elementos finitos
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Integrantes:
CANDO GABRIELA
LICUY MARITZA
DÉCIMO semestre “c”
27 - NOVIEMBRE – 2012
COMPUTACIÓN APLICADA
Método de elementos finitos
Para la solución de los
problemas de ingeniería y
de la física matemática
Para los problemas degeometrías
complicadas, cargas, y
propiedades de los
materiales, en general, no
es posible obtenersoluciones matemática
analítica
Proceso de modelización uncuerpo para dividirlo en un
sistema equivalente de
pequeños cuerpos o
unidades (elementos finitos)
interconectados en lospuntos comunes a dos o
más elementos (puntos
nodales o nodos
se formulan las ecuaciones
para cada elemento finito ycombinarlos para obtener
la solución del conjunto
Esta sección se describe tanto el rol de la
computadora digital en la solución de los
grandes sistemas de ecuaciones algebraicas
simultánea asociada con problemas complejos
y el desarrollo de numerosos programas de
ordenador basado en el método de elementos
finitos.
Introducción
Década de 1940 en el campo de laingeniería estructural, se utilizaba una red delínea (unidimensional) elementos (barras yvigas) para la solución de las tensiones ensólidos
En 1947 desarrolló la flexibilidad o el métodode la fuerza, y en 1953 sugiere otro método(el método de desplazamiento o rigidez)podría ser una alternativa prometedora parasu uso en el análisis de estructuras aeronaves
En 1954 se desarrolló métodos matriciales deanálisis estructural utilizando los principios dela energía.
La frase elementos finitos fue presentadopor Clough en 1960, cuando amboselementos triangulares y rectangulares Seutilizaron para el análisis de tensiones en elplano.
En 196 1Extensión del método deelementos finitos en tres dimensiones losproblemas con el desarrollo de una matrizde rigidez tetraédrica
Mientras que los problemas de pandeofueron tratados en 1963. Y se extendió elmétodo a problemas visco-elasticidad en1968
1969 para derivar las ya conocidaselasticidad ecuaciones de análisis estructuraly, a continuación, en año 1970 paraproblemas transitorios campo.
1976 se examinó los problemas asociadoscon grandes desplazamientos decomportamiento dinámico no lineal, ymejorar técnicas numéricas para la soluciónde los sistemas de ecuaciones resultantes
1977 aplicaron el método de residuosponderada a la determinación de campomagnético
1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz
Los métodos de la matriz sonuna herramienta necesariausada en el método delelemento finito para lospropósitos de simplificar laformulación de lasecuaciones de rigidez deelemento
De la anotación de la matrizrepresenta una anotaciónsimple y fácil de usar porescribir y resolver juegos deecuaciones algebraicassimultáneas
Una matriz es una serierectangular de cantidadescolocada en las filas ycolumnas que se usan amenudo como una ayudaexpresando y resolviendo unsistema de ecuacionesalgebraicas
1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz
El caso más general de una matrizrectangular conocida se indicará porel uso de la anotación de loscorchetes [ ].
•Por ejemplo, el elemento y rigidez de la estructura global matrices k y K , respectivamente, desarrollado a
lo largo del texto para el elemento de varios tipos se representan por matrices cuadradas dado como
El nodal global las fuerzas y el nodal global desplazamientos están relacionados a través del uso de la matriz de rigidez por
En caso de que, en teoría estructural, los
elementos kij y Kijson a menudo se
denomina coeficientes influencia de
rigidez.
1.3 Rol del Ordenador
Advenimiento de las computadoras, lasolución de miles de ecuaciones en cuestiónde minutos se hizo posible.
•De hecho, los programas informáticos deelementos finitos ahora se pueden resolveren un solo proceso en una solamáquina, tales como un simplecomputador de escritorio o un ordenadorportátil personal (PC) o en un grupo deordenadores. Las memorias poderosas delequipo y los avances en los programas deresolución han permitido solucionarproblemas con más de un millón deincógnitas.
1.3 Rol del Ordenador
El analista, una vez definido el modelo de elementos finitos
introduce la información, puede incluir la posición del elemento nodal las coordenadas, la manera en que los
elementos están conectados, las propiedades del material de los elementos, las cargas aplicadas, las condiciones de frontera, o restricciones, y el tipo de
análisis que se deben realizar
El ordenador entonces usa esta información para generar y solucionar las ecuaciones necesarias de
realizar el análisis
1.4 Pasos generales del método de los elementos finitos
Normalmente para el problema de análisis de esfuerzosestructural, el ingeniero procura determinardesplazamientos y esfuerzos en toda la estructura, que estáen el equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Paramuchas estructuras, es difícil de determinar la distribuciónde deformación que usa métodos convencionales, y así elmétodo de elemento finito necesariamente es usado
Hay dos enfoquesgenerales directastradicionalmenteasociadas con el métodode elementos finitos y suaplicación a losproblemas de lamecánica estructural
Un enfoque, denominado la fuerza, o
flexibilidad, método, utiliza fuerzas internas como las incógnitas del problema.
El segundo acercamiento, llamado el
desplazamiento, o la rigidez, el
método, asumen los desplazamientos de los
nodos como la incógnita del problema
Otro principio variacional utiliza a menudo para derivar las ecuaciones
aplicables es el principio del trabajo virtual. Este principio se aplica más
generalmente a los materiales que se comportan de una manera
lineal-elástica, así como aquellos que se comportan de una manera no
lineal
El método de elementos finitos implica el modelado de la estructura
utilizando pequeños elementos interconectados llamados elementos
finitos. Una función de desplazamiento está asociado con cada
elemento finito. Cada elemento de interconexión está
vinculada, directa o indirectamente
Por presión/esfuerzo las propiedades de los materiales de la
estructura, se puede determinar el comportamiento de un nodo
dado en términos de las propiedades de cada elemento en la
estructura. El conjunto total de ecuaciones que describen el
comportamiento de cada nodo resultados en una serie de
ecuaciones algebraicas mejor expresada en notación matricial.
Paso 1
Discretizar y seleccionar los tipos de elementos
Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de elementos finitos con nodos
asociados y elección del tipo más adecuado de elemento de modelo más estrechamente el
comportamiento físico real
Los elementos deben ser lo suficientemente pequeño para dar resultados utilizables y todavía lo
suficientemente grande como para reducir esfuerzo computacional
La elección de los elementos que se utilizan en un análisis de elementos finitos depende de la estructura
física del cuerpo en las actuales condiciones de carga y de que tan cerca de el comportamiento real
del analista quiere los resultados a ser
Los elementos que se emplean de forma habitual en la práctica
de la mayoría de los cuales son considerados son
Elemento simple de línea con dos nodos (normalmente utilizado para representar una barra o elemento de la viga) y el elemento de línea de orden
superior
Elementos simples bidimensionales con nodos de esquina (normalmente se utiliza para representar tensión plana / tensión) y
de orden superior de dos dimensiones elementos con nodos intermedios a lo largo
de los lados
Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para representar el
estado de tensión tridimensional) y elementos tridimensionales de orden
superior con nodos intermedios a lo largo de los bordes
Simples axisimétrica triangulares y cuadriláteros elementos utilizados para
problemas axisimétricos.
Elegir una función de desplazamiento
Paso 2
Elegir una función de desplazamiento dentro de cada elemento. La función se define dentro del elemento
utilizando los valores nodales del elemento
Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, las series trigonométricas también se puede
utilizar
Las funciones se expresan en términos de las incógnitas nodales (en el problema de dos dimensiones, en tema
de una componente x y para y). La misma función general de desplazamiento puede ser utilizado
repetidamente para cada elemento
Paso 3
Tensión / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones son necesarias para derivar las ecuaciones para
cada elemento finito
Además, las tensiones deben estar relacionadas con las tensiones a través de la tensión / deformación de la ley generalmente se llama
la ley constitutiva.
La capacidad de definir el material comportamiento con precisión es más importante para obtener resultados aceptables. El más simple de tensión / deformación de las leyes, la ley de Hooke, que se utiliza a menudo en el
análisis de tensión, está dada por
Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformación
Paso 4
Deducir la Matriz de rigidez del elemento y ecuaciones
Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y
ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de
influencia de rigidez, lo que presupone un trasfondo de análisis
estructural. Ahora presentamos otros métodos utilizados en este
texto que no requieren de este fondo especial.
Según este método, la matriz de rigidez y las ecuaciones del
elemento nodal están relacionados las fuerzas a los
desplazamientos nodales se obtienen utilizando la fuerza las
condiciones de equilibrio para un elemento básico, junto con el
uso de la fuerza/deformación relaciones.
Método Directo Equilibrio
Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para
elementos de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de
aplicar un método de trabajo o energía. El principio de trabajo
virtual (mediante desplazamientos virtuales), el principio de
mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son
métodos utilizados frecuentemente para el propósito de
derivación de las ecuaciones de los elementos.
.
Métodos de trabajo o energía
El principio del trabajo virtual se aplica a cualquier
comportamiento del material, mientras que el principio de mínima
energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables
únicamente a los materiales elásticos
Con el propósito de extender el método de elementos finitos fuera
del campo de esfuerzos análisis estructural, un functional 1 (una
función de otra función o una función que toma funciones como
su argumento) análoga a la que se utilizará con el principio de
energía potencial mínima es muy útil en la deducción de la matriz
de rigidez del elemento y las ecuaciones.
Métodos de trabajo o energía
Por ejemplo, dejando que . denotan el funcional y f (x, y)
denotan una función f de dos variables x e y, entonces tenemos
= (f (x, y))
Los métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo
de la ecuación elemento; particularmente popular es el método
de Galerkin. Estos métodos producen los mismos resultados que los
métodos de energía siempre que los métodos de energía
aplicables.
Métodos de residuos ponderados
Son especialmente útiles cuando un tal funcional como energía
potencial no es fácilmente disponible. Los métodos residuales
ponderados permitir que el método de elementos finitos para ser
aplicado directamente a cualquier ecuación diferencial
Mediante el uso de cualquiera de los métodos descritos se
producen las ecuaciones que describen el comportamiento de un
elemento. Estas ecuaciones son convenientemente escrita en
forma de matriz como
Métodos de residuos ponderados
Paso 5
Ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales
o total e introducir condiciones de contorno
En este paso los elementos ecuaciones individuales de equilibrio
nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las ecuaciones de
equilibrio globales nodales
Otro método más directo de superposición (llamado el método de la
rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio de fuerzas, se puede
utilizar para obtener las ecuaciones globales para toda la estructura
Resuelve para los Grados desconocidos de la Libertad (o
desplazamientos generalizados)
La ecuación (1.4.6) modificada para tener en cuenta las condiciones de contorno:
Paso 6
Donde n = número total de grados de libertad nodales desconocidos de unaestructura.
Estas ecuaciones se pueden resolver para los ds mediante el uso dos
ds = son las incógnitas primarias, ya que son las primeras cantidadesdeterminadas utilizando la rigidez (o desplazamiento) del método de elementosfinitos.
Método de eliminación
Método de Gauss
Método iterativo
Método de Gauss-Seidel
Paso 7
Resolver para elementos de tensión y esfuerzos
Para el problema del análisis estructural de tensión, con importantescantidades secundarias de tensión y el esfuerzos se puede obtenerdebido a:
Entre el esfuerzo y latensión, tales como lasecuaciones. (1.4.1) y (1.4.1)puede ser utilizado paratensión unidimensional dadaen el paso 3.
Puede ser expresadodirectamente en términos de losdesplazamientos determinados enel paso 6.
Relaciones típicas entre la tensión y el desplazamiento
Paso 8
Interpretar los resultados
OBJETIVO FINAL
Interpretar y analizar los
resultados para su uso en el proceso
de diseño / análisis
Determinación de la ubicación en la
estructura donde se producen grandes deformaciones y
tensiones es generalmente
importante en la toma de decisión del diseño /
análisis
Programas informáticos pos-procesador ayudan
al usuario a interpretar los
resultados mediante su colocación en forma gráfica
1.5 Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos
El método de elementos finitos puede ser utilizado para analizar tanto losproblemas estructurales y no estructurales:
Análisis de esfuerzos, incluyendo entramado y análisis de marco, yproblemas de concentración de esfuerzos típicamente asociados conagujeros, redondeos, u otros cambios en la geometría de un cuerpo.
Pandeo
Análisis de vibración
PROBLEMAS ESTRUCTURALES
Transferencia de calor
Fluido, incluyendo la filtración a través de medios porosos
Distribución de potencial eléctrico o magnético
PROBLEMAS NO ESTRUCTURALES
PROBLEMAS DE INGENIERÍA BIOMECÁNICA
Incluyen típicamente el análisis de la columna vertebralhumana, cráneo, articulaciones de la cadera, la mandíbula / goma de implantesde dientes, el corazón y los ojos.
APLICACIÓN 1
Debido a las condiciones de carga a las que se sometela estructura de la torre, se ha utilizado un modelotridimensional.El método de los elementos finitos utilizado para estaestructura permite que diseñador/analistarápidamente obtenga desplazamientos y tensiones en latorre para los casos típicos de carga, como esrequerido por los códigos de diseño.
Discretización de una torre de control delferrocarril (con 28 nodos , 48 elementosde viga) con 6 grados de libertad típicosmostrados en el nodo).
El propósito de este análisis fue para localizar áreas dealta concentración de tensiones en el extremo delvástago.
APLICACIÓN 2
Muestra el modelodiscretizado para ladeterminación de losdesplazamientos y lastensiones en una alcantarillasubterránea sometida a unacarga de tierra de choque deuna explosión de una bomba(incluye un total de 369nodos, 40 barrasunidimensional o elementosbarra utilizados para modelarel refuerzo de acero en laalcantarilla, y 333deformación planabidimensional elementostriangulares y rectangularutilizados para modelar elsuelo circundante yalcantarilla de hormigón.
APLICACIÓN 3
Muestra a una estructura en dos dimensiones de análisis de un extremo dela varilla del cilindro hidráulico (120 nodos, 297 planos de tensión elementostriangulares). La ssimetría se aplicó también al extremo de la barra demodo que sólo la mitad de la del extremo de la barra tenía que seranalizados.
APLICACIÓN 4
APLICACIÓN 4
Muestra una sección de chimenea que es de cuatro alturas forman alto (oun total de 32 pies de altura). En esta ilustración, los 584 elementos deviga se utiliza para modelar los refuerzos verticales y horizontales queforman el encofrado, y 252 elementos de placa plana se utiliza paramodelar el interior de madera y la placa de hormigón.
Debido al patrón de carga irregular sobre la estructura, un modelotridimensional era necesario.Los desplazamientos y las tensiones en el hormigón eran la principalpreocupación en este problema.
APLICACIÓN 5
Modelo de una matriz de acero de alta
resistencia (240 elementos
axisimétricas) que se utiliza la industria de película de plástico
La geometría irregular y asociados con concentraciones de tensión potencialnecesarias utilizan el método de elementos finitos para obtener una soluciónrazonable. Aquí se utilizaron 240 elementos axisimétricos de modelotridimensional.
APLICACIÓN 6
Ilustra el uso de un elementosólido de un columpio paramodelar y balancear elreparto de un marco deretroexcavadoratridimensional. Suselementos son hexaédricos
APLICACIÓN 7
Tierra
Tubería
Ilustra un Método deelementos finitos para unadistribución bidimensionalde temperatura en la tierraes decir la transferencia decalor, usado para determinarla distribución de latemperatura en la tierrasometida a una fuente detemperatura de calor a unatubería enterrada detransporte de un gascaliente.
APLICACIÓN 8
Muestra un modelotridimensional deelementos finitos de unhueso de la pelvis con unimplante, que se utilizapara estudiar las tensionesen el hueso y la capa decemento entre el hueso y elimplante. (más de 5000elementos solidos seutilizaron en el modelo)
APLICACIÓN 9
Modelo de elementos finitos de un cubo 710G con 169.595 elementos y 185.026nodos empleados (78.566 elementos cuadriláteros lineales incluyendo de la cáscarafina para el cubo y el acoplador, 83.104 elementos lineares sólidos del ladrillo paramodelar los patrones y 212 elementos de la viga para modelar los cilindros delbrazo de la elevación, y la guía de enlace
1.6 Ventajas del método de elementos finitos
1. Modelar una forma irregular con bastante facilidad.
8. Maneja el comportamiento no lineal existente con grandes deformaciones ymateriales no lineales
2. Manejar las condiciones generales de carga sin dificultad
3. Modelo cuerpos compuestos por varios materiales diferentes porque loselementos iguales son evaluados individualmente
4. Maneje un número ilimitado y tipos de condiciones de contorno
5. Variar el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de elementospequeños donde sea necesario
6. Modifica los elementos finitos relativamente fácil y barato
7. Incluye efectos dinámicos
Algunas ventajas de los programas de uso general:
La entrada está bien organizado y se desarrolla con la facilidad de uso mental; Los usuarios no necesitan conocimientos especiales de software o hardware
Programas de neumáticos son sistemas de gran tamaño que a menudo puede resolver muchos tipos de problemas de tamaño grande o pequeño, con el
formato de la misma entrada
Muchos de los programas se puede ampliar mediante la incorporación de nuevos módulos para nuevos tipos de problemas o nuevas tecnologías.
mayor capacidad de almacenamiento y la eficiencia computacional de los ordenadores
Muchos de los programas disponibles en el mercado se han convertido en muy atractivo en precio y puede resolver una amplia gama de problemas
Algunas desventajas de los programas de uso general:
El costo inicial del desarrollo de programas de propósito general es alto.
Programas de propósito general son menos eficientes que los programas de propósito especial
Muchos de los programas son propietarios. Por lo tanto el usuario tiene poco acceso a la lógica del programa.
Algunas ventajas de los programas de propósito especial:
Son por lo general relativamente cortos, con bajos costes de desarrollo.
Los pequeños ordenadores son capaces de ejecutar los programas.
Las adiciones se pueden realizar con el programa de forma rápida y con un coste bajo.
Son eficientes en la solución de los problemas que estaban destinadas a resolver.
Principal desventajas de los programas de propósito
especial:
Es su incapacidad para resolverdiferentes clases de problemas.
Lista parcial de los programas existentes:
Algor [46]
Abaqus [47]
ANSYS [48]
COSMOS / M [49]
GT-STRUDL [50]
MARC [51]
MSC / NASTRAN [52]
NISA [53]
Pro / Mechanica [54]
SAP2000 [55]STARDYNE [56]
Capacidades estándar de muchos de los programas:
Elemento disponible tipos, tales como
vigas, tensión plana, sólida y tridimensional Tipo de análisis
disponibles, tales como estático y dinámico
Comportamiento del material, tales como linier-elástico y no
lineales
Tipos de carga, tales como concentrados, distribuidos, té
rmica, y el desplazamiento (liquidación)
La generación de datos, tales como la generación automática de nodos, elementos y sistemas de
seguridad.
Trazado, tales como la geometría original y deforme
y los contornos de temperatura.
Comportamiento de desplazamiento, tal como desplazamiento pequeño y
grande y pandeo
Salida selectivo, tal como en los nodos seleccionados, los
elementos, y los valores máximos o mínimos.