
Considérese el conjunto diatónico representado por
ℤ7
• La diferencia entre elementos adyacentes es +1 or -6, pero si se
calcula módulo 7, todas las diferencias son equivalentes
(-6≡ 1mod 7).
• Si se rearreglan las notas en el orden de la escala, la secuencia
resultante es 0 2 4 6 1 3 5 (F-G-A-B-C-D-E). De nuevo, la diferencia
entre los elementos adyacentes es o +2 o -5 pero si se calcula
módulo 7 la diferencia es constante, 2. (-5 = 2mod 7).
F G A B C D E (F)
0 2 4 6 1 3 5 (0)
+2 +2 +2 +2 +2 +2 -5
+2 +2 +2 +2 +2 +2
• Así es que, la preservación de la simetería
rotacional en la escala diatónica se puede
representar alegebraicamente. La
multiplicación por 2 mod 7 rearregla el orden
de quintas al orden de la escala.
• Resulta que para cada escala bien formada de n
tonos en ℤn, existe un element b en ℤn que
rearregla el orden de quintas al de la escala.
Orden de la generación por
segundas
Orden de la generación
por quintas
• Por ejemplo, como Z12 ≈ Z3 × Z4 , una división natural
sería 20, porque Z20 ≈ Z4 × Z5 .
Escalas de n notas cromáticas, k notas diatónicas
• Asimismo, tal y como 7 es un generador de
Z12 , 11 es un generador de Z20 ;
• por otro lado, de la misma manera en que 7
=𝟏𝟐
𝟐+ 1 tenemos que 11=
𝟐𝟎
𝟐+1 . Podemos
hablar de una “escala diatónica
generalizada” y un “círculo de quintas
generalizado”
• También la multiplicación por 2 mod 11 rearregla
el orden de quintas al orden de la escala
H C I D J E K F A G B H
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -10
H I J K A B C D E F G H
0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9
Composición
Ejercicio:
• Toma otras combinaciones de escalas (n notas cromáticas, k
notas diatónicas) y crea escalas bien formadas utilizando la
representación algebraica.
• Muestra que tus escalas cumplen con la propiedad de simetría
rotacional y contrástalas con escalas “no bien formadas” (por
ejemplo, “la escala de tonos” con 10 notas en Z20.
• Usar C-sound u otro software para la representación auditiva.
Transformaciones de Armadura
❖ Dentro del enfoque neo-Riemanniano de análisis
musical han surgido varias maneras de llevar a cabo el
análisis teórico de una partitura a través de grupos
matemáticos de transformación.
❖ Hay una coincidencia indiscutible entre estas maneras.
Sin embargo, cada una ofrece aspectos únicos que
privilegian las especificidades de la pieza musical así
como las necesidades del analista.
❖ Asimismo, en el contexto pedagógico, juegan papeles
diferentes según los conceptos que se quieren enfatizar.
❖ Queremos poner el énfasis en las transformaciones de
armadura como herramienta pedagógica.
❖Las transformaciones de armadura actúan sobre el
conjunto de formas diatónicas fijas.
❖Las formas diatónicas fijas son clases de equivalencia de
fragmentos de música diatónica, con una armadura y
una clave.
❖Estos fragmentos se encuentran en las mismas clases de
equivalencia si su contenido de alturas de tono es el
mismo (módulo 12) y si sus armaduras son equivalentes
hasta equivalencia enharmónica. Por ejmplo, F ♯ y G♭
mayor.
❖ Utilizaremos la notación Sn, para el número n de sostenidos que
se agregan (o bemoles que se quitan) y el número -n para los
sostenidos que se quitan (o bemoles que se agregan), con n ϵ ℕ
❖ La operación que consiste en agregar sostenidos (o eliminar
bemoles) es positiva
❖ La operación que consiste en restar sostenidos (o agregar
bemoles) es negativa.
❖ S-6 reduce la armadura por 4 sostenidos y, luego, continuamos
contando en sentido negativo conforme agregamos bemoles.
❖ Las transformaciones de armadura forman un
grupo cíclico de 84 elementos, generado por S1
❖ Pasan por los doce tonos de la escala cromática
y los siete modos diatónicos. (¡aunque no se
espera que 84 sostenidos se agreguen a la
armadura!)
❖Sn y S-n se pueden alcanzar a través de
composiciones con los operadores cromáticos y
diatónicos Tn y tn .
❖Si se agregan siete sostenidos a una armadura, la
colección diatónica se transpone un semitono (por
ejemplo, de C mayor a C♯ mayor).
❖Por lo tanto, S7 se comporta como T1
❖Análogamente, S-7 se comporta como T11
❖Por lo tanto, las composiciones como:
son válidas.
❖ mientras el operador de transposición cromática implícitamente
cambia la armadura junto con las notas en sí, el operador de
transposición diatónica no cambia la armadura.
❖ eso es, el operador de transposición diatónica transpone dentro
de la misma escala diatónica (pero puede cambiar el modo).
❖ Si se aplica t1 a un fragmento diatónico - o forma diatónica- , sin
cambiar la armadura, se tiene el mismo patrón de tonos, pero
traspuestos hacía arriba una segunda (diatónicamente no se
distingue entre mayor y menor).
❖ Sin embargo, si aplicamos S12 también transponemos una
segunda.
mismo fragmento diatónico
❖Cada operador de transposición, sea cromático o
diatónico, puede escribirse como Sn para alguna n.
❖Cualquier Sn se puede escribir como una composición
de algún Tn y tn, ya que el generador S1 puede
obtenerse de la siguiente manera:
se está calculando módulo 84
❖Las transformaciones de armadura pueden explicar
aspectos transformacionales de la música que traslada
(transpone) su contenido entre diferentes formas
diatónicas.
Sonata número 2 para piano de Manuel M. Ponce
❖Hay 477 compases en el primer movimieto de la sonata,
sin contar las repeticiones.
❖Los primeros 399 compases tienen una armadura con
4 sostenidos, correspondiente a C ♯menor, o a C ♯
Eólico.
❖ En compás 400 la armadura adquiere tres sostenidos
más, alcanzando un total de 7 sostenidos
correspondientes a C ♯ mayor, o C ♯ Jónicos.
❖En la coda, que inicia en el compás 453, se regrsa a C ♯
menor, hasta el final en el compás 477.
❖Iniciaremos nuestro análisis de la sonata número 2
de Manuel M. Ponce. Tomaremos dos fragmentos
diatónicos que corresponden a los compases 41 y 45.
Conclusiones
❖ Se presentaron algunos ejemplos de temas dentro de las matemáticas, así como
trabajos concretos de estudiantes, en el contexto del uso de la música en la
enseñanza de las matemáticas.
❖ Se pueden ajustar los contenidos para diferentes niveles de enseñanza de las
matemáticas.
❖ Se pueden ajustar los contenidos para el aula de música
❖ Es evidente de se necesitan condiciones especiales para que el concepto tenga
éxito.
❖ Sin embargo, sí hay académicos que están llevando a cabo investigación o
siguiendo las corrientes que surgen en la teoría matemática de la music, un
fenómeno que existe y está creciendo (por ejemplo, el doctorado en música y
ciencia de la UPM) y se debe animar el desarrollo de este tipo de actividades en
la enseñanza.
❖ Adicionalmente, es muy importante crear materiales en el transcurrir de los
cursos, ya que no están presentes en la mayoría de los textos estándares.
¡Gracias!