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7/26/2019 Electrodinmica de Materiales Con Valores Negativos de Permitividad y Permeabilidad. de Cherenkov a La Prediccin de Veselago

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Vu Pham

Electrodinmica de materiales convalores negativos

de permitividad y permeabilidadDe Cherenkov a la prediccin de Veselago

ANTONIO GANFORNINA ANDRADESFebrero

de 2015


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ndice

Electrodinmica de materiales con valores negativos de permitividad ypermeabilidad.

1. Objetivos

2. Efecto Vavilov-Cherenkov1. Introduccin

2. Causas

3. Frmula de Frank-Tamm

3. Prediccin de Veselago1. Ecuacin de dispersin2. Tratamiento formal

3. Valores posibles de y

4. Consecuencias

4. Enlaces de inters


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Objetivos

1. Introducir una descripcin cualitativa del efecto Vavilov-Cherenkov, presentar su contexto histrico, estudiar suscausasas como el espectro de radiacin asociado descrito por la frmula de Frank-Tamm.

2. En virtud de la ecuacin de dispersin discutiremos, en ausencia de prdidas, las posibles interpretacionesquepueden derivarse del ndice de refraccincuando y sonnegativas.A partir de aqu nos ceiremos al artculopublicado en 1968 por Victor Veselago en el que estudia la electrodinmica en medios materiales con y ,ambas, negativas.

3. Finalmente, se har una referencia a un artculo del ao 2009, que har de cierre entre la prediccin de Veselago yla verificacin experimental de una consecuencia de sta, la radiacin de Cherenkov inversa en materiales

zurdos.



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Efecto Vavilov-Cherenkov: Introduccin

1. Las partculas cargadas pueden dar lugar a ondaselectromagnticas, del tipo de ondas de choque, mientras se

desplazan a gran velocidad por un medio material. Esteresultado como veremos, no es para nada trivial.

2. Esto solo tiene lugar si la velocidad de fase de la partcula esmayor que la velocidad de la luz en ese medio . Esto es elequivalente electromagntico del estampido snico que seproduce al rebasar la velocidad del sonido.

En 1934, Sergei Vavilov yPvel Cherenkov, su estudiante de Doctorado,descubrieron experimentalmente y describieron la radiacin que lleva el

nombre de ste ltimo.

Tres aos mas tarde, Ilya Frank e Igor Tamm, profundizaron en ladescripcin terica del fenmeno y desarrollaron la denominada frmula deFrank-Tamm que describe el espectro de radiacin de Cherenkov.

Esto fue mas que suficiente para que, en 1958, Frank, Tamm y Cherenkovrecibieran el premio Nobel en Fsica por el descubrimiento einterpretacin de la radiacin de Cherenkov

Sergei Vavilov Pvel Cherenkov



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Efecto Vavilov-Cherenkov: Causas


La radiacin Cherenkov slo se produce si la partcula que atraviesa el medio est cargada elctricamente. Paraque se produzca radiacin Cherenkov el medio debe ser un dielctrico. Es decir; debe estar formado por tomos omolculas capaces de verse afectados por un campo elctrico.

Si la partcula cargada se mueve a travs de un medio de ndice n (inicialmente constante), ste es polarizadopor el campo electromagntico de la partcula. Por lo general, esta polarizacin es de carcter destructivo y laperturbacin decae mientras la partcula se mueve.

Pero si la velocidad de la partcula , , es mayor que la velocidad de fase de la luz en el medio (1/n), laperturbacin no decae debido a que el tiempo de reaccin del medio no es lo suficientemente alto y la

perturbacin permanece detrs de la partcula.

1

1

n

n

Izquierda. No hay frente de ondas.

Derecha. Hay un frente de ondas.

n

c

1

cos


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Efecto Vavilov-Cherenkov: Frmula de Frank-Tamm


La frmula de Frank-Tamm nos indica la cantidad de radiacin de Cherenkovemitida en una frecuenciadada por una partcula cargada que se mueve a travsde un medio, como hemos visto dielctrico, con velocidad de fase superior a lade la luz en dicho medio.

Los electrones que interactan con la partcula pueden llegar a emitir fotonescoherentes conservando la energa y el momento. Este proceso puede versecomo un decaimiento. A continuacin se indican los pasos seguidos por IlyaFranke Igor Tamm para obtener la frmula que lleva sus nombres:

1. Nos vamos al espacio de Fourier

2. Obtenemos la polarizacin

3. Reescribimos las ecs. de Maxwell

HEA

,,,

EnP

12

it

jAn

AiAn

iE

AH

niA

4

0

22

2

2

4. Definimos la corriente creada por la partcula

5. Resolvemos usando las funciones de Bessel

6. Calculamos dE/dxusando el vector de Poynting

7. Incluimos el trmino /4

zi

z euA

zA

zi

z

z

eq

zj

tzyxqtzyxj

24,,,

,,,

qus

22

2 1

dn

qdtHEdx

dE

22

2 114

12

dxdn

qdE

22

2 11

4

Ilya Frank Igor Tamm


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Efecto Vavilov-Cherenkov: Frmula de Frank-Tamm

122

0

2 11

4

nd

n

q

dx

dE

Cherenkov

Resultados:

1. No hay radiacin de Cherenkov para

2. El ngulo de Cherenkov depende de la frecuencia, tendremos un cono de luz para cada una

3. Si asumimos un ndice de refraccin constante

4. Exigimos la existencia una frecuencia mxima para cualquier dado.

5. Podemos encontrar tales frecuencias mximas con n


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Prediccin de Veselago: Ecuacin de dispersin


022

2

jiijijil kkkc

2

2

22 n

ck

2n

Ausentando las prdidas en nuestro tratamiento formal, un cambio simultneo de signo no afecta a esta relacin.

Posibles interpretaciones:

1. Las propiedades no se ven afectadas por un cambio de signo.

2. y , ambas negativas, contradicen las leyes fundamentales de la naturaleza y por tantono puede existir un materialcon dichas condiciones.

3. Los materiales con y , ambas negativas, tienen propiedades diferentes de los que tienen y , ambas positivas.

Ecuacin de dispersin. Establece una conexinentre la frecuencia de una onda monocromtica y

su vector de onda k

Para el caso de una sustancia isotrpica.

Debe hacerse nfasis en que en 1968 no se haban realizado experimentos en los cules un material con


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Prediccin de Veselago: Tratamiento formal (I)

Para una onda plana monocromtica

0,0

0,0,

siinversoTriedo

sidirectoTriedokyHE

Si introducimos una notacin matricial empleando los cosenos directores para ; y denotamos a cada unocomo (respectivamente), entonces una onda propagada en un medio dado vendr dada por la matriz:

kyHE

,

iii y ,

321

321

321

G


0,0

0,0

,

,

4

si

si

opuestosentidokS

sentidomismokSHE

cS

tkzie

E

c

Hk

Hc

Ek

t

D

cHHB

tB

cEED

1

1

Para obtener las leyes electromagnticas relacionadas con el signo de y , recurrimos a las ecuaciones deMaxwelly las ecuaciones Constitutivas:

Como el vector k, indica la direcciny sentido de la velocidad de fase, los materiales zurdos tienen velocidad degrupo negativa. Esto tiene lugar en sustancias anistropas o cuando tenemos dispersin espacial.

Si estudiamos la expresin dada por el vector de Poynting:

Zurdop

DiestroppAG ikik

1

1


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Prediccin de Veselago: Tratamiento formal (II)


Refraccinde un rayo en la interfazentre dos medios de distinta rigidez

22112211

2121

nnnn

tttt

HHEE

HHEE

11

22

1

22,1

11

222,1

p

pn

sen

senn

sen

sen

La componente x e y de E y H del rayo

refractado no cambian su direccin.

El rayo reflejado no cambia su direccin.

El sentido de la componente z depende

de los ndices de refraccin.

Cambio de magnitud en E y H

Reflexin relativa a la interfaz

Lo mismo ocurre con k

Reescribimos la Ley de Snell para incluir este resultado:

Las relaciones de Fresnel se emplean para obtener la amplitud de los rayos reflejados yrefractados, por lo que a propsito de evitar errores, es recomendable usar valores absolutos enlas cantidades que aparecen en dichas expresiones; esto es, para

A continuacin veremos un caso particular y simple que resume todo lo comentado, as como lasconsecuencias y un argumento de carcter cuntico de stas. En un apartado posterior seobtendr por argumentos clsicos con motivo de respetar la exposicin de las ideas del artculooriginal.

,,,, n


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Prediccin de Veselago: Tratamiento formal (III)

1212

11 00


1n 1n1n

Lente convexa de material zurdoEl rayo de luz diverge

Lente cncava de material zurdoEl rayo de luz converge

Reflexin de un rayo que se propaga

en un medio con hacia un

reflector ideal. La fuente de radiacin

viene representada con un punto

negro.

00

Una onda monocromtica en un medio zurdo puede verse como unflujo de fotones, cada uno de ellos con momento p=hk, con kdirigido

hacia la fuente de radiacin (al contrario de lo que ocurre en losmateriales diestros).

Un pulso de luz que se propaga en un medio zurdo e incide en un

cuerpo reflector le imparte un momento p=2Nhk dirigido hacia lafuente de radiacin. Debido a esto, la presin de radiacin propia delos medios diestros es sustituida por tensin de radiacin en medioszurdos.


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Prediccin de Veselago: Valores posibles de y (I)

I cuadrante: Dielctricos isotrpicos

II Cuadrante: Plasmas (gaseosos, estado slido)

22

01

mNe /4 220

Ionosfera 02 n

III y IV Cuadrante: Sustancias con anisotropa.

y son tensores y no podemos, por lo general, usar el diagrama anterior. Noobstante, en algunas sustancias si que es posible para ciertas ondas que sepropagan en direcciones particulares. Las sustancias girotrpicas son deespecial inters :


3

12

21

00

0

0

i

i

ik

3

12

21

00

0

0

i

i

ik

Consideremos una onda polarizada circularmente tkzie

Plasma en un campo magntico Sustancia de varios materiales magnticos

)( 212 n )( 21

2 n

0

00;

2

112

2

112

n

n

0

00;

2

112

2

112

n

n

I Cuadrante

II Cuadrante

I Cuadrante

IV Cuadrante


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Prediccin de Veselago: Valores posibles de y (II)

Metales y semiconductores ferromagnticos puros 21212 )( n

En dichas sustancias, tanto y son tensores. Es fcil comprobar en este caso que siendo tanto


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Prediccin de Veselago: Consecuencias (I)


En virtud de todo lo anterior, las consecuencias de que la velocidad de fase tenga sentido opuesto al flujo de laenergason las siguientes:

Tendremos un efecto Doppler inverso:

Supongamos un detector de radiacin que est en un medio zurdo que se desplaza con respecto a una fuenteque emitea una frecuencia . En su movimiento, el detector seguir puntos de la onda que se correspondan a una cierta fase . Lafrecuencia recibida ser menor que la emitida. Podemos reescribir el efecto Doppler como sigue:

u

vp1

0

Efecto Doppler en un material diestro

Efecto Doppler en un material zurdo


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Prediccin de Veselago: Consecuencias (II)

El efecto Vavilov-Cherenkov tambin ser inverso:

Si una partcula se desplaza en un medio con una velocidad v en lnea recta,

emitir de acuerdo a:

El vector de onda asociado a la radiacin vendr dado por :

Y ser en general la direccin de la velocidad v. La cantidad ser diferente

en cada medio de acuerdo con la expresin:

Para los medios zurdos el vector estar dirigido hacia la trayectoria de la

partcula y el cono de radiacin estar orientado hacia atrs en relacin al

movimiento de sta. La expresin para el ngulo de Cherenkov debe serreescrita como:

22

2

cosnv

cp

trkzki rze

rk

22

zr kkpk

cos/zkk

rk


Efecto Vavilov-Cherenkov en unmaterial diestro

Efecto Vavilov-Cherenkov en unmaterial zurdo


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Enlaces de inters

Julius Eckhard. Seminar Elektrodynamik: Cherenkov Radiation. Heidelberg Universitt, 2014:

http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/eds14_3s.pdf

Viktor G Veselago.The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of and 1968 Sov. Phys.http://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdf

Experimental Verification of Reversed Cherenkov Radiation in Left-Handed Metamaterials, 2009:

https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801

Reconocimiento NoComercial (by-nc):Se permite la generacin de obras derivadas siempre que no se haga unuso comercial. Tampoco se puede utilizar la obra original con finalidades comerciales.

Electrodinmica de materiales con valores negativos de permitividad ypermeabilidad
http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/eds14_3s.pdfhttp://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttps://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801https://physics.aps.org/featured-article-pdf/10.1103/PhysRevLett.103.194801http://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttp://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttp://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttp://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttp://iopscience.iop.org/0038-5670/10/4/R04/pdf/0038-5670_10_4_R04.pdfhttp://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/eds14_3s.pdfhttp://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/eds14_3s.pdfhttp://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/eds14_3s.pdf

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