EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Los cuerpos geométricos tridimensionales ocupan siempre un espacio. La medida de ese espacio recibe el nombre de volumen. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa. Profundicemos en estos conceptos y, cuando finalices esta parte serás capaz de:

Comprender qué es un metro cúbico y cómo se usa para medir volúmenes.

Calcular el volumen de cuerpos en el espacio.

Relacionar volúmenes de distintos cuerpos.

Resolver problemas geométricos en los que aparezcan volúmenes.

Obtener las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos geométricos. Todos los cuerpos tridimensionales, es decir, que tienen un alto, un ancho y una profundidad, ocupan un espacio. La medida del espacio que ocupan dichos cuerpos recibe el nombre genérico de volumen del cuerpo.

Para calcular el volumen de los cuerpos geométricos aprovechamos su forma geométrica, de manera que dividimos el cuerpo en otros cuerpos geométricos más sencillos (cubos, prismas, esferas, etc.) de los cuales conocemos las expresiones matemáticas de sus volúmenes. Hasta el siglo XVII existían distintos sistemas de medidas, pero es en ese siglo cuando se establece el Sistema Métrico Decimal y en 1960 se adopta el Sistema Internacional con siete unidades fundamentales.

La unidad fundamental para el volumen en el Sistema Internacional de unidades es el metro cúbico (m3). Un metro cúbico corresponde al volumen que ocupa un cubo de arista 1 metro; lo que quiere decir que el cubo tiene 1 metro de ancho, 1 metro de profundidad y 1 metro de alto. Medir un volumen es determinar cuántas veces contiene esa unidad el cuerpo a medir. Ya estudiamos anteriormente que para medir áreas o longitudes muy pequeñas se usan los submúltiplos y para medir áreas y longitudes grandes se utilizan los múltiplos. En el caso del volumen se procede de igual manera.

km3 - hm3 - dam3 - m3 - dm3 - cm3 - mm3

Los cuerpos tridimensionales que están huecos tienen capacidad para albergar en su interior gases, líquidos o sólidos. La capacidad de un cuerpo se mide en litros y en múltiplos y submúltiplos de éste. Y la cantidad de materia que tiene el cuerpo se denomina masa. Su unidad fundamental es el kilogramo.

GRÁFICOS Con los siguientes gráficos recordarás los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico y del litro y del kilogramo, así como la relación entre el volumen, la capacidad y la masa de un cuerpo.

VOLUMEN DEL ORTOEDRO Recuerda que los ortoedros son prismas cuyas caras son rectángulos. En la vida real encontramos cajas, habitaciones y edificios con forma de ortoedros.

Veamos mediante un gráfico cómo calculamos el volumen de un ortoedro.

El gráfico representa una caja. Es un prisma especial llamado ortoedro. Todas sus caras son rectángulos. Vamos a calcular cuántos cubos de un centímetro cúbico caben en su interior.

En la base de la caja caben 4 x 5 = 20 cubos de un centímetro cúbico. Pero hay seis capas como la de la base; habrá, pues, 20 x 6 = 120 cubos de un centímetro cúbico. El volumen del ortoedro que representa la figura es:

V = 4cm x 5cm x 6cm = 120 cm3 Según se demostró, para calcular el volumen de los ortoedros se multiplica el largo (a) por el ancho (b) por el alto (c).

Volumen del ortodreo = a·b·c

Pasos a seguir para calcular el volumen de los ortoedros 1º) Pasaremos todas las medidas en las mismas unidades. 2º) Calcular el área de la base; así obtenemos el número de cubos que nos caben

en cada piso o capa. 3º) Multiplicamos el resultado anterior por la ALTURA (equivale al número de pisos

que tiene el ortoedro); de esta forma obtenemos el número total de cubos o unidades que entran en el ortoedro.

VOLUMEN DEL CUBO

VOLUMEN DE LOS PRISMAS Ahora vamos a ver como se calcula el área de cualquier prisma. Para ello seguiremos la misma explicación que en el ortoedro, pero pondremos de ejemplo este prisma.

1) Tener todas las medidas en las mismas unidades. 2) Calculamos el número de cubos que entran en la base. En este prisma, que tiene

de medidas 5 cm. de arista de base, 10 cm. de altura y 3 cm. de apotema; calculo el número de cubos que tienen de medidas 1 cm. de arista.

45 cubos en la base de 1 cm. de arista. Estos cubos que calculo miden siempre 1 unidad de la medida utilizada.

3) Multiplicamos el número de cubos que hay en cada nivel por el número de niveles (altura), obteniendo así el número total. Volumen = 45 cm2 x 10 cm = 450 cm 3 Volumen del prisma = Área base (AB) x Altura (h) Recuerda que las bases de un prisma son polígonos y cada uno tiene su fórmula para calcular el área de la base.

Solo recordaremos aquí el área de un polígono regular, el cual se puede descomponer en tantos triángulos como lados tiene el polígono.

N = Número de lados

L = Longitud del lado

a = Apotema del polígono

VOLUMEN DEL CILINDRO Un cilindro es, a la hora de calcular su volumen, muy parecido a un prisma: tiene una base que es circular y una altura.

Su volumen se calcula igual a todos los anteriores.

1) Todas las medidas en las mismas unidades. 2) Cálculo de unidades que cubren la base, teniendo en cuenta que la base es un

círculo y, por lo tanto, su área es: AB = πr2

3) Multiplicamos el valor obtenido anteriormente por la altura (h), obteniendo el número total de unidades que entran en el cilindro. Volumen Cilindro = πr2 x h

VOLUMEN DE PIRÁMIDES

Para calcular el volumen de una pirámide regular lo haremos imaginando que la misma está dentro de un prisma que coincide con su base y altura.

Experimento Supongamos que tenemos una pirámide y un prisma que tienen la misma base (cuadrangular, triangular, etc.) y la misma altura.

Llenamos la pirámide de agua y la vertemos en el prisma observando que solo ocupa una tercera parte del prisma (1/3).

Esto quiere decir que necesitamos tres pirámides llenas para cubrir un prisma; con lo cual deducimos que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma.

VOLUMEN DEL CONO El volumen de los conos se calcula igual que el de las pirámides, pero comparándolo con otro cuerpo que tenga una base redonda como él.

Imagínate un cono y un cilindro con la misma altura y el mismo radio de la base (igual base).

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒) 𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =�Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒�𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

3

Volumen

Si llenamos el cono y lo vertemos en el cilindro solo ocuparía una tercera parte de este; lo que quiere decir que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.

VOLUMEN DE LA ESFERA Para poder calcular este volumen partiremos del mismo principio que usamos para calcular el volumen del Cono, solo que esta vez tomaremos las dos terceras partes del cilindro que contiene a la esfera completa. Los dibujos siguientes te ayudarán a entender este principio. Ten en cuenta que el cilindro y el cono tienen el mismo radio de base y la misma altura, que en este caso será el valor del radio de la esfera o de la semiesfera.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒) 𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 =�Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒�𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

3

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜 =(𝜋. 𝑟2)𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

3

Volumen

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝑎𝑠𝑒) 𝑥 (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = (𝜋. 𝑟2)𝑥 (2𝑟)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =23

(𝜋. 𝑟2)𝑥 (2𝑟)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =43

.𝜋. 𝑟3

Volumen

Altura = 2r

Radio = r