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Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable

Enfoque Determinista 15

Enfoque determinista

En esta sección, comenzaremos recorriendo las especies participantes tanto en el biestable simple como en el mejorado, y las relaciones que se producen entre ellas, con el objeto de alcanzar un modelo de sistema en ecuaciones diferenciales ordinarias.

La estructura de este apartado continuará con el detalle de las posibles reacciones que se puedan establecer en entre las especies, para más tarde, analizar las dinámicas de cada especie. Seguiremos nombrado y aplicando las simplificaciones y consideraciones oportunas en búsqueda de la expresión de un sistema matemático manejable.

Para finalizar, mostraremos el modelado final y realizaremos un estudio preliminar de las constantes y parámetros que participan a fin de comprender el efecto sobre los resultados que se puedan extraer de las simulaciones.

Durante este apartado, gran parte del desarrollo se ha seguido el planteamiento propuesto por Timothy S. Gardner en el estudio: “Design and construction of synthetic gene regulatory networks” [2] publicado por la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Boston en el año 2000.

16 Enfoque Determinista



1. Especies y reacciones

El núcleo biestable

Identificamos esta unidad como el conjunto de especies y relaciones que en su funcionamiento autónomo logra alcanzar los objetivos mínimos y necesarios para mantener un comportamiento definido biestable. Por tanto, no incluimos las acciones que nos permitan modificar dichos estados, ni siquiera, nos referimos a un sistema robusto.

Aquí encontramos las expresiones de ambas proteínas represoras y las mutuas represiones de sus expresiones. El conjunto de especies que intervienen en el sistema propuesto son:

Promotores ARNm Represores

𝑃𝑟𝑚 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑙𝑎𝑐𝐼 𝐿𝑎𝑐𝐼

𝑃𝑙𝑎𝑐 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 𝑐𝐼

Además, estas especies reaccionan entre sí de la forma que muestra la siguiente imagen:


Por otro lado, las reacciones son:

Transcripción LacI 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑃𝑙𝑎𝑐 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼

Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼

Represión LacI 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑃𝑟𝑚 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚

Transcripción cI 𝑃𝑟𝑚 → 𝑃𝑟𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼

Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼

Represión cI 𝑐𝐼 + 𝑃𝑙𝑎𝑐 → 𝑐𝐼|𝑃𝑙𝑎𝑐



El biestable básico

(Plásmido BBa_177038) [3]

Para completar el esquema hasta llegar al del biestable simple, debemos añadir sobre el núcleo anterior, las especies y dinámicas de las acciones que nos permitirán controlar el estado activo, además de los indicadores.

INDICADORES

Es necesario el modelado de los indicadores ya que cuando analicemos los resultados que se hagan en laboratorio, no obtendremos las evoluciones de las proteínas represoras sino de los indicadores. Por lo tanto es necesario conocer su dinámica para poder extrapolar los datos que extraigamos de los experimentos hacia un conocimiento interno del sistema. Analizamos este hecho de forma detenida.

Cuando el transcriptor, se encuentra con un promotor, comienza a leer la cadena y cuando termina de leer su código es cuando comienza a crear la cadena de ARN transcrito.

De la transcripción obtendremos una ARNm, una para la proteína represora y otra para el indicador. Las cadenas negras de la imagen, reflejan la presencia de terminadores. Estos entes tienen una significación y un objetivo claro para la traducción. La polimerasa detendrá su copia al encontrarse con un doble terminador, como la imagen patenta.

Una vez el mensajero se ha creado completamente, una ribosoma tomará este mensaje y creará la proteína análoga. Los terminadores indican al ribosoma el fin de una proteína y el comienzo de otra.

Por lo tanto, la síntesis de los indicadores se puede igualar a la dinámica de creación de proteínas represoras.

ACCIONES

Las acciones son el aumento de temperatura y la adición de un inductor.

• Aumento de Temperatura: concretamente a 42ºC temperatura a la que la proteína cI termosensible precipita su degradación.

• Adición de Inductor: mientras que la desaparición acelerada de proteína represora no afecta al funcionamiento mismo del núcleo biestable, la inducción

Prm LacI RFP

Plac cI GFP


sí que lo hará, ya que modulará la transcripción frente a la represión del agente adversario.


Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝑅𝐹𝑃



Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼 + 𝐺𝐹𝑃


Inducción 1 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 + 𝑃𝑟𝑚

Inducción 2 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺

Temperatura 𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙



El biestable modificado

(Plásmido BBa_K510019) [4]

(Plásmido BBa_K510036) [5]

De nuevo este sistema se basa en el anterior. Por tanto todo lo explicado hasta el momento se mantendrá, al menos las especies y su aportación. Las nuevas reacciones son la proteólisis y la inhibición por ARNas, llevando asociadas proteasas y ARN antisentido respectivamente.

PROTEÓLISIS

Tras el promotor Plac se encuentra el código de la proteína represora pero antes de llegar al indicador está insertada la cadena de la proteasa (encargada de digerir las proteínas). Observar que tanto la proteasa (Sspb) como el indicador (RFP) llevan un prefijo (Ompn). Éstas serán las cadenas de ARN sobre las que se pegará la ARN antisentido, obligándolas a quedar inservibles hasta su degradación. El represor del fago lambda no se consume.

ARN ANTISENTIDO

En esta rama del plásmido tenemos la misma estructura que en el biestable simple. Tras el promotor Prm se encuentra el código de la proteína represora y el indicador. También podemos ver como en este caso se han añadido un sufijo (Das4) a las proteínas. Este código quedará transcrito en una especia de cola unida a las proteínas originales. Esto implica que las proteasas serán sensibles a digerir esta cola, digiriendo tras ella el resto de la proteína

La creación de las ARN antisentido, se crea con el mismo promotor Prm, sin embargo este módulo no lo comparte con el resto de la cadena, sino que tiene una copia propia. Esto significa que su transcripción no se sitúa en el mismo instante que la del resto (LacI y GFP).

Plac cI(ts) Ompn::Sspb Ompn::RFP

Prm LacI::Das4 GFP::Das4

Prm ARNas

http://partsregistry.org/Part:BBa_K510036


Incluimos una tabla que recoge todas las especies intervinientes de este sistema:

Promotores ARNm Represores Inhibidores

𝑃𝑟𝑚 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑙𝑎𝑐𝐼 𝐿𝑎𝑐𝐼 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠

𝑃𝑙𝑎𝑐 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 𝑐𝐼 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏

Y además, en la siguiente imagen se muestra cómo se interrelacionan las especies y a través de qué mecanismos.

Ahora vemos una tabla resumen de todas las reacciones que se nombran en la imagen anterior.


Traducción LacI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐺𝐹𝑃



Traducción cI 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 + 𝑐𝐼 + 𝑅𝐹𝑃




Inhibición por ARNas 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 + 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙

Proteólisis 1 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 + 𝐿𝑎𝑐𝐼 → 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏

Proteólisis 2 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 + 𝐺𝐹𝑃 → 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏

Inducción 1 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝑃𝑟𝑚 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺 + 𝑃𝑟𝑚

Inducción 2 𝐿𝑎𝑐𝐼 + 𝐼𝑃𝑇𝐺 → 𝐿𝑎𝑐𝐼|𝐼𝑃𝑇𝐺

Temperatura 𝑐𝐼 → 𝑛𝑢𝑙𝑙


2. Dinámica de las reacciones

Transcripción

Desarrollamos un modelo de la unión de la ARN polimerasa al elemento promotor y la transcripción completa de la molécula ARN mensajera tal que, siendo la reacción:

𝐴𝑅𝑁𝑝 + 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝜆𝑓

⇌ 𝜆𝑏

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑝𝑡𝑜𝑟𝜆𝑓

→ 𝐴𝑅𝑁𝑝 + 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝐴𝑅𝑁𝑚

Las ecuaciones de velocidad para cada elemento, son las siguientes:

𝐴𝑅𝑁𝑝̇ = −𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟̇ = −𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝚥𝑜̇ = 𝜆𝑓 · 𝐴𝑅𝑁𝑝 · 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 − (𝜆𝑏 + 𝜆𝑐) · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜

𝐴𝑅𝑁𝑚̇ = 𝜆𝑐 · 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜

Este modelo de la transcripción es correcto para el caso en que la reacción se lleve a cabo en un volumen reactivo homogéneo. Sin embargo, resulta engorroso trabajar con tantas ecuaciones y parámetros, por ello ponemos atención en la reacción y en la formulación planteada por Michaelis-Menten para reacciones catalizadas por enzimas.

Primero comparamos las reacciones que modela con la transcripción:

𝐸 + 𝑆𝑘1

⇌ 𝑘−1

𝐸𝑆 𝑘2

→ 𝐸 + 𝑃

Podemos identificar enzima, sustrato y producto con nuestro modelo:

Sea: E = Promotor; S = ARNp; ES = Cc; P = ARNm

La diferencia frente a este modelo, es que el sustrato se consume al convertirse en producto. Sin embargo, en la transcripción, el ARN polimerasa queda libre al finalizar este proceso, pudiendo participar de nuevo en otra transcripción.

Por tanto,

[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =𝜆𝑐 [𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]

[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 𝐾𝑚 =

(𝜆𝑏 + 𝜆𝑐)𝜆𝑓

La constante de Michaelis queda como una ponderación de las cinéticas intervinientes en la cinética de la transcripción.



[𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0 se refiere a la concentración inicial de promotores, que dependerá del número de copias de plásmidos que absorba cada bacteria. Concretamente, por cada copia hay un promotor de cada represor.

Y el modelo completo del producto de la transcripción:

[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ =𝜆 · [𝐴𝑅𝑁𝑝]

[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚

Donde 𝜆 = 𝜆𝑐 [𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟]0

Los parámetros que aparecen en el factor de la ecuación diferencial que crea 𝐴𝑅𝑁𝑚, son constantes excepto [ARNp] que se refiere a una especie dentro de la bacteria e. coli.

Traducción

Continuamos con un razonamiento parecido al de la transcripción. Veamos primero como es la reacción de la traducción:

𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑘𝑓

⇌ 𝑘𝑏

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑘𝑐

→ 𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 + 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟

Así, según Michaelis-Menten, obtenemos una expresión análoga a la de la transcripción,

[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]̇ =𝑘𝑐 [𝐴𝑅𝑁𝑚] · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]

[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢; 𝐾𝑚𝑢 =

𝑘𝑏 + 𝑘𝑐𝑘𝑓

𝑘𝑚𝑢 es, también, una ponderación de las cinéticas que intervienen, y además, ocurre de nuevo que tanto 𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎 como 𝐴𝑅𝑁𝑚 son especies de la bacteria y del sistema, respectivamente.

Represión

La reacción de la represión, no podemos modelarla con la formulación de Michaelis-Menten, ya que su comportamiento cooperativo difiere del predicho por éste. Sin embargo, como vimos, dentro de las cinéticas no Michaelianas, podemos usar la formulación planteada por Hill.

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝛽 · 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟 ⇌ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽

Se observa como la expresión, realmente comprende varias etapas. Primero, el represor debe formar un multímero de tamaño 𝛽,

𝛽 · 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟 ⇌ 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽

Y tras ello, encontrarse con el promotor al que unirse,

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽 ⇌ 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽


Evitándose así su lectura.

Tras formarse el multímero, se une competitivamente con la ARN polimerasa a los operadores del gen. La cooperatividad se patenta en la formación de multímeros.

�𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽�̇ =[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽

𝐾𝑖𝑢 + [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽

Transformando esta ecuación podemos ver el efecto de las constantes que aparecen en el modelo.

�𝑃𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟|𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝛽�̇ =

[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽𝐾𝑖𝑢

1 + [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝛽𝐾𝑖𝑢

Se advierte más claramente la función de la constante Kiu. Hace una ponderación, significando que una parte de los represores que han formado el 𝛽-mero, participarán de la represión. A este valor, se le conoce como la constante del equilibrio de la unión efectiva del represor al promotor adverso.

Degradación

Las proteínas son sistemas vivientes que se sustituyen continuamente. Por tanto, todas mueren tras un periodo activo variable (desde unos minutos hasta semanas). La muerte o degradación en sus aminoácidos, es un proceso relativamente sencillo de modelar, ya que no nos interesa tanto el proceso de la degradación de la proteína sino cuán rápido se produce para cada tipo. El tiempo característico de cada proteína se mida en base a su vida media, de la cual se puede extraer la tasa de mortalidad δ (mortalidad/unidad de tiempo). Cualquier compuesto (ARNp, ARNm, proteína, proteasa, ARNas,…) que intervine en un sistema biológico tendrá una valor característico de vida media desde el cual estimaremos el valor del parámetro. En este sentido, la ecuación diferencial que modela esta desactivación es de primer orden (ley de acción de masa).

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = 𝛿 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]

La cantidad de moléculas que desaparecen es proporcional a su población.

Hay que mencionar que el valor de la tasa de mortalidad varía con la temperatura. En un caso especial, el represor cI, con un aumento de 37ºC a 42ºC, precipita este valor casi a la unidad.



Proteólisis

Como vimos en el apartado de fundamentos biológicos, este mecanismo lo realiza una proteasa, que se encarga de digerir las proteínas para las que esté diseñado. Veamos la reacción que explica el proceso de la proteólisis:

𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎 + 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎 → 𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎

La cinética que suponemos a este proceso será la acción de masa, una suposición apoyada sobre el argumento expuesto en el proceso de degradación: no nos interesa la dinámica propia de esta reacción sino saber cuántas proteínas se verán afectadas en el tiempo en función de la población de proteasas. En este proceso se consume proteína, mientras que la proteasa vuelve a quedar libremente funcional cuando se separa del degradado.

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒ó𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎] · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]

El proceso de degradación vuelve a ser más complejo de lo que muestra la ecuación diferencial. La dinámica de este proceso es de segundo orden, y por tanto, la constante cinética tiene unas características diferentes:

𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒ó𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]−1[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1

Inhibición ARN antisentido

La inhibición del ARN mensajero gracias a un ARN antisentido análogo, se produce como se indicó en los fundamentos biológicos. La cinética de esta reacción no es conocida, sin embargo podemos suponerla como una reacción de primer orden (ley de acción de masa), ya que su efecto en el sistema es el comienzo de la unión entre las cadenas.

𝐴𝑅𝑁𝑚 + 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 → 𝐴𝑅𝑁 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎

El bloqueo de la traducción del ARNm se produce desde el instante en que estas dos hebras se aparean. Una vez que se ha formado este complejo, no queda más que esperar su degradación enzimática, ya que no puede participar de otro proceso y en el estudio general se tomará como una degradación.

[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ − = 𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]

Al igual que en la proteólisis, la constante cinética tiene las mismas unidades al tratarse de un proceso de dinámica de orden mayor:

𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]−1[𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1


3. Biestable Simple. Consideraciones de modelado

Represión y transcripción

Trataremos conjuntamente las reacciones de transcripción y la de represión, ya que podemos asumir de forma directa que la proteína represora se unirá compitiendo con la ARNp al promotor. Además, esta represión no sólo la realizará la proteína represora, sino que puede ocurrir que esta forme multímeros y que éstos también participen de la represión. Así, y siguiendo a T. S. Gardner [2] planteamos un modelo conjunto:


[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 · �1 + �[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝐾𝑖𝑟 �

𝛼�

Añadiendo cualquier otra dinámica que afecte directamente a la población de ARNm podríamos conseguir un modelo matemático completo que describa su población

Régimen permanente para la transcripción

Según T. S. Gardner, basándose en otro documento [6] el tiempo necesario para la creación del 𝐴𝑅𝑁𝑚 es rápido en comparación con el tiempo necesario para la expresión final de una proteína. Esta suposición se ve respaldada por los siguientes datos extraídos de la base de datos de Harvard [7]:

• Velocidad de transcripción por ARN polimerasa en batería Escherichia Coli: 24/79

nucleótidos/segundo

• Velocidad de traducción por ribosomas en bacteria Escherichia Coli: 12/21

aminoácidos/segundo

Efectivamente, la transcripción es un proceso entre 2 y 4 veces más rápido que la traducción y podemos considerarlo cuasi-estático. Además a estos datos hay que sumarle el tiempo que tras la aparición de un ARN mensajero hasta su encuentro con el primer ribosoma. Podemos asegurar que la transcripción ocupa menos de un 30% en el tiempo de la expresión. Incluso, la componente estocástica intrínseca en estos procesos, favorece la implantación de esta suposición.

Por otro lado, hay que considerar, que esto no afecta a las condiciones de biestabilidad del sistema, aunque sí tendría un efecto a la cinética global.



𝛼�− 𝛿 · [𝐴𝑅𝑁𝑚]



Ecuación de la población de 𝐴𝑅𝑁𝑚 en el creada por la transcripción del plásmido y degradada por la acción vital.

Así que, suponemos el valor en régimen permanente del ARN mensajero:

[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ = 0,

[𝐴𝑅𝑁𝑚] =𝜆𝛿� · [𝐴𝑅𝑁𝑝]


𝛼�

Traducción

La cinética de es:

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]

[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢

Sustituimos el valor de régimen permanente conocido del [𝐴𝑅𝑁𝑚]

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]

[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢·

𝜆𝛿� · [𝐴𝑅𝑁𝑝]

[𝐴𝑅𝑁𝑝] + 𝐾𝑚 �1 + �[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝐾𝑖𝑟 �

𝛼�

Además de la degradación de la proteína

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =

𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢)

1 + 𝐾𝑚[𝐴𝑅𝑁𝑝] · �1 + �[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]

𝐾𝑖𝑟 �𝛼�− 𝑑 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]

Unidades de los parámetros:

𝜆 = [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] · [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 𝐾𝑚 = 𝐾𝑚𝑢 = 𝐾𝑖𝑟 = [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛] 𝛿 = 𝑘𝑐 = [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1

Parámetros

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =

𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢)

1 + 𝐾𝑚[𝐴𝑅𝑁𝑝] · �1 + �[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]

𝐾𝑖𝑟 �𝛼�− 𝑑 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]

Sobre esta ecuación, hacemos un estudio de los parámetros que aparecen tratando de reducir la expresión final

• Numerador del primer término: El único valor variable de esta expresión es [Ribosoma]. Atendemos al número total de ribosomas presentes en una bacteria


Escherichia Coli en condiciones normales, el cual se sitúa entre 6800/72000 [7]. El número de ribosomas libres a lo largo de la evolución de nuestro sistema, no logrará variar tanto en población como para que este factor sufra una modificación apreciable.

𝜆 · 𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎]𝛿 · ([𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎] + 𝐾𝑚𝑢) ≅ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ ([𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛][𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1)

• Factor de ponderación de la represión: Podemos hacer una suposición parecida a la anterior con la concentración de 𝐴𝑅𝑁𝑝 ya que la población media en una bacteria Escherichia Coli se sitúa entre 1500/11400 [7]. Por tanto, el valor de Km

[ARNp] potenciará o disminuirá el efecto que pueda provocar el término de la

represión al que acompaña.

𝐾𝑚[𝐴𝑅𝑁𝑝] ≅ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∶ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

• Término de la represión: la simplificación de este proceso en la ecuación, significa que no podamos observar claramente cómo funciona la represión. Sin embargo, podemos mencionar las implicaciones de la constante 𝐾𝑖𝑟. Su valor supone, de nuevo, una ponderación de los represores libres hacia una proporción población que participará directamente de la represión.

[𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝐾𝑖𝑟

= [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 ∶ 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

Modelo del biestable simple

El modelo del Núcleo Biestable queda como el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales una vez que identificamos los términos reales y reagrupamos todo lo dicho anteriormente, expresamos de manera simple las reacciones que se producen por cada lado.

[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼�1 + [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛼 �− 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]

[𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑠𝐶𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐶𝐼 �1 + [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛽 �

− 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝑐𝐼]

Por terminar de simplificar el modelo agrupamos constantes

𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼′ =𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼



Y obtenemos finalmente el modelo más simplificado:

[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛼 − 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]

[𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑠𝐶𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐶𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝛽 − 𝑐𝑡𝑒𝑑 · [𝑐𝐼]

Con el último cambio de constantes, no varían las unidades de tales parámetros, aunque si una modulación.

𝑐𝑡𝑒𝑠 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠í𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛][𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∶ − [𝑥]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∶ − 𝑐𝑡𝑒𝑑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ [𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜]−1 [𝑥] = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ [𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛]


4. Biestable modificado. Consideraciones de modelado

Para establecer las ecuaciones diferenciales de cada especie, debemos definir cada proceso que ocurre en el sistema e identificar con más detalle la rama del biestable que estamos estudiando. A pesar de que los sistemas tengan el mismo núcleo biestable, la adición de nuevos inhibidores, afectarán a las cinéticas ya descritas.

Comenzamos definiendo los procesos y las cinéticas.

TRANSCRIPCIÓN + REPRESIÓN



𝛼�

=𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟 · [𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟]𝑒𝑓𝛼

TRADUCCIÓN

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ =𝑘𝑐 · [𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]

[𝑅𝑖𝑏𝑜𝑠𝑜𝑚𝑎𝑠] + 𝐾𝑚𝑢= 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑 · [𝐴𝑅𝑁𝑚]

INHIBICIÓN POR ARNAS

[𝐴𝑅𝑁𝑚]̇ = [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] · [𝐴𝑅𝑁𝑚]

PROTEÓLISIS

[𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒í𝑛𝑎] · [𝑃𝑟𝑜𝑡𝑒𝑎𝑠𝑎]

DEGRADACIÓN

[𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝚤𝑒]̇ = −𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔 · [𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒]



Tabla resumen de las cinéticas y las especies intervinientes

ID PROCESO SE CREA SE CONSUME

1 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼 -

2 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛽 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼 -

3 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠 -

4 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] 𝐿𝑎𝑐𝐼 -

5 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] 𝑐𝐼|𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 -

6 𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼|𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠

7 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� - 𝐿𝑎𝑐𝐼

8 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼

9 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] - 𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼

10 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] - 𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠

11 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼] - 𝐿𝑎𝑐𝐼

12 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼] - 𝑐𝐼

13 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� - 𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏


Agrupación de ecuaciones

Para alcanzar un sistema de ecuaciones diferenciales referenciadas únicamente a las especies represoras seguimos los siguientes pasos:

[𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]

[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] − �𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏� − 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼� · [𝐿𝑎𝑐𝐼]

Por otro lado, la rama de cI:

[𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛽 − �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]

Y por último, la proteína represora:

[𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]

Nos queda definir las poblaciones de ARNas y de la proteasa Psspb.

[𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼− �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]

�𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�

Modelo del biestable modificado

Simplificamos las ecuaciones agrupando valores en torno a expresiones más simples. Para ello agrupamos parámetros de forma parecida a como lo hacíamos con el modelo del biestable simple:

[𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼]

[𝐿𝑎𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝐿𝑎𝑐𝐼] − �𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�+ 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐿𝑎𝑐𝐼� · [𝐿𝑎𝑐𝐼]



[𝑐𝐼]̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]

�𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�̇ = 𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑𝑐𝐼 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼]− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏 · �𝑃𝑠𝑠𝑝𝑏�

[𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]̇ =𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼

1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝑎𝑐𝐼 · [𝑐𝐼]𝑒𝑓𝛼− �𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 · [𝐴𝑅𝑁𝑚𝑐𝐼] + 𝑐𝑡𝑒𝑑𝑒𝑔𝐴𝑅𝑁𝑚� · [𝐴𝑅𝑁𝑎𝑠]



5. Modelado del Sistema Biestable Simple en cinéticas

simples

Consideraciones sobre el modelo en EDOs

Comencemos recordando las ecuaciones diferenciales planteadas:

𝑑𝑚1

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟1

1 + 𝑘𝑝𝑟1 · 𝑥2𝛽 − 𝑑𝑚 · 𝑚1

𝑑𝑚2

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟2

1 + 𝑘𝑝𝑟2 · 𝑥1𝛼− 𝑑𝑚 · 𝑚2

𝑑𝑥1𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑1 · 𝑚1 − 𝑑 · 𝑥1

𝑑𝑥2𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑2 · 𝑚2 − 𝑑 · 𝑥2

Sin considerar como se ha llegado a esta solución, desmenucemos el sistema reactivo. Lo que se nos muestra es la presencia de 4 entes cuyas ecuaciones de estado tienen dos términos, uno de síntesis (o creación) y otro de degradación (o destrucción). Cada término incluye una serie de parámetros que gobernarán la evolución temporal de estas variables.

Por tanto,

Variables de estado:

𝑋 = {𝑚1,𝑚2, 𝑥1, 𝑥2}

Parámetros generales:

• 𝑘𝑡𝑟 = Síntesis máxima de los ARNm • 𝑘𝑝𝑟 = Ponderación de la acción inhibidora de las proteínas represoras • 𝑘𝑡𝑑 = Síntesis máxima de las proteínas represoras • 𝑑𝑚 = Tasa de degradación de las ARNm • 𝑑 = Tasa de degradación de las proteínas represoras • 𝛼,𝛽 = Cooperatividad de la represión del promotor adverso

Antes de continuar con el modelo por ecuaciones estocásticas, profundizaremos un poco más en las capacidades de representación de las ecuaciones anteriores. Como se explicó en secciones anteriores, al experimentar con la bacteria real, la forma que tenemos para hacer las mediciones de las poblaciones de las proteínas que se expresan


es a través de una proteína fluorescente asociada a tal molécula. Sucede que cuando se crea una proteína de LacI, una GFP (proteína fluorescente verde) también lo hace en el mismo instante.

Hasta este momento no se ha incluido esta realidad en los modelos ni en los análisis. El motivo por el que se ha decidido hacer esto, es porque realmente no aporta conocimiento en el estudio determinista y de estabilidad. Sin embargo, llegamos al modelo estocástico resulta mucho más sencillo añadir este hecho sin implicar cambios sustanciales en los modelos.

Continuando con el modelado, pasamos a identificar la matriz estequiométrica de las reacciones mostradas

Reacciones Matriz Estequiométrica

𝑚1 𝑚2 𝑥1 𝑥2 𝑅𝐹𝑃 𝐺𝐹𝑃

𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1 1 0 0 0 0 0

𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚2 0 1 0 0 0 0

𝑚1 → 𝑚1 + 𝑥1 + 𝑅𝐹𝑃 0 0 1 0 1 0

𝑚2 → 𝑚2 + 𝑥2 + 𝐺𝐹𝑃 0 0 0 1 0 1

𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 -1 0 0 0 0 0

𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 -1 0 0 0 0

𝑥1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 -1 0 0 0

𝑥2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 -1 0 0

𝑅𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 0 -1 0

𝐺𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 0 0 0 0 0 -1

Así, con esto definido, pasamos a definir las propensidades de la cada reacción.

Id Reacción Función de propensidad

1 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1 𝑎1(𝑋) = 𝑘𝑡𝑟11+𝑘𝑝𝑟1·𝑥2

𝛼

2 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚2 𝑎2(𝑋) = 𝑘𝑡𝑟21+𝑘𝑝𝑟2·𝑥1

𝛽

3 𝑚1 → 𝑚1 + 𝑥1 + 𝑅𝐹𝑃 𝑎3(𝑋) = 𝑘𝑡𝑑1 · 𝑚1

4 𝑚2 → 𝑚2 + 𝑥2 + 𝐺𝐹𝑃 𝑎4(𝑋) = 𝑘𝑡𝑑2 · 𝑚2



5 𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎5(𝑋) = 𝑑𝑚 · 𝑚1

6 𝑚1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎6(𝑋) = 𝑑𝑚 · 𝑚2

7 𝑥1 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎7(𝑋) = 𝑑 · 𝑥1

8 𝑥2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎8(𝑋) = 𝑑 · 𝑥2

9 𝑅𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎9(𝑋) = 𝑑𝐺𝐹𝑃 · 𝐺𝐹𝑃

10 𝐺𝐹𝑃 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎10(𝑋) = 𝑑𝑅𝐹𝑃 · 𝑅𝐹𝑃

Para comprender con más detalle cómo se comporta el sistema, debemos atender a los procesos o reacciones elementales que tienen lugar entre las moléculas. Por ejemplo, uno de los casos más llamativos es el siguiente, que nos servirá para comprender como la expresión matemática puede ocultar la complejidad que encierra.

Mientras que en el modelo anterior se representaba la síntesis del ARN mensajero con una ecuación cinética como la siguiente,

𝑑𝑚1

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟1 + 𝑘𝑝𝑟 · 𝑥𝛼

Explicando la reacción 𝑛𝑢𝑙𝑙 → 𝑚1, el conjunto de reacciones elementales es mucho mayor. Recordemos que en esta simplificación están reunidas: la represión cooperativa de la proteína represora contraria, que a su vez engloba la posible dimerización del represor y su adhesión sobre el promotor, influyendo así a la transcripción del ARN mensajero. Además no se está teniendo en cuenta el resto de especies que intervienen, el promotor, la proteína represora y sus multímeros, ni la ARN polimerasa que se encarga de la labor transcriptora.

Se muestra así la simplicidad del modelo anterior, ya sea en su versión determinista como estocástica. Trataremos pues de incluir en el análisis a continuación, tantas variables como sean posibles en busca de representar más fielmente la interacción conjunta.

En lo que sigue, se expondrá el nuevo modelo, incluyendo un nivel de detalle mayor, y abandonaremos finalmente este modelo de cinéticas complejas para trabajar en adelante con uno de cinéticas de primer orden.


Tipo de Agente Rama 1 Rama 2

Promotor 𝑂𝐿 𝑂𝐶

ARN mensajero 𝑀𝐿 𝑀𝐶

Proteína represora 𝐿 𝐶

Multímero represor (dímero) 𝐿2 𝐶2

Promotor/Represor 𝐶2𝑂𝐿 𝐿2𝑂𝐶

En los apartados anteriores se han dado las nociones suficientes para la comprensión de la función de cada agente dentro del sistema. Veamos el conjunto reactivo:

Nombre Reacción Propensidad

Transcripción LacI 𝑂𝐿 → 𝑂𝐿 + 𝑀𝐿 𝑎1 = 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿

Traducción LacI 𝑀𝐿 → 𝑀𝐿 + 𝐿 + 𝑅𝐹𝑃 𝑎2 = 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿

Dimerización LacI 𝐿 + 𝐿 → 𝐿2 𝑎3 = 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2

Des-dimerización LacI 𝐿2 → 𝐿 + 𝐿 𝑎4 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2

Represión LacI 𝐿2 + 𝑂𝐶 → 𝐿2𝑂𝐶 𝑎5 = 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶

Des-represión LacI 𝐿2𝑂𝐶 → 𝐿2 + 𝑂𝐶 𝑎6 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶

Transcripción cI 𝑂𝐶 → 𝑂𝐶 + 𝑀𝐶 𝑎7 = 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶

Traducción cI 𝑀𝐶 → 𝑀𝐶 + 𝐶 + 𝐺𝐹𝑃 𝑎8 = 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶

Dimerización cI 𝐶 + 𝐶 → 𝐶2 𝑎9 = 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2

Des-dimerización cI 𝐶2 → 𝐶 + 𝐶 𝑎10 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2

Represión cI 𝐶2 + 𝑂𝐿 → 𝐶2𝑂𝐿 𝑎11 = 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿

Des-represión cI 𝐶2𝑂𝐿 → 𝐶2 + 𝑂𝐿 𝑎12 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿

Degradación 𝑀𝐿 𝑀𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎13 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

Degradación 𝑀𝐶 𝑀𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎14 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

Degradación 𝐿 𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎15 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿

Degradación 𝐶 𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎16 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶

Degradación 𝐿2 𝐿2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎17 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

Degradación 𝐶2 𝐶2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎18 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2



Y la matriz estequiométrica queda:

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 R1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 R3 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0 0 R4 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 0 R5 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 R6 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 R7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 R8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 R9 0 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0

R10 0 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 R11 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 R12 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 R13 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R14 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 R15 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 R16 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 R17 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 R18 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 R19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 R20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

Antes de pasar al siguiente apartado, vamos a agrupar estos eventos de forma que podamos extraer una expresión aproximada en ecuaciones diferenciales. Tras conocer todos los eventos modelados y sus cinéticas, los agrupamos por variable de estado:

𝑑𝑂𝐿𝑑𝑡

= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 − 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿

𝑑𝑂𝐶𝑑𝑡

= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 − 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

𝑑𝐿𝑑𝑡

= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿

𝑑𝐶𝑑𝑡

= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶

𝑑𝐿2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿 · (𝐿 − 1) + 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

𝑑𝐶2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶 · (𝐶 − 1) + 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2


𝑑𝐿2𝑂𝐶𝑑𝑡

= 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶 − 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶

𝑑𝐶2𝑂𝐿𝑑𝑡

= 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿 − 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿

Este se puede considerar el modelo del biestable simple en ecuaciones diferenciales ordinarias atendiendo a las reacciones elementales. Si aplicamos régimen permanente en algunos de los procesos, podremos conseguir una expresión asimilable a la original extraída en la sección del modelado determinista.

Antes de adentrarnos en un desarrollo matemático, vamos a simplificar las relaciones de estas ecuaciones:

Para empezar, la población de los promotores está relacionada directamente con la de sí mismo reprimido. Además esta relación es muy simple:


= −𝑑𝑂𝐿𝐶2𝑑𝑡

La resolución es de esta relación no lleva a:

𝑂𝐿(𝑡) − 𝑂𝐿(0) = 𝐶2𝑂𝐿(0) − 𝐶2𝑂𝐿(𝑡); 𝐶2𝑂𝐿(𝑡) = 𝑛0 − 𝑂𝐿(𝑡)

De esta forma, eliminamos 2 variables de estado, así como simplificamos las ecuaciones diferenciales


= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2) · 𝑂𝐿

𝑑𝑂𝐶𝑑𝑡

= 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐿2) · 𝑂𝐶

𝑑𝑀𝐿


𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

𝑑𝐿𝑑𝑡


𝑑𝐶𝑑𝑡


𝑑𝐿2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

𝑑𝐶2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2



Además, es demostrable según la biología que, dada la alta concentración de partícula transcriptora, la concentración de promotor libre o reprimido, se alcanza instantáneamente, y no afecta a la dinámica. Por lo tanto, supondremos régimen permanente para las ecuaciones diferenciales de las poblaciones de promotor:

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0 − (𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2) · 𝑂𝐿 = 0;

𝑂𝐶 =𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2

𝑂𝐿 =𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐿 ·

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2

− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 ·

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2

− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

𝑑𝐿𝑑𝑡


𝑑𝐶𝑑𝑡


𝑑𝐿2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

𝑑𝐶2𝑑𝑡


Así, finalmente tenemos esta expresión:

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐿 ·

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 + 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2

− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 ·

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2

− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

Además, suponemos el régimen permanente en la variación de las poblaciones de los dímeros represores:

𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝐿2 · 𝐿2 = 0;

𝐿2 =𝐷𝐼𝑀𝐿

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝐿2· 𝐿2

𝐶2 =𝐷𝐼𝑀𝐶

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝐶2· 𝐶2


Por último, añadiendo estas expresiones, obtenemos la expresión del sistema equivalente:

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡=

𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑛0

1 + 𝑅𝐸𝑃𝐶𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐷𝐼𝑀𝐶

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡=

𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑛0

1 + 𝑅𝐸𝑃𝐿𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐷𝐼𝑀𝐿

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

𝑑𝐿𝑑𝑡


𝑑𝐶𝑑𝑡


Ahora, procedemos a comparar los dos modelos y comprar los parámetros hasta encontrar sus relaciones:

𝑘𝑡𝑟 = 𝑇𝑅𝑁 · 𝑛0

𝑘𝑡𝑑 = 𝑇𝑅𝐷

𝑘𝑝𝑟 =𝑅𝐸𝑃𝑁𝑅𝐸𝑃

·𝐷𝐼𝑀

𝑁𝐷𝐼𝑀 + 𝐷𝐺𝑃

𝑑𝑚 = 𝐷𝐺𝑀

Aunque acabamos de identificar todos los parámetros de uno y otro modelo, de forma que podemos concluir que se tratan del mismo, aunque expresado de formas diferentes; tenemos que notar que existe una pequeña diferencia entre ambos:

𝑑𝑚1

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟1

1 + 𝑘𝑝𝑟1 · 𝑥2𝛽 − 𝑑𝑚1 · 𝑚1

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡=



𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2− 𝐷𝐺𝑀𝐿 · 𝑀𝐿

Mientras que en el modelo basado en las cinéticas de Michaelis-Menten la represión se hace a través de la proteína represora, considerando, además, la posibilidad de que también se haga a través de los diferentes multímeros que ésta pueda formar. Por tanto, aunque el modelo matemático sí lo contemple, realmente no tiene en cuenta las variables asociadas a estas subespecies.

Por otro lado, en el modelo de cinéticas de primer orden desarrollado en este último apartado del documento, se estudia de manera explícita la presencia y participación del dímero. Incluso, no se ha modelado la posibilidad de que la proteína represora pueda



inhibir la transcripción del promotor adverso. Esta diferencia de consideraciones entre uno y otro se patenta directamente ahora, cuando observamos que el parámetro 𝛽 aparece con un valor fijo y dado 2 en nuestro segundo modelo. Esto se podría considerar como un error, sin embargo, explicamos la capacidad de esta suposición:

• 𝐶 + 𝐶 → 𝐶2 es la reacción que hemos modelado hasta el momento, teniendo asociado una cinética tal que: 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2. Luego, este dímero es el único considerado con inhibidor. Pero veamos la siguiente reacción:

• 𝛽 · 𝐶 → 𝐶𝛽 reacción que consideraría la creación del represor, β podrá valer 1, 2 o incluso mayor, en base a un factor de probabilidad asociado.

Este modelo, y las suposiciones hechas para extraer las ecuaciones, se han basado en el documento de Michail Stamatakis y Nikos V. Mantzaris [8], en el cual se indica:

“…A LacI dimer is sufficient for specific binding to the operator sequence... However, a LacI monomer is unable to bind lacO and exert any repressive effect (53). Thus, we assume that the repressor dimer binds to the operator (denoted as species O) with a one-to-one stoichiometry…”

Significando que la proteína represora no tendrá un efecto apreciable en las acciones de inhibición de la transcripción del promotor adverso.


6. Modelado del sistema biestable modificado en

cinéticas simples

Consideraciones de modelado

Tipo de Agente Rama 1 Rama 2

Promotor 𝑂𝐿 (𝑂𝐿′) 𝑂𝐶

ARN mensajero 𝑀𝐿 𝑀𝐶

Proteína represora 𝐿 𝐶

Multímero represor (dímero) 𝐿2 𝐶2

Inhibidor 𝑃𝑠 𝑀𝑎𝑠

Promotor/Represor 𝐶2𝑂𝐿 (𝐶2𝑂𝐿′ ) 𝐿2𝑂𝐶

En los apartados anteriores se han dado las nociones suficientes para la comprensión de la función de cada agente dentro del sistema. Veamos el conjunto reactivo:

Nombre Reacción Propensidad

Transcripción LacI 𝑂𝐿 → 𝑂𝐿 + 𝑀𝐿 𝑎1 = 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿

Traducción Laci 𝑀𝐿 → 𝑀𝐿 + 𝐿 𝑎2 = 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿

Dimerización LacI 𝐿 + 𝐿 → 𝐿2 𝑎3 = 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2

Des-dimerización LacI 𝐿2 → 𝐿 + 𝐿 𝑎4 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2

Represión LacI 𝐿2 + 𝑂𝐶 → 𝐿2𝑂𝐶 𝑎5 = 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2 · 𝑂𝐶

Des-represión LacI 𝐿2𝑂𝐶 → 𝐿2 + 𝑂𝐶 𝑎6 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2𝑂𝐶

Transcripción cI 𝑂𝐶 → 𝑂𝐶 + 𝑀𝐶 𝑎7 = 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶

Traducción cI 𝑀𝐶 → 𝑀𝐶 + 𝐶 + 𝑃𝑠 𝑎8 = 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶

Dimerización cI 𝐶 + 𝐶 → 𝐶2 𝑎9 = 𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2

Des-dimerización cI 𝐶2 → 𝐶 + 𝐶 𝑎10 = 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 · 𝐶2

Represión cI 𝐶2 + 𝑂𝐿 → 𝐶2𝑂𝐿 𝑎11 = 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿

Des-represión cI 𝐶2𝑂𝐿 → 𝐶2 + 𝑂𝐿 𝑎12 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿

Transcripción de ARNas 𝑂𝐿′ → 𝑂𝐿′ + 𝑀𝑎𝑠 𝑎13 = 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿′

Represión de ARNas 𝐶2 + 𝑂𝐿′ → 𝐶2𝑂𝐿′ 𝑎14 = 𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2 · 𝑂𝐿′

Des-represión de ARNas 𝐶2𝑂𝐿′ → 𝐶2 + 𝑂𝐿′ 𝑎15 = 𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝐶2𝑂𝐿′



Digestión LacI 𝑃𝑠 + 𝐿 → 𝑃𝑠 𝑎16 = 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃𝑠 · 𝐿

Digestión LacI2 𝑃𝑠 + 𝐿2 → 𝑃𝑠 𝑎17 = 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃𝑠 · 𝐿2

Inhibición ARNas 𝑀𝑎𝑠 + 𝑀𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎18 = 𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 · 𝑀𝐶

Degradación 𝑀𝐿 𝑀𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎19 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

Degradación 𝑀𝐶 𝑀𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎20 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

Degradación ARNas 𝑀𝑎𝑠 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎21 = 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝑎𝑠

Degradación 𝐿 𝐿 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎22 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿

Degradación 𝐶 𝐶 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎23 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶

Degradación Proteasa 𝑃𝑠 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎24 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝑃𝑠

Degradación 𝐿2 𝐿2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎25 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

Degradación 𝐶2 𝐶2 → 𝑛𝑢𝑙𝑙 𝑎26 = 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2

Realizamos el mismo esfuerzo que hicimos con el modelo del biestable simple para la identificación de parámetros. Comenzamos con detallar las relaciones de cada reacción descrita con cada especie.

Volvemos a suponer la relación entre promotor y promotor reprimido que hicimos en el modelo del biestable simple:

𝑋2𝑂(𝑡) = 𝑛0 − 𝑂(𝑡);

Por lo tanto, las ecuaciones mostradas a continuación contemplan este paso:

𝑂𝐿 =𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0


𝑂𝐶 =𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝑛0

𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿 + 𝑅𝐸𝑃𝐿 · 𝐿2

𝑂𝐿′ =𝑁𝑅𝐸𝑃𝐶 · 𝑛0


𝑑𝑀𝐿


𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

𝑑𝑀𝑎𝑠

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿′ − 𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝑎𝑠


𝑑𝐿𝑑𝑡

= 𝑇𝑅𝐷𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃 · 𝐿 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿

𝑑𝐶𝑑𝑡


𝑑𝑃𝑑𝑡

= 𝑇𝑅𝐷𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝑃

𝑑𝐿2𝑑𝑡

= 𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 · 𝐿2 − 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃 · 𝐿2 − 𝐷𝐺𝑃 · 𝐿2

𝑑𝐶2𝑑𝑡


Continuando con el desarrollo anterior, consideramos régimen permanente en los dímeros en las proteínas represoras:

𝐶2 =𝐷𝐼𝑀𝐶

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃· 𝐶2

𝐿2 =𝐷𝐼𝑀𝐿

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 + 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃· 𝐿2

Incluyendo en la expresión de los promotores:

𝑂𝐿 = 𝑂𝐿′ =𝑛0


𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2

𝑂𝐶 =𝑛0


𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 + 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃 · 𝐿2

Conocido esto, veamos el resto de ecuaciones:

(1) 𝑑𝑀𝐿


(2) 𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐶 · 𝑂𝐶 − 𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐶

(3) 𝑑𝑀𝑎𝑠

𝑑𝑡= 𝑇𝑅𝑁𝐿 · 𝑂𝐿′ − 𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝑎𝑠

(4) 𝑑𝐿𝑑𝑡




(5) 𝑑𝐶𝑑𝑡


(6) 𝑑𝑃𝑑𝑡


Por tanto, el último paso en este desarrollo, arroja la siguiente expresión:

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡=



𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2− 𝐷𝐺𝑀 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡=



𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 + 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃 · 𝐿2− (𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 + 𝐷𝐺𝑀) · 𝑀𝐶

𝑑𝑀𝑎𝑠

𝑑𝑡=

TRNL · 𝑛0


𝑁𝐷𝐼𝑀𝐶 + 𝐷𝐺𝑃 · 𝐶2− (𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝐶 − 𝐷𝐺𝑀) · 𝑀𝑎𝑠

𝑑𝐿𝑑𝑡


𝑑𝑃𝑑𝑡


𝑑𝐶𝑑𝑡


Antes de pasar a relacionar los parámetros de un modelo y otro, debemos notar una diferencia de forma entre las dinámicas del ARN mensajero de cI. Esta diferencia de forma en la función es, comparándola con el modelo extraído al comienzo de este documento:



𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡=



𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 + 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃 · 𝐿2− (𝐼𝑁𝐻 · 𝑀𝑎𝑠 + 𝐷𝐺𝑀) · 𝑀𝐶

Es sencillo encontrar la relación entre los parámetros de ambos modelos, sin embargo, para el siguiente caso, tenemos que pararnos a observar:

𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 =𝑅𝐸𝑃𝐿𝑁𝑅𝐸𝑃𝐿

·𝐷𝐼𝑀𝐿

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃 + 𝐷𝐼𝐺𝑃 · 𝑃

No podemos considerar que la expresión de la derecha sea una constante, ya que aparece la proteasa responsable de la digestión de la proteína represora LacI y de sus multímeros.


En este punto, nos preguntamos el porqué de esta diferencia de forma.

La estrategia de modelado seguida partía de los conocimientos de cinéticas propias de la biología para más tarde enlazarlos con los resultados de un planteamiento alejado del estudio biológico. El modelo en caja negra seguido en la segunda parte de los modelos, demostró en el primer sistema ser análogo con los desarrollos cinéticos biológicos, mientras que este segundo modelo, más complejo, parece no ser coherente.

Recordemos la obtención de la cinética de la transcripción reprimida:

A la reacción de transcripción se le asociaba una cinética de Michaelis-Menten, mientras que la represión se modelaba a través de la ecuación de Hill, donde el factor de cooperatividad de la represión quedaba modelado cómo una potencia de la población de represor.

Las reacciones asociados a estos procesos biológicos, así como sus expresiones, no tomaban en consideración la posible presencia de un multímero del represor de forma explícita, a pesar de que la ecuación de Hill sí que contempla esta situación.

Es por este motivo por el cual, a través del modelo en reacciones elementales y cinéticas de primer orden, donde sí se tiene en cuenta de forma explícita, aparece la supuesta contradicción.

Por tanto, siendo rigurosos deberíamos tenerla en cuenta en nuestro modelo. Sin embargo, comprendamos cómo se produce la proteólisis en este sistema, para tomar una decisión acertada:

A La proteína represora LacI se le asoció una cadena identificadora para que la proteasa la identificara como degradable. Así, se consigue que la digestión, tras la aparición de esta proteasa, se produjera lo más rápidamente posible. De hecho, es muy poco probable que la proteína sea capaz de formar dímeros en presencia de su digestora. Por otro lado, esta proteasa, consume tanto la proteína represora como sus multímeros con la misma rapidez. Estas conclusiones se basan en el documento de investigación utilizado por este grupo para diseñar el biestable mejorado, Engineering Controllable Protein Degradation [9].

Por este motivo, a la hora de hacer la correlación de ambos modelos, no vamos a tener en cuenta esta diferencia de resultados.



Por tanto, terminamos de realizar la identificación de parámetros cruzados:

𝑐𝑡𝑒𝑡𝑟 = 𝑇𝑅𝑁 · 𝑛0

𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑐𝐼 =𝑅𝐸𝑃𝑁𝑅𝐸𝑃

·𝐷𝐼𝑀

𝑁𝐷𝐼𝑀𝐿 + 𝐷𝐺𝑃

𝑐𝑡𝑒𝑡𝑑 = 𝑇𝑅𝐷

𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡 = 𝐷𝐼𝐺𝑃

𝑐𝑡𝑒𝑎𝑠 = 𝐼𝑁𝐻

Observando que la relación de los parámetros de la transcripción, traducción y represión se obtienen de la misma forma.


7. Conclusión de los Modelos

Presentamos de forma esquemática los modelos que se han extraído:

Biestable simple.

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟𝐿

1 + 𝑘𝑝𝑟𝐿 · 𝐶𝛼− 𝑑𝑚 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟𝐶

1 + 𝑘𝑡𝑟𝐶 · 𝐿𝛽− 𝑑𝑚 · 𝑀𝐶

𝑑𝐿𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝑑 · 𝐿

𝑑𝐶𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝑑 · 𝐶

Biestable modificado.

𝑑𝑀𝐿

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟𝐿

1 + 𝑘𝑝𝑟𝐿 · 𝐶𝛼− 𝑑𝑚 · 𝑀𝐿

𝑑𝑀𝐶

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟𝐶

1 + 𝑘𝑝𝑟𝐶 · 𝐿𝛽− (𝑘𝑖𝑛ℎ · 𝑀𝑎𝑠 + 𝑑𝑚) · 𝑀𝐶

𝑑𝑀𝑎𝑠

𝑑𝑡=

𝑘𝑡𝑟𝐿

1 + 𝑘𝑝𝑟𝐿 · 𝐶𝛼− (𝑘𝑖𝑛ℎ · 𝑀𝐶 − 𝑑𝑚) · 𝑀𝑎𝑠

𝑑𝐿𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑𝐿 · 𝑀𝐿 − 𝑘𝑝𝑟𝑜𝑡 · 𝑃 · 𝐿 − 𝑑 · 𝐿

𝑑𝑃𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝑑 · 𝑃

𝑑𝐶𝑑𝑡

= 𝑘𝑡𝑑𝐶 · 𝑀𝐶 − 𝑑 · 𝐶

A continuación, pasamos a estudiar la estabilidad de ambos sistemas y a comprobar la robustez aportada por los parámetros, así como un estudio de

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