Ensino Superior

4. Derivadas Parciais

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Derivadas de Funções de 2 Variáveis

A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é

Significado matemático

x

yxfyxxfyxf xx

),(),(lim),( 0

y

yxfyyxfyxf yy

),(),(lim),( 0

1) Derivada parcial em x:

2) Derivada parcial em y:

Nomenclatura

Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:

xx Dx

fyxf

),(

A Técnica de Derivadas Parciais

A Técnica de Derivadas Parciais

Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

Ex.5

A Técnica de Derivadas Parciais

Exercícios propostos

Exemplos

),,( ),,(etermine ,643),,( )1

31

322322

zyxfezyx fdxyzyxzyxzyxfSe

Derivada em relação a x

Derivada em relação a z

323321 686),,( yzyxzxyzyxf

224223 49),,( yxzyxzyxf

Exemplos

),,( ),,(etermine ),5()4(cot)(),,( )1

23

3222

zyxfezyx fdzxysenzygzxtgzyxfSe

Derivada em relação a z Derivada em relação a y

332222223 5)5cos(24)4(cos)(sec),,( xyzxyzyzyeczxzyxf

2322222 15)5cos(8)4(cos),,( zxyzxyyzzyeczyxf

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Derivada Total

).,,(),,( ),,(etermine ),cot()()2(),,( )1

321

33232

zyxfzyxfzyx fdzyzxtgyxsenzyxfSe

2223221 3)4(sec4)2cos(),,( zxzxxyyxzyxf

32332222 3)5(cos2)2cos(),,( zyzyecxyxzyxf

2333232323 3)(cos2)(sec),,( zyzyeczxzxzyxf

A derivada total é a soma das derivadas parciais.

Exercícios

yxxyyx ffffacharxxyyxfSe ,,, ,),( )1 32

zyx fffachar

zyxxxyzyxfSe

,,

,..2),,( )2 22

Tabela de Derivadas

Tabela de Derivadas

Interpretação Geométrica da Derivada Parcial

Significado geométrico

Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta

superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e x, de abscissa yo. A reta pertence a este plano.

Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta

superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e y, de ordenada xo. A reta pertence a este plano.

Significado geométrico

Significado geométrico

Eixo horizontal no plano y = yo

A curva z = f (x, y0)no plano y = yo

Reta tangente

Eixo vertical no plano y = yo

Significado geométrico

Eixo vertical no plano x = xo

Reta tangente

A curva z = f (x, y0)no plano x = xo

Eixo horizontal no plano x = xo

Significado geométrico

A curva z = f (x, y0)no plano y = yo

Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)

A curva z = f (x, y0)no plano x = xo

Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)