Elementos Finitosen ciencias e ingeniería

Hugo Scaletti – Universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Civil - Lima

Las técnicas de Elementos Finitos son herramientas

poderosas para la solución de ecuaciones diferenciales

Pueden considerarse como extensión de los métodos de

parámetros indeterminados, propuestos por Gauss en el

siglo XVIII, pero más desarrollados a inicios del siglo XX

Aunque se encuentran antecedentes de las mismas

ideas en un trabajo publicado por Courant en 1943, los

aportes iniciales más significativos se dieron en la

década de 1960, paralelamente al desarrollo de las

computadoras digitales

Inicialmente las aplicaciones estuvieron limitadas al

análisis estructural, pero ya en la década de 1960 se

tuvieron aplicaciones a algunos problemas de mecánica

de fluidos

Actualmente se usan elementos finitos para resolverecuaciones diferenciales en prácticamente todos los

campos de la ciencia y la ingeniería

Entre los temas en los que se ha venido trabajando en lasúltimas décadas están la generación automática de

mallas, la solución más eficiente de grandes sistemas de

ecuaciones, el desarrollo de elementos finitos másprecisos, la solución de problemas no lineales

• Courant R. (1943) “Variational methods for the solution

of problems of equilibrium and vibration”, Bull. Am.

Math. Soc., 49, 1-23.

• Argyris J.H. (1955) Energy Theorems and Structural

Analysis, Buttersworth, 1960. Reproducido de Aircraft

Engineering.

• Turner M.J., R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp

(1956) “Stiffness and deflection analysis of complex

structures”, J. Aero. Sci., 23, 805-23.

• Zienkiewicz O.C. y Y.K. Cheung (1967) The Finite

Element Method in Structural and Continuum

Mechanics. Mc. Graw Hill, N.Y.

Antecedentes:

Modelo para el Análisis de la Concentración de Esfuerzos

en una Plancha Delgada con un Orificio

Comparación de los resultados obtenidos del

modelo numérico con la solución analítica.

Abertura Reforzada en una PlanchaCampo de tensiones lejos de la abertura: sx = 100, sy = 50.

Los espesores ABC están en relación 1:3:23

Modelo Esfuerzos Principales

Análisis Estático Lineal

Modelo de Elementos Finitos. Zienkiewicz (1967)

Sección Transversal – Presa de Contrafuertes

Resultados con Empuje

como Presión IntersticialAnálisis para Empuje de

Agua como Presión Externa

Análisis Estático Lineal

Análisis de una Presa con Aliviadero Modelos para el

Análisis de una

Presa de ArcoO.C. Zienkiewicz

Análisis Estático No Lineal

Modelo de la Caverna de una Central Eléctrica Subterránea. O.C.Zienkiewicz (1967)

Filtración bajo una presa cimentada en terreno muy heterogéneo (O.C.Zienkiewicz)

Amplificación de Altura de Ola – Puerto Long Beach (J.R.Houston)

1701 nudos,

2853 elementos

Acuífero de Musquodoboit, Nueva Escocia (Connor y Brebbia)

Pozo 1

Pozo 2 Pozo 3

Dep

resi

ón

(ft

)

Solución por diferencias finitas

Tiempo de Bombeo (min)

Pozo

Río

Musquodoboit

Elementos

finitos

Los modelos de elementos finitos se pueden adaptarfácilmente a geometrías irregulares, con contornos

arbitrarios

Permiten tratar sin mayor dificultad medios nohomogéneos y anisotrópicos (aunque la dificultad está

en obtener las propiedades de los materiales)

En un gran número de situaciones prácticas se disponede programas de cómputo que realizan todos los pasos

requeridos para la solución

El refinamiento adaptivo de los modelos permitirásimplificar la definición del modelo para conseguir los

objetivos de precisión

Análisis

Dinámico

No Lineal

SAAB Automobile AB

SAAB 9000

14811 elementos

Zienkiewicz et al. (1988)

Prototipo NASA

76522 elementos

45 min CRAY XMP 48

Boeing 747

388614 elementos

180 min CRAY XMP 48

Modelos para Analizar

Flujo No Viscoso Estacionario

Supersónico (Mach 2)

Edificio multifamiliar

Programa Mivivienda Desplazamientos Verticales (m) – Platea de Cimentación

Modelo de Elementos Finitos

Modo 1 (transversal) - T = 0.142 s Modo 2 (longitudinal-torsional) - T = 0.088 s

Modo 3 (longitudinal) - T = 0.073 s Modo 4 (transversal) - T = 0.052s

Máximos esfuerzos cortantes (kN/m) al ensayar tensoresMomentos flectores verticales (kN m/m)

debidos a sismo, considerado como empuje activo

Deformada al finalizar

el proceso constructivo

Momentos flectores horizontales (kN m/m)

debidos al tensado y al empuje pasivo del suelo

Muro de Contención Atirantado

Ecuaciones Diferenciales para

un Problema Estacionario

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de Ecuaciones Algebraicas

Ecuaciones Diferenciales para

un Problema Dinámico

Aproximaciones de Elementos Finitos

Sistema de Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias

Iglesia de la Sagrada Familia Iglesia del TriunfoBasílica Catedral

Catedral del CuzcoCISMID (2002)

Modelo de un pilar

con elementos sólidos

Catedral de LimaCISMID (2005)

Catedral de LimaCISMID (2005)

Desplazamientos

laterales de sismo

(cm), nivel +13.00

Museo de Arte de Lima(2009)

Refinamiento

adaptivo

Basado en:

a) Igual distribución del error total en energía

b) Igual distribución de la densidad del error en energía

c) Igual máximo error en los esfuerzos

d) Igual máximo porcentaje de error en los esfuerzos

Menos que 5% en la norma

de energía

Labelle, F. and Shewchuk, J.R. Isosurface Stuffing: Fast Tetrahedral Meshes with Good Dihedral Angles. 2007 Siggraph Conf. Proceedings

Bibliografía

L.J. Segerlind (1984). Applied Finite Element Analysis. 2a

edición. John Wiley & Sons, N.Y.

R. Cook (1999). Finite element Modeling for Stress

Analysis. John Wiley & Sons, N.Y.

R. Cook, R. Malkus, M. Plesha y R. Witt (2003). Concepts

and Applications of Finite Element Analysis.

4a edición. John Wiley & Sons, N.Y.

Bibliografía

E. Oñate (1992) Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Barcelona.

O.C. Zienkiewicz y R.L. Taylor (2004). El Método de los Elementos Finitos. 5a edición. CIMNE, Barcelona.

O.C. Zienkiewicz , R.L. Taylor y J.Z. Zhu (2005). The FiniteElement Method. 6th edition. Elsevier ButterworthHeinemann, Oxford - Burlington

Bibliografía

K.J. Bathe (1995). Finite Element Procedures. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J.

Belytschko, T., Liu, W.K. y Moran, B. (2000). Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. John Wiley & Sons.

Kojic, M. y Bathe, K.J. (2005) Inelastic Analysis of Solids and Structures. Springer, Berlín.

Bibliografía

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R.H. Macneal (1994) Finite Elements: Their Design and Performance. Marcel Dekker Inc., N.Y

I.M. Smith y D.V. Griffiths (2004). Programming theFinite Element Method. John Wiley & Sons, Londres.