EJERCICIO JULIO CESAR GARCÍA CARRERO 285486

12.16 Determine las dimensiones de los engranes helicoidales del Problema 12-14, para un factor de seguridad a flexión de por lo menos 2, suponiendo un par de torsión uniforme, un ángulo de presión de 25°, dientes de profundidad completa, un factor de ancho de cara de 10, QV=9, un piñón de acero 4140 AISI y un engrane de hierro fundido clase 40. Datos: FS = 2 (Nfb) Fw = 10 Potencia = 125 hp QV = 9

p = 1000 rpm 𝑁 = 107 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 (𝑣𝑖𝑑𝑎) Np = 27 𝜓 = 10° Ng = 23 𝜙 = 25° Confiabilidad = 99 % Donde Fw es el factor de ancho de cara, el cual se encuentra relacionado con el ancho de cara (F) y el paso diametral 𝑃𝑑 como se muestra:

𝐹𝑊𝑃𝑑

= 𝐹

Inicialmente, calculamos el Factor geométrico J a flexión AGMA para 𝜙 = 25°, 𝜓 = 10° dientes de profundidad completa, mediante la siguiente tabla.

𝑁𝑝

𝑁𝑔

26 P G

27 P G

35 P G

55 0.62 0.68 0.6233 0.6811 0.65 0.69

57 𝐽𝑝 𝐽𝑔

135 0.63 0.73 0.6344 0.7311 0.67 0.74

Para completar la tabla anterior, y a fin de obtener los valores de 𝐽𝑝 y 𝐽𝑔se realizó una doble

interpolación, con lo cual finalmente obtenemos que:

0.6344 − 𝐽𝑝

0.6344 − 0.6233=

135 − 57

135 − 55

𝐽𝑝 = 0.6236

0.7311 − 𝐽𝑔

0.7311 − 0.6811=

135 − 57

135 − 55

𝐽𝑔 = 0.6823

A continuación, calculamos el Factor de Aplicación 𝐾𝑎 , para lo cual nos basamos en la Tabla 11-17 presentada en el libro (pág. 741). En este caso, se asumió una máquina impulsada de forma uniforme, al igual que la máquina impulsora, lo que nos da como resultado

𝐾𝑎 = 1 Continuando con el factor de carga dinámica 𝐾𝑉 , teniendo en cuenta que ésta se encuentra definida como se muestra:

𝐾𝑉 = 𝐴

𝐴 + 𝑉𝑡

𝐵

Donde A y B se calculan de la siguiente manera:

𝐵 = 12 − 𝑄𝑉

2 3

4

𝐵 = 0.52

𝐴 = 50 + 56 1 − 𝐵

𝐴 = 76.878 De la misma manera, calculamos el valor de 𝑉𝑡𝑚𝑎𝑥 para la primera iteración.

𝑉𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 + 𝑄𝑉 − 3 2 𝑉𝑡𝑚𝑎𝑥 = 6868.72 𝑓𝑡 𝑚𝑖𝑛

Dados los resultados obtenidos, es posible ahora calcular el factor de carga dinámica (para la primera iteración), con lo cual tenemos:

𝐾𝑉 = 76.878

76.878 + 6868.72

0.52

𝐾𝑉 = 0.6836

Ahora, calculamos el factor de distribución de carga 𝐾𝑚 , el cual a partir de la Tabla 11-16 del libro (pág. 740) es asumido para este caso como 1.6, correspondiente a un ancho de cara menor a 2 in.

𝐾𝑚 = 1.6 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 < 2 𝑖𝑛 A continuación calculamos el Factor de vida, que a partir de la Figura 11-24 (pág. 751 del libro), corresponde a:

𝐾𝐿 = 1.6831𝑁−0.0323

Donde N es el número de ciclos, tal que:

𝐾𝐿 = 1.6831 107 −0.0323 𝐾𝐿 = 1

Calculamos ahora el factor de confiabilidad (𝐾𝑅), recordando que dicha confiabilidad corresponde al 99%, tenemos:

𝐾𝑅 = 0.7 − 0.15 ∗ 𝑙𝑜𝑔 1 − 𝑅 Donde R corresponde a 0.99 (confiabilidad 99%), tal que:

𝐾𝑅 = 1 Y ahora los cálculos para el factor de temperatura, el cual debido a que suponemos que el acero se encuentra a una temperatura menor a 250°K, éste factor puede tomarse igual a 1.

𝐾𝑇 = 1

Análisis para el piñón A partir de los datos calculados anteriormente, podemos obtener el ancho de cara para el piñón así:

𝐹 =𝐾𝑎𝑊𝑡𝑃𝑑𝐾𝑚𝑁𝑓𝑏

𝐾𝑉 𝐽𝑝 𝑆𝑓𝑏

Donde

𝑆𝑓𝑏 =𝐾𝐿

𝐾𝑇𝐾𝑅𝑆𝑓𝑏 ′

En la Tabla 11-20 (pág. 752 del libro) encontramos el valor correspondiente para la Resistencia a la fatiga por flexión en el piñón (AISI 4140), donde lo tomamos como:

𝑆𝑓𝑏 ′ = 34000 𝑝𝑠𝑖

Obtenemos entonces que:

𝑆𝑓𝑏 = 𝑆𝑓𝑏 ′

𝑆𝑓𝑏 = 34000 𝑝𝑠𝑖

Evaluando para una primera iteración con un paso diametral 𝑃𝑑 = 4, tenemos

8

𝑃𝑑< 𝐹 <

16

𝑃𝑑

2 < 𝐹 < 4

Donde:

𝑊𝑡 =2𝑃𝑑𝑇𝑝

𝑁𝑝

De la anterior ecuación, desconocemos el valor del par de torsión en el piñón, el cual debemos calcular previamente. Para lo cual recordamos que:

𝑇𝑝 =𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝜔𝑝

𝑇𝑝 =

125 𝑕𝑝 6600𝑖𝑛 𝑙𝑏

𝑠𝑒𝑔

𝑕𝑝

1000 𝑟𝑝𝑚 2𝜋60

𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

𝑟𝑝𝑚

𝑇𝑝 = 7878.17 𝑙𝑏𝑓 𝑖𝑛

Reemplazando este valor en la anterior expresión, obtenemos:

𝑊𝑡 =2 4 (7878.17)

27= 2334.27 𝑙𝑏𝑓

Asimismo, debemos tener en cuenta los siguientes valores:

𝑉𝑡 =𝑁𝑝

2𝑃𝑑𝜔𝑝

𝑉𝑡 =27

2 ∗ 4∗ 1000 ∗

𝜋

6

𝑉𝑡 = 1767.146

𝐾𝑉 = 76.878

76.878 + 𝑉𝑡

0.52

𝐾𝑉 = 0.79706

Evaluando para el ancho de cara, tenemos:

𝐹 = 1.768 𝑖𝑛 Dado que este valor se sale por el mínimo (límite inferior), debemos aumentar el valor de 𝑃𝑑 .

Para 𝑃𝑑 = 5, tenemos:

1.6 < 𝐹 < 3.2

𝑊𝑡 = 2917.841 𝑉𝑡 = 1413.717 𝐾𝑉 = 0.8129

Evaluando, tenemos:

𝐹 = 2.7087 𝑖𝑛 Valor que pertenece al intervalo especificado, por lo cual es el valor que necesitamos.

Análisis para el engrane Para el engrane tenemos una resistencia a la fatiga por flexión, tal que:

𝑆𝑓𝑏𝑔 = 13000 𝑝𝑠𝑖

Con una primera iteración con 𝑃𝑑 = 5, tenemos:

1.6 < 𝐹 < 3.2

𝐹 = 6.8901 𝑖𝑛 Valor que se sale por el límite superior, por lo cual reducimos 𝑃𝑑 . Ahora tomamos 𝑃𝑑 = 3, con lo cual tenemos:

2.66 < 𝐹 < 5.33

𝑑𝑔 = 7.66

𝑊𝑡 = 2055.17 𝑙𝑏𝑓 𝑉𝑡 = 2007.12 𝑓𝑡/𝑚𝑖𝑛

𝐾𝑉 = 0.78759 A partir de los datos anteriores, calculamos el nuevo valor de anche de cara F, tal que tenemos:

𝐹 = 3.002 𝑖𝑛 Si el valor obtenido para F, lo aproximamos a un valor comercial,

𝐹 = 3.125 𝑖𝑛 Para el cual el factor de seguridad corresponde a 2.0226

Dado que el ancho de cara obtenido para el piñón y para el engrane no corresponden al mismo valor, escogemos el ancho de cara mayor (correspondiente al engrane); por lo cual, calculamos el factor de seguridad en el piñón si:

𝐹 = 3.125 𝑖𝑛 𝑃𝑑 = 3 𝑖𝑛−1

𝐹 =𝐾𝐴𝑊𝑡𝑃𝑑𝐾𝑚𝑁𝑓𝑏

𝐾𝑣𝐽𝑝𝑆𝑓𝑏

3.125 = 0.5117𝑁𝑓𝑏

𝑁𝑓𝑏 = 6.107

El valor obtenido, es mayor a 2 por lo cual los cálculos son adecuados. Realizamos finalmente, el análisis para falla superficial.

Análisis para falla Superficial El factor de seguridad contra falla superficial se determina comparando la resistencia superficial corregida con el esfuerzo superficial para cada engrane del acoplamiento, tal que:

𝑁𝐶 = 𝑆𝑓𝑐

𝜍𝐶

2

De la anterior expresión, la resistencia superficial corregida se calcula de la siguiente manera:

𝑆𝑓𝑐 =𝐶𝐿𝐶𝐻𝐶𝑇𝐶𝑅

𝑆𝑓𝑐 ′

Donde el Factor de vida superficial (𝐶𝐿) es determinado así:

𝐶𝐿 = 1.4488𝑁−0.023 𝐶𝐿 = 1

El factor de razón de dureza corresponde a:

𝐶𝐻 = 1 + 𝐴 𝑚𝐺 − 1 Donde 𝑚𝐺 es la razón de engranes y A se determina partir de:

𝑠𝑖 𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔< 1.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 0

𝑠𝑖 1.2 ≤𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔≤ 1.7 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 0.00898

𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔− 0.00829

𝑠𝑖 𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔> 1.7 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = 0.00698

Donde 𝐻𝐵𝑝 y 𝐻𝐵𝑔 son las durezas Brinell del piñón y del engrane.

Para determinar la anterior relación, debemos obtener la dureza Brinell del acero AISI 4140, la cual podemos tomar como:

𝑆𝑓𝑐 ′ = 27000 + 364𝐻𝐵

Donde la resistencia superficial sin corregir, se obtiene de la Tabla 11-21 (pág. 756), y que tomamos para este caso:

𝑆𝑓𝑐 ′ = 155000 𝑝𝑠𝑖

𝐻𝐵𝑝 =𝑆𝑓𝑐 ′ − 27000

364

𝐻𝐵𝑝 = 351.64𝐻𝐵

Adicionalmente, a partir de la Tabla 11-21 (pág. 756) obtenemos el valor de dureza Brinell para el engrane, la cual corresponde a:

𝐻𝐵𝑔 = 200𝐻𝐵

Evaluando la relación de durezas, tenemos:

𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔=

351.64

200

𝐻𝐵𝑝

𝐻𝐵𝑔= 1.7582 > 1.7

Por lo tanto:

𝐴 = 0.00698 Y la razón de engranes es:

𝑚𝐺 =𝑁𝑔

𝑁𝑝=

23

27

𝑚𝐺 = 0.8518

Tenemos entonces:

𝐶𝐻 = 1 + 𝐴 𝑚𝐺 − 1 𝐶𝐻 = 0.9989

Como ya teníamos de antes, el factor de temperatura 𝐶𝑇 es 1, al igual que el factor de confiabilidad 𝐶𝑅.

Para el Piñón Tenemos:

𝑆𝑓𝑐 = 1 (0.9989)

(1)𝑆𝑓𝑐 ′

𝑆𝑓𝑐 = 154829.5 𝑝𝑠𝑖

Para el Engrane Tenemos:

𝑆𝑓𝑐 ′ = 75000 𝑝𝑠𝑖

𝑆𝑓𝑐 = 74917.5 𝑝𝑠𝑖

Ahora debemos calcular el esfuerzo superficial, el cual está dado por:

𝜍𝑐 = 𝐶𝑝 𝑊𝑡

𝐹𝐼𝑑

𝐶𝑎𝐶𝑚𝐶𝑣

𝐶𝑠𝐶𝑓

Expresión que requiere el cálculo del factor geométrico I, el cual está definido así:

𝐼 =𝑐𝑜𝑠𝜙

1𝜌𝑝

+1𝜌𝑔 𝑑𝑝𝑚𝑁

Aparece aquí un nuevo término, correspondiente a la razón de distribución de carga, que se define como:

𝑚𝑁 =𝐹

𝐿𝑚𝑖𝑛

Donde F es el ancho de cara. El cálculo de la longitud mínima de las líneas de contacto (𝐿𝑚𝑖𝑛 ) requiere varios pasos. Primero deben determinarse dos factores:

𝑛𝑟 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑝

𝑛𝑎 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝐹 Tenemos que la razón de contacto axial:

𝑚𝐹 =𝐹 ∗ 𝑃𝑑 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜓

𝜋

𝑚𝐹 = 0.47264

No obstante, no conocemos el valor de la razón de contacto transversal, por lo tanto:

𝑚𝑝 =𝑃𝑑𝑍

𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜙

Para poder calcular lo anterior, debemos hallar otra serie de valores tales como: Diámetro del piñón, calculado como sigue:

𝑑𝑝 =𝑁𝑝

𝑃𝑑= 9

Y el correspondiente radio del piñón:

𝑟𝑝 = 0.5𝑑𝑝 = 4.5

Ahora para el diámetro del engrane y su respectivo radio:

𝑑𝑔 =𝑁𝑔

𝑃𝑑= 7.6667

𝑟𝑔 = 0.5𝑑𝑔 = 3.833

Continuamos con el addendum que es igual para el piñón que para el engrane:

𝑎𝑝 = 𝑎𝑔 =1

𝑃𝑑= 0.3333

Y la distancia entre centros C:

𝐶 =𝑁𝑝 + 𝑁𝑔

2𝑃𝑑= 8.3333

A partir de lo anterior, es posible calcular la longitud de acción, definida como sigue:

𝑍 = 𝑟𝑝 + 𝑎𝑝 2− 𝑟𝑝 cos𝜙

2+ 𝑟𝑔 + 𝑎𝑔

2− 𝑟𝑔 cos𝜙

2− 𝐶 sin𝜙

𝑍 = 1.4699

Dados los cálculos anteriores, podemos hallar la razón de contacto transversal:

𝑚𝑝 = 1.5193

Tenemos entonces que:

𝑛𝑟 = 0.5193 𝑛𝑎 = 0.4726

Si 𝑛𝑎 ≤ 1 − 𝑛𝑟 entonces

𝐿𝑚𝑖𝑛 =𝑚𝑝𝐹 − 𝑛𝑎𝑛𝑟𝑃𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜓𝑏

Por otra parte, si 𝑛𝑎 > 1 − 𝑛𝑟 entonces

𝐿𝑚𝑖𝑛 =𝑚𝑝𝐹 − 1 − 𝑛𝑎 (1 − 𝑛𝑟)𝑃𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜓𝑏

De cualquiera de las expresiones, observamos que es necesario calcular el paso axial 𝑃𝑥 , el cual se define como:

𝑃𝑥 =𝐹

𝑚𝐹

𝑃𝑥 = 6.6118

Ahora, debido a que:

1 − 𝑛𝑟 = 0.4807 1 − 𝑛𝑟 > 𝑛𝑎

Por lo tanto, la expresión que debemos utilizar es:

𝐿𝑚𝑖𝑛 =𝑚𝑝𝐹 − 𝑛𝑎𝑛𝑟𝑃𝑥

𝑐𝑜𝑠𝜓𝑏

Reemplazando los datos obtenidos, tenemos:

𝐿𝑚𝑖𝑛 = 3.164 Ahora nos es posible calcular la razón de distribución de carga:

𝑚𝑁 =𝐹

𝐿𝑚𝑖𝑛

𝑚𝑁 = 0.9877

Como se mostró anteriormente, para el cálculo del factor geométrico I, se encuentran involucrados los radios de curvatura del piñón y engrane, tal que:

𝜌𝑝 = 0.5 𝑟𝑝 + 𝑎𝑝 + 𝐶 − 𝑟𝑔 − 𝑎𝑔 2− 𝑟𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙

2

𝜌𝑝 = 1.7221

𝜌𝑔 = 𝐶 sin𝜙 − 𝑃𝑝

𝜌𝑔 = 1.4668

𝐼 =𝑐𝑜𝑠𝜙

1𝜌𝑝

+1𝜌𝑔 𝑑𝑝𝑚𝑁

𝐼 = 0.0823

Continuando con el cálculo del esfuerzo superficial, debemos obtener el valor del coeficiente elástico 𝐶𝑃 , el cual tomamos de la Tabla 11-18 (pág. 745), a partir de los materiales del engrane y del piñón, tal que:

𝐶𝑃 = 2100 𝑝𝑠𝑖 Y finalmente, podemos hallar éste esfuerzo:

𝜍𝑐 = 𝐶𝑝 𝑊𝑡

𝐹𝐼𝑑

𝐶𝑎𝐶𝑚𝐶𝑣

𝐶𝑠𝐶𝑓

𝜍𝑐 = 89188.09384

Así que podemos calcular el factor de seguridad para falla superficial tal que:

𝑁𝐶 = 𝑆𝑓𝑐

𝜍𝐶

2

Para el piñón

𝑁𝐶 = 3.013

Para el Engrane

𝑁𝐶 = 0.7056 De todos los cálculos anteriores, podemos observar que el factor de seguridad mayor a 2 se cumple para el caso del piñón, pero no se cumple para el engrane en cuanto a falla superficial. Así que este último fallará por fatiga superficial. Una de las formas más sencillas de corregir este problema, es elegir un material con una mayor Resistencia a la fatiga superficial.