electro
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prueba electromagnetismoTRANSCRIPT
ELECTROSTÁTICA Introducción. Definición.- La Electrostática es la parte del Electromagnetismo, que describe, analiza y
cuantifica los fenómenos físicos relacionados con las micropartículas electrones y protones
en reposo.
A través del tiempo se ha encontrado que “todos” los materiales tienen este tipo de
micropartículas; experimentalmente se observa que un material (objeto de plástico) al ser
frotado (tallado ver figura siguiente) con algún lienzo, en dicho material se genera una
propiedad física que inicialmente no tenía.
La barra de plástico después de ser frotada
se acerca a un pequeño pedazo de papel (5
mm2) y la barra lo atrae cosa que
inicialmente no la hacía.
El mismo experimento se repite con una
barra de vidrio y se frota con un paño de
algodón con poliéster y adquiere una
propiedad física
Como un tercer experimento se colocan
ambas barras de plástico y vidrio en
péndulos electrostáticos cerca una de la otra
y se observa una atracción entre ambas
barras; como conclusión de esta observación
en cada barra se generó una propiedad física
que generó una fuerza de atracción mutua.
Como un cuarto experimento, se frotan dos barras del mismo material y con el mismo lienzo
y con ellas se hace el tercer experimento y se observa una fuerza de repulsión entre las barras
participantes.
Una conclusión de estas observaciones es que en cada barra se generó una propiedad física
diferente; aclarando que macroscópicamente no se observa nada en los materiales
participantes ( disminución o aumento de tamaño); sin embargo microscópicamente existe
una pérdida o una ganancia de micropartículas, que por definición se les llamó electrones que
son parte de los átomos que todos los materiales tienen, de tal forma que cuando una barra de
plástico es frotada pierde electrones y queda con exceso de otras micropartículas llamadas
protones.
En el caso de los cristales estos quedan con exceso de electrones generándose dos barras con
ganancia o pérdida de electrones, que por definición se concluyó que los materiales con
exceso de protones se dice que están cargados positivamente (+) y los objetos con exceso de
electrones se dice que están cargados negativamente (-).
Se ha encontrado que la masa de un electrón es 9.11x10-31
kg y la de un protón es de
1.6x10-27
kg ; con estas masas es saludable cuestionar el tamaño de dichas micropartículas;
asimismo las unidades de carga se han definido como Coulombs; tales que para un protón se
le asigno 1.6x10-19
C y para el caso de un electrón una carga negativa de -1.6x10-19
C.
Por el tamaño de estas micropartículas algún objeto con electrones o protones se considera
como una carga puntual; tales que de acuerdo a las observaciones experimentales se
concluye:
a) Cargas puntuales del mismo signo repelen
b) Cargas de signo contrario se atraen.
Ley de Coulomb
Suponga que en el espacio de tres dimensiones se tienen dos
cargas puntuales y se observan desde un sistema de referencia
como se muestra en la figura LC-1 (figura adjunta ); aclarando
que q1 representa a la carga puntual número uno, q2 a la carga
puntual número dos o es un sistema de referencia inercial, 1rr
el
vector de posición que da la posición de la carga puntual uno, 2rr
vector que indica la posición de la carga puntual dos, F12 la
fuerza que ejerce la carga puntual uno sobre la carga puntual
dos; considerando que las dos cargas puntuales son del mismo
signo y que el observador mira la carga puntual q2
Como todas las cantidades vectoriales tienen magnitud y
dirección y si además F12 es la magnitud de F12 y u indica la dirección de dicha fuerza,
entonces:
F12= F12 u LC-1
Recuerde que el vector unitario u se encuentra con los vectores de posición: 1rr
y 2rr
; tales
que:
2 1
2 1
ˆr r
ur r
r r
r r LC-2
Cálculo de F12
Experimentalmente se observa que sí alguna de las dos cargas puntuales no está presente, la
otra carga puntual no experimenta fuerza alguna, además cuando se aumenta la carga en
cualquiera de ellas aumenta la magnitud de la fuerza; por lo que:
1.- F12 es directamente proporcional al producto de las cargas q1 y q2
2.- Sí se aumenta la distancia 2 1r rr r
que las separa, disminuye la magnitud de la fuerza F12 .
3.- Se encuentra experimentalmente que el comportamiento gráfico de F12 con la distancia
que las separa es como se muestra el la figura LC-2.
•
0
° q1
q2
F12
1rr
2rr
o
F12
r
Fig. LC-2
Matemáticamente la función que mejor se adapta a la grafica aquí mostrada es que:
F12 es inversamente proporcional a
2 1
o
n
K
r rr r con n un número real; con estas conclusiones
experimentales se concluye que la magnitud de la fuerza F12 es:
F12 = K 21
2 1
n
q q
r rr r LC-3
Aclarando que K es una constante de proporcionalidad y se encuentra experimentalmente
que K =0
1
4 y
08.85x10
-12C
2/(N-m
2); asimismo se encuentra que n≈2.
K = 8.99x109
2
2
N m
C
Haciendo las sustituciones correspondientes en LC – 1 se obtiene:
F12 = K 21
2 1
n
q q
r rr r
2 1
2 1
( )r r
r r
r r
r r = 1 2 2 1
3
0 2 1
( )
4
q q r r
r r
r r
r r LC-4
Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce como Ley de Coulomb para dos
Cargas puntuales; remarcando que la magnitud de dicha fuerza se determina con la igualdad
LC-3 pero con n=2.
CASO DE TRES CARGAS PUNTUALES.
Suponga que en algún lugar del espacio se tienen
tres cargas puntuales como se muestra en la figura
adjunta.
Remarcando que la carga puntual observada es la
q3, en estas condiciones las cargas puntuales q1 y q2
generan las fuerzas coulombianas: F13 y F23 ;
quedando la fuerza resultante como:
F3 = F13 + F23 LC-5
Aplicando el resultad de LC-4 en LC -5 se tiene:
F3 = K 1 3 3 1
3
3 1
( )q q r r
r r
r r
r r + K 2 3 3 2
3
3 2
( )q q r r
r r
r r
r r LC-6
Note que en esta igualdad así formulada, como la constante K y la carga q3 aparecen en
ambos términos; de tal forma que la expresión inmediata anterior se puede representar como:
F3 = Kq3(q13 1
3
3 1
( )r r
r r
r r
r r + q23 2
3
3 2
( )r r
r r
r r
r r ) LC-7
Observe que la carga puntual en la que se determina la fuerza generada por las otras cargas
puntuales es un factor común así como la constante K y los términos restantes solamente
cambian en el segundo subíndice de acuerdo a la carga puntual participante; por lo que este
resultado se puede representar para el caso de N cargas puntuales como:
q1
q2
q3
0
Fi = Kqi 31
( )Nj i j
ji j
q r r
r r
r r
r r , ( con j≠i) LC-8
Comentario a esta igualdad así formulada se le conoce con el nombre de Ley de Coulomb
para N cargas puntuales.
Cabe aclarar que i =1,2,3,…,N. Esto indica que la fuerza se puede determinar en cualesquiera
de las N cargas puntuales.
Ejemplo 1.- Se colocan cuatro cargas puntuales en los vértices de un cuadrado de lado
0.1m; tales que: q1 = 3μC, q2 = -4μC, q3 = 3μC y q4 = 4μC. Determinar la fuerza
Coulombiana sobre la carga puntual de -4μC y posteriormente determinar la magnitud de
dicha fuerza. ( la colocación de las cargas es libertad del estudiante )
RESPUESTA: Considere la figura adjunta tales que “a” representa el lado del cuadrado, o
sea que a=0.1m. Note que la carga puntual en la que se
determina la fuerza es q2 y que tiene por coordenadas (a,a) y
su vector de posición s 2rr
= a i +a j ; tomando en
consideración la figura y como q1 está el origen del sistema
de coordenadas entonces 1rr
=0 i +0 j , de forma semejante:
3ˆ ˆ0r ai j
r &
4ˆ ˆ0r i aj
r
Aplicando LC-8 se tiene: con N=4.
F2 = Kq2
42
31
2
( )j j
jj
q r r
r r
r r
r r , con j≠2 ; desarrollando esta
sumatoria se tiene:
F2 = Kq23 2 31 2 1 4 2 4
3 3 3
2 1 2 3 2 4
( )( ) ( )q r rq r r q r r
r r r r r r
r rr r r r
r r r r r r (1)
Pero:
2 1r rr r
= a i +a j -0 ˆ ˆ0i j = a ˆ ˆi aj 2 2
2 1 2r r a a ar r
2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0r r ai aj ai j i aj
r r
2 2
2 3 0r r a ar r
2 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0r r ai aj oi aj ai j
r r 2 4r r a
r r
Sustituyendo estas expresiones en la igualdad (1) se tiene:
F2=Kq231 4
3 3/ 2 3 3
ˆˆ ˆ ˆ( )( ) ( )
(2)
q ajq ai aj q ai
a a a=Kq2
3143 3/ 2
ˆˆ ˆ( ) ˆ(2)
q jq i jaq i
a=
2 1 14 32 3/ 2 3/ 2
ˆ ˆ( ) ( )2 2
Kq q qq i q j
a (2)
El resultado final se tiene haciendo las sustituciones correspondientes; quedando:
o
q2
q1 q3
q4
2rr
y
x
F2 =9 6 6 6
6 6
2 3/ 2 3/ 2
8.9 10 ( 4 10 ) 3 10 3 10ˆ ˆ( 4 10 ) ( 3 10 )(.1) 2 2
x x x xx i x j =-18.02 ˆ ˆ14.45i j .
Note que la magnitud de dicha fuerza es solamente la magnitud de F2; quedando:
F2 = 2 2( 18.02) (14.45) N =24.36N.
No siempre los problemas electrostáticos son con cantidades vectoriales, analizar el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.-Dos esferas idénticas que tienen cargas de signo opuesto, se atraen entre sí
con una fuerza de magnitud 0.108N cuando su separación es de 50.0cm. Las esferas se
conectan súbitamente con un alambre conductor delgado que luego se retira; suponga que en
este proceso se conserva la carga total en las esferas; considerando que la magnitud de la
fuerza de repulsión es de 0.036N. Hallar las cargas iniciales de las esferas.
RESPUESTA:
Por hipótesis la fuerza en las cargas es de atracción entonces las cargas son de signo
contrario; obteniéndose por la ley de Coulomb:
q q
ro
1 2
24 = 0.108 q1q2 = 4 or
2(0.108); que sustituyendo los datos correspondientes se
tiene:
q1q2 = (1.201x10-11
)(.5)2 = 3.0027x10
-12 C
2 (1)
Después del proceso indicado en el problema como las esferas son idénticas y la fuerza es de
repulsión, entonces la carga final en cada esfera es la misma y como la distancia se mantiene
constante, de tal forma que
q1f = q2f (q1f)2 =4 or
2(0.036) = 1.000911 C
2 q1f = C
=1.0004x10-6
C.
Cabe aclarar que esta es la carga final en cada una de las esferas; siendo la carga total final
igual 2(1.0004x10-6
)C =2. 0008x10-6
C y como las cargas iníciales son de diferente signo,
entonces una debe ser mayor que la otra; por lo que:
q1 - q2 = 2.0008x10-6
C q1 = 2.0008x10-6
C +q2 (2)
Note que las expresiones (1) & (2) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por lo que sustituyendo (2) en (1) se tiene
q2(2.0008x10-6
C +q2) = 3.007x10-12
C2, ecuación que se puede representar como:
(q2)2+2.0008x10
-6q2- 3.0027x10
-12 = 0 (3)
Resolviendo esta ecuación cuadrática se tiene
q2 = 1.0009x10-6
C y de la ecuación (2) se tiene q1 = 3.0017x10-6
C
Ejemplo.3.- Dos pequeñas esferas idénticas de masa m y
carga q se cuelgan de hilos de nylon de masa despreciable y
longitud L , como se muestra en la figura adjunta; suponiendo
que el ángulo θ es tan pequeño tales que: Tanθ ≈Senθ y que el
sistema así formado está en equilibrio(reposo), demostrar que:
X = 2
1/3
0
( )2
q L
mg
RESPUESTA: Como el sistema así formado por las dos esferas
está en equilibrio, entonces en cada una de las esferas por la segunda ley de Newton la suma
de fuerzas externas es y colocando el sistema de referencia en la esfera derecha como se
muestra en la figura adjunta; con T la tención en la cuerda mg
la fuerza que genera el campo gravitacional terrestre y Fe la
fuerza electrostática producida por la carga q de cada esfera;
quedando:
T + mg + Fe = 0 (1)
De la figura y del álgebra de los vectores se tiene:
T = -(TSenθ) i +(TCosθ) j ; mg = -mg j & Fe = Fe i = 2
2
0
ˆ4
qi
x; remarcando que x es la distancia que separa las cargas, haciendo las sustituciones
correspondientes en (1) se tiene:
-(TSenθ) i +(TCosθ) j -mg j +2
2
0
ˆ4
qi
x = 0 ˆ ˆ0i j (2)
Aplicando la propiedad asociativa del álgebra de los vectores se tiene: 2
2
0
ˆ4
qTsen i
x+ ˆTCos mg j = 0 ˆ ˆ0i j , que aplicando la definición de igualdad de
vectores queda:
TSenθ = 2
2
04
q
x & TCosθ = mg T =
mg
Cos, quedando:
mgSenmgTan
Cos =
2
2
04
q
x (3)
Por hipótesis el ángulo θ es muy pequeño entonces Tanθ ≈ Senθ = / 2
2
x x
L L, que
sustituyendo en (3) se tiene:
2
mgx
L =
2
2
04
q
x; despejando a x de esta igualdad se obtiene:
X =
1/32
02
Lq
mg
• • q , m
L
θ θ
x
x •
T
Fe
mg
y
θ
Ejemplo.4.-Dos cargas positivas con carga Q cada una, se mantienen fijas con “d” la
distancia que las separa. Una tercera carga -q y masa m se sitúa en el centro entre ellas y
luego tras un pequeño desplazamiento perpendicular a la línea que las une se deja en libertad.
Demuestre que la partícula de carga -q describe un movimiento armónico simple con periodo
om d
3 31 2/
RESPUESTA:
Las cargas puntuales pueden estar
colocadas como se muestra en la
figura adjunta y por las propias
características del problema la
magnitud de F1 es igual a la
magnitud de F2. Además note que la
suma de las componentes horizontales de la fuerza resultante se hace cero y que la magnitud
de la fuerza resultante es 2F1 Senθ. Por otro lado el desplazamiento de la carga negativa es
vertical por lo que de acuerdo a la segunda ley de Newton, la magnitud de la fuerza que actúa
sobre la carga negativa es: m2
2
dt
yd ; con m la masa de la carga (-q), por lo que:
m2
2
dt
yd = -2F1 Senθ (1)
De la ley de Coulomb se sabe que F1 = 2
4 r
o
con r la distancia que hay entre las cargas Q
& -q
En el caso del Senθ de la figura inmediata anterior se tiene Senθ = y/r, que sustituyendo en la
ecuación (1) se tiene:
m2
2
dt
yd = -2(
24 r
o
)r
y = -
32 r
Qqy
o
(2)
Por hipótesis del problema el desplazamiento vertical es muy pequeño, de tal forma que r
2
d, que sustituyendo en (2) se tiene:
m2
2
dt
yd = -
3)2
(2d
Qqy
o
= -3
4
d
Qqy
o
, ecuación que se puede indicar como:
2
2
dt
yd+ y
md
o
3
4 = 0 (3)
En esta ecuación así formulada el contenido de los paréntesis rectangulares es constante por
lo que se ω2 =
3
4
md
o
y como ω = 2πf = T
2; siendo T el periodo de oscilación de la
partícula considerada, de tal forma que:
Q Q
-q
d
F1 F2
T = 2/1
3
4
2
md
o
= 2πQq
mdo
4
3
mdo
33
Ejemplo.5.-Dos cargas puntuales positivas e iguales se mantienen separadas por una
distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba qp se localiza en un plano que es perpendicular
a la línea que une las cargas y que contiene al punto medio de la misma. Determine el radio r
de la circunferencia en el plano para lo cual la magnitud de la fuerza ejercida sobre la carga
de prueba es máxima.
RESPUESTA:
Suponga la figura adjunta:
Por comodidad de cálculo el sistema de referencia se
coloca en el centro de la circunferencia de radio r y
considerando que la carga q1 es la que está sobre el eje z
positivo y q2 la carga que está sobre el eje z negativo;
por lo que aplicando la ley de Coulomb para dos cargas
puntuales se tiene.
F(rp) = qp
o4 3
2
2
3
1
)1 )()(
rr
rrq
rr
rrq
p
p
p
p
(1)
Note que: rp = r er , r1 = a k & r2 = -a k ; así mismo es recomendable aclarar que qp representa
a la carga de prueba colocada sobre al circunferencia de radio r; luego con las anotaciones
indicadas y del álgebra de los vectores se obtiene:
rp-r1 = r er -a k 1rrp
= r a2 2
2/3223
1 )( arrrp (2)
rp-r2 = r er + a k 2rrp
= r a2 2
3
2rrp = (r2+a
2)3/2
(3)
De estos cálculos así desarrollados observe que los denominadores en la ecuación (1) son
iguales, por lo que sustituyendo (2 ) & (3) en (1) y factorizando la carga q se obtiene:
F(rp) = qp
o4
q
r a( ) /2 2 3 2 ( r er -a k + r er + a k ) = qp
o4
q
r a( ) /2 2 3 2 2r er =
q qr
r a
p
o2 2 2 3 2( ) /
er (4)
Observe que la dirección de la fuerza resultante es en er ; quedando la magnitud de dicha
fuerza como:
F(r) = 2/322
0 )(2 ar
qrqp (5)
y
q
qp
er
q
r
z
x
0
Observe que este resultado es consistente físicamente, ya que cundo r es igual a cero la carga
de prueba está justamente a la mitad de la distancia entre las cargas y como la carga qp es
positiva. Además note que la función indicada en (5), solamente tiene un máximo por lo que
la primera derivada de dicha función valuada en ese punto debe ser cero; o sea que:
dr
rdF p )(: =
d
dt
qq r
r a
p
o
(( )
)/2 2 2 3 2 = 0 (6)
Desarrollando la derivación correspondiente se obtiene:
d
dt
qq r
r a
p
o
(( )
)/2 2 2 3 2 =qqp
o2
d
dt
r
r a(( )
)/2 2 3 2 =qqp
o2[
12 2 3 2( ) /r a
- 3 2
2 2 5 2
r
r a( ) / ]
De la expresión (6) esta derivada debe ser igual a cero, quedando:
r2+a
2-3r
2 = 0 r =
a
2
FUERZAS COULOMBIANAS PRODUCIDAS POR OBJETOS CARGADOS
En el mundo real lo que se tiene son objetos con carga Q que en su forma más sencilla es el
caso en que la carga Q está distribuida uniformemente y los objetos pueden presentarse como
distribuciones de carga por unidad de longitud, distribuciones de carga por unidad de área y
distribuciones de carga por unidad de volumen; como una ilustración de estos casos a
continuación se presenta el caso de una distribución volumétrica de carga; cuya densidad de
carga por unidad de volumen se define como:
dV
dQ
V
Q
V
límtr
0),( LC-9
Considere un objeto de volumen V y carga Q distribuida uniformemente como se muestra en
la figura adjunta, con las siguientes
aclaraciones, jrr
indica la j-ésima partición
del objeto aquí considerado, irr
indica la carga
puntual q en la que se calcula la fuerza
electrostática, 0 indica el sistema de
referencia inercial desde donde se hacen las
observaciones
Sí se considera que el objeto con carga Q
distribuida uniformemente está particionado
en N partes, entonces se tienen N elementos
de volumen; tales que en cada elemento de
volumen ∆jV existirá una cierta cantidad de
carga ∆jQ por lo que este caso se aproxima al caso de N cargas puntuales; quedando la fuerza
electrostática F como:
F( irr
) ≈ Kq3
1
( )Nj i j
ji j
Q r r
r r
r r
r r . En esta aproximación con ∆jQ = ρ( rr
,t)∆jV queda como:
F( irr
) ≈Kq3
1
( , )( )Nj i j j
ji j
r r r V
r r
r r r
r r ; Note que esta aproximación se convierte en una igualdad
cuando los elementos de volumen sean muy pequeños ya que de esta forma ∆jQ “ serán
cargas puntuales”;pero para que esto ocurra el número de particiones del objeto debe ser muy
grande; quedando:
F( irr
) = 3
1
( , )( )Nj i j j
ji j
r t r r VlímKq
N r r
r r r
r r = Kq3
( , )( )i
V i
r t r r dV
r r
r r r
r r LC-10.
Se hace la aclaración que la integración indicada es sobre todo el volumen del objeto; pero
como la carga está distribuida uniformemente entonces la densidad de carga es constante y la
igualdad inmediata anterior queda.
F = qKρ3
( )i
V i
r r dV
r r
r r
r r LC-11
En el caso de distribuciones de carga por unidad de área y considerando que la densidad: σ(
rr
,t) de carga por unidad de área se define como:
σ( rr
,t) = dQ
dA ; haciendo un proceso semejante
al de objetos volumétricos se encuentre que la fuerza electrostática que genera una
distribución de carga uniforme sobre una carga puntual es:
F = Kqσ3
( )i
A i
r r dA
r r
r r
r r LC-12.
Asimismo para distribuciones de carga por unidad de longitud se encuentra:
F = Kqλ3
( )i
L i
r r dL
r r
r r
r r LC-13.
Se hace la aclaración que en esta igualdad L representa la distribución de carga y (tamaño L),
λ indica la densidad de carga por unidad de longitud que es constante.
Ejemplo.6.-En algún lugar del espacio se encuentra una distribución uniforme de
carga en forma de circunferencia de radio R cuya densidad está representada por . Una
carga puntual q está sobre el eje de simetría en el punto de coordenadas (0,0,b), note que el
sistema de referencia está en el centro de curvatura de la distribución de carga. Hallar la
fuerza electrostática que genera la distribución uniforme de carga sobre la carga q;
considerando que la carga total de la distribución es Q.
RESPUESTA
Considere la figura adjunta con la nomenclatura; rp la posición de la carga q, r indica cualquier punto de la distribución de carga, dl la diferencial de arco en este caso la diferencial de arco de la circunferencia de radio R; por lo que dl=Rdθ Aplicando la ley de Coulomb para distribuciones continuas de carga se tiene:
F(rp) = o
q
4 3
)(
rr
dlrr
p
p =
o
q
4 3
)(
rr
dlrr
p
p (1)
En esta notación el símbolo que aparece al pie de la integral de línea indica que la integración es sobre toda la circunferencia de radio R, además:
rp = b k , r=R re ; con re un vector unitario en coordenadas polares normal exterior
en cada punto de la circunferencia; tales que re = (RCosθ) i +(RSenθ) j , quedando:
rp-r= b k -R re & 22 bRrrp 2/3223
)( bRrrp
Haciendo las sustituciones correspondientes en la expresión (1), con dl=Rdθ se tiene:
F(rp)=o
q
4
2
0
2/322 )(
)ˆ)(ˆ)(ˆ(
bR
jRSeniRCoskb Rdθ (2)
Cabe observar que la única variable en esta expresión es θ ya que R & b son constantes; así como los vectores unitarios ya que éstos están anclados al sistema de referencia; asimismo obsérvese que las componentes de la fuerza que están en un plano paralelo al plano xy se anulan por la simetría del problema, pues la distribución de carga es uniforme ; por lo que:
F(rp) = 2/322 )(4
ˆ
bR
kRbq
o
2
0
d = 2/322 )(4
ˆ
bR
kRbq
o
2π =2/322
)(2 bR
Rbq
o
k
Como un resultado equivalente utilizando la carga total Q de la distribución
aquí considerada ya que λ = Q/2πR, quedando la expresión inmediata anterior
como:
F(rp) = 2/322 )(2
2
bR
R
QRbq
o
k = 2/322 )(4 bR
bqQ
o
k
CAMPO ELECTROSTÁTICO (ELÉCTRICO) .
Este subtema de Electrostática es consecuencia de la observación que se hizo cuando se frotó
la barra de plástico al inicio del subtema de la Ley de Coulomb. La barra adquirió una
propiedad física que a su vez generó la fuerza electrostática; a esta propiedad física se le
llama campo Electrostático y se define como:
rp
(0,0,b)
r x
y
z
R
q
0
E(irr
) = i i
lím F
q o q
r
CE-1.
Cabe remarcar que por definición el Campo Eléctrico es una cantidad vectorial que tiene la
misma dirección de la fuerza coulombiana y que se evalúa en un punto del espacio indicado
por irr
.
En el caso de una carga puntual, sustituyendo la igualdad LC-1 la definición CE-1 se tiene:
E( irr
) =
3
0
3
( )
4 ( )lim
0
i j i j
i j i j
j
i i i j
q q r r
r r r rKq
q q r r
r r
r r r r
r r CE-2
En esta definición cabe resaltar que el campo electrostático
solamente depende de la carga qj que lo produce; aclarando que sí qj
es negativa, entonces las líneas del campo son como se muestra en
la figura adyacente; en caso que la carga sea positiva la dirección del
campo es hacia el punto P (punto de evaluación del campo).
En el caso de N cargas puntuales; aplicando la definición de campo electrostático así como la
igualdad LC-8; se obtiene:
E( irr
) =K 3
1
( )Nj i j
ji j
q r r
r r
r r
r r ; ( K = 0
1
4= 8.99x10
9(N-m
2/C
2) CE-3
Ejemplo 1.- Se tienen dos cargas puntuales de igual magnitud colocadas una en cada
vértice de un triángulo isósceles de base 0.25m y altura 0.5m; considerando que la carga
positiva está colocada en el origen del sistema de coordenadas. Hallar el campo electrostático
valuado en el vértice superior del triángulo; suponiendo que q1 = 3.8μC.
RESPUESTA:
De acuerdo al enunciado del problema suponga el diagrama siguiente:
Note que las coordenadas del punto P son .25
( ,.5)2
; por
lo que ˆ ˆ.125 .5ir i jr
; mientras que las coordenadas de la
posición de q2 son: (.25,0); de tal forma que:
2ˆ ˆ.25 0r i j
r y como q1 está en el origen, entonces 1 0r
rr
Con estas aclaraciones y aplicando CE-3 se tiene
E 1 2 2
3 3
2
( 0) ( )( )
0
i ii
ii
q r q r rr K
r rr
rr r rr
r r rr (1)
Con los datos de los vectores involucrados se obtiene:
ˆ ˆ0 .125 .5ir i jrr
q1( 0irrr
) =3.8x10-6
(.125 i +.5 j ) = (.475 i +1.9 j )x10-6
&3
ori =.131
P
qj
•
x • • q1
P
q2
y
o
2ir rr r
.125 i +.5 j -.25 i -0 j = -.125 ˆ ˆ.5i j q2(-.125 i +.5 j ) = -3.8x10-6
(-.125 i +.5 j )
=(.475 i -1.9 j )x10-6
& 3
2ir rr r
=.131.
Note: que la distancia de q1 al punto P y distancia de q2 al punto P son iguales; esto es
consistente ya que se trata de un triángulo isósceles.
Sustituyendo los cálculos realizados en la igualdad (1) se obtiene:
E ( irr
) =8.99x109[.475 i +1.9 j +.475 i -1.9 j ]
610
.131
x = 67.9x10
3[.958 i ] = (64.5x10
3) i
Observe que el campo no tiene componentes en la dirección de j . Se deja como un ejercicio
al lector hacer un diagrama de cada campo en el punto P y verifique el resultado obtenido.
Ejemplo.2.-La carátula de un reloj tiene cargas puntales negativas: -q,-2q,-3q,-4q-,…-
12q; colocadas en las posiciones de los números correspondientes. ¿A qué hora las
manecillas del reloj apuntan en la misma dirección del campo electrostático producido por
las cargas puntuales, valuado en el centro de la carátula?.
RESPUESTA: Suponga el diagrama siguiente:
En la
figura
solame
nte se
han
dibujad
o los
campos
resultan
tes por
cada
pareja de cargas puntuales valuados en el centro de la carátula del reloj y como una segunda
parte del problema se dibuja la resultante por cada tres campos representados por las flechas
sobrepuestas, finalmente se suman estos dos campos dando como resultante la flecha de
magnitud mayor y obsérvese que la dirección del campo electrostático resultante en el caso
de la carátula del reloj indica las 9:30hrs.
Ejemplo.3.-La figura adjunta muestra un dipolo
eléctrico; considerando que el campo eléctrico se evalúa en el
punto P colocado sobre el eje del dipolo a una distancia z:
demuestre que para z>>a se obtiene E 34 o
p
z con p=2qa.
-q -12q
-6q
-9q -3q
-2q
-4q
-5q
-11q
-10q
-8q
-7q
o
q
P
2a z
- q
RESPUESTA Con el propósito de facilitar el álgebra el
sistema de referencia se coloca en el centro del
dipolo de tal forma que el punto P quede sobre
el eje x, como se muestra en la figura adyacente,
quedando, rp = z i , r1 =a j , r2 =-a j y recuerde
que el campo electrostático es:
E(rp) = 3
1
1
4
)(
rr
rrq
po
p-q
3
2
2
4
)(
rr
rr
po
p (1)
Pero: rp- r1 = z i -a j ; quedando rp- r1 = (z2+a
2)1/2
& rp-r2 = z i +a j . Note que rp-r2
=(z2+a
2)1/2
, que sustituyendo en (1) se tiene:
E(rp) = 4 o
q2 2 3/ 2
ˆ ˆ
( )
zi aj
z a-
2 2 3/ 2
ˆ ˆ
( )
zi aj
z a = -
2 2 3/ 2
ˆ2
4 ( )o
aqj
a z (2)
Observe que: (z2+a
2)3/2
= z3(1+
2
2
a
z); pero cuando z>>a,
2
2
a
z0; quedando la expresión
inmediata anterior como:
E(rp) -3
ˆ2
4 o
aqj
z . Se notará que la magnitud del campo electrostático es:
E(rp) ≈ 3
04
2
z
aq=
3
04
p
z; recuerde que: 2aq j se le llama momento del dipolo eléctrico
Ejemplo.4.- Se proyecta un electrón con una
rapidez inicial v0 de 5.83x106m/s, formando un ángulo de
390 con la placa inferior horizontal como se muestra en la
figura adjunta; considerando que la magnitud del campo
electrostático entre las placas es de 1870N/C y además
d=1.97 cm, L= 6.2 cm. Desarrollar los cálculos correspondientes para decir sí el electrón
chocará con alguna de las placas.
RESPUESTA.- En el dispositivo mostrado se desprecian los campos externos a E por lo
que en este fenómeno físico solamente se considera E en el espacio comprendido entre las
placas; de tal forma que es un problema de Cinemática puntual; o sea que es un movimiento
de proyectiles; tales que se calcula la altura máxima del proyectil; sí resulta mayor 1.97 cm
entonces el electrón choca con la placa superior; siempre y cuando la distancia horizontal sea
menor a 6.2 cm.
LOS CÁLCULOS SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN.
A ) Calculo del tiempo de máxima altura. Recuerde que en la máxima altura la partícula
tiene una rapidez en e igual a cero; quedando:
-q
q
P
z
0
r1
r2
rp x
y
-q
390
d
L
E
Vy = v0 Senθ – at; siendo a la magnitud de la aceleración, que en el caso del problema aquí
planteado se determina de: F = ma = qE a = qE
m; en este caso m es la masa del electrón,
de tal forma que:
a = 19
31
(1.6 10 )(1870)
9.11 10
x
xm/s
2 =3.28 x10
14m/s
2 ; con este cálculo, el tiempo de máxima altura
es:
t = 0v Sen
a =
6 0
14
5.83 10 (39 )
3.28 10
x Sen
x = 1.11x10
-8 s =11.1ns (1)
Recuerde que la altura máxima de un proyectil se obtiene de:
Y(t) = (v0Senθ)t-2
2
at = (5.83x10
6)(1.11x10
-8) -
14 8 23.28 10 (1.11 10 )
2
x x = (0.043 – 0.023)m =
0.02m = 2.0cm; con estos cálculos al parecer el electrón choca con la placa superior; pero
puede ocurrir que la distancia horizontal sea mayor a 6.2 cm y que la altura máxima esté
fuera de las placas; por lo que a continuación se determina la distancia horizontal con:
X(t) = (v0Cosθ) (2t) = (5.83x106)Cos(39
0)(2(1.11x10
-8)m = 0.101m=10.1 cm ; pero a la
mitad de esta distancia el electrón adquiere la máxima altura, que es una distancia horizontal
de 5.05 cm. que es menor que 6.2 cm ; por lo que se concluye que el electrón si choca con la
placa superior.
CAMPOS ELECTROSTÁTICOS GENERADOS POR OBJETOS
CON CARGA Q
Por comodidad de cálculo solamente se analizan objetos con carga Q distribuida
uniformemente: o sea que las densidades de carga correspondientes son constantes y
aplicando la definición de campo; observe que lo que se elimina comparado con la fuerza
electrostática es la carga puntual qi ; quedando para el caso de distribuciones uniformes de
carga por unidad de área de la expresión LC-12.
E( irr
) = Kσ3
( )i
S i
r r dS
r r
r r
r r CE-4
Ejemplo5.- Para una distribución uniforme de carga en forma de disco de radio R y
carga total Q. determinar el campo
electrostático valuado en un punto P colocado
en el eje de simetría que es perpendicular al
plano del disco y que está en el punto de
coordenadas (0,0,Z), posteriormente encuentre
el campo en el centro del disco.
RESPUESTA.- Considere la figura adjunta,
con las aclaraciones siguientes, la función
R
r
X
Y
Z
pr
vectorial r indica la diferencial de área 2 rdr, R es el radio del disco, pr indica el punto P
(punto de evaluación del campo electrostático); sí el punto de referencia está en el centro del
disco, entonces: pr = z k , el anillo pintado de negro es la diferencial de área del disco.
Recuerde que en estas condiciones el campo electrostático valuado en P es:
S p
p
p
rr
dSrrrE
3
0
)(
4)( (1)
Puesto que pr - r = z k -r re rrp = 22 rz ; quedando : 2/322
3
)( rzrrp
Es importante indicar que r re (rCos jrSeni )(ˆ) ; haciendo las sustituciones
correspondientes en (1) se tiene:
)( prE rdrrz
jrsenirkz2
)(
)ˆˆcosˆ(
4 2/322 (2)
Note que el problema que se está resolviendo, como la distribución de carga es uniforme,
entonces tiene simetría y las componentes en: ji ˆ&ˆ se eliminan o sea que solamente se
resuelve la integral en la componente de k ; quedando:
)( prE
RR
rz
rdrkz
rz
rdrkz
0
2/322
00
2/322
0 )(
2
4
ˆ
)(
2ˆ
4 (3)
Observe que esta integral se resuelve con un cambio de variable u = z2+r
2 rdrdu 2 ;
quedando:
220
2/322
2
)(
2
rzrz
rdrR
|R
0 =-zRz
2222
, que sustituyendo en la igualdad (3) se
obtiene:
)( prE22
0
22
4
ˆ
Rzz
kz =
220
12 Rz
zk (3)
Es recomendable aclarar que en esta igualdad dS representa una diferencial de área que
puede ser representada en cualquier tipo de coordenadas según sea la necesidad del
problema; al igual que los vectores: pr & rr
y la integral, se realiza sobre toda el área S con
carga Q distribuida uniformemente.
Ejemplo 6.-Una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie
semiesférica de radio R. Hallar el campo electrostático en un punto P sobre el eje de simetría
y a una distancia R del centro de curvatura de la distribución de carga.
RESPUESTA:
Con el propósito de utilizar coordenadas
esféricas considere que la distribución de
carga es como la mostrada en la figura
adjunta ; con la aclaración que el sistema de
referencia está colocado en el centro de
curvatura; asimismo la distribución de carga
es uniforme, por lo que:
E(rp)=S p
p
o rr
dSrr
3
)(
4
(1)
Tomando en cuenta la figura se tiene que: rp
= -R k , r = (Senθ CosφR) i +(RSenθSenφ) j
+(RCosθ) k , quedando:
rp–r=-R k -(RSenθCosφR) i +(RSenθSenφ) j +(RCosθ) k (2)
Calculando la magnitud de este vector y posteriormente elevando al cubo se tiene:
3
rrp =R32
3/2(1+Cosθ)
3/2 (3)
En el caso de coordenadas esféricas: dS = R2Senθdθdφ (4)
Haciendo las sustituciones correspondientes en (1) y considerando la simetría del problema
físicamente no hay campo en las direcciones de: i y j ; por lo que:
E(rp)=So CosR
ddSenRkCosR2/32/33
2
)1(2
ˆ)1((
4 (5)
En estas integraciones analizando la figura, la variable φ es de 0 a 2Л y la variable θ de 0 a
л/2, por lo que:
E(rp)=o
k
4
ˆ.
2
0
2/32/3
2/
0)1(2
)1(
Cos
ddSenCos =
o
k2/52
ˆ.2/
0
2/1 )()1( dSenCos (6)
Note que esta integración es inmediata por lo que:
E(rp)=o
k2/52
ˆ.(1+Cosθ)
1/2 2/
0=
o
k2/52
ˆ.(1- 2 )= -0.4142
o
k2/52
ˆ. (7)
Indudablemente también existe el campo electrostático generado por distribuciones
volumétricas de carga, valuado en algún punto P del espacio en cuyo caso se encuentra:
R
x
y
z
0
P
E( )pr = V p
p
rr
dvrrtr3
0
))(,(
4
1 CE-5
Comentario.- En este subtema no se presentan ejemplos de distribuciones
volumétricas de carga por el nivel del curso ( tercer semestre de licenciatura); sin embargo se
espera que con los dos ejemplos expuestos de las dos distribuciones de carga, quede claro el
poderío de la teoría propuesta.