Ensino Superior

Matemática Básica

Unidade 11 - Polígonos

Amintas Paiva Afonso

É a figura que é formado por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.É a figura que é formado por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.

Medida do ângulo central

A

B

C

DE

Diagonal

Vértice

Medida doângulo externo

Lado

Medida dol ângulo interno

Centro

01- Polígono convexo - Las medidas de seus ângulos interiores são agudos.

02- Polígono cóncavo -La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo.

03- Polígono equilátero - Seus lados são congruentes.

04- Polígono equiângulo - As medidas de seus ângulos interiores são congruentes.

Triângulo : 3 lados Quadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados

Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Unodecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: 20 lados

05- Polígono regular - É equilátero e por sua vez equiângulo.

06- Polígono irregular - Seus lados têm comprimentos diferentes.

PRIMEIRA PROPRIEDADE

Numericamente: Lados, vértices, ângulos interiores, ângulos exteriores e ângulos centrais são iguais.

• Lados

• Vértices

• Ângulos interiores

• Ângulos exteriores

• Ângulos centrais

SEGUNDA PROPRIEDADE

A partir de um vértice de um polígono, se podem traçar (n-3 ) diagonais.

Exemplo:

ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonais

TERCEIRA PROPRIEDADE

O número total de diagonais que se pode traçar em um polígono:

2

)3n(nND

Exemplo:

diagonais 52

)35(5

DN

QUARTA PROPRIEDADE

Ao traçar diagonais desde um mesmo vértice obtemos (n-2) triângulos

Exemplo:

3

2

1

Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triângulos

QUINTA PROPRIEDADE

Soma das medidas dos ângulos interiores de un polígono:

Si =180°(n-2)

Exemplo:

180º

180º

180º

Si = 180º x número de triângulos = 180º(5 - 2) = 540º

Donde (n - 2) é o número de triángulos

Soma das medidas dosângulos interiores do triângulo

SEXTA PROPRIEDADESoma das medidas dos ângulos exteriores de um polígono é 360º

Se = 360°

+ + + + = 360º

Exemplo:

SÉTIMA PROPRIEDADE

Ao unir um ponto de um lado com os vértices opostos obtemos (n - 1) triângulos

Exemplo:

3

2

1

4

Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triângulos

Ponto qualquier deum lado

OITAVA PROPRIEDADE

Ao unir um ponto interior qualquier com os vértices obtemos “n” triângulos

3

2

1

45

Ns. = n = 5 = 6 triângulos

Exemplo:

NONA PROPRIEDADE

Número de diagonais traçadas desde “V” vértices consecutivos, obtemos com a siguinte fómula.

2

)2V)(1V(nVND

Ejemplo:

2

1

e assim sucessivamente

1ª Propriedade 2ª Propriedade

3ª Propriedade 4ª PropriedadeSoma das medidas dos ângulos centrais.

Sc = 360°

Medida de um ângulo interior de um polígono regular ou polígono equiângulo.

n

)2n(180m

i

Medida de um ângulo exterior de um polígono regular ou polígono equiângulo.

n

360em

Medida de um ângulo central de um polígono regular.

n

360cm

Em um polígono, a suma das medidas dos ângulos exteriores e interiores és 1980°. Calcule o total de diagonais deste polígono.

360° + 180°( n - 2 ) = 1980°

Se + Si = 1980°

Resolvendo: n = 11 ladosn = 11 lados

Número de diagonais:

2

)3n(nND

2

)3n(nND

2

) 311 ( 11ND

ND = 44ND = 44

Do enunciado:

Logo, substituindo pelas propriedades:

Problema Nº 01

Como se denomina aquele polígono regular, no qual a medida de cada um de seus ângulos internos é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo

mi = 8(me )

Resolvendo: n = 18 ladosn = 18 lados

Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados

Polígono é regular:

)n

360(8

n

)2n(180

Problema Nº 02

Do enunciado:

Substituindo pelas propriedades:

Logo polígono é regular se denomina:

Calcule o número de diagonais de um polígono convexo, sabendo que o total das diagonais é maior que seu número de lados em 75.

Resolvendo: n = 15 ladosn = 15 lados

Logo, o número total de diagonais:

2

)3n(nND

2

)3n(nND

2

) 315 ( 15ND

ND = 90ND = 90

2

) 3n ( n

ND = n + 75

= n + 75

n2 - 5n - 150 = 0

Problema Nº 03

Do enunciado:

Substituindo a propriedade:

Em um polígono regular, um lado aumenta, a medida de seu ângulo interno aumenta em 12°; então o número de vértices do polígono é:

Resolvendo: n = 5 ladosn = 5 lados

NV= 5 vérticesNV= 5 vértices

Polígono é regular:

Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n + 1) lados

1n

) 21n (180 12

n

) 2n (180

Número de lados = Número de vértices

Problema Nº 04

Dol enunciado:

Substituindo pela propriedade:

O número total de diagonais de um polígono regular é igual ao triplo do número de vértices. Calcule a medida de um ângulo central deste polígono.

Resolvendo: n = 9 ladosn = 9 lados

mc = 40°

Polígono é regular:

2

)3n(n = 3n

Logo, a medida de um ângulo central:

n

360m c

n

360m c

9

360m c

Problema Nº 05

Do enunciado:

ND = 3nSubstituindo pela propriedade: