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UNIVERSIDAD AUTONOMA

METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA BIOMÉDICA

PROYECTO TERMINAL DE INGENIERÍA BIOMÉDICA

Análisis del Modelo de Rall: Evaluación de los Cilindros Equivalentes Utilizados en la Descripción del Comportamiento Eléctrico de las Dendritas

ELABORÓ: ANAID SAYNITE BARRERA GODÍNEZ

ASESORÓ: RAFAEL GODÍNEZ FERNÁNDEZ

Modelo de Rall Anaid Saynite Barrera Godínez

i


ii

INDICE

Contenido Temático RESUMEN............................................................................................................1 OBJETIVO............................................................................................................1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.................................................................................1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................1 IMPORTANCIA Y ANTECEDENTES.................................................................2

Teoría de Cable..................................................................................................2 Modelo de Rall ..................................................................................................3

HIPÓTESIS...........................................................................................................6 MATERIAL Y MÉTODOS...................................................................................6 REFERENCIAS ..................................................................................................22

Ilustraciones Descripción de la Teoría del Cable para la morfología neuronal.................................3 Neurona con árbol dendrítico de geometría determinada............................................4 Dendrita de Cilindro Equivalente...............................................................................5 Ejemplo de discretización por elemento finito de un cilindro de geometría determinada...............................................................................................................7 Discretización por elemento finito de geometría neuronal simple...............................8 Simulación de los parámetros eléctricos de una dendrita............................................9 Cilindro de referencia simulado en los software MATLAB y FEMLAB. .................13 Simulación de dendrita que cumple los parámetros del ............................................14 Simulación de dendrita que no cumple los parámetros del .......................................16 Simulación de Dendrita que cumple el Modelo de Rall con soma. ...........................17 Simulación de Dendrita que no cumple el Modelo de Rall con soma. ......................18 De la simulación de dendritas con distintos diámetros que cumplen o no el Modelo de Rall.....................................................................................................................18 De la simulación de dendritas con Soma que cumple o no el Modelo de Rall...........19


iii


1

RESUMEN

El modelo de Rall es empleado por neurocientíficos para el análisis electrofisiológico de potenciales postsinápticos, debido a que este modelo es una solución analítica muy compleja, Rall asumió características morfológicas de las dendritas que simplifican dicha solución, lo cual ocasiona que todas las predicciones envueltas alrededor de este modelo son una aproximación del comportamiento eléctrico neuronal.

En este trabajo se pretende mostrar y evaluar la precisión de este Modelo mediante métodos numéricos de discretización por elemento finito para evaluar el margen de error de Rall cuando no se cumple los criterios morfológicos que presupone el Modelo.

OBJETIVO

Evaluar la precisión de la versión simplificada del modelo de Rall, que aproxima la complejidad eléctrica de las dendritas a cilindros eléctricos equivalentes, empleando técnicas de simulación con discretización por elemento finito.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Obtención del comportamiento eléctrico de las dendritas empleando el modelo de Rall en su versión de cilindro equivalente.

• Obtención del comportamiento eléctrico del mismo árbol dendrítico mediante simulación por elemento finito.

• Comparación entre la solución analítica de Rall y los resultados de la simulación.

• Si existen diferencias, analizar las condiciones límite del modelo de Rall en la cual la simplificación mediante cilindros equivalentes es válida.

INTRODUCCIÓN

La neurona constituye la unidad funcional del sistema nervioso. A pesar de la gran diversidad morfológica de las neuronas, la mayoría cuenta con las siguientes estructuras: dendritas, soma, segmento inicial, axón y terminal


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nerviosa. La función que realiza el tejido nervioso es producto de la propiedad eléctrica característica de su elemento estructural: la neurona. En las dendritas se producen los potenciales postsinápticos excitatorios e inhibitorios, en el soma se produce la suma algebraica de ellos, si se alcanza un voltaje umbral despolarizante en el segmento inicial se produce un potencial de acción el cual se propaga a lo largo axón, finalmente, el potencial de acción en la terminal nerviosa induce la liberación de un neurotransmisor. En las neuronas como en las demás células existen propiedades eléctricas pasivas (lineales) y propiedades eléctricas activas (no lineales). Con técnicas electrofisiológicas a nivel celular, se han realizado estudios detallados de las propiedades eléctricas del soma, axón e incluso la terminal nerviosa; sin embrago, el estudio de las propiedades eléctricas de las dendritas se ha visto limitado por sus pequeñas dimensiones. Esta limitación se ha subsanado desarrollando trabajo experimental y teórico. El estudio de la actividad eléctrica de las dendritas es fundamental para comprender el funcionamiento del tejido nervioso.

IMPORTANCIA Y ANTECEDENTES

El análisis teórico de las propiedades eléctricas pasivas de las dendritas es vital en las neurociencias, dado que no es posible realizar mediciones directas mediante la inserción de microelectrodos en las dendritas. Fue indispensable la creación de un modelo teórico que diera cuenta de la propagación de los potenciales postsinápticos a través de las dendritas, potenciales que solo es posible medir por microelectrodos insertados en el soma.

La teoría del cable conductor se ha empleado en el análisis de las dendritas, ya que son segmentos de membrana con morfología aproximadamente cilíndrica y un comportamiento eléctrico similar a un cable conductor.

Teoría de Cable

Las dendritas son fundamentales en la transmisión de información de una neurona a otra para lo cual se organizan formando redes neuronales con diferentes grados de complejidad. En el segmento inicial es donde se suman algebraicamente los potenciales sinápticos excitatorios e inhibitorios, causando en esta zona una hiperpolarización si predominan los potenciales sinápticos inhibitorios, o bien una despolarización si prevalecen los potenciales sinápticos excitatorios.

Las propiedades pasivas de las dendritas son importantes en la propagación de los potenciales postsinápticos hacia el soma y segmento inicial.


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A los segmentos de membrana que tienen morfología aproximadamente cilíndrica (como las dendritas) se les aplica la teoría de cable por poseer propiedades eléctricas semejantes a las de un cable conductor. La teoría del cable fue desarrollada por Lord Kelvin en 1855 cuando examinaba las propiedades eléctricas de los cables telegráficos transatlánticos.

A diferencia de una célula con morfología esférica, en una célula cilíndrica el potencial no es el mismo en toda la región intracelular cuando se modifica por inyección de corriente (7); en este caso, el cambio en el potencial de membrana con respecto al tiempo y la distancia es descrito por la ecuación de cable. La ecuación del cable se basa en la idea de un centro conductor longitudinal aislado de una región externa conductora, pero con un aislamiento eléctrico imperfecto que da origen a dos tipos de corriente, una longitudinal y otra radial entre las partes interna y externa conductoras.

En la derivación de estas ecuaciones se supone una simetría cilíndrica y se considera una pequeña sección del cable de longitud ∆x como se ilustra en la figura 1. Inicialmente no se toma en cuenta la estructura de la membrana celular o aislante.

Figura 1: Descripción de la Teoría del Cable para la morfología neuronal.

Modelo de Rall

Las teorías que se han desarrollado alrededor de las propiedades eléctricas de las dendritas, están basadas en un modelo desarrollado por Rall en los años 60`s, el cual es una aproximación matemática del comportamiento eléctrico de las dendritas y el soma. Sin embargo, el análisis teórico realizado por Rall, condujo a una expresión matemática que dificultaba su empleo por neurocientíficos experimentales.

En general, las neuronas del sistema nervioso central tienen extensos árboles dendríticos, que reciben miles de entradas sinápticas excitatorias, inhibidoras y neuromoduladoras. (9)


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Las dendritas desarrollan un papel importante en la integración de los potenciales postsinápticos, a través de un comportamiento complejo de dichas dendritas; por ello se llevan a cabo ciertas suposiciones.

A. Uniformidad en la resistencia interna de membrana Ri, la resistencia superficial de membrana Rm y la capacitancia de la membrana Cm. Las propiedades de la membrana son independientes del voltaje, es decir, hablamos de las propiedades pasivas donde el soma y las dendritas comparten propiedades eléctricas idénticas.

B. La resistencia externa Ro = 0

C. El soma se representara como una esfera isopotencial

D. La suposición más importante es que todas las dendritas terminan en la misma longitud electrotónica (10). Esta suposición es muy importante, pues permite que todos los árboles dendríticos se colapsen en un solo cable eléctricamente equivalente, que evita el análisis eléctrico por separado de cada rama dendrítica.

En la figura 2 se ilustra una neurona de geometría determinada con su árbol dendrítico. Los puntos X1, X2 y X3 son los puntos de ramificación; d0, d11, d12, d211, d212, etc., representan el diámetro de cada rama. Asumamos que las ramas conectadas al punto X3 se extienden al infinito y por lo tanto, pueden verse como cables semi-infinitos. Una de las mayores aportaciones de la teoría de Rall fue demostrar como una estructura complicada como un árbol dendrítico puede reducirse a un solo cable equivalente.

Figura 2: Neurona con árbol dendrítico de geometría determinada.

La conductancia de entrada de un cable semi-infinito esta dada por

Ge = K(d)3/2


5

Donde:

K= (π/2)(RmRi)-1/2

Podemos hacer notar que la conductancia de entrada de un cable semi-infinito es proporcional al diámetro del cable.

Por lo tanto la conductancia para el punto X3 en la rama d3111 es:

Ge(d3111) = K( d3111)3/2

Sabemos que la conductancia total es la suma de las conductancias en paralelo, por lo tanto la conductancia de entrada total para el punto X3 será:

Ge(X3) = Ge(d3111) + Ge(d3112) = K[( d3111)3/2 +( d3112)3/2]

La aportación importante de Rall fue el darse cuenta que sí se cumple la condición de los diámetros

( ) ( ) ( ) 23

31122

3

31112

3

211 ddd +=

entonces es eléctricamente (y matemáticamente) equivalente la conductancia Ge(X3) a la conductancia de la rama d211 con una extensión infinita. Asimismo, la suma de las conductancias de las ramas d212 y d211 del punto X2, es igual a la conductancia que se obtendría en la rama d11 con extensión infinita. Con un procedimiento similar recursivo pueden eliminarse todas las ramas dendríticas hasta obtener un cilindro equivalente como puede apreciarse en la Figura 3.

Figura 3: Dendrita de Cilindro Equivalente.


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La neurona original con su árbol dendrítico, es ahora equivalente a un solo cable semi-infinito, de diámetro d0, unido al soma, lo que facilita el análisis y la evaluación de la estructura dendrítica.

A pesar de que esta aproximación es útil para los neurocientíficos experimentales, estudios morfológicos detallados de las dendritas, muestran que no siempre se cumple la relación anterior de los diámetros. Por lo anterior, es indispensable analizar el grado de precisión de éste modelo. Las técnicas actuales de simulación que incorporan la discretización por elemento finito, son herramientas poderosas que permiten contrastar soluciones analíticas de modelos matemáticos. En este trabajo, se plantea el análisis de la solución por métodos de discretización por elemento finito del modelo de Rall con técnicas de simulación.

HIPÓTESIS

Si se cumple la relación de los diámetros los resultados analíticos del modelo de Rall coincidirán con los obtenidos mediante simulación por elemento finito. Si la relación de los diámetros no se cumple diferirán los resultados analíticos de los obtenidos por simulación. La diferencia incrementará en la medida que la morfología dendrítica se aleje de la relación de los diámetros.

MATERIAL Y MÉTODOS

El equipo utilizado:

Para este proyecto se mando construir una computadora personal que cubriera los requerimientos que el Software FemLab exige como son:

• Motherboard DFI AM06 4 SU

• Procesador AMD Optaron 175 1 MB Caché X2 2.2 Ghz.

• 2 Memorias RAM PC3200 High Performance 1GB

• Disco Duro 160GB a 7200 RPM

• 2 tarjetas de Video 256 MB 350MHz

• Software FemLAb 3.1

• Software MatLab 7.3.0.267

• Software GraphPad Prisma 4


7

Para el desarrollo de este proyecto, fue necesario conocer los recursos que otorga el software para la realización de la simulación

Una de las bases de este proyecto es el poder simular el comportamiento eléctrico de las dendritas mediante una discretización por elemento finito de su morfología, realizable gracias a las herramientas otorgadas por el Software FemLab y MatLab.

Se llevo a cabo una revisión Bibliográfica del Modelo de Rall y todos los trabajos publicados alrededor de este Modelo.

Revisión de la estructura y funcionamiento de las dendritas, evaluación de las ecuaciones de la teoría del cable y de las diferentes estructuras morfológicas modeladas con en el Modelo de Rall.

Se crearon diferentes geometrías por simulación que representaban las diferentes morfologías dendríticas. Los resultados de la simulación se desplegaban gráficamente y en imágenes las cuales eran almacenadas; también se exportaban los resultados en ASCII para ser desplegados comparativamente con los resultados analíticos del Modelo de Rall. Paralelamente, se evaluó el modelo de Rall con las mismas morfologías dendríticas en ambiente de Matlab, para lo cual se generaron archivos m.

Figura 4: Ejemplo de discretización por elemento finito de un cilindro de geometría

determinada


8

En la Figura 4 se muestra como el software FemLab hace la discretización por elemento finito para un cilindro de radio 0.3 y altura 1.2, el software hace un enmallado de elementos finitos donde cada uno consiste en una parte de elemento con todas las especificaciones físicas de inicialización, es decir, que cada elemento contiene los mismos parámetros de conductividad, resistencia, etc. que se insertan durante la simulación, lo que hace aun más exacto los resultados de la simulación; para esta figura el enmallado consistió en 11651 elementos. Debemos tomar en cuenta que las geometrías se realizaron en tercera dimensión por lo que el enmallado también es en volumen.

Al modelo geométrico discretizado por elemento finito se le agregaron los parámetros biofísicos y eléctricos propios de las membranas celulares y de las dendritas en particular. Manteniendo constantes estos parámetros eléctricos, se crearon diferentes morfologías que se aproximaran a las observadas en las dendritas.

Se crearon morfologías más complejas cuyo enmallado también es perfecto como lo muestra la Figura 5. Para esta geometría se hizo el enmallado con 22136 elementos.

Figura 5: Discretización por elemento finito de geometría neuronal simple.

Se simuló un cilindro de referencia para la evaluación tanto de los parámetros como de la funcionalidad del software FemLab; dicha referencia fue contrastada con la solución analítica de la ecuación de cable cuyos resultados se obtuvieron con el software MatLab. En la Figura 6 se puede observar el


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resultado de la simulación en donde se aprecia el cambio en el potencial de membrana, indicado por el código de colores, por la presencia de un voltaje fijo Vo en uno de los extremos del cable. Los resultados de la simulación fueron similares a los analíticos; con ello pudimos observar y corroborar que el software FemLab cumplía con los requisitos necesarios para continuar con la simulación de geometrías más complejas. Los parámetros para ambas simulaciones estuvieron basados en las características eléctricas de las dendritas (3).

Figura 6: Simulación de los parámetros eléctricos de una dendrita.

Para la evaluación del comportamiento del modelo de Rall ante diferentes geometrías en las que se cumple la relación de los diámetros y con diferentes grados de diferencia con dicha relación, se siguió el protocolo:

Se crearon geometrías dendríticas que cumplen con lo establecido en el modelo de Rall.

Se crearon geometrías dendríticas que no cumplen con lo establecido en el modelo de Rall.

Se crearon geometrías dendríticas con su correspondiente soma, tanto para los que cumplen la teoría de Rall y los que no la cumplen.


10

=ARmrm

Se compararon los resultados analíticos con los de la simulación.

Se obtuvo el margen de error del modelo de Rall cuando no se cumple la relación de los diámetros dendríticos.

Se analizaron las condiciones límite del modelo de Rall en la cual la simplificación mediante cilindros equivalentes es válida.

Análisis Teórico

Conociendo que:

Donde:

rm = Resistencia de Membrana por unidad de longitud

Rm = Resistencia de membrana

A = Área del cilindro

Donde:

ri = Resistencia Axial por unidad de longitud

Ri = Resistencia axial

V = Volumen del cilindro

Por lo tanto:

Donde:

l= longitud de la dendrita

r= radio de la dendrita


=VRiri

×××=

rlRmrm

π2


11

Donde:

l= longitud de la dendrita

r= radio de la dendrita


Se conoce también:

Donde:

gm = conductancia de membrana


Donde:

gi = conductancia axial


Donde:

λ = constante espacial



××=

l

Ririr 2π

=rm

gm 1

=ri

gi 1

=rirmλ2


12

Modelo de Rall y cilindro equivalente

Donde:

d0= Diámetro primario de la dendrita

d11=Diámetro secundario de la dendrita

d12=Diámetro secundario de la dendrita

Donde:

λ O= constante espacial para el cilindro equivalente

d0= Diámetro primario de la dendrita



Donde:

L= longitud del cilindro equivalente

λ O= constante espacial para el cilindro equivalente

λ 11= constante espacial ramificación secundaria

lO = longitud primaria de la dendrita

l11= longitud secundaria de la dendrita

( ) ( ) ( ) 23

122

3

112

3

0 ddd +=

×=

Ri

Rmd OO 4λ

λλ 11

11llO

OL +=


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RESULTADOS

Cilindro de Referencia

Gráfica del Cilindro de Referencia para verificación del software

Datos:

Longitud del axón: 1cm.

Radio del cilindro: 10µ

Resistividad de membrana: 1e+10 Ωcm

Resistividad axial: 100 Ωcm

Voltaje de entrada: 0.1V

Espesor de la membrana: 1e-6 cm

Gráfica 1: Cilindro de referencia simulado en los software MATLAB y FEMLAB.

El indicador MAT se refiere a los resultados obtenidos por el desarrollo del programa en el software MatLab y el indicador FEM son los resultados obtenidos de la simulación en el software FemLab, las dos simulaciones fueron creadas con los mismos parámetros eléctricos.


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Las simulaciones del FemLab fueron creadas con el Model Navigator: Electromagnetics con las especificaciones que otorgan para Conductive Media DC

Dendrita que cumple el Modelo de Rall --- Figura 7

Parámetros:

Voltaje= 0.1V

Conductividad isotrópica = 1

Distribución de resistencia, conductividad= 1e-8

dO= 6 lO=13

d11=5.2 l11=11

d12=2 l12=9

Figura 7: Simulación de dendrita que cumple los parámetros del

Modelo de Rall.

Dendrita que no cumple el Modelo de Rall --- Figura 8

Se hicieron cuatro diferentes geometrías, con diferentes radios para observar su comportamiento.

dO

d11

d12

lO

l11

l12


15

Parámetros:

Voltaje: 0.1V

Conductividad isotrópica =1

Distribución de resistencia, conductividad=1e-8

a) dO= 6 lO=13

d11=5.2 l11=11

d12=3.2 l12=9

b) dO= 6 lO=13

d11= 5.2 l11=11

d12= 5.2 l12=9

c) dO= 6 lO=13

d11= 5.2 l11=11

d12= 0.5 l12=9

d) dO= 6 lO=13

d11= 5.2 l11=11

d12= 0.2 l12=9


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Figura 8: Simulación de dendrita que no cumple los parámetros del

Modelo de Rall.

Dendrita que cumple el Modelo de Rall con soma --- Figura 9

Voltaje= 0.1V



Distribución de resistencia en el soma=1e-8

dO= 6 lO=13

d11=5.2 l11=11

d12=2 l12=9


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Figura 9: Simulación de Dendrita que cumple el Modelo de Rall con soma.

Dendrita que no cumple el Modelo de Rall con soma --- Figura 10

Voltaje= 0.1V



Distribución de resistencia en el soma=1e-8

dO= 6 lO=13

d11=5.2 l11=11

d12=5.2 l12=9


18

Figura 10: Simulación de Dendrita que no cumple el Modelo de Rall con soma.

Gráfica 2: De la simulación de dendritas con distintos diámetros que cumplen o no el Modelo de Rall.


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Gráfica 3: De la simulación de dendritas con Soma que cumple o no el Modelo de Rall.

Las gráficas nos muestran que para la dendrita que cumple el Modelo de Rall su comportamiento es en decaimiento exponencial con una constante de longitud de 0.05970, mientras que el de No Rall con diámetro de 3.2 es de 0.08091, si aumentamos más ese diámetro a 5.2 la constante es de 0.09941, mientras que si disminuimos dicho diámetro a 0.5 la constante es de 0.05156, y si lo hacemos casi cero es de 0.05075. Lo cual indica que el potencial caerá más al aumentar el diámetro del cilindro de una sola rama, mientras que si lo disminuimos, en realidad no importa que tanto, el potencial decae aproximadamente igual y pues su constante espacial no es muy diferente.

DISCUSIÓN

Con los resultados obtenidos en las simulaciones de referencia, pudimos corroborar que el software FemLab es adecuado para la simulación de las propiedades eléctricas de cable de sistemas biológicos con geometrías complejas, ya que los resultados fueron similares a los obtenidos con la solución analítica del cilindro de referencia con los mismos parámetros eléctricos y geométricos.


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El análisis teórico con el Modelo de Rall de las propiedades de cable de las dendritas ha sido vital para la comprensión del proceso de integración de los potenciales postsinápticos que llevan a cabo las neuronas, a pesar de ser éste modelo una aproximación al someter las morfologías dendríticas a la relación de los diámetros. Dada su gran utilidad, es importante analizar el grado de desviación de los resultados analíticos cuando no se cumple la relación de los diámetros. La técnica de simulación fue de gran ayuda para éste propósito, ya que al resolver las ecuaciones diferenciales que describen al modelo biológico por elemento finito, no es necesario establecer condición alguna como la relación de los diámetros.

En el análisis de las propiedades pasivas de las dendritas mediante el Modelo de Rall destacan algunos parámetros geométricos como son la longitud y el diámetro de cada segmento del árbol dendrítico. Modificando estos parámetros, es posible describir morfológicamente la gran diversidad de árboles dendríticos que presentan las neuronas. Estos mismos parámetros (diámetro y longitud) fueron utilizados para la representación morfológica de segmentos dendríticos en ambiente de FemLab. Para evaluar el Modelo de Rall, no era necesario construir árboles dendríticos complejos, sino simular en la región dendrítica crítica, esto es, en la región donde se ramifica un segmento de dendrita ya que es en ese sitio donde se debe cumplir la relación de los diámetros. Por lo anterior, se construyeron ramificaciones con diversos diámetros en las cuales se cumplía la relación de los diámetros y en otras no.

Si tomamos en cuenta que existe uniformidad en la resistividad específica interna (Ri) (Ωcm) y en la resistencia específica de la membrana (Rm) (Ω cm2) y que hablamos de modelos pasivos de membranas celulares (como se comportan las dendritas) entonces podemos asegurar mediante los resultados de la simulación que en verdad los cambios en el potencial de la rama dendrítica solo dependen de las diferentes geometrías de las que están constituidas, y podemos observar dicho comportamiento claramente en la Gráfica 2. También podemos destacar que mientras más brusco sea el aumento del diámetro en una de las ramas dendríticas, los resultados están más alejados del valor predicho por el Modelo de Rall. Mientras que si se hace tender a cero el diámetro de dicha rama, los resultados son prácticamente idénticos que los resultados obtenidos para el Modelo de Rall. Debemos tomar en cuenta que todos los resultados graficados son los tomados en la rama contraria al que se le hizo el cambio de diámetro, es por ello que al incrementar el diámetro, el cambio de potencial cambia pues la corriente es mayor por donde el diámetro es más grande, mientras que para el que se disminuye el diámetro a casi cero, el paso de corriente es también casi cero o tan pequeño que la corriente va por la rama contraria y se parece al que cumple el Modelo de Rall y por lo tanto la regla de la “Ley de la potencia a los 3/2”, esto es: la suma de los diámetros de las dendritas de


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orden mayor elevados a la 3/2 debe ser igual al diámetro de la dendrita primaria elevado a 3/2.

Los resultados de la simulación indican que el modelo de Rall, como se esperaba, tiene un buen comportamiento en cuanto a la predicción de la caída de potencial en las ramas dendríticas cuando se cumple la relación de los diámetros. Sin embargo, cuando no es así, los resultados del modelo de Rall y los de la simulación discrepan. Estos resultados indican que el modelo de Rall puede ser empleado para un análisis parcialmente cuantitativo de los procesos de integración sináptica a nivel neuronal. En otras palabras, puede brindar información al neurocientífico acerca del tipo de entrada sináptica, y de manera comparativa, que tan lejana se encuentra con respecto al soma; pero no indicaría la distancia exacta, ya que es poco probable que las morfologías de los árboles dendríticos cumpla la relación de los diámetros.

En cuanto a la simulación de la dendrita con soma que cumple el modelo de Rall, se pude observar que la relación del porcentaje de corriente que llega al soma depende de la relación soma-dendrita. La longitud electrotónica de cada dendrita indica que tan lejos o cerca del soma se encuentra la entrada sináptica para esa rama dendrítica. (Ver Gráfica 3) Pero también podemos afirmar que ésta depende de la geometría dendrítica, en especial del diámetro, es decir, si observamos las dendritas con soma que cumplen el modelo de Rall, podemos ver un menor decaimiento del potencial con la distancia, mientras que para las dendritas que no cumple el modelo de Rall su decaimiento es mucho mayor.

En la actualidad, es frecuente realizar estudios electrofisiológicos a nivel celular que incluyen la toma de imágenes tridimensionales de las neuronas. Creemos que con estos datos, las técnicas de simulación constituyen una herramienta poderosa para la obtención de datos cuantitativos precisos que nos indiquen la distribución espacial de las entradas sinápticas de acuerdo a la morfología de los potenciales postsinápticos registrados. El software FemLab permite la adquisición de imágenes tridimensionales a las que posteriormente se pueden discretizar por elemento finito; por lo cual consideremos que es una buena opción para la simulación de eventos eléctricos pasivos a nivel neuronal.

Se deja para futuras investigaciones y análisis teórico el desarrollo de geometrías con imágenes tridimensionales de neuronas con registro simultáneo de la actividad sináptica.


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REFERENCIAS

1. Rall, W. (1962) Theory of physiological properties of dendrites. Ann. N.Y. Acad. Sci. 96: 1071-1092

2. Rall, W. (1967) Distinguishing theoretical synaptic potentials computed for different soma-dendritic distributions of synaptic input. J. Neurophysiol. 30:1138-1168.

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4. Segev, I., J. Rinzel, and G.M. Shepherd. (1995) The Theoretical Foundation of Dendritic Function. Selected papers of Wilfrid Rall, with commentaries. M.I.T. Press

5. Krzyzanski W.An application of a weak solution of the cable equation to the Rall model of a nerve cell Mathematical Medicine and Biology 2001 18(4):377-407; doi:10.1093/imammb/18.4.377

6. Tuckwell H. C. Introduction to Theoretical Neurobiology, Vol.1 (Cambridge Studies in Mathematical Biology) Cambridge University Press; 1 Reprint edition (September 23, 2005)

7. Castellanos P., Godínez FR., Jiménez CJ., Medina V., Electrofisiología Humana: Un enfoque para ingenieros, Editorial UAM-Iztapalapa, México, 1997.

8. Ávila-Pozos, R, Jiménez Cruz, J., Godínez F.R., Estudio del comportamiento eléctrico de las neuronas y dendritas, usando el modelode Rall, Revista Contactos, Julio-Septiembre 2004, Universidad Autónoma Metropolitana – Iztapalapa

9. J. Magistretti, M. Mantegazza, M. de Curtis, , and E. Wanke. Modalities of distortion of physiological voltage signals by patch-clamp amplifiers: A modeling study. Biophysical Journal, 74:831–842, (1998).

10. W. R. Holmes, I. Segev, and W. Rall. Interpretation of time constant and electrotonic length estimates in multicylinder or branched neuronal structures. Journal of Neurophysiology, 68:1401– 1420, (1992).


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11. B. V. Safronov, M. Wolff, and W. Vogel. Excitability of the soma in central nervous system.

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