3º eso area y volumen de cuerpos geométricos
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ÁREAS DE CUERPOS ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS
ÁREAS DE CUERPOS ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS
Para calcular el área de un cuerpo geométrico realizaremos el desarrollo plano de la figura, calculando las distintas áreas por separado y
sumándolas al final.
Para calcular el área de un cuerpo geométrico realizaremos el desarrollo plano de la figura, calculando las distintas áreas por separado y
sumándolas al final.
Antes de comenzar, tenemos que repasar el Teorema de Pitágoras, puesto que va a aparecer en algunos de estos problemas.
Pero no sólo aparecerá sobre un plano, como estamos acostumbrados, sino que también aparecerá en el espacio.
Para hallar la distancia D podemos aplicar lo siguiente:
Habrá ocasiones enque no se presente de esta forma ytengamos que considerar triángulos por
separado en distintos planos para calcular las longitudes necesarias.
Área de un PRISMA
A = 2·Abase + nºcaras · Acara
Ejemplo: Área de un PRISMA
A = 2·Abase + nºcaras · Acara20 cm
4 cm
Ap
2 cm
4 cm
Teorema de Pitágoras42 = Ap2 + 22
12 = Ap2
Ap = 3’464 cm
Área de la base = perímetro x apotema2
Área de la base = = 41’569 cm224 x 3’4642
Área de una cara = 20 x 4 = 80 cm2
Atotal = 41’569 · 2 + 6 · 80 = 563’138 cm2
Área de una PIRÁMIDE
A = Abase + nºcaras · Acara
Nota: La altura de la pirámide no coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.
Ejemplo: Área de una PIRÁMIDE
A = Abase + nºcaras · Acara15 cm
4 cm
5’505 cm
h
Teorema de Pitágorash2 = 152 + 5’5052
h2 = 255’3109h = 15’978 cm
Área de la base = perímetro x apotema2
Área de la base = = 55’05 cm220 x 5’5052
Área de una cara = = 31’956 cm2
Atotal = 55’05 + 5 · 31’956 = 214’83 cm2
5’505 cm
15 cm
15’978 x 42
Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE
A = Abase mayor + Abase menor + nºcaras· Acara
Nota: En este caso, tampoco la altura de la pirámide coincide con la altura de los triángulos
que forman las caras.
Ejemplo: Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE
A = Ab mayor + Ab menor + nºcaras · Acara10 cm
4 cm
4 cm
hTeorema de Pitágoras
h2 = 102 + 12
h2 = 101h = 10’05 cm
Área de la base mayor = 4 x 4 = 16 cm2
Área de una cara = = 30’15 cm2(4 + 2) x 10’052
Atotal = 16 + 4 + 30’15 x 4 = 140’60 cm2
10 cm
2 cm
Área de la base menor = 2 x 2 = 4 cm2
2 cm
10 cm
1 cm
h
Área de un CILINDRO
A = 2·Abase + Alateral
Abase = π r2
Alateral = 2πr · h
r
h
2 π r
r
h
3 cm
12 cm
Ejemplo: Área de un CILINDRO
A = 2·Abase + Alateral
Área de la base = π r2 = 9π cm2
Área lateral = 2 π r h = 2 π 3 · 12 = 72 π cm2
Atotal = 2·9π + 72π = 90π cm2 = 282’743 cm2
Área de un CONO
A = Abase + Alateral
Abase = π r2
Alateral = π r g
A = π r2 + π r g
Ejemplo: Área de un CONO
A = Abase + Alateral
Área de la base = π r2 = 9π cm2
Área lateral = π r g = π 3 · 10’44 = 31’132 π cm2
Atotal = 9π + 31’132π = 40’132π cm2 = 126’08 cm2
Datosr = 3 cm
h = 10 cm
Teorema de Pitágorasg2 = 102 + 32
g2 = 109g = 10’44 cm
Área de un TRONCO DE CONO
A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase menor = π r2
Abase mayor = π R2
Alateral = π g (R + r)
A = πR2 + πr2 + πg(R+r)
Ejemplo: Área de un TRONCO DE CONO
A = Abase mayor + Abase menor + Alateral
Abase mayor = π R2 = 64π cm2
Abase menor = π r2 = 4π cm2
Alateral = π g (R + r) = π 10 (8 + 2) cm2
Alateral = 100 π cm2
Atotal = 64π + 4π + 100π = 168π cm2
Atotal = 527’78 cm2
Teorema de Pitágorasg2 = 62 + 82
g2 = 100g = 10 cm
VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri
VOLUMEN DE UN CUERPO
Principio de Cavalieri
Volumen de PRISMAS y CILINDROS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un prismaAbase = 32 = 9 cm2
V = 9 cm2 · 5 cm = 45 cm3
Volumen de PRISMAS y CILINDROS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un cilindroAbase = π r2 = 9π dm2
V = 9π dm2 · 5 dm = 45π dm3
V= 141’372 dm3
Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS
V = Abase · h
Ejemplo de volumen de un cono
Abase = π r2 = π 152 = 225π cm2
V = (1/3) 225π cm2 · 13’229 cm
V = (1/3) 2976’47π cm3 = 992’16π cm3
V = 3116’96 cm3
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Teorema de Pitágoras
g2 = r2 + h2
202 = 152 + h2
175 = h2
h = 13’229 cm
Área y Volumen de una ESFERA
A = 4 π r2 V = π r3
Ejemplo de área y volumen de una esfera:
A = 4 π r2 = 4 π 102 = 400π m2 = 1256’637m2
V = (4/3) π 103 m3 = (4/3) 1000 π m3
V = 1333’333 π m3 = 4188’789 m3
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